Aufgabensammlung. Bank II

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1 BankII Seite 1 Aufgabensammlung Bank II Inhaltsverzeichnis Optionspreistheorie...2 Unternehmensbewertung...45 Verständnisfragen...62

2 BankII Seite 2 Klausur WS 1992/93 Aufgabe 1 Optionspreistheorie Teil I: Optionsbewertung nach dem Black/Scholes-Modell Es existieren amerikanische Optionen auf eine Aktie mit Basiskurs K = 300. Der Aktienkurs beträgt heute S = 275. Die Laufzeit der Option beträgt 8 Monate. Aus historischen Aktienkursen wurde für die jährliche Volatilität des Aktienkurses eine Schätzung von σ = 0,30 ermittelt. Der Kapitalmarktzins für risikolose Anlagemöglichkeiten und für Kreditaufnahmen beträgt einheitlich i = 6,25 % p. a. Dividenden fallen während der Laufzeit nicht an. Am Kapitalmarkt herrsche ein Gleichgewicht unter vollständiger Konkurrenz, Leerverkäufe von Aktien seien zulässig, Transaktionskosten und Steuern sind zu vernachlässigen, und alle Investoren verhalten sich rational. Die für die Berechnung notwendigen Werte der Standardnormalverteilung N(x) können Sie der am Ende der Aufgabe beigefügten Wertetabelle entnehmen. a) Ermitteln Sie zunächst den Wert einer dividendengeschützten Kaufoption nach Maßgabe der Black/Scholes-Formel! (10 Punkte) b) Wie hoch wäre der Wert der entsprechenden Verkaufsoption, wenn diese europäisch wäre? Welche Portfolioüberlegung erlaubt es, den Wert einer europäischen Verkaufsoption aus dem Wert einer Kaufoption abzuleiten? (6 Punkte) c) Abweichend von allen vorherigen und nachfolgenden Teilaufgaben ist aufgrund einer Ankündigung des Vorstandes mit Sicherheit in 4 ½ Monaten mit einer Dividende in Höhe von D = 3,75 je Aktie zu rechnen. Ermitteln Sie nun durch Berechnung von zwei Black/Scholes- Werten eine möglichst nahe am exakten Wert liegende Untergrenze für den modellmäßig exakten Wert einer solchen Kaufoption. Begründen Sie Ihre Vorgehensweise kurz verbal und erklären Sie, warum das Ergebnis nur eine Untergrenze darstellt? (16 Punkte) Wertetabelle: x N(x) Teil II: Optionsbewertung nach dem Binomialmodell Für die entsprechende Bewertung der Optionen mit dem Binomialmodell nehmen Sie nun im folgenden an, der Aktienkurs folge einem multiplikativen binomialen stochastischen Prozeß. Ansonsten gelten die Angaben aus Teil I. Beachten Sie die für die Übersetzung vom Modell normalverteilter zum Modell binomialverteilter Logarithmen der Aktienkurse geltenden For-

3 BankII Seite 3 meln für die Aufzinsungsfaktoren pro Binomialschritt: bei Aufwärtsbewegungen: u = e n bei Abwärtsbewegungen: d = 1 / u bei sicherer Anlage: r = (1+i) T / n. σ T r d u Für die fiktiven Wahrscheinlichkeiten p und p' gilt wie üblich: p = p p u d ; ' = r d) Berechnen Sie unter Zugrundelegung eines 3-stufigen Binomialprozesses den Wert einer amerikanischen Kaufoption in t = 0! (12 Punkte) e) Es ist jeweils eine Kaufoption auf eine Aktie zu betrachten. Bestimmen Sie für den Zeitpunkt t = 0 die Zusammensetzung eines zur Option äquivalenten Portfolios aus Aktien und risikoloser Kapitalmarktposition. (8 Punkte) f) In t = 1 trete der günstige Fall einer Aktienkursentwicklung ein. Welche Kauf- und Verkaufsentscheidung muß ein Anleger treffen, um - ausgehend von einem risikolosen Portfolio in t = 0 - weiterhin vollständig abgesichert zu bleiben? Gehen Sie hierbei davon aus, daß in dem risikolosen Portfolio stets genau Kaufoptionen auf je eine Aktie enthalten sein sollen! (12 Punkte) g) Berechnen Sie nun unter Zugrundelegung eines 3-stufigen Binomialprozesses den Wert einer amerikanischen und den einer europäischen Verkaufsoption in t = 0! Wie hoch ist der Wert des Rechts auf vorzeitige Ausübung bei der amerikanischen Verkaufsoption? (30 Punkte) Teil III: Verständnisfragen a) Wie verändert sich ceteris paribus der Black/Scholes-Wert einer dividendengeschützten europäischen Verkaufsoption, wenn (1) die Laufzeit T der Option sinkt? (2) der Zinssatz i steigt? (3) die Volatilität s des Aktienkurses steigt? Geben Sie jeweils eine kurze ökonomische Begründung Ihrer Antworten. (6 Punkte) b) Warum hat die Risikoneigung eines Investors bei gegebenem heutigen Aktienkurs S keinen Einfluß auf die Höhe des Optionswertes nach Black/Scholes? (4 Punkte) c) Inwiefern kann der durch die Black/Scholes-Formel ermittelte Optionspreis als diskontierter Erwartungswert gedeutet werden? Wie wird im Rahmen einer solchen Deutung die Tatsache berücksichtigt, daß der repräsentative Anleger am Kapitalmarkt risikoavers ist? Welches Vorzeichen besitzt die Kovarianz der Aktie mit dem Marktportfolio, wenn das Capital Asset Pricing Modell gilt und der Erwartungswert h des Zuwachses des Logarithmus

