Geodätische Koordinatensysteme

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1 Geodätische Koordinatensysteme Erstellt von Iwan Berger im WS 08/09 im Rahmen des Fachseminars bei Prof. Dr. Karl-Otto Linn

2 Inhalt Vorwort 3 Einleitung 4 Erde als Rotationsellipsoid 5 Kartesische Koordinaten 6 Geographische Länge und Breite 7 Ellipsoidische Koordinaten 8 Historische Referenzellipsoide 9 Bessel-Ellipsoid 9 Hayford-Ellipsoid 9 2D Koordinatensysteme 10 UTM Koordinatensystem 11 Geodätisches Datum 12 WGS 84 als geodätisches Referenzsystem 13 Referenzellipsoide im Vergleich (Tabelle) 13 Umrechnung zwischen Systemen 14 Gauß Krüger WGS Gauß Krüger UTM 15 Geoid, oder das Problem der Höhenangabe 16 Abbildungsverzeichnis 17 Quellen 18 Bücher 18 Internet 19 Homepages 19 PDF-Dateien 19 Software 20 2

3 Vorwort Schon vor vielen tausenden Jahren begannen Menschen ihre Umwelt auf Karten darzustellen. Bedingt durch die Darstellungsform (sowie das historische Weltbild) waren diese Abbildungen 2-dimensional. Doch auch heute ist die 2-dimensionale Darstellung häufig der 3-dimensionalen vorzuziehen, meist aus praktischen Gründen. So hat in den letzten Jahren die Verbreitung der Nutzung von GPS-Empfangsgeräten im privaten Bereich stark zugenommen, einfache Geräte sind schon für unter 100 EUR erhältlich. Auf den folgenden Seiten behandle ich die Frage, wie eine durch Satelliten bestimmte Position (im Weltall) auf eine 2-dimensionale Karte bzw. einen Bildschirm übertragen werden kann. Die Behandlung dieser Fragestellung fällt in das Gebiet der Geodäsie (lat. Geo=Erde; däsie=ich teile), der Wissenschaft, welche sich mit der Bestimmung der geometrischen Figur der Erde, ihres Schwerefeldes und der Orientierung der Erde im Weltraum (Erdrotation) befasst. Zu Beginn werde ich verschiedene Darstellungsformen für Positionsangaben erklären: sowohl 2-dimensionale, als auch 3-dimensionale am Beispiel des Erdkörpers. Weiterhin erläutere ich Begriffe zur Referenzierung von Positionsangaben, wie das geodätische Datum. Anschließend gehe ich auf die Besonderheiten der Umrechnung zwischen verschiedenen Koordinatensystemen ein. Zum Schluss gebe ich einen kleinen Einblick in das Problem der Höhenangabe. Viel Spaß bei der Lektüre wünscht Iwan Berger 3

4 Einleitung Folgendes Bild zeigt eine Luftaufnahme des Rhein-Main-Gebiets: Von Wiesbaden aus betrachtet könnte man die Lage der anderen Städte folgendermaßen beschreiben: - Frankfurt liegt etwa 30 km in östlicher Richtung - Mainz etwa 10 km südlich - Darmstadt etwa 30 km süd-östlich von Wiesbaden. Alternativ könnte man den Ursprung eines Koordinatensystems nach Wiesbaden legen, die Lage Frankfurts wäre dann durch die Koordinaten (30, 0) beschrieben, Mainz hätte die Lage (0, -10) und Darmstadt (30, -15). Die erste Darstellungsform entspricht Vektorkoordinaten (Betrag und Richtung) die zweite kartesischen Koordinaten (x, y). Durch die Erdkrümmung ist die 2-dimensionale Darstellung zwar verzerrt, der relative Fehler in solch kleinen Gebieten aber tolerierbar. Will man aber größere Gebiete kartieren, desto eher macht sich die wahre Gestalt der Erde bemerkbar. 4

