Kreditrisikomodelle und Diversifikation erschienen in: Zeitschrift für Bankrecht und Bankwirtschaft (ZBB), 14. Jahrgang, 2002, S.9-17.

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1 1 Kredtrskomodelle und Dversfkaton erschenen n: Zetschrft für Bankrecht und Bankwrtschaft (ZBB), 14. Jahrgang, 2002, S Dr. oec. publ. Hans Rau-Bredow, Prvatdozent an der Unverstät Würzburg Kontakt: Inhaltsüberscht I. Enletung II. Kredtrskomanagement III. Kredtrskomodelle 1. Tschebyscheff-Unglechung als Ausgangspunkt 2. CredtRsk+ 2.1 Grundstruktur von CredtRsk+ 2.2 Volatle Ausfallraten 3. CredtMetrcs 3.1 Grundstruktur von CredtMetrcs 3.2 Asset-Value-Correlaton-Modell IV. Modellverglech V. Dversfkaton 1. Besetgung unsystematscher Rsken durch Dversfkaton 2. Verenfachter Ansatz 3. Anwendung bem nternen Ratng VI. Zusammenfassung und Ausblck

2 2 I. Enletung Obwohl es sch vermutlch um das älteste fnanzwrtschaftlche Rsko handelt, werden auf das Ausfallrsko be Kredten erst n jüngster Zet de n anderen Telgebeten der Fnanzerungstheore berets set längerem gebräuchlchen formal-mathematschen Methoden angewendet. De Anwendung formaler Methoden auf Kredtrsken bezeht sch dabe enersets auf de Kalkulaton ener faren Präme für das Ausfallrsko und anderersets auf das her m Mttelpunkt stehende Portfolomanagement von Kredten, also de Mnmerung der aggregerten Rsken durch Dversfkaton. Für das Kredtportfolomanagement wurden n den letzten Jahren von der Praxs verschedene Modelle entwckelt, de das Zel verfolgen, ene Wahrschenlchketsvertelung der möglchen Ausfallverluste zu berechnen 1. Dabe wrd üblcherwese zwschen zwe Modellkategoren unterscheden: So genannte Default-Mode-Modelle unterscheden nur zwschen zwe möglchen Umweltzuständen, nämlch ob en mt enem Verlust n bestmmter Höhe verbundenes Kredteregns entrtt oder ncht. Be den Mark-to- Market-Modellen werden dagegen außer enem tatsächlchen Ausfall des Kredtes auch de Auswrkungen möglcher zukünftger Veränderungen der Bontät des Schuldners auf den Marktwert der Forderungen berückschtgt. Stellvertretend für bede Modellkategoren werden m Folgenden CredtRsk+ von Credt Susse Frst Boston 2 und CredtMetrcs von RskMetrcs/JP Morgan 3 betrachtet. Dazu soll als erstes de Frage beantwortet werden, ob es sch um jewels vollkommen unterschedlche Ansätze handelt oder ob möglcherwese ene gemensame Grundstruktur deser Modelle herausgearbetet werden kann. CredtMetrcs erschent her zunächst als das allgemenere Modell, da we erwähnt neben tatsächlchen Ausfällen zusätzlch auch Bontätsveränderungen berückschtgt werden. En unmttelbarer Modellverglech st aber für en verenfachtes CredtMetrcs Modell möglch, be dem nur zwschen Ausfall und Ncht-Ausfall unterscheden wrd. Dazu wrd gezegt, dass sch en derart verenfachtes CredtMetrcs Modell so umformuleren lässt, dass man ebenso we be Cre- 1 Enen Überblck zu den verschedenen Kredtrskomodellen gbt der Aufsatz von Crouhy/Gala/Mark (2000). 2 Vgl. CredtRsk+ (1997).

3 3 dtrsk+ volatle, von bestmmten Hntergrundvarablen gesteuerte Ausfallwahrschenlchketen erhält. En weteres Untersuchungszel deses Betrages betrfft das approxmatve Verhalten enes Kredtrskomodells für en Portfolo aus sehr velen, jewels hnrechend klenen Kredten. Kredtnehmerspezfsche Rsken spelen dann aufgrund von Dversfkatonseffekten ene mmer gerngere Rolle. Be perfekter Dversfkaton m Grenzfall enes Kredtportfolos aus unendlch velen Kredten verblebt dann ledglch der Enfluss der allen Kredten gemensamen systematschen Rskofaktoren. Spezell für CredtMetrcs kann aus ener solchen Grenzbetrachtung für den Fall, dass nur en enzger systematscher Rskofaktor exstert, ene explzte Formel für de maxmalen Ausfallverluste abgeletet werden. Dese Formel soll zukünftg auch m Rahmen der neuen Basler Egenkaptalverenbarung (Basel II) bem auf nternen Ratngs baserenden Verfahren zur Anwendung kommen, wobe aber de Herletung ncht offengelegt wurde. Durch de folgenden Ausführungen gelngt es also, de desem Verfahren zugrunde legenden modelltheoretschen Überlegungen des Basler Ausschusses für Bankenaufscht zumndest telwese nachzuvollzehen. II. Kredtrskomanagement Be der Betrachtung der Wahrschenlchketsvertelung möglcher Kredtausfallverluste wrd üblcherwese zwschen dem Expected Loss EL und dem Unexpected Loss UL unterscheden (vgl. Abbldung 1). Der Erwartungswert EL entsprcht dem statstschen Mttelwert der Ausfallverluste und soll durch ene geegnet kalkulerte Znsmarge gedeckt werden 4. Für den Fall, dass n enem bestmmten Jahr de tatsächlchen Verluste enen solchen Durchschnttswert überstegen, muss zur Abdeckung derartger unerwarteter Verluste außerdem en ausrechend hoher Egenkaptalpuffer vorgehalten werden. Herfür wrd häufg zur Unterschedung von bestmmten aufschtsrechtlchen Egenkaptalanforderungen der Begrff Ökonomsches Kaptal verwendet. 3 Vgl. CredtMetrcs (1997). RskMetrcs st ene Ausgründung der mttlerwele mt Chase Manhattan fusonerten Investmentbank JP Morgan. Treber der Fuson war nsbesondere, de Expertse von JP Morgan m Kredtrskocontrollng mt dem Bankportfolo von Chase Manhattan zu verbnden. 4 Be Rskoaverson st be der Presbldung zusätzlch zum erwarteten Verlust auch noch ene entsprechende Rskopräme zu berückschtgen.

