Inhaltsübersicht. Kapitel 8: Die Kür: Integralrechnung. Notizen zur Vorlesung Mathematik für Ingenieure I 1

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Heidi Blau
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1 Ihlsüersch Kpel 8: De Kür: Iegrlrechug Ds Iegrl ls Flächehl Der Hupsz der Ifeesmlrechug Iegro vo role Fukoe Numersche Iegrosverfhre Läge- ud Volumeerechuge Uegelche Iegrle Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I

2 Ds Iegrl ls Flächehl Iegrl uf kompke Iervlle: Kompk edeue her, dss ur Fukoe uf Iervlle der Form [,] erche werde. Offee oder ueschräke Iervlle sd ch zugelsse. E Zel der Iegrlrechug s de Berechug vo Flächehle krummlg egrezer Bereche der Eee. I de mese der Prs ufreede Fälle sd derrge Fläche eschree durch zwe Fukoe f,g uf eem edlche Iervll [,], dere Grphe de Fläche egreze lkes Bld.: Der Flächehl der schrffere Fläche m lke Bld s glech der Dfferez der schrffere Bereche de ede reche Blder. Quelle: hp://de.wkped.org/wk/iegrlrechug Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I

3 Ds Iegrl ls Flächehl Es geüg lso, sch uf de efchere Fll eer Fläche zu eschräke, de vo: dem Grphe eer Fuko zwe verkle Gerde ud sowe der -Achse egrez wrd. Aufgrud seer fudmele Bedeuug erhäl deser Typ Flächehl ee spezelle Bezechug: gelese ls Iegrl vo s üer oder: vo f, Näherug: Zerlegug edlch vele Iervlle. Drou-Summe: Oersumme, Uersumme Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I 3

4 Ds Iegrl ls Flächehl M erche e Iervll [, ], welches m ee Zerlegug Z, d. h. N edergrezede Telervlle uch ek ls Srefemehode des Archmedes Z: < < < 3 <... - < zerleg, so dss I [, ],..., I [ -, ],..., I [ -, ], s. Werde ez Puke vom Typ ξ [, ] gewähl, d läß sch der Flächehl T we folg drselle: T f ξ ; De wrd Oersumme zw. sup., ud Uersumme zw. f. ge. De Grezwere ud für ee elege Zerlegug Z, heße Oer- zw. Ueregrl. Ekurs: fmum, supremum Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I 4

5 Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I 5 Rem-Iegrl: Ds Rem-Iegrl ch dem deusche Mhemker Berhrd Rem s ee Mehode zur Besmmug des Flächehles zwsche der -Achse ud eer eschräke Fuko f erhl ees Iervlls. Der Üergg vo der orge Summe zum Iegrl erfolg durch Grezwerldug: Ds Iegrl ls Flächehl Flls gl: Rem-Iegrl ge wrd., so kovergere de drousche Summe gege de Grezwer, welcher hp://rchves.mh.uk.edu/vsul.clculus/4/rem_sums.4/de.hml Bespel: d, De Iervlle werde glechmäßg durch gewähl. Drus erg sch: T T lm d > ; Für mche Fukoe k es komplzer werde

6 Der Hupsz Der Fudmelsz der Alyss, uch ek ls Hupsz der Dfferel- ud Iegrlrechug rg de ede grudlegede Kozepe der Alyss, ämlch ds der Iegro ud ds der Dffereo, meder Verdug. Er esg: Is I R e reelles Iervll ud f : I > R e eleges Eleme, so s de Fuko. Bewes des Fudmelszes: seg dfferezerr ud hre Aleug s F ' f. Es se fes ud h ee Nullfolge m der Egeschf, dss ud ses gl. D g es ch dem Melwersz der Iegrlrechug zu edem e c zwsche ud h, so dss gl. Nch dem Eschürugsprzp für Folge gl, ud wege der Segke vo f folg drus F s dfferezerr m der Aleug f. d.h. Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I 6

7 Der Hupsz, Awedug Der Hupsz ermöglch sofor de Berechug vo Iegrle, d es sch um ee Umkehrug der Dffereo hdel. De Fuko F, wrd Smmfuko zu f ge m der Egeschf: F f. De Umkehrug der Dffereosregel lefer sofor folgede wchge Iegrle. ; ; ; f F d F F Allgeme: f f F F ; R; Ζ \ { } F f s ; cos F cos ; s f e F e Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I 7

8 Der Hupsz, Prelle Iegro De prelle Iegro, uch Produkegro ge, s der Iegrlrechug ee Möglchke zur Besmmug vo Smmfukoe. Se k ls de Umkehrug der Produkregel der Dfferelrechug ufgefss werde: Also: zw.: m Awedugsespel: erg sch lso Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I 8

9 Der Hupsz, Prelle Iegro Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I 9

10 Der Hupsz, Susuo Bespel: Berechug des Iegrls: für ee elege reelle Zhl > : Durch de Susuo: erhle wr zw. ud hp://de.wkped.org/wk/iegro_durch_susuo Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I

11 Der Hupsz, Susuo Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I

12 Numersche Iegrosverfhre I der umersche Mhemk ezeche umersche Qudrur zw. umersche Iegro de äherugswese Berechug vo Iegrle. Ds Iegrl s der Flächehl uerhl der Kurve der Fuko f, woe wr zuächs ehme, dss f > m Iervll [,] s. Of k m ds Iegrl ch geschlosse löse, d.h. m k kee Smmfuko zu f gee. Deshl versuch m, Näherugswere zu ermel. Dzu uerel m de gesuche Fläche sekreche Srefe ud äher ede deser so erhlee Telfläche durch efche geomersche Fgure z.b. Trpez oder efche Fukoe z.b. Polyome. Für de Flächeerechug deser efche Fgure eög m de Wer der Fuko f de so gee Süzselle,... m. De Summe üer dese Telfläche erg ee Näherug Qf des Iegrls. Je schmler m de ezele Telfläche wähl deso geuer wrd de Näherug. Vo Ieresse s d och de Frge, we groß der Fehler s, der sch durch de Näherug erg. Deser Fehler wrd durch ds Resgled Ef eschree. Um de Azhl der Fukosusweruge zu mmere, e glechzeger Möglchke de Fehler zu korollere, verwede m of ds Romergsche Erpolosverfhre. Here werde de Iegrlwere vo mmer kleer werdede 'Srefe' zu eer verschwdede Bree h erpoler. Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I