5 Erde als Rotationsellipsoid Wie bei den meisten größeren Himmelskörpern entspricht die Erdoberfläche, bedingt durch die Fliehkraft, annähernd einem abgeplattetem Rotationsellipsoid (auch Sphäroid genannt). Eine Ellipse ist bestimmt durch die Länge ihrer großen Halbachse a und der kleinen Halbachse b. Durch Rotation um die kleine Halbachse entsteht ein Rotationsellipsoid. Der Erdkörper hat etwa folgende Ausdehnung: mittlerer Äquatorradius ~ m mittlerer Polradius ~ m (etwa 0,3 % weniger) Wobei der Äquator definiert ist als der Großkreis, welcher von beiden Polen gleich weit entfernt ist. Wobei Geographische Pole definiert sind als Schnittpunkte der Rotationsachse mit der Erdoberfläche, im Gegensatz zu den berechneten geomagnetischen Polen. (Der Äquator ist ein Breitengrad.) Der Nullmeridian ist definiert als senkrecht zum Äquator stehender und von Nord- zu Südpol verlaufender Halbkreis. (Der Nullmeridian ist ein Längengrad.) 5

6 Kartesische Koordinaten Legt man den Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems in das (Masse-) Zentrum der Erde und definiert weiterhin - die z-achse als durch Ursprung und die Pole verlaufend, - die x-achse senkrecht zur z-achse und durch den Nullmeridian verlaufend, - sowie die y-achse als senkrecht zur x- und z-achse stehend. So kann jeder mögliche Punkt eindeutig durch seine x-, y- und z-koordinaten beschrieben werden. Diese Darstellungsform der Position hat leider wenig Bezug zur menschlichen Wahrnehmung im lokalen Zenitsystem. Es ist beispielsweise schwer vorstellbar, ob ein bestimmter Punkt im Erd-Inneren, auf der Erdoberfläche oder darüber liegt. 6

7 Geographische Länge und Breite Geographische Winkelangaben ermöglichen eine für den Menschen wesentlich anschaulichere Art der Positionsdarstellung als kartesische Koordinaten. Sie bilden die Grundlage ellipsoidischer Koordinaten. Die Geographische Länge (λ) ist definiert als der Winkel (in Grad) zwischen Nullmeridian und dem Längengrad durch die darzustellende Position. Als Randbemerkung sei an dieser Stelle erwähnt, dass eine Seemeile ursprünglich als eine Winkelminute (=60te Teil eines Winkels) auf einem Großkreis (Äquator bzw. Meridian) des kugelähnlichen Erdkörpers definiert war. Die Geographische Breite (φ) beschreibt den Winkel zwischen der Lotrichtung (der Erdoberfläche) und dem Äquator. Sie wird häufig verwechselt mit der geozentrischen Breite, den Unterschied verdeutlichen die Abbildungen: Der Unterschied zwischen geographischer und geozentrischer Breite beträgt bis zu 0,19 Grad. Eine ursprüngliche Definition des Meter gibt ihn an als 10-millionsten Teil eines Meridianbogens. Die erste Präzise Messung (~1740) lag hier nur 0,022% zu kurz. Mittels geographischer Länge und Breite lassen sich Punkte auf der Oberfläche kugelähnlicher Körper eindeutig darstellen. 7

8 Ellipsoidische Koordinaten Zur Positionsangabe eines Punktes mittels ellipsoidischer Koordinaten wird eine getrennte Darstellung von Lage und Höhe verwendet. Diese Darstellungsform nennt man auch 2½ dimensional. Die Lage eines Punktes auf der Erdoberfläche (=Rotationsellipsoid) wird zunächst durch Angabe von (geographischer) Länge und Breite definiert. Die orthometrische Höhe ist nun der relative Abstand (in Lotrichtung) bezüglich des Punktes auf der Oberfläche. Diese Darstellungsform hat mehrer Vorteile gegenüber kartesischer Koordinaten. Es ist beispielsweise leicht erkennbar, ob die Lage eines Punktes nördlich oder südlich des Äquators liegt, kennt man die eigenen Koordinaten, so sind auch relative Richtungen leicht ablesbar. Auch die Höhe ist ein anschaulicher Wert, so fließt z.b. Wasser mit der Änderung orthometrischer Höhen. Zu den Besonderheiten der Höhenbestimmung verweise ich an dieser Stelle zum Kapitel Geoid. 8

