8.1 Arbeit 8.2 Verschiedene Arten mechanischer Arbeit 8.3 Leistung 8.4 Energie 8.5 Felder 8.6 Satz von der Erhaltung der Energie

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1 Inhalt 8 Arbeit, Energie - Leistung 8. Arbeit 8. Verschiedene Arten echanischer Arbeit 8.3 Leistung 8.4 Energie 8.5 Felder 8.6 Satz von der Erhaltung der Energie 8.6. Energieuwandlung 8.7 Stoßprozesse 8.7. Gerader, zentraler, elastischer Stoß 8.7. Gerader, zentraler, inelastischer Stoß 8. Arbeit Die Definition der Arbeit lautet: Wird ein Körper unter Einwirkung einer konstanten Kraft F u einen Weg s verschoben, wird dabei die Arbeit W verrichtet. atheatisch ausgedrückt: W = F s Skalarprodukt von Die Einheit der Arbeit ist [ W] = N = J = Joule a b = ( a b + a b + a b ) x x y y z z F und s Die Arbeit ist ein Skalar, also eine Größe, die nur einen Betrag hat, aber keine Richtung, wie z. B. die Masse, die Länge eines Vektors,... Skalarprodukt:

2 8. Arbeit 3 Kreuzprodukt: ax bx ab y z ab z y a b = ay by = azbx axbz a ab z b z x y ab y x Entsprechend diese inhaltliche Unterschied gibt es auch zwei unterschiedliche Rechenvorschriften, wie die Multiplikation ausgeführt werden soll. W = F s = F s cosα Skalarprodukt v =ω r =ω r sinα Vektorprodukt Das Skalarprodukt wird also axial, wenn beide Vektoren parallel sind, und Null, wenn beide Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Dies ist genau ugekehrt zu Vektorprodukt. Beispiel: Welche Arbeit uss geleistet werden, u einen Stein der Masse auf die Höhe h zu heben? 8. Arbeit 4 h = h h = 0 z F = g F = g s Dait wird die Arbeit 0 0 W = F s = g s = 0 0 g h = ( ( g) h) = g h Diese Arbeit uss geleistet werden, u die Masse auf die Höhe h zu heben, deswegen hat sie auch ein negatives Vorzeichen. (Kraft ist antiparallel zu de Weg.) (Ugekehrt wird der Körper von h auf 0 gebracht, dann wird die Arbeit vo Körper verrichtet.) Ist die Kraft längs eines Weges nicht konstant, uss an den Weg in Stücke zerlegen, entlang derer die Kraft konstant ist. Die Gesatarbeit W ges ist dann die Sue der einzelnen Arbeiten W i W ges = Wi i

3 8. Arbeit 5 Als Beispiel nehen wir den einfachen Fall, dass an von zwei gleichen Ziegelsteinen erst einen von h = 0 nach h und dann beide von h nach h heben soll. h h z + F F = g = ( + ) g = g ab hier doppelt so groß Wie groß ist die Gesatarbeit? Wges = W + W = g h ( + ) g h = ( g h+ g h) = 3 g h = 8. Arbeit 6 I Allgeeinen lassen wir zu, dass sich die Kräfte, für die wir geleistete Arbeit berechnen wollen, kontinuierlich verändern. Dann üssen die Wegstücke zu unendlich kleinen Teilwegen werden, und wir koen zur Integralforulierung der Arbeit über den Zwischenschritt W = W = F( s) s i i i i i für endlich viele Teilwege s. I Grenzfall s 0 führt das zu Arbeitsintegral i i W = F ( s) ds allgeeine Definition der Arbeit Arbeit = Linienintegral der Kraft

4 8. Arbeit 7 Beerkungen: Arbeitsdiagrae: Fs ( ) Ist s F, dann ist F s = F s cosα = F s F 0 Arbeit = Fläche unter der Kurve W = F0 s0 i Fs - Diagra s s 0 F ist eine Funktion von s, d. h. F = F( s) Fs ( ) s W = F( s) ds s W = F ( s) ds s s s Arbeit = Fläche unter der Kurve i Fs - Diagra α= 0 8. Arbeit 8 Was passiert, wenn der Körper auf der Höhe h verschoben wird? s 3 h s F s = g h F s3 = g 0+ 0 x = 0 W = F s + F s x F 0, s 0 =, s 3 0 = = g h 0 Bei einer Verschiebung der Masse senkrecht zur Kraft F (d. h. s F) wird keine Arbeit verrichtet.

