Ein wenig Mengentheorie

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1 Ein wenig Mengentheorie Dr. Uwe Scheffler [Technische Universität Dresden] Oktober 2013

2 Der Teufel! Mein theurer Freund, ich rath euch drum Zuerst Collegium Logicum. Da wird der Geist euch wohl dressirt, In spanische Stiefeln eingeschnürt, Daß er bedächtiger so fortan Hinschleiche die Gedankenbahn, Und nicht etwa, die Kreuz und Quer, Irrlichtelire hin und her. Dann lehret man euch manchen Tag, Daß, was ihr sonst auf einen Schlag Getrieben, wie Essen und Trinken frei, Eins! Zwei! Drei! dazu nöthig sei. Dr. Uwe Scheffler 2

3 Mengen und Elemente Menge nennt man jede als Ganzes gefaßte Vielheit von beliebigen (konkreten oder abstrakten) wohlunterschiedenen Gegenständen. Element nennt man die zusammengefaßten Gegenstände. Mengenbildung geschieht über Aufzählung oder Eigenschaften. die Menge der Zahlen 2, 3, 5, 7; die Menge der Berge Kilimandsharo und Mount Everest; die Primzahlen unter 10; die Achttausender Untermenge einer Menge K ist jede Menge, deren Elemente alle in K sind. L K genau dann, wenn für alle e L auch gilt e K Dr. Uwe Scheffler 3

4 Mengen und Elemente Menge nennt man jede als Ganzes gefaßte Vielheit von beliebigen (konkreten oder abstrakten) wohlunterschiedenen Gegenständen. Element nennt man die zusammengefaßten Gegenstände. Mengenbildung geschieht über Aufzählung oder Eigenschaften. die Menge der Zahlen 2, 3, 5, 7; die Menge der Berge Kilimandsharo und Mount Everest; die Primzahlen unter 10; die Achttausender Untermenge einer Menge K ist jede Menge, deren Elemente alle in K sind. L K genau dann, wenn für alle e L auch gilt e K Dr. Uwe Scheffler 4

5 Mengen und Elemente Menge nennt man jede als Ganzes gefaßte Vielheit von beliebigen (konkreten oder abstrakten) wohlunterschiedenen Gegenständen. {e 1,..., e n } die Menge aus e 1, e 2,..., e n Element nennt man die zusammengefaßten Gegenstände. e 1 {e 1,..., e n } e 1 ist Element der Menge Mengenbildung geschieht über Aufzählung oder Eigenschaften. die Menge der Zahlen 2, 3, 5, 7; die Menge der Berge Kilimandsharo und Mount Everest; die Primzahlen unter 10; die Achttausender Untermenge einer Menge K ist jede Menge, deren Elemente alle in K sind. L K genau dann, wenn für alle e L auch gilt e K Dr. Uwe Scheffler 5

6 Mengen und Elemente Menge nennt man jede als Ganzes gefaßte Vielheit von beliebigen (konkreten oder abstrakten) wohlunterschiedenen Gegenständen. {e 1,..., e n } die Menge aus e 1, e 2,..., e n Element nennt man die zusammengefaßten Gegenstände. e 1 {e 1,..., e n } e 1 ist Element der Menge Mengenbildung geschieht über Aufzählung oder Eigenschaften. die Menge der Zahlen 2, 3, 5, 7; die Menge der Berge Kilimandsharo und Mount Everest; die Primzahlen unter 10; die Achttausender Untermenge einer Menge K ist jede Menge, deren Elemente alle in K sind. L K genau dann, wenn für alle e L auch gilt e K Dr. Uwe Scheffler 6

7 Mengen und Elemente Menge nennt man jede als Ganzes gefaßte Vielheit von beliebigen (konkreten oder abstrakten) wohlunterschiedenen Gegenständen. {e 1,..., e n } die Menge aus e 1, e 2,..., e n Element nennt man die zusammengefaßten Gegenstände. e 1 {e 1,..., e n } e 1 ist Element der Menge Mengenbildung geschieht über Aufzählung oder Eigenschaften. die Menge der Zahlen 2, 3, 5, 7; die Menge der Berge Kilimandsharo und Mount Everest; die Primzahlen unter 10; die Achttausender Untermenge einer Menge K ist jede Menge, deren Elemente alle in K sind. L K genau dann, wenn für alle e L auch gilt e K Dr. Uwe Scheffler 7