4 4 Abbldung 1: Erwartete und unerwartete Verluste Wahrschenlchketsdchte Insolvenz < 0,03% EL Verluste L Erwarteter Verlust gedeckt durch Znsüberschuss Unerwarteter Verlust gedeckt durch Egenkaptal

5 5 De Höhe deses Egenkaptalpuffers bemsst sch danach, dass de Wahrschenlchket für ene Insolvenz des Kredtnsttutes unter en bestmmtes, gerade noch akzeptables Nveau gedrückt wrd. Ene möglche Vorgabe besteht darn, dass das Kredtnsttut mndestens das Ratng AA erhält, was n ene Insolvenzwahrschenlchket von wenger als 0,03% übersetzt werden kann 5. Außerdem st auf das vorgehaltene Egenkaptal ene angemessene Rendte zu erwrtschaften. Für de sch unter Berückschtgung von Kredtausfallkosten ergebende Rendte hat sch n der Praxs der Begrff Rsk Adjusted Return on Captal RAROC engebürgert, für den häufg ene Hurdle Rate von 15% genannt wrd. De Verlustvertelung für Kredtrsken west regelmäßg de n Abbldung 1 angedeutete Rechtsschefe (Lnksstelhet) auf. Des hängt damt zusammen, dass Kredtausfälle relatv seltene, gegebenenfalls aber zu hohen Verlusten führende Eregnsse snd. Be postv korrelerten Ausfalleregnssen mttelt sch deser Effekt auch n enem größeren Kredtportfolo ncht völlg heraus und kommt n der angedeuteten Schefe der aggregerten Verlustvertelung zum Ausdruck 6. Ene Folge hervon st, dass der Medan klener st als der Erwartungswert, so dass n den mesten Geschäftsjahren de tatsächlchen Ausfallverluste den erwarteten Verlust unterschreten werden. In den übrgen Jahren werden dafür de Ausfallverluste jewels besonders hoch ausfallen. 5 Dese Parameter snd zumndest für große US-amerkansche Banken gängg, vgl. Federal Reserve Board (1998) S.33. Von den Ratngagenturen wrd ncht endeutg herausgestellt, ob das jewelge Bontätsurtel nur de Insolvenzwahrschenlchket wderspegelt oder auch ene Prognose über de eventuelle Schadenshöhe enthält. 6 Be stochastsch unabhänggen Ausfalleregnssen würde man dagegen aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes approxmatv ene symmetrsche Normalvertelung erhalten.

6 6 III. Kredtrskomodelle 1. Tschebyscheff-Unglechung als Ausgangspunkt Kredtrskomodelle berechnen de aus allen Enzelrsken aggregerte Vertelung der Ausfallverluste, so dass überprüft werden kann, ob am Ende des üblcherwese en Jahr umfassenden Rskohorzontes de Summe aus erwarteten und unerwarteten Verlusten mt hnrechender Scherhet durch Znsüberschuss und Egenkaptal gedeckt st. Ene enfache, aber für praktsche Zwecke regelmäßg zu grobe Abschätzung st zunächst durch ene Varante der elementaren Tschebyscheff-Unglechung möglch 7 : P(L EL + UL) EL EL + UL (1) Zum Bespel gbt de Deutsche Bank n hrem Geschäftsbercht für das Jahr 2000, S.145 für de gesamten Kredtrsken des Konzerns enen erwarteten Verlust von EL = 895 Mo. Euro (= 0,32% des Kredtvolumens von 281 Mrd. Euro) und en ökonomsches Kaptal zur Deckung unerwarteter Verluste von UL = 8,2 Mrd. Euro (= 2,92% des Kredtvolumens) an. Der Insolvenzfall würde also entreten, wenn nnerhalb enes Jahres Ausfallverluste L von mehr als UL + EL = 9,095 Mrd. Euro entstehen würden. Gemäß der Tschebyscheff-Unglechung st de Wahrschenlchket herfür jedenfalls ncht größer als 9,84%. De Tschebyscheff-Unglechung st en sehr allgemener Ansatz, der völlg ohne Voraussetzungen über de zugrunde legende Wahrschenlchketsvertelung auskommt. Insbesondere werden überhaupt kene Annahmen über möglche Dversfkatonseffekte getroffen. Man erhält ene n jedem Fall gültge obere Grenze für de Insolvenzwahrschenlchket, welche de tatsächlchen Rsken aber regelmäßg erheblch überschätzt. Ene fenere Abschätzung ergbt sch dagegen aus den m Folgenden darzustellenden, auf genauer spezfzerten Kredtrskomodellen. 7 Vgl. zu deser Formulerung der Tschebyscheff-Unglechung etwa Fsz (1980) S.98.

7 7 2. CredtRsk+ 2.1 Grundstruktur von CredtRsk+ Zunächst soll de enfache Grundverson von CredtRsk+ dargestellt werden, be der von stochastsch unabhänggen Ausfalleregnssen ausgegangen wrd. Dese egentlch problematsche Voraussetzung wrd dann anschleßend n ener Modellerweterung aufgehoben. Für klene Ausfallwahrschenlchketen 8 kann de Häufgket von Kredtausfällen näherungswese durch ene Posson-Vertelung beschreben werden 9. De Wahrschenlchket dafür, dass es zu genau n Ausfällen kommt, berechnet sch dann we folgt: µ Prob(n Ausfälle) = e µ n (2) n! Der Parameter µ der Possonvertelung bezechnet den Erwartungswert der Anzahl der Ausfälle, der als Summe µ = N p der Ausfallwahrschenlchketen der enzelnen = 1 Kredtnehmer gegeben st. In enem Portfolo aus N = 1000 Kredten mt ener enhetlchen Ausfallwahrschenlchket von 1% glt zum Bespel µ = 10. Aus Glechung (2) erhält man dann de Wahrschenlchket dafür, dass es etwa zu genau n = 11 Ausfällen kommt. Letztlch kommt es allerdngs ncht auf de Ausfälle, sondern auf de Höhe der damt verbundenen Verluste an. Da sch de Kredtnehmer bezüglch des be enem eventuellen Ausfall entstehenden Schadens unterscheden, wrd ene Entelung n verschedene Bänder mt jewels (ungefähr) glechem Loss Gven Default LGD() vorgenommen. Ene solche Zuordnung setzt also voraus, dass der bem Ausfall enes bestmmten Kredtnehmers entstehende, nsbesondere auch von den verenbarten Kredtscherheten abhängge Verlust ene ex ante bekannte, nchtstochastsche Größe st. Dabe snd de Ausfälle nnerhalb enes enzelnen Bandes ebenfalls weder possonvertelt. Des st ene 8 Zum Bespel erhält man für das Frmenkundengeschäft, wenn man de Unternehmensnsolvenzen n 2000 auf ca. 2,8 Mllonen umsatzsteuerpflchtge Unternehmen n Deutschland bezeht, ene grob geschätzte Ausfallwahrschenlchket von etwa 1%. 9 De Posson-Näherung vernachlässgt letztlch, dass en enzelner Kredtnehmer ncht mehrmals ausfallen kann, vgl. Gordy (2000) S.122.

