Wissenschaftliche Nachrichten: Vol. 134/2008, 17-20

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1 Rückrechnung der Blutalkoholkonzentration: Kritik am forensischen Ansatz, II NORBERT BRUNNER und MANFRED KÜHLEITNER Die Messung des Alkoholgehalts aus der Atemluft ist ungenau. Wir untersuchen, ob zusätzliche Messungen, die mit der Methode der linearen Regression interpretiert werden, die Genauigkeit der Rückrechnung im Vergleich zum klassischen Ansatz erhöhen. Die Grundlage ist das vom schwedischen Chemiker Widmark entwickelte lineare Abbaumodell (Teil I) Das Regressionsmodell 3.1. Bestimmung der BAK mit Hilfe einer Regressionsgeraden in Microsoft Excel TM Die lineare Regression löst das Problem von Teil I, wie mehrere ungenaue Messwerte zu kombinieren sind, indem sie beliebig große Zufallsfehler zulässt und annimmt, dass sich deren Auswirkungen bei vielen Messungen in der Gesamtwirkung gegenseitig aufheben. Die theoretische Basis ist die in Abschnitt 2.2 vorgestellten Annahme: Der Messwert weicht vom wahren BAK um einen zufälligen Fehler ε ab, der normalverteilt mit dem Mittelwert 0 und einer bei jedem Datenpunkt gleichen (aber unbekannten) Varianz ist. Mit der Methode der kleinsten Quadrate ermittelt man Formeln für die Parameter k und d der Regressionslinie. Tabelle 1:Gemessene und mittels Regression berechnete BAK in Promille. A B C D 1 Zeit (h) BAK BAK mittels Regression ohne gemessen Regression Ausreißer 2 0 2,838 2, ,788 0, ,5 0,531 0,642 0, ,75 0,712 0,569 0, ,75 0,227 0,276 0, ,22 0,203 0,198 8 Parameter 9 k 0,293 0, d 2,838 2,168 Die Lösungsformeln sind in Excel vorprogrammiert. Tabelle 1 illustriert die Berechnung: Die Parameter k und d der Regressionslinie in Zelle C9 und C10 werden aus den Messwerten berechnet mittels der Befehle =STEIGUNG(B4:B7;A4:A7) =ACHSENABSCHNITT(B4:B7;A4:A7) Anschließend wird in Spalte C die Regressionslinie berechnet. Dazu schreibt man in Zelle C2: =$C$10+$C$9*A2 Man kopiert diese Formel bis in Zelle C7. 1 E.M.P. Widmark, Die theoretischen Grundlagen und die praktische Verwertbarkeit der gerichtlich medizinischen Alkoholbestimmung, Verlag Urban & Schwarzenberg, Berlin (1932). 1

2 Lässt man den umstrittenen Messwert bei t = 7,75 weg (Ausreißer) und berechnet die Regressionslinie erneut (Spalte D in Tabelle 1, fette Linie in Abbildung 2), so erhält man eine bessere Anpassung an die verbleibenden Messdaten. Beide Regressionslinien unterstützen die Aussage, dass zum Tatzeitpunkt eine Alkoholisierung vorgelegen ist. Abbildung 3. Regressionsgeraden und Datenpunkte der Tabelle 1. Bemerkungen: 1.) Werden ungenaue Messungen des Alkomaten mit der genauen Messung einer Blutprobe kombiniert, dann stimmt die Annahme über den Messfehler beim exakten Datenpunkt (Blutprobe) nicht. Man löst dieses Problem, indem man nur solche Geraden betrachtet, die den exakten Datenpunkt enthalten. Wenn die Blutprobe zum Zeitpunkt t = a entnommen wird und den BAK b ergibt (im Zusatzbeispiel a = 9, b = 0,2), so führt dies zum Ansatz BAK = b + k (t a) Der Parameter k wird nun mit der Methode der kleinsten Quadrate aus den ungenauen Messwerten (Alkomat) bestimmt. Wenn zum Zeitpunkt t k die BAK b k gemessen wird, k = 1, 2,..., n (= Anzahl der ungenauen Messungen), dann berechnet man k n k = 1 = n ( a t ) ( b b ) ( a tk ) k = 1 2 k Die so berechneten Regressionsgeraden mit/ohne den Ausreißer bei t = 7,75 weichen nur geringfügig von den in Abbildung 3 eingezeichneten Regressionslinien ab. 2.) In Excel ist auch eine Anpassung an Modelle der BAK möglich, welche die Resorptionsphase modellieren (nichtlineare Regression). Widmark hat eine exponentielle Resorption angenommen, was (Resorption ab t = 0) zu folgendem Modell führt (mit 0 bei negativen Werten): BAK = d (1 e s t ) + k t Die Modellparameter d, k und s berechnet der Solver (ein Add-In von Excel) nach der Methode der kleinsten Quadrate als: d = 2,838, k = 0,293 und s = 1,528. Für dieses 2 k

