Verlauf Material LEK Glossar Lösungen. Vom Mittelwert zur Ausgleichsgeraden interessante Entdeckungen bei eigenen statistischen Erhebungen

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1 Reihe 5 S 1 Verlauf Material Vom Mittelwert zur Ausgleichsgeraden interessante Entdeckungen bei eigenen statistischen Erhebungen Dr. Ulrich Rasbach, Asbach Foto: Pixelio Ein Zeppelin hat die Form einer Zigarre genauso wie eine Punktwolke, deren Merkmale voneinander abhängig sind! Klasse 10 und 11 Dauer Inhalt Ihr Plus 8 Stunden Statistische Erhebung, arithmetisches Mittel, Minimalitätseigenschaft der Ausgleichsgeraden, Analogiebetrachtungen zu Mittelwert und Ausgleichsgeraden Auswertung von Daten aus Ihrer Lerngruppe Alternativ: Urliste mit Beispieldaten auf CD-ROM 31 Haben große Leute eigentlich große Füße? Wie stark zwei Merkmale voneinander abhängen, ist grafisch an der Form einer Punktwolke zu erkennen: Je mehr die Punktwolke einer Zigarre mit erkennbarer Längsachse gleicht, desto stärker ist vermutlich die Abhängigkeit der beiden Merkmale. Verblüffend sind außerdem die Analogien zwischen Mittelwert und Ausgleichsgeraden.

2 Reihe 5 S 2 Verlauf Material Didaktisch-methodische Hinweise Der Mittelwert im Sinne des arithmetischen Mittels ist den meisten Schülerinnen und Schülern bekannt, wenngleich seine besonderen Eigenschaften in der Sekundarstufe I nur selten Thema des Unterrichts waren. Hier setzen die vorliegenden Materialien an. Anhand des Mittelwertes, der ein Ergebnis bei der quantitativen Auswertung zu einem Merkmal ist, werden die Summe der Abstände der Datenpunkte zum Mittelwert und die Summe der Quadrate dieser Abstände untersucht. Die hierbei gewonnenen Erkenntnisse können dann direkt auf die Ausgleichsgerade, die ein Ergebnis bei der quantitativen Auswertung zweier Merkmale ist, übertragen werden. Die Interpretation von linearen und quadratischen Funktionsgleichungen im Hinblick auf Verschiebung und Minimalitätseigenschaften ist der Schlüssel zur Entdeckung der Analogien zwischen Mittelwert und Ausgleichsgeraden. Ferner ist die anschauliche Bedeutung der Abstandsquadrate immer wieder Thema und das direkte Nachmessen ihrer Flächen wird zur Erkenntnisgewinnung genutzt. Durchführung der Unterrichtseinheit Wiederholen Sie zunächst lineare und quadratische Funktionen (M 1). Dabei geht es insbesondere darum, aus der Funktionsgleichung auf die Lage des Graphen in einem Koordinatensystem zu schließen. Danach haben Sie zwei Möglichkeiten: Möglichkeit 1 Klären Sie zunächst die Begrifflichkeiten zur Planung und Durchführung einer statistischen Erhebung (M 2). Auf dieser Grundlage lassen Sie die Schülerinnen und Schüler ihre eigene statistische Erhebung durchführen und die Daten in einer Urliste notieren (M 3). Hierdurch haben die Schülerinnen und Schüler eigene, echte Daten, auf die sie in den weiteren Unterrichtsstunden immer wieder zurückgreifen. Um die gesammelten Daten auszuwerten, zeichnen die Schülerinnen und Schüler verschiedene Diagramme (M 4). Sie bestimmen den Mittelwert und zeichnen seine Lage in die Diagramme ein. Wird statt der absoluten oder relativen Häufigkeit die Merkmalsausprägung auf der Hochachse abgetragen, so entsteht eine Punktwolke (M 5). Lassen Sie die Lernenden auch hier den Mittelwert eintragen. Übertragen Sie das Gelernte dann auf zwei Merkmale (M 6). Hier sind eventuelle Abhängigkeiten zwischen den Merkmalen von Interesse. Hier wird deutlich, dass der kritische Umgang mit statistischen Daten und insbesondere deren Interpretation sehr viel Sorgfalt erfordern. Die Gerade, die den Datenpunkten einer Punktwolke am besten angepasst ist, heißt Ausgleichsgerade. Lassen Sie die Schülerinnen und Schüler diese Ausgleichsgerade bestimmen (M 7 und M 8). Sie messen die Abstände der Datenpunkte von der Ausgleichsgeraden und berechnen die Summe der Abstandsquadrate (M 9). Die Ausgleichsgerade ist diejenige Gerade, die diese Summe minimiert. Leiten Sie am Schluss eine Formel für diese Summe her, die die Varianzen für X und Y und die Kovarianz enthält. Möglichkeit 2 Auf der CD-ROM 31 finden Sie Beispieldaten für eine Urliste. Diese können Sie verwenden, wenn die Zeit knapp ist und Sie keine eigene Erhebung in der Klasse durchführen wollen. Auf diese Urliste beziehen sich auch die Beispieldiagramme der Materialien M 4, M 5 und M 6, die Sie ebenfalls auf der CD-ROM 31 vorfinden. So gelangen Sie sehr schnell zur Punktwolke und zu den Analogien zwischen Mittelwert und Ausgleichsgeraden.