13 Spezelle Qudrurformel M h u verschedee Möglchkee, de ezele Telfläche durch spezelle efchere Fläche zuäher. De Awedug der llgemee Qudrurformel uf dese spezelle Fläche lefer ege eke ud wchge spezelle Qudrurformel. Seherpezformel M ersez de Kurve f durch de Verdugsgerde zwsche de Puke,f ud,f - lso durch de Sehe - ud erhäl som e Trpez. Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I 3

14 Läge- ud Volumeerechuge Prmerserug: Für ege Proleme s es owedg, Kurve Prmeerform drzuselle. Dzu wrd de Kurve vo eem Srpuk s zu eem Edpuk durchlufe, we e Prmeer ee Wereerech durchläuf. E scho ekes Bespel s ew ee Gerdeglechug der Vekorrechug de Prmeerform gewähl wrd. Aer ch ur der lere Alger s des uzlch. Umelr eschg s des für Kurve, de ch Fukoe sd, wel eem -Wer mehrere Y-Were zugeorde werde. So köe de Koorde ees Kreses ch ls Fuko gegee werde her muß sos e Hlkres gewähl werde: De Kresglechug läß sch mels Sus ud Cosus prmersere: oder Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I 4

15 Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I 5 M Hlfe der Prmerserug lsse sch Kurveläge ud Wegegrle ereche: Läge- ud Volumeerechuge Zuächs he wr ee elege Kurve Prmeerform ud wede de Slmkk : P A,y P E,y P,y P,y y y PP N N N N y y PP l lm lm Summe e Iegrl wdel: d d dy d d h h y y h N h N ; lm

16 Läge- ud Volumeerechuge Bespel: Läge ees Kreses: cosπ ; y sπ d dy l d d d π sπ π cosπ d π d π Erweer wr ds Gze s Dredmesole, köe wr de Läge eer Schruele ereche, ws ch so rvl ersche: cosπ ; y sπ; z π l d d π d dy d π dz d π cosπ π sπ π d d Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I 6 Schrueförmges Treppehus de Vksche Musee

17 Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I 7 Läge- ud Volumeerechuge Bespel: Läge eer Fuko vo s : 3 3 y ; ; f d d d d dy d d l D gl llgeme ls Läge für Fukoe: Der Begrf des Kurveegrls wrd späer llgeme egeführ, er s e wesedlches Hlfsmel.

18 Läge- ud Volumeerechuge Volumeerechug: M der Iegrlrechug lsse sch ee Flächehle uch Volum ereche. Her wrd zuächs der Spezlfll Rooskörper verwede. Für ee Rooskörper, der durch Roo des Grphe der Fuko f m Iervll [,] um de -Achse eseh, lue de Formel zur Volumeerechug: Be Roo um de y-achse muss de Umkehrfuko f - y gelde werde: Roo - Achse: V π f d Roo y- Achse: V π f f f y dy Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I 8

19 Läge- ud Volumeerechuge Herleug der Formel für ds Volume ees Rooskörpers Auch her hlf de Slmkk : Der Rumhl des Rooskörpers uf der -Achse m Iervll [;] wrd klee Zylder m der Querschsfläche Kres ud der Höhe zerleg. Aschleßed läss m de Azhl der Zylder gege uedlch sree woe de Höhe der klee Zylder gege sre. Schleßlch müsse ur mehr lle Zylder summer werde. Der Rdus s glech dem Fukoswer vo V V f lm π f r f Dese Summe läß sch u em Grezüergg e Iegrl verwdel: π π f d Für de Roo um de y- Achse wrd de Umkehrfuko verwede. πr Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I 9

20 Läge- ud Volumeerechuge Bespel Roosprolod: We m ee Flüssgke glechmäßg um ee sekreche Achse dreh, d üerlger sch Schwerkrf ud Flehkrf, ud de Flüssgkesoerfläche mm de Form ees Roosprolods. So fukoer ds Quecksler-Teleskop, ud so k m uch Teleskop-Spegel geße, um dch ch so vel Merl schlefe zu müsse, d de em Guss erhlee Oerfläche eres e Roosprolod drsell. Für ee Puk uf der Grezfläche gl: Gewchskrf kompeser Zerpeleschleugug: mv mg α r mg α mω r mω r dy d ω r ω dy d g g y ω g α mg Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I

21 Uegelche Iegrle Ds Iegrl wr oe ses üer kompke Mege defer, lso eschräke ud geschlossee Iervlle, wo de Iegrosgreze Tel der Defosmege sd. De Verllgemeerug uf ueschräke Defosereche oder Fukoe m Defoslücke verläuf e ch gewähler Kosruko ews uerschedlch. I der Leesgue-Theore erg sch de Verllgemeerug vollkomme ürlch, der Rem-Theore muss m m Grezwere vo Iegrle üer kompke Bereche ree; m sprch desem Zusmmehg vo uegelche Iegrle. Bespele: Sgulrä e hp://de.wkped.org/wk/gu%c3%9fsche_glockekurve Noze zur Vorlesug Mhemk für Igeeure I

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