Mathematik 12. Jahrgangsstufe - Hausaufgaben

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1 Version:. November Mathematik. Jahrgangsstufe - Hausaufgaben Inhaltsverzeichnis Integralrechnung.5 Kurvendiskussion und Integralrechnung Flächenberechnung. Stammfunktionen Stammfunktion F x) nachweisen Werte eines Integrals Integralfunktionen integralfrei Wert eines Integrals berechnen Flächenberechnungen 5. Flächenstück innerhalb zweier Funktionen Graphen skizzieren und Fläche berechnen Scharparameter Graph skizzieren und komplexe Flächen Integral und natürlicher Logarithmus Integral als Flächenbilanz Kurvendiskussion & Krümmung 9. Wende- und Terrassenpunkte von Graphen Kurvendiskussion Eigenschaften von Graphen Weitere Eigenschaften von Funktionen 5. Anspruchsvolle Integrale Weitere anspruchsvolle Integrale Noch anspruchsvollere Integrale Verkettung von Funktionen und deren Graphen Funktionenschar und Integral Kurvendiskussion bei einfach zusammengesetzten e Funktionen Anwendung der Differentialrechnung 8 6. Vergleich verschiedener verknüpfter Funktionen Optimierungsaufgaben 9 7. Fläche eines Trapez Maximum-Likelihood-Schätzung

2 Version:. November Integralrechnung.5 Kurvendiskussion und Integralrechnung x) x + x f x) Nullstellen der Funktion f x) sind Schnittpunkte mit der x-achse f x) x x ) x ; x ; x 5 Nullstellen der Integralfunktion ˆ x f t)dt Zum Zeichnen von G f Nullstellen der Ableitungsfunkion f x) sind waagrechte Tangenten f x) x x / ± Koordinaten der Extrema ± f ± )) {, 7, 6), 7, 6) Punktsymmetrie bzgl. Ursprung da f x) x) immer ˆ f t)dt ) wegen Symmetrie ) ansonsten immer positiv da ] ; ] integrieren wir in negative x-achse und Graph unterhalb x Achse ] ; ] integrieren wir in positive x-achse und Graph oberhalb x Achse ]; ] wegen Symmetrie, identische Flächen ]; [ integrieren wir in positive x-achse und Graph oberhalb x Achse Flächenberechnung. Stammfunktionen a) x x b) x x c) sin x d) t t e) x f) x x g) e t t h) cos x Beachte x x n n z.b. x x x x, bzw. allg n x x n. Stammfunktion F x) nachweisen a) Kettenregel b) Produktregel F x) 6 x x) x 6 x F x) ln x + x x ln x ln x) x x+ x + ) und dann mit Kettenregel ist eleganter.

3 Version:. November c) Produktregel F x) e x x ) + e x x e x d) Kettenregel & Quotientenregel F x) x + ) x + ) x + ) x + ) x + ) x + ) + x + ) x + x + ).5 Werte eines Integrals a) sin π b) x sin π sin x ) ) ) ) Integralfunktionen integralfrei c) u steht für x. c) t ) 8 d) e x e e) ln t e ln + f) t x x x ) a log a a & ln... log e... log a a G u) ˆ u 5x x dx 5 x5 5 x u 5 u u d)! u u u K x) ˆ x u udu u u x x ) x ) ) K x) x x +.9 Wert eines Integrals berechnen a) ˆ x ) [ x dx x ] ) ) 8 7

4 Version:. November b) Ist die Potenz im Nenner, so bietet sich folgendes Potenzgesetz an x n x n. ˆ x + x ) dx [ x x ] ) ) ) ) ) 9 8 c) ˆ,5 t + ) t + dt [ x + ) 6 8 ] t + t, , 5 )