3 Reihe 5 S 5 Verlauf Material Ein Merkmal auswerten Material M 4 M 5 Thema Jetzt geht es zur Sache: Auswertungen Häufigkeitsdiagramme erstellen und den Mittelwert eintragen Wer hat die meisten Geldstücke? Neues vom Mittelwert Ein Punktdiagramm zeichnen und den Abstand der Punkte vom Mittelwert einzeichnen Zwei Merkmale gleichzeitig auswerten Material M 6 M 7 M 8 Übungen Thema Haben große Leute große Füße? Die Punktwolke und ihr Mittelpunkt Eine Punktwolke zeichnen und den Datenschwerpunkt einzeichnen Die Ausgleichsgerade mitten drin Zu vier Punkten die Ausgleichsgerade finden Die Ausgleichsgerade Lösungsbeispiele Folienvorlage zu M 7 Die Lage der Ausgleichsgeraden anschaulich begründen Material M 9 M 10 Thema Die Ausgleichsgerade näher betrachtet Die Summe der Abstandsquadrate für die Ausgleichsgerade berechnen Für Experten die Summe der Abstandsquadrate Eine Formel für die Abstandsquadrate herleiten Dauer Setzen Sie alle Materialien in vorgesehener Weise (Durchführung einer eigenen Erhebung in der Klasse) ein, so werden acht Stunden benötigt. Minimalplan Verwenden Sie die Beispieldaten von CD-ROM 31 (Urliste mit Beispieldaten und dazugehörige Lösungsdiagramme), so müssen die Lernenden die Aufgaben zur konkreten Erhebung auf M 4 bis M 7 nicht bearbeiten. Dann benötigen Sie vier Stunden.

4 S 1 M 1 Alles noch frisch? Graphen zeichnen Graphen auf Wanderschaft aus einer Funktionsgleichung können Sie einiges ablesen 1. Zeichnen Sie die Graphen zu folgenden Funktionsgleichungen. Vergleichen Sie die Lage der Graphen aus b) bis f) mit dem aus a). Was stellen Sie fest? a) y = 1 2 x d) (y 1) = 1 2 x b) y = 1 2 (x 2) e) (y + 2) = 1 2 x c) y = 1 2 (x + 3) f) (y 2) = 1 2 (x + 3) 2. Zeichnen Sie die Graphen zu folgenden Funktionsgleichungen. Vergleichen Sie die Lage der Graphen aus b) bis f) mit dem aus a). Was stellen Sie fest? a) y = 1 2 x2 d) (y 1) = 1 2 x2 b) y = 1 2 (x 2)2 e) (y + 2) = 1 2 x2 c) y = 1 2 (x + 3)2 f) (y 2) = 1 2 (x + 3)2 3. Die Beobachtungen in Aufgabe 1 und 2 legen die folgenden Regeln nahe. Vervollständigen Sie die Sätze. a) Ersetzt man in einer Funktionsgleichung x durch (x u), so wandert der Graph um Einheiten nach. b) Ersetzt man in einer Funktionsgleichung x durch (x + u), so wandert der Graph um Einheiten nach. c) Ersetzt man in einer Funktionsgleichung y durch (y u), so wandert der Graph um Einheiten nach. d) Ersetzt man in einer Funktionsgleichung y durch (y + u), so wandert der Graph um Einheiten nach. Warm-up zur Parabel 4. Notieren Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes der Parabeln aus Aufgabe 2. Was fällt Ihnen auf? 5. Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes von y = 3x 2 + 5x + 7. Tipp Verwenden Sie die quadratische Ergänzung. Aufgabe für Experten Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes von y = ax 2 + bx + c.

