Materialien zur Visualisierung 2002/03 Die Meisterschaft des 1. FC Holzbein eine Einführung in die Vektorrechnung

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1 Materialien zur Visualisierung 22/3 Die Meisterschaft des 1. FC Holzbein eine Einführung in die Vektorrechnung Anpfiff! Soeben hatte die 2. Halbzeit im entscheidenden Meisterschaftsspiel zwischen dem 1. FC Holzbein und Rudis Ballakrobaten begonnen. Bruno Bleifuss, der Topstürmer des 1. FC Holzbein, hatte gerade an Position (5, 5) den Ball angenommen und befördert ihn nun mit einem Gewaltschuss in die Richtung (12, 5). Ein Aufschrei geht durchs Publikum. Tor oder nicht Tor das ist die Frage? Wir können die Frage beantworten, wenn wir uns die Größe eines Fußballfeldes veranschaulichen. Zur Vereinfachung wollen wir annehmen, dass das Fußballfeld 9m lang und 5m breit ist. Zu beiden Seiten befindet sich ein Tor, das 7m breit ist. Um einen besseren Überblick über die Koordinaten zu haben, müssen wir das Fußballfeld in ein Koordinatensystem einzeichnen. Wir wollen davon ausgehen, dass der Koordinatenursprung in der linken unteren Ecke liegt. Damit haben wir folgende Situation: y x a) An welcher Position befindet sich der Ball nach 1, 2, 4 Sekunden? Gib eine allgemeine Formel an! Diese Frage können wir leicht beantworten. Der Ball bewegt sich pro Sekunde 12m in x- Richtung und 5m in y-richtung. Somit befindet er sich nach 1 Sekunde an der Position (62, 1). Eine allgemeine Formel dafür könnte man folgend angeben. Wenn (x, y) die jeweilige Position des Balles bedeutet, gilt für die Position des Balles nach t Sekunden: (x, y) = (5, 5) + t (12, 5). Setzt man nun Werte für t ein, erhält man die jeweilige Position des Balles. b) Geht der Ball ins Tor? Wir wollen dazu den Weg des Balles verfolgen und die berechneten Werte in einer Tabelle eintragen. Man erhält: Zeit X Y 5 5,1 51,2 5,5,2 52,4 6 1,6 69,2 13 1,7 7,4 13,5 1,8 71,6 14 1,9 72,8 14,5 1

2 ,1 75,2 15,5 2,2 76,4 16 2,3 77,6 16,5 2,4 78,8 17 2,5 8 17,5 2,6 81,2 18 2,7 82,4 18,5 2,8 83,6 19 2,9 84,8 19, ,1 87,2 2,5 3,2 88,4 21 3,3 89,6 21,5 3,4 9,8 22 Aus der Tabelle kann man ablesen, dass der Ball nach 3,4 Sekunden bereits den Spielfeldrand überschritten hat. Er befinde sich zu diesem Zeitpunkt auf der Höhe 22 und damit innerhalb des Tores. Allerdings ist diese Angabe ziemlich ungenau, da sich ja der Ball bereits außerhalb des Spielfeldes befindet. Wir können unsere Berechnung verfeinern, indem wir nach der y-position zu jenem Zeitpunkt fragen, da der Ball genau den Spielfeldrand passiert. Diesen Wert können wir aus unserer obigen Gleichung folgendermaßen berechnen: Es muss gelten (9, y) = (5, 5) + t (12, 5) Da wir x-richtung und y-richtung unabhängig voneinander betrachten, können wir sagen: 9 = t und daraus erhalten wir t= 4 / 12. Nach ca. 3,3 Sekunden verlässt der Ball also das Spielfeld, er befindet sich zu diesem Zeitpunkt an der y-position: y = 5 + 3,33 5 = 21,66. Die berechneten Werte entsprechen dem Punkt P(9, 21,66). Dieser Punkt liegt anschaulich innerhalb des Tores. Der Ball geht also ins Tor. Der 1. FC Holzbein führt. Die folgende Graphik veranschaulicht die Situation und den Weg des Balles: Bleifuss Schuss aufs Tor

