Konstantenmultiplikation
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- Julius Solberg
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1 Konstantenmultiplikation Hauptseminar technische Informatik Martin Thümmler Institut für technische Informatik TU Dresden Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
2 Motivation (a) Multiplikationstabelle für zwei beliebige Zahlen (b) Multiplikationstabelle mit der Konstanten 142 Abbildung: in Binärdarstellung. Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
3 Inhaltsverzeichnis 1 CSD 2 Addierergraphen 3 Weitere Verfahren 4 Erweiterte Problemstellungen 5 Zusammenfassung und Ausblick Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
4 Anwendungsbeispiel Abbildung: FIR (nite impulse response) Filter Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
5 Mögliche Ziele der Konstantenmultiplikation Reduktion der benötigten Transistorenanzahl Reduktion der Berechnungszeit Steigerung des Durchsatzes Reduktion des Energieverbrauchs Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
6 CSD Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
7 CSD (Canonical Signed Digit) Grundlagen Verwendung von Subtraktionen Ersetzungscode SD-Darstellung einer Zahl s durch s = N 1 k=0 c k 2 k, c i { 1, 0, 1} CSD: SD-Darstellung ohne Teilfolgen 11, 11, 1 1, 1 1, wobei 1 1 Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
8 CSD Beispiel Umwandlung von 477 in Binärdarstellung nach CSD Statt 6 nun 3 Additionen 477 = [ }{{} [100 1]SD 01] SD = [ 1111 }{{} [1000 1]SD ]SD = [ ]SD. Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
9 Ergebnisse CSD Linearer Aufwand zur Generierung der CSD-Darstellung Im Durchschnitt 1/3 weniger Additionen als Binärdarstellung Für N-Bitwort maximal N+2 2 Additionen Grund: Verwendung von Subtraktionen Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
10 Addierergraphen Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
11 Motivation Addierergraphen CSD nicht immer optimal 45 = , also 3 Additionen in CSD Mit 45 = 5 9: 5x = 2 2 x x, 45x = 2 3 (5x) (5x) Berechnung mit 2 Additionen möglich Grund: Verwendung von Zwischenergebnissen Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
12 Einige Addierergraphen (a) CSD-Verfahren (b) Optimaler Addierergraph Abbildung: Addierergraphen für Multiplikation mit 45 Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
13 Optimale Addierergraphen für alle Konstanten kleiner N Vollständige Suche über alle Addierergraphen Ermittlung aller Addierergraphen bis zu k Additionen Suche über alle möglichen Belegungen von Kanten Dynamische Programmierung mittels Lookup-Tabelle Weitere Optimierungen möglich, da Äquivalenzklassen von Addierergraphen Schieben und Addieren distributiv Erkennung mancher suboptimaler Ergbnisse durch DP Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
14 Einschränkung auf ungerade Knotenwerte (a) Knotenwert 22 (b) Knotenwert 22/2 = 11 Abbildung: Transformation der Kantenbelegung und Erzeugung eines ungeraden Knotenwertes Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
15 Klassikation von Addierergraphen (a) Additiv (b) Multiplikativ (c) Leapfrog Abbildung: Beispiele von verschiedenen Addierergraphklassen Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
16 Äquivalenzklassen Addierer Addierergraphen Addierergraphklassen Tabelle: Anzahlen an Addierergraphen und - klassen für gegebene Addiereranzahl Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
17 Ergebnisse vollständige Suche Abbildung: Relative Häugkeit der minimal benötigten Anzahl an Addierern für verschiedene Wortlängen Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
18 Weitere Verfahren Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
19 CSE (Common Subpattern Elimination) Startpunkt: CSD-Darstellung Ziel: Wiederverwendung von Teilausdrücken Suche über beschränkte Anzahl an SD-Darstellungen Beispiel: 2 statt 3 Additionen 105 = [ ]SD = [ ] SD. Kubische Laufzeit in Wortlänge Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
20 Radix 2 r Aufteilen der Binärzahl in Blöcke der Länge r Berechnung und Addition der benötigten Blockergebnisse Beispiel: 5 statt 7 Additionen = = = = = x = (3x)2 12 (3x)2 9 + x2 7 (3x)2 3 x Lineare Laufzeit in Wortlänge Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
21 Ergebnisse I Abbildung: Erste nicht darstellbare Zahlen für verschiedene Addiereranzahlen Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
22 Ergebnisse II WL CSD Radix-2 r CSE Volls. Suche 8 2,788 (9,4%) 2,864 (12,4%) 2,547 (0,0%) 2,547 (0,0%) 16 4,444 (12,1%) 4,512 (13,8%) 4,071 (2,7%) 3,964 (0,0%) 24 7,111 (39,2%) 6,799 (33,1%) 5,433 (6,3%) 5,110 (0,0%) Tabelle: Durchschnittliche Anzahl an benötigten Addierern Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
23 Erweiterte Problemstellungen Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
24 Ternäre Addierer Duale und ternäre Addierer in FPGAs ungefähr gleichaufwändig Addierergraphen mit ternären Additionen Beispiel: 2 statt 4 Addierer (a) Verwendung dualer Addierer (b) Verwendung ternärer Addierer Abbildung: Addierergraphen zur Multiplikation mit 683 Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
25 MCM (Multiple Constant Multiplication) MCM zum Beispiel bei Fouriertransformation Wiederverwendung von Zwischenergebnisse für mehrere Endergebnisse Pipelining Optimierung z.b. via vollständige Suche oder ähnlich CSE Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
26 MCM Beispiel (a) Dualer Addierergraph (b) Ternärer Addierergraph Abbildung: Multiplikation mit Konstanten 7569 und Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
27 Metriken Meist mehrere Realisierungen mit minimaler Anzahl an Additionen Metriken: Abarbeitungszeit Pipelining Energieverbrauch Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
28 Zusammenfassung und Ausblick Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
29 Zusammenfassung und Ausblick Betrachtung der Konstantenmultiplikation notwendig hilfreiche Verfahren existieren Optimale Suchverfahren bis 32 Bit Wortlänge Heuristische Verfahren praktisch beliebige Wortlängen Untersuchung von erweiterten Problemstellungen und Metriken Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
30 A.G. Dempster, M.D Macleod, Constant multiplication using minimum adders, IEE Proc.-Circuits Devices Syst., Vol. 141, No. 5, October 1994 O. Gustafsson, A.G. Dempster, K. Johansson, M.D. Macleod, L. Wanhammar, Simplied Design of Constant Coecient Multipliers, Circuits Systems Signal Processing, Vol. 25, No. 2, 2006, pp M. Kumm, M. Hardieck, J. Willkomm, P. Zipf, U. Meyer-Baese, Multiple Constant Multiplication with Ternary Adders 23rd International Conference on Field Programmable Logic and Applications, FPL Proceedings M. Kumm, O. Gustafsson, M. Garrido, P. Zipf, Optimal Single Constant Multiplication using Ternary Adders IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, 2016 A. K. Oudjia, N. Chaillet, Radix-2 r Arithmetic for Multiplication by a Constant IEEE Transactions on Curcuits and Systems II: Express Briefs, 2014 Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
31 V. Lefevre, Mutliplication by an Integer Constant Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique, N 4192, 2001 J. Thong, N Nicolici, An Optimal and Practical Approach to Single Constant Multiplication IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, Vol. 30, No 9, 2011 Y. Voronenko, M. Püschel, Multiplierless Multiple Constant Multiplication ACM Transactions on Algorithms, Vol. 3, 2007 Martin Thümmler (TEI) Konstantenmultiplikation / 29
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