5 Version:. November Flächenberechnungen. Flächenstück innerhalb zweier Funktionen Schnittpunkte berechnen f x) gx) x, 5x + x +, 5, 5x +, 5 x 9 x / ± Fläche berechnen Â ˆ ˆ gx) f x)dx, 5x +, 5dx ] [, 5 x +, 5x ), 5 +, 5 A 8 Differenz der Funktionen ist normalerweise bei Schnittpunktbestimmung schon berechnet. Symmetrie! f x) gx) f x) gx) f x). Graphen skizzieren und Fläche berechnen Wir verwenden immer die Fläche zwischen den beiden äußeren zu berechnenden Nullstellen. a) Nullstellen der Funktion f x) f x), 5x, 5x x, 5x, 5) x, 5x, 5 x 9 b)! Die Flächenbilanz richtig einrechnen A f x) {}}{ x x + x x x x + ) x ˆ x / ± 6 ˆ f x)dx f x)dx [ ] x x + x F) F) F) F)) F) F) + A 7 ˆ 9 A, 5x, 5x dx [ ] 9 ), 5 x x, 5 ) 9 9, 5 8 A 7, 75 { [ ] x x + x ) ) + Hier kann man auch gerne mal GeoGebra einsetzen. Befehle sind Nullstelle[...] und Integral[...] und Ableitung[...] Zum Skizzieren des Graphen einfach den Limes berechnen und anschließend die Schnittstellen mit der x-achse ausnutzen, z.b. lim x +, 5x, 5x ) maximale Potenz, hier x + 5 a f a b.7 b.667 f b quadratische Lösungsformel x / b± b ac a Zusammenfassung der Stammfunktionen nicht notwendig, aber eleganter!

6 Version:. November c) Nullstellen der Funktion sind x ; x ; x A A ˆ ˆ, 5 x x x + 8x ) dx, 5x x + x dx [, 5 x5 5 x + x, A 8 5 A ˆ f x)dx 6 5 A A A F) {}}{ ] f c c.867 c 6. Vielfachheit der Nullstellen hilft beim Graphen skizzieren, z.b. doppelte Nullstelle bei x kein VZW des Graphen.9 Scharparameter a) Wir lassen den Scharparameter erst einmal so stehen i) Nullstellen finden f a x) x + ax x a x) ii) Integrieren b) Schnittpunkte berechnen ˆ a f a x) ˆ a x + axdx [ x + a x a + a a f a x) x x + ax x x x }{{ + } a x a ] a a 6 Flächenbilanz unwichtig, da nur ein Beitrag c) Fläche berechnen ˆ a f a x) Normalparabel {}}{ x + ax x dx ˆ a ] a [ x + a x a x + ax x dx a 6 + a a a Normalparabel ist kein Vertreter der Schar, da kein a R mit f a x) x

7 Version:. November a a Bsp. a ergibt sich A G 6, 6 und Teilfläche A x 8, 6 und damit :, da Graph skizzieren und komplexe Flächen a) Wesentliche Eigenschaften des Graphen zu f x) 9 x x i) NST des Graphen f x) x 9 x ) x 9 x 9 x x / ± ±, 6 ii) Nullstellen der Ableitungsfunktion If you re in trouble, double f x) x x x / ± iii) Punktsymmetrie des Graphen G f bzgl. Ursprung besondere Stellen x-werte) einfach durchnummerieren f x) 9 x) x) 9 x + x f x) 9 x ) x b) Tangentenfunktion tx) im Hochpunkt i) da lim x f x) ergibt sich bei x ein relatives Maximum ii) Tangentenfunktion besteht nur aus y-achsenabschnitt, dazu einsetzen f ) 9 ) tx) 6 9, 7 ) 6 9 y t heißt Parallele zur x- Achse durch t) f x) >, also steigend für x < und anschließend f x) <, also fallend