5 S 2 M 2 Die statistische Erhebung wie funktioniert denn das? Führen Sie eine Befragung Ihrer Mitschülerinnen und Mitschüler durch. Notwendige Begriffe In Ihrer Erhebung sind die Schülerinnen und Schüler die Merkmalsträger. Es werden verschiedene Merkmale (Geschlecht, Schuhgröße, Größe in cm...) untersucht und die Merkmalsausprägungen (weiblich/männlich, 37/38/39, 167/168/169/170...) in eine Urliste geschrieben. Alle Merkmalsträger zusammen bilden die Grundgesamtheit. Ausgewählte Merkmalsträger bilden die Stichprobe. Der Stichprobenumfang ist die Anzahl der Merkmalsträger in der Stichprobe. Die konkreten Antworten oder Messergebnisse nennt man Stichprobenwerte. Zur Auswertung einer statistischen Erhebung benutzt man Häufigkeitsverteilungen. Man ermittelt die absolute oder die relative Häufigkeit der jeweiligen Merkmalsausprägung (relative Häufigkeit = absolute Häufigkeit / Stichprobenumfang). Die grafische Darstellung der Auswertung erfolgt durch ein Diagramm (Säulendiagramm, Punktdiagramm, Kreisdiagramm oder Ähnliches). Aufgaben 1. Füllen Sie den Erhebungsbogen unten aus und trennen ihn ab. Dieser wird eingesammelt und ausgewertet. 2. Beantworten Sie folgende Fragen: a) Wie viele Schülerinnen und Schüler bilden die Grundgesamtheit? b) Wie groß ist der Stichprobenumfang bei dieser statistischen Erhebung? Erhebungsbogen Tipps Wenn Sie den Wochentag Ihrer Geburt nicht wissen, können Sie ihn im Internet unter errechnen lassen. Die Ruhepulsfrequenz messen Sie so: Legen Sie Zeige- und Mittelfinger etwa 2 bis 3 cm direkt unter der Daumenwurzel an die Innenseite Ihres Handgelenks und zählen Sie, wie viele Schläge in einer Minute spürbar sind. Geschlecht Wochentag der Geburt Größe [cm] Anzahl CDs zu Hause Ruhepulsfrequenz Schuhgröße anderes Merkmal