8 8 mathematsch zwngende Folge des Satzes von Rakow, wonach de Summe unabhängg vertelter Zufallsvarablen (also de Gesamtzahl der Ausfälle m Kredtportfolo, de als Summe der Ausfälle n den verschedenen Bändern gegeben st) dann und nur dann possonvertelt st, wenn auch de enzelnen Summanden possonvertelt snd 10. En enzelnes Band verursacht jewels enen Verlust, der drekt proportonal zur Anzahl der Ausfälle n desem Band st. Durch de Anwendung bestmmter wahrschenlchketstheoretscher Standardmethoden kann dann de Wahrschenlchket dafür bestmmt werden, dass sch de Verluste n den enzelnen Bändern zu enem bestmmten aggregerten Verlust summeren. Dese Wahrschenlchketen lassen sch mt Hlfe ener enfachen rekursven Bezehung berechnen Volatle Ausfallwahrschenlchketen We berets erwähnt st de bsherge Annahme stochastsch unabhängger Ausfalleregnsse problematsch. De Wahrschenlchket dafür, dass durch den glechzetgen Ausfall mehrerer Kredtnehmer en hoher unerwarteter Verlust entsteht, wrd dadurch möglcherwese erheblch unterschätzt. De Summe der Ausfallverluste würde unter deser Annahme nämlch aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes 12 mt zunehmender Anzahl der Kredtnehmer gegen ene um den erwarteten Verlust symmetrsche Normalvertelung konvergeren. In der Realtät west de Verlustvertelung für Kredtrsken dagegen regelmäßg statt ener solchen Symmetre de n Abbldung 1 angedeutete Schefe auf. CredtRsk+ berückschtgt de offenschtlch gegebene stochastsche Abhänggket von Ausfalleregnssen n ener Modellerweterung, de enen n der Verscherungsmathematk verbreteten und berets auf Greenwood/Yule (1920) zurückgehenden Ansatz aufgreft. Dort wrd ene zusammengesetzte Vertelung betrachtet, be welcher der Parameter µ der Possonvertelung selber wederum als Zufallsvarable modellert wrd 13. De 10 Vgl. zum Satz von Rakow Fsz (1980) S Vgl. CredtRsk+ (1997) S.38 Glechung (25). En konkretes Zahlenbespel fndet man be Rolfes (1999) S.410f. 12 Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass de Vertelung ener Summe stochastsch unabhängger Zufallsvarablen näherungswese der Gaußschen Glockenkurve der Normalvertelung entsprcht. 13 Konkret erhält man, wenn für das Vertelungsgesetz von µ ene so genannte Gammavertelung gewählt wrd, als resulterende zusammengesetzte Vertelung de negatve Bnomalvertelung. Vgl. zu den mathematschen Enzelheten auch de Darstellung be Fsz (1980) S.199ff.

9 9 erwartete Häufgket von Kredtausfällen nmmt dabe je nach Konjunkturverlauf enen höheren oder nedrgeren Wert an, wobe sch aus deser gemensamen Konjunkturabhänggket zuglech auch ene stochastsche Abhänggket der Ausfalleregnsse ergbt 14. Im allgemenen wrd dabe ken global enhetlcher Konjunkturverlauf unterstellt, sondern verschedene, möglcherwese unterschedlch verlaufende Branchen- bzw. Länderkonjunkturen betrachtet. Dazu wrd jeder Kredtnehmer mt Hlfe bestmmter Gewchtungsfaktoren w enem oder mehreren Sektoren k (Branchen/Länder) zugeordnet und der sektorspezfsche Konjunkturverlauf jewels durch so genannte Hnter- k grundvarablen X abgebldet 15. De zufällge Ausfallwahrschenlchket des Kredtnehmers kann dann durch das folgende lneare Modell beschreben k werden: p = w X... w X K K (3) Wrd zum Bespel nur en enzger Sektor betrachtet (K = 1), dann gbt de entsprechende Hntergrundvarable de Schwankungen der Ausfallwahrschenlchket n desem Sektor weder. Im allgemenen Fall mt mehreren Sektoren snd de volatlen Ausfallwahrschenlchketen dagegen als gewchtete Mttelwerte der verschedenen Hntergrundvarablen gegeben. Insgesamt erhält man en zwestufges Modell: Im ersten Schrtt erfolgen zunächst de zufällgen Realsatonen der Hntergrundvarablen, womt konkrete Werte für de bedngten Ausfallwahrschenlchketen p gemäß Formel (3) gegeben snd. Der zwete Schrtt st mt der Grundverson dentsch, her kommt es für gegebene Ausfallwahrschenlchketen gemäß der Possonvertelung zu ener konkreten Anzahl von Ausfällen. Durch volatle Ausfallwahrschenlchketen wrd also m Verglech zur Grundverson zusätzlches Rsko erzeugt. CredtRsk+ berechnet de unbedngte Verlustvertelung, 14 Angemerkt werden könnte, dass außer durch solche gemensamen Konjunkturenflüsse sch ene Abhänggket von Insolvenzeregnssen auch auf mkroökonomscher Ebene durch Geschäftsbezehungen ergeben kann. En möglches Bespel für solche Ansteckungsgefahren snd de berühmten Peanuts der Deutschen Bank bem Zusammenbruch des Baumperums von Jürgen Schneder, durch deren Aufwendung zahlreche Handwerkerkonkurse vermeden wurden. 15 Genauer werden paarwese unabhängge, jewels gammavertelte Hntergrundvarablen unterstellt. Ene stochastsche Abhänggket der Ausfallraten kann sch also nur zwschen solchen Kredtnehmern ergeben, de gemensamen Sektoren zugeordnet werden. Zu den genauen Detals vgl. CredtRsk+ (1997) S.41ff.

