Logitanalyse Probitanalyse P22. Johann Bacher, Kurt Holm, Heinrich Potuschak

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1 Logitanalyse Probitanalyse P22 Johann Bacher, Kurt Holm, Heinrich Potuschak Almo Statistik-System

2 Der vorliegende Text zur Logit- und Probit-Analyse ist eine überarbeitete Version des Kapitels P22 aus dem Almo-Handbuch "Teil 4: Fortgeschrittene Verfahren". Siehe auch die kompakte Darstellung der Logitanalyse im Almo-Dokument Nr. 25 "Statistische Datenanalyse Teil II". Im Text wird häufig auf das Dokument P0 Bezug genommen. Dabei handelt es sich um das Almo- Dokument "Arbeiten mit Almo.PDF" (Dokument 0). Weitere Almo-Dokumente Die folgenden Dokumente können alle kostenlos von der Handbuchseite in heruntergeladen werden. Siehe insbesondere das Dokument Nr.10 Koeffizienten der Logitanalyse.PDF, in dem die Ergebnisse der Logitanalyse ausführlich beschrieben werden. 0. Arbeiten_mit_Almo.PDF (1 MB) 1a. Eindimensionale Tabellierung.PDF (1.8 MB) 1b. Zwei- und drei-dimensionale Tabellierung.PDF (1.1 MB) 2. Beliebig-dimensionale Tabellierung.PDF (1.7 MB) 3. Nicht-parametrische Verfahren.PDF (0.9 MB) 4. Kanonische Analysen.PDF (1.8 MB) Diskriminanzanalyse.PDF (1.8 MB) enthält: Kanonische Korrelation, Diskriminanzanalyse, bivariate Korrespondenzanalyse, optimale Skalierung 5. Korrelation.PDF (1.4 MB) 6. Allgemeine multiple Korrespondenzanalyse.PDF (1.5 MB) 7. Allgemeines ordinales Rasch-Modell.PDF (0.6 MB) 7a. Wie man mit Almo ein Rasch-Modell rechnet.pdf (0.2 MB) 8. Tests auf Mittelwertsdifferenz, t-test.pdf (1,6 MB) 9. Logitanalyse.pdf (1,2MB) enthält Logit- und Probitanalyse 10. Koeffizienten der Logitanalyse.PDF (0,06 MB) 11. Daten-Fusion.PDF (1,1 MB) 12. Daten-Imputation.PDF (1,3 MB) 13. ALM Allgemeines Lineares Modell.PDF (2.3 MB) 13a. ALM Allgemeines Lineares Modell II.PDF (2.7 MB) 14. Ereignisanalyse: Sterbetafel-Methode, Kaplan-Meier-Schätzer, Cox-Regression.PDF (1,5 MB) 15. Faktorenanalyse.PDF (1,6 MB) 16. Konfirmatorische Faktorenanalyse.PDF (0,3 MB) 17. Clusteranalyse.PDF (3 MB) 18. Pisa 2012 Almo-Daten und Analyse-Programme.PDF (17 KB) 19. Guttman- und Mokken-Skalierung.PFD (0.8 MB) 20. Latent Structure Analysis.PDF (1 MB) 21. Statistische Algorithmen in C (80 KB) 22. Conjoint-Analyse (PDF 0,8 MB) 23. Ausreisser entdecken (PDF 170 KB) 24. Statistische Datenanalyse Teil I, Data Mining I 25. Statistische Datenanalyse Teil II, Data Mining II 26. Statistische Datenanalyse Teil III, Arbeiten mit Almo- Datenanalyse-System 27. Mehrfachantworten, Tabellierung von Fragen mit Mehrfachantworten (0.8 MB) 28. Metrische multidimensionale Skalierung (MDS) (0,4 MB) 29. Metrisches multidimensionales Unfolding (MDU) (0,6 MB) 30. Nicht-metrische multidimensionale Skalierung (MDS) (0,5 MB) 31. Pfadanalyse.PDF (0,7 MB) 2

3 Inhaltsverzeichnis P22 Logit- und Probitanalyse... 1 P22.0 Einleitung... 4 P Lineare Wahrscheinlichkeitsanalyse... 4 P Logit-Analyse... 6 P Probit-Analyse... 8 P Logt-, Probit-Analyse als Kleinste-Quadrate-Schätzung P22.1 Das Modell der Logit- und Probitanalyse P Das Modell der binären Logit- und Probitanalyse mit unabhängigen nominalen Variablen P Binäre Logit- und Probitanalyse mit unabhängigen nominalen und quantitativen Variablen P Die Logitanalyse mit nominal-polytomer abhängiger Variablen P Die Logit- und Probitanalyse mit ordinaler abhängiger Variablen P Die Maximum-Likelihood-Schätzung P22.2 Eingabe P Eingabe mit Kurzprogramm P Kurzprogramm zur Eingabe von Individualdaten Prog22m P Erläuterungen zu den Boxen P Kurzprogramm zur Eingabe fertiger Tabellen mit gruppierten Daten P Erläuterungen zu den Boxen P Ergebnisse aus binärer Logitanalyse mit unabhängigen nominalen Variablen P Interpretation der Regressionskoeffizienten P Interpretation des Koeffizienten "Risiko" (beim Logit-Modell) P Interpretation der Kontraste P Beobachtete und prognostizierte Häufigkeiten P Ergebnisse aus binärer Logitanalyse mit unabhängigen nominalen und quantitativen Variablen P Ergebnisse aus Logitanalyse mit polytomer abhängiger Variable P Ergebnisse aus Logitanalyse ordinaler abhängiger Variable Literatur

4 P22 Logit- und Probitanalyse Die Merkmale des in Almo enthaltenen Logit- und Probit-Modells sind folgende: 1. Es wird die Maximum-Likelihood-Schätzung verwendet. Im Rahmen des allgemeinen linearen Modells wird mit Maskenprogramm Prog20mj die Logit- und Probit-Analyse auch als Kleinste-Quadrate-Schätzung gerechnet. Siehe dazu Almo-Dokument Nr. 13a "Allgemeines lineares Modell II", Abschnitt P Beim Logit- und Probit-Modell können die unabhängigen Variablen nominal und/oder quantitativ sein. Ihre Anzahl ist beliebig. 3. Die abhängigen Variablen können nominal (dichotom oder polytom) oder ordinal sein - und zwar in folgender Weise abhängige Variable Logitmodell Probitanalyse dichotom (ordinal oder binäres Logitmodell binäres Probitmodell nominal) polytom-nominal multinomiales Logitmodell nicht möglich polytom-ordinal ordinales Logitmodell ordinales Probitmodell Das Programm zur Probit- und Logitanalyse wurde von Heinrich Potuschak programmiert. Johann Bacher hat es an das ALMO-System adaptiert und große Teile dieses Kapitels verfasst. Kurt Holm hat weitere Programmteile programmiert und Textteile hinzugefügt. P22.0 Einleitung Betrachten wir ein sehr einfaches Beispiel: Es soll untersucht werden, wie das Einkommen den Kauf einer Ware x bestimmt. Dieses Beispiel ist deswegen ein einfaches, weil nur eine unabhängige Variable verwendet wird. Die unabhängige Variable (das Einkommen) ist quantitativ. Wir verwenden dafür in unseren Testdaten ("C:\Almo\Testdat\Testdaten") die Variable 5. Die abhängige Variable (der Kauf) ist nominal. Kauf besitzt 2 Ausprägungen: ja und nein. Wir verwenden dafür in unseren Testdaten die Variable 10. P Lineare Wahrscheinlichkeitsanalyse Wir rechnen zuerst mit Programm-Maske Prog20mi.Msk ein allgemeines lineares Modell, genauer: eine Diskriminanzanalyse bzw. eine lineare Wahrscheinlichkeitsanalyse. Almo liefert uns folgende Ergebnisse (gekürzt): Koeffizienten fuer quantitative Variable aus univariater Analyse hinsichtlich der abhaengigen Variablen V10-0 Kauf: ja 95% Konfidenzbereich nach Regr. Standard oben erklaerte part. F-Wert Signifikanz df1 df2 Test- Variable koeff. fehler u.unten Streuung Korrel. p (1-p)100 stärke V5 Einkommen Koeffizienten fuer Konstante:

5 Die wesentlichen Ergebnisse sind also. Der Regressionskoeffizient beträgt Er ist mit (1-p)100 = 94.31% signifikant. Die Konstante hat einen Wert von Wir können also die lineare Gleichung schreiben: p = * Einkommen p = das ist die Wahrscheinlichkeit für "Kauf: ja" Wir wollen die Gleichung als Gerade zeichnen: Wahrscheinlichkeit von Kauf: ja (=y) Einkommen (=x) Die Wahrscheinlichkeit eines Kaufs ist z.b. bei einem Einkommen von 4 Einheiten: p = * = von 8 Einheiten: p = * = von 10 Einheiten: p = * = Der höchste Einkommenswert in unseren Daten ist 10. Nun wollen wir wissen, wie die Kaufwahrscheinlichkeit bei einem Einkommen von 14 ist. 14 Einheiten: p = * = Es entsteht eine Wahrscheinlichkeit größer als 1.0. Das gibt es nicht. Das ist die Schwäche der linearen Wahrscheinlichkeitsanalyse. Es können Wahrscheinlichkeiten prognostiziert werden, die über 1.0 oder unter 0 liegen. Allerdings ist folgendes zur Verteidigung dieses Verfahrens zu sagen: 1. Wahrscheinlichkeiten größer 1.0 treten in der Regel nur auf, wenn man für die unabhängige Variable Werte einsetzt, die weit außerhalb des Wertebereichs der empirisch gewonnen Daten liegen. 2. Man setzt Wahrscheinlichkeiten größer 1.0 einfach auf 1.0 und solche unter 0 auf Die Koeffizienten, die die lineare Wahrscheinlichkeitsanalyse liefert, sind einfach und klar zu interpretieren so wie man es bei der Regressionsanalyse gewohnt ist. Dies gilt für die Koeffizienten der Logit- und Probitanalyse keinesfalls, wie wir noch sehen werden. Die lineare Wahrscheinlichkeitsanalyse leidet noch an einem weiteren Problem, dem Problem der Heterokedastizität der Varianzen. 5

6 Es besteht modellbedingte Varianz-Heteroskedastizität mit der Folge, dass die Schätzer für die Parameter der ursächlichen Variablen zwar unverzerrt und konsistent, aber nicht mehr effizient sind. Das bedeutet, dass die Standardfehler der Effekte und Regressionskoeffizienten der ursächlichen Variablen nicht minimal sind, mit der Folge, dass die Signifikanzüberprüfung mit t- und F-Test nicht korrekt ist. Siehe dazu die ausführliche Darstellung bei Aldrich/Nelson (1984, S. 12ff) und Urban (1993, S. 17ff), sowie Urban (1982, Abschnitt 3.1 und 3.1.1). P Logit-Analyse Die Logit- und die Probit-Analyse besitzen diese Schwäche nicht. Wir wollen mit denselben Daten mit Programm-Maske Prog22m.Msk zuerst eine Logit- und dann eine Probit-Analyse rechnen. Da bei der Logit-Probit-Analyse mit Prog 22 im Unterschied zum Allgemeinen linearen Modell mit Prog 20 die 1. Dummy der abhängigen Variablen eliminiert wird (weil sie redundant ist), müssen wir, um die Ergebnisse vergleichen zu können, die Variable Kauf umkodieren: Kauf(0=1; 1=0) Almo liefert folgende Ergebnisse (gekürzt): Ergebnisse für 2. Auspraegung ja der abh. Var. V10 Kauf unabh. Regress. "Risiko" Stand.- z-wert Signifik. partielle Variab. Koeffiz. exp(regr.- Fehler (1-p)*100 Korrelat. koeffiz.) Konstante Einkommen Die Logit-Analyse verwendet die logistische Funktion. Deren Gleichung ist: 1 p = (c+ ßx) 1+ e wobei c = Konstante und ß = Regressionskoeffizient Für unser Beispiel lautet die Gleichung: p 1 = ( *Einkommen) 1+ e + 6

7 Almo liefert folgende Grafik: Logistische Funktion Y = 1/(1+e**-( *X)) Wahrscheinlichkeit von Kauf: ja (=y) Einkommen (=x) P Eigenschaften der logistischen Funktion: 1. Die logistische Funktion nähert sich asymptotisch den Werten p = 0 und p = 1 2. Die Konstante c bestimmt die horizontale Lage der Kurve. Je grösser c umso weiter links liegt die Kurve - bei positivem ß. Ist ß negativ dann umgekehrt. 3. Der Regressionskoeffizient ß bestimmt die Steilheit. Je grösser ß absolut ist umso steiler. Bei positivem Vorzeichen wächst die Kurve von links nach rechts, bei negativem Vorzeichen umgekehrt Die Wahrscheinlichkeit eines Kaufs ist bei einem Einkommen lineare Wahrscheinlich- Einkommen Logit-Analyse keitsanalyse von 4 Einheiten: p = von 8 Einheiten: p = von 10 Einheiten: p = von 14 Einheiten: p =

8 Nun wollen wir die Gerade und die logistische Funktion in einer gemeinsamen Grafik zeigen: Wahrscheinlichkeit von Kauf: ja (=y) Einkommen (=x) Man erkennt sehr deutlich, dass die Gerade und die logistische Funktion von Einkommen = 0 bis zu einem Einkommen von ca. 9 Einheiten sich decken. Erst dann gehen die beiden auseinander. P Probit-Analyse Wir rechnen nun mit Programm-Maske Prog22m.Msk eine Probit-Analyse. Dazu müssen wir in der Programm-Maske nur in einer Box das Wort "Logit" durch "Probit" ersetzen. Almo liefert folgende Ergebnisse (gekürzt): unabh. Regress. Stand.- z-wert Signifik. Variab. Koeffiz. Fehler (1-p)* Konstante Einkommen Die Probit-Analyse verwendet die Funktion der Ogive. Deren Gleichung ist: ß 2 (c+ ßx) / 2 p = * e wobei c = Konstante und ß = Regressionskoeffizient ist Wurzel aus 2*pi Für unser Beispiel lautet die Gleichung: ( x) / 2 p = *e

9 Almo liefert folgende Grafik: Ogive Y=Integral( 1*0.17/2.51 * e**(-( *x)*( *x)/2) ) Wahrscheinlichkeit von Kauf: ja (=y) Einkommen (=x) Man erkennt, dass Ogive und logistische Funktion nahezu denselben Kurvenverlauf besitzen. Eigenschaften der Ogive: 1. Die Ogive nähert sich asymptotisch den Werten p = 0 und p = 1 2. Die Konstante bestimmt die horizontale Lage der Kurve. Je grösser umso weiter links liegt die Kurve - bei positivem ß. Ist ß negativ dann umgekehrt. 3. Der Regressionskoeffizient ß bestimmt die Steilheit. Je grösser ß (absolut) ist umso steiler. Ist das Vorzeichen positiv, dann wächst die Kurve von links nach rechts; ist das Vorzeichen negativ, dann umgekehrt. Die Wahrscheinlichkeit eines Kaufs ist bei einem Einkommen lineare Wahrscheinlich- Einkommen Probit-Analyse Logit-Analyse keitsanalyse von 4 Einheiten: p = von 8 Einheiten: p = von 10 Einheiten: p = von 14 Einheiten: p = Die Werte der Probit-Analyse in obiger Tabelle können mit Almo über das Menü Statistik/Statistische Tafeln und Prog00t9.Msk berechnet werden. Wir blenden das kurz hier ein. Die ausgefüllte Maske ist folgende: Als Ergebnis wird ausgegeben: Flaeche der allgemeinen Glockenkurve von minus pseudo-unendlich bis x= 4 = Berechnet wurde die Gleichung Y=1*0.1683/ *Integral(e**(-( *(X-))*( *(X-0))/2) ) 9