8 Version:. November iii) Bestätige heißt nachrechnen c) zwischen heißt Differenz der Funktionen ˆ x x dx f x) A x 5 x f ) [ 6 9 x x 9 + x ] ) ) 6 9 ) ) + 9 ),.78) Ableitung f x) Tangente Die GeoGebra Befehle lauten Nullstelle[], Ableitung[], Extremum[], Tangente[], Integral[]. Bei leerem Argument erscheint nach Drücken von Enter eine Eingabehilfe!, ), ).6, ) 5 5, ).6, ),.78),.78).8 Integral und natürlicher Logarithmus Um die Eigenschaft als Stammfunktion zu zeigen müssen wir ableiten! Kettenregel & Quotientenregel) )) x x + ) x ) ln x + x + ) x x+ x + x + x ) x + ) x f x) x f x)dx ln ) x x+ ln ) + ln x x+) ln ) und wenn dies einen endlichen Wert besitzen soll, so muss es für den. Summanden einen Grenzwert geben. Betrachten wir das Argument des natürlichen Logarithmus x lim x x + ln Besondere Werte beim Logarithmus ln x log e x mit Eulerschen Zahl e, und ln e ; ln ; ln n.d. Multiplikation der beiden Brüche führt dazu, dass man im Zähler einmal x + ) kürzen kann.. binomische Formel a b) a + b) a b Der Grenzwert ist jeweils der negative Wert der Stammfunktion von der unteren Grenze, hier F) ln,

9 Version:. November.9 Integral als Flächenbilanz Gleich große Flächen, aber unterschiedliches Vorzeichen ober- und unterhalb der x-achse)! Nicht A verwenden, da wir hier keine Flächen, sondern das Integral berechnen! 6 8 Nullstellen von f x) suchen f x) x x 6x + 8 ) x / 6± 6 ˆ ˆ f x)dx f x)dx ˆ x 6x + 8xdx [ ] x 6 x + 8 x + ) Zusätzlich ist der Graph der Stammfunktion Fx) in blau gezeichnet Kurvendiskussion & Krümmung. Wende- und Terrassenpunkte von Graphen Bei den vorliegenden Graphen sind die Funktionen eingefärbt f x), f x) und f x)). Die Nullstellen sind jeweils die Lösung und der Graphik zu entnehmen. a) 5, ) 6 8, ) f x) x 5x.5, ) f x) 6x 5 f x) x 7.5x + b) 8 f x) x 8 6, ).6, ), ).6, ) 6, ) f x) x 8x f x) x x + 8 Die Graphen sind mit Geo- Gebra gezeichnet. Benötigte Befehle sind Ableitung[f] und Ableitung[f ]. Die Nullstellen erhält man über den Befehl entsprechend. c) f x) x 6x + 5 5, ), ) f x) 6x 6 5 f x) x x + x +

10 Version:. November d), ).5, ), ), ) f x) x x 6x + x f x) x x x + 6 f x) x 6x f) f x) x5 5 + x + x + 5 f x) 5x 5 + x + 9x f x) x 5 + 6x + 8x, ), ) ,.5 ), ) , )

11 Version:. November.7 Kurvendiskussion d) Nullstellen von f x), f x) und f x) f x) x + x + keine Lösung f x) [ x + x + ) ] f x) x + x + ) x + ) Nullstellen Ableitung x f x + x) x + x + ) Ableitung Nenner x + x + ) x + ) x + x + x + x + x + x + ) x+ f x) x +x+ x + x + interessant sind NST Zähler x + x + x + ) x + x + x + x + x + x + ) Hauptnenner ) x + x + x + f x) für x + x x + x + x + ) Minimum bei, 87)

12 Version:. November e) f x) x ln x + ) lim x f x) da x gegenüber ln x + ) dominiert f x) wegen Achsensymmetrie lim x f x) x x + x x ) x + x x x f x) x + x + x + ) f 6x x + ) x x x) x + ) NST x [ 6x + 6 x ] x [ x + ] Minimum bei ). Eigenschaften von Graphen a) Wir beginnen mit der zweiten Ableitung i) WEP NST der zweiten Ableitung z.b. f ii) Max f ) < hier f )