10 10 be der de Wahrschenlchket für ene bestmmte Verlusthöhe auch von den ex ante unbekannten Realsatonen der Hntergrundvarablen abhängg st. Es wrd kene bestmmte, etwa aus aktuellen Konjunkturbeobachtungen abgeletete Realsaton der Hntergrundvarablen vorausgesetzt CredtMetrcs 3.1 Grundstruktur von CredtMetrcs Ausgangspunkt von CredtMetrcs snd de möglchen Schwankungen des Marktwertes ener Forderung aufgrund von Änderungen der Bontätsenstufung. Dazu wrd ene aus hstorschen Beobachtungen abgeletete Mgratonsmatrx herangezogen, de für jede durch en bestmmtes Ratng gegebene aktuelle Bontätsenstufung jewels de Wahrschenlchketen dafür angbt, dass nach Ablauf enes Jahres der Schuldner das gleche oder en bestmmtes anderes Ratng enschleßlch Default D erhält. Zum Bespel st aus Abbldung 2 erschtlch, dass en Kredtnehmer mt dem aktuellen Ratng A n enem Jahr mt ener Wahrschenlchket von 7,4% nur noch über das Ratng BBB verfügen wrd. Realstscherwese kann aber auch her ncht davon ausgegangen werden, dass de Mgratonsbewegungen stochastsch unabhängg snd. De Wahrschenlchket für bestmmte smultane Bontätsänderungen zweer Kredtnehmer st also ncht enfach glech dem Produkt der entsprechenden Wahrschenlchketen n der Mgratonsmatrx. Um de stochastsche Abhänggket der Mgratonsbewegungen berückschtgen zu können, wrd deshalb angenommen, dass das Bontätsurtel das Ergebns enes zugrunde legenden, mehr oder wenger abstrakten Asset-Value-Prozesses wedergbt. De Bontätsmgratonen werden also als Wertänderungen des Vermögens des Kredtnehmers nterpretert. En bestmmtes zukünftges Bontätsurtel ergbt sch dabe genau dann, wenn de annahmegemäß normalvertelte Asset-Rendte n en zugeordnetes, durch geegnet festgelegte Schranken defnertes Intervall fällt. 16 En Bespel für en bedngtes, auf der Beobachtung makroökonomscher Daten beruhendes Modell st CredtPortfoloVew von McKnsey, vgl. Wlson (1997).

11 11 Abbldung 2: Mgratonsmatrx (Quelle: CredtMetrcs (1997) S.76) Aktuelles Ratng n enem Jahr: Ratng: AAA AA A BBB BB B C D AAA 87,74 10,93 0,45 0,63 0,12 0,10 0,02 0,02 AA 0,84 88,23 7,47 2,16 1,11 0,13 0,05 0,02 A 0,27 1,59 89,05 7,40 1,48 0,13 0,06 0,03 BBB 1,84 1,89 5,00 84,21 6,51 0,32 0,16 0,07 BB 0,08 2,91 3,29 5,53 74,68 8,05 4,14 1,32 B 0,21 0,36 9,25 8,29 2,31 63,89 10,13 5,58 C 0,06 0,25 1,85 2,06 12,34 24,86 39,97 18,60

12 12 En zukünftges Ratng BBB würde sch zum Bespel genau dann ergeben, wenn de zufällge Realsaton der Asset-Rendte unterhalb der Schranke Z A legt und glechzetg ncht klener ausfällt als Z BBB. De enzelnen Intervallschranken werden dabe jewels genau so festgesetzt, dass de Wahrschenlchket für en bestmmtes zukünftges Ratngurtel mt den Wahrschenlchketen n der Mgratonsmatrx überenstmmt. Der darüber hnausgehende Vortel deser Konstrukton besteht darn, dass damt de stochastsche Abhänggket der Mgratonsbewegungen abgebldet werden kann. Dazu wrd unterstellt, dass de Asset-Rendten der verschedenen Kredtnehmer postv korrelert snd. Be börsennoterten Schuldnern können Annahmen über de Höhe deser Korrelatonen aus den Korrelatonen der jewelgen Aktenkurse abgeletet werden 17. CredtMetrcs berechnet de Verlustvertelung mt dem Hlfsmttel der Monte-Carlo- Smulaton. De Arbetsschrtte werden durch Abbldung 3 verdeutlcht. Zunächst werden mt Hlfe enes geegnet konstruerten Generators von Zufallszahlen aus ener multvaraten Normalvertelung unter Maßgabe der vorausgesetzten Rendtekorrelatonen be enem aus N Kredtnehmern bestehenden Portfolo N zufällge Asset-Rendten r erzeugt. Dese Rendten werden anschleßend entsprechend den vorab festgelegten Intervallschranken n Ratngurtele übersetzt, und aus dem jewelgen zukünftgen Ratng ergbt sch de neue Bewertung der Kredtforderung. Deser Vorgang wrd mehrere tausend Mal wederholt, so dass man schleßlch ene Häufgketsvertelung für den zukünftgen Marktwert des Kredtportfolos erhält. 17 Damt geht de Korrelaton der Marktwerte des Egenkaptals und ncht de Korrelaton der gesamten Unternehmensaktva n das Modell en. Deser möglche Nachtel wrd aus Gründen der Datenverfügbarket n Kauf genommen.

13 13 Abbldung 3: Arbetsschrtte be CredtMetrcs Erzeuge zufällge Rendten r aus ener multvaraten Normalvertelung mt gegebenen Korrelatonen Übersetze de zufällgen Rendteergebnssen r n Ratng-Szenaren Neubewertung der Anlehen/Kredte Häufgketsvertelung für den zukünftgen Wert des Kredtportfolos