10 P Logit- Probit-Analyse als Kleinste-Quadrate-Schätzung. Die Logit- und Probitanalyse kann auch als Kleinste-Quadrate-Schätzung (kurz: KQ) im Rahmen des allgemeinen linearen Modells mit der Programm-Maske Prog20mj.Msk gerechnet werden. Man findet dieses Programm durck Klick auf den Knopf "Verfahren", dann "Logit-Probitanalyse". Aus der KQ-Logitanalyse entstehen folgende Ergebnisse. Zum Vergleich geben wir auch die Ergebnisse der ML- Schätzung aus Regressionskoeffizient Signifikanz (1-p)100 KQ ML KQ ML Konstante % Einkommen % Grafisch dargestellt ergibt sich folgende logistische Kurve aus der Kleinste- Quadrate-Schätzung (=y) (=x) Die Ergebnisse weichen erheblich von denen der oben dargestellten Logitanalyse als Maximum-Likelihood-Schätzung ab. Ob das immer so ist, das sei dahingestellt. Da das Kurvenbild der Maximum-Likelihood-Schätzung sich mit der Geraden aus der linearen Wahrscheinlichkeitsanalyse deckt, scheint die ML-Schätzung doch die vertrauenswürdigere zu sein. In der statistischen Literatur und der empirischen Forschung wird die ML-Schätzung bevorzugt. Bei der Kleinste-Quadrate-Schätzung (in Programm-Maske Prog20mj) gibt Almo keine Funktionsgrafik aus. Die logistische Funktion muss der Benutzer selbst zeichnen. Das ist in Almo allerdings sehr einfach. Der Benutzer muss nur die beiden Parameter für die Konstante und das Einkommen in eine Eingabemaske eintragen und dann auf einen Knopf klicken. Almo erzeugt dann die Grafik. Die Vorgehensweise ist folgende: 1. Der Benutzer klickt in der Knopfleiste (am Oberrand des Almo-Fensters) auf den Knopf "Grafik". Almo präsentiert dann eine Grafik zur Auswahl eines Grafiktyps. Man sieht folgendes: 10

11 2. Klick auf den Knopf "Weitere Auswahl". Man sieht dann folgendes: 3. Klick auf den 1. Grafiktyp "nichtlineare Kurve. Es erscheint folgende Eingabe- Maske: 11

12 In der 1. Eingabebox wird als Kurventyp 8 eingesetzt. In der 2. Eingabebox werden die beiden Koeffizienten für die Konstante und die unabhängige quantitative Variable eingesetzt. In der 3. Eingabebox haben wir 14 eingegeben, d.h. wir lassen uns die Kurve bis zu einem Einkommen von 14 Einheiten zeichnen. Die anderen Werte sind für die Logitanalyse fix. 4. Durck Klick auf den großen Knopf "Grafik" oberhalb der 1. Eingabebox wird dann bewirkt, dass Almo den Grafik-Editor öffnet und die logistische Kurve zeichnet. Im Editor kann dann die Grafik in vielfältiger Weise bearbeitet werden. Siehe dazu die PDF-Datei "AnleitungGrafik.pdf" im Wurzelverzeichnis von Almo. P22.1 Das Modell der Logit- und Probitanalyse P Das Modell der binären Logit- und Probitanalyse mit unabhängigen nominalen Variablen Der Modellansatz soll anhand eines Beispiels aus ARMINGER/KÜSTERS (1986: 35ff) dargestellt werden. (Zum Modellansatz der Logit- und Probitanalyse siehe auch die Ausführungen des Abschnitts P sowie ARMINGER/KÜSTERS 1986, GREEN 1990: , MADDALA 1990: 13-58). 12

13 Folgende Fragestellung soll untersucht werden: Welchen Einfluß haben das Geschlecht und das Alter auf die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Unfall (Nichtfahrunfall oder Fahrunfall). Ausgangspunkt der Analyse ist folgende Häufigkeitstabelle: Unfalltyp (=V3) Datensatz Alter Geschlecht Nichtfahrunfall (=1) Fahrunfall (=2) Gesamt i (=V1) (=V2) Die Ausprägungen der Variablen bedeuten: "1" bei V1 = jung, "2" bei V1 = mittel, "3" bei V1 = alt; "1" bei V2 = männlich, "2" bei V2 = weiblich In dem Beispiel sollen als abhängige Variablen die Auftrittswahrscheinlichkeiten von zwei Unfallarten untersucht werden, nämlich die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines Nichtfahrunfalls und jene des Auftretens eines Fahrunfalls. Diese beiden Variablen wollen wir mit P 1 und P 2 bezeichnen, die konkreten Ausprägungen mit p i1 und p i2 für einen bestimmten Datensatz i. Für den Datensatz 1 (i=1) ist p 11 = 10128/( ) = 0.58 und p 12 = 7468/( ) = Die untersuchten abhängigen Variablen sind also die Zeilenanteilswerte der Ausprägungen der abhängigen Variablen. Die Summe der Zeilenanteilswerte ist gleich 1. Es gilt also p 11 + p 12 = 1 bzw. p 11 = 1 - p 12 bzw. allgemein bei zwei Ausprägungen p i1 = 1 - p i2. Die Abhängigkeit von p i1 bzw. p i2 vom Geschlecht und Alter kann zunächst durch eine einfache lineare Regression mit (1) pˆ i2 = b0 + b11 xil1 + b12 xil 2 + b21 xi21 untersucht werden. Die Größen der Gleichung bedeuten: $p i2 durch die Regressionsgleichung prognostizierte Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Ausprägung 2 der abhängigen Variablen für den Datensatz i Beachte: Bei einer dichotomen abhängigen Variablen analysiert ALMO deren 2. Ausprägung. Die Regressionskoefffizienten für die 1. Ausprägung ergeben sich sehr einfach durch Vorzeichenumkehr. Regressionskonstante b 0 Die x-variable werden in folgender Weise indiziert: x ijk und die b-koeffizienten: b jk. Dabei bezeichnet i = den Datensatz; j = die unabhängige nominale Variable j; k = die Ausprägung k der unabhängigen nominalen Variable. b 11 Effekt der Ausprägung 1 der Variablen 1 x i11 Wert des Datensatzes in der Dummy-Variablen für die Ausprägung 1 der Variablen 1 (x i11 = 1, wenn der Datensatz i in der Variablen 1 die Ausprägung 1 besitzt, sonst ist x i11 = 0) b 12 Effekt der Ausprägung 2 der Variablen 1 x i12 Wert des Datensatzes in der Dummy-Variablen für die Ausprägung 2 der Variablen 1 (x i12 = 1, wenn der Datensatz i in der Variablen 1 die Ausprägung 2 besitzt, sonst ist x i12 = 0) b 21 Effekt der Ausprägung 1 der Variablen 2 13

