perfekt für Klassenarbeiten Videos zu jeder Übungsaufgabe alle Themen sehr übersichtlich alle Anforderungsbereiche StrandMathe GbR

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2 perfekt für Klassenarbeiten Videos zu jeder Übungsaufgabe alle Themen sehr übersichtlich alle Anforderungsbereiche Unsere Übungshefte sind für alle Schülerinnen und Schüler, die keine Lust auf 300-seitige Mathebücher haben, mit denen sie alleine gelassen werden. Wir sind junge Lehrerinnen und Lehrer, die mathematische Inhalte traditionell auf Papier mit modernen Übungsaufgaben in Videos verbinden. Jugendliche nutzen gerne neue Medien und bekommen so immer Hilfe über den Nachhilfelehrer auf dem Handy. Viel Spaß und Erfolg wünschen Christian, Irina, Conrad, Christina und Vincent StrandMathe GbR Christian Hotop Conrad Zimmermann Vincent Flasbart Michael Hotop Alberto Gómez Irina Schmidt

3 A Differenzialrechnung Seite 1 Stetigkeit und Differenzierbarkeit... 4 Nullstellensatz und Intervallhalbierung Newton - Verfahren Funktionsverkettung Kettenregel Produktregel Quotientenregel Parameterstudien und Ortskurven B Integralrechnung 1 1 Rekonstruktion von Beständen Ober- und Untersumme... 3 Flächeninhalte bestimmen Integralfunktion Stammfunktionen von unbestimmten Integralen Graphische Herleitung von Stammfunktionen Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Flächen zwischen Graph und X-Achse Flächen zwischen zwei Graphen Flächen zwischen Graphen mit Differenzfunktion... 4 C Eponentialfunktionen 1 Eigenschaften von Eponentialfunktionen Eulersche Zahl Ableiten und Integrieren der e-funktion Natürliche Logarithmusfunktion Gleichungen und Funktionen mit beliebigen Basen Eponential- und Logarithmusfunktionen untersuchen Halbwerts- und Verdopplungszeit D Gebrochenrationale und trigonometrische Funktionen 1 Gebrochenrationale Funktionen... 6 Gebrochenrationale Funktionen - Eigenschaften Gebrochenrationale Funktionen analysieren Sinusfunktion - Amplitude, Periode und Verschiebung Modellierung und Anwendung trigonometrischer Funktionen Untersuchungen an trigonometrischen Funktionen E Integralrechnung 1 Rauminhalte von Rotationskörpern Mittelwerte von Funktionen Uneigentliche Integrale Produktintegration - Partielle Integration Integration durch Substitution... 86

4 A Differenzialrechnung 1 Eine Funktion f wird als stetig an der Stelle 0 bezeichnet, wenn der (beidseitige) Grenzwert für f() mit 0 genau dem Funktionswert f( 0 ) entspricht: lim f( ) =f( 0 ) 0 Es liegt dann ein durchgängiger (d.h. stetiger) Funktionsverlauf vor. Eine Funktion f ist genau dann differenzierbar, wenn ein Grenzwert für den f( ) f( Differenzenquotienten 0 ) mit 0 eistiert, die Funktion also eine Ableitung besitzt. 0 Es gilt außerdem: Ist eine Funktion unstetig, so ist sie nicht differenzierbar. Sie kann aber nicht differenzierbar und trotzdem stetig sein. Die Abbildung zeigt eine nicht differenzierbare Stelle bei A und eine unstetige Stelle bei B. Bei der Darstellung muss klar unterscheidbar sein, zu welchem Funktionsabschnitt die Stelle B gehört. Dies erfolgt hier durch einen verstärkten Punkt. Der auslassende Halbkreis deutet an, dass der obere rechte Funktionsabschnitt die Stelle B nicht umfasst. Wenn Funktionen abschnittsweise definiert werden, erfolgt dies durch echt kleiner < bzw. echt größer > und kleiner gleich bzw. größer gleich. Stetigkeit und Differenzierbarkeit y A B Gegeben ist die Funktion f ( ) = 4 für 0 +4 für 0 <. 0,5 1 für < 4 1,5 für 4< Skizziere die Funktion und bestimme nicht differenzierbare sowie unstetige e Stellen. Wie in der Aufgabenstellung gefordert, skizzierst du zunächst die Funktion. Dies hilft dir, eine Übersicht des Funktionsverlaufs zu bekommen und nicht differenzierbare und unstetige Stellen zu erkennen. Dafür legst du dir zunächst ein Koordinatensystem an, das die relevanten Wertebereiche abdeckt. Im nächsten Schritt markierst du durch gestrichelte Linien die Übergänge der Funktionsabschnitte (hier also bei = { 0; ; 4 } ). Die konstanten Abschnitte (erster und letzter) lassen sich direkt skizzieren. Geraden und Parabeln sind etwas schwieriger. Hier gilt, dass die y Funktion grundsätzlich genauso gezeichnet wird, wie normalerweise (also y - Achsenabschnitt ansetzen, 4 dann Steigung, usw.). Jedoch wird 3 der Funktionsgraph des jeweiligen Abschnitts nur in dem Intervall sichtbar, in dem die Funktion auch 1 definiert ist. Man kann zum Beispiel mit Bleistift die Funktion ganz normal vorzeichnen und in den undefinierten Bereichen dann wieder wegradieren