8 Mengen und Elemente Menge nennt man jede als Ganzes gefaßte Vielheit von beliebigen (konkreten oder abstrakten) wohlunterschiedenen Gegenständen. {e 1,..., e n } die Menge aus e 1, e 2,..., e n Element nennt man die zusammengefaßten Gegenstände. e 1 {e 1,..., e n } e 1 ist Element der Menge Mengenbildung geschieht über Aufzählung oder Eigenschaften. die Menge der Zahlen 2, 3, 5, 7; die Menge der Berge Kilimandsharo und Mount Everest; die Primzahlen unter 10; die Achttausender Untermenge einer Menge K ist jede Menge, deren Elemente alle in K sind. L K genau dann, wenn für alle e L auch gilt e K Dr. Uwe Scheffler 8

9 Mengen und Elemente Menge nennt man jede als Ganzes gefaßte Vielheit von beliebigen (konkreten oder abstrakten) wohlunterschiedenen Gegenständen. {e 1,..., e n } die Menge aus e 1, e 2,..., e n Element nennt man die zusammengefaßten Gegenstände. e 1 {e 1,..., e n } e 1 ist Element der Menge Mengenbildung geschieht über Aufzählung oder Eigenschaften. die Menge der Zahlen 2, 3, 5, 7; die Menge der Berge Kilimandsharo und Mount Everest; die Primzahlen unter 10; die Achttausender Untermenge einer Menge K ist jede Menge, deren Elemente alle in K sind. L K genau dann, wenn für alle e L auch gilt e K Dr. Uwe Scheffler 9

10 Mengen und Elemente Menge nennt man jede als Ganzes gefaßte Vielheit von beliebigen (konkreten oder abstrakten) wohlunterschiedenen Gegenständen. {e 1,..., e n } die Menge aus e 1, e 2,..., e n Element nennt man die zusammengefaßten Gegenstände. e 1 {e 1,..., e n } e 1 ist Element der Menge Mengenbildung geschieht über Aufzählung oder Eigenschaften. die Menge der Zahlen 2, 3, 5, 7; die Menge der Berge Kilimandsharo und Mount Everest; die Primzahlen unter 10; die Achttausender Untermenge einer Menge K ist jede Menge, deren Elemente alle in K sind. L K genau dann, wenn für alle e L auch gilt e K Dr. Uwe Scheffler 10

11 Besondere Mengen Die leere Menge ist die Menge, die kein einziges Element enthält: für alle e gilt: e Die universale Menge ist die Menge, die alle Elemente enthält: für alle e gilt: e U Identisch sind zwei Mengen genau dann, wenn sie in allen Elementen übereinstimmen: M 1 = M 2 genau dann, wenn für alle e gilt: e M 1 genau dann, wenn e M 2 Dr. Uwe Scheffler 11

12 Kartesische Produkte Kartesisches Produkt zweier Mengen K und L wird die Menge aller geordneten Paare genannt, deren erstes Element aus K und deren zweites aus L ist. K L = { d, e : d K und e L} {Anna,Bodo} Kants Kritiken = { Anna, KdrV, Anna, KdpV, Anna, KdU Bodo, KdrV, Bodo, KdpV, Bodo, KdU } n-faches kartesisches Produkt : K 1... K n = { e 1,..., e n : e 1 K 1 und... und e n K n } (Menge aller n-tupel... ) Dr. Uwe Scheffler 12

13 Kartesische Produkte Kartesisches Produkt zweier Mengen K und L wird die Menge aller geordneten Paare genannt, deren erstes Element aus K und deren zweites aus L ist. K L = { d, e : d K und e L} {Anna,Bodo} Kants Kritiken = { Anna, KdrV, Anna, KdpV, Anna, KdU Bodo, KdrV, Bodo, KdpV, Bodo, KdU } n-faches kartesisches Produkt : K 1... K n = { e 1,..., e n : e 1 K 1 und... und e n K n } (Menge aller n-tupel... ) Dr. Uwe Scheffler 13

14 Kartesische Produkte Kartesisches Produkt zweier Mengen K und L wird die Menge aller geordneten Paare genannt, deren erstes Element aus K und deren zweites aus L ist. K L = { d, e : d K und e L} {Anna,Bodo} Kants Kritiken = { Anna, KdrV, Anna, KdpV, Anna, KdU Bodo, KdrV, Bodo, KdpV, Bodo, KdU } n-faches kartesisches Produkt : K 1... K n = { e 1,..., e n : e 1 K 1 und... und e n K n } (Menge aller n-tupel... ) Dr. Uwe Scheffler 14