14 x i21 Wert des Datensatzes in der Dummy-Variablen für die Ausprägung 1 der Variablen 2 (x i21 = 1, wenn der Datensatz i in der Variablen 2 die Ausprägung 1 besitzt, sonst ist x i21 = 0) Zur Bildung der notwendigen Dummies kann beim selbst geschriebenen Almo- Programm über Option 11 (siehe dazu P22.3) die erste oder die letzte Ausprägung eliminiert werden. Des weiteren kann über Option "DummyCode =..." statt der 0/1- Kodierung auch die 0/1/-1-Kodierung verwendet werden. Bei der 0/1/-1- Kodierung wird automatisch die letzte Dummy-Variable gestrichen (siehe Abschnitte P22.2 und P22.3). Bei der Programm-Maske in P geschieht das über die entsprechende Eingabe in Box 6 Unabhängige nominale Variable. Die Bildung der Dummies für den Fall, dass die 0/1/-1 -Kodierung verwendet und die letzte Ausprägung eliminiert wird, zeigt die nachfolgende Tabelle: Datensatz i Dummies von V1 Dummy von V2 Alter Geschlecht x i11 x i12 x i21 (=V1) (=V2) Der Datensatz 1 (i=1) erhält in den Dummies x i11 und x i12 den Wert 1 bzw. 0, da er in der Variablen "Alter" (=V1) die Ausprägung 1 besitzt. Für die Dummy-Variable x i21 ergibt sich ebenfalls ein Wert von 1, da die Variable "Geschlecht" (=V2) den Wert 1 besitzt. Im Unterschied dazu erhält der Datensatz 2 (=2) in der Dummy-Variablen x i21 den Wert -1, da in der Variablen Geschlecht die Ausprägung 2 auftritt. Wie beim Datensatz 1 sind x i11 und x i12 gleich 1 bzw 0. Die Anwendung der linearen Regression hat in dem Beispiel u.a. den Nachteil, dass negative Wahrscheinlichkeiten und Wahrscheinlichkeiten größer 1 prognostiziert werden können. Dieser Nachteil läßt sich durch die Verwendung der Probit- oder Logitanalyse beseitigen. Im Logitmodell wird nicht die Wahrscheinlichkeit p i2 sondern der Logarithmus des Verhältnisses von der Auftrittswahrscheinlichkeit der Ausprägung 2 zur Aufrittswahrscheinlichkeit der Ausprägung 1 untersucht. Inhaltlich wird also untersucht, welche Faktoren dazu führen, dass die Ausprägung 2 (in unserem Beispiel "Fahrunfälle") häufiger auftritt als die Ausprägung 1 (in unserem Beispiel "Nichtfahrunfälle"). Die Modellgleichung für unserer Beispiel lautet: pi2 (2) ln = b0 + b11 xi11 + b12 xi12 + b21 xi21. p i1 Zu beachten ist, dass die Regressionskoeffizienten b 0, b 11, b 12 usw. selbstverständlich von jenen der linearen Regression verschieden sind. Das gilt auch für die Probitanalyse. Bei dieser wird unter Verwendung der Standardnormalverteilung die Wahrscheinlichkeit p i2 auf den Zahlenbereich von - bis + transformiert. Die Modellgleichung ist: 1 (3) Φ ( p ) = b + b x + b x + b x, i i11 12 i12 22 i21 14

15 wobei Φ 1 (..) die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. Im Unterschied zum Logitmodell setzt die Probitanalyse voraus, dass die abhängige Variable dichotom oder ordinalskaliert ist. P Binäre Logit- und Probitanalyse mit unabhängigen nominalen und quantitativen Variablen Wir wollen ein einfaches Beispiel betrachten, bei dem nur 1 ursächliche nominale und 1 ursächliche quantitative Variable vorhanden ist: Personen kaufen ein Produkt auf Kredit. Werden sie diesen Kredit zurückzahlen oder nicht? Die Variablen für unser vereinfachtes Beispiel sollen folgende sein: Die Zielvariable ist Kredit-Rückzahlung: nein, ja Die unabhängige nominale Variable ist Beruf: Arbeiter, Angestellter, Selbständiger Die unabhängige quantitative Variable ist: Einkommen Sie wird in Einkommensklassen mit den Werten 1,2,3,...,9 gemessen. Almo liefert folgendes Ergebnis (gekürzt): Ergebnisse für 2. Ausprägung "ja" der abhängigen Variablen "Rückzahlung" (die Ausprägung "nein" wird als Referenzkategorie verwendet) unabhängige Variable Regress. "Risiko" relatives Koeffiz. exp(regr.- Risiko koeffiz.) in % c Konstante a1 Beruf:Arbeiter a2 Beruf:Angestellte a3 Beruf:Selbständige X Einkommen Die Logit-Modell-Gleichung ist folgende: (0) 1 p 1 = 1 + e ( c+ a( i) +β x) Man beachte: p1 ist die Wahrscheinlichkeit für die 2. Ausprägung "ja" der Zielvariablen "Rückzahlung". Mit p2 werden wir die Wahrscheinlichkeit für die Referenzkategorie "nein" bezeichnen Diese Gleichung kann so umgewandelt werden, dass auf der rechten Seite ein linearer Ausdruck steht. 15

16 (1) ln(p1/p2) = c + a(i) + ßX p1=wahrscheinlichkeit für Rückzahlung: ja p2=wahrscheinlichkeit für Rückzahlung: nein Natürlich gilt: p2 = 1-p1 c =Konstante a(i) bezeichnet die Regressionskoeffizient für die drei Dummy-Variable des Berufs (die den 3 Ausprägungen entsprechen) es ist also: a1=regressionskoeffizient für "Arbeiter" a2=regressionskoeffizient für "Angestellter" a3=regressionskoeffizient für "Selbständiger" X =Einkommen ß =Regressionskoeffizient für Einkommen Für einen Arbeiter in der Einkommensklasse X=4 lautet also die Gleichung (1a) ln(p1/p2) = c + a1 + ßX = *4 Regressionskoeffizienten der nominalen Variablen Der Regressionskoeffizienten a1= für "Arbeiter" und a2= für "Angestellter" haben folgende Bedeutung: 1. Das negative Vorzeichen von a2 drückt aus, dass Angestellte im Vergleich zur "Durchschnittsperson" das logarithmierte Wahrscheinlichkeitsverhältnis ln(p1/p2) aus Gleichung 1 verringern. Vereinfacht: Angestellte haben eine geringere Wahrscheinlichkeit ihren Kredit zurückzuzahlen. Umgekehrt drückt das positive Vorzeichen von a1 aus, dass Arbeiter eine erhöhte Wahrscheinlichkeit haben ihren Kredit zurück zu zahlen. Auf den Begriff "Durchschnittsperson" werden wir im nachfolgenden Unterabschnitt Risiko exp(ß) zurückkommen. 2. Je (absolut) größer der Regressionskoeffizient ist, umso stärker ist diese Tendenz. Regressionskoeffizienten der quantitativen Variablen Der Regressionskoeffizient ß1= für "Einkommen" hat folgende Bedeutung: Wenn sich das Einkommen um 1 Einheit erhöht, dann verringert sich das logarithmierte Wahrscheinlichkeitsverhältnis ln(p 1/p 2). Vereinfacht: Wenn sich das Einkommen um 1 Einheit erhöht, dann nimmt die Wahrscheinlichkeit ab, den Kredit zurückzuzahlen. Ein negatives Vorzeichen bedeutet, dass sich die Wahrscheinlichkeit verringert, ein positives, dass sie sich erhöht. Je (absolut) größer der Regressionskoeffizient ist, umso stärker ist diese Tendenz. Gewinn-zu-Verlust-Verhältnis Gleichung 1 bzw. 1a kann so transformiert werden, dass der auf der linken Gleichungsseite stehende Logarithmus verschwindet. (2) p1/p2 = exp(c) * exp(a(i)) * exp(ß*x) 16