3 c) Geht der Ball auch bei einer Schussrichtung von (1, 6) noch ins Tor? Wir setzen wieder in unsere Gleichung ein und erhalten für die Position des Balles: (x, y) = (5, 5) + t (1, 6). Trägt man die Werte in eine Tabelle ein, erkennt man: der Ball geht am Tor vorbei. Für die Position nach t=4 Sekunden erhält man nämlich (9, 29), einen Punkt außerhalb des Tores. Die folgende Graphik veranschaulicht die Situation: Ein Fehlschuss aufs Tor Wir wollen unsere Überlegungen verallgemeinern. In den bisherigen Beispielen konnten wir den Weg des Balles eigentlich immer (vereinfacht) durch eine Gerade beschreiben. Alle Punkte dieser Geraden lassen sich allgemein durch die von uns bereits angegebene Gleichung: (x, y) = (5, 5) + t (12, 5) bzw. (x, y) = (5,5) + t (1, 6) beschreiben. Wir gehen immer von einem Ausgangspunkt los und betrachten die Veränderung in x-richtung und in y- Richtung. Diese Veränderung kann man als Richtungsvektor bezeichnen. Er gibt sowohl die Richtung als auch den zurückgelegten Weg in dieser Richtung (pro Sekunde) an. Wir werden später eine einfache Möglichkeit (welche??) kennen lernen, um diese Länge zu berechnen. Vorläufig wollen wir noch einige interessante Fragestellungen betrachten: Beispiel 2: a) Kuno Knüppel spielt den Ball von Position (35, 4) in Richtung (7, 2) ab. Wo muss ein Spieler stehen, damit er den Ball nach 3 Sekunden (4,5 Sekunden) annehmen kann. [(56; 1) bzw. (66,5; 13)] b) Welche Richtung muss ein Elfmeterschütze anpeilen, um den Ball knapp 1m neben der linken (rechten) Torstange zu versenken? [(11, - 5 / 2 ) bzw. (11, 5 / 2 )] c) Gib eine Richtung an, mit der Brunos Ball sicher ins Out geht! [z. B. (4, 1)] d)gib eine Richtung an, bei der Brunos Ball genau auf die Cornerfahne zurollt! [(11,25) bzw. (11, -25)] Beispiel 3: Sepp Schlaumeier spielt den Ball von der Position P(55, 18) in Richtung v=(4, 3) zu Thomas Traumich, der den Ball nach 2,5 Sekunden aufnimmt. Sepp läuft inzwischen weiter in Richtung w=(2, -1) pro Sekunde. Thomas spielt nach Erhalt des Balles sofort ab, Sepp erhält den Ball nach weiteren 2 Sekunden und schießt sofort aufs Tor. 3