4 BankII Seite 4 des Aktienkurses pro Jahr h = 1,002 %, h = 5,294%, h = 6,250% oder h = 11,892% beträgt? Begründung? (8 Punkte) d) Wann und unter welchen Bedingungen kann die vorzeitige Ausübung einer Kaufoption lohnend sein, wenn am Kapitalmarkt keine Arbitrage möglich ist? Welche quantitativen Abschätzungen sind dabei gegebenenfalls zu berücksichtigen? Zu welchen Zeitpunkten ist die vorzeitige Ausübung einer Verkaufsoption nicht lohnend, wenn der Kapitalmarkt arbitragefrei ist? (8 Punkte) Lösung: a) C = 275 N(- 0, ) - C = 21, , N(- 0, ) b) P = C + r -t K - S P = 34,4992 c) Ausübung in 4 ½ Monaten: BS(300; 275; 0,0625; 0,3; 4,5 / 12 ) d 1 = - 0,25802 d 2 = - 0,44174 C = 12,92 Ausübung in 9 Monaten: BS(300; d 1 = - 0,12253 d 2 = - 0, , , ; 0,0625; 0,3; 2 /, ) 271,33 C = 19,68 Untergrenze d) r = 1, u = 1,1519 p = 0,5125

5 BankII Seite 5 Entwicklung des Aktienkurses: (Call-Entwicklung in Klammern) 420,32 (120,32) 364,89 316,77 (68,91) 316,77 (38,92) (16,77) (21,74) 238,73 (8,48) 238,73 (4,29) (0) 207,25 (0) 179,91 (0) e) C C u d ( u d) S = 0,4438 = Kauf des 0,444-fachen der Aktie B = u C d C d ( u d) r u = - 100,30 (Kredit) Probe: S + B = C f) S = 316,77; Cu = 68,91; Cd = 8,48 = 0,6722; B = - 174,014 risikoloses Portfolio in t = 0: risikoloses Portfolio in t = 1: Call-Optionen 443,8 Aktien leerverkaufen DM sichere Anlage Call-Optionen 672,2 Aktien leerverkaufen DM sichere Anlage Anpassungen in t = 1: 228,4 Aktien zusätzlich leerverkaufen und ,87 DM zusätzlich zu 6,25 % anlegen

6 BankII Seite 6 g) Aktienkursentwicklung - Entwicklung des europ. Puts in Klammern - Entwicklung des amerik. Puts in Klammern, fett 420,32 (0) 364,89 (0) 316,77 316,77 (14,1733) (0) (34,8613) (29,4677) (36,6343) 238,73 238,73 (57,5796) (61,266) (61,2661) 207,25 (88,7349) (92,7495) 179,91 (120,0809) Wert des Rechts auf vorzeitige Ausübung: 1,7730 Teil III: a) Der BS-Wert (1) steigt, wegen des geringeren Zinsverlustes, kann in extremen Fällen aber auch fallen (2) fällt, da der Zinsverlust, der durch den späteren Verkauf der Option entsteht, wächst (Opportunitätskosten) (3) steigt, da die Wahrscheinlichkeit für wesentlich geringere Aktienkurse wächst b) wegen Arbitragebewertung: Die BS-Formel beruht auf Überlegungen zur Nichtexistenz risikofreier Arbitragemöglichkeiten (= risikoloser Gewinn). Diese würde jeder Investor wahrnehmen und sein Nutzen würde ansteigen (ist unabhängig von der Risikopräferenz). Der Optionspreis ist der Erwartungswert der abgezinsten Wertentwicklung. Unterstellt werden dabei die von einem Investor unabhängigen Pseudowahrscheinlichkeiten p. d) amerikanisch Kaufoption, nicht dividendengeschützt, unmittelbar vor der Dividendenfälligkeit, allerdings nur, falls: D r T - F + K ( 1 ) r T F > 0 Put-Option darf nicht unmittelbar vor der Dividendenfälligkeit ausgeübt werden. (0) Klausur WS 1994/95 1. Klausur Der Kurs einer Aktie folgt einem lognormalverteiltem stochastischen Prozeß. Im Zeitpunkt t = 0 existieren amerikanische nicht dividendengeschützte Optionen auf diese Aktie mit einem Basispreis K = 220 und einem Aktienkurs S = 200. Sie haben eine Restlaufzeit T von 6 Monaten, wobei in dieser Zeit keine Dividenden anfallen. Die aus historischen Daten geschätzte jährliche Volatilität σ des Aktienkurses beträgt 40 %. Der Kapitalmarktzins i für risikolose Anlagemöglichkeiten und für Kreditaufnahme liegt bei einheitlich 10 % p. a.. Der Kapital-