5 Man erkennt sofort, dass eine nicht differenzierbare Stelle bei = vorliegt. Eine unstetige Stelle befindet sich bei = 4, da hier eine Unterbrechung des Graphen zu sehen ist (also auch nicht differenzierbar). Merke: Unstetigkeit Beim Zeichnen muss man den Stift absetzen! Beachte auch die Darstellung der unstetigen Stelle! Die Stelle = 4 gehört zum dritten Funktionsabschnitt (siehe < 4 )! Bei der Stelle = 0 ist nicht unmittelbar erkennbar, ob ein Knick in der Funktion vorliegt. Ist der Grenzwert des Differenzenquotienten (also die Steigung) hier bei beiden Funktionsabschnitten an der Stelle gleich, ist die Stelle differenzierbar. Zur Überprüfung der Steigung bilden wir die Ableitung beider Abschnitte. Da der erste Abschnitt eine Konstante ist, beträgt die Steigung null. Die Ableitung des zweiten Abschnitts lautet: f ( ) = f ( 0) =0 Somit ist die Steigung an beiden Seiten gleich und die Stelle ist differenzierbar. Eigentlich ist es nicht schwer. Aber präge dir die Unterscheidung zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit gut ein! Übungen 1. Bestimme unstetige sowie nicht differenzierbare Stellen des abgebildeten Graphen und gib die Intervalle der Funktionsabschnitte an. y Erstelle eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: - nicht differenzierbar aber stetig bei 01 = - - unstetig bei 0 = 1 - unstetig bei 03 = 3 - nicht differenzierbar aber stetig bei 04 = 4 Gib dazu eine Funktion mit abschnittsweise definierten Funktionsgleichungen an und zeichne diese. 3. Ergänze die Funktion f( ) = { + für 1 1 für < um einen weiteren Funktionsabschnitt so, dass eine stetige Funktion entsteht, die zudem bei = differenzierbar ist. 5

