Vorkurs Informatik WiSe 16/17

Transkript

1 Konzepte der Informatik Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe, Technische Universität Braunschweig, IPS

2 Inhaltsverzeichnis Vorüberlegungen Ameisen-Prinzip Dijkstra-Algorithmus Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 2

3 Einführung Routenplaner Wie finde ich den günstigsten Weg? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 3

4 Einführung Routenplaner Wie finde ich den günstigsten Weg? Eine Möglichkeit: Alle Weg durchprobieren Kürzesten Weg wählen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 3

5 Einführung Routenplaner Wie finde ich den günstigsten Weg? Eine Möglichkeit: Alle Weg durchprobieren Kürzesten Weg wählen Bei Computern heißt dieser Ansatz Brute-Force : Rechner haben keine Intelligenz Müssen alle Möglichkeiten durchprobieren Menschen können absurde und unwahrscheinliche Möglichkeiten verwerfen Hier schon viele Möglichkeiten, man denke an Karten mit 1000 Städten Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 3

6 Überblick Vorüberlegungen Ameisen-Prinzip Dijkstra-Algorithmus Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 4

7 Vorüberlegungen Methode der Abstraktion Wie kommt man in der Informatik zu einer besseren Lösung? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 5

8 Vorüberlegungen Methode der Abstraktion Wie kommt man in der Informatik zu einer besseren Lösung? In zur Verfügung stehender Informationen stecken sowohl relevante als auch unwesentliche Anteile. Durch Abstraktion reduzieren Sie die Informationen auf das für die aktuelle Problemlösung Wesentliche: Dadurch können Sie sich besser auf die Aufgabe konzentrieren Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 5

9 Vorüberlegungen Informationen der Karte Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 6

10 Vorüberlegungen Informationen der Karte Namen der Städte Position der Städte Größe der Städte Verlauf der Straßen Länge der Straßen Namen und Nummern der Straßen Straßentyp Straße führt von... nach Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 6

11 Vorüberlegungen Informationen der Karte Name der Städte Position der Städte Größe der Städte Verlauf der Straßen Länge der Straßen Namen und Nummern der Straßen Straßentyp Straße führt von... nach... Wenn man nicht weiß, welche Stadt wie heißt, kann auch nicht der kürzeste Weg zwischen Imstadt und Oppenheim bestimmt werden. Es ist uns egal, wo sich die Städte genau befinden. Relevant sind nur die Straßen zwischen den Städten. Kommt in unserer Aufgabenstellung nirgendwo vor. Es kommt nur auf die Länge der Strecke an, nicht auf den Verlauf. Um die Reisestrecke zu bestimmen, brauchen wir die einzelnen Strecken zwischen den Orten. Zumindest zur Bestimmung der kürzesten Strecke irrelevant. Da es nur auf die Entfernungen, nicht auf die Zeit ankommt, ist es egal, ob Autobahn oder Feldweg gefahren wird. Wir benötigen die Informationen, von welcher Stadt zu welcher anderen eine Straße führt.

12 Vorüberlegungen Informationen der Karte Name der Städte Position der Städte Größe der Städte Verlauf der Straßen Länge der Straßen Namen und Nummern der Straßen Straßentyp Straße führt von... nach... Wenn man nicht weiß, welche Stadt wie heißt, kann auch nicht der kürzeste Weg zwischen Imstadt und Oppenheim bestimmt werden. Es ist uns egal, wo sich die Städte genau befinden. Relevant sind nur die Straßen zwischen den Städten. Kommt in unserer Aufgabenstellung nirgendwo vor. Es kommt nur auf die Länge der Strecke an, nicht auf den Verlauf. Um die Reisestrecke zu bestimmen, brauchen wir die einzelnen Strecken zwischen den Orten. Zumindest zur Bestimmung der kürzesten Strecke irrelevant. Da es nur auf die Entfernungen, nicht auf die Zeit ankommt, ist es egal, ob Autobahn oder Feldweg gefahren wird. Wir benötigen die Informationen, von welcher Stadt zu welcher anderen eine Straße führt.