17 exp (...) = Exponentialfunktion von... Für unseren Arbeiter mit Einkommen X=4 (2a) p1/p2 = exp(c) * exp(a1) * exp(ß*x) = exp(1.88) * exp(1.38) * exp(-0.38*4) = 6.62 * 3.96 * 0.22 = Zuerst ist festzuhalten, dass sich die Interpretation auf die 2. Ausprägung der Zielvariablen also auf "Rückzahlung:Ja" bezieht. p1 ist also die Wahrscheinlichkeit für Rückzahlung: ja p2 ist also die Wahrscheinlichkeit für Rückzahlung: nein Das Wahrscheinlichkeits-Verhältnis p1/p2 wird in der angelsächsischen Literatur "odds" genannt. Wenn man p1 als Gewinn-Wahrscheinlichkeit und p2 als Verlust- Wahrscheinlichkeit interpretiert, dann könnte man p1/p2 als "Gewinn-zu-Verlust- Verhältnis" bezeichnen. Ist die Zielvariable, wie in unserem Beispiel, dichotom, dann gilt p2 = 1-p1 Ist p1=0.5 dann ist p2 auch =0.5. Dann ist p1/p2=1. Das "Gewinn-zu-Verlust- Verhältnis" ist also ausgeglichen. Ist p1= dann ist p2= Dann ist p1/p2 =2. Die Gewinn-Chance ist 2 mal besser als die Verlust-Chance In unserem Beispiel ist p1/p2= Für unseren Arbeiter mit einem Einkommen von 4 gilt also, dass seine Wahrscheinlichkeit den Kredit zurückzuzahlen mal größer ist als ihn nicht zurückzuzahlen. Wie groß ist dann p1? Hier gilt die allgemeine Formel: wobei f=p1/p2 p1 = f / (1+f) = / ( ) = Die Wahrscheinlichkeit unseres Arbeiters mit Einkommen 4 den Kredit zurückzuzahlen ist also p1= Betrachten wir einige Werte von p1 dann ist "Gewinn-zu-Verlust-Verhältnis" p1 p2= 1-p1 p1/p

18 Risiko exp(ß) Betrachten wir nun wieder Gleichung 2 bzw. 2a. Alle Arbeiter haben - im Vergleich zum Durchschnitt aller Untersuchungspersonen - eine um den Faktor exp(a1) =3.96 erhöhtes Wahrscheinlichkeits-Verhältnis p1/p2, d.h. ihre Wahrscheinlichkeit den Kredit zurückzuzahlen ist erhöht. Dieser Faktor wird in der Literatur gelegentlich "Risiko" genannt. Auch der Begriff "Effekt-Koeffizient" wird gelegentlich gebraucht (so bei D. Urban: Logit-Analyse, 1993, s. 40). Wäre exp(a1)=1, dann würden sich die Arbeiter so verhalten wie der Durchschnitt. Wir definieren nun als relatives Risiko" = (exp(a(i)) - 1) * 100 Für die Arbeiter finden wir dann relatives Risik" = (exp(a1) - 1) * 100 = (3.96-1) * 100 = 296 Wir können jetzt formulieren: Arbeiter haben ein um 296 % höheres Risiko einen Kredit zurückzuzahlen als die durchschnittliche Untersuchungsperson. Durchschnittsperson Zu beachten ist, dass die Bezugskategorie der Durchschnitt aller Untersuchungspersonen ist. Dies ist in Almo der Fall, wenn die 0,1,-1 - Kodierung der Dummies der unabhängigen nominalen Variablen verwendet wird. Dies ist die Voreinstellung in Almo (siehe Abschnitt P , Box 9). Wird die 0,1 - Kodierung verwendet, dann wird (standardmäßig) die letzte Dummy, in unserem Beispiel die Selbständigen, auf 0 gesetzt. Sie erscheint dann auch gar nicht in der Ergebnis-Ausgabe. Almo liefert folgendes Ergebnis (verkürzt): Ergebnisse für 2. Auspräg. "ja" der abhäng. Variablen "Rückzahlung" unabhängige Variable Regress. "Risiko" relatives Koeffiz. exp(regr.- Risiko koeffiz.) c Konstante a1 Beruf:Arbeiter a2 Beruf:Angestellte X Einkommen Die Selbständigen sind jetzt die Bezugskategorie. Die Arbeiter haben im Vergleich zu den Selbständigen eine um 522 % erhöhte Wahrscheinlichkeit den Kredit zurückzuzahlen und die Angestellten eine um 37.7 % reduzierte Wahrscheinlichkeit. In Almo ist es bei der 0,1 - Kodierung möglich, entweder die erste oder die letzte Dummy zu eliminieren. 18

19 Allgemein gilt: a. Bei der 0,1 - Kodierung ist die Bezugskategorie die eliminierte Dummy. b. Bei der 0,1,-1 - Kodierung ist die Bezugskategorie der Durchschnitt aller Untersuchungspersonen. Risiko bei quantitativen Variablen Betrachten wir nochmals obige Gleichung (2) (2) p1/p2 = exp(c) * exp(a(i)) * exp(ß*x) Das Einkommen unseres Arbeiters ist X=4. Der Ausdruck exp(ß*x) ist also exp( * 4) = Wenn sich das Einkommen dieser Person um 1 Einheit auf 5 erhöht, dann ist der Ausdruck exp(ß*x) = exp( * 5) = Wenn wir für X=5 obige Gleichung (2) für unsere Person ausrechnen, dann erhalten wir p1/p2 = Für X=4 haben wir oben errechnet p1/p2 = So hat sich also p1/p2 um den multiplikativen Faktor / = verringert. Und das ist genau das in obiger Tabelle angegebene Risiko exp(ß). Risiko-Werte unter 1 führen zu einer Verringerung von p1/p2. D.h. p1 wird kleiner und p2 wird größer. Risiko-Werte über 1 führen zu einer Erhöhung von p1/p2. D.h. p1 wird größer und p2 wird kleiner. Wir können nun den Begriff "Risiko" (=exp(ß)) bei ursächlichen quantitativen Variablen allgemein definieren. Nimmt die ursächliche quantitative Variable X um 1 Einheit zu, dann nimmt das Wahrscheinlichkeits-Verhältnis p1/p2 um den multiplikativen Faktor exp(ß) zu. Wir können diese Zunahme bzw. Abnahme auch in Prozentwerten ausdrücken. Sie beträgt dann 100(exp(ß)-1). Das ist das relative Risiko. Betrachten wir für Arbeiter die Werte, die sich gemäß Gleichung 2 für Einkommenswerte X von 0 bis 6 ergeben. 19