5 8. Arbeit 9 Die Hubarbeit ist nur abhängig von der Höhendifferenz und nicht vo Weg. h In all diesen drei Fällen uss dieselbe Hubarbeit geleistet werden. 8. Verschiedene Arten von echanischer Arbeit 0 a) Hubarbeit auf der Erde U einen Körper gegen eine konstante Gewichtskraft g u die Höhe h anzuheben, ist die Hubarbeit W H nötig. WH = g h b) Beschleunigungsarbeit U einen Körper zu beschleunigen, uss auf einer Strecke s die Beschleunigungskraft F = a wirken. B s v v dv ds v W = a ds = ds = dv v dv dt = dt = = : v = ( v v ) WB = ( v v ) v s v v v Beschleunigungsarbeit, u den Körper von v auf v zu bringen

6 8. Verschiedene Arten von echanischer Arbeit Sonderfall: v = 0 (d. h. Beschleunigung aus de Stand) W B S x x = v Wie groß ist die Arbeit, die in das Spannen einer Feder gestreckt werden uss, die von ihrer Ruhelage x = 0 bis x = x gespannt werden soll? W = F( x) dx Be.: W B hängt nicht von a und t ab, sondern nur von v. c) Spannarbeit bei einer elastischen Feder Die Kraft einer Feder ist nach de Hooke schen Gesetz F = k x it der Federkonstanten k. 8. Verschiedene Arten von echanischer Arbeit x x x k W = k x d x = k = ( x x) x x Fx ( ) da Arbeit verrichtet werden uss F = k x x W S x x d) Reibarbeit Ein Körper werde auf horizontaler Ebene ( WH = 0) it konstanter Geschwindigkeit v = const. ( WB = 0) bewegt. Zur Überwindung der Reibkraft F =µ g ist Reibarbeit W nötig. R R R F s F entgegengesetzt zu s Minus-Zeichen

7 8. Verschiedene Arten von echanischer Arbeit 3 WR = µ g s Arbeit uss verrichtet/geleistet werden e) Fall, bei de F und snicht parallel sind Welche Arbeit bringt der Motor einer Schiffsschaukel auf, der das Schiff der Masse reibungsfrei aus der Gleichgewichtslage von unten nach oben dreht? Der Abstand von der Achse zur Masse sei r. F G F G Nachde was wir bislang wissen, üssen wir über den Halbkreis integrieren, da sich der Winkel α zwischen der Schwerkraft F und den Wegstückchen ds kontinuierlich ändert. Genauer gesagt, ist F G ϕ y r α F G ds x 8. Verschiedene Arten von echanischer Arbeit 4 it F = FG = g, wobei wir ausgenutzt haben, dass ein kleines Kreisbogenstück gerade gleich Radius al Winkeländerung ist (ds = r d ϕ). Drücken wir α durch ϕ ( α = π ϕ) aus, wird aus unsere Integral π W = g r cos( π ϕ) dϕ 0 it cos( π x) = sin x ergibt dies: π W = g r sin ϕ d ϕ= g r ( cos ϕ ) = g r [ ( )] 0 W = g r Dasselbe Ergebnis hätten wir erhalten, wenn die Schiffsschaukel senkrecht auf die Höhe h = r gehoben hätten. oben π W = F ds = g r dϕ cosα unten 0 Arbeit unabhängig vo zurückgelegten Weg π 0

8 8.3 Leistung 5 Bei technischen Anwendungen spielt oft nicht nur die geleistete Arbeit eine Rolle, sondern auch die Zeit, in der die Arbeit verrichtet wird. Wir führen deshalb den Begriff der Leistung P ( power ) ein. Sie entspricht einer geleisteten Arbiet pro Zeiteinheit, ist ein Skalar und wird it P bezeichnet. W P = t [ P] Für eine sich kontinuierlich ändernde Kraft gibt es einen entsprechenden differentiellen Ausdruck d W( t) Pt () = dt ds Pt () = Ft () = Ft () vt () dt der die oentane Leistung angibt, wenn it einer Kraft F und einer Geschwindigkeit v Arbeit verrichtet wird. Die gesate verrichtete Arbeit ergibt sich wieder aus de Integral über die Leistung dw W = d t = P()d t t = F() t v()d t t dt N J = = = W(att) s s 8.3 Leistung 6 Größenordnungen von Leistungen Kraftwerke 500 MW Flugzeugtriebwerke (Boeing 77) 3 5 MW Lokootiven einige MW Autootoren 0 00 kw ( PS = 736 W) Öfen für Zierheizung 0 kw Dauerleistung eines Menschen 00 W Glühlapen 0 einige 00 W

