Klassische Experimentalphysik I (Mechanik) (WS 16/17)

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1 Klassische Experientalphysik I (echanik) (WS 16/17) Übungsblatt 9 Lösungen Nae des Übungsgruppenleiters und Gruppenbuchstabe: Naen der bearbeitenden Gruppe: Ausgabe: Di, Abgabe: o,

2 Aufgabe 31: Gravitationsfeld (8 Punkte) a) Für das Kraftfeld starten wir nach Newton it: ˆr bezeichnet dabei den Einheitsvektor 4 3 π ρ E G N r ˆr r R E F ( r) = 4 3 π ρ RE E G 3 N r ˆr r > R E ˆr = r r. U das Potential zu eritteln bilden wir zunächst die Stafunktion von F (r): r 0 F (r ) dr = r 0 = 4 3 π ρ E G N r dr = 4 3 π ρ E G N r für r R E r F (r ) dr = r 4 3 π ρ R 3 [ E E G N r dr = 4 3 π ρ R 3 ] E E G N r = 4 r 3 π ρ RE 3 EG N r für r > R E Für den finalen Ausdruck sind beide Teilausdrücke noch it de richtigen Vorzeichen stetig zu verbinden. Das erreicht an durch Addition einer geeigneten Konstanten V ( r) = V 0 = π ρ E G N R E 4 3 π ρ E G N 3 R E r r R E 4 3 π ρ EG N R 3 E r Wir zeigen den Zusaenhang zwischen F ( r) und V ( r) r > R E V (r) = d V (r) r dr d dr V (r) = 4 3 π ρ E G N r r R E 4 3 π ρ RE EG 3 N r r > R E ; r = x x +y +z y x +y +z z x +y +z = ˆr 4 V 3 π ρ E G N r ˆr r R E ( r) = = F ( r) 4 3 π ρ RE E G 3 N r ˆr r > R E

3 Und schließlich noch eine Skizze des funktionalen Verlaufs: b) Wir befinden uns i Fall r > R E : V (R E + h) = E G N R E + h = E G N R E ( 1 h ) ) = g (h R E R E Dabei ist V (R E ) = g R E eine Konstante i Potential, die sich daraus ergibt, dass wir das Potential für r haben gegen Null gehen lassen. Durch Subtraktion von V (R E ) setzen wir das Potential bei r = R E auf Null. Daraus ergibt sich für die potentielle Energie in unittelbarer Erdnähe die gewohnte For: E pot (h) = V (h) = g h Diese Näherung ist in gleiche aße erfüllt, wie die Annahe, dass die Feldlinien der Gravitation äquidistant sind und senkrecht auf den Erdboden stehen und wie die Annahe, dass die Erde eine Scheibe ist. 3

4 c) Wir geben die vollständige Tabelle an: Hielskörper asse Radius Gravitation (g) Fluchtgeschwindigkeit v F Erde kg 6371 k 9.81 /s 11. k/s ond kg 1737 k 1.6 /s.3 k/s ars kg 3390 k 3.7 /s 5.0 k/s Deios kg 6. k /s 6. /s In dieser Aufgabe haben Sie die Fluchtgeschwindigkeit der Erde berechnet, die in der Lösung zu Aufgabe 1 zur Diskussion ohne nähere Herleitung angegeben wurde. d) Für die Winkelgeschwindigkeit des Astronauten erhalten wir A D G N RD = A ω R D D G N ω = RD 3 = s 1 T = π ω = 8850 s.5 h Dabei sind D und R D asse und Radius des Deios und A die asse des Astronauten. Für die Abschätzung der Bahngeschwindigkeit ignorieren wir die Höhe der Rausonde: v A = ω R D = 4.4 /s Bei einer niedriegeren Absprunggeschwindigkeit wird der Astronaut langsa aber sicher auf den Boden des Deios sinken. Bei einer höheren Absprunggeschwindigkeit wird er ein höheres Orbit einnehen. Der Raufahrer sei gewarnt, der annit, durch eine höhere Absprunggeschwindigeit nach der Urundung des Deios die Sonde schneller wieder erreichen zu können, denn der Radius des Orbits geht bei der Berechnung von ω it der Potenz R 3/ ein. Wäre der Astronaut it doppelter Geschwindigkeit abgesprungen hätte er sogar die Fluchtgeschwindigkeit des Deios überschritten (siehe Teilaufgabe c)) und das Schwerefeld des kleinen Hielskörpers verlassen. Aufgabe 3: Erzschurke it Erdtunnel (4 Punkte) a) Für r R E ist F (r) = 4 3 π ρ E G N r = k r it: k = 4 3 π ρ E G N 4