7 BankII Seite 7 markt ist vollkommen, d.h. es existieren keine Arbitragemöglichkeiten und Leerverkäufe sind zulässig. Im übrigen sind Steuern und Transaktionskosten zu vernachlässigen. Teil I (Black/Scholes-Modell) Soweit für die folgenden Teilaufgaben Werte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung N(x) notwendig sind, können sie der Tabelle am Ende des Textes entnommen werden. a) Ermitteln Sie ausgehend von den obigen Angaben den Wert einer amerikanischen Kaufoption nach Maßgabe der Black/Scholes-Formel! (16 Punkte) b) Wie hoch wären die Werte für die Kauf- und Verkaufsoption, wenn es sich um europäische Optionen handeln würde? Aufgrund welcher Portfolioüberlegungen können Sie den Wert der europäischen Verkaufsoption aus dem Wert der europäischen Kaufoption ableiten? Welche Aussagen können Sie an dieser Stelle über den Wert einer amerikanischen Verkaufsoption machen? Begründen Sie Ihre Antwort! (10 Punkte) Teil II (Binomialmodell) Es gelten weiterhin die Angaben aus Teil I. Davon abweichend wird unterstellt, daß der Aktienkurs einem multiplikativen binomialen stochastischen Prozeß folgt. Beachten Sie die für die Übersetzung vom Modell normalverteilter zum Modell binomialverteilter Logarithmen der Aktienkurse geltenden Formeln für die Aufzinsungsfaktoren pro Binomialschritt: T n bei Aufwärtsbewegungen: u = e σ / bei Abwärtsbewegungen: d = 1 u Dabei ist e die Euler'sche Zahl und n gibt die Anzahl der Binomialschritte an. Für den Aufzinsungsfaktor der sicheren Kapitalmarktanlage pro Binomialschritt gilt dann: r = ( 1 + i) T/ n. Die fiktiven Wahrscheinlichkeiten p und p' errechnen sich wie üblich: r d p =, p' = p u. u d r Weiterhin ist im Unterschied zu Teil I zu beachten, daß die Inhaber der Aktie in 3 Monaten mit Sicherheit eine Dividende in Höhe von 10 erhalten. Für die im folgenden vorzunehmende Bewertung gehen Sie von einem dreistufigen Binomialprozeß (n = 3) aus. Der Binomialprozeß startet somit im Zeitpunkt t = 0 und endet im Zeitpunkt t = 3. Die Dividende wird zwischen den Zeitpunkten t = 1 und t = 2 bezahlt. Daraus folgt, daß die Aktienkurse im Zeitpunkt t = 2 um den Dividendenabschlag von 10 reduziert werden müssen, bevor der Binomialprozeß weiterentwickelt werden kann. c) Berechnen Sie auf Basis dieser Annahmen den Wert der amerikanischen nicht dividendengeschützten Kaufoption. Wie würden Sie den Wertunterschied zur Option aus Teilaufgabe a) begründen? (20 Punkte) d) Bestimmen Sie die Zusammensetzung eines zur Kaufoption aus Teilaufgabe c) äquivalenten Portfolios aus Aktie und risikoloser Kapitalmarktposition in t = 0. Welche Anpassungen dieses Portfolios muß der Anleger in t = 1 und t = 2 vornehmen, damit es weiterhin zur Option äquivalent ist? Gehen Sie dabei davon aus, daß zwischen t = 0 und t = 1 die günstige und zwischen t = 1 und t = 2 die ungünstige Aktienkursentwicklung eintritt. (16 Punkte) Teil III (Exotische Optionen)

8 BankII Seite 8 Sie sind Mitarbeiter der Tasmanien-Bank, die sich auf die Emission exotischer Optionen spezialisiert hat. Als besondere Spezialität begibt diese Bank sogenannte Up-and-Out-Calls, eine Sonderform der Knock-Out-Optionen. Es handelt sich dabei um eine amerikanische Kaufoption, die sich von herkömmlichen Optionen nur dadurch unterscheidet, daß sie zwangsweise ausgeübt wird, wenn der Aktienkurs zu irgend einem Zeitpunkt t (t = ) das vorgegebene Niveau KA = 250 überschreitet. In diesem Fall erlischt das Optionsrecht sofort und der Anleger erhält zu diesem Zeitpunkt t eine Barauszahlung in Höhe von KA - K = 30. In allen anderen Fällen steht es dem Anleger frei, ob er ausübt oder nicht. Alle anderen Angaben aus Teil II bleiben unverändert. e) Bewerten Sie eine solche Up-and-Out-Kaufoption unter Zuhilfenahme eines dreistufigen Binomialmodells! (22 Punkte) f) In welche Richtung weicht der von Ihnen ermittelte Wert vom Wert einer normalen Kaufoption ab? Begründen Sie ihre Antwort! (4 Punkte) Teil IV (Verständnisfragen) g) Wann und unter welchen Bedingungen kann die vorzeitige Ausübung einer amerikanischen Kaufoption lohnend sein, wenn der Kapitalmarkt arbitragefrei ist? Welche quantitativen Abschätzungen sind dabei gegebenenfalls zu berücksichtigen? (10 Punkte) h) Wie ändern sich ihre Überlegungen aus Teilaufgabe g), wenn es sich um eine amerikanische Verkaufsoption handelt? Begründung! (6 Punkte) i) Unter welchen Voraussetzungen kann man zur Bewertung einer Option das Modell von Black/Scholes einsetzen? In welchen Fällen muß man auf das Binomialmodell zurückgreifen, um eine korrekte Bewertung durchführen zu können? (10 Punkte) j) Inwiefern kann der durch die Black/Scholes-Formel ermittelte Optionspreis als diskontierter Erwartungswert gedeutet werden? Wie wird im Rahmen einer solchen Deutung die Tatsache berücksichtigt, daß der repräsentative Anleger am Kapitalmarkt risikoavers ist? (6 Punkte) Wertetabelle:x N(x) 0, , , , , , , , , , , ,340895