9 8.4 Energie 7 Einer der wichtigsten Begriffe in der Physik ist Energie. Die an eine abgeschlossenen Syste verrichtete Arbeit wird in irgendeiner For gespeichert. Diese gespeicherte Arbeit heißt Energie. Da die gespeicherte Arbeit wieder freigesetzt werden kann, ist Energie die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten. Man vereinbart daher die Vorzeichen bei der Arbeit so, dass an eine Syste geleistete Arbeit dessen Energie vergrößert. Einfaches Beispiel dieses Konzeptes ist die hochgehobene Masse. Lässt an sie los, fällt sie wieder herunter. Mit de Hochheben hat an an ihr Arbeit verrichtet, sie speichert i hochgehobenen Zustand so genannte potentielle Energie. Diese potentielle Energie kann durch Herunterfallen in Bewegungsenergie ugesetzt werden. Die Verwendung des Begriffs potentielle Energie ist nur erlaubt, wenn die Kraft ausschließlich ortsabhängig ist. Kräfte, die diese Eigenschaften haben, werden konservativ genannt. (Beispiele: Gravitationskraft Massenanziehung, Coulobanziehung elektrostatische Anziehung, ) Die Arbeit gegen eine konservative Kraft führt also zur Speicherung in For von potentieller Energie. 8.4 Energie 8 Es gilt denach für die Änderung in der potentiellen Energie E pot Epot = F ds Epot Das Minuszeichen drückt aus, dass wir die Arbeit gegen eine Kraft F verrichten. Für den Fall der Masse, die von h = 0 auf die Höhe h gehoben wird ( F = g), erhöht sich die potentielle Energie u =+ g h Für eine gespannte Feder ist die potentielle Energie Epot =+ k x Wird die Kraft hingegen ausschließlich zur Änderung der Geschwindigkeit verwendet, ist die gespeicherte Energie eine Funktion der Geschwindigkeit. Sie heißt Bewegungsenergie oder kinetische Energie E kin.

10 8.4 Energie 9 kin E = F ds = a ds E E kin kin = v p = Die kinetische Energie nit also quadratisch it der Geschwindigkeit zu. Mit de vorhin definierten Ipuls p: = v können wir die kinetische Energie auch folgenderaßen ausdrücken Be.: Die Reibarbeit WR =µ g s wird nicht in eine der echanischen Energieforen ( E oder E ) gespeichert, sondern in For von Wäreenergie. pot kin WR =µ g s Wäre 8.5 Felder 0 Es gibt noch einen Begriff, den wir zu unserer Erleichterung einführen wollen und zwar ist es der des Feldes. Ein Feld gibt es uns die Möglichkeit, räulich variierende Vektoren zu beschreiben. Für jeden Punkt eines Feldes uss denach eine Richtung und ein Betrag angegeben sein. Ein Beispiel ist das Gravitationsfeld E Gr, bei de die Gravitationskraft ier in Richtung der sie verursachenden Masse zeigt und betragsäßig it de Quadrat des Abstandes abnit. Ein anderes Beispiel ist das elektrische Feld. Vergleich Gravitationsfeld und elektrisches Feld Gravitationskraft (-gesetz): F G r Gr = e F = E E Gr Gr Gr = G e r Gravitationsfeld Coulobgesetz: q q F = e 4πε 0 r F = q E Col Col Col q E elektrische Feldstärke Col = e 4πε0 r