6 A Differenzialrechnung Der Nullstellensatz von Bolzano beschreibt, dass eine stetige Funktion f auf einem Intervall [a; b] mindestens eine Nullstelle hat, wenn die Funktionswerte f(a) und f(b) unterschiedliche Vorzeichen haben. Nullstellensatz und Intervallhalbierung f() Die Intervallhalbierung ist ein Verfahren zur Nullstellenbestimmung, bei dem der Mittelwert m n eines Intervalls [a (n-1) ; b (n-1) ] gebildet und nach jedem Schritt n das Vorzeichen des Funktionswertes f(m n ) überprüft wird, sodass eine erneute Mittelwertbildung erfolgt. 0 < f (m 1 ) a 0 m 1 a 1 m b 1 b 0 m n = a n 1 +b n 1 Vorzeichen von f(a n 1 ) und f(b n 1 ) ungleich m n bildet neue Intervallgrenze a m 3 b Zeige, dass die Funktion f() = eine Nullstelle auf dem Intervall [0 ; 3] hat und bestimme diese auf eine Genauigkeit von einem Zehntel. Da es sich bei f() um eine stetige Funktion handelt und f(0) = -1 und f(3) = 0 (unterschiedliche Vorzeichen), muss aufgrund des Nullstellensatzes eine Nullstelle in dem Intervall vorliegen. Diese bestimmt man näherungsweise, indem man immer wieder den Mittelwert eines Grenzintervalls bildet und so die Stelle eingrenzt. Der erste Mittelwert lautet: m 1 = a 0 +b 0 = 0+ 3 =1,5 Da der Funktionswert f( m 1 ) = 17 negativ ist, erfolgt 8 die nächste Intervallhalbierung zwischen m 1 = a 1 (negativer Funktionswert, Stelle links von der Nullstelle) und der oberen Grenze b 0 = b 1. Lass dich nicht davon irritieren, dass der Wert f( m 1 ) = 17 negativer 8 geworden ist als f(0) = -1. Dies ist dem Funktionsverlauf geschuldet (s. Abbildung). m = a 1+b 1 = 1,5+3 =,5 und f( m ) =0,7 Hier liegt ein positiver Funktionswert für den Mittelwert vor, der somit rechts von der Nullstelle liegt und die neue rechte Grenze b des Intervalls [1,5;,5] bildet. Als nächstes folgt: m 3 = a +b =1,5+,5 =1,875 und f(m 3 ) = 1,44 Nun ist der Funktionswert des neuen Mittelwerts m 3 wieder negativ, sodass die untere Grenze angepasst wird. m 4 = a 3+b 3 = 1,875+,5 =,065 und f( m 4 ) = 0,73 m 5 = a 4+b 4 =,065+,5 =,16 und f( m 5 ) = 0,7 6 - f()

7 Das Intervall lautet nun [,16;,5] und hat eine Breite von weniger als einem Zehntel. Somit ist die Nullstelle genau genug eingegrenzt. Je häufiger man die Intervallhalbierung durchführt, desto eakter kann man die Nullstelle bestimmen. Die Folge (b n - a n ) geht gegen Null und ist daher einer Nullfolge. Es gibt verschiedene Verfahren zur numerischen Nullstellenbestimmung. Meistens bietet es sich an, mit einer Tabellenkalkulation zu arbeiten. Übungen 1. Führe graphisch vier Schritte des Intervallhalbierungsverfahrens zur Bestimmung der Nullstelle der Funktion f() = - 8 im Intervall [1; 5] durch. Zeichne dafür die Funktion in ein Koordinatensystem und notiere jeweils die Mittelwerte.. Gegeben sei die Funktion f() = Bestimme die Nullstelle in dem Intervall [1;5] auf eine Nachkommastelle genau. 3. Mit Hilfe des Intervallhalbierungsverfahrens soll die dritte Wurzel von 100 auf ein Zehntel genau bestimmt werden. Überlege dir hierzu eine Funktion, deren Nullstelle genau dem gesuchten Wert entspricht. Tipp: Ein Blick auf die erste Aufgabe könnte helfen. Erstelle eine Tabelle in der du jeweils die Intervallgrenzen und Mittelwerte notierst. 7

8 A Differenzialrechnung 3 Newton-Verfahren Das Newton-Verfahren ist ein weiteres Näherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung. Dabei wird in der stetigen Umgebung der Nullstelle * ein Startwert n=0 gewählt und die dortige Steigung der Funktion bestimmt. Der Schnittpunkt der zugehörigen Tangente mit der -Achse bildet nun den nächsten Näherungswert n+1. n+1 = n f( n) f ( n ) Bestimme die Nullstelle der Funktion f() = mit dem Newton-Verfahren auf zwei Nachkommastellen genau. Verwende als Anfangswert = 3. 0 Die Berechnungsformel aus der Beschreibung zeigt dir, dass du jeweils den Funktionswert und die Steigung an der Stelle n bestimmen musst, um den nächsten Näherungswert ermitteln zu können. Dafür wird als Erstes die Ableitung gebildet: f () = 1 4 0,1 Für das anschließende Vorgehen bietet es sich an, eine Tabelle zu erstellen, in der die benötigten Werte festgehalten werden. Dabei wird der folgende (n + 1) -Wert unter Verwendung der berechneten Werte aus der vorherigen (n-ten) Spalte eben nach der obigen Formel berechnet. Man bestimmt also zunächst Funktionswert und Steigung: f( 0 =3) = = 0,416 f ( 0 =3) = 1 0,1 3= 0, Diese trägt man ein und erhält daraufhin y P 0 1 = 0 f( 0 ) f ( 0 ) =3 0,416 0,156 = 5,673 P 1 n P n 3 5,673 4,768 4,644 4, f( n ) 0,416-0,418-0,045-0,001 0,000 f ( n ) -0,156-0,46-0,36-0,348-0,348 Nullstelle Wenn du schon einmal mit einem Tabellenkalkulationsprogramm wie z.b. Microsoft Ecel oder einer ähnlichen Funktion deines Taschenrechners gearbeitet hast, ist es sinnvoll, diese auch hier zu verwenden. Bei wiederkehrenden Rechenoperationen sparst du dir viel Zeit damit. In der Tabelle sehen wir, dass bereits nach vier Verfahrensschritten keine Änderung der zweiten Nachkommastelle auftritt (rot markiert) und die Nullstelle somit ausreichend genau bestimmt wurde. 8

