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2 Bewegungen Momentangeschwndgket: v(t)=dx/ Momentanbeschleungung a(t)=dv/=d x/ Relatvgeschwndgket: v T B =v T A v A B (Geschwndgket System A m Vgl. zu B: v A B = v B A ) Glechfömge Bewegungen v=a tv 0 x= a t v 0 t Mehdmensonale Bewegungen Otsvekto =x e x y e y, v t=d /, a t =d /d t Schäge Wuf: v 0x =v cos, v 0y =vsn, a x =0, a y = g, v x =v 0x, v y =v 0y g t xt =x 0 v 0x t, yt = y 0 v 0y t / g t yx= v 0y g x v 0x v x 0x Glechfömge Kesbewegung Zentpetalbeschleungung: a zp = v t = t v t t = t v = v Momentanbeschleungung: a zp =a zp e = v e Peode T, Stecke π v= T v t t t Newtonsche Axome Täghetsgesetz: Falls kene Kaft wkt blebt de Geschwndgket konstant F =m a F x =m a x, F y =m a y m /m =a /a Acto=Reacto: F A B B = F A Gavtatonsgesetz: F = m m F = m g g= m g Äquato g Pol Keplesche Gesetze. Planeten bewegen sch auf Ellpsen (Bahnkuven = Kegelschntte) F. Vebndungslne Ede-Sonne übestecht be gleche Zet gleche Flächen (Dehmpulseh.) 3. T=Umlaufzet, =Hauptachse de Ellpse: T 3 (Annahme m S >> m E) m v E Spezalfall: Kesbahn = m m E S, v = m S T = 3 4 Rebung Haftebung: F R, h, max = R,h F N, Gletebung: kummlnge Bewegung: Zentpetalkaft a zp = v Täghets-Schenkäfte v b t=v I t v B I t Cools-Kaft a B =a I a B I = a B I ms F R, g = R, g F N, Roll.: F R, = R, F N wd von Rebungskaft kompenset (=Zentfugalkaft a (I) =b. Inetalsystem (uhend) ) a c =v F c =a c m= m v F c = mv (z.b. konst. Bewegung übe ot. Schebe) mmue@ee.ethz.ch V.3 /5

3 Abet & Enege S W = E= F x cos= F ds, F =F W =W W...= F x,f x,... x S knetsche Enege: E kn = m v (Rotaton: E kn ), potentelle Enege: E pot =m g h Hooke'sches Gesetz: F = k x e x (k=fedekonstante) Lestung: P= dw = F v t W =W ext W kons W nk Bsp: Pendel m g h= m v E Bemsen duch Rebung: Masse & Enege W ext W nk = E mech = E kn E pot v E =g l cos, F s =m ga y,a y = v E l E mech = 0.5 mv A = F s= E wäme E=mc Elekton: m E = kg mc =5 kev (Poton: m P =m E 000 mc =0 9 ev Keneakton:. MeV Enege po Keneakton Impulsehaltung Schwepunkt: s = m m, m m v, v = s a = s m a Bsp: Kesschebe m= =m/l dm= d ; y= sn m y s = m dm= d sn = 0 m =m d sn = Bsp: Objekte mt Massen m und Schwepunkten x, y, S x s = x m x m, S, S y S analog m m Bewegungsglechung: Impulsehaltung: m d s = F p s = p = m v s =m d s d p t= d m v=ṁvm v= F ext = const d p s = F Enege: E pot =m g h s E kn = m v s m v v s (kn. E de Schwepunkt- und Relatvbew.) unelastsche Stoss: v nach = m v vo nach vo (m <<m : v <<v m m elastsche Stoss: ; m =m : v nach =/ v vo ; m >>m : v nach =v vo ) m v vo m v vo =m v nach nach m v () m v vo m v vo = m v nach m v nach (Enegeehaltung) () ()/() () v n = m m m m v vo m m m v vo, v n = m m m v vo m m m m v vo elastsche Stoss n 3D: Spezalfall m =m, v vo =0 v vo = v nach v nach ; v v = v n v n Wnkel zwschen v nach und v nach betägt 90 veändelche Masse: v m nach =v R vo v el m R d v R d m R =v el F R=Rakete, m=masse, F=extene Kaft mmue@ee.ethz.ch V.3 /5