11 8.5 Felder Beschreibt das Feld eine konservative Kraft, ist es ein konservatives Kraftfeld. Für konservative Kraftfelder gelten Besonderheiten: a) Die Arbeit, die gegen ein konservatives Kraftfeld verrichtet wird, ist unabhängig vo eingeschlagenen Weg und dait ausschließlich von Anfangsund Endpunkt bestit. W = F ds = Epot, E pot, für konservative Kraftfelder b) Es folgt die äquidistante Aussage, dass die Arbeit entlang eines geschlossenen Weges in eine konservativen Kraftfeld Null ist. F ds = 0 Be.: Der Feldbegriff ist von der Probeasse bzw. Probeladung unabhängig und beschreibt die Kraftwirkung auf sie (allgeeine Theorien öglich). 8.6 Satz von der Erhaltung der Energie 8.6. Energieuwandlung Die beiden echanischen Energieforen E pot und E kin können schon bei sehr einfachen echanischen Vorgängen ineinander ugewandelt werden. Dabei entsteht i idealen Fall kein Verlust an Energie. Beispiele: a) Fadenpendel h 0 N v 0 E ( U) = E ( N) pot kin g h0 = v0 v0 = g h U, U = Ukehrpunkte E E pot 0 kin = g h = 0 bei Nulldurchgang: E = E = v pot 0 und kin 0

12 8.6 Satz von der Erhaltung der Energie 3 b) Tanzende Stahlkugel Die Kugel wird aus der Höhe h 0 fallengelassen und erreicht nach elastischer Reflexion an der Glasplatte fast wieder die volle Höhe h 0 : h 0 g h v v g h Glasplatte 8.6 Satz von der Erhaltung der Energie 4 Energiesatz (für echanische Größen): In eine abgeschlossenen Syste bleibt die echanische Gesatenergie E ges = E pot + E kin konstant, wenn nur konservative Kräfte walten. Erweiterung zu Allgeeinen: Satz von der Erhaltung der Energie In eine abgeschlossenen Syste bleibt der Gesatenergieinhalt konstant. Die Energie ist eine Erhaltungsgröße. Folgerung: Energie kann weder vernichtet noch aus de nichts erzeugt werden, sie kann nur von einer For in eine andere Energiefor ugewandelt werden. Es gibt kein Perpetuu obile. Art.

13 8.7 Stoßprozesse 5 Bei eine Stoß berühren sich (indestens) zwei Körper kurzzeitig, wobei sie abrupt ihre Bewegungszustände ändern. Typisch ist eine sehr kurze Kontaktzeit, in der eist hohe Kräfte auftreten. Beispiele: Billardstöße, Autounfälle, Stöße zwischen Atoen, Die Einteilung der Stöße erfolgt nach zwei Kriterien: a) nach de geoetrischen Ablauf b) nach der Aufteilung der Geoetrie 8.7. Gerader, zentraler, elastischer Stoß Zwei vollkoen elastische Körper bewegen sich auf einer geraden Linie aufeinander zu und erleiden einen geraden zentralen elastischen Stoß. v v vor de Stoß u u Stoß nach de Stoß 8.7 Stoßprozesse 6 a) Da das Syste abgeschlossen ist, gilt der Ipulssatz: v + v = u + u Ipulssatz, Ipulserhaltung b) Da der Stoß vollkoen elastisch sein soll (ideal), geht keine kinetische Energie verloren. v v u u + = + Annahe: v, v vor de Stoß seien bekannt u, nach de Stoß seien gesucht u zwei Gleichungen, zwei Unbekannte Energiesatz, Energieerhaltung Durch Uforen erhalten wir: aus Energiesatz: ( v u) = ( v u) ( v u ) ( v + u ) = ( v u ) ( v + u )

14 8.7 Stoßprozesse 7 aus Energiesatz: ( v u ) = ( v u ) Division beider Gleichungen ergibt: v + u = u + v v v = ( u u ) ( ) Vo Körper aus gesehen, bewegt sich Körper nach de Stoß it derselben Relativgeschwindigkeit weg ( ), it der er vor de Stoß auf Körper zugelaufen ist. Setzt an ( ) in den Ipulssatz ein, so erhält an: u v v = u v v = Stoßgesetze für den elastischen Stoß 8.7 Stoßprozesse Gerader, zentraler, inelastischer Stoß Sind die beiden Stoßparaeter völlig inelastisch, dann treten bei Stoß keine Rückstellkräfte auf. Nach de Stoß bleiben die beiden Stoßparaeter zusaen und bewegen sich it der geeinsaen Geschwindigkeit u. v v vor de Stoß u + nach de Stoß it de Ipulssatz: v + v u = + v + v = ( + ) u Be.: u lässt sich allein aus de Ipulssatz bestien. Energieerhaltung: v v ( ) u + = + + E E = Verlust an kinetischer Energie (Verforungsarbeit und Wäre)