9 BankII Seite 9 Lösung: a)c = S N(d 1 ) - K r -t N(d 2 ) mit: d 1 = S ln K r σ t T 1 + σ 2 T d 2 = d 1 - σ T C = 200 N(- 0,027065) , N(- 0,309908), 5 C = 18, b) hier: C europ. = C amerik. P europ. = C + r -t K - S P europ. = 28,24 S < K S K - P K - S 0 C 0 K - S - S S S K r -t - K - K Σ 0 0 P amerik. > 28,24 wegen vorzeitiger Ausübungsmöglichkeit c) Entwicklung des Aktienkurses: u = 1,1774; d = 0,8493; r = 1,016; p = 0, (Call-Entwicklung in Klammern) 314,66 (94,66) 277,25-10 (50,72) 235,48 226,98 (26,26) (6,98) (13,58) (1,85) - niedrigerer Wert als in a) wegen Dividendenzahlung 223,70 (3,70) 169,87 161,37 (0,93) (0) 144,27-10 (0) 158,09 (0) 114,04 (0)

10 BankII Seite 10 d) 0 = C C u d ( u d) S = 0,3861 B 0 = u C d C d ( u d) r u = - 63,63 1 = 0,6326 B 1 = - 122,71 2 = 0,0594 B 2 = - 9,43 Der Anleger kauft in t = 0 0,3681 Aktien, die er mit einem EK von 13,58 und einem Kredit von 63,63 finanziert. In t = 1 kauft er zusätzlich 0,2465 Aktien für 58,05. Dieser Betrag wird durch eine entsprechende Krediterhöhung finanziert. In t = 2 werden 0,5732 Aktien verkauft. Inkl. Dividende bringt dies einen Erlös von 114,64. Dieser Erlös wird zur Kredittilgung eingesetzt. e) Netz wie unter c), allerdings beträgt C UU = 30. Somit folgt: 30 15,90 3,70 C = 8,4 1,85 0, f) C Knock-Out < C herkömmlich, weil im günstigsten Fall nicht von der vollen Aktienkursentwicklung profitiert wird. g) - Vorzeitiges Ausüben, wenn Dividendenvorteil den Zinsnachteil übersteigt. - Vorzeitiges Ausüben kann somit nur unmittelbar vor Dividendentermin lohnend sein, damit Zinsnachteil minimiert wird. Es muß gelten: D r (T-F) + K (1 - r T-F ) > 0. h) Vorteil: man erhält K sofort (Zinsgewinn) Nachteil: man verliert Dividende Ausübung niemals unmittelbar vor Dividendenzahlung optimal K (1 + i) F - K (1 + i) F+t-T > D Ausübung kann immer lohnend sein, besonders wenn nächster Dividendentermin weit entfernt und Aktienkurs sehr niedrig. Ausübung lohnend, falls K - S > P(S - D, K, T - F, σ, i) i) - arbitragefreie Märkte - logarithmische Normalverteilung der Aktienkurse - keine vorzeitige Ausübungsproblematik (d. h. es muß sich um europäische, dividendengeschützte Optionen oder um amerikanische, dividendengeschützte Kaufoptionen handeln)