6 S 4 M 4 Jetzt geht es zur Sache: Auswertungen Schätzen Sie einmal: Was ist die durchschnittliche Körpergröße aller Mitglieder Ihrer Klasse? Beispiel In der hier dargestellten Erhebung sei der Stichprobenumfang n = 30 und das untersuchte Merkmal die Körpergröße in cm. 1. Berechnen Sie die Summe der absoluten und die Summe der relativen Häufigkeiten aus der Tabelle unten. Was fällt Ihnen auf? 2. Zeichnen Sie ein Säulendiagramm für die absoluten Häufigkeiten. 3. Berechnen Sie den Mittelwert der Körpergröße in cm und markieren Sie ihn in Ihrem Diagramm aus Aufgabe 2. Was fällt Ihnen auf? (Tipp: Hebelgesetz) Größe [cm] Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit /30 = 0,03 = 3 % /30 = 0,1 = 10 % /30 = 0,07 = 7 % /30 = 0,27 = 27 % /30 = 0,17 = 17 % /30 = 0,37 = 37 % Aufgaben Betrachten Sie nun Ihre selbst erstellte Urliste. 4. In der Urliste M 3 wurden die (konkreten) Stichprobenwerte gesammelt. Der Stichprobenumfang beträgt. 5. Fertigen Sie für jedes Merkmal eine Tabelle an, in der die Merkmalsausprägungen zusammen mit den absoluten und den relativen Häufigkeiten dargestellt werden. 6. Erstellen Sie für ein ausgewähltes Merkmal ein Säulendiagramm, ein Punktdiagramm und ein Kreisdiagramm. Nennen Sie Vor- und Nachteile des jeweiligen Diagrammtyps. 7. Überprüfen Sie, bei welchen Merkmalen Ihrer Urliste ein Mittelwert (arithmetisches Mittel) berechnet werden kann. 8. Berechnen Sie den Mittelwert eines ausgewählten Merkmals. Prüfen Sie, bei welchem Diagrammtyp der Mittelwert eingezeichnet werden kann. 9. Zeichnen Sie den Mittelwert in ein geeignetes Diagramm und beschreiben Sie seine besondere Lage.

7 S 5 M 5 Wer hat die meisten Geldstücke? Neues vom Mittelwert Was bislang geschah Beim Punktdiagramm und Säulendiagramm haben Sie die Merkmalsausprägungen auf der Rechtsachse und die zugehörigen absoluten oder relativen Häufigkeiten auf der Hochachse abgetragen. Der Mittelwert war somit ein Punkt auf der Rechtsachse. Jetzt neu Die einzelnen Merkmalsträger (statt der Namen können Sie auch einfach Nummern zur Wahrung der Anonymität verwenden) werden auf der Rechtsachse, die zugehörige Merkmalsausprägung auf der Hochachse abgetragen. Hierdurch ergibt sich ein anderes Bild, das anders interpretiert werden muss! Aufgabe Von vier Personen wurde die Anzahl der Eurostücke in ihrem Geldbeutel (Merkmal Y) untersucht. Es ergab sich folgende Urliste mit den Merkmalsausprägungen y 1, y 2, y 3, y 4 : Name der Person [Nummer] Alina [1] Kim [2] Max [3] Maik [4] Anzahl der Eurostücke a) Zeichnen Sie ein Punktdiagramm. Tragen Sie dazu die Namen oder Nummern der Befragten auf der Rechtsachse ab (Abstand jeweils 3 cm). Auf der Hochachse wählen Sie als Einheit jeweils 2 cm. Tragen Sie die Anzahl der Eurostücke als Punkte in Ihr Diagramm ein. b) Zeichnen Sie den Mittelwert y als Gerade ein. c) Zeichnen Sie die Abstände der Punkte von der Geraden im Diagramm ein und messen Sie deren Länge. Dabei werden die Abstände für Punkte oberhalb (unterhalb) der Gerade positiv (negativ) gerechnet. Bestätigen Sie, dass gilt: 1 4 [(y y ) + (y y ) + (y y ) + (y y )] = d) Zeigen Sie rechnerisch mithilfe der Scheitelpunktsform, dass (y 2 t) 2 + (y 4 t) 2 minimal ist für t = y. e) Bestätigen Sie die Erkenntnis aus d) auch geometrisch, indem Sie die Flächeninhalte geeigneter Quadrate betrachten und vergleichen. Aufgabe für Experten Erweitern Sie die Aufgaben d) und e) auf alle Einträge in der Urliste oben. f) Formulieren Sie eine Vermutung zur Lage des Mittelwertes: Der Mittelwert in einem Punktdiagramm liegt so, dass die Null ergibt. Der Mittelwert in einem Punktdiagramm liegt so, dass die minimal ist. Überprüfen Sie Ihre Vermutung auch an einem konkreten Merkmal aus der Urliste M 3.