20 X p1/p2 Multiplikator Das Wahrscheinlichkeits-Verhältnis p1/p2 einer nachfolgenden Einkommensstufe entsteht durch Multiplikation mit exp(ß)= des Wahrscheinlichkeits- Verhältnis p1/p2 der vorhergehenden Einkommensstufe. P Die Logitanalyse mit nominal-polytomer abhängiger Variablen Die Logitanalyse ermöglicht im Unterschied zur Probitanalyse auch eine Analyse von polytomen nominalskalierten abhängigen Variablen. Beim multinominalen Logit-Modell wird die 1. Ausprägung der abhängigen Variablen als Referenzkategorie verwendet und dann mehrere binäre Logitanalysen gerechnet. Betrachten wir ein Beispiel: Die abhängige nominale Variable sei wie der "Fahrunfall" nun mit den 4 Ausprägungen: 1. Kein Unfall 2. Leichtverletzt 3. Schwerverletzt 4. Tod Almo verwendet die 1. Ausprägung als Referenzkategorie und rechnet dann folgende 3 binäre Logit-Analysen: (2a) pi ln ( p i1 pi ln ( p pi ln ( p 2 i1 4 i1 ) =... 3 ) =... ) =... Im Nenner des Logit-Quotienten steht immer pi1; im Zähler pi2, pi3, pi4. Wir erhalten aus den 3 binären Logit-Analysen also 3 Sätze von Regressionskoeffizienten. P Die Logit- und Probitanalyse mit ordinaler abhängiger Variablen Charakteristisches Merkmal des multinominalen Logitmodells ist, dass für jede Ausprägung der abhängigen Variablen - mit Ausnahme der ersten - Effekte berechnet werden. Beim ordinalen Logitmodell und beim ordinalen Probitmodell dagegen wird - wie bei den binären Modellen - für jede unabhängige Variable bzw. für jede Dummy nur ein Effekt berechnet. Zusätzlich zu den binären Modellen werden Schwellenwerte für die Antwortkategorien berechnet. 20

21 Insgesamt stehen somit folgende Modelle zur Verfügung: abhängige Variable Logitmodell Probitmodell dichotom binäres Logitmodell binäres Probitmodell polytom, nominalskaliert multinomiales Logitmodell nicht definiert polytom, ordinalskaliert ordinales Logitmodell ("ordered-repsonse logit model", "ordinal-level logit model") ordinales Probitmodell ("ordered-repsonse probit mode", "ordinal-level probit model") P Die Maximum-Likelihood-Schätzung Die Parameter b 0, b 11, b 12 usw. der Logit- oder Probitmodelle können mit Hilfe von zwei Methoden geschätzt werden: der gewichteten Kleinste-Quadrate-Methode (siehe Abschnitt P ) und der Maximum-Likelihood-Methode. Programm P22 enthält die Maximum-Likelihood-Methode. Die Parameter werden so geschätzt, dass die Likelihoodfunktion (4) L = n n n i n n n i n p$ i p$ i = p$ 2 1 i2 ( 1 p$ i2 ) n n i 2 i1 i 2 ni ni 2 i= 1 i2 i= 1 ein Maximum wird. Die Größen bedeuten: n i n i2 n i1 i2 Häufigkeit des Auftretens des Datensatzes i Häufigkeit des Auftretens der Ausprägung 2 der abhängigen Variablen im Datensatz i Häufigkeit des Auftretens der Ausprägung 1 der abhängigen Variablen im Datensatz i $p i2 durch die Logit- oder Probitanalyse prognostizierte Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Auspräung 2 der abhängigen Variablen für den Datensatz i $p i1 durch die Logit- oder Probitanalyse prognostizierte Wahrscheinlichkeit des Auftretens der Auspräung 1 der abhängigen Variablen für den Datensatz i Für i=1 ist n 1 = 17596, n 12 = und n 11 = Die prognostizierten Wahrscheinlichkeiten sind: (a) für das Logitmodell: (5) und pˆ i 2 b0 e = 1 + e + b x 11 i11 b + b x 0 + b x 11 i11 12 i12 + b x + b x 12 i12 21 i 21 + b x 21 i 21 1 (6) pˆ i =, 1 b0 + b11 xi11+ b12 xi12 + b21 x e i wobei die geschätzten Parameter b 0, b 12, b 13 eingesetzt werden (siehe dazu ausführlicher Abschnitt P22.2). 21

22 (b) für das Probitmodell: ˆ i i11 12 i12 21 i21 (7) p = Φ(1 + b + b x + b x + b x ) und (8) p = 1 pˆ = 1 Φ(1 + b + b x + b x + b x ). ˆ i1 i i11 12 i12 21 i21 Die Maximum-Likelihood-Schätzung - kann im Unterschied zur gewichteten Kleinste-Quadrate-Schätzung - auch für Individualdaten angewendet werden. In diesem Fall ist n i gleich 1 und die zu maximierende Likelihoodfunktion vereinfacht sich zu n yi yi yi 1 yi (9) L = p$ 2 p$ 1 = p$ 2 ( 1 p$ ) 2, i2 i1 i= 1 i= 1 n i2 i2 wobei y i2 gleich 1 ist, wenn die Person i (Datensatz i ) in der abhängigen Variablen die Ausprägung 2 besitzt. In den anderen Fällen ist y i2 gleich 0. y i1 ist analog definiert: y i1 ist 1, wenn die Person i in der abhängigen Variablen die Ausprägung 1 besitzt, sonst ist y i1=0. Die beiden Schätzgleichungen (4) und (9) können sowohl für die Probit- als auch für die Logitanalyse verwendet werden. Die Schätzung der Parameter erfolgt iterativ über den sogenannten Newton-Raphson-Algorithmus. P22.2 Eingabe P Eingabe mit Programm-Maske Es sind 2 Programm-Masken vorhanden: 1. Eine Programm-Maske zur Eingabe von Individualdaten: Prog22m 2. Eine Programm-Maske zur Eingabe einer fertigen Tabelle mit gruppierten Daten: Prog22mb Der Benutzer erreicht diese Programm-Masken durch Klick auf den Knopf Verfahren (in der Knopfleiste unterhalb der Menüleiste), danach Klick auf Logit-, Probitanalyse P Programm-Maske zur Eingabe von Individualdaten Prog22m 22

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25 P Erläuterungen zu den Boxen Die meisten Boxen werden im Almo-Handbuch P0 Arbeiten mit Progs ausführlich erläutert. Sie werden hier nicht nochmals behandelt. Box 1: Vereinbare Variable Siehe Almo-Dokument Nr. 0 "Arbeiten mit Almo", Abschnitt P0.1. Box 2: Option: Weitere Vereinbarungen - nur wenn Almo dazu auffordert Siehe Almo-Dokument Nr. 0 "Arbeiten mit Almo", Abschnitt P0.2. Box 3: Datei der Variablennamen Siehe Almo-Dokument Nr. 0 "Arbeiten mit Almo", Abschnitt P0.3. Box 4: Freie Namensfelder Siehe Almo-Dokument Nr. 0 "Arbeiten mit Almo", Abschnitt P0.3. Box 5: Datei aus der gelesen wird Siehe Almo-Dokument Nr. 0 "Arbeiten mit Almo", Abschnitt P0.4. Box 6: Wenn Dateiformat FIX oder nicht Standard-FREI Siehe Almo-Dokument Nr. 0 "Arbeiten mit Almo", Abschnitt P0.4. Box 7: Analyse-Variable: Unabhängige Variable Die unabhängigen quantitativen und nominalen Variablen werden mitgeteilt. Wenn sie auf den Knopf mit den zwei kleinen Fenstern klicken, dann wird Ihnen eine Dialogbox zur Auswahl der Variablen präsentiert. Box 8: Option: Auflösung der unabhängigen nominale Variablen in Dummies 25