14 14 Das Verfahren benötgt ene Theore für de Bewertung rskobehafteter Kredtforderungen. CredtMetrcs benutzt de Barwertmethode, wobe für jede Bontätskategore jewels ene besondere Znsstrukturkurve vorgegeben wrd, um de Rskozuschläge abzublden 18. De Höhe deser Rskoaufschläge sollte dabe grundsätzlch mt den sch aus der Mgratonsmatrx ergebenden Wahrschenlchketen für Bontätsverschlechterungen und Insolvenz verenbar sen 19. En weteres Problem be der Bewertung von Forderungen st, nwefern be den Rskoaufschlägen auch nach der Laufzet zu dfferenzeren st 20. Theoretsch anspruchsvollere Methoden der Forderungsbewertung bedenen sch optonstheoretscher Modelle n der Tradton von Merton (1974), be denen de Poston der Gläubger als Stllhalter ener Verkaufsopton auf de Assets des Kredtnehmers modellert wrd Asset-Value-Correlaton-Modell We berets erwähnt, werden be CredtMetrcs als Rendtekorrelatonen de entsprechenden Aktenkurskorrelatonen verwendet. Dabe wrd allerdngs n enem umfangrecherem Kredtportfolo de Anzahl der zu schätzenden Korrelatonen schnell sehr groß, da für jeden zusätzlchen Kredtnehmer de Korrelaton mt allen übrgen Kredtnehmern bestmmt werden muss. Werden de enzelnen Asset-Rendten dagegen m Rahmen enes Mehrfaktorenmodells durch de Entwcklung bestmmter Aktenndzes für verschedene Sektoren (Branchen bzw. Länder) erklärt, dann muss für jeden Kredtnehmer jewels nur durch de Wahl ener festen Anzahl von Gewchtungsfaktoren bestmmt werden, n welchem Umfang de Rendteentwcklung durch de verschedenen Sektorndzes erklärt wrd. Für de Asset-Rendte enes Kredtnehmers wrd deshalb folgender Zusammenhang unterstellt: 18 Znsänderungsrsken werden an deser Stelle, obwohl prnzpell möglch, also ncht berückschtgt. 19 Vgl. Rolfes (1999) S Häufg werden n Überenstmmung mt den theoretschen Ergebnssen von Merton (1974) für gute (schlechte) Bontäten mt der Laufzet zunehmende (abnehmende) Rskoaufschläge unterstellt. Intutv kann des damt begründet werden, dass be Langläufern guter Bontät das Rsko ener späteren Bontätsherabstufung hnzukommt, de be vorfällgen Verkauf auch dann zu Verlusten führt, wenn der Emttent ncht zahlungsunfähg wrd und früher fällge Kurzläufer vollständg zurückbezahlt werden. Für deses be jewels glecher Haltedauer zusätzlche Rsko enes Langläufers st dann ene entsprechend höhere Präme enzukalkuleren. Be schlechter Bontät st dagegen umgekehrt de Chance ener späteren Heraufstufung be langen Laufzeten größer als be kurzen Laufzeten. Vgl. herzu auch aus emprscher Scht Düllmann/Uhrg-Homburg/Wndfuhr (2000), Henke (2001) und aus theoretscher Scht Zhou (2001). 21 Der optonstheoretsche Ansatz wrd vor allem von der 1989 von Stephen Kealhofer, John McQuown und Oldrch Vascek gegründeten KMV Corporaton umgesetzt.

15 15 r = w X w X 1 1 K K + wˆ ε (4) Dabe blden de systematschen Faktoren X de Entwcklung der verschedenen Branchen- bzw. Länderndzes und k ε das mt den systematschen Varablen unkorrelerte unsystematsche bzw. kredtnehmerspezfsche Rsko ab. Das relatve Verhältns der wrd entsprechend der Branchen- und Länderzuordnung des Kredtneh- Gewchte w k mers festgelegt, während ŵ den Antel der Rendteentwcklung wedergbt, der ncht durch systematsche Faktoren erklärt werden kann 22. De Gewchte werden außerdem so gewählt, dass ncht nur de systematschen und unsystematschen Faktoren, sondern auch de resulterenden Rendten r jewels ener standardserten Normalvertelung mt Erwartungswert 0 und Varanz 1 unterlegen. Ene solche Wahl der Gewchte st mmer möglch, da de für ene solche Standardserung gegebenenfalls erforderlche Lneartransformaton de Korrelatonen der Rendten ncht beenflusst. IV. Modellverglech Der Untersched zwschen CredtRsk+ und CredtMetrcs wrd üblcherwese daran festgemacht, dass CredtRsk+ nur auf de Möglchket enes tatsächlchen Ausfalls abstellt, während CredtMetrcs zusätzlch auch eventuelle Bontätsänderungen berückschtgt. Be der mathematschen Modellerung wrkt sch des dahngehend aus, dass be CredtRsk+ en bestmmter Kredt enen Verlust n ex ante bekannter Höhe LGD() verursacht oder ncht, während be CredtMetrcs mehr als zwe verschedene zukünftge Bewertungen der enzelnen Kredtforderung möglch snd 23. Insofern st Credt- Metrcs zunächst als das allgemenere Modell anzusehen. Um enen unmttelbaren Modellverglech durchführen zu können, soll deshalb en reduzertes Zwe-Zustands CredtMetrcs-Modell betrachtet werden, be dem we be Cre- 22 Vgl. m enzelnen dazu CredtMetrcs (1997) S.97ff., Rolfes (1999) S.426f. 23 CredtMetrcs geht darüber hnaus für den Fall enes Ausfalls von stochastschen Recovery Rates aus, für deren Vertelungsgesetz ene Betavertelung unterstellt wrd. Zu den Enzelheten vgl. CredtMetrcs (1997) S.80.

16 16 dtrsk+ nur zwschen Ausfall und Ncht-Ausfall unterscheden wrd 24. In enem solchen reduzerten CredtMetrcs-Modell kommt es dann zu enem Ausfall, wenn de Asset-Rendte ene bestmmte kredtnehmerspezfsche Insolvenzschwelle D unterschre- tet: r = w X w X + wˆ ε < 1 1 K K D (5) De Insolvenzschwelle D = N 1 (p ) st be standardnormalvertelten Asset-Rendten r als Inverse der Standardnormalvertelung N( ), angewendet auf de Ausfallwahrschenlchket p gegeben. Geht man darüber hnaus davon aus, dass m Rahmen des Asset-Value-Correlaton- Modells de Realsaton der systematschen Faktoren X jewels zetlch vor der Realsaton des unsystematschen Rskos k ε erfolgt, dann lassen sch auch für CredtMetrcs volatle, von der Realsaton der systematschen Faktoren abhängge Ausfallwahrschenlchketen formuleren. Für de bedngte, sch für ene bestmmte Realsaton der systematschen Faktoren X enstellende Ausfallwahrschenlchket folgt dann aus Glechung (5) be standardnormalverteltem unsystematschem Rsko k ε : p -1 N (p ) (w X w X ) = N( 1 1 K K ) (6) wˆ Es wrd also unterscheden zwschen deser bedngten Ausfallwahrschenlchket p und dem sch über mehrere Konjunkturzyklen hnweg ergebenden Mttelwert der Ausfallwahrschenlchket p. 24 Vgl. auch Gordy (2000) S.125ff. Vorausgesetzt wrd dann en auch be CredtMetrcs ex ante bekannter nchtstochastscher Loss Gven Default LGD().