9 Historische Referenzellipsoide Selbst wenn der Erdkörper ein ideales Rotationsellipsoid wäre, so wären berechnete Ellipsoidische Koordinaten nur so genau, wie die zugrunde liegenden Messungen bzw. wie gut die Realität dem mathematischen Modell gleicht. Dies erfordert zunächst ein möglichst genaues Modell der Erdoberfläche. Bessel-Ellipsoid Durch weiträumige (hauptsächlich astrogeodätische) Vermessung in Europa (auch Russland) und Indien bestimmte der als Astronom, Mathematiker und Geodät bekannte deutsche Wissenschaftler Friedrich Wilhelm Bessel ( ) den Bessel-Ellipsoid (auch Bessel 1841). Beruhend auf 38 präzisen Messungen geographischer Länge und Breite weist Bessels Modell nur etwa 700 m zu kurze Achsen verglichen mit heutigen Modellen auf ( Tabelle: Referenzellipsoide). Das Bessel-Ellipsoid bildete lange Zeit die Grundlage der Landvermessung in Europa basierten etwa 50% der Triangulationen in Europa und etwa 20% auf anderen Kontinenten auf dem Bessel Ellipsoid. Hayford-Ellipsoid Erst 1909 publizierte der US-amerikanische Geodät John Fillmore Hayford ( ) ein Ellipsoid auf Basis geophysikalischer Berechnungen. Das (an Amerika angepasste) Hayford- Ellipsoid ist nach modernen Erkenntnissen an der Äquatorachse etwa 251 m zu lang, an den Polen um 90 m zu flach. Ursache der Messunterschiede ist beispielsweise der Umstand, dass Gebirge in Eurasien hauptsächlich in Ost-West, in Amerika hingegen in Nord-Süd Richtung verlaufen ( Geoid). 9

10 2D Koordinatensysteme Nachdem ich in den vorherigen Kapiteln unterschiedliche Aspekte der 3-dimensionalen Positionsdarstellung erläutert habe, werde ich im Folgenden beschreiben, wie Positionen im Raum auf eine 2-dimensionale Darstellungsform transformiert werden. Vergleicht man die Beschriftungen der Koordinatenachsen unterschiedlicher Landkarten, so wird man feststellen, dass auch dort sowohl (ellipsoidische) Winkelkoordinaten, als auch metrische Entfernungen bezüglich des Abstands zu Äquator bzw. Nullmeridian angegeben sind. Ellipsoidische Koordinaten (in Grad) Kartesische Koordinaten (in Metern) 10

11 UTM Koordinatensystem Das Universal Transverse Mercator (UTM) System bildet eine anerkannte, weit verbreitete Methode zur konformen Abbildung des Erdellipsoid in der Ebene. Es beruht darauf, dass die Erdkrümmung zwischen 80 Süd und 84 Nord, auf Grund der geringen Ost-West-Ausdehnung, vernachlässigt werden kann. Dieser Bereich wird in 60 vertikale Streifen von jeweils 6 Längengraden (maximal 800 km Breite) aufgeteilt, um diese jeweils einzeln mittels Zylinderprojektion zu verebnen und auf kartesische Koordinaten abzubilden. Die Achsen werden mit Rechts- und Hochwert bezeichnet. Um Verzerrungen zu verringern wird an den Streifenrändern ein Maßstabsfaktor von 0,9996 angewandt, die Länge eines Meridians wird also 40 cm je km zu kurz dargestellt. Für die Polregionen wird eine eigene Projektion (Azimutalabbildung) verwendet. Analog zu UTM-Koordinaten sind die Gauß-Krüger-Koordinaten definiert, hier bilden jedoch 120 Zonenstreifen mit jeweils 3 Breite, sowie ein anderer Referenzellipsoid die Grundlage. Auch wird hier auf den Maßstabsfaktor der Ränder verzichtet, da die Verzerrungen innerhalb der Messgenauigkeit der Katasterämter liegen. Darstellungen in beiden Koordinatensysteme lassen sich durch die gleichen Abbildungsgleichungen berechen. 11