4 Dehbewegungen Wnkelgeschwndgket: =d / konstante Beschl.: = 0 0 Wnkelbeschleungung: = d = d Tangentale Wete: a t = v t = s t = Radale Wete: a = E ges kn = knetsche Enege (Rotaton): m v = m = m = I Täghetsmoment I: Stablste Symmeteachse hat das gösste Täghetsmoment m = dm (kontnuelche Massevetelung) I = Bsp: homogene Schebe = m A = m, dm= da= d s I = dm= 0 s m d= s m s Bsp: dünne Rng d I = dm= dm= m Bsp: lange, dünne Stab l / I s = dm= l / = A l3 V m l / A d= A d l / = Al l = ml l Achse duch Endpunkt: I = A d= A l3 0 3 = 3 m l =I s m l Stene'sche Satz: I =I s m h E tot = E pot E kn TanslatonE kn Rotaton Umlaufzet: T I Dehmoment: Rchtung & Angffspkt. de Käfte snd elevant F t =m a t M = F t =m (F t =tangental= F sn(a)) M ext = M = m = I M = F Dehmpuls L= p=m p=mv ; v= ( L=I I=m fü en Telchen)) M ext = L= F Bsp: Ede L ges = L bahn L spn, L bahn =m v st konstant, M ext=0 L = Egendehmpuls st konst. Innee Käfte haben kenen Enfluss auf den Dehmpuls! Kesel: Bewegungsglechung: M ext = d L, L=I (I und ω bzgl.köpeegenen Achsen) dl=m =m g d (m g d = Dehmoment bzgl. Lageung) Päzessonsfequenz: P = dl = m g d L = m g d (ω goss stable Kesel) I ωp L+dL ω dl L Achse (ω) hozontal: kene Bewegung, A. nach oben gechtet ganzes System deht, da vetkale Komponente des Dehmpulsvektos (dl) duch ene Dehung des Systems ausgeglchen wd. mmue@ee.ethz.ch V.3 3/5

5 Schwngungen & Wellen hamonsche Schwngungen F s = k x=m a x =m ẍ x= A cost ; x=a cos tb sn t=a e t t B e v t = Asn t, a x t= Acost Fequenz: v=ω/π (unabhängg von de Ampltude) Kesbewegungen: math. Pendel: =g /l pojezete Bahnkuven Pendel/Fede dentsch Fede: =k /m Fede: Enege E pot = k x = k A cos t E mech =E pot E kn = k A Kaft E kn = mv = m A sn t F x = de pot = k x x dx 0 (unabhängg von t) Pendel: mathematsch: mg sn =m s, s=l = 0 cost = g /l sn g /l gedämpfte Schwngungen Dämpfung pop. zu Geschwndgket: physkalsch: M =m g d sn =I =I m g d I F R = b v kx b ẋ=m ẍ Ansatz: x=e t C = b m m ± b 0 Dämpfung: kene b=0 =± 0 x=a e 0t B e 0t = m g d I stake schwache ktsche b m 0 R, 0 x=ae t b m 0 x= A 0 e b /m t cos' t ' = 0 b m = 0 b m = b/m (Abfallen auf 0 ohne Schwngung) Abklngzet: =m/b A= A 0 e t / (Enege A =A 0 e t / ) be ktsche Dämpfung st b k =m 0 k = m b k = 0 = 4 T Enege m hamonschen Oszllato: E mech = m A E mech t=0 e b t / m Gütefakto: Q= 0 (Enegevelust/Zetntevall = T /= /Q ) je genge de Dämpfung desto gösse de Güte mmue@ee.ethz.ch V.3 4/5

