Grundriss der Generalisierten Gauß'schen Fehlerrechnung

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1 Michael Grabe Grundriss der Generalisierten Gauß'schen Fehlerrechnung ""Jl'..~.t. itj':; ~;.." $ ~J,jl.\t~~~":'.~,_:l'~~;:..:~~t';t~ n ~'1j1:;~~,pt~,,:tK:"~~f:' ~:~. ~ Springer

2 Inhaltsverzeichnis Teil I Prinzipien der Metrologie 1 Ideen des Messens LI Elementares Messresultat und Messunsicherheit Rückverfolgbarkeit - Rückschluss auf wahre Werte Nicht-Gauß'sches Szenario 7 2 Fehlermodelle Stationäre Messprozesse Zufällige Messfehler Gauß'sches Fehlermodell Unbekannte systematische Messfehler Generalisiertes Gauß'sches Fehlermodell Quantifizierung des Messprozesses Standardabweichung Messunsicherheit Präzision und Genauigkeit Teil 11 Werkzeugkasten 4 Kleinste-Quadrate-Schätzer Geometrie des Ausgleichs Ausgleich ohne Nebenbedingungen Ausgleich mit Nebenbedingungen Zufallsvariable und Verteilungsdichten Zufallsvariable Statistisches Ensemble

3 xii Inhaltsverzeichnis 5.3 Empirische Verteilungsdichten Theoretische Verteilungsdichten Normalverteilte Grundgesamtheiten Normale Verteilungsdichten Dichte der empirischen Momente zweiter Ordnung Student'sche Dichte Hotelling'sche Dichte Erwartungswerte empirischer Schätzer Einzelmessungen Arithmetisches Mittel " Empirische Varianzen Empirische Kovarianzen Teil III Messunsicherheiten linearer und linearisierter Schätzer 8 Verknüpfen von Messfehlern Arithmetisches Mittel Quasi-sicheres Schließen Funktion einer Variablen 59 9 Fortpftanzen von Messfehlern, zwei Variable, Heuristischer Ansatz Wohldefinierte Messbedingungen Taylor'sche Entwicklung Zufällige Fehler Systematische Fehler Gesamtunsicherheit Robustes Schätzen Fortpftanzen von Messfehlern, m Variable Heuristischer Ansatz Messreihen und Datentupel Reihenentwicklungen " Zufällige Fehler Systematische Fehler Gesamtunsicherheit Robustes Schätzen Verkettete Verknüpfungsfunktionen Reihenentwicklungen Gesamtunsicherheit Empirische Pseudokovarianz J 1.4 Nichteindeutigkeit des systematischen Fehlers

4 Inhaltsverzeichnis xiii Teil IV Verknüpfen von Mitteln 12 Zwei Mittel Summe Differenz Produkt Quotient Klassischer Hypothesen-Test Mitteln von Mitteln Mittel zweier Mittel Ungewichtetes Mittel von m Mitteln Gewichtetes Mittel von m Mitteln Konsistenz-Tests Heuristisches Vorgehen Formales Vorgehen 105 TeilV Lineare Systeme 15 Konsequenzen systematischer Messfehler Vorlast des Kleinste-Quadrate Schätzers Minimierte Summe der Residuenquadrate Ungewichteter Ausgleich Empirische Varianz-Kovarianz Matrix der Eingangsdaten Empirische Varianz-Kovarianz Matrix des Kleinste-Quadrate Schätzers Fortpflanzung systematischer Fehler Unsicherheit des Lösungsvektors Gewichteter Ausgleich Gauß-Markoff'sches Theorem Gewichtsmatrizen Numerisches Beispiel Naturkonstanten der Physik " " Ausgleich naturkonstanter Größen Konsistenz versus Lokalisierung 131 Teil VI Ausgleichsgeraden 19 Vorbemerkungen Fallunterscheidungen Wahre Gerade 136

5 xiv Inhaltsverzeichnis 20 Anpassen von Geraden: Fall (i) Voraussetzungen Orthogonale Projektion Unsicherheit der Eingangsdaten Unsicherheit der Komponenten des Lösungsvektors Unsicherheitsband EP-Bereich Anpassen von Geraden: FaD(ii) Voraussetzungen Orthogonale Projektion Unsicherheit der Komponenten des Lösungsvektors Unsicherheitsband EP-Bereich Anpassen von Geraden: Fall (iii) Voraussetzungen Orthogonale Projektion Reihenentwicklung des Lösungsvektors Unsicherheit der Komponenten des Lösungsvektors Unsicherheitsband EP-Bereich " 169 Teil VII Anhänge A Runden nach DIN B Konfidenz-Ellipse '" C Reihenentwicklung des Lösungsvektors 181 D Skalentransformation 183 E Quantile der Hotelling'schen Dichte 185 Literatur 187 Sachverzeichnis 189