3 Modell ist BAK = 0 bei t = 0, der maximale BAK = 2,13 wird erreicht bei t = 1,764 und im Bereich zwischen 7 < t < 9 ist das Modell praktisch nicht von der Regressionslinie (Abbildung 3) zu unterscheiden Prognoseintervall Die Aussage aus einer einzigen, auch gut an die Daten angepassten, Regressionslinie reicht nicht aus, um rechtliche Konsequenzen (Strafen) zu begründen: Die reale Abbaukurve ist unbekannt und es muss erst ausgeschlossen werden, dass eine unglückliche Konstellation von zufälligen Messfehlern, vielleicht eine ganze Serie von Ausreißern, zu einem Fehlschluss verleitet, nämlich eine Alkoholisierung fälschlicherweise zu konstatieren. Wir fragen daher, wie verlässlich die Werte für BAK sind, die wir mit der Regressionsgeraden (Tabelle 1) gefunden haben. Dazu wiederholen wir die Berechnungen mit anderen Zufallsfehlern. Bei dieser Simulation von Messungen gehen wir vom statistischen Modell in Abschnitt 2.2 und 3.1 aus: Der Alkomat liefert Werte, die von der realen BAK um einen zufälligen Fehler ε abweichen. Man kann den zufälligen Fehler aus den Daten abschätzen (Bemerkung unten) oder als bekannt voraussetzen, wie wir das tun: Der Fehler ε ist normalverteilt mit dem Mittelwert 0 und der Standardabweichung 0,1. Den Fehler ε simuliert Excel mit dem Befehl ε = NORMINV(ZUFALLSZAHL(); 0; 0,1) Dabei liefert der Befehl ZUFALLSZAHL() gleichverteilte Zahlen im Intervall [0,1]. Im Unterschied zu Abschnitt 2.2 sind nun beliebig große zufällige Abweichungen ε möglich. Das bedeutet, dass die simulierten Beobachtungen Werte von k liefern können, die außerhalb des von Widmark beobachteten Intervalls von 0,1 bis 0,2 Promille/h liegen. (Im Beispiel ist das bei fast 90% der Simulationen der Fall.) Man darf aber diese Werte nicht vernachlässigen, weil der reale Wert für k nahe an diesen Grenzen liegen kann (etwa k = 0,2): Werte von k jenseits dieser Grenzen werden benötigt, um die Zufallsfehler der Messung auszugleichen. Die reale BAK ist allerdings unbekannt. Wir nehmen daher idealisierte Werte an und addieren den Fehler ε zum idealisierten Wert. Als idealisierte Werte verwenden wir die Werte der Regressionslinie von Abschnitt 3.1; sie bleiben fest. (Eine andere Möglichkeit ist es, die Messwerte zu verwenden.) Falls dabei für BAK negative Werte entstehen, ersetzen wir sie durch 0. Außerdem runden wir das Ergebnis auf drei Stellen. Tabelle 2:Gemessene und simulierte BAK in Promille. A B C D 1 Zeit BAK Regression Simulation idealisiert (simuliert) 2 0 1, , ,5 0,642 0,485 0, ,75 0,569 0,504 0, ,75 0,276 0,414 0, ,203 0,211 0, Parameter 9 k -0, d 1,