13 Version:. November a keine NST in den Ableitungen ändert vi) f x) x 6 6 x + ) a 6 a 6 f x) x x)/6, ), ) 6 8 f x) x /6 /6x + 8, ) f x) x )/ 5 Weitere Eigenschaften von Funktionen 5. Anspruchsvolle Integrale Notfalls zur Kontrolle immer die Stammfunktion Fx) nochmal ableiten. a) ln x + ) Fx) 6 ln 5 ln ln 5 ln 5 b) [ln sin x)] π π ln sin π ) ln sin π c) [ln x + 5)] [ln 7 ln ] 9 ln ) ln ln + ln ln d) [ln e x + )] [ln e + ) ln e + )] ln e+ e+ e e) [ln 7x + )] [ln 6 ] ln f) [ ln x + )] ln 5 ln 5 ln g) [ln x + x )] [ln ln ] ln 5 Logarithmenregeln log a u v) log a u + log a v log a u n n log a u u log a v log a u log a v log a log a a log a f x)) f x) f x) 5. Weitere anspruchsvolle Integrale a) a [ cos x )],5 cos + cos ) cos b) a 6 6 [ sin 6 x)] π 6 + sin π ) 6

14 Version:. November c) a und f x) x mit linearen Funktion x [ x ) d) a und f x) x e)... f)... [ 6 x) ] 7 5 ] 6 7) 6 5) ) g) Vorfaktor beachten 6 [ 6x ) + 6x ) ln 6x )] 5 5 ln h) kombiniert mit Regel ➀ a [ x + x ln x)] 6 6 ln 5. Noch anspruchsvollere Integrale a) Fx) e x F) F) e 6 b) x ) x also mit erweitern c) sin x)) cos x) [e x] [e sinx)] π π d) x ) [ x also e ] 8 ) x e e ) 5.5 Verkettung von Funktionen und deren Graphen a) Verkettung heißt die Funktion in die andere Funktion einsetzen. i) f gx)) f ) x + um eine um nach oben verschobenr Graph der x Hyperbel x ➅ ii) g f x)) g x + ) der Hyperbel ➂ x+) ist eine um nach links verschobener Graph 5 fgx)) gx) gfx)) fx) b) x + + x eine schräge Asymptote x + und Definitionslücke bei x mit aufgesetzter Hyperbel x ➃ c) x + x ein schräge Asymptote x + und Definitionslücke x mit aufgesetzter Hyperbel nach unten x ➀ d) x + ) x Nullstelle von x + bleibt erhalten ) und ) ➁ e) x+ x x + ) entspricht einer kubischen Funktion x, wobei die Definitionslücke erhalten bleibt ➄ x x x x + x + x +x + x x x

15 Version:. November 5 fgx)) gx) gfx)) fx) 5. Funktionenschar und Integral a) Definitionsbereich und Symmetrie f p x) x x +p i) für p gilt D R\ {± p}, sonst D R ii) Symmetrie immer f p x) x) +p b) Ein Parameter b a i) untere Grenze a ist beliebig x f p x) dx c bleibt immer frei. x x + p f p x) f p x) Symmetrieuntersuchungen immer für x x einsetzen und mit Ausgangsfunktion vergleichen. Punktsym. bzgl. Ursprung f x) f x) Achsensym. bzgl. y Achse f x) f x) ˆ a ˆ f x) dx x ˆ p x einsetzen a x + dx a x + dx da x + ) x [ ln x + ] a ln da ln { ln 6 + ) ln a + )} ln obere Grenze - untere Grenze 9 ln } a {{ + } 9 a + ln da log a b log a c log a b c Argumente der ln-funktion identisch 9 a + a ± Lösung a ist trivial, da a a f x) dx immer gleich! Lösung a wegen Punktsymmetrie ebenfalls offensichtlich, da Integral immer die Flächenbilanz darstellt. ii) Integral kann von vorheriger Aufgabe übernommen werden, da der konstante Teil in der Nennerfunktion unwichtig ist. Beachte: ln e log e e wenn Basis gleich Argument!

