Flächentragwerke Formelsammlung

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1 Flächentragwerke Formelsammlung Jan Höffgen 18. Februar 014 Inhaltsverzeichnis 1 Scheiben 1.1 Rotationssymmetrische Scheiben Platten 3.1 Platten-DGL Belastungsumordnungsverfahren Verfahren nach Pieper/Martens Schalen 6

2 1 SCHEIBEN 1 Scheiben Scheiben DGL: (1 + ν) n xy,xy = n x,yy ν n y,yy + n y,xx ν n x,xx Airy sche Spannungsfunktion F mit F = F,xxxx + F,xxyy + F,yyyy = 0 n x =: F,yy σ x = nx d n y =: F,xx σ y = ny d n xy =: F,xy yf x xf y τ xy = nxy d Verschiebungen Ed u x = (x) F,yydx νf,x + f(y) Ed u y = (y) F,xxdy νf,y + f(x) Dehnungen ε x = u x,x = 1 Ed (F,yy νf,xx ) = 1 Ed (n x νn y ) ε y = u y,y = 1 Ed (F,xx νf,yy ) = 1 Ed (n y νn x ) γ xy = u x,y + u y,x Transformation der Kräfte n ξ = 1 (n x + n y ) + 1 (n x n y ) cos(α) + n xy sin(α) n η = 1 (n x + n y ) 1 (n x n y ) cos(α) n xy sin(α) n ξη = 1 (n x n y ) sin(α) + I yz cos(α) ( ) Hauptnormalkräfte: Drehung um α = 1 arctan nxy n x n y Randbedingungen freier Rand: n x (a) = n y (a) = 0 gelagerter Rand: u x (a) = u y (a) = 0 mit f(y) = f(x) = 0 Scheiben-DGL in PK mit F f(ϕ): F = F,rrrr + r F,rrr 1 r F,rr + 1 r 3 F,r = 0 Allg. Lösung: F = c 0 + c 1 ln r + c r + c 3 r ln r n r = 1 r F,ϕϕ + 1 r F,r n ϕ = F,rr n rϕ = ( 1 r F,ϕ),r 1.1 Rotationssymmetrische Scheiben Scheiben-DGL in PK: F = F,rrrr + r F,rrr 1 r F,rr + 1 r 3 F,r = 0 Allg. Lösung: F = c 0 + c 1 ln r + c r n r = 1 r F,r = c 1 1 r + c n ϕ = F,rr = c 1 1 r + c Bei Vollscheiben c 1 = 0, damit n r (0) und n ϕ (0) Werkstoffgesetz ε r = 1 Ed (n r νn ϕ ) + α T T ε ϕ = 1 Ed (n ϕ νn r ) + α T T Verschiebungen u r = ε r dr = 1 Ed (nr νn ϕ )dr = rε ϕ u ϕ = 0 J.H. Seite

3 PLATTEN Platten.1 Platten-DGL Plattentheorien Reissner Mindlin für 1 5 d 1 10 Schubsteif (Schubverzerrung, γ xz, γ yz 0) Kirchhoff für 1 10 d 1 50 Schubstarr (ohne Schubverzerrungen, γ xz = γ yz = 0) Plattensteifigkeit B = E d3 1(1 ν ) Allg. Platten DGL nach Kirchhoff: w,xxxx + w,xxyy + w,yyyy = p B Schnittgrößen (Bild S. 3.14) m x = B(w,xx + νw,yy ) (Moment um y, bewirkt Spannungen in x Richtung) m y = B(w,yy + νw,xx ) (Moment um x, bewirkt Spannungen in y Richung) m xy = B w,xy (1 ν) (= 0 an Einspannungen, < 0 am freien Rand) q x = B(w,xxx + w,xyy ) (Querkraft in z am Rand parallel zur y Richtung) q y = B(w,yyy + w,xxy ) (Querkraft in z am Rand parallel zur x Richtung) Ersatzquerkräfte q x = q x + m xy,y = B(w,xxx + ( ν) w,xyy ) q y = q y + m xy,x = B(w,yyy + ( ν) w,xxy ) Spannungen σ x = ±6 mx d σ y = ±6 my d τ xy = ±6 mxy d τ xz = 1,5 qx d τ yz = 1,5 qy d Eckkräfte durch Drillmoment: A = m xy DGL der drillweichen Platte: w,xxxx + w,yyyy = p B m xy = 0 DGL für rotationssymmetrische Platten: r 4 w,rrrr + r 3 w,rrr r w,rr + rw,r = p B r4 Lösungsansatz: w = w H + w P = c 0 + c 1 ln r + c r + c 3 r ln r + w P p = const. w P = p r4 64B Ableitungen w H,r = c1 r + c r + c 3 (r ln r + r) w H,rr = c1 r + c + c 3 (3 + ln r) w H,rrr = c1 r + c 3 r Für rotationssymmetrische Kreisplatten unter Volllast gilt c 1 = c 3 = 0 w H (r) = c 0 + c r Lösungen für Kreisplatten unter Gleichlast, mittiger Einzellast und konst. Randmomenten im Skript S Schnittgrößen m r = B(w,rr + ν w,r r ) m ϕ = B( 1 r w,r + νw,rr ) q r = B(w,rrr + 1 r w,rr 1 r w,r ) DGL für elastische Bettung: w + c B w = p B DGL für Temperaturbelastung: w + (1 + ν) κ t = p B J.H. Seite 3