4 Wir fertigen nun Tabelle 2 an, eine Variante von Tabelle 1, in der wir in B4:B7 die Werte der Regressionslinie aus Tabelle 1 eintragen und in C4:C7 die simulierten BAK berechnen, bei denen wir den Fehler ε zu den idealisierten Werten in Spalte B addieren. In C4 steht somit: =B4+RUNDEN(MAX(NORMINV(ZUFALLSZAHL(); 0; 0,1); 0); 3) Diese Formel kopieren wir bis C7. Daraus wird in Spalte D wie für Tabelle 1 oben eine neue Regressionsgerade berechnet. Einen ersten Eindruck von den simulierten BAK-Werten, mit zugehöriger Regressionsgerade, erhält man durch Drücken der Taste F9. Nun wollen wir die simulierten Ergebnisse verwenden und statistisch auswerten. Dazu benötigt man allerdings ein kleines Makro. Der Programmcode ist im Anhang aufgelistet. Dieses Makro schreibt für 500 Simulationen die BAK-Werte aus den Zellen D2:D7 zeilenweise in die Spalten H bis M, beginnend mit Zeile 6. Tabelle 3 wertet den Bereich H6:M505 statistisch aus. (Man beachte, dass in dieser Tabelle die Zeitpunkte zeilenweise angeordnet sind.) Dabei werden für jeden Zeitpunkt t (Zeile 1) die oberen und unteren 10% der aus der Regressionslinie extrapolierten Werte berechnet. Dies erfolgt in Zelle H4 und H5 mit dem Befehl (kopiert bis in Spalte M): =QUANTIL(H6:H505;0,1) =QUANTIL(H6:H505;0,9) Diese Werte sind die Grenzen der Prognoseintervalle zum einseitigen 90% Signifikanzniveau. In Abbildung 4 sind die Signifikanzgrenzen dünn durchgezogen eingezeichnet, ebenso die Ausgangsdaten (graue Kreise) und die zugehörige Regressionslinie (fette Linie). Im Unterschied zu den Fehlerintervallen (Abschnitt 2.2) sind die Prognoseintervalle unterschiedlich breit: Um den Mittelwert der t-werte ist das Prognoseintervall am kleinsten und es wird breiter, je weiter t vom Mittelwert entfernt ist. Führt man diese Simulationen mit der Regressionslinie ohne Ausreißer durch (wir entfernen den Fall t = 7,75 von den Datenpunkten und den idealisierten Werten), so erhält man in Abbildung 4 eine besser an die verbleibenden Datenpunkte angepasste Regressionslinie (fett punktiert) und dazu die punktierte Linie der unteren und oberen Prognosegrenzen. Tabelle 3. Beschriftung der mit einem Makro generierten Tabelle. G H I M 1Zeit BAK gemessen 0,22 3Regression 2, , , Quantil 10% 2, , , Quantil 90% 3, , , Es ist zu erkennen, dass der Ausreißer bei t = 7,75 deutlich außerhalb beider Prognoseintervalle liegt, weswegen man auf diesen Datenpunkt verzichten wird (auch noch bei 98% Sicherheit). Über die Alkoholisierung zum Unfallzeitpunkt (t = 7) geben die beiden Ansätze widersprüchliche Auskünfte: Lässt man den Ausreißer nicht weg, so wird mit 90% Sicherheit eine Alkoholisierung prognostiziert, weil das Prognoseintervall bei t = 7 oberhalb der 0,5 Promille Grenze liegt. Lässt man den Ausreißer weg, so liefert das berechnete Prognoseintervall hingegen keine Auskunft, weil 0,5 im Prognoseintervall liegt. Das besagt, 4

5 dass trotz Alkoholisierung mindestens 10% Chance bestehen (je nach Durchgang 15 bis 20 Prozent der Simulationen), dass bei der Rückrechnung aufgrund von den drei akzeptierten Messwerten eine BAK von unter 0,5 Promille konstatiert wird. Abbildung 4. Prognoseintervalle bei vier ungenauen Messungen. Bemerkungen. 1.) Excel liefert mit der Analysefunktion Regression Konfidenzintervalle für d und k, aber keine Prognoseintervalle. Diese liefert die Simulation. 2.) Durch die Simulationen wird zusätzlich zum Modellfehler und Messfehler (Abschnitt 1) eine dritte Fehlerquelle eingeführt, die Ungenauigkeit bei der Berechnung der Quantile. Diese Ungenauigkeit verringert man durch eine höhere Anzahl von Simulationen. 3.) Falls die Verteilung der Fehler nicht bekannt ist und hinreichend viele Messungen vorliegen, modifiziert man die Simulation: Man nimmt an, dass die Regressionslinie die idealisierten Werte beschreibt, und berechnet die Fehler als Differenz zwischen Messung und Regressionslinie. Dies ergibt eine Stichprobe von Zufallsfehlern. Man führt nun eine Bootstrap-Simulation durch, die nur diese Stichprobe zur Simulation verwendet. 