3D-Darstellungen mit Maxima

Transkript

1 Kapitel 5 3D-Darstellungen mit Maxima 5.1 noch einmal: Kavalier-Perspektive Würfel Wir haben schon festgestellt, dass die Matrix einer Abbildung schon durch die Bilder der drei Einheitspunkte (1 0 0),(0 1 0) und (0 0 1) bestimmt ist. Wir werden deshalb als nächstes einfach nur einen Würfel mit der Kantenlänge 1 betrachten, dessen eine Ecke der Ursprung des Koordinatensystems ist und dessen Kanten parallel zu den Achsen verlaufen. Abbildung 5.1: Würfel in Kavalierperspektive Die entsprechende von wxmaxima erzeugte Figur sieht so aus: Im Folgenden werde ich die benutzten Befehle durchgehen. 1 a : 1. 5 ; pen: [ 0, 0, 0 ] ; pexm:[ a, 0, 0 ] ; peym:[0, a, 0 ] ;pezm:[0,0, a ] ; 3 pexp : [ a, 0, 0 ] ; peyp : [ 0, a, 0 ] ; pezp: [ 0, 0, a ] ; 4 k_achsen : matrix (pen,pexm, pexp,peym, peyp,pezm, pezp ) ; 5-1

2 Diff M/Inf (ht) Perspektiven und Matrizen April 010 Abbildung 5.: Würfel in Kavalierperspektive (erzeugt mit wxmaxima) Ich lege zuerst das Koordinaten-Kreuz fest. Zuweisungen werden durch einen Doppelpunkt definiert. In der ersten Zeile definiere ich eine Konstante a, die später die Größe des Koordinaten-Kreuzes bestimmt. Dann definiere ich dem Koordinaten-Ursprung pen(0 0 0). Punkte werden durch drei (bzw. zwei) reelle Zahlen definiert; diese stehen in eckigen Klammern und werden durch Kommata getrennt. Schließlich werden auf den drei Achsen die jeweils zwei Punkte im Abstand a definiert. Da Maxima Abbildungen nicht mit Punkten, sondern im Rahmen der Matrizen-Multiplikation mit Matrizen berechnet, werden diese in Zeile 4 zu einer Matrix zusammengefasst, 1 versch : [ 0, 0, 0 ] ; pa: [ 1, 0, 0 ] + versch ; pb: [ 1, 1, 0 ] + versch ;pc: [ 0, 1, 0 ] + versch ; 3 pd: [ 0, 0, 0 ] + versch ; pe: [ 1, 0, 1 ] + versch ; pf : [ 1, 1, 1 ] + versch ; 4 pg: [ 0, 1, 1 ] + versch ;ph: [ 0, 0, 1 ] + versch ; 5 k_wuerfel : matrix (pa, pb, pc,pd, pe, pf,pg,ph) ; Die Definition des Würfels läuft ähnlich. Die Variable versch wird zuerst auf [0,0,0] gesetzt. in den Zeilen 6-8 werden die Eckpunkte festgelegt. in Zeile 9 wird die Matrix des Würfels festgelegt 5-