9 Da das Newton-Verfahren auch das Steigungsverhalten einer Funktion im Bereich der Nullstelle berücksichtigt, kann es zu schnellen Lösungen führen. Übungen 1. Gegeben sei die Funktion f() = Bestimme die Nullstelle in dem Intervall [1;5] auf eine Nachkommastelle genau, indem du einmal den Startwert 0 = 5 wählst und danach 0 = 3. Vergleiche deine Ergebnisse auch mit der Lösung von Aufgabe des Kapitels A0 (Intervallhalbierung).. In der Abbildung wird der Graph der Funktion f() = gezeigt. Skizziere darin zunächst graphisch, was in den ersten drei Schritten beim Newton-Verfahren passiert, wenn du als Startwert 0 = 1 wählst. Führe anschließend rechnerisch drei Schritte nach dem Startwert 0 = 1,5 aus. Was fällt dir auf? f() f() = Dir wird gesagt, dass du für die Funktionsgleichung f() = im Intervall [-3; 3] nach einer Nullstelle suchen sollst. Welches Problem tritt auf und warum? Wann führt das Newton-Verfahren zu keiner Lösung? 9

10 A Differenzialrechnung 4 Funktionsverkettung Zwei Funktionen u und v können auf unterschiedliche Weise miteinander verknüpft werden. Dabei gilt: v() v u(v) Zusammen ergibt dies: u v: u(v()) Die Verkettung ist allgemein nicht umkehrbar, das heißt: u v v u Gegeben ist die verkettete Funktion Verkettung an. f() = 1. Gib die Teilfunktionen u(v) und v() sowie ihre Du kennst bereits Fälle, bei denen zwei einfache Funktionen beispielsweise durch Addition miteinander verknüpft werden: h() = +3= f+ g f() = g() =3 Hier werden nun zwei Funktionen ineinander verschachtelt, man spricht auch von Verkettung. Um diese zu identifizieren, sucht man, welche Rechenoperation als Erstes mit der Variable durchgeführt wird. Es ist offensichtlich, dass zunächst quadriert und davon subtrahiert wird. Dies lässt sich bereits als eigenständige Teilfunktion schreiben: v() = Danach sieht man, dass v() im Nenner steht. Die übergeordnete Teilfunktion bildet demnach lediglich einen Bruch, in dessen Nenner eine weitere Funktion steckt: u(v) = 1 v Und so können wir die Verkettung angeben mit: f( ) =u(v()) Ein geschulter Blick erkennt schnell, wie die Funktionen verkettet sind. Insbesondere beim Ableiten in den nächsten Kapiteln wird dies von Bedeutung sein. 1. Übungen Erstelle eine Wertetabelle ( [-; ]; Schrittweite 0,5 ) mit deinem Taschenrechner für v() und u(v) aus der Beispielaufgabe und auch für ihre funktionale Verknüpfung f() = u(v()). Skizziere anschließend alle Funktionen in einem Koordinatensystem.. Bilde aus den folgenden Funktionen jeweils p() = u(v() ) und q() = v(u() ). a) u( ) = 4 5 v() = 3 b) u( ) =sin () v() = 3 c) u( ) = v() = Vereinfache die Funktion f( ) = ( sin( +1 ) 3) zu Unterfunktionen und gib ihre Verkettung an. d) u( ) =3 v() = 1 e) u( ) = 4 v() =log 4 10