6 Ezwungene Schwngungen extene Kaft F A = F A,0 cost m ẍb ẋm 0 x=f A, 0 cos t Ansatz: x= Acost (ω=fequenz de Anegung) F A, 0 Extemfälle: 0 tan 0 0, A= F A, 0 m = F A, 0 0 k b Lösung: A= tan = m 0 b m 0 0 tan = b m = b m =0 =, A= F A, 0 m 4 b = F A, 0 b m A A max A max / Δω=ω 0 /Q nomale Dämpfung schwache Dämpfung ω es ω π ω/ω 0 es = 0 /Q A max = 4 F A, 0 Q 0 /m 4 Q Q Q ω/ω 0 Ausbetung von Wellen Wellenfunkton: f x±v t (v=ausbetungsgeschw. m entsp. Mateal) Bsp: Selwelle F x=f s cos cos 0 F y =F s sn sn F s tan tan Stegung x x y Wellenglechung fü Selwelle: x y =0 Ansatz: y= f x v t F s t (F s=selspannung, μ=m/l) f ' ' x vt / F s v f ' ' x v t= f ' ' x v t v / F s =0 v=f s / allgemene Wellenglechung y x y v t =0 3D : f v y t =0, = x y z mmue@ee.ethz.ch V.3 5/5

7 hamonsche Wellen f(x vt)=a sn(kx ωt) k: Wellenzahl k=π/λ λ: Wellenlänge ω: Kesfequenz ω=π/t=πf T: Schwngungsdaue f: Fequenz de Schwngung Ausbetungsgeschwndgket: A sn k x /k t =v k Dspesonselaton :=v f x vt = A k sn kx k t (Supepostonspnzp) k Enegetanspot dy P=F y = F dy ssn F tan y s t = F y s x y t (ham.w: P= F s A k cos t x t ) zetlches Mttel: P t = T P t= A v Enege: E = P t= A x (mttl. Enege enes Wellenzugs de Länge Δx) Schallwellen n Gasen & Flüssgketen Duckgadent Gasbewegung Dchteändeungen Duckändeung Übelageung und stehende Wellen Übelageung von Wellen Supepostonspnzp: Snd y und y Lösungen de Wellenglechung, so st c y + c y ebenfalls Lösung Wellenglechung: y x,t =A snk x t k=/ Wellenzahl, = Phasenveschebung fxe Ot: k x t k x t =t t =t =0 t=/ (Zetuntesched fü gleche Ampltude an glechem Ot) fxe Zet: Phasendffeenz k x t k x t=0 Ganguntesched x= /k= / Übelageung allgemen: y y =A cos/ sn k x t/ const. laufende Welle = cos/=0 =0 cos0= esulteende Welle: hamonsch mt gleche Wellenzahl & Fequenz weden Wellen P =P m sn t addet, so egbt sch ene Schwebung: Stehende Wellen Bedsetg engespannt P=P m cos t sn t,de mt de Fequenz schwngt. De Ampltude schwngt mt ene Fequenz von. Gundwelle n. Hamonsche Fequenz l=λ/ l=n λ/ v n = v/ λ n = n * v / l = n * v (v =v / l = Fequenz de Gundschwngung) Ensetg engespannt l=λ/4 l=(n'+) λ/4 (n'=0,,,) v n= v/ λ n = n * v / 4l = n * v Anegung: Peodsch mt Zetntevallen T n (Geschwndgket v=λ n v n = const.) Laufzet: l / v = Peode de Anegung l / v = n * T n (bedsetg engespannt) Resonanzbedngung: v n=/t n = nv/ l (bedsetg engespannt) mmue@ee.ethz.ch V.3 6/5