8 S 6 M 6 Haben große Leute große Füße? Die Punktwolke und ihr Mittelpunkt Was bislang geschah Sie haben bisher stets ein Merkmal untersucht. Bei der Auswertung haben Sie ein Häufigkeitsdiagramm erstellt oder Merkmalsträger per Namen oder als laufende Nummer dem jeweiligen Wert der Stichprobe gegenübergestellt. Jetzt neu Im Folgenden untersuchen Sie nun zwei Merkmale gleichzeitig, wobei insbesondere deren Abhängigkeit voneinander von Interesse ist. So zum Beispiel Haben große Leute große Füße? oder Stimmt es, dass Leute mit niedriger Pulsfrequenz viele CDs haben? Hierzu tragen Sie das eine Merkmal auf der Rechtsachse und das andere Merkmal auf der Hochachse auf. Das Diagramm, das so entsteht, ist eine sogenannte Punktwolke. Anhand der Form der Punktwolke kann man auf eventuelle Abhängigkeiten der betrachteten Merkmale schließen. Aufgaben Von vier Merkmalsträgern mit den Nummern 1, 2, 3 und 4 wurden zwei Merkmale X und Y mit den Merkmalsausprägungen x 1, x 2, x 3, x 4 und y 1, y 2, y 3, y 4 untersucht: Name der Person [Nummer] Alina [1] Kim [2] Max [3] Maik [4] Merkmal X Merkmal Y Zeichnen Sie die zu dieser Urliste gehörende Punktwolke in ein geeignetes Diagramm. 2. Bestimmen Sie x und y und tragen den Punkt ( x y ) im Diagramm aus Aufgabe 1 ein. 3. Beschreiben Sie die besondere Lage des Punktes ( x y ). 4. Man nennt den Punkt ( x y ) auch Datenschwerpunkt oder Mittelpunkt der Punktwolke. Begründen Sie mithilfe der Abstände (x 1 x ), (x 2 x ), (x 3 x ) und (x 4 x ) einerseits sowie (y 1 y ), (y 2 y ), (y 3 y ) und (y 4 y ) andererseits, dass dieser Name gerechtfertigt ist. 5. Zeichnen Sie für drei verschiedene Kombinationen von Merkmalen aus Ihrer Urliste von M 3 eine Punktwolke. Hat Ihre Punktwolke eine erkennbare Zigarrenform (Längsachse)?

9 S 8 M 8 Die Ausgleichsgerade Lösungsbeispiele

10 S 9 M 9 Die Ausgleichsgerade näher betrachtet Zur Erinnerung: Die Gerade, die den Datenpunkten einer Punktwolke am besten angepasst ist, heißt Ausgleichsgerade. Aufgaben 1. Erklären Sie, warum die Ausgleichsgerade durch den Datenschwerpunkt ( x y ) verlaufen sollte. 2. Begründen Sie, dass alle Geraden mit der Steigung m, die durch den Datenschwerpunkt ( x y ) verlaufen, gegeben sind durch y = m (x x ) + y. 3. r i bezeichnet den vertikalen Abstand der Punkte P i von der Geraden. a) Zeigen Sie, dass für die Daten aus M 7 die folgende Gleichung gilt, wenn die konkrete Geradengleichung verwendet wird, bei der nur m ein freier Parameter ist: r 1 + r 2 + r 3 + r 4 = 20 (m 1) b) Begründen Sie, dass die Gerade mit der Steigung m = 1, die durch ( x y ) verläuft, die Summe der Abstandsquadrate (r 1 + r 2 + r 3 + r 42 ) minimiert. 4. Zeichnen Sie das Diagramm aus M 7 sauber ab und tragen Sie dort den Datenschwerpunkt sowie die Ausgleichsgerade ein. Zeichnen Sie sowohl die Abstände r i als auch 2 die Abstandsquadrate r i (i = 1, 2, 3, 4) für jeden Datenpunkt ein. 5. Berechnen Sie auch den Term r 1 + r 2 + r 3 + r 4 für die Ausgleichsgerade, die zu den Datenpunkten aus M 7 gehört. 6. Zeigen Sie Analogien zwischen Mittelwert und Ausgleichsgerade auf. Fertigen Sie hierzu eine Tabelle an. Information Die Ausgleichsgerade heißt auch Regressionsgerade. Die Regression beantwortet die Frage: Welche Steigung passt zur Punktwolke? Der sogenannte Korrelationskoeffizient k c XY = 1 ( VXVY ) 2 beantwortet die Frage: Wie gut beschreibt die Steigung die Punktwolke? Je näher k an 1 liegt, desto besser ist die Korrelation. Die Definitionen finden Sie auf Material M 10.