12 Geodätisches Datum Die historische Landvermessung beruht auf dem Verfahren der Triangulation bezüglich eines festgelegten Punktes, dem Fundamentalpunkt. Da sich dieser zentrale Vermessungspunkt jedoch von Land zu Land ändert, können sich Beispielsweise die Koordinaten der Grenze zweier Länder je nach Fundamentalpunkt um mehrere hundert Meter unterscheiden. Wichtige Fundamentalpunkte in Europa sind z.b. - der Rauenberg bei Potsdam (für Deutschland) - der Hermannskogel bei Wien (für Österreich, Ungarn, sowie die frühere Tschechoslowakei und Jugoslawien) - das Panthéon in Paris (für Frankreich) Fundamentalpunkt und Referenzellipsoid bilden zusammen das geodätische Datum, welches als Referenz auf den meisten Karten angegeben ist. In Deutschland wird derzeit das Potsdam-Datum (Fundamentalpunkt Rauenberg und Bessel- Ellipsoid) mit Gauß-Krüger-Koordinaten abgelöst vom geodätischen Referenzsystem ETRS89 (Ellipsoid GRS80) und UTM-Abbildung. 12

13 WGS 84 als geodätisches Referenzsystem Bei GPS (Global Positioning System) wird die Position (im Raum) mittels Satelliten und Pseudoliten (=terrestrischer Sender) ermittelt. Wie wir jetzt wissen, muss zu jeder Positionsangabe ein Bezugssystem angegeben werden. Für GPS ist dies das World Geodetic System 1984 (WGS 84). Dieses System definiert nicht nur ein geodätisches Datum sondern ferner ein gesamtes Fundamentalsystem. Es beinhaltet - einen Referenzellipsoid - einen eigenen Nullmeridian (5,31 Winkelsekunden östlich des Greenwich Meridian) - das Massezentrum der Erde (auf 2 cm genau) - die Lage der Rotationsachse - sowie einen Geoid WGS 84 bildet folglich das Bezugssystem der vom GPS-Empfänger gelieferten ellipsoidischen Koordinaten. An dieser Stelle ein kleiner Einschubbezüglich der Ausgabe der über GPS ermittelten Koordinaten über unterschiedliche Formate. Weit verbreitet ist (leider) der NMEA 0183 Standard der National Marine Electronics Association welcher ursprünglich für die Navigation von Schiffen verwendet wurde. Da diese sich (im Normalfall) stets exakt an der Wasseroberfläche befinden, war im ursprünglichen GPRMC-Datensatz kein Feld für die geographische Höhe enthalten. Durch Senden weiterer Datensätze wird diesem Umstand heute entgegengewirkt, da aber weder ein Standard für die zu übertragenden Datensätze, noch für deren Reihenfolge existiert, kocht hier jeder Geräte-Hersteller sein eigenes Süppchen. Das Erstellen herstellerübergreifender Schnittstellen artet somit aus in schwarze Magie. Glücklicherweise gibt es heute weitere Dateiformate beispielsweise das auf XML basierende GPX-Format. In Europa wird zurzeit das Europäische Terrestrische Referenzsystem 1989 (ETRS89) mit dem Referenzellipsoid (GRS 80) zur Positionsdarstellung verwendet. Die Unterschiede zu WGS 84 sind aber minimal. Referenzellipsoide im Vergleich (Tabelle) Ellipsoid Große Halbachse Kleine Halbachse WGS m m GRS m m Hayford m m Bessel m m 13