16 Version:. November ˆ b x x + [ ln x + )] b ln e { ln ln b + )} ln e ln b + ) ln e b + e b ± e iii) hier müsste prinzipiell auf die Definitionslücken geachtet werde [ ln x + p ] ln {ln + p ln + p } ln ln + p + p ln 9 + p 9 + p) 5 8p Da die Log-Funktion jedem Argument einen Wert zuweist, müssen bei identischen Funktionswerten ln x auch die Argumente x identisch sein. Erst einmal ganz normal rechnen und anschließend überprüfen, ob das Integral über eine Definitionslücke geht, dann wäre es erst einmal nicht lösbar. p Definitionslücke ± 8 ±, 79 außerhalb des Integrals und damit kein Pro- Der Graph dient noch einmal zum Veranschaulichen blem der Funktionen, insbesondere der Punktsymmetrie für und der Integrale!.5 f x) x x gx) x x +.5 hx) x x 5 8

17 Version:. November 5. Kurvendiskussion bei einfach zusammengesetzten e Funktionen a) Nullstelle bei x, also ), da e 8 x > ist. Die Ränder des Definitionsbereichs sind ±, da weder ; < noch log a. lim x e 8 x x ± i) lin. Faktor vernachläßigbar ii) lim x ± 8 x) iii) lim x e x b) Wir sollen für die Integralfunktion F x) x t e 8 t dx einen Wendepunkt nachweisen; F x) f x) und F x) f x) i) Wendepunkte sind Nullstellen der zweiten Ableitung, hier also von f x) ) e 8 x + x e 8 x 8 x f x) e 8 x + x e 8 x x ) f x) e 8 }{{ x } x > x + x x ± e x.5.5.5! unbedingt Nachdifferenzieren Es wird die Funktion f t) anstelle von f x) verwendet, um dies nicht mit dem x der oberen Grenze und damit dem Argument von Fx) zu verwechseln. Nullstellen sind mit VZW, da bei einem quadratischen Term es höchstens zwei NST gibt. ii) Die y Koordinate erhält man von der eigentlichen Funktion Fx), muss erst noch integriert werden! ˆ x F x) t e 8 t dx ) 8 t t Fx) ˆ x ˆ 8 x t e 8 t dx 8 t Fx) 8 [e t] x 8 { } Fx) 8 e 8 x 8 8e 8 x F ±) 8 8e 8 ±) 8 8e f t) f t) {}}{ e 8 t iii) Krümmungsverhalten ist das Vorzeichen, hier gleich, da WEP c) Wendetangente ist die lineare Funktion mit Steigung f x) m an dieser Stelle, da sich die Aussage auf die Integralfunktion bezieht f ) e 8 e,5 i) Ansatz lineare Funktion ist y mx + t mit m f ) und W 8 8e,5 ). Gesucht ist t 8 8e,5 e,5 + t t 8 6e,5 y W e,5 x + 8 6e,5 f x) e f x) dx e f x) + C Hier muss auch noch das Vorzeichen beachtet werden 8 e Um die Tangentenfunktion zu erhalten muss die Steigung m gleich dem Funktionswert der Ableitungsfunktion hier f x)) gesetzt werden und ein Punkt in den Ansatz eingesetzt werden, also x und y Koordinate.