8 Wellenfunkton fü stehende Wellen Y n =A n xcos n t n A n x= A n snk n x k n =/ n Jede Punkt schwngt hamonsch, zwe Punkte schwngen n Phase ode Gegenphasg (δ=0,π) Übelageung: Y x, t= A n sn k n x cos nt n n Dopple-Effekt v '= 0 v±v a = v, '=± v a Bewegt sch Quelle auf uns zu: - / von uns weg: + v v a=geschwndgket de Quelle (Auto, etc.) v=schallgeschwndgket v 0=uspünglche Fequenz ±v e /v Bewegen sch Quelle & Empfänge, glt '= 0 ±v a / v Bewegt sch das Medum, glt zusätzlch v e eff =v e ±v m, v a eff =v a ±v m Das elektsche Feld Coulomb'sches Gesetz: F C = 4 o q q Elektsches Feld: E= F C q = 4 o q E= (q st ene klene Pobeladung) Feldlnen: gehen von + nach -. Feldstäke = Dchte de Lnen Fenfeld Fenfeld: E= e 4 0 [3 a Dpol m Fenfeld: E= e a sn cos 3sn E = q 4 0 cos sn sn a 3 a sn ] cos sn a (Abstand vom Dpol >> a) elektsches Dpolmoment: p=a q M =p E (a = Abstand zwschen q und -q, M=Moment) Bewegung von Ladungen: kontnuelche Ladungsvetelung m =F =q E, t Raumladungsdchte: =q /V =const. V : dq= dv de= dq 4 0 Obeflächenladungsdchte: dq= da Lnenladungsdchte: dq= dl Feld: Bsp: endlche Lnenladung E= V dq 4 0 de x e x = 4 0 dq x P x l E x = 0 dq= dv dq= da, dq= dl e x = 4 0 dx x P x e x l=q de x =...= q gosse Entf. x 4 0 x p /4 l p l x p gemessen am Punkt P. Lnenladung von x=0 bs x=l mt Ladung q mmue@ee.ethz.ch V.3 7/5

9 Das Gauss'sche Gesetz Elektsche Fluss: el = A Ist P ncht auf de Achse, so glt de =de x de y E x = q 4 0 l y cos cos E y = q 4 0 l y sn sn θ st de Wnkel zwschen y-achse und Anfang()/Ende() des Stabs kesschebe/ngladung E x, y, z d A ( d A Fläche, zegt nach Aussen) el = E d A= q nnen 0 Ist A ncht glech oentet we E, so glt Bsp: = B (A=geschl. Obefläche, Radus & Fom egal) E d B, B=A cos (θ=wnkel zwschen E und n A ) E Kugel = q nnen 4 0 E Fläche h = 0 E Kugelschale = 0 E Kugelschale nnen =0 Innehalb de Kugelschale glt Ladungen und Felde auf Leteobeflächen Elektostat. GGW: q nnen =0 el =0 E=0 da A 0 Ladungen m Lete bewegen sch ncht (Kaft auf jede Ladung = 0, E nnen=0) Das Innee des Letes st elektsch neutal, de Ladungen stzen nu auf de Obefläche, E A Das elektsche Potental Potentaldffeenz d E pot =d E el = F dl= q E dl d =d E el q = E dl b = b a = E dl (ΔΦ st stetg & Wegunabhängg) a Das elektsche Feld zegt n de Rchtung, n de das Potental am schnellsten abnmmt. Potental & kontnuelche Ladungsvetelungen P = B P d = E d= q P q d= = q B 4 0 B 4 0 P B 4 0 d x E= dx d E = e d = kontnuelche Ladungsvetelung: = q = dq B Annahme 0 homogen gel. Rng: = q, E= q x 4 0 x a 4 0 x a e 3/ x (a=radus Rng, x=dstanz) homogen gel. Rng: Im Innen des Rngs ( << ) st das Feld konstant, sonst nmmt es pop. / ab Kugelschale: = q, E= q 4 0 p 4 0 e = q, E=0 4 0 p k k unendl. Lnenladung: P B = 0 ln P B, E= 0 mmue@ee.ethz.ch V.3 8/5