14 Umrechnung zwischen Systemen Wie in den vorherigen Kapiteln gezeigt, gibt es viele verschieden Darstellungsformen für Positionsangaben. Es gibt kartesische- und ellipsoidische Koordinaten, sowie eine Vielzahl unterschiedlicher Referenzsysteme. Da die Parameter aller Referenzsysteme auf Messwerten beruhen, welche ihrerseits Ungenauigkeiten unterliegen, können sich Fehler vorzüglich ausbreiten. Viele Umrechnungen sind so nur über Umwege durchzuführen. Referenzellipsoide können sich beispielsweise durch die Längen ihrer Halbachsen oder einen verschobenen Ursprung unterscheiden. Die Umrechnung von einem Ellipsoid zum anderen kann auf Transformationen (Skalierung, Rotation und Translation) mittels Matrizen zurückgeführt werden, ein Beispiel hierfür ist die Helmert- Transformation. Es werden 7 Parameter zur Umrechnung benötigt. Kennt man diese nicht, können sie über (mindestens 7) Referenzpunkte errechnet werden. Beispielparameter zeigt folgende Tabelle: 14

15 Gauß Krüger WGS 84 Hat man Positionen (z.b. einer Landkarte) in Gauß-Krüger-Koordinaten und möchte diese mittels der Helmert-Transformation in das von GPS verwendete WGS 84 umrechnen, so benötigt man zunächst, an der Formel erkennbar, (3-dimensionale) kartesische Koordinaten (x, y, z) bezüglich eines Referenzellipsoids A. Zu dem Rechts- und Hochwert der Gauß-Krüger-Koordinaten ist also zunächst eine verwendbare Höhe (elliptische Höhe über Bessel) zu bestimmen. Mit Lage und Höhe können nun (ellipsoidische) geographische Koordinaten (bezüglich Bessel) errechnet werden. Diese werden in kartesische Koordinaten umgerechnet, anschließend mittels der 7-Parameter (Helmert-) Transformation in Koordinaten (bezüglich WGS 84) umgeformt (wobei sich x, y und z gleichmäßig um maximal einige hundert Meter ändern). Um zu guter letzt wieder in ellipsoidische Koordinaten (bezüglich WGS 84) umgerechnet zu werden. Gauß Krüger UTM Aufgrund der Verwandtheit beider Systeme erscheint diese Umformung zunächst simpel, wird aber mangels genauer Parameter nicht verwendet. Folgende Grafik zeigt, zwischen welchen Darstellungsformen widerspruchsfrei umgerechnet (schwarz) werden können, wo durch (relativ genaue Parameter aus Messwerten) umgeformt (rot) werden kann und zwischen welchen Systemen keine direkte Transformation möglich ist. Man erkennt, dass der sicherste Weg von Gauß-Krüger zu UTM ebenfalls zunächst über die Umrechnung nach WGS 84 führt. 15

16 Geoid, oder das Problem der Höhenangabe Wie anfangs erwähnt ist der große Vorteil ellipsoidischer Koordinaten gegenüber kartesischen der hohe Bezug zur persönlichen Wahrnehmung des Menschen (z.b. dass Wasser mit orthometrischen Höhen fließt. Wasser fließt aber mit der Schwerkraft, deren Schwerefelder, durch Unregelmäßigkeiten im Erdinneren, nicht wirklich einem Ellipsoid entsprechen, eher einer Kartoffel. Die Repräsentation des Erd-Schwerefeldes durch ein Ellipsoid nennt man Geoid, aufgrund der Schwankungen wählt man eines, welches sich am besten den lokalen Gegebenheiten anschmiegt. Durch den Einfluss der Alpen liegt beispielsweise die Höhendifferenz zwischen österreichischen Geoid und europäischem Referenzellipsoid bei über 40 m. Aufgrund der Vielfältigkeit dieses Gebiets kann ich an dieser Stelle nicht genauer auf dieses Thema eingehen, es sei nur erwähnt, dass beim Vergleichen von Höhenangaben verschiedenen Ursprungs besonders auf deren Bezugspunkte zu achten ist, etwa ob Normalhöhen (senkrecht zum Ellipsoid) oder orthometrische Höhen angegeben sind und auf welchen Nullpunkt sie sich beziehen (Referenzellipsoid oder angenäherter Meeresspiegel). 16

