Physik I Übung 11 - Lösungshinweise

Transkript

1 Physik I Übung - Lösungshinweise Stefan Reutter WS 0/ Moritz Kütt Stand: 7. Februar 0 Franz Fujara Aufgabe Christbaumkugeln Kater Nocturno lässt seine trainierten (d.h. todesängstigen) Mäuse folgendes Experiment durchführen: Zunächst besorgen sie zwei gleiche Christbaumkugeln vom immernoch nicht weggeräumten Weihnachtsbaum von Nocturnos Herrchen. Dann stellen sie sich ziemlich weit unten in eine halbkugelförmige Schale mit einem großen Radius R, die eine Maus bei einem Ort s e x, die andere bei 4 s e y (s R). Auf Nocturnos Kommando lassen sie nun die Kugeln gleichzeitig los. Treffen sich die Kugeln? Wenn ja, wo? Wenn nein, begründe, dass sie es nicht tun. Die Bewegung für jede Kugel ist die gleiche wie bei einem Fadenpendel der Abstand zu einem bestimmten Punkt ist konstant (zum Mittelpunkt der Kugel, aus der die halbkugelförmigen Schalen quasi ausgeschnitten sind). Für kleine Auslenkungen ist die Winkelgeschwindigkeit und damit auch die Phase der Schwingung daher unabhängig von der Amplitude und hängt nur von der Masse und dem Krümmungsradius der Kugelschale ab. Da beides für die Kugeln identisch ist, und auch die Anfangsphase gleich ist, treffen sie sich also nach einer Viertelschwingung in der Mitte und Nocturnos diabolischer Christbaumkugelzerstörungsplan trägt Früchte. Aufgabe Olli und die Weltzerstörung Der magische Grashüpfer Olli kann jegliche Reibungskräfte ignorieren. Nun macht er sich einen Spaß daraus, ein Loch durch den eigentümlichen Planeten Edre zu bohren, der eine konstante Dichte von ρ = 5 g/cm 3 hat und sich praktisch nicht dreht. In dieses Loch springt er nun hinein und fliegt im freien Fall zum Erdmittelpunkt, durch ihn hindurch, und auf der anderen Seite wieder entgegen der Schwerkraft nach oben. Dann wiederholt sich das Ganze mit umgedrehtem Vorzeichen. Beweise, dass es sich bei seiner Bewegung um eine harmonische Schwingung handelt. Berechne deren Schwingungsdauer. Hinweis: Die Schwerkraft, die auf Olli wirkt, kommt nur von dem Teil des kugelförmigen Planeten, der innerhalb seines aktuellen Radius liegt. Man kann mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes leicht beweisen, dass eine Hohlkugel in ihrem Inneren keine Gravitationskraft erzeugt.

2 Laut Hinweis ergibt sich folgende Gravitationskraft: F G = G mm r = G m 4 3 πρr3 r = 4 3 mgπr Dies ist eine harmonische Rückstellkraft (d.h. sie ist proportional und entgegengesetzt zur Auslenkung). Die dazugehörige DGL ist Die Schwingungsdauer ist also r = 4 3 Gρπ r }{{} ω T = π 3π ω = = 89 min Gρ Aufgabe 3 Das ist ja paradox! In der Vorlesung wurde bereits experimentell das Hydrodynamische Paradoxon demonstriert. Eine runde Metallplatte hatte eine Öffnung in der Mitte, aus der Pressluft austrat. Die Luft strömte gegen ein Warnschild/eine Karteikarte, beide wurden dadurch in Richtung der Metallplatte gezogen. Radius des Luftrohres (Schlauch): R r = cm Radius der Metallplatte (für diese Rechnung auch des Schildes/der Karte) R p = 0 cm Dichte der Luft ρ L (0 C) =. kg m 3. Korrektur, : Sinnvoll ist die Aufgabe eigentlich nur mit folgenden zusätzlichen Angaben lösbar: Luftdurchsatz V = 5 L/s Druck der Außenluft: p a = 03 hpa Druck der Pressluft: p p = p a Abstand zwischen Platte und Schild/Karte: h = 0. mm Berechne die folgenden Kräfte unter der Annahme der inkompressibler Luft: a) Kraft auf Karte/Schild durch Impulsumlenkung des Luftstroms b) Kraft auf Unterseite von Karte/Schild c) Kraft auf Oberseite von Karte/Schild durch Druck der strömenden Flüssigkeit Hinweis: Nimm an, dass auf die Fläche direkt unter dem Rohr der Normaldruck herrscht, für den Rest der Fläche musst du den herrschenden Druck abhängig von der Strömungsgeschwindigkeit berechnen. d) Gesamte auf Schild/Karte wirkende Kraft.