26 Optionsbox geöffnet: Eingabefeld 1: Sie können wählen, ob Sie die 0,1-Kodierung oder die 0,1,-1-Kodierung verwenden wollen. Die unabhängigen nominalen Variablen werden Almo-intern in Dummies aufgelöst. Der Benutzer kann dabei wählen, 1. ob er die 0,1 -Kodierung oder die 0,1,-1 Kodierung verwenden möchte (siehe dazu Handbuch zum Allgemeinen Linearen Modell, Abschnitt P ob er die erste oder letzte Dummy eliminieren möchte. Dies ist nur bei der 0,1 - Kodierung möglich. Bei der 0,1,-1 -Kodierung ist dies gleichgültig. Diese Option ist nicht bei allen Almo-Programmen verfügbar. Da wo sie nicht vorhanden ist, wird von Almo die letzte Dummy eliminiert Bei der 0,1 -Kodierung wird der Regressionskoeffizient der eliminierten Dummy auf.0 gesetzt. Bei der 0,1,-1 -Kodierung summieren sich die Regressionskoeffizienten zu.0. Wir empfehlen die 0,1,-1 -Kodierung, da hier auch für die eliminierte Dummy Koeffizienten (Beta, Standardfehler etc.) berechnet werden können. Die 0,1 -Kodierung wird in der Literatue auch "Indikator-Kodierung" (bei SPSS: indicator-contrast) und die 0,1,-1 -Kodierung "Effekt-Kodierung" (bei SPSS: deviation-contrast) genannt Siehe dazu auch Abschnitt P Eingabefeld 2: Sie können wählen, ob im Verlauf des Kalküls die erste oder die letzte Dummy-Variable der unabhängigen nominalen Variablen eliminiert werden soll. 26

27 Box 9: Analyse-Variable: Abhängige Variable Die abhängige Variable wird mitgeteilt. Sie kann entweder eine nominale oder (exklusiv) eine ordinale Variable sein. Wenn sie auf den Knopf mit den zwei kleinen Fenstern klicken, dann wird Ihnen eine Dialogbox zur Auswahl der Variablen präsentiert. Box 10: Modell Sie entscheiden, ob Sie ein Logit- oder Probit-Modell rechnen wollen. Abhängig vom Messniveau und der Zahl der Ausprägungen der abhängigen Variablen können folgende Modelle gerechnet werden: abhängige Variable Logitanalyse Probitanalyse dichotom (ordinal binäres Logitmodell binäres Probitmodell oder nominal) polytom-nominal multinomiales Logit- nicht möglich modell polytom-ordinal ordinales Logitmodell ordinales Probitmodell Box 11: Option: Ein- und Ausschliessen von Untersuchungseinheiten Siehe Almo-Dokument Nr. 0 "Arbeiten mit Almo", Abschnitt P0.7. Box 12: Umkodierung und Kein_Wert-Angabe Siehe Almo-Dokument Nr. 0 "Arbeiten mit Almo", Abschnitt P0.5. Box 13: Option: Untersuchungseinheiten ganzzahlig gewichten 27

28 Optionsbox geöffnet: Als Gewichtungsvariable wird die Almo-Variable GEWICHT0 verwendet. Ihr muss ein ganzzahliger Wert zugewiesen werden. Eine Gewichtung mit einer Dezimalzahl ist nicht zulässig! Wenn Sie z.b. in das Eingabefeld schreiben Wenn V1 gleich 1 dann GEWICHT0 = 2; EndeWenn Wenn V1 gleich 2 dann GEWICHT0 = 3; EndeWenn dann wird eine Untersuchungseinheit, die in V1 den Wert 1 besitzt, so behandelt, wie wenn sie aus 2 Untersuchungseinheiten bestehen würde und eine Untersuchungseinheit, die in V1 den Wert 2 besitzt, so wie wenn sie aus 3 Untersuchungseinheiten bestehen würde. Eine Gewichtung mit einer Dezimalzahl, z.b. 1.5 ist nicht zulässig. Folgende Anweisung wäre also falsch: Wenn V1 gleich 1 dann GEWICHT0 = 1.5; EndeWenn Falsch!!! In obigem korrekten Beispiel wurde (wenn V1=1) mit 2 und (wenn V1=2) mit 3 gewichtet. Das bedeutet, dass Untersuchungsobjekte mit V1=2 um den Faktor 1.5 höher gewichtet wurden als Untersuchungsobjekte mit V1=1. Auf diese indirekte Weise ist also doch eine Gewichtung mit einem Dezimalfaktor möglich. BEACHTE: Die Zahl der "eingelesenen" Untersuchungseinheiten, die Almo mitteilt, ist entsprechend höher. Das wirkt sich auch bei Signifikanztests aus. Die Zahl der (auf n beruhenden) Freiheitsgrade ist dann höher - wodurch die Signifikanz überschätzt wird. Wenn der Benutzer diesen Effekt nich wünscht, dann kann er - "von Hand" - den von Almo ausgegebenen t- bzw. F-Wert gegen die tatsächliche Zahl der Untersuchungseinheiten testen. Klicken Sie zu diesem Zweck auf das Menü Statistik / Statistische Tafeln und wählen Sie den zutreffenden Test. BEACHTE: Wird (in unserem Beispiel) V1 umkodiert, so geschieht das im Rechenverlauf vor der Gewichtung. Wenn Almo die Gewichtungsbedingung einliest und verarbeitet, dann sind die Variablen bereits umkodiert. Wenn Sie keine Gewichtung verwenden wollen, dann lassen Sie die Optionsbox geschlossen oder machen Sie das Eingabefeld leer. Wollen Sie jedoch eine Gewichtung vornehmen, dann können Sie alle Fälle gleich gewichten, was nicht viel Sinn macht. Sie schreiben z.b. in das Eingabfeld GEWICHT0 = 2; 28

29 Dadurch wird jede einzelne Untersuchungseinheit 2 mal in die Analyse aufgenommen. Gelegentlich befindet sich in der Datei eine Variable, die Gewichtszahlen enthält - z.b. V48. in diesem Fall schreiben Sie in das Eingabefeld GEWICHT0 = V48 (Runde 1); Dann werden alle Analysevariable des Datensatzes mit der Zahl gewichtet, die in V48 gefunden wird (die von Almo zuerst auf Ganzzahligkeit gerundet wird). Sehr häufig wird man spezifische Untergruppen gewichten wollen. Sie können z.b. alle Männer doppelt zählen (!!). Sie schreiben dann Wenn Geschlecht gleich 1 dann GEWICHT0 = 2; EndeWenn (Geschlecht=1 sei der Code für die Männer) Oder ein anderes Beispiel: Wenn Beruf gleich 1 dann GEWICHT0 = 2; EndeWenn Wenn Beruf gleich 2 dann GEWICHT0 = 3; EndeWenn Wenn Beruf gleich 3 dann GEWICHT0 = 4; EndeWenn (wobei: 1=Arbeiter, 2=Angestellte, 3=Selbständige) Sie müssen also zwischen WENN und DANN einen logischen Ausdruck schreiben. Möglich sind z.b. folgende Anweisungen WENN V5 gleich 7 DANN GEWICHT0 = 2; EndeWenn WENN V6 groesser 8 DANN GEWICHT0 = 2; EndeWenn WENN V7 kleiner 0.5 DANN GEWICHT0 = 2; EndeWenn WENN V8 nichtgleich V9 DANN GEWICHT0 = 2; EndeWenn WENN V10 groessergleich 2.5 DANN GEWICHT0 = 2; EndeWenn WENN V11 kleinergleich 2 DANN GEWICHT0 = 2; EndeWenn Anstelle der Worte "gleich", "groesser" usw. sind auch die üblichen mathematischen Symbole möglich, also: = > < ~= >= <= nichtgleich Auch UND sowie ODER sind möglich. Beispiel WENN V5 gleich 7 UND V10 groesser V20 DANN GEWICHT0 = 2; EndeWenn WENN V6 kleiner V5 ODER V12 nichtgleich 2 DANN GEWICHT0 = 2; EndeWenn Zur WENN...DANN -Anweisung siehe Handbuch, Teil 2, Abschnitt Box 14: Option: Prognosewerte ermitteln Optionsbox geöffnet: 29