4.) Im Fall der Blutabnahme bei t = 9 durchlaufen alle Regressionslinien den exakten Messwert (t = 9, BAK = 0,2). Der Prognosebereich hat eine Keilform, ähnlich zu den gestrichelten Linien in Abbildung 1. Die Grenzlinien des Keils hängen aber, anders als bei Abbildung 1, von den individuellen Messwerten ab. Wird der Ausreißer t = 7,75 hinzugenommen, so liegt der Prognosebereich oberhalb vom gestrichelten Keil von Abbildung 1, aber wie in Abbildung 4 unterhalb vom Ausreißer. Wird der Ausreißer weggenommen, so handelt es sich beim Prognosebereich um den Keil zwischen dem exakten Messwert und dem um den Messfehler ±0,128 korrigierten Messwert bei t = 7,5. Dieser Prognosebereich enthält die für die Konstruktion des Beispiels verwendete individuelle BAK = 2 0,2 t in seinem Inneren. 4. Diskussion Tabelle 4 fasst die Ergebnisse für t = 7 zusammen. Gemeinsam ist allen Methoden die Anfälligkeit für den Ausreißer bei t = 7,75 (vgl. Zeilen 2 und 4, 3 und 4 sowie 7 und 6). Im konkreten Beispiel handelt es sich beim Ausreißer um 5

6 einen zufälligen Fehler, der besonders hoch ist, aber nicht besonders unwahrscheinlich. (Die Daten wurden mit einem Zufallszahlengenerator erzeugt.) Es ist also damit zu rechnen, dass analoge Situationen in der Praxis vorkommen. Tabelle 4. Vergleich der Prognosemethoden. Nr. Methode untere Grenze obere Grenze bei t = 7 bei t = 7 Bemerkung 1 BAK aus Trinkmenge 0,2 1,36 kein Messfehler und 2 BAK aus Blutabnahme bei t = 9 0,4 0,6 0,2 < k < 0,1 3 BAK aus Messung bei t = 7,5 0,453 0,759 Messfehler < 0,128 und 4 BAK aus Messung bei t = 7,75 0,659 0,99 0,2 < k < 0,1 5 BAK aus Messung bei t = 8,75 0,274 0,705 BAK aus Prognoseintervall 6 0,647 0,927 bei Regression mit Ausreißer einseitige Signifikanz 90% 7 BAK aus Regression ohne Ausreißer 0,451 0,8 und Messfehler zufällig BAK im Zusatzbeispiel ohne Ausreißer: 8 0,47 0,641 Messung bei t = 7,5 und Blutabnahme Für die Regressionsanalyse gibt es in der Statistik etablierte Rezepte zum Umgang mit Ausreißern. Für die Messung von AAK gibt es solche Regeln nicht. Bei zwei Messungen, also eine Messung mit Kontrollmessung (Zeilen 3 und 4), wird ein Ausreißer nicht identifiziert, denn dazu wären drei oder mehr Messungen erforderlich. Dies kann die Bewertung verzerren, wenn mit beiden Messungen verträgliche BAK-Werte fälschlicherweise als besonders plausibel angesehen werden. Beim gängigen forensischen Zugang zur Bewertung der BAK gibt es auch keine Regeln, nach denen mehrere Messwerte zur Erhöhung der Genauigkeit beitragen können: Die logischen Kombinationen (Vereinigungsmenge, Durchschnitt) sind dazu ungeeignet. Bei der Regression wird die Genauigkeit erhöht, je mehr Messwerte zur Verfügung stehen und je näher die Kontrolluntersuchungen beim Tatzeitpunkt liegen: Das Prognoseintervall wird durch mehr Messwerte enger und ist in der Umgebung des zeitlichen Mittelwerts am engsten. Umgekehrt zeigen die Prognoseintervalle, dass vier breit gestreute Messwerte noch nicht die Genauigkeit im Vergleich zur klassischen Methode erhöhen (Zeilen 3 und 4 im Vergleich zu 7 und 6). Für die Messung von BAK aus Blutproben ist die Genauigkeit der Messung kein Problem. Allerdings erfolgt die Messung mit einem relativ großen zeitlichen Abstand zum Tatzeitpunkt und liefert bei einer einzigen Messung keine Information über die individuelle Kinetik (Parameter k und d). Dadurch verliert die Rückrechnung an Genauigkeit (illustriert durch Zeile 2, vgl. Zeile 8). Hier können mehrere Messungen mit dem Alkomaten die Genauigkeit erhöhen, obwohl diese Messungen selbst ungenau sind, weil sie dann durch genauere Schätzungen von k die Intervallbreite (in Zeile 8) verringern. 