Übungsaufgaben. Klausureinsicht:

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1 Übungsaufgaben 1. Übung SS 17: + Zusatzaufgabe, s. Homepage Dr. Vanselow 2. Übung SS 17: Woche vom Heft Ü 3: 5.2.1; 5.2.3; ; ; (+ Zusatzaufgabe, s. Homepage Dr. Vanselow) Klausureinsicht: Mo, , ca Uhr, WIL C 307

2 Lineare Abbildungen (Buch, Kap. 4.5) Def. 4.31: Seien V und W Vektorräume über dem Körper K. Eine Abbildung f : V W f heißt linear, wenn für beliebige x, y V und λ K f(x + y) = f(x) + f(y) f(λx) = λf(x) gilt. Die lineare Abbildung f wird auch Homomorphismus genannt. Ist f eine bijektiver Homomorphismus, so heißt f Isomorphismus. Gilt speziell W = K, so heißt die lineare Abbildung f lineares Funktional.

3 Die Linearität der Drehung y f(x )+f(x ) 1 2 f(x ) 1 x +x 1 2 x 2 f(x ) 2 α x 1 x Abbildung 4.11: Linearität der Drehung der x-y-ebene

4 Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung Satz 4.20: Seien V, W endlichdimensionale Vektorräume mit Basen (v 1,..., v n ) bzw. (w 1,..., w m ). Weiter sei f : V W eine lineare Abbildung. Dann existiert genau eine Matrix A = (a ij ) K m n, so dass f(v j ) = m a ij w i, j = 1,..., n. i=1 A heißt die Abbildungsmatrix oder Darstellungsmatrix von f bezüglich der Basen (v 1,..., v n ) und (w 1,..., w m ).

5 Sei A Darstellungsmatrix von f : V W bezüglich der Basen (v 1,..., v n ) und (w 1,..., w m ). Weiter sei x = (x 1,..., x n ) der Koordinatenvektor von v bzgl. der Basis (v 1,..., v n ), d.h. v = n x j v j. j=1 Dann ist y := Ax der Koordinatenvektor von f(v) bzgl. der Basis (w 1,..., w m ), d.h. m f(v) = y i w i. i=1

6 Komposition linearer Abbildungen Auch: Die Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen Definition: Gegeben seien zwei lineare Abbildungen f A : K p K n und f B : K n K m. Die Komposition von f A und f B (f A die innere Abb., f B die äußere ) K p K m f B f A : x f B (f A (x)) ist (wieder) eine lineare Abbildung mit der Darstellungsmatrix BA, d.h., f BA = f B f A.

7 Ein illustrierendes Beispiel Wir betrachten einen 2-stufigen Produktionsprozeß Rohst.: Stufe 1 Halbf.: Stufe 2 Endpr. H 1 H 2 H 3 E 1 E 2 R 1 0,4 0,4 0,3 H R 2 0,2 0,5 0,2 H R 3 0,4 0,1 0,3 H R ,2 } {{ } =:A Die Abbildungen EP L B HF L A RS sind linear! } {{ } =:B (RS): r = A h h (HF) = B e e :(EP)

8 Die Komposition L C := L A L B Gesamtverflechtungsmatrix ist gegeben durch die C = A B, r = A h = A (B e) = (A B) e = C e 0, 4 0, 4 0, 3 0, 2 0, 5 0, 2 0, 4 0, 1 0, , =

9 Kern einer Matrix bzw. einer linearen Abb. Def. 4.32: Sei A K m n. Dann heißt ker A := {x K n Ax = o} Kern der Matrix A. Sei f : V W eine lineare Abbildung. Dann heißt (analog) ker f := {v V f(v) = o} Kern der linearen Abbildung f.