11 BankII Seite 11 - in allen Fällen, in denen obige Bedingungen nicht erfüllt sind (amerik. Verkaufsoptionen oder nicht dividendengeschützte Optionen) j) - in jedem Knoten des Binomialmodells wird ein diskontierter Erwartungswert gebildet, so daß der Optionswert als diskontierter Erwartungswert interpretiert werden kann - der Optionswert ist die Summe aus erwarteten Aktienkurs abzüglich erwarteten diskontierten Ausübungspreis - im BS-Modell kommt dies durch die Beziehung ln r = µ + ½ σ 2 zum Ausdruck Klausur WS 1994/95 Teil 2 (Aufgabe 1): Hedging mit Optionen Am friktionslosen Kapitalmarkt herrscht vollständige Konkurrenz und Arbitragefreiheit. Investoren verhalten sich rational. Leerverkäufe von Aktien sind zulässig und Transaktionskosten sind zu vernachlässigen. Es existieren europäische Kauf- und Verkaufsoptionen auf genau eine SIEMENS-Aktie mit Basiskurs K = 700 und einer Restlaufzeit von 8 Monaten. Der Kurs der Aktie, deren zukünftige Rendite lognormalverteilt ist, beträgt heute S = 690. Wegen der schlechten Ertragslage hat der Vorstand angekündigt, daß in den nächsten Jahren keine Dividenden gezahlt werden können. Aus historischen Aktienkursen wurde für die jährliche Volatilität des Aktienkurses eine Schätzung von σ = 0,25 ermittelt. Der Kapitalmarktzins für risikolose Anlagemöglichkeiten und für Kreditaufnahme beträgt einheitlich 10% p. a. Hinweis: Verwenden Sie für die im folgenden geforderten Berechnungen die relevanten Werte der am Ende der Aufgabe angegebenen Wertetabelle für die Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung! Dabei gibt N(x) die Wahrscheinlichkeit dafür an, daß eine standardnormalverteilte Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich x annimmt. Im übrigen folgt aus den Symmetrieeigenschaften der Normalverteilung: N(-x)=1-N(x). a) Berechnen Sie zunächst den Wert der Verkaufsoption nach Black/Scholes! Ist dieser Wert exakt? (10 Punkte) b) Sie möchten heute (t = 0) Ihr Aktienportfolio, das ausschließlich aus 1500 SIEMENS-Aktien besteht, gegen Kursschwankungen während der nächsten drei Wochen (t = 1, 2, 3) absichern. Sie führen dazu mit der Verkaufsoption aus Teilaufgabe a) einen Delta-Hedge durch, wobei Sie im Abstand von jeweils einer Woche die Optionsstückzahlen an die Kursentwicklung anpassen. Führen Sie diesen Delta-Hedge unter der Annahme durch, daß sie keine Bruchteile einer Option erwerben können! Gehen Sie dabei von den in der nachstehenden Tabelle aufgeführten Aktien- und Optionskursen aus. Der Einfachheit wegen können Sie unterstellen, daß sich die Restlaufzeit der Option für jede abgelaufene Woche um 0,25 Monate reduziert. Welches Ergebnis erzielen Sie, wenn Sie nach Ablauf der drei Wochen Ihr Portfolio liquidieren? Wie müßte der Delta-Hedge aufgebaut sein, damit er zu einer perfekten Kursabsicherung führt? Was würden Sie tun, wenn Sie sich nur gegen das Kursrisiko am Ende des dritten Monats absichern möchten? (22 Punkte) t Aktienkurs Optionspreis , , ,95

12 BankII Seite 12 c) Was ist der Unterschied zwischen einem Delta- und einem Gamma-Hedging? Beschreiben Sie qualitativ, wie Sie das Aktienportfolio aus Teilaufgabe b) mittels eines Gamma-Hedgings absichern würden? (8 Punkte) Wertetabelle: x N (x) -0, , , , , , , , , , , , , , , , , , Lösung: a)p = K r -t N(d 1 ) - S N(d 2 ) mit: d 1 = ln K r S t σ T 1 + σ 2 T d 2 = d 1 - σ T P = , 8 12 N(- 0,138730) N(- 0,342854) P = 39,77 b) Delta-Hedge mit Verkaufsoptionen: π = n S + y P π = n + y P = n y P =! n 0 y = S S P mit P t K r ln S = N σ T 1 σ 2 T = N( d 2 )

13 BankII Seite 13 t d 2 P = N(d 2 ) y P Portfoliobewegung Anlageergebnis 0-0,3429 0, , ,00 1,1 ¾ ,5124 0, , ,34 1,1 ½ ,7493 0, , ,74 1,1 ¼ , , ,68 Gewinn aus SIEMENS-Aktien: ( ) = ,00 Ergebnis aus Optionsgeschäft: ,68 Gesamtergebnis der Absicherungsstrategie: ,32 -Hedging müßte dynamisch sein, also in jedem beliebig kleinen Intervall müßte eine Anpassung erfolgen - Statisches Hedge: Put-Option mit Fälligkeit in 3 Wochen oder Call verkaufen mit Basiskurs in Höhe des heutigen Aktienkurses c) Beim Gamma-Hedge wird das Portfolio so aufgebaut, daß sich das Delta (der Option) im Zeitablauf nicht ändert! Dies kann man durch Kauf einer Put-Option und Verkauf einer Call-Option (in gleicher Stückzahl) erreichen! Klausur WS 1996/97 Aufgabe 1 Teil I: Optionsbewertung nach dem Black-Scholes-Modell Es existieren amerikanische Optionen auf eine Aktie mit Basiskurs K = 200. Der Aktienkurs beträgt heute S = 250. Die Laufzeit T der Option beträgt 6 Monate. Aus historischen Aktienkursen wurde für die jährliche Volatilität des Aktienkurses eine Schätzung von σ = 0,25 ermittelt. Der Kapitalmarktzins für risikolose Anlagemöglichkeiten und für Kreditaufnahmen beträgt einheitlich i = 7,5 % p. a. Dividenden fallen während der Laufzeit nicht an. Der Markt ist arbitragefrei, Steuern sind zu vernachlässigen und alle Investoren verhalten sich rational. Die für die Berechnung notwendigen Werte der Standardnormalverteilung N(x) können Sie der hier beigefügten Tabelle entnehmen. Wertetabelle: x N(x) x N(x) 1, , , , , , , , , , , , , , , , a) Ermitteln Sie zunächst den Wert einer Kaufoption nach Maßgabe der Black-Scholes-Formel! (10 Punkte) b) Abweichend von der vorherigen Teilaufgabe ist aufgrund einer Ankündigung des Vorstandes mit Sicherheit in 3 Monaten mit einer Dividende in Höhe von 7,5 DM je Aktie zu

