Analysis I & II D-MAVT, D-MATL 2017 / Dr. Andreas Steiger

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1 Analysis I & II D-MAVT, D-MATL Dr. Andreas Steiger 2017 / 2018

2 Abriss eines Lebenslaufs BSc Mathematik ETH 2008, MSc Mathematik ETH 2009, Dr.sc. ETH 2014 Seit August 2015: Dozent, Fach- & Mobilitätsberatung D-MATH Thurgauer, seit Studienbeginn in Zürich wohnhaft

3 Was ist Analysis? I Analysis ist in erster Linie das Studium von Grenzwerten Folge: (a n ) = (a 1, a 2, a 3,...) Grenzwert der Folge: lim a n =? n

4 Was ist Analysis? I Mögliche Ergebnisse? (a n ) konvergiert gegen a: lim a n =? n lim a n = a R n (a n ) wird beliebig gross (oder klein): lim a n = (oder ) n (a n ) konvergiert nicht: lim n a n existiert nicht. Weiterrechnen mit Grenzwerten: Nur möglich wenn (a n ) gegen a konvergiert.

5 Was ist Analysis? I Fast alles, was Sie antreffen werden, lässt sich irgendwie als Funktion schreiben. Einfacher Fall: f : (a, b) R x f (x) Stetigkeit: Für jedes x 0 (a, b) gilt lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 Konvergierender Grenzwert, geeignet zum Weiterrechnen

6 Was ist Analysis? II Spezielle Punkte einer Funktion: Maximum, Minimum, Wendepunkte... Werkzeug: Ableitung beschreibt Steigung f (x 0 ) = f (x 0 + x) f (x 0 ) lim x 0 x Maximum/Minimum erkennbar durch f (x) = 0. Kettenregel: (f (g(x))) = f (g(x)) + g (x) (Wieder ein konvergierender Grenzwert.)

7 Was ist Analysis? II/A Funktionen sind nicht für alle geometrischen Objekte geeignet, beispielsweise für Kreise, Ellipse, Spiralen,... Ausweg: Ebene Kurven über Parameterdarstellung Werkzeuge: Komplexe Zahlen, Polarkoordinaten

8 Was ist Analysis? III Weiteres Objekt von Interesse: Flächenberechnung Werkzeug: Integral b lim a n k=1 f (x) dx = n f (ξ k ) x k Zusammenhang Integral-Ableitung über Fundamentalsatz ( x f (y)dy) = f (x) a

9 Was ist Analysis? VIII Manchmal muss man aber nicht die Funktion präzise kennen, eine Approximation reicht Werkzeug: Taylorreihe um x 0 f (x) = n=0 f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! Anwendung: Numerische Approximation, Simulationen, etc

10 Anwendungen auf Extremwerte, verallgemeinerte Kettenregel Was ist Analysis? IV Leider reicht eine Dimension nicht für unsere Welt. Werkzeug: Mehrdimensionale Funktionen f : A R, (x, y) f (x, y) A R R Werkzeug: Partielle Ableitungen f x (x 0, y 0 ) = f (x 0 + x, y 0 ) f (x 0, y 0 ) lim x 0 x

11 Was ist Analysis? V Analog: Mehrdimensionale Integrale f (x, y, z)dv = lim n B n f (x i, y i, z i ) V i i=1 Anwendungen: Berechnung von Schwerpunkt, Trägheitsmoment, etc Nützliches Werkzeug: Koordinatentransformationen

12 Was ist Analysis? VI Bis jetzt betrachteten wir mehrdimensionale Funktionen mit Werten in R. Doch damit lässt sich nicht alles beschrieben. Also: Vektoren statt Werte, das nennt sich Vektorfeld: v : A R 3, A R 3 (x, y, z) v(x, y, z) = (v 1 (x, y, z), v 2 (x, y, z), v 3 (x, y, z))... und dann leiten wir auch diese ab. div v(x, y, z) = v 1,x (x, y, z) + v 2,y (x, y, z) + v 3,z (x, y, z)

13 Was ist Analysis? VI Weiteres Werkzeug: Arbeit im Feld v entlang eines Weges W mit Parametrisierung r tq x(t) A = v y(t) r(t)dt t P z(t) Zur Berechnung nützlich: Sätze von Gauss und Stokes Anwendungen: (Wärme-)Fluss berechnen, Energietransfer und -verbrauch, etc