3 a) Es gilt allgemein F = d p dt = ṁ v + md v dt Wir nehmen hier eine inkompressible Flüssigkeit an, daher ändert sich bei kontinuierlichem Luftstrom die Geschwindigkeit des Stroms über die Zeit nicht. Die zeitliche Ableitung der Masse lässt sich aus dem Luftdurchsatz errechnen. Betrachtet werden nur Beträge. F puls = ṁv = ρ L V v = ρ L V πr = 0.9 N Dabei wurde benutzt: v = b) Ganz einfach: V πr F u = p a πr = 38 N c) Direkt unter der Austrittsöffnung wird mit dem Druck der Pressluft auf die Platte gedrückt: F o = p a πr = 63.6 N Für den Rest nutzen wir die Bernoulli-Gleichung, wobei die Strömungsgeschwindigkeit sich über den Radius verändert. Innerhalb der Zuleitung gilt: p a + ρ L V πr =const Zwischen den Platten gilt: p i (r) + ρ L v (r) =const Und damit (gleichsetzen und umstellen) p i (r) =p a + ρ L V πr ρ L v (r) 3

4 Die Geschwindigkeit ergibt sich aus der Kontinuitätsgleichung. Die einströmende Menge V muss zwischen den Platten immer durch einen Zylindermantel fließen. Mit größerem Radius wird die Fläche größer, damit v (r) geringer. V =πrhv (r) v (r) = V πhr F o = p i (r)da = R π drdφr p i (r) = π R dr r p i (r) =π R R dr r R 0 p a + ρ L =πp a (R R ) + ρ L =396 N R V ρ L V πhr πr V πr 4 (R R ) ρ V L R ln 4πh R Gesamte Kraft von oben: F o = F o + F o = 460 N d) Bei den ersten Teilaufgaben sieht man teils starke Unterschiede in den Größenordnungen. Bei dieser Aufgabe zeigt sich, warum langes mit Formelzeichnen rechnen manchmal auch sinnvoll sein kann: F =F u F o F puls =p a πr p aπr πp a(r R ) ρ L = ρ V L R ln 4πh R p aπr ρ V L R πr 4 ρ V L πr =7 N V πr 4 (R R ) + ρ V L R ln 4πh R ρ V L πr Das alles sind jetzt relativ willkürliche Werte gewesen. Verändert man sie leicht, sieht man ziemlich deutlich, dass der Abstand der Platten und der Durchfluss sehr großen Einfluss haben. Die Kraft durch die Impulsumkehr ist dagegen vernachlässigbar. 4

5 Hausaufgabe Ein Pendel im Mondschein Ein wunderschönes Fadenpendel schwingt im grellen Licht des Mondes. Seine Masse ist m = 00 g, seine Fadenlänge l =.6 m und seine Schwingungsfrequenz (nicht Kreisfrequenz) ist ν = 0.6 Hz. Wie kann das sein? Das Pendel schwingt auf dem Mond! g =.6 m/s. Damit passen die Zahlenwerte zusammen. Die Masse ist bei kleinen Auslenkungen natürlich egal. Hausaufgabe Und eins, zwo, drei... Eine Gruppe von Soldaten marschiert auf ihrem Weg über eine Lange Brücke. Sie marschieren im Gleichschritt mit einer Schrittlänge von d = 0.5 m. Man kann dieses Verhalten auch gut als periodische Anregung beschreiben. Immer wenn die Soldaten auftreten, wirkt auf die Brücke eine Kraft F = N. Die Brücke wurde von Pionierbrückenbauingenieuren erbaut und so gestaltet, dass sie eine Masse von 50 t, eine Dämpfungskonstante von 3 s und eine Resonanzfrequenz von.5 Hz hat. a) Bei welcher Marschgeschwindigkeit droht die Brücke einzustürzen? b) Wie groß ist die Eigenfrequenz der Brücke ohne Anregung und ohne Anregung und Dämpfung? c) Wie groß ist die Amplitude der Brückenschwingung in der Brückenmitte im Falle resonanter Anregung? d) Welche Phasenbeziehung besteht zwischen anregender Kraft und Schwingungsamplitude der Brücke resonanter Anregung? a) Für die Zerstörung muss durch die Schritte die Resonanzfrequenz getroffen werden. v = dν r = 0.75 m/s =.7 km/h b) Die Resonanzfrequenz der erzwungenen Schwingung hängt mit der Eigenfrequenz der Brücke so zusammen πν r = ω r = ω 0 γ ω 0 = ω r + γ = 9.47s ν 0 =.5 Hz 5