13 Vorüberlegungen Abstrakte Form der Landkarte Karte wurde anhand der relevanten Daten neu gezeichnet. Die Städte wurden der Übersicht wegen durch deren Anfangsbuchstaben ersetzt. Jedoch noch Spezialitäten vorhanden: An vier Stellen kreuzen sich die Straßen, ohne Auf- und Abfahrten (Bogen) An drei Stellen schneiden sich die Straßen mit Auf- und Abfahrten (Punkt) Ein Problem sollte möglichst gleichförmig sein, um das Denken zu erleichtern Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 8

14 Vorüberlegungen Methode der Gleichformung Versuchen Sie, die verschiedenen Facetten eines Problems auf die gleichen Grundelemente zurückzuführen. Dadurch wird einerseits das Problem übersichtlicher und andererseits benötigt man weniger Lösungsansätze: Für gleichförmige Teilprobleme kann der gleiche Lösungsansatz verwendet werden Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 9

15 Vorüberlegungen Gleichformung Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 10

16 Vorüberlegungen Gleichformung Auf der Karte sind Städte als Kreise eingezeichnet. Hier kann man offenbar problemlos von einer Straße auf eine angrenzende Straße wechseln. Genau das soll auch an den mit einem Punkt gekennzeichneten Stellen möglich sein. Also tun wir einfach so, als wenn sich dort auch Städte befinden. Um eine Verwechselung mit den anderen Städten zu vermeiden, kennzeichnen wir sie mit X, Y und Z. An allen anderen Stellen ist ein Wechsel nicht möglich, daher kann auch die Kennzeichnung durch einen Bogen entfallen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 10

17 Vorüberlegungen Gleichformung Sehen wir uns noch einmal die Tabelle mit den ursprünglich vorhandenen Informationen an Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 10

18 Vorüberlegungen Informationen der Karte Name der Städte Position der Städte Größe der Städte Verlauf der Straßen Länge der Straßen Namen und Nummern der Straßen Straßentyp Straße führt von... nach... Wenn man nicht weiß, welche Stadt wie heißt, kann auch nicht der kürzeste Weg zwischen Imstadt und Oppenheim bestimmt werden. Es ist uns egal, wo sich die Städte genau befinden. Relevant sind nur die Straßen zwischen den Städten. Kommt in unserer Aufgabenstellung nirgendwo vor. Es kommt nur auf die Länge der Strecke an, nicht auf den Verlauf. Um die Reisestrecke zu bestimmen, brauchen wir die einzelnen Strecken zwischen den Orten. Zumindest zur Bestimmung der kürzesten Strecke irrelevant. Da es nur auf die Entfernungen, nicht auf die Zeit ankommt, ist es egal, ob Autobahn oder Feldweg gefahren wird. Wir benötigen die Informationen, von welcher Stadt zu welcher anderen eine Straße führt.

19 Vorüberlegungen Gleichformung Die Städte sind immer noch an ihrer geographischen Position eingezeichnet: Ballungszentren vorhanden Straßenführung wird unübersichtlich Wir haben die Position der Städte jedoch als irrelevant eingestuft: Karte kann daher entzerrt werden Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 12

20 Vorüberlegungen Entzerrte Landkarte Es wurde lediglich die Darstellung geändert. Die Verbindungen zwischen den Städten und deren Längenangaben bleiben unverändert Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 13

21 Überblick Vorüberlegungen Ameisen-Prinzip Dijkstra-Algorithmus Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 14

22 Ameisen-Prinzip Lernen von der Natur Wie kommen wir denn nun zum kürzesten Weg von Imstadt nach Oppenheim? Der direkte Ansatz, alle vollständigen Wege zu betrachten, ist ja bereits gescheitert. Vielleicht können wir von der Natur lernen: Ein Stamm Ameisen hat auf der Suche nach Futter ein ähnliches Problem: Eine Kundschafterin findet ein großes Stück Fleisch. Welchen Weg sollen die Arbeiterinnen nehmen, um die Beute am schnellsten zu sichern? Setzen wir also den Stamm Ameisen auf unseren Ausgangspunkt Imstadt (I): Fünf Wege führen von dort weg, also teilen sich unzählige Ameisen auf, um diese zu erkunden Wir nehmen an, dass alle Ameisen gleich schnell sind: Gedopt schaffen sie einen km pro Minute Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 15

23 Ameisen-Prinzip Der Aufbruch Auf der Landkarte verfolgen wir den Weg der Ameisen: Nach 34 Minuten haben sie B erreicht. Was haben wir dadurch gelernt? Um von I nach B zu kommen, gibt es garantiert keinen günstigeren Weg als den mit 34 km. Denn die Ameisen haben ja sämtliche bisher für sie möglichen Wege ausprobiert und sind nach 34 km zuerst bei B angekommen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 16