14 BankII Seite 14 rechnen. Ermitteln Sie nun durch Berechnung von zwei Black-Scholes-Werten eine möglichst nahe am exakten Wert liegende Untergrenze für den modellmäßig exakten Wert einer solchen Kaufoption, wenn sie nicht dividendengeschützt ist. Begründen Sie Ihre Vorgehensweise kurz verbal und erklären Sie, warum das Ergebnis nur eine Untergrenze darstellt! (15 Punkte) Teil II: Optionsbewertung nach dem Binomialmodell Für die entsprechende Bewertung der Optionen mit dem Binomialmodell nehmen Sie nun im folgenden an, der Aktienkurs folge einem multiplikativen binomialen stochastischen Prozeß. Ansonsten gelten die Angaben aus Teil I. Beachten Sie die für die Übersetzung vom Modell normalverteilter zum Modell binomialverteilter Logarithmen der Aktienkurse geltenden Formeln für die Aufzinsungsfaktoren pro Binomialschritt: = σ bei Aufwärtsbewegungen: u e T n bei Abwärtsbewegungen: d = 1 u bei sicherer Anlage: r = ( 1+ i) T n. ( r d) Für die fiktiven Wahrscheinlichkeiten p und p' gilt wie üblich: p = ; p' = p u ( u d) r c) Berechnen Sie unter Zugrundelegung eines 3-stufigen Binomialprozesses den Wert einer amerikanischen Kaufoption in t = 0 unter der Voraussetzung, daß keine Dividende gezahlt wird! (12 Punkte) d) Es ist jeweils eine Kaufoption auf eine Aktie zu betrachten. Bestimmen Sie für den Zeitpunkt t = 0 die Zusammensetzung eines zur Option äquivalenten Portfolios aus Aktien und risikoloser Kapitalmarktposition! (6 Punkte) e) In t = 1 trete der günstige Fall einer Aktienkursentwicklung ein. Welche Kauf- und Verkaufsentscheidungen muß ein Anleger treffen, um - ausgehend von einem risikolosen Portfolio in t = 0 - weiterhin vollständig abgesichert zu bleiben? Gehen Sie hierbei davon aus, daß in dem risikolosen Portfolio stets genau 1000 Kaufoptionen auf je eine Aktie enthalten sein sollen! (8 Punkte) f) Berechnen Sie wiederum unter Zugrundelegung eines 3-stufigen Binomialprozesses den Wert einer amerikanischen Kaufoption in t = 0 für den Fall, daß ebenso wie in Teilaufgabe b) aus Teil I nach Ablauf von 3 Monaten mit Sicherheit eine Dividende von 7,5 DM je Aktie gezahlt wird. Welche Annahme an den stochastischen Aktienkursprozeß legen Sie Ihrer Berechnung zu Grunde? (19 Punkte) Lösung: Teil I: a) C = S N(d 1 ) - K r -t N(d 2 ) mit: d 1 = S ln K r σ t T 1 + σ 2 T d 2 = d 1 - σ = 250 N(1, ) ,075-0,5 N(1, ) T

15 BankII Seite 15 = 58,3259 b) Ausübung in 3 Monaten: BS(K, S, i, σ, T) = BS(200; 250; 0,075; 0,25; 0,25) d 1 = 1, d 2 = 1, C =53, Untergrenze, weil zwischenzeitliche Wahlmöglichkeit verloren geht. Ausübung in 6 Monaten: BS(200; d 1 = 1, d 2 = 1, C = 51, , , ; 0,075; 0,25; 0,5), ,63438 Teil II: r = 1,075 0, 5 3 = 1, u = e 0, 25 0, 5 3 = 1, d = 0, p = 0, (1 - p) = 0, c) Entwicklung des Aktienkurses: (Call-Entwicklung in Klammern) 339,55879 (139,55879) 306,61259 (109,0088) 276, ,86305 (81,626764) (76,86305) (58,660283) (52,396217) 225, ,74338 (33,888366) (25,74338) 203,84029 (13,577441) 184,06238 (0) d) C u C d ( u d) S = 0, = Kauf des 0, fachen der Aktie B = u C d C d ( u d) r u = - 174,80362 (Kredit)