30 Wenn Sie hier zum Beispiel die Zahl 61 eingeben, dann werden für die ersten 61 Datensätze die beobachteten und die durch das Modell reproduzierten Werte in der abhängigen Variablen ausgegeben. Box 15: Option: Wertemuster Optionsbox geöffnet: Betrachten wir ein Beispiel: Die abhängige Variable sei: Rückzahlung eines Kredits: nein, ja Die unabhängigen nominalen Variablen seien: Geschlecht: männlich (=1), weiblich (=2) Wohnort: Stadt (=1), Land (=2) Die unabhängigen quantitativen Variablen seien: Einkommen Alter Sie wollen nun die Wahrscheinlichkeit der Rückzahlung prognostizieren für 1. Männer im Alter von Frauen im Alter von 58 Geben Sie als Zahl der Wertemuster = 2 an und schreiben Sie in die Eingabefelder der Wertemustermatrix 30

31 Wertemuster I II III IV... etc. [Geschlecht, 1, 2 ] [Alter, 48, 58 ] Zuerst wird also der Variablenname (oder -nummer) geschrieben, dann der Wert des 1. Wertemusters, dann der des 2. Es können beliebig viele Wertemuster angefordert werden. WICHTIG: Als Trennzeichen innerhalb eines Eingabefeldes muss ein Beistrich geschrieben werden, auch hinter dem Variablennamen (bzw. Variablennummer). Am Zeilenende wird kein Beistrich geschrieben. Almo setzt automatisch für die anderen unabhängigen Variablen, die der Benutzer nicht für die Wertemuster verwendet, deren Mittelwerte ein. Das gilt auch für die nicht verwendeten nominalen Variablen. In unserem Beispiel wird die nominale Variable "Wohnort" nicht verwendet. Almo löst intern diese Variable in 2 Dummies auf und setzt für diese Dummies deren Mittelwert ein. Der Mittelwert einer Dummy-Variablen ist gleich dem Anteilswert der Probanden, die sich in der betreffenden Ausprägung befinden. Möglich ist auch folgende Eingabe: Wertemuster I II III IV... etc. [Geschlecht, 1, 2 ] [Alter, 48, 58 ] [Einkommen, 4, kw ] kw eingesetzt Sie wollen beim 1. Wertemuster das Einkommen mit einer Höhe von 4 einbeziehen - beim 2. Wertemuster jedoch nicht. Dann schreiben Sie beim 2. Wertemuster KeinWert oder kurz: kw Almo setzt dann beim 2. Wertemuster für das Einkommen dessen Mittelwert ein. Hinweis: Wenn sie mehr Variable in das Wertemuster einbeziehen wollen als Zeilen vorhanden sind, dann gibt es folgende Möglichkeit, die wir an einem Beispiel illustrieren wollen. Wertemuster I II III IV... etc. [Geschlecht, 1, 2, Alter,48,58 ] [Einkommen, 7200, 3500, Bildung, 5, 3 ] Sie schreiben in ein Eingabefeld 2 oder sogar mehrere Variable mit ihren Werten. 31

32 BEACHTE: Alle Zahlenwerte und Variablennamen werden durch Beistrich getrennt. Am Schluß des Eingabefeldes wird kein Beistrich geschrieben. Die Überschrift und die Rahmen dienen nur der "Schönheit". Sie haben keine Bedeutung für Almo. Box 16: Option: Die errechneten Koeffizienten in eine Datei speichern Optionsbox geöffnet: Die vom Programm errechneten Regressionskoeffizienten und Effekte werden in eine Datei gespeichert. Geben Sie einen Dateinamen an. Box 17: Grafik-Optionen Optionsbox geöffnet: Siehe Almo-Dokument Nr. 0 "Arbeiten mit Almo", Abschnitt P0.10. Denn Begriff der "Gruppierungsvariablen" werden wir bei der Ausgabe in Abschnitt P erläutern. Box 18: Ausgabe der Ergebnisse Es können zusätzlich Basisstatitiken ausgegeben werden. Dies sind u.a. Mittelwerte Standardabweichungen Zahl der diversen Werte je Variable Zahl der fehlenden Werte je Variable 32

33 P Programm-Maske zur Eingabe fertiger Tabellen mit gruppierten Daten 33

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36 P Erläuterungen zu den Boxen Die Boxen sind weitgehend dieselben wie bei der Programm-Maske Prog22m. Wir erläutern deswegen nur die neuen bzw. veränderten Boxen Box: Freie Namensfelder Siehe Almo-Dokument Nr. 0 "Arbeiten mit Almo", Abschnitt P0.3. Geschlecht, Beruf und Einkommen werden in den nachfolgenden Boxen 3 und 4 als unabhängige Variable angegeben. Die Variablennummern in den Namensgebungen für diese 3 unabhängigen Variablen müssen der Reihenfolge der Spalten der einzugebenden Tabelle entsprechen. Unten, hinter der letzten Box, wird die Tabelle geschrieben. Siehe hier weiter unten im Text. Ihre 1. Spalte ist das Geschlecht. Also erhält "Geschlecht" die Variablennummer 1. Ihre 2. Spalte ist der Beruf. Also erhält "Beruf" die Variablennummer 2. Ihre 3. Spalte ist das Einkommen. Also erhält "Einkommen" die Variablennummer 2. Die 1. Ausprägung der abhängigen Variablen "Kauf" steht in der 4. Spalte der Tabelle. Also erhält sie die Variablennummer 4. Allgemein: Die Spaltennummer der 1. Ausprägung der abhängigen Variablen ist gleich der Variablennummer in der Namensgebungen für diese Variable. Box: Analyse-Variable: Unabhängige nominale Variable 2. uns 3. Eingabefeld: Hier müssen die Werte-Unter- und Obergrenzen der unabhängige nominale Variable angegeben werden. Ansonsten ist die Box auszufüllen wie in P beschrieben. 36

37 Box: Zeilen und Spalten der einzulesenden Tabelle Box: Schreiben der einzulesenden Tabelle 37

38 Die Tabelle wird in folgender Weise eingegeben unabhängige unabhängige nominale Variable quantitat.v. abhängige Variable Einkommens Häufigkeit für Geschlecht Beruf gruppe Kauf Nicht-Kauf V1 V2 V3 V4 V Die Einkommensgruppe wird als quantitative unabhängige Variable in das Modell eingeführt. Sie besitzt nur 3 Ausprägungen. Diese werden mit denen der nominalen Variablen "durchkombiniert". Das bedeutet, dass es nur Sinn macht - bei der Eingabe fertiger Tabellen - Variable als quantitative einzuführen, wenn sie nur wenige Ausprägungen besitzen. Andererseits ist es aber dann problematisch, sie als quantiative zu betrachten. P Ergebnisse aus binärer Logitanalyse mit unabhängigen nominalen Variablen Wir werden im folgenden die Ergebnisse aus dem Beispielprogramm ARM_35FM.Alm wiedergeben und erläutern. Das Programm kann aus dem Kopf der Programm-Maske Prog22mb gestartet werden. ARM_35FM.Alm verwendet nur nominale Variable als unabhängige Variable. Wir werden später in Abschnitt P dann darstellen, wie die Ergebnisse bei quantitativen unabhängigen Variablen zu interpretieren sind. Ergebnisse aus ALMO Modellspezifikation: Modellgleichung: binaeres Logit-Modell 2 unabh. nomin. Var.... Auspraegungen: unabh. quant. var. p(i,2) = exp(nue(i)) / ( 1+exp(nue(i)) ) nue(i) = const + Summe x(i,j) * b(j) x( 6, 4)= Designmatrix 38