24 Ameisen-Prinzip Die Erkundung geht weiter Wie geht es jetzt weiter? Die Ameisen, die bisher nirgendwo angekommen sind, setzen ihren Weg fort. Die Ameisen bei B teilen sich erneut auf: wieder sind fünf Wege möglich. Den Erfolg dokumentieren sie, indem sie den bisherigen Weg markieren und die Entfernung notieren Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 17

25 Ameisen-Prinzip Ameisen auf Kollisionskurs Nach 40 Minuten kommt ein Trupp bei C an: Sie sind die Ersten. Daher: Strecke markieren, Entfernung notieren und auf die weiteren Wege aufteilen. In der 43. Minute kommt der Trupp auch als Erster bei M an: Somit stehen die kürzesten Strecken zu B, C und M fest. Die Ameisen sind sowohl von M als auch von C unterwegs und somit auf Kollisionskurs. Bringt ihnen das etwas für ihr Ziel, das Gelände zu erkunden? Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 18

26 Ameisen-Prinzip Erste Trupps kehren zurück Der Trupp von C weiß, dass dieses Ziel bereits erreicht ist, die kürzeste Strecke also schon feststeht. Der Trupp von M weiß das Gleiche von seinem Ausgangspunkt zu berichten: Also wird die Strecke als unbrauchbar markiert. Die Ameisen können zurück zu ihrem Stamm, da es sinnlos wäre noch weiter zu marschieren Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 19

27 Ameisen-Prinzip Und es geht weiter Als nächstes kommen zwei Trupps gleichzeitig an: In der 55. Minute erreichen sie P und X: Wieder teilen sie sich auf. Von X gibt es nur einen Erfolg versprechenden Weg. Bei den anderen Treffen sie recht schnell auf Kameraden. Die von P ausgehenden Strecken sind alle noch nicht als unbrauchbar markiert Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 20

28 Ameisen-Prinzip Idee Statt immer nur einen Weg auszuprobieren und wieder zu verwerfen, wenn sich ein besserer gefunden hat, erkunden die Ameisen gleichzeitig alle sich bietenden Möglichkeiten. Kommen sie bei einer Stadt als Erste an, wissen sie, dass der genommene Weg der kürzeste ist, denn sonst wäre ja schon ein anderer Trupp da. Treffen die Ameisen irgendwo auf Artgenossen, wissen sie, dass ihre Reise zu Ende ist. Andere haben also das Ziel früher erreicht. Am Ende des Verfahrens erhalten wir die folgende Karte Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 21

29 Ameisen-Prinzip Vollständig erschlossene Karte Was für Informationen haben wir dadurch eigentlich gewonnen? Um von Imstadt zu einem beliebigen anderen Ort zu kommen, folgen sie dem Pfad der Ameisen. Von Imstadt nach Oppenheim kommt man so am günstigsten über Pappstadt, Krupsing und Flughafen (123km). Es wurde nicht nur die ursprüngliche Aufgabe gelöst, sondern auch die kürzesten Wege von Imstadt zu allen anderen Städten ermittelt Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 22

30 Ameisen-Prinzip Zusammenfassung Warum ist das Ameisen-Prinzip für einen Informatiker interessant? Es führt in absehbarer Zeit zum Ziel. Da die Ameisen ständig in Bewegung sind und keine Wege doppelt gehen, müssen sie recht bald alle Wege erkundet haben (maximal nach der Zeit, die dem kürzesten Weg zur am weitesten entfernten Stadt entspricht) Es werden immer wieder die gleichen, sehr einfachen Anweisungen benutzt, um die Ameisen zu steuern: 1. Teile den Trupp auf und folge allen Routen 2. Wenn ein Ort erreicht wird: günstigste Strecke dorthin gefunden, weiter bei Wenn man einem anderen Trupp begegnet: Strecke verwerfen. Ende Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 23

31 Ameisen-Prinzip Übertragung auf den Computer Wie könnten also unsere Routenplaner im Auto das Problem des kürzesten Weges lösen? Ein Simulieren der vorgestellten Vorgehensweise wäre gegenüber der Brute-Force-Methode von Vorteil. Trotzdem ist der Informatiker hier gefragt, das gefundene Verfahren für den Computer zu optimieren. Überlegen Sie, welche Teile des Ameisenprinzips für die Problemlösung relevant sind Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 24