17 17 In Glechung (6) übernehmen de systematschen Faktoren hnschtlch der Steuerung der bedngten Ausfallwahrschenlchketen be CredtMetrcs de gleche Aufgabe we de Hntergrundvarablen be CredtRsk+ gemäß Glechung (3). In beden Modellen snd für gegebene Realsatonen der X de Ausfalleregnsse stochastsch unabhängg. k Unterschede ergeben sch nsofern also nur aufgrund abwechender Vertelungsannahmen (normalvertelte Asset-Rendten be CredtMetrcs und gammavertelte Hntergrundfaktoren be CredtRsk+) und dem jewels anderen formelmäßgen Zusammenhang. V. Dversfkaton 1. Besetgung unsystematscher Rsken durch Dversfkaton Unterstellt man de stochastsche Unabhänggket von Ausfalleregnssen, dann st n enem vollkommen homogenen Portfolo aus N Kredten mt jewels enhetlcher Ausfallwahrschenlchket p de exakte Vertelung der Ausfälle durch ene Bnomalvertelung gegeben, de für großes N durch ene Normalvertelung angenähert werden kann. Betrachtet man dagegen den Quotenten aus Anzahl der ausgefallenen Kredte und Gesamtzahl N der Kredte, dann geht de Standardabwechung σ = p(1 p)/n deser Ausfallquote für großes N gegen Null. De emprsche Ausfallquote konvergert deshalb stochastsch gegen de theoretsche Ausfallwahrschenlchket p. Deser Zusammenhang st als Gesetz der großen Zahlen bekannt, wonach be sehr velen Versuchen de zu beobachtende durchschnttlche Trefferhäufgket (her von Kredteregnssen) mmer wenger von der theoretschen Trefferwahrschenlchket abwechen wrd. Be ener ausrechend hohen Anzahl von Kredten wrd der Quotent aus ausgefallenen Kredten und Gesamtzahl der Kredte also mt fast 100%-ger Scherhet mt der jewelgen theoretschen Ausfallwahrschenlchket überenstmmen 25. Unsystematsche bzw. kredtnehmerspezfsche Rsken werden, wenn be gegebener Realsaton der bedngten Ausfallwahrschenlchket de Voraussetzung der stochastschen Unabhänggket der Ausfalleregnsse erfüllt st, n enem solchen unendlch großen Kre- 25 Berets Schmdt (1986) S.249ff. hat durch ene Anwendung der Theore der Portfolo-Selecton gezegt, dass be Unkorrelerthet aus velen enzelnen Ausfallrsken ene schere Gesamtposton entsteht.

18 18 dtportfolo vollständg durch Dversfkaton besetgt. Es verblebt also ledglch das systematsche Rsko. Für dese Egenschaft der perfekten Dversfkaton enes Kredtportfolos st m Rahmen der neuen Basler Egenkaptalverenbarung (Basel II) auch der Begrff unendlche Granulartät üblch geworden. Bestehen blebt also nur das Rsko, dass sch je nach Realsaton der systematschen Faktoren bzw. Hntergrundvarablen X ene höhere oder nedrgere bedngte Ausfallwahrschenlchket enstellt 26. Wesen zum Bespel alle Kredte dasselbe Volumen und k enen Loss Gven Default von jewels LGD = 100% auf, dann stmmen Ausfallquote und n Prozent des gesamten Kredtvolumens gemessene Ausfallverluste genau überen. In enem unendlch granularen Kredtportfolo snd dann durch de bedngte, sch für ene bestmmte Realsaton des systematschen Rskos enstellende Ausfallwahrschenlchket auch de prozentualen Ausfallverluste gegeben Verenfachter Ansatz Aus CredtMetrcs erhält man ene explzte Lösung für de Summe aus erwartetem und unerwartetem Verlust, wenn nur en enzger systematscher Faktor X betrachtet wrd. Das durch Glechung (4) gegebene Asset-Value-Correlaton-Modell verenfacht sch dann we folgt: r = ρ X + 1- ρ ε (7) Dabe snd X, ε weder jewels standardnormalvertelte Zufallsvarable, wobe de das kredtnehmerspezfsche Rsko abbldenden Varablen ε sowohl paarwese als auch vom systematschen Faktor X unabhängg vertelt snd. Das Modell st so formulert, 26 Vgl. dazu auch Fnger (1999). 27 Auch dann, wenn sch de Kredte hnschtlch Ausfallwahrschenlchket und Loss Gven Default unterscheden, kann en analoges Ergebns bewesen werden: Unter hnrechenden Granulartätsannahmen folgt dann aus dem Gesetz der großen Zahlen, dass der Quotent aus tatsächlchen Ausfallverlusten und gesamten Kredtvolumen fast scher mt dem entsprechenden erwarteten Verlust überenstmmt. Vgl. m enzelnen dazu Gordy (2001) S.6f.

19 19 dass auch de Asset-Rendten r standardnormalvertelt snd und sch für dese Rendten en enhetlcher Korrelatonskoeffzent ρ ergbt. Für deses verenfachte Asset-Value-Correlaton-Modell folgt für de bedngte, als Funkton des systematschen Faktors gegebene Ausfallwahrschenlchket unmttelbar als Spezalfall aus Glechung (6) 28 : -1 N (p) ρ X p = N( ) (8) 1- ρ Dabe st p wederum de m Durchschntt für verschedene Realsatonen des systematschen Faktors, also über mehrere Konjunkturzyklen hnweg, zu beobachtende Ausfallwahrschenlchket. We gezegt stmmt aufgrund des Gesetzes der großen Zahlen n enem homogenen, unendlch granularen Kredtportfolo mt enem Loss Gven Default von jewels LGD = 100% der Quotent aus tatsächlchen Ausfallverlusten und gesamten Kredtvolumen mt der jewelgen bedngten Ausfallwahrschenlchket genau überen. Es muss daher mt hnrechender Scherhet gewährlestet sen, dass de bedngte Ausfallwahrschenlchket n Abhänggket vom systematschen Faktor ncht größer ausfällt als de durch Znsüberschuss und Egenkaptal gedeckte Summe aus erwartetem und unerwartetem Verlust, her ebenfalls ausgedrückt n Prozent des gesamten Kredtvolumens. De mathematsche Bedngung herfür lautet, wenn q de noch akzepterte Insolvenzwahrschenlchket der Bank st: Prob( p > EL + UL) = q (9) 28 Der Index entfällt, da her der Enfachhet halber für alle Kredtnehmer deselbe unbedngte Ausfallwahrschenlchket p unterstellt wrd. De folgenden Überlegungen lassen sch aber unmttelbar verallgemenern, wenn sch de Kredtnehmer hnschtlch der Ausfallwahrschenlchket unterscheden. Aus dem Gesetz der großen Zahlen folgt dann de Konvergenz der Ausfallrate m Kredtportfolo gegen de durchschnttlche Ausfallwahrschenlchket der Kredtnehmer, so dass man auch für de Summe aus erwartetem und unerwartetem Verlust enen entsprechenden Durchschnttswert erhalten würde.