4 a) In welche Richtung musste Thomas den Ball abspielen, um Sepp den Schuss aufs Tor zu ermöglichen? b) Welche Möglichkeiten hat Sepp, bei seinem Torschuss die Stange zu treffen? Fortsetzung: Beispiel 4: Ein Mittelfeldspieler befindet sich an der Position M(35, 4), als er den Ball in Richtung v=(6, -4) abspielt. Stürmer S erreicht den Ball nach 5 Sekunden. Mit seinem Torriecher weiß er genau, in welche Richtung er schießen muss, wenn er die Mitte des Tores treffen will. Weißt Du es auch? [(25, 5)] Beispiel 5 (Fortsetzung): Tormann T befindet sich 4m vor dem Tor in dessen Mitte. Auf welche Position muss er sich begeben, um den Schuss zu halten? [(86; 24,2)] Beispiel 6: Welche Geschwindigkeit hatte Brunos Ball aus unserem ersten Beispiel? Wir wollen vereinfacht davon ausgehen, dass der Ball seine Geschwindigkeit während der Beobachtung nicht ändert. Dies ist in der Praxis nicht ganz der Fall, da sowohl in der Luft als auch am Rasen ein Widerstand bzw. Reibung vorliegt, die die Geschwindigkeit des Balles beeinflusst. Lassen wir dies außer acht, können wir überlegen: Der Richtungsvektor, den der Ball pro Sekunde zurücklegt, lautet v=(12,5). Der Ball bewegt sich also 12m in x-richtung und 5m in y-richtung. Mit Hilfe des Pythagoräischen Lehrsatzes können wir die schräge Entfernung leicht berechnen: Es gilt: 2 2 d= = 13 m / s, also eine ziemlich hohe Geschwindigkeit. Allgemein bezeichnet man die Länge eines Vektors auch als Betrag dieses Vektors. Wir haben in den bisherigen Beispielen die Richtung der Geraden immer mit Hilfe eines Vektors angegeben. Wir können jedoch die Gerade auch in der Form f(x) = k x + d angeben. Um die Steigung k der Geraden zu berechnen, können wir folgend überlegen: Der Vektor v=(12, 5) etwa gibt uns sowohl die horizontale als auch die vertikale Änderung an. Betrachten wir eine horizontale Änderung von 1, erhalten wir eine entsprechende vertikale Änderung von 5 / 12. Dies entspricht aber gerade unserem proportionalen Steigungsdreieck. Wir können daher anmerken, dass für den Zusammenhang zwischen der Steigung k einer linearen Funktion und dem Richtungsvektor der entsprechenden Geraden folgender Zusammenhang besteht: v= (1, k). Die Gerade (x, y) = (5, 5) + t (12, 5) hat daher die Steigung k= 5 / 12. Um die fehlende Konstante d zu berechnen, verwenden wir den gegebenen Punkt der Geraden, nämlich den Punkt P(5, 5) und setzen ihn in die Gerade f(x) = k x + d ein. Man erhält: d= - 95 / 6. Fortsetzung: Beispiel 7: Bruno hat sich soeben an Position B(4, 18) den Ball geholt und stürmt damit in Richtung v=(5, 1). Zugleich rennt ein Abwehrspieler von Position A(84, 3) in Richtung w=(-4; -2,5). Kann dieser Bruno den Ball abjagen? Wenn wir wissen wollen, ob er Bruno den Ball abjagen kann, müssen wir die beiden Geradengleichungen aufstellen. Es gilt für g 1 : (x, y) = (4, 18) + t (5, 1) und für g 2 : (x, y) = (84, 3) + s (-4, -2,5). Wir suchen letztlich einen Punkt, an dem die beiden Geraden einander schneiden. Dies ist dann der Fall, wenn gilt: (4, 18) + t (5, 1) = (84, 3) + s (-4, -2,5). Wir können diese Gleichung nach Koordinaten getrennt zeilenweise aufschreiben und erhalten: 4 + 5t = 84 4s und 18 + t = 3 2,5s. 4

5 Wir lösen dieses Gleichungssystem mit einem uns bekannten Lösungsverfahren (z. B. Gauss sches Eliminationsverfahren) und erhalten: s= 32 / 17 und t= 124 / 17. Den gemeinsamen Punkt erreichen Bruno und der Abwehrspieler daher zu verschiedenen Zeitpunkten, Man kann aber trotzdem die Koordinaten dieses Schnittpunkts berechnen, indem man s oder t in die entsprechende Gleichung einsetzt. Man erhält S( 13 / 17, 43 / 17 ) oder S(76,5; 25,3). Die folgende Skizze veranschaulicht die Lage der beiden Geraden im Koordinatensystem: Welchen Weg haben die beiden Spieler bis zum gemeinsamen Punkt S zurückzulegen? Diesen Weg kann man als Länge der Vektoren AS bzw. BS auffassen. Man erhält: AS=8,88m und BS=37,19m. Daraus ergibt sich, dass der Abwehrspieler den deutlich kürzeren Weg hat. Er kann Bruno (theoretisch) aufhalten, sofern dieser nicht die Richtung ändert. Überlege Dir selbst interessante Fragestellungen, zeichne sie und führe entsprechende Berechnungen durch! 5