32 Überblick Vorüberlegungen Ameisen-Prinzip Dijkstra-Algorithmus Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 25

33 Dijkstra-Algorithmus Erste Schritt Die Ameisen liefen in alle direkt erreichbaren Städte, um zu ermitteln, wie lange sie unterwegs sind: Ein Computer muss diese Zeiten nicht ermitteln. Er kennt sie bereits, da die Längen zwischen den Strecken an den Pfaden verzeichnet sind. Um die Entfernung zuordnen zu können, wird die dazugehörige Strecke markiert. Die Ameisen, die zuerst bei einer Stadt ankamen, markierten die Strecke als günstig und teilten sich auf: Der Computer muss nur die Stadt mit der kleinsten Zahl bestimmen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 26

34 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (1) In diesem Beispiel also B: Von B aus werden alle Entfernungen zu allen Nachbarn bestimmt. Über B wurden schon 34 km zurückgelegt, daher müssen diese dazu addiert werden. Bei H steht schon ein Wert. Von I direkt sind es 65, über B jedoch nur 64 km. Der Ameisen Trupp über B würde also zuerst ankommen. Daher gilt für das Dijkstra-Verfahren: Wenn die neue Zahl kleiner ist, wird die alte durch diese ersetzt und der Weg entsprechend markiert. Wenn die neue Zahl größer ist, passiert nichts Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 27

35 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (2) Wie geht es nun weiter? Prinzipiell wie am Anfang: Aus allen mit Zahlen markierten Städten, die noch nicht von Ameisen besucht wurden, wird die mit der kleinsten Zahl herausgesucht. Dort kommen die Ameisen als Nächstes an. In diesem Fall ist das C Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 28

36 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (3) Von C werden wieder alle benachbarten Städte betrachtet: Nach M käme man in 71 km, nach X in 63 km. Beides wird jedoch von der bereits vorhandenen Zahl unterboten, also passiert nichts Die nächste nicht markierte Stadt mit der kleinsten Zahl wird gesucht Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 29

37 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (4) Jetzt also M: Es werden wieder alle benachbarten Städte betrachtet. Hier zeigt sich, dass sowohl die Strecke zu A als auch zu X kürzer ist. Die alten Markierungen und Entfernungen werden gestrichen. Die neuen Wege und Entfernungen markiert bzw. notiert Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 30

38 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (5) Die Stadt mit der kleinsten Zahl ist jetzt P: Es gibt Verbindungen zu H, K, F und O. Bei K, F und O wird jeweils wieder die Summe der Entfernungen notiert und die Strecke markiert. Bei H steht schon eine Entfernung kleiner der Summe von I zu P zu H. Daher passiert hier nichts Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 31

39 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (6) Nun ist X die Stadt mit der kleinsten Zahl: Wieder werden die Entfernungen zu den Nachbarstädten ermittelt. C und B sind bereits markiert, die kürzesten Wege dorthin sind also bereits gefunden. Strecke zu N wird markiert und die Entfernung notiert Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 32

40 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (7) Die noch nicht markierte Stadt mit der kleinsten Zahl ist jetzt H: Nachbarstädte I und P sind bereits markiert. Die Zahl an K ist kleiner als die Summe der Entfernungen von B aus. Die Strecken L und Z werden markiert und die Entfernung notiert Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 33

41 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (8) Jetzt folgt Y: Die Summe der Entfernungen zu L und Z sind kleiner als die bisherigen. Daher Streichung der bisherigen Markierungen und Zahlen. Neue Strecken werden markiert bzw. deren Entfernungen notiert. Da die bisherige Summe bei N kleiner ist, passiert hier nichts Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 34

42 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (9) Die nächste nicht markierte Stadt mit der kleinsten Zahl ist A: Die Nachbarstadt B ist schon markiert. Stadt D und N haben kleinere Zahlen, hier passiert nichts Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 35

43 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (10) Nun wird K markiert: Summe der Entfernungen über K zu F ist kleiner als die bisherige. Strecke zu F wird markiert und die neue Zahl notiert. Strecken zu den Nachbarstädten G und E werden markiert und deren Zahlen zugewiesen. Nachbarstadt Z hat schon eine Zahl kleiner der Summe der Entfernungen über K, daher passiert hier nichts Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 36