11 S 10 M 10 Für Experten die Summe der Abstandsquadrate Die folgenden Aufgaben sind besonders anspruchsvoll. Können Sie diese knacken? Aufgabe 1 Zeigen Sie, dass für vier Datenpunkte und die zugehörige Ausgleichsgerade folgende Gleichung gilt: 1 4 (r r r 3 + r 42 ) = V Y 2 m c XY + m 2 V X (*). Hierbei ist m die Steigung der Regressionsgeraden. Varianzen für X bzw. für Y und Kovarianz Setzen Sie folgende Ausdrücke für die Variablen V X, V Y und c XY ein: V X = 1 4 [(x 1 x )2 + (x 2 x ) 2 + (x 3 x ) 2 + (x 4 x ) 2 ] bzw. V Y = 1 4 [(y 1 y )2 + (y 2 y ) 2 + (y 3 y ) 2 + (y 4 y ) 2 ] c XY = 1 4 [(x 1 x ) (y 1 y ) + (x 2 x ) (y 2 y ) + (x 3 x ) (y 3 y ) + (x 4 x ) (y 4 y )] V X und V Y heißen Varianzen für X bzw. für Y, c XY heißt Kovarianz. Aufgabe 2 Die Gleichung (*) aus Aufgabe 1 ist eine Parabel mit der Variablen m. Somit kann man sie auf Scheitelpunktsform bringen. Versuchen Sie es einmal! So können Sie Ihr Ergebnis überprüfen: Mithilfe der Scheitelpunktsform erkennen Sie, dass die Steigung der Ausgleichsgeraden cxy gegeben ist durch a =. Das bedeutet, dass die Ausgleichsgerade V X cxy y = V (x x ) + y die Summe der Abweichungsquadrate minimiert. X

12 S 1 Lösungen und Tipps zum Einsatz M 1 Alles noch frisch? Graphen zeichnen Setzen Sie dieses Material zur Wiederholung der benötigten Vorkenntnisse ein: Die Schülerinnen und Schüler üben, wie man aus einer Funktionsgleichung auf die Lage des Graphen im Koordinatensystem schließt. Aufgabe 1 Die Geraden zu den Funktionsgleichungen Besprechen Sie mit Ihren Schülerinnen und Schülern, dass man eine Verschiebung der Geraden aus a) parallel zur x-achse nicht unterscheiden kann von einer Verschiebung parallel zur y-achse. So liefert die Gleichung y = 1 (x 2) eine Verschiebung der Geraden mit y = 1 2 x um 2 Einheiten nach rechts. Die äquivalente Gleichung (y + 1) = 1 2 x 2 hingegen kann man als eine Verschiebung der Geraden mit y = 1 x um 1 Einheit nach unten deuten. Das Resultat ist in beiden Fällen identisch. 2 Im Hinblick auf Aufgabe 3 könnte eine Sicherung so aussehen: b) Die Gerade zu y = 1 2 (x 2) ergibt sich aus y = 1 x durch Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts. 2 c) Die Gerade zu y = 1 2 (x + 3) ergibt sich aus y = 1 x durch Verschiebung um 3 Einheiten nach links. 2 d) Die Gerade zu (y 1) = 1 2 x ergibt sich aus y = 1 x durch Verschiebung um 1 Einheit nach oben. 2 e) Die Gerade zu (y + 2) = 1 2 x ergibt sich aus y = 1 x durch Verschiebung um 2 Einheiten nach unten. 2