10 Zusammenhang zwischen ker f und ker A Sei f : V W eine lineare Abbildung, A die Darstellungsmatrix von f bezüglich der Basen (v 1,..., v n ) aus V und (w 1,..., w m ) aus W. Dann gilt ker f = { n x j v j Ax = o}. j=1

11 Bild von Matrizen bzw. linearer Abb. Def. 4.33: Sei A K m n. Dann heißt Bild der Matrix A. im A := {Ax x K n }. Sei f : V W eine lineare Abbildung. Dann heißt Bild der linearen Abbildung f. im f := f(v ) := {f(v) v V } Sei A Darstellungsmatrix von f : V W bezüglich der Basen (v 1,..., v n ) und (w 1,..., w m ). Dann gilt im f = {w = y 1 w y m w m y = Ax, x K n }.

12 Rang einer linearen Abbildung Def. 4.34: Sei f : V W eine lineare Abbildung mit dim W <. Dann heißt Rang von f. rg f := dim(im f) Satz 4.21 (Rangkriterium bzw. auch: Dimensionssatz): Seien V, W endlichdimensionale Vektorräume und f : V W eine lineare Abbildung. Dann gilt rg f + dim(ker f) = dim V.

13 Der Differentiationsoperator in P 2 [x] Der Operator D : p( ) p ( ) (jedem Polynom max. 2. Grades wird seine Ableitung als Funktion zugeordnet) ist ein linearer Operator in P 2 [x]: wegen (a) (f + g) = f + g, (Summenregel) und (b) (cf) = cf (konst. Faktor) Weiter gilt offensichtlich: p P 2 [x] p P 2 [x], d.h., D : P 2 [x] P 2 [x] (D ist linearer Operator auf P 2 [x]). Frage: Wie sieht die Darstellungsmatrix von D aus bzgl. der Standardbasis (d.h., sowohl Urbildbereich als auch Bildbereich sind mit der Standardbasis versehen)?

14 Trafo der Darstellungsmatrix beim Basiswechsel Seien B K n n und C K m m Matrizen eines Basiswechsels, d.h., ṽ j = n k=1 b jkv k j = 1,..., n, w i = m k=1 c ikw k i = 1,..., m. (i) Sei x der Koordinatenvektor von v bezüglich der Basis (v 1,..., v n ) und x der Koordinatenvektor von v bezgl. der Basis (ṽ 1,... ṽ n ). Dann gilt x = (B ) 1 x. (ii) Sei f : V W linear und A die darstellende Matrix von f bezüglich (v 1,..., v n ) und (w 1,..., w m ). Dann ist à := (C ) 1 AB die darstellende Matrix von f bezgl. (ṽ 1,..., ṽ n ) und ( w 1,..., w m ).

15 Orthogonal- und Orthonormalsysteme Seien V ein Vektorraum mit Skalarprodukt, und v 1,..., v n Vektoren aus V \ {o}. Sind diese Vektoren paarweise orthogonal, gilt also v i, v j = 0 (i j), so heißt (v 1,... v n ) Orthogonalsystem. Gilt zusätzlich v i := v i, v i = 1 (i = 1,..., n), dann spricht man von einem Orthonormalsystem. Ist (v 1,... v n ) eine Basis von V, so wird das System dann Orthogonalbasis bzw. Orthonormalbasis genannt.

16 Orthogonalisierungsverfahren nach Schmidt Seien V ein Vektorraum mit Skalarprodukt, und (v 1,..., v n ) ein System linear unabhängiger Vektoren aus V. Weiter sei :=, e 1 := v 1 v 1 Für r := 2,..., n setze ẽ r := v r r 1 k=1 < v r, e k > e k und e r := ẽr ẽ r (e 1,..., e n ) bildet ein Orthonormalsystem und es gilt lin(e 1,..., e n ) = lin(v 1,..., v n ).

17 Beispiel zur Orthogonalisierung im R 2 Geg.: b 1 = (1, 1) T, b 2 = (2, 1) T, b 1, b 2 0 e 1 = b 1 / b 1 = 1 ( ) 1, ẽ 2 = b 2 b 1, e 1 e 1, 2 1 ( 2 1 ) ( ( 2 1), 1 ( ) ( ) 1) = 1 ( ) 1 = Skalierung: e 2 = 1 ( ) 1, Probe: e 1, e 2 = ( ) 1 1