44 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (11) Jetzt ist N die Stadt mit der kleinsten Zahl: Nachbarstädte A und Y sind bereits markiert. Zahl von D ist kleiner als die Summe der Entfernungen über N Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 37

45 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (12) Als nächstes folgt Z: H und K sind schon markiert. Summe der Entfernungen über Z zu G ist jedoch kleiner als die bisherige. Strecke wird markiert und die neue Zahl notiert Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 38

46 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (13) Nun wird die Stadt D markiert: Nachbarstädte A und N sind bereits markiert. L hat eine kleinere Zahl als die von D aus berechnete Entfernung Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 39

47 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (14) Die nächste noch unmarkierte Stadt mit der kleinsten Zahl ist L: Nachbarstädte D, H und Y sind bereits markiert. Summe der Entfernungen zu G ist jedoch größer als die bisher notierte Summe Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 40

48 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (15) Nun kommt F an die Reihe: Nachbarstadt P ist schon markiert. bei E ist die bisherige Summe kleiner. bei O ist die Summe der Entfernungen kleiner als die bisherige und wird daher ersetzt und die Strecke zu O markiert Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 41

49 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (16) Jetzt ist E die noch nicht markierte Stadt mit der kleinsten Summe: In diesem Schritt ändert sich nichts. F ist schon markiert. Summe der Entfernungen von G und O ist kleiner Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 42

50 Dijkstra-Algorithmus Fortsetzung (17) Die noch nicht markierte Stadt mit der kleinsten Summe ist G: Alle Nachbarstädte sind schon markiert. Hier passiert nichts weiter Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 43

51 Dijkstra-Algorithmus Ende Die letzte unmarkierte Stadt ist O: Alle Nachbarstädte sind schon markiert Hier passiert also nichts mehr Und da es keine verbliebenen Städte mehr gibt, ist hier der Algorithmus zu Ende. Der kürzeste Weg von Imstadt nach Oppenheim führt also über Pappheim, Krupsing und Flughafen und ist 123 km lang Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 44

52 Dijkstra-Algorithmus Edsger Wybe Dijkstra Geboren 1930 in Rotterdam Professor an der Universität in Eindhoven Vorstellung des Algorithmus zur Berechnung des kürzesten Weges in einem Graphen im Jahr 1959 Wechsel an die Universität von Texas im Jahr 1984 Beitrag zur Einführung der strukturierten Programmierung Erhielt den Turing-Preis 1972 Verstarb 2002 in seiner Heimat Nuenen Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 45

53 Dijkstra-Algorithmus Algorithmus Markiere die Startstadt rot, weise ihr die Kennzahl 0 zu. Bezeichne diese als aktuelle Stadt. Gehe von der aktuellen Stadt zu allen direkt erreichbaren Nachbarstädten... führe das Folgende für jede Nachbarstadt durch: Errechne die Summe aus der Kennzahl an der aktuellen Stadt und der Länge der Strecke dorthin - ist die Nachbarstadt bereits rot markiert, mache nichts. - hat die Nachbarstadt keine Kennzahl, weise ihr die Summe als Kennzahl zu. Markiere die Strecke zur aktuellen Stadt. - hat die Nachbarstadt eine Kennzahl kleiner der Summe, mache nichts. - hat die Nachbarstadt eine Kennzahl größer der Summe, streiche die dortige Kennzahl sowie die Markierung. Weise ihr danach die Summe als neue Kennzahl zu. Markiere die Strecke zur aktuellen Stadt Betrachte alle Städte, die zwar eine Kennzahl haben, aber noch nicht rot markiert sind. Suche die Stadt mit der kleinsten Kennzahl. Bezeichne diese als aktuelle Stadt. Weisen mehrere Städte die kleinste Kennzahl auf, wähle eine beliebige davon als aktuelle Stadt. Markiere die aktuelle Stadt rot, zeichne die dort markierte Strecke in rot ein. Falls es noch Städte gibt, die nicht rot markiert sind weiter bei (1.) Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 46

54 Zusammenfassung Finden bester Wege Einführung in Graphenalgorithmen Dijkstra-Algorithmus Morgen: Graphenalgorithmen (Weiterführung) Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 47

55 Danke Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Dr. Werner Struckmann / Stephan Mielke, Jakob Garbe Seite 48