20 20 Substtuert man de Formel (8) für de bedngte Ausfallwahrschenlchket p, dann erhält man nach engen Umformungen: -1-1 N (p) ρ N (q) EL + UL = N( ) (10) 1 ρ Für den Grenzfall enes unendlch granularen Portfolos gelngt es also, ene explzte Formel für de Summe aus erwartetem und unerwartetem Verlust anzugeben. De modellmäßg errechnete Kaptalanforderung st dabe nsbesondere von der unterstellten Korrelaton ρ der Asset-Rendten abhängg. Für ene Korrelaton von Null würde zum Bespel der Enfluss des systematschen Faktors vollkommen entfallen, während zuglech de unsystematschen Rsken durch Dversfkaton vollständg besetgt werden. In desem Fall würde mt Scherhet en Verlust n Höhe von p entstehen. Dagegen führen postve Korrelatonen zu entsprechend höheren Kaptalanforderungen. 3. Anwendung bem nternen Ratng Der Basler Ausschuss für Bankenaufscht hat m Januar 2001 sen zwetes Konsultatonspaper zur Neuregelung der Egenkaptalverenbarung von 1988 veröffentlcht und darn enen auf nternen Ratngs baserenden Ansatz (IRB-Ansatz) vorgestellt. Der IRB- Ansatz berechnet das aufschtsrechtlche Egenkaptal als Funkton der von der Bank ntern geschätzten Ausfallwahrschenlchket. Allerdngs wurden de desem Ansatz zugrunde legenden modelltheoretschen Überlegungen vom Basler Ausschuss ncht m enzelnen dokumentert. Setzt man nun allerdngs n de oben abgeletete Glechung (10) de vom Basler Ausschuss 29 für en Ncht-Banken Kredtportfolo unterstellten Parameter ρ = 0,2 und 1-q = 99,5% en, dann erhält man: EL + UL = N(1,118 N -1 (p) + 1,288) (11) 29 Vgl. Basler Ausschuss für Bankenaufscht (2001) S.36. De Spezfzerung der Parameter kann sch bs zur für Ende 2002 zu erwartenden endgültgen Fassung der neuen Egenkaptalverenbarung noch ändern.

21 21 Man erhält also genau de be der Berechnung der Rskogewchte m IRB-Ansatz zur Anwendung kommende Formel. Der Ausdruck wrd noch mt verschedenen Faktoren multplzert, de so kalbrert snd, dass sch be enem pauschal vorgegebenen 30 Loss Gven Default von LGD = 50% und ener Kredtlaufzet von 3 Jahren dann en Rskogewcht von 100% und somt en Egenkaptalerforderns von 8% ergbt, wenn de Ausfallwahrschenlchket auf 0,7% geschätzt wrd. Im Ergebns führt des zu ener höheren aufschtsrechtlchen Egenkaptalanforderung, als es ener Insolvenzwahrschenlchket von q = 0,5% entsprechen würde. Wegen der Anwendung solcher Multplkatonsfaktoren wrd letztlch ncht de absolute Höhe, sondern nur das relatve Verhältns der Egenkaptalunterlegung der enzelnen Kredte aus enem theoretschen Modell abgeletet 31. Des kann n Analoge zum Vorgehen bem Modellverfahren m Berech der Marktrsken gesehen werden, be dem der mt enem banknternen Modell berechnete Value at Rsk ebenfalls noch mt bestmmten von der Bankenaufscht vorgegebenen Zusatzfaktoren zu multplzeren st 32. Offenschtlch wurde der IRB-Ansatz n der Erwartung entwckelt, dass zu enem späteren Zetpunkt das Egenkaptalerforderns auch für Kredtrsken mt Hlfe enes bankegenen Modells bestmmt werden kann, so we es heute berets für de Marktrsken möglch st. Ene entsprechende Genehmgung der Aufschtsbehörde vorausgesetzt, könnte de Summe aus erwartetem und unerwartetem Verlust dann statt durch Formel (11) mt Hlfe enes bankndvduellen Kredtrskomodells ermttelt werden. Implzt wrd durch de erwähnten Multplkatonsfaktoren auch abgedeckt, dass en reales Kredtportfolo ne unendlch granular sen kann und daher en zusätzlcher Kaptalpuffer zur Abdeckung der verblebenden, ncht vollständg wegdversfzerten unsystematschen Rsken erforderlch st. In der Realtät trfft das Gesetz der großen Zahlen mmer nur näherungswese zu, so dass de tatsächlche Ausfallquote regelmäßg ncht exakt mt der jewelgen bedngten Ausfallwahrschenlchket überenstmmen wrd Bem so genannten Advanced Approach werden dagegen auch für den Loss Gven Default, das Exposure at Default und de Laufzet bankegene Werte verwendet. 31 So auch Deutsche Bundesbank (2001) S.38 FN Das Modellverfahren für Marktrsken st m Grundsatz I über de Egenmttel der Insttute, 32ff. geregelt. Vgl. auch Rau-Bredow (2001). 33 Dabe unterlegen de Schwankungen der tatsächlchen Ausfallquote um de jewelge bedngte Ausfallwahrschenlchket n erster Näherung ener Normalvertelung, da dese sch aus sehr velen sto-