10 Elektostatsche Enege & Kapaztät Bnge q aus dem Unendlchen: W =q = 4 0 q q N E el = q j j j=, (Φ j=potental alle andeen Ladungen), kontnuelche Ladungsvet.: E el = q Kapaztät: U = C=Q/U =4 0 [ F =C /V ] E=/ C U Plattenkondensato: E= 0 Platte = q A 0 U ==E d= q d 0 A C= q U = 0 A d ausenandezehen d. Platten: U d = U 0, F d, = F, = 0 q E, W = d d E el d 0 = q A Zylndekondensato: C=l 0 ln / ( =Radus des äusseen Letes, =R.d. nneen L.) Specheung elekt. Enege: E el = q C = q U 0 Enege des elekt. Feldes: E el = C U = Enegedchte: E el /V = 0 E Kondensatoen... n See: Delektka: C ges = 0 A d E d = 0 E A d Volumen paallel: C ges = C U =E d = E 0 d = U 0 C=C 0 = 0 A/d ε Luft = C ( C= 0 A/d ) ohne Battee: q ' =q=c ' U ' = C U ' U '= q C = C U C = U (U'=mt Delekt.) mt Battee: U =U ' q '=C ' U '=C ' U = 0 A/d U = C U = q elektsche Stom I =q /t=q n/v A v D duch Fläche A, Telchenzahl = n/v A v D Δt, (v D = Dftgeschwndgket) fee Ladung q=q n/v A v D t Wdestand elektsches Feld E beschleungt Ladungstäge: F =e E U = a b = E l R= U I = l A ( = spezfsche Wdestand) seell: R ges = R paallel: Enegetsche Betachtung Welche Abet wd an Δq vechtet? E el = q U U = a b E el Rate des Enegevelusts: = q t t U = I U Kchhoffsche Regeln Maschenegel: E ds=0 Knotenegel: I =0 R ges = R mmue@ee.ethz.ch V.3 9/5

11 RC-Stomkese Schalte offen: U c,0 = q 0 C Aufladen enes Kondensatos: wd geschlossen: I 0 = U c,0 R = q 0 RC U R dq q t C =0 I = dq t RC =I 0 e q t=c U e t / RC =q end e t / RC Das Magnetfeld De magnetsche Kaft Loenzkaft: F L =q v B F v, F B [ B]=Tesla (Edmagnetfeld ~0-4 T = Gauss) Gesamte Kaft auf Daht: F =q v D B n V A l=i l B df ges = I dl B (fü bel. Lete) Egenschaften von Feldlnen bem Elektschen Feld E und Magnetfeld B: E n Rchtung de elektostat. Kaft von q nach -q B Kaft auf bewegte Ladung snd mme n sch selbst geschlossen Bewegungen ene Punktladung m Magnetfeld es gbt kene magn. Monopole! magnetsche Käfte lesten kene Abet E kn blebt konstant z.b. Kesbahn: q v B=m v / =mv /qb Zyklotonenbahn, c = T = q B m = q m B Geschwndgketsflte: F ges =q E qv B F el F L Dehbae Leteschlefe be B 0 v = E B Käfte F =I a B, F = F F ges =0 I n θ B F Dehmoment: M = F b sn =I a B b sn =I A B sn F b M = B magnetsches Dpolmoment: =n I A (n: Anzahl Wndungen) Potentelle Enege: De Hall-Effekt Abet fü de Dehung um dθ dw = M d = B sn d de pot = dw = Bsn d E pot = B cos E pot, 0 E pot 90 =0 E pot, 0 =0 E pot = B cos= B (st elatv, E pot, 0 kann gendwe defnet weden) En Stom I ( B) flesst duch ene Platte mt Längen d und Höhe b. De Spannung top/bottom U H: q v 0 B=q E H E H = U H U b H =E H b=v D B b d 0 U = I H d e n/v B n N (U H st lnea abh. von B (klasssche Hall-Effekt)) I = n v q v d A n v = I q=e = I = I B Aq v D b d ev D d eu H mmue@ee.ethz.ch V.3 0/5