3 Diff M/Inf (ht) Perspektiven und Matrizen April 010 die Variable versch hat folgenden Zweck: Falls sich beim Würfel - oder später bei anderen Objekten - im Bild eine ungünstige Lage in Bezug auf die Achsen ergibt, ermöglicht eine Verschiebung des ganzen Objektes oft eine informativere Ansicht. Dadurch, dass zu jedem Punkt der Vektor versch addiert wird, reicht eine Änderung in Zeile 5 1 m_kav : matrix ( [ 1 /, 1 / 4 ], [ 1, 0 ], [ 0, 1 ] ) ; / * m_mil1 : matrix ([ 1/, 1/* s q r t ( 3 ) ], 3 [ 1 / * s q r t ( 3 ), 1 / ], [ 0, 1 ] ) ; * / 4 m: m_kav ; 5 abb_k : k_wuerfel.m; die Matrix zur Kavalier-Perspektive steht in Zeile 10. Sie wird zeilenweise angegeben. Jede Zeile der Matrix wird in eckige Klammern gesetzt, diese durch Kommata getrennt. in Zeile 11 und 1 habe ich bereits eine weitere Abbildung (Militärperspektive 1) definiert. Die vor- und nachgesetzten /* bzw */ bedeuten, dass diese Zeile auskommentiert wird, d.h. Maxima arbeitet sie nicht ab. Mit entfernen dieser vier Zeichen kann die Befehle wieder aktivieren. Das Auskommentieren in Zeile 11/1 ist nicht unbedingt erforderlich (siehe Zeile 13). Allerdings gibt Maxima alle definierten Matrizen aus; es ist als übersichtlicher, wenn man nicht benötigte auskommentiert. im folgenden arbeite ich mit der Abbildungsmatrix m. Mit dem Befehl m:m_kav weise ich ihr den Wert der Matrix m kav zu. Diese Zuweisung lässt sich sehr leicht ändern. Da ich mehrere Objekte mit der Kavalierperspektive abbilden will, ist es geschickter, dies an einer einzigen Stelle zu tun, als an mehreren. abb_k ist die zum zweidimensionalen Bild gehörende Matrix. 1 pa : part ( abb_k, 1 ) ; pb : part ( abb_k, ) ; pc : part ( abb_k, 3 ) ; pd : part ( abb_k, 4 ) ; pe : part ( abb_k, 5 ) ; 3 pf : part ( abb_k, 6 ) ; pg : part ( abb_k, 7 ) ; ph : part ( abb_k, 8 ) ; 4 z l i s t _ w u e r f e l : f l o a t ( [ pa, pb, pc, pd, pa, pe, pf, pb, pf, pg, 5 pc, pg, ph, pd, ph, pe ] ) ; 6 abb_k : k_achsen.m; 7 pen : part ( abb_k, 1 ) ; pxem: part ( abb_k, ) ; pxep : part ( abb_k, 3 ) ; 8 pyem: part ( abb_k, 4 ) ; 5-3

4 Diff M/Inf (ht) Perspektiven und Matrizen April pyep : part ( abb_k, 5 ) ; pzem: part ( abb_k, 6 ) ; pzep : part ( abb_k, 7 ) ; 10 zlist_achsen : f l o a t ( [ pxem, pxep, pen,pyem, pyep, pen, pzem, pzep ] ) ; 11 plotd ( [ [ discrete, f l o a t ( zlist_achsen ) ], 1 [ discrete, f l o a t ( z l i s t _ w u e r f e l ) ] ] ) $ 5. Militär-Perspektiven Bei der Kavalier-Perspektive wurde die Frontansicht eines Gegenstandes unverzerrt dargestellt.bei dieser Perspektive ist es der Grundriss. Man kann die Richtung und den Maßstab des Bildes einer horizontalen Achse frei wählen. Die Richtung und Größe aller anderen horizontalen Linien ergibt sich daraus der Forderung, dass der Grundriss nicht verzerrt sein soll. Gibt es jedoch keine besonderen Gründe, dies anders zu gestalten, so zeichnet man die beiden horizontalen Achse unter 30 bzw. 60 zum unteren Blattrand. Die vertikalen Linien (Höhen) werden im gleichen Maßstab parallel zum linken Blattrand gezeichnet Bild der Einheitspunkte Im originalen Achsenkreuz haben die Pfeilspitzen die Koordinaten (1 0 0), (0 1 0) und (0 0 1). Die D-Koordinaten Ihrer Bildpunkte sind: (1 0 0) ( sinϕ cosϕ) (0 1 0) (cosϕ sinϕ) (0 0 1) (0 1) und wir erhalten die folgende Abbildungsmatrix: 5-4

5 Diff M/Inf (ht) Perspektiven und Matrizen April 010 M mi l = sinϕ cosϕ cosϕ sinϕ 0 1 (5.1) Für den üblich gewählten Fall (ϕ = 30 ) wird daraus: M mi l 30 = (5.) Ein Einheitswürfel wird so abgebildet: Wählen wir statt dessen (ϕ = 67,5 ), so erhalten wir: M mi l 67.5 = 1 ( + ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( + ) 0 1 (5.3) ujd dieses Bild des Einheitswürfels : 5-5

6 Diff M/Inf (ht) Perspektiven und Matrizen April Aufgabe Gegeben ist ein Quader mit den Kantenlängen a = 10cm (in x-richtung), b = 8cm (in y-richtung) und c = 5cm (in z-richtung). Der Ursprung des Koordinatensystems ist die hintere untere linke Ecke. Berechne und zeichne das Bild des Quaders in der Militärperspektive (ϕ = 30 ). Bearbeite die gleiche Aufgabe. Nur ist jetzt a parallel zur z-richtung und c zur x-richtung. 5-6