4 PLATTEN Randbedingungen Rotationssymmetrische Platte mit Radius a unter konstanter Volllast p: q r (a) = p a Rotationssymmetrische Platte: w(r = 0) = endlich lim r 0 w Reihenlösungen (S ff) Beschreibung der Lastfunktion p(x) als Fourierreihe p(x) p(x) = a 0 + k=1 (a k cos( kπ L x) + b k sin( kπ L x)) a 0 = 1 L p(x)dx L 0 L 0 a k = kπ L p(x) cos( L x)dx b k = L kπ L p(x) sin( 0 L x)dx f ungerade a k = 0 für k 0 f gerade b k = 0 für k 1 Lösungsansatz: w = w p + w h w p = k w n sin( kπ L x) (w n aus S. 3.40) w h = k (d k1 cosh( kπ L x) + d kx cosh( kπ L x)) + k (d k3 sinh( kπ L x) + d k4x sinh( kπ L x)) Ableiten und in Ansatzfunktion für w einsetzen Partikulärlösung: Koeffizientenvergleich der Partikulärlösung mit Lastfunktion Homogene Lösung: Berücksichtigung der Randbedingungen J.H. Seite 4

5 PLATTEN. Belastungsumordnungsverfahren Voraussetzungen min /y max /y 0,75 Gleichlast Plattendicke konstant w 0 an den Rändern, drillsteife Plattenecken, Plattenfelder untereinander biegesteif Bestimmung der maximalen Feldmomente 1. Berechnung der Feldmomente m a f für die realen Lagerungsbedingungen für die Belastung p = g d + q d (a) Bestimmung der Lagerungsbedingungen und Identifikation des Plattentyps ( ) ly (b) Bestimmung des jeweiligen Stützweitenverhältnisses des Feldes 1 (c) m f,ix/y = p l x/y T W. Berechnung der Feldmomente m b f für allseitig gelenkige Lagerung für p = ± q d Für maximales Feldmoment Feld mit + q d, für minimales Feldmoment Feld mit q d belasten 3. m f,ges = m a f + mb f Bestimmung der Stützmomente 1. Berechnung der Stützmomente m a s,ij und ma s,ji für die realen Lagerungsbedingungen für die Belastung p = g d + q d. Berechnung der Stützmomente m b s,ij und mb s,ji mit Einspannungsrandbedingung an der untersuchten Stützung für p = ± q d 3. m s,ij,ges = m a s,ij + mb s,ij 4. m s,ges = 1 (m s,ij,ges + m s,ji,ges ) Berücksichtigung der Querdehnung: m f,x (ν 0) = m f,x (ν = 0) + ν m f,y (ν = 0).3 Verfahren nach Pieper/Martens Voraussetzungen Verkehrslast q d g d Gleichlast Plattendicke konstant w 0 an den Rändern, Plattenfelder untereinander biegesteif Bestimmung der Feldmomente 1. Bestimmung der Lagerungsbedingungen und Identifikation des Plattentyps ( ) ly. Bestimmung des jeweiligen Stützweitenverhältnisses des Feldes 1 3. Ablesen der Beiwerte f x und f y für drillsteife (oder f 0 x und f 0 y für drillweiche) Platten aus Tafeln 4. Berechnung der Feldmomente m f,ix/y = p d Bestimmung der Stützmomente l x f x/y mit p d = g d + q d 1. Ablesen der Beiwerte s x und s y für beide Platten, die am Unterzug gelagert sind Für Stützmoment an der langen Seite (m y,erm ) s x ablesen. Berechnung der Stützmomente { ( 1 max p d /y m s,ij = m s,ji = 0,75 max m s,ij max{m si, m sj } 1 s x/y,ij + 1 s x/y,ji ) } für lxi j < 5 für lxi j > 5 J.H. Seite 5

6 3 SCHALEN 3 Schalen Koordinatenrichtungen ϑ: Winkel zwischen Schalenoberseite und Schalenunterseite ϕ: Winkel in Umfangsrichtung Gleichgewichtsbedingungen (Membrantheorie) F ϑ = ϑ n ϑr sin ϑ n ϕ r cos ϑ + p ϑ r sin ϑ = 0 F ϕ = nϕ ϕ r + ϑ n ϑϕr sin ϑ + n ϑϕ cos ϑ + p ϕ r sin ϑ = 0 F z = n ϑ r + n ϕ r + p z r Gleichgewichtsbedingungen für rotationssymmetrische Schalen ( ϕ = 0, n ϕϑ = 0) F ϑ = ϑ n ϑr sin ϑ n ϕ r cos ϑ + p ϑ r sin ϑ = 0 F ϕ = p ϕ r sin ϑ = 0 p ϕ = 0 F z = n ϑ r + n ϕ r + p z r n ϕ = n ϑ p z r Einwirkungen Eigengewicht: g ϑ = g sin ϑ, g z = g cos ϑ Schnee: s = s cos ϑ p ϑ = s sin ϑ cos ϑ, p z = s cos ϑ Wind: w = p z = w H = w V, p ϑ = 0 J.H. Seite 6