12 Quellen des Magnetfelds bewegte Punktladung: B= 0 v / q 4 0 =4 0 7 Tm/ A Pemeabltät des Vakuums Stöme: qv= I dl db= 0 4 I dl / db Leteschlefe (Mtte): Leteschlefe (Achse): db= 0 I dl 4 LS sn=sn 90= db = 0 4 Spule: B x = q 0 lange Daht: B= 0 4 Bsp: paallele Dähte, I // I : Ampèe'sches Gesetz C ene belebge geschlossene Kuve, I dl x LS B= db= 0 I dl 4 LS LS x LS sn magnetsches Moment de Schlefe: elekt. Dpol: e x = q p 4 0 x 3 n l I x x x LS LS = 0 I LS LS B x= db x = 0 4 x LS, p =e a a =dst.q / q x =l / = A I =I LS x =l / SL I x LS 3 / B x = 0 4 x 3 es entsteht en Dehmoment Feld...m Innen l SL B x = 0 n/l I...am Ende B x = q 0 I cos d = 0 4 I cos cos l= : =0 =80 df = I dl B df 0 I = I dl I I C E d=0 E konsevatv C B d= C B t d= 0 I C Bsp: lange Daht B dl B dl=b dl=b = 0 I B= 0 I n l I B= 0 4 I Induktonsgesetz magnetsche Fluss: mag = B da A Lenz'sche Regel: Selbstndukton: Indukton duch Bewegung F L F el =0 U nd = d mag = d A B da C E ds 0 Induktonsspannung st he Usache entgegengechtet. Snd Stomkese nduktv gekoppelt, hängt das Vozechen n davon ab, ob zu/abnmmt. Spule nduzet Spannung, de de angelegten Spannung entgegengechtet st B da=b l b mag =B l x t d mag = d B l x dx=v =B l v= U nd mag = B F L =q v D B, v D v F el =q E U = Abet Ladung = F l L q = q v B l =v B l q mmue@ee.ethz.ch V.3 /5

13 Induktvtät L ene Spule Selbstndukton: n mag = 0 l I An B L= mag = I 0 n l A l Gegenndukton: L = mag,, I = mag,, I =L B = 0 n l I mag,, =n B = n l l B n = 0 l n l l I Enege des Magnetfelds (RL-Stomkes) U 0 I= I R LI di / P P Battee Wdestand P Spule U L =U nd I R= L di I R Magnetfeld de nneen Spule P= de mag = L I di / de mag =L I di E mag = de mag = L I = B A l 0 R-L-Stomkes enschalten: I 0 R=0 ausschalten: U 0 =L di I R L di =0 I =I 0 e t / I 0 = U R, = L R I= U 0 R e t R / L =I E e t / I E = U 0 R, = L R Ezeugung von Wechselstom Roteende Leteschlefe n Magnetfeld, mag =n B A cos=n B Acost Induzete Spannung: U nd = d mag =n B A sn t=u max snt Wechselstomkese Annahme δ=π/: U R =U max cost, I= I max cost P= R I max cos t P = R I max U L = L di /=U max cost I= U L,max sn t P =0 L U C =q/c=u c, max cost, I= I max sn t I max =U max C P =0 R-L-C-Stomkes: U R U L U C =0, Ansatz :q=q 0 e At A= R L ± R 4C LC R schwache Dämpfung: 4L LC q t=q 0 e R/ L t e t = LC mmue@ee.ethz.ch V.3 /5