6 Für die gedämpfte Schwingung ohne Anregung gilt ω = ω 0 γ = 9.45s ν =.50 Hz c) Für eine Anregung mit Resonanzfrequenz ist die Amplitude F/m A = (ω 0 ω r ) + (γω r ) F/m = γ 4 + γ ω r = F/m γ 4 + γ 4π f r es =0.3 m d) Die Phasenverschiebung ist in diesem Fall tan ϕ = γω r ω 0 ω tan ϕ = γω r γ tan ϕ = ω r γ ϕ = arctan ω r γ = 8 Hausaufgabe 3 Lama spring Bungee Lamas sind tolle Tiere mit denen sich viel anstellen lässt. Allerdings würde ich nicht empfehlen, zu versuchen, ihnen das Bungee springen beizubringen. Das endet nämlich mit großer Wahrscheinlichkeit damit, dass es einen beißt und anspuckt, wenn man versucht, es von der Brücke zu schubsen. Aber für die Wissenschaft sind wir ja opferbereit. Mein freundlicher Assistent Moritz hat die ehrenvolle Aufgabe übernommen, das Lama Isolde (Masse m) von der Brücke zu schubsen (keine Angst, die ist ganz lieb). Aus didaktischen Gründen idealiseren wir das Gummiseil als Hookesche Feder mit Federkonstante D und einer Reibungskonstante δ. Das Lama springt aus einer Höhe H ab und das Seil hat ungedehnt eine Länge L. a) Stelle eine geeignete Differentialgleichung für diese Bewegung auf. b) Wo ist die Gleichgewichtslage? c) Wie groß ist die Kreisfrequenz ω dieser Schwingung? 6

7 Am einfachsten setzt man den Ursprung auf die Ruhelage des Seils. a) Die Bewegungsgleichung ist dann ẍ + γẋ + Dx = 0 b) x = 0 bzw. bei x 0 = mg + H L wenn man vom Boden ausgeht D c) ω = ω 0 γ D = δ m m wobei ω0 die ungedämpfte Schwingungsfrequenz ist Hausaufgabe Promille Dein Freund Martin behauptet, du schaffst es nie, ein Glas Wodka, das er in ein unglaublich langes U-Rohr gekippt hat, vom Erdboden in den. Stock hochzusaugen. Der Querschnitt des Rohrs ist cm, das Glas war 4 cl groß und das Rohr ist 8 m hoch. Du saugst und saugst, aber deine Puste reicht einfach nicht aus, um an das kostbare Nass zu kommen. Nach einer Weile gibst du entnervt auf und stellst fest, dass der Wodka eine ziemlich harmonisch aussehende Schwingung vollführt. a) Wie groß ist die Kreisfrequenz der Schwingung, wenn man die Reibung vernachlässigt? Wodka hat eine Dichte von etwa ρ = 0.9 g/cm 3 b) Wie ändert sich die Schwingungsdauer T, wenn man statt Wodka Quecksilber einfüllt? ρ H g = 3.6 g/cm 3 a) Die rücktreibende Kraft ist die Differenz in der Gewichtskraft zwischen der Wodkasäule links und der Wodkasäule rechts. Wenn die beiden Säulenoberflächen einen Höhenunterschied von x haben ist die Bewegungsgleichung also ρv ẍ = M ẍ = mg = ρax g ẍ = ω x = Ag V ω 0 s Wobei die gesamte Wassersäule für die träge Masse zählt. b) Die Dichte kürzt sich raus, es ändert sich also nichts. 7