5 Diese Kraft führt auf die Differentialgleichung einer haronischen Schwingung, die wir wieder it de Anstatz r(t) = A sin(ω t + ϕ) lösen (siehe z.b. Aufgaben 11 und 18): r = k r r = A sin(ω t + ϕ) ṙ = Aω cos(ω t + ϕ) r = Aω sin(ω t + ϕ) = k A sin(ω t + ϕ). Für r(t = 0) = R E und ṙ(t = 0) = 0 ergeben sich ϕ = π / und A = R E. Für Blofeld von Bedeutung ist v.a. die Kreisfrequenz ω und die sich daraus ergebende Periode ω = k 4 = 3 π ρ E G N E G N = RE 3 T = π ω = 4π R 3 E E G N = 506 s Für den Sprengzünder stellt Blofeld eine halbe Periode ein. Das entspricht 531 s oder etwas über 4 in. b) Jetzt lösen wir die Aufgabe ohne Sprengstoff. Dazu propagieren wir zunächst die größere asse ins Zentru der Erde. Dabei erreicht sie die folgende Geschwindigkeit: E pot = 1 k R E = 1 v v = k R E = 4 3 π ρ E G N R E = E G N R E = /s I Erdzentru kot es zu elastischen Stoß it der dort ruhenden asse v = v + u v = (v ) u ( v = v + u = v ) u + u v = v v u + u + u ( v = 1 + ) c c = v 1 + = /s Schließlich verliert die gestoßene kleinere asse bei Weg an die Erdoberfläche wieder an kinetischer Energie. Die verbleibende kinetische Energie ergibt sich aus: 5

6 E kin RE = 1 ( v 1 + ) 1 k R E = v ( + ) E G N R E = E G N R E ( + ) E G N R E = ( E G N R E ( + ) 1 ) = J Die Sprengkraft eines kg TNT Sprengstoff beträgt J. Die Konstruktion setzt also die kinetische Energie von 1.7 t TNT Sprengstoff frei. Es sei noch beerkt, dass die asse nicht ehr von sich aus die Erdoberfläche erreichen kann und auf ewig i Tunnel hin und her schwingen wird. Aufgabe 33: eteorit ( Punkte) Für den Stoßparaeter gilt per Definition v 0 b. Gleiches gilt für den Punkt der größten Annäherung v ax s. Aus Gründen der Drehipulserhaltung haben wir also: L = v 0 b = v ax s v ax = v 0 b s Als nächstes betrachteten wir die Energiebilanz des eteoritenflugs: G N s G N s = 1 ( vax v0) ; = 1 ( ) b s 1 v0 ; 1 v 0s + G N s 1 b v 0 = 0 s 1/ = G N ± G N + v0 4b v 0 s 1/ = G N v 0 (GN ) ± + b v 0 Für das Zahlenbeispiel erhalten wir s = 414 k und v ax = v 0 b s = 48 k/s. Aufgabe 34: Lagrange-Punkte (6 Punkte) Diese Aufgabe beschäftigt sich it de Dreikörperproble der Hielsechanik, dass zunächst als eine einfache Erweiterung des Zweikörperprobles erscheint, aber bereits nicht ehr analytisch lösbar ist! it der Einschränkung, dass der dritte Körper eine vernachlässigbare asse hat, haben jedoch Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange die fünf Lagrange-Punkte L1 bis L5 als stationäre analytische Lösungen des Randwertprobles gefunden: in L1 bis L5 können dritte Körper (z.b. Forschungssatelliten) kräftefrei ruhen. Es handelt sich u Nullstellen des Schwerefeldes in de rotierenden Bezugssyste, in de auch die beiden schweren Hielskörper (wie in unsere Beispiel Erde und ond) ruhen. In diesen Punkten werden die Gravitationskräfte der 6