15 Kartesische Produkte Kartesisches Produkt zweier Mengen K und L wird die Menge aller geordneten Paare genannt, deren erstes Element aus K und deren zweites aus L ist. K L = { d, e : d K und e L} {Anna,Bodo} Kants Kritiken = { Anna, KdrV, Anna, KdpV, Anna, KdU Bodo, KdrV, Bodo, KdpV, Bodo, KdU } n-faches kartesisches Produkt : K 1... K n = { e 1,..., e n : e 1 K 1 und... und e n K n } (Menge aller n-tupel... ) Dr. Uwe Scheffler 15

16 Funktionen Funktion heißt jede Abbildung von einer Menge K in eine Menge L, die jedes Element von K auf genau ein Element von L abbildet. Sei T = {w, f} die Menge der Wahrheitswerte, K die Menge der Studenten der TU und L die Menge der Zahlen. Dann sind kg: koerpergroesse in cm und mn: matrikelnummer Funktionen von den Studenten in die Zahlen: kg(anna)=175; kg(bodo)=175;... mn(anna)=675665; mn(bodo)=348776;... vh: verheiratet eine Funktion von Studenten Studenten in Wahrheitswerte: vh( Anna,Bodo )=f; vh( Anna,Anna )=f; vh( Chris,Dani )=w; vh( Dani,Chris )=w Dr. Uwe Scheffler 16

17 Funktionen Funktion heißt jede Abbildung von einer Menge K in eine Menge L, die jedes Element von K auf genau ein Element von L abbildet. Sei T = {w, f} die Menge der Wahrheitswerte, K die Menge der Studenten der TU und L die Menge der Zahlen. Dann sind kg: koerpergroesse in cm und mn: matrikelnummer Funktionen von den Studenten in die Zahlen: kg(anna)=175; kg(bodo)=175;... mn(anna)=675665; mn(bodo)=348776;... vh: verheiratet eine Funktion von Studenten Studenten in Wahrheitswerte: vh( Anna,Bodo )=f; vh( Anna,Anna )=f; vh( Chris,Dani )=w; vh( Dani,Chris )=w Dr. Uwe Scheffler 17

18 Funktionen Funktion heißt jede Abbildung von einer Menge K in eine Menge L, die jedes Element von K auf genau ein Element von L abbildet. Sei T = {w, f} die Menge der Wahrheitswerte, K die Menge der Studenten der TU und L die Menge der Zahlen. Dann sind kg: koerpergroesse in cm und mn: matrikelnummer Funktionen von den Studenten in die Zahlen: kg(anna)=175; kg(bodo)=175;... mn(anna)=675665; mn(bodo)=348776;... vh: verheiratet eine Funktion von Studenten Studenten in Wahrheitswerte: vh( Anna,Bodo )=f; vh( Anna,Anna )=f; vh( Chris,Dani )=w; vh( Dani,Chris )=w Dr. Uwe Scheffler 18

19 Relationen n-stellige Relation heißt jede Untermenge eines kartesisches Produktes K 1... K n. Verheiratet Menschen Menschen (Paare von Menschen, die miteinander verheiratet sind) Liegt Zwischen Ort Ort Ort Tripel von Orten, deren erster zwischen den anderen liegt Liegt Zwischen Gegenstand Gegenstand Gegenstand Tripel von Gegenständen, deren erster zwischen den anderen liegt Verursacht Agenten Handlungen (Paare von Menschen und Taten, die sie ausführen) Klug Lebewesen Menge der Lebewesen, die klug sind Dr. Uwe Scheffler 19

20 Relationen n-stellige Relation heißt jede Untermenge eines kartesisches Produktes K 1... K n. Verheiratet Menschen Menschen (Paare von Menschen, die miteinander verheiratet sind) Liegt Zwischen Ort Ort Ort Tripel von Orten, deren erster zwischen den anderen liegt Liegt Zwischen Gegenstand Gegenstand Gegenstand Tripel von Gegenständen, deren erster zwischen den anderen liegt Verursacht Agenten Handlungen (Paare von Menschen und Taten, die sie ausführen) Klug Lebewesen Menge der Lebewesen, die klug sind Dr. Uwe Scheffler 20

21 Relationen n-stellige Relation heißt jede Untermenge eines kartesisches Produktes K 1... K n. Verheiratet Menschen Menschen (Paare von Menschen, die miteinander verheiratet sind) Liegt Zwischen Ort Ort Ort Tripel von Orten, deren erster zwischen den anderen liegt Liegt Zwischen Gegenstand Gegenstand Gegenstand Tripel von Gegenständen, deren erster zwischen den anderen liegt Verursacht Agenten Handlungen (Paare von Menschen und Taten, die sie ausführen) Klug Lebewesen Menge der Lebewesen, die klug sind Dr. Uwe Scheffler 21