18 Version:. November ii) Steigung und Winkel können umgerechnet werden tan α m e,5 α 67, 6 Der stumpfe Winkel beträgt dann α , 6. TR auf Degree DEG umstellen; Rechnung über tan erreichbar über Shift+tan In der Graphik ist der spitze Winkel eingezeichnet, tan α m liefert immer den Winkel zur x Achse. Dargestellt sind die Funktionen Fx), f x) F x) und F x) f x) und zusätzlich das Integral zur Veranschaulichung der Integralfunktion von bis zum WEP von FX) bei der Stelle. 6 Anwendung der Differentialrechnung 6. Vergleich verschiedener verknüpfter Funktionen 6 e.x x e.x sin x) e.x x e.x a) Wir suchen Nullstellen der Funktionen f x) e,x f x) x e.x x f x) xe.x x f x) sin x) e.x sin x) x k π mit k Z

19 Version:. November b) Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs lim x lim i x) x + da e x dominant! lim x) x + lim x x e.x f x) lim x e.x x f x) sinx) {}}{ sin x) e.x f x) wegen Vorzeichen x wegen Wurzelfunktion x allerdings oszilliert der Graph Unbedingt jeweils den Definitionsbereich beachten, x x R + c) Ableitungen der Funktionen f x) e,x, ) Kettenregel f x) e,x + x e,x, ) zusätzlich Produktregel f x) x e,x, xe,x Wurzelfunktion x x f x) cos x) e,x, sin x) e,x und deren Nullstellen, wobei e,x f x) e,x [, x] f x) x5 [ ] e,x x, x x, x 5 x ) TR in den Modus Radiant umstellen Shift Setup x 5 f x) e,x [cos x), sin x)] cos x), sin x) 5 tan x x, 7 + kπ 7 Optimierungsaufgaben 7. Fläche eines Trapez α 66 F Formel für den Fläche eines Trapez A a+c h mit Grundseiten a und c und Höhe h. sin α Gegenkathete Hypotenuse und cos α Hypotenuse Ankathete könne die Längen am Randdreieck berechnet werden.

20 Version:. November Da die Gesamtlänge 8 cm beträgt ist hier die eine Grundseite 8 ) cm cm lang. Die Zweite Grundseite besitzt die Länge cm+ cm sin α) und die Höhe beträgt cm cos α. obere Grundseite {}}{ A α) + Höhe + cos α) {}}{ sin α 8 sin α + sin α cos α Ab jetzt ohne Einheiten! Um das Extremum zu finden, benötigen wir ein Extremum. Dieses muss ein Maximum sein, da für α ; 8 die Fläche Null sein muss. A α) 8 cos α + cos α) sin α) 8 cos α + 8 cos α) da cos α) + sin α) quadratische Gleichung 8x + 8x : x + x x / ± + 8 ± ) ± cos ) 68, 5 Hier wird eigentlich ein Substitution durchgeführt mit cos α x 7. Maximum-Likelihood-Schätzung Hier handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen, da die Wahrscheinlichkeit p konst. a) Die Reihenfolge ist egal und defekte Teile sind Treffer. ) 5 P X ) p p) 5 ) 5, 5, 985 6, 58% b) Wenn man die Wahrscheinlichkeit p nicht kennt, kann man ein Maximum bei gegebener Trefferanzahl k bei einer Stichprobengröße von n 5 berechnen. P p) konst. Zahl {}}){ 5 p p) 6 P p) für ein Extremum u ) v 5 {}}{ p p) 6 + u {}}{ p v {}} { 6 p) 5 p) Zweite Lösung nicht relevant hier. Mit TR ) 5 5 ncr berechnen! über Hier Produktregel mit Kettenregel beim. Faktor ) 5 p p) 5 [ p) 6p] triviale Lösung p; 5p p 5, 8 somit ist für eine Fehlerwahrscheinlichkeit von p 8% das vorliegende Ergebnis am wahrscheinlichsten.

21 Version:. November c) Allgemein heißt statt k und 5 n und 5 6 n k ) n P p) p k p) n k k ) P n [ ] p) kp k p) n k + p k n k) p) n k ) k ) n p k p) n k [k p) p n k)] k k kp pn + pk p k n {}}{ p) n k + p) n k p) und damit kann der erste Faktor ausgeklammert werden!