22 22 De pauschale Abdeckung deses zusätzlchen Rskos durch de Multplkatonsfaktoren soll nach Basel II noch durch ene ndvduelle Granulartätsanpassung ergänzt werden, de je nachdem, ob das Portfolo ene über- oder unterduchschnttlche Granulartät aufwest, postv oder negatv ausfallen kann. Be deser Granulartätsanpassung snd verschedene, her ncht m Enzelnen darzustellende Berechnungen durchzuführen. Angewendet wrd dabe en mathematsches Resultat von Gordy (2001), wonach das ncht wegdversfzerte unsystematsche Rsko umgekehrt proportonal zur effektven Anzahl der Kredte st. Mt effektv st dabe de Berückschtgung der möglcherwese unterschedlch hohen Kredtvolumna gement. De Höhe der aufschtsrechtlch geforderten Egenkaptalunterlegung st damt ncht nur von den ndvduellen Egenschaften enes enzelnen Kredtes, sondern auch von der Gesamtstruktur des Kredtportfolos der Bank und von den darn möglcherwese enthaltenen Klumpenrsken abhängg 34. VI. Zusammenfassung und Ausblck In desem Betrag wurden de von Seten der Praxs n den letzten Jahren für das Kredtportfolomanagement entwckelten Modelle betrachtet. Dazu wurde zunächst gezegt, dass sch en reduzertes Zwe-Zustands CredtMetrcs Modell so umformuleren lässt, dass man ebenso we be CredtRsk+ volatle, von bestmmten Hntergrundfaktoren abhängge Ausfallwahrschenlchketen erhält. Darüber hnaus stmmen n enem unendlch granularen Portfolo aufgrund des Gesetzes der großen Zahlen tatsächlche Ausfallquote und bedngte Ausfallwahrschenlchket genau überen. Unsystematsche Rsken werden damt vollständg wegdversfzert, so dass nur noch der Enfluss des systematschen Rskos verblebt. Für CredtMetrcs kann dann ene explzte Formel für de Summe aus erwartetem und unerwartetem Verlust angegeben werden, de zukünftg auch bem auf nternen Ratngs baserenden Ansatz be der Berechnung des aufschtsrechtlchen Mndestkaptals zur Anwendung kommen soll. chastsch unabhänggen kredtnehmerspezfschen Rsken zusammensetzen und daher der zentrale Grenzwertsatz angewendet werden kann. Vgl. auch Abschntt V Zur Problematk von Großkredten vgl. berets Stützel (1964) Textzffer Nur angedeutet se darüber hnaus an deser Stelle, dass de Vorschläge des Basler Ausschusses sch ausschleßlch auf das

23 23 Abschleßend seen enge Fragen angedeutet, de sch für de Forschung ergeben. Kredtportfolomodelle fördern zunächst das Bewusstsen, dass es be der Abwägung von Ertrag und Rsko ncht auf das Rsko n enem absoluten Snne ankommt, sondern auf de Korrelaton enes zusätzlch übernommenen Rskos mt den berets bestehenden Rsken. Ene her ncht näher betrachtete Fragestellung betrfft dann zum Bespel de Höhe des margnalen Egenkaptals, das aufgrund ener enzelnen Kredtvergabeentschedung zusätzlch vorgehalten werden muss. Damt unmttelbar verbunden stellen sch Fragen nach der optmalen Allokaton des knappen Bankegenkaptals auf de verschedenen Unternehmensbereche, nach der Verrechnung der entsprechenden Kaptalkosten und schleßlch nach der Ausgestaltung enes heran gekoppelten Entlohnungssystems. Lteraturverzechns Basler Ausschuss für Bankenaufscht (2001): The Internal-Ratngs Based Approach. Supportng Document to the New Basel Captal Accord. Download: CredtMetrcs (1997): Techncal Document. J.P. Morgan. Download: CredtRsk+ (1997): Techncal Document. Credt Susse Fnancal Products. Download: Crouhy, M.; Gala, D.; Mark, R. (2000): A Comparatve Analyss of Current Credt Rsk Models, n: Journal of Bankng and Fnance, Vol. 24, S Deutsche Bundesbank (2001): Monatsbercht Aprl. Düllmann, K.; Uhrg-Homburg, M.; Wndfuhr, M. (2000): Rsk Structure of Interest Rates: An Emprcal Analyss for Deutschemark-Denomnated Bonds, n: European Fnancal Management, Vol. 6, S Federal Reserve Board (1998): Credt Rsk Models at Major U.S. Bankng Insttutons: Current State of the Art and Implcatons for Assesments of Captal Adequacy. Workng Paper. Download: Fnger, C.C. (1999): Condtonal Approaches for CredtMetrcs Portfolo Dstrbutons, n: CredtMetrcs Montor, S Download: Fsz, M. (1980): Wahrschenlchketsrechnung und mathematsche Statstk, Berln. Anlagebuch der Bank bezehen und ncht auf de sch unter Enbezehung des Handelsbuches ergebende Gesamtrskoposton, vgl. dazu Kürsten (2001).

24 24 Gordy, M. B. (2001): A Rsk-Factor Model for Ratng-Based Captal Rules. Workng Paper. Download: mgordy.trpod.com Gordy, M. B. (2000): A Comparatve Anatomy of Credt Rsk Models, n: Journal of Bankng and Fnance, Vol. 24, S Greenwood, M., Yule, G.U. (1920): An Inqury nto the Nature of Frequency Dstrbutons representatve of Multple Happenngs wth Partcular Reference to the Occurence of Multple Attacks of Dsease or of Repeated Accdents, n: Journal of the Royal Statstcal Socety, Vol. 83, S Henke, V. (2001): Determnanten der Bontätsrskopräme be der Emsson nternatonaler DM-Anlehen, n: Zetchrft für Bankrecht und Bankwrtschaft, 13. Jg., S Kürsten, W. (2001): Marktrsko des Handelsbuches ener Modell-Unversalbank und adverse Regulerungseffekte des neuen Grundsatzes I, n: Stützel, W. (Hrsg.), Moderne Konzepte für Fnanzmärkte, Beschäftgung und Wrtschaftsverfassung, Tübngen, S Merton, R. (1974): On the Prcng of Corporate Debt: The Rsk Structure of Interest Rates, n: The Journal of Fnance, Vol. 29, S Rau-Bredow, H. (2001): Überwachung von Marktpresrsken durch Value at Rsk, n Wrtschaftswssenschaftlches Studum, 30. Jg., S Rolfes, B. (1999): Gesamtbanksteuerung, Stuttgart. Schmdt, H. (1986): Enzelkredt und Kredtportfeulle, n: B. Rudolph, J. Wlhelm (Hrsg.): Bankpoltk, fnanzelle Unternehmensführung und de Theore der Fnanzmärkte, Festschrft für H.-J. Krümmel, Berln, S Wlson, T. (1997): Portfolo Credt Rsk (I), (II), n: Rsk, Vol. 10, No. 9, S , No. 10, S Zhou, C. (2001): The Term Structure of Credt Spreads wth Jump Rsk, n: Journal of Bankng and Fnance, Vol. 25, S