22 Relationen n-stellige Relation heißt jede Untermenge eines kartesisches Produktes K 1... K n. Verheiratet Menschen Menschen (Paare von Menschen, die miteinander verheiratet sind) Liegt Zwischen Ort Ort Ort Tripel von Orten, deren erster zwischen den anderen liegt Liegt Zwischen Gegenstand Gegenstand Gegenstand Tripel von Gegenständen, deren erster zwischen den anderen liegt Verursacht Agenten Handlungen (Paare von Menschen und Taten, die sie ausführen) Klug Lebewesen Menge der Lebewesen, die klug sind Dr. Uwe Scheffler 22

23 Relationen n-stellige Relation heißt jede Untermenge eines kartesisches Produktes K 1... K n. Verheiratet Menschen Menschen (Paare von Menschen, die miteinander verheiratet sind) Liegt Zwischen Ort Ort Ort Tripel von Orten, deren erster zwischen den anderen liegt Liegt Zwischen Gegenstand Gegenstand Gegenstand Tripel von Gegenständen, deren erster zwischen den anderen liegt Verursacht Agenten Handlungen (Paare von Menschen und Taten, die sie ausführen) Klug Lebewesen Menge der Lebewesen, die klug sind Dr. Uwe Scheffler 23

24 Relationen n-stellige Relation heißt jede Untermenge eines kartesisches Produktes K 1... K n. Verheiratet Menschen Menschen (Paare von Menschen, die miteinander verheiratet sind) Liegt Zwischen Ort Ort Ort Tripel von Orten, deren erster zwischen den anderen liegt Liegt Zwischen Gegenstand Gegenstand Gegenstand Tripel von Gegenständen, deren erster zwischen den anderen liegt Verursacht Agenten Handlungen (Paare von Menschen und Taten, die sie ausführen) Klug Lebewesen Menge der Lebewesen, die klug sind Dr. Uwe Scheffler 24

25 Operationen über Mengen Schnittmenge N der Mengen K und L ist die Menge, die nur die Elemente enthält, die Element von K und L sind: N = K L genau dann, wenn für alle e: e N dann und nur dann, wenn e K und e L. Vereinigungsmenge N der Mengen K und L ist die Menge, die nur die Elemente enthält, die Element von K oder L sind: N = K L genau dann, wenn für alle e: e N dann und nur dann, wenn e K oder e L. Komplementärmenge N einer Menge K ist die Menge, die nur die Elemente enthält, die nicht Element von K sind: N = K genau dann, wenn für alle e: e N dann und nur dann, wenn e K. Dr. Uwe Scheffler 25

26 Operationen über Mengen Schnittmenge N der Mengen K und L ist die Menge, die nur die Elemente enthält, die Element von K und L sind: N = K L genau dann, wenn für alle e: e N dann und nur dann, wenn e K und e L. Vereinigungsmenge N der Mengen K und L ist die Menge, die nur die Elemente enthält, die Element von K oder L sind: N = K L genau dann, wenn für alle e: e N dann und nur dann, wenn e K oder e L. Komplementärmenge N einer Menge K ist die Menge, die nur die Elemente enthält, die nicht Element von K sind: N = K genau dann, wenn für alle e: e N dann und nur dann, wenn e K. Dr. Uwe Scheffler 26

27 Operationen über Mengen Schnittmenge N der Mengen K und L ist die Menge, die nur die Elemente enthält, die Element von K und L sind: N = K L genau dann, wenn für alle e: e N dann und nur dann, wenn e K und e L. Vereinigungsmenge N der Mengen K und L ist die Menge, die nur die Elemente enthält, die Element von K oder L sind: N = K L genau dann, wenn für alle e: e N dann und nur dann, wenn e K oder e L. Komplementärmenge N einer Menge K ist die Menge, die nur die Elemente enthält, die nicht Element von K sind: N = K genau dann, wenn für alle e: e N dann und nur dann, wenn e K. Dr. Uwe Scheffler 27

28 Bilder zu den Operationen (Eulersche Kreise) K L K K L L K K Dr. Uwe Scheffler 28

29 Bilder zu den Operationen (Eulersche Kreise) K L K K L L K K Dr. Uwe Scheffler 29

30 Bilder zu den Operationen (Eulersche Kreise) K L K K L L K K Dr. Uwe Scheffler 30