14 Was ist Analysis? VII Bei physikalischen Systemen hängen Funktionen als Ableitung voneinander ab ṡ = v, v = a Gesucht sind Lösungen von Differentialgleichungen ÿ + y =0, ẏ = ky, mẍ =mg aẋ Anwendungen: Schwingkreise, Dämpfung, Reibung, Resonanzfrequenz etc. berechnen

15 Von Herr Dr. A. Steiger empfohlen Titel Stammbach Urs Analysis I/II, A, B, C + Aufgabensammlung Studentenpreis CHF pro Buch Gesamtpaket: A,B, C + Aufgabensammlung Studentenpreis CHF Erhältlich in den Filialen: ETH Store Polyterrasse Offen Mo-Fr 9-18 Uhr ETH Store Hönggerberg Offen Mo-Fr 8-18 Uhr Sa Uhr Online bestellen:

16 Was ist Analysis? Eine schwierige mathematische Disziplin, dessen Kernfähigkeiten immer wieder gebraucht werden Das grösste Fach Ihres Basisjahres, sowohl bezüglich Stundenzahl als auch bezüglich des Notengewichts in der Basisprüfung

17 Administratives: MyStudies Die zentrale Verwaltung für Veranstaltungen und Noten erfolgt an der ETH über MyStudies Schreiben Sie sich dort in alle Veranstaltungen des Basisjahres ein. Sonst erhalten Sie wichtige Informationen spät oder gar nicht. Bietet auch Stundenplanfunktionen, etc.

18 Administratives: Veranstaltungen Vorlesung: Immer Mo & Fr 8:15 10:00 sowie Mi/2w 1 im HG F7 mit Videoübertragung ins HG F5 Übungen MAVT: Fr 10:15 11:45 bzw. 12:30 14:00 Übungen MATL: Fr 13:30 15:00 Schnellübung: Mi/2w 08:15 10:00 abwechselnd zur Vorlesung Alle Übungen finden nächste Woche erstmalig statt. 1 alle 2 Wochen, beginnend heute

19 Administratives: Übungsbetrieb Eine Übungsserie enthält immer einen Multiple-Choice-Teil und 3-5 offene Aufgaben Ausgabe Serie jeweils am Montag, die erste nächste Woche Vorbesprechung in Übung am Freitag Abgabe am Mittwoch darauf, in Vorlesung oder Schnellübung Rückgabe und Nachbesprechung am Freitag In Schnellübungen wird das Material vor Ort verteilt, bearbeitet und besprochen

20 Administratives: Weiteres Personal Hauptassistenten: Giuliano Basso, Doktorand D-MATH 13 Hilfsassistenten, höhersemestrige Studierende aus D-MATH/PHYS/MAVT/MATL Bitte stellen Sie Ihre Fragen erst Ihren Hilfsassistenten und erst dann den Hauptassistenten oder mir.

21 Administratives: ECHO Nachdem Sie sich auf MyStudies für die Vorlesung eingeschrieben haben, erhalten Sie Zugang zu ECHO: echo.ethz.ch Funktionen: Übungen Lösungen Online-Quizzes und Auswertungen Einschreibung in Übungsgruppen Seite ist personalisiert und studiengangsspezifisch Beinhaltet auch alles zur Linearen Algebra Übungen lösen macht Spass

22 Administratives: Zwischenprüfung Findet in der 2. Semesterwoche des Frühlingssemesters statt Nur Multiple-Choice-Fragen Falls die Zwischenprüfung besser ausfällt als die Basisprüfung, ergibt sich die Analysisnote zu 20% aus der Zwischenprüfung 20% und zu 80% aus der Basisprüfung. Sonst zählt nur die Basisprüfungsnote Übungen lösen macht schön

23 Administratives: ETH EduApp Smartphone-App der ETH (Android, ios, Windows Phone) Nützliche Funktionen für Studierende (Stundenplan, Navigator, etc) Feedback-Kanal, anonymisiert In Vorlesung: 1x pro Lektion eine MC-Frage mit Diskussion Auch übers Web benutzbar: eduapp-app1.ethz.ch Übungen lösen macht glücklich