16 BankII Seite 16 e) S = 276,86305 = 0, C u = 109,0088 B = - 195,23621 C d = 52, PF in t = Call 933,8556 Aktien leerverkaufen ,62 sichere Anlage PF in t = Call 66,1441 Aktien zusätzlich leerverkaufen ,851 zusätzlich in sichere Anlage (Verzinsung berücksichtigt) f) 331,2529 (131,2529) 306, ,5 (101,5088) 276, ,09074 (76,86305) (70,09074) ,5 (53,396477) (44,896214) - Aktienkurs cum Dividende ist lognormalverteilt 1997/I Aufgabe 5 268,55716 (68,55716) 225, ,97107 (27,915009) (18,97107) 203, ,5 (9, ) 217,43749 (17,43749) 177,29008 Die Shareholder Value AG möchte auf ihrer Hauptversammlung die Einführung eines sogenannten stock options -Plans beschließen. Dieser als Leistungsanreiz für das Top-Management gedachte Plan sieht vor, daß an die betreffende Personengruppe amerikanische Aktienoptionen mit den folgenden Ausstattungsmerkmalen verteilt werden: Die Laufzeit T soll 10 Jahre betragen und der Ausübungspreis K soll dem Aktienkurs S des Unternehmens im Ausgabezeitpunkt t = 0 entsprechen; dabei gelte S = 100. Für jede zugeteilte Option kann der Manager am Ende der Laufzeit eine Aktie beziehen. Als anerkannter Fachmann für Unternehmensfinanzierung werden Sie im Vorfeld der Hauptversammlung von der Shareholder Value AG mit der Bewertung dieser Optionen beauftragt. Zu diesem Zeitpunkt beträgt der Marktzins für langfristige Bundesanleihen 7 %. a) Gehen Sie zunächst davon aus, daß der Aktienkurs des Unternehmens einem multiplikativen binomialen Prozeß folgt. Dabei steigt der Kurs der Aktie je Binomialschritt entweder um das u-fache oder er fällt auf das d-fache, wobei u = 1,25 und d = 1 / u gelte. Ermitteln Sie den

17 BankII Seite 17 Wert C einer Option auf der Grundlage eines Binomialprozesses mit n = 3 Schritten! Unterstellen Sie dabei, daß das Unternehmen keine Dividenden zahlt! (Der sichere Zins von 7 % ist hier pro Binomialschritt zu verstehen.) (8 Punkte) b) Halten Sie es aus Sicht der Aktionäre für sinnvoll, bei 7% sicherem Zins den Basiskurs so festzulegen, wie einleitend beschrieben, sofern keine Dividenden gezahlt werden? Differenzieren Sie Ihre Antwort in Abhängigkeit davon, ob (1) die Optionen zusätzlich zum Festgehalt gewährt werden sollen oder (2) bei Gewährung der Optionen das Festgehalt des Managements reduziert wird. Schlagen Sie für den Fall (1) eine Ihrer Ansicht nach sinnvolle Änderung der Ausübungsbedingungen vor und berechnen Sie den sich dann ergebenden Optionswert! Geben Sie eine ökonomische Begründung für Ihren Vorschlag! (18 Punkte) c) Bewerten Sie nunmehr die einleitend beschriebene Option gemäß Black/Scholes-Modell. T n Als Volatilität wählen Sie den Wert, der gemäß der üblichen Transformationsregel u = e σ / zu dem Wert für u in Teilaufgabe a) führt. Nehmen Sie im Gegensatz zu Teilaufgabe a) aber an, daß das Unternehmen jährlich eine Dividende in Höhe von 3 % des zum Dividendenzahlungszeitpunkt gültigen Aktienkurses zahlt. Welche vereinfachende Annahme hinsichtlich der zeitlichen Verteilung des Dividendenstromes müssen Sie treffen, um einen exakten Black/Scholes-Wert ermitteln zu können? Die für die Berechnung des Black/Scholes-Wertes notwendigen Werte der Standardnormalverteilung N(x) können Sie der Tabelle am Ende der Aufgabe entnehmen. (8 Punkte) d) Gibt es bei der Option aus Teilaufgabe c) ein Problem der vorzeitigen Ausübung, wenn die Dividendenzahlung jeweils nach Ablauf eines Jahres erfolgt? Kann man abschätzen, zu welchem Zeitpunkt sich eine vorzeitige Ausübung frühestens lohnt? Welche Modifikation müßte am Ergebnis aus Teilaufgabe c) im Höchstfall vorgenommen werden, um eine eventuelle vorzeitige Ausübung zu berücksichtigen? Die zur Berechnung des modifizierten Optionswertes benötigten Werte der Standardnormalverteilung können Sie der nachstehenden Tabelle entnehmen! (14 Punkte) Wertetabelle: x N(x) x N(x) x N(x) x N(x) 0,7694 0,7792 0,8599 0,8051 1,1676 0,8785 1,2464 0,8937 0,7811 0,7826 0,8690 0,8076 1,1790 0,8808 1,2555 0,8954 0,7925 0,7860 0,8713 0,8082 1,2080 0,8865 1,2578 0,8958 0,8215 0,7943 0,8980 0,8154 1,2346 0,8915 1,2845 0,9005 0,8576 0,8044 0,9003 0,8160 1,2441 0,8933 1,2868 0,9009

18 BankII Seite 18 Lösung: a) p = 1, 07 0, 8 1, 25 0, 8 = 0,6 C = K p 3 3 p 2 ( 1, 25 1) + 3 ( 1 p ) ( 1, 25 1) 3 = 25,62 1, 07 b) (1) - keine Anreize - sichere Anlage bringt auch Gewinn, den sich Management sichern kann (2) - höhere Anreizwirkung - In Höhe des sicheren Gewinns kann Grundgehalt gekürzt werden. Problem: höheres Einkommensrisiko sinnvolle Änderung bei (1): - Basiskurs erhöhen Anreiz zu überdurchschnittlicher Leistung Ausübung der Option lohnt erst, wenn Aktienkurs überdurchschnittlich gestiegen ist z. B.: K = 196,72 (= 100 1,07 10 ) - Basiskurs verzinsen bzw. an Marktindex koppeln wie oben, aber evtl. besser, da Manager weniger unsystematisches Risiko übernehmen - bei durchschnittlicher Wertentwicklung keine Zusatzprämie für Manager, d. h. Optionswert muß in diesem Falle = 0 sein. c) σ = ln u T n = 0,1222; r = 1, 07 1, 03 d 1 = 1,1790; d 2 = 0,7925; C = 34,38 d)- vorzeitige Ausübung frühestens kurz vor der letzten Dividendenzahlung - Modifikation: S * = S 1,03 = 103 d 1 = 1,2555; d 2 = 0,8690; C = 37,05 allgemein: - Zinsverlust bei vorzeitiger Ausübung + man erhält Dividende - man verliert Option (Wahlmöglichkeit) Frage: D oder < Zinsverlust