5. Schlussfolgerung Die BAK Bestimmung aus einer einzigen Blutabnahme lässt in Grenzbereichen einer Alkoholisierung oft nur die Aussage zu, dass eine Alkoholisierung zum Tatzeitpunkt weder ausgeschlossen noch bewiesen werden kann. Der Grund ist die Verwendung von Parametern mit einer breiten interpersonellen Streuung, wodurch eine genaue analytische Messmethode zu einer ungenauen Extrapolation verschmiert wird. In diesem Fall ermöglichen es mehrere Messungen, die Genauigkeit der Extrapolation zu erhöhen, indem die relevanten Parameter für die konkrete Person aus den Messwerten mittels Regression bestimmt werden. Im Fall der 6

7 Bestimmung der BAK mittels Messung von AAK ist bereits die analytische Messmethode (Alkomat) selbst ungenau. Auch hier kann die Genauigkeit und Zuverlässigkeit von Aussagen über eine tatsächliche Alkoholisierung durch mehrere Messungen erhöht werden, mit denen die individuellen Parameter abgeschätzt werden. Insbesondere werden dadurch Fehlmessungen identifizierbar. Die Methode der linearen Regression stellt mit den Prognoseintervallen ein Instrument zur Abschätzung der Genauigkeit und Identifizierung von Fehlmessungen Verfügung: Sie trennt unwahrscheinliche Prognosen bzw. Rückrechnungen von wahrscheinlichen. Man kann diese Prognoseintervalle mit einer Simulation in Excel ermitteln. Dazu werden unterschiedliche BAK-Werte für die gleiche Person unter einer Annahme über die Verteilung der Messfehler simuliert. Die Verteilung der simulierten Schätzwerte wird dann analysiert: Die oberen und unteren Grenzen zu einem Signifikanzniveau definieren dann das Prognoseintervall. Durch das Prognoseintervall wird eine Fehlerquelle thematisiert, die bei der Anwendung der klassischen forensischen Methode auf Rechtsfragen oft nicht erkannt wird, die Datenunsicherheit. Das Prognoseintervall berücksichtigt die Datenunsicherheit, indem das Intervall für höhere Signifikanzniveaus breiter wird und für mehr Messdaten schmäler. Wer an einer genauen Bewertung interessiert ist, kann demnach in einer konkreten Situation aktiv zur Verringerung der Datenunsicherheit beitragen. Bei der klassischen forensischen Berechnung führt die Datenunsicherheit zu einem Intervall für k, das für ein vorgegebenes interpersonelles Signifikanzniveau gültig ist. Im Unterschied zum Prognoseintervall kann das Intervall für k im individuellen Fall unzutreffend sein und es gibt keine Möglichkeit, dies bei einer einzigen Messung zu erkennen. Anhang Folgendes Makro automatisiert den Prozess zur Gewinnung von 500 simulierten BAK-Werten. Es speichert zuerst die extrapolierten Werte ab und trägt sie dann in den Spalten H bis M ein, wobei jede der Zeilen 6 bis 505 einem Datensatz entspricht. Sub Makro1() For n = 1 To 500 A = Cells(2, 4).Value B = Cells(3, 4).Value C = Cells(4, 4).Value D = Cells(5, 4).Value E = Cells(6, 4).Value F = Cells(7, 4).Value Cells(n + 5, 8).Value = A Cells(n + 5, 9).Value = B Cells(n + 5, 10).Value = C Cells(n + 5, 11).Value = D Cells(n + 5, 12).Value = E Cells(n + 5, 13).Value = F Next n End Sub Anschrift der Verfasser: ao. Univ. Prof. Dr. Norbert Brunner und ao. Univ. Prof. Dr. Manfred Kühleitner Institut für Mathematik, DIB, BOKU, Peter Jordan Str. 82, 1180 Wien norbert.brunner@boku.ac.at, manfred.kuehleitner@boku.ac.at 7