24 Beispiel einer Basisprüfung Auf den nächsten Folien gehen wir kurz durch eine ganze Basisprüfung Analysis I/II durch Beispiel stammt vom Winter 2013 (Prof. G. Felder) Inhaltlich hat sich an der Vorlesung seither nichts geändert Heute grösserer MC-Anteil als damals (Sommer 2017: 3 8 = 37.5%) Übungen lösen hilft bei der Basisprüfung

25 Basisprüfung Winter 2013 Übungen lösen reduziert Flüchtigkeitsfehler

26 Basisprüfung Winter 2013 Übungen lösen ersetzt die Formelsammlung

27 Basisprüfung Winter 2013 Übungen lösen macht Integrale einfach

28 Basisprüfung Winter 2013 Übungen lösen macht klug

29 Basisprüfung Winter 2013 Übungen lösen hilft bei Konvergenzfragen

30 Basisprüfung Winter 2013 Übungen lösen vereinfacht dein Anfangswertproblem

31 Basisprüfung Winter 2013 Übungen lösen hilft, Lösungsstrategien zu erkennen

32 Basisprüfung Winter 2013 Übungen lösen hilft mit Nebenbedingungen klar zu kommen

33 Basisprüfung Winter 2013 Übungen lösen ist Arbeit, aber wirkt nicht unbedingt integrierend

34 Basisprüfung Winter 2013 Übungen lösen minimiert die Durchfallquote (der Prüfung, nicht auf der Schüssel)

35 Basisprüfung Winter 2013 Übungen lösen hilft, dass du nicht selbst rotierst

36 Basisprüfung Winter 2013 Übungen lösen setzt voraus, dass du dein Trägheitsmoment überwindest

37 Basisprüfung Winter 2013 Übungen lösen sorgt für viel Erfolg!

38 Tipps von Abgängern Übungen lösen gibt kreative Ideen

39 Tipps von Abgängern Übungen lösen gibt Flexibilität, aber nicht unbedingt in der Hüfte

40 Tipps von Abgängern Übungen lösen kann längerfristig zu Erfolg bei der Partnersuche führen

41 Tipps von Abgängern Übungen lösen kann den Blick fürs Wesentliche eröffnen

42 Tipps von Abgängern Übungen lösen sollte man schon während des Semesters, sonst wird das nix mit Skiferien

43 Tipps von Abgängern Übungen lösen hilft aber, seinen Mitstudierenden etwas beizubringen. Kann man sich ja mit Bier ausbezahlen lassen.

44 Tipps von Abgängern Übungen lösen macht dich zu einem besseren Menschen

45 Tipps von Abgängern Übungen löst man mit Papier und Bleistift. True story.

46 Tipps von Abgängern Übungen lösen hilft, wenn man auch Professor werden will

47 Tipps von Abgängern Übungen lösen ist Teil des Play Hard, bevor man zu Party Hard übergeht

48 Tipps von Abgängern Übungen lösen lässt einen hoffen, die Prüfung zu bestehen. Vielleicht.

49 Tipps von Abgängern Übungen lösen macht, dass man später auch Shirts mit zynischen Sprüchen tragen darf

50 Tipps von Abgängern Übungen lösen hat Gauss zum Erfolg geführt

51 Tipps von Abgängern Übungen lösen ist wie ins Training zu gehen. Mit Kaffee statt Proteinshake.

52 Tipps von Abgängern Übungen lösen... noch ist es nicht zu spät, das zu lernen

53 Tipps von Abgängern Übungen lösen ist auch nach der ETH noch gratis, aber ist etwas zu spät

54 Tipps von Abgängern Übungen lösen hilft aber auch beim Verständnis

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56 Was führt zum Erfolg? Aktive Mitarbeit: Stellen Sie Fragen, lösen Sie Übungen 2, diskutieren Sie untereinander Hartnäckigkeit: Mathematik lernt sich nicht von einem Tag auf den nächsten. Aber auch Ausgleich muss sein. Nutzen sie die reichhaltigen Angebote von VSETH, AMIV, ASVZ, etc. Mathematics is not a spectator sport! 2 Die ETH hat einen hochgradig signifikanten Zusammenhang zwischen Übungsabgabe und Basisprüfungserfolg festgestellt.