19 BankII Seite /II Aufgabe 3 Es existieren amerikanische Optionen auf die Aktie der Daimler Benz AG mit Basiskurs K = 170. Der Aktienkurs beträgt heute S = 180. Die Laufzeit der Option beträgt 9 Monate. Aus historischen Aktienkursen wurde für die jährliche Volatilität des Aktienkurses eine Schätzung von σ = 0,3 ermittelt. Der Kapitalmarktzins für risikolose Anlagemöglichkeiten und für Kreditaufnahmen beträgt einheitlich i = 5 % p.a. Dividenden fallen während der Laufzeit nicht an. Der Markt ist arbitragefrei, Steuern sind zu vernachlässigen und alle Investoren verhalten sich rational. Die für die Berechnung notwendigen Werte der Standardnormalverteilung N(x) können Sie der beigefügten Tabelle entnehmen. Wertetabelle: x N(x) x N(x) 0, , , , , , , , , , , , , , , ,70449 a) Ermitteln Sie zunächst den Wert einer Kaufoption nach Maßgabe der Black/Scholes-Formel! (8 Punkte) b) Wie hoch wäre der Wert der entsprechenden Verkaufsoption, wenn diese europäisch wäre? Welche Portfolioüberlegung erlaubt es, den Wert einer europäischen Verkaufsoption aus dem Wert einer Kaufoption abzuleiten? (6 Punkte) c) Abweichend von allen vorherigen Teilaufgaben ist aufgrund einer Ankündigung des Vorstandes mit Sicherheit in 3 Monaten mit einer Dividende in Höhe von 5 DM je Aktie zu rechnen. Ermitteln Sie nun durch Berechnung von zwei Black-Scholes-Werten eine möglichst nahe am exakten Wert liegende Untergrenze für den modellmäßig exakten Wert einer solchen amerikanischen Kaufoption, wenn sie nicht dividendengeschützt ist. Begründen Sie Ihre Vorgehensweise kurz verbal und erklären Sie, warum das Ergebnis nur eine Untergrenze darstellt! (14 Punkte) d) Definieren sie verbal und formal die Bedeutung des sogenannten Optionsdeltas. Skizzieren Sie in einem Schaubild den Verlauf des Deltas eines Calls und eines Puts in Abhängigkeit vom Aktienkurs. Wie hängen die Delta-Werte eines Calls und eines Puts zusammen, wenn die Portfolioüberlegung aus Teilaufgabe b) anwendbar ist? (6 Punkte) e) Sie haben in Ihrem Portfolio Stück der oben genannten Aktie der Daimler Benz AG. Für dieses Portfolio soll mit der Call-Option aus Teilaufgabe a) ein Delta-Hedging durchgeführt werden. Wieviel von diesen Call-Optionen müssen sie verkaufen, wenn sie von den in der Aufgabenstellung angegebenen Bewertungsparametern ausgehen? Was müßten Sie tun, wenn Sie das Delta-Hedging mit den Puts aus Teilaufgabe b) betreiben wollten? Ist es notwendig, das Portfolio während der Laufzeit des Delta-Hedges umzuschichten? Wenn ja, wie oft sind diese Umschichtungen vorzunehmen? (8 Punkte)

20 BankII Seite 20 f) Die Elastizität - auch Hebel genannt - einer Option soll das Verhältnis der prozentualen Veränderung des Optionswertes zur prozentualen Veränderung des Kurses der zugrunde liegenden Aktie ausdrücken; dabei wird von kleinen (infinitesimalen) Veränderungen ausgegangen. Welche Formel gilt für den Zusammenhang zwischen Elastizität und Delta? Zeigen Sie, daß die Elastizität für einen nach der Black/Scholes-Formel bewerteten Call größer ist als eins! (6 Punkte) Lösung: a) C = 26,96 b) P = 10,855 c) Ausübung in 3 Monaten: BS(170; 180; 0,05; 0,3; 0,25) C = 23,66 Untergrenze 5 Ausübung in 9 Monaten: BS(170; 180-0, 25 1,05 ; 0,05; 0,3; 0,75) C = 17,52 175,06 Untergrenze, weil zwischenzeitliche Wahlmöglichkeit verloren geht. d)optionsdelta gibt die Veränderung des Optionswertes bei kleiner (marginaler) Veränderung des Aktienkurses an. C = = S N( d1 ) 1 Call Put = P C S = S 1 = S -1 Put e) Anzahl der Optionen = = Anzahl der Aktien ,6882 Anzahl der Optionen = Call-Optionen müssen verkauft werden