17 Abbildungsverzeichnis S.4 Luftaufnahme Rhein-Main-Gebiet (Quelle: Google Earth) S.5 Ellipse (Quelle: ) Globus (Quelle: Google Earth) S.6 Kartesische Koordinaten (Quelle: Buch 3) S.7 Geographische Länge (Quelle: ) Geographische Breite (Quelle: ) Geozentrische Breite (Quelle: ) S.8 Ellipsoidische Koordinaten (Quelle: Buch 2) S.10 Gebiet um FH-Wiesbaden elliptisch / kartesisch (Quelle: Software TOP50 ) S.11 Zylinderprojektion (Quelle: wikipedia) Zonenstreifen (Quelle: ) Zonenraster (Quelle: ) S.12 Dreiecksnetz (Quelle: wikipedia) Fundamentalpunkt Paris (Quelle: wikipedia) S.14 Ellipsoid-Transformation (Quelle: Buch 3) S.15 Umrechnung / Umformung (Quelle: ) S.16 Geiod-Kartoffel (Quelle: ) Normalhöhe / orthometrische Höhe (Quelle: FGG Weser) 17

18 Quellen Bücher Für die Ausarbeitung habe ich folgende (in der hessischen Landesbibliothek erhältlichen) Bücher verwendet: Buch 1 Satellitenortung und Navigation: Grundlagen und Anwendung globaler Satellitennavigationssysteme Autor: Werner Mansfeld Verlag: Vieweg+Teubner; Auflage: 2., überarb. u. erg. A. (März 2004) ISBN-10: S.29ff Buch 2 GPS - Satelliten- Navigation. Technik, Systeme, Geräte, Funktion und praktischer Einsatz Autor: Frank Schrödter Verlag: Franzis Verlag GmbH (1994) ISBN-10: S.155ff Buch 3 VDV-Schriftenreihe - Der Vermessungsingenieur in der Praxis Band 19 (Ausgesuchte und teilweise überarbeitete Vorträge des GPS-Seminars 2000 des Arbeitskreises GPS im Bildungswerk des VDV) GPS-Referenzstationsdienste GPS-Antennen - Koordinatensysteme und Transformationen Autor: Rolf Bull Verlag: Chmielorz (September 2001) S.142ff, Asim Bilajbegovic, Dresden: Koordinatensysteme und Transformation 18

19 Internet Homepages -> Wikipedia -> GIS-wiki -> Ottmar Labonde - Zum Begriff Kartendatum und -> Stefan s Sammelsurium -> Armed and Dangerous» Blog Archive» Why GPSes suck, and what to do about it Welt der Geowissenschaften PDF-Dateien -> FGG Weser - Ein Überblick über wichtige Lage- und Höhensysteme -> UTM-AbbildungenundKoordinaten -> FGG Weser - Ein Überblick über wichtige Lage- und Höhensysteme -> UTM-AbbildungenundKoordinaten 19

20 Software Software TOP50 Hessen -> vom Landesvermessungsamt Hessen bzw. Geogrid (r)-viewer Dornier GmbH Friedrichshafen (erhältlich in der Hessischen Landesbibliothek) Google Earth für Luftaufnahmen Sowie Microsoft Word für das Layout der Ausarbeitung. 20