14 Maxwell'sche Glechungen Veallgemenete Stom=eale Stom + Veschebungsstom Veschebungsstom: Gauss'sche Satz: I V = o d el el = A E C B dl= 0 I I v = 0 I 0 0 d el da= q nnen q nnen = o el d q nnen d el = 0 0 = I V I= J da J =Stomdchte. A E da= 0 q nnen d v E= 0 elekt. Ladungen snd Quellen von E. A B da= C E dl= d B da AC C B dl= 0 I 0 0 E t da ot E= B t d v B=0 ot B= 0 J 0 0 E t es gbt kene magnetschen Monopole nduzete Spannungen = Ändeungsate des magnetschen Flusses Magnetfeldlnen umgeben ene Fläche, duch de de Stom flesst Elektomagnetsche Wellen Im Vakuum glt: =, =,=0,j=0 B B E E 0 0 =0 t Wellenglechung B (n ene Dmenson: x B 0 0 =0 ) Anwendung von Maxwell,4 t De Lösung de Wellenglechung st B= B 0 e k x t laufende Welle : k = / k = v =k v=k c c=v== =3 0 8 m s 0 0 Annahme : B 0 =B 0 e x, k =k e y Ausbetungschtung De Lösung fü das elektsche Feld: ot B= B 0 e ky t 0, 0,k T = E t c E t =c B 0 k e z e ky t =E 0 e ky t E 0 =c k B 0 =c c B 0 =c B 0 Ene elektomagnetsche Welle hat Wellen n Rchtungen E e z, B e x Enegedchte: W el = 0 E W magn = Kondensato B Spule = E /c 0 0 = E 0 c = E 0 =W el mmue@ee.ethz.ch V.3 3/5

15 Egenschaften des Lchts Reflexon und Bechung Huygens'sches Pnzp: Jede Punkt ene Wellenfont st Ausgangspunkt fü ene Kugelwelle Femat'sches Pnzp: Das Lcht wählt den scnellsten Weg zwschen zwe Punkten Reflexon Enfallswnkel=Ausfallswnkel Welle tfft Spegel Auslaufende Kugelwelle Küzeste Weg: Spegelung von A A' Bechung: Meden mt Bechungsndex c n =c /n, gesamte Laufzet t= l l = n l n l c c c de Geomete egbt sn = x, sn l = d x n l sn =n sn Totaleflexon: Genzwnkel =90, sn =n /n Geometsche Optk Lnse: dünne Lnse: n g n b = n n f = g b mt Bechkaft D= f mt Dstanzen: g=objekt-lnse, b=lnse-bld, =Lnse-Fokus [ D]= dpt.=m Wellenoptk Intefeenz: Beugung: Räumlche Ampltudenmodulaton duch Supeposton Abwechung de Ausbetung von geom. Stahlchtung an enem Hndens Ganguntesched: b=d sn (Gafk: b :=, := ) Maxma: konstuktve Intefeenz d sn =m m={0,,...} Mnma: destuktve Intefeenz d sn =m m={0,,...} Kennzahlen Schallgeschwndgket: Lchtgeschwndgket: 343 m/s n Luft (0 C, 0 müm) und 407 m/s n Wasse 3 * 0 8 m/s mmue@ee.ethz.ch V.3 4/5

16 Anhang α sn 0 / / 3/ cos 3/ / / 0 sn(90-α) = cos(α) cos(90-α) = sn(α) sn(90+α) = cos(α) cos(90+α) = -sn(α) sn(80-α) = sn(α) cos(80-α) = -cos(α) sn(80+α) = -sn(α) cos(80+α) = -cos(α) sn(-α) = -sn(α) cos(-α) = cos(α) System Paametseung Jac.-Det. Zylnde R cos R sn z Kugel Def: θ an x-achse: R coscos R cossn, Rsn [0, ] [, ] cos Def: θ an z-achse: R sn cos R sn sn, Rcos [0,] [0,] sn mmue@ee.ethz.ch V.3 5/5