7 beiden Körper auf den Probekörper gerade von der Zentrifugalkraft (aufgrund der Rotation des Bezugssystes) aufgehoben. In eine nichtrotierenden Bezugsyste laufen die Lagrange-Punkte synchron it den beiden Hielskörpern auf Kreisbahnen u den geeinsaen Schwerpunkt. a) Zur expliziten Berechnung der Punkte legen wir uns zunächst einige nützliche Relationen der einzelnen Hielskörper zueinander zurecht: r 1 : Abstand Schwerpunkt (S) Erde r : Abstand Schwerpunkt (S) ond d = r 1 + r r r 1 = r 1 = d 1 + F = G N d = ω r 1 = ω r ω = G N d = G N ( + ) r 1 L1: Zentrifugalkraft und Anziehungskraft des ondes wirken in die gleiche Richtung und entgegen der Anziehungskraft der Erde Als Testasse verwenden wir µ. Der Abstand der Testasse zu ond soll laut Angabe r sein. Dait ergibt sich der Abstand der Testasse vo Schwerpunkt S zu d r 1 r. Wir achen den Ansatz: G N µ (d r) = G N µ r + µ ω (d r 1 r) (d r) = r + + (d r) = r + + (d r) = r + ( + r ( ) d d 1 + r ( ) + r ) + L: Anziehungskraft des ondes und der Erde wirken in die gleiche Richtung und entgegen der Zentrifugalkraft Als Testasse verwenden wir µ. Der Abstand der Testasse zu ond soll laut Angabe r sein. Dait ergibt sich der Abstand der Testasse vo Schwerpunkt S zu d r 1 + r. Wir achen den Ansatz: 7

8 G N µ (d + r) + G N µ r = µ ω (d r 1 + r) (d + r) + r = + (d d r) (d + r) + r = + (d + r) + r = ( + + r ( ) + + r ) + L3: Wie L, aber der Punkt liegt näher zur Erde als zu ond Als Testasse verwenden wir µ. Der Abstand der Testasse zur Erde soll laut Angabe r sein. Dait ergibt sich der Abstand der Testasse vo Schwerpunkt S zu r 1 + r. Wir achen den Ansatz: G N µ r + G N µ (r + d) = µ ω (r 1 + r) r + (r + d) = + (r + d) + r = ( + d + r ( ) d r ) ( + ) b) Dait der Punkt stabil ist üssen sich die Zentrifugalkraft und die Gravitationskräfte von Erde und ond sowohl senkrecht, als auch parallel zur Verbindungslinie Erde ond aufheben. Wir bestien zunächst die Geoetrie des Probles: 8

9 Dann berechnen wir die Koponente der Zentrifugalkraft parallel zur Verbindungslinie Erde ond: µω ( µ G N ( + ) d ) d = µ G N( + ) ( 1 + ) = µ G N d ( ) d = ( ) 1 ( + ) = µ G N d }{{} µ G N d }{{} (1) () (1) Koponente der Anziehung der Erde parallel zur Achse Erde ond ( F G ()) () Koponente der Anziehung des ondes parallel zur Achse Erde ond ( F G ()) Für die Berechnung der Koponente senkrecht zur Verbindungslinie Erde ond erhalten wir: 9

10 µω d tan α = µ G N( + ) d tan α = µ G N d tan α }{{} + µ G N d tan α }{{} (1) () (1) Koponente der Anziehung der Erde vertikal zur Achse Erde ond ( F G ()) () Koponente der Anziehung des ondes vertikal zur Achse Erde ond ( F G ()) D.h. Zentrifugalkraft und Anziehungskräfte von ond und Erde gleichen sich in L4 tatsächlich aus. Analoges gilt für L5. Die Punkte L4 und L5 sind tatsächliche inia des Gesatpotentials, bei L1 bis L3 handelt es sich u Sattelpunkte, die bei Abweichungen der Testasse senkrecht zur Verbindungslinie Erde ond einen Potentialanstieg aufweisen und bei Abweichungen parallel zur Verbindungslinie Erde ond einen Potentialabfall. Das sieht an z.b. i Punkt L1: rückt die Testasse ein wenig näher an den ond heran, stärkt dass die Anziehungskraft durch den ond und die Wirkung der Zentrifugalkraft, die Anziehungskraft durch die Erde wird jedoch geschwächt. Die Testasse wird also weiter nach aussen getrieben werden, L1 verlassen und schließlich auf den ond auftreffen. 10