Basics of: Construction Design Fundamental Construction

Transkript

1 Blue Edition T16001KTL-S1.docx whatsapp Basics of: Construction Design undamental Construction "We believe to have experiences, but experiences make us " (Eugene Ionesco) Blue Edition Basics T16001KTL-S1.docx

2 Einleitung Alle Bauteile werden unter der Einwirkung von äußeren Kräften verformt. Diesen äußeren Kräften wirken im Werkstoffgefüge innere Kräfte entgegen, die der Verformung einen Widerstand entgegen setzen. Je nach ichtung der Belastungskraft und der von ihr am Bauteile bewirkten Verformung werden 5 Grundbeanspruchungsarten unterschieden (Abb.). Grundbeanspruchungen: Zug σ Normalbeanspruchungen Sigma Schubbeanspruchungen Tau Biegung σ Abscherung τ Abb.: Grundbeanspruchungen Torsion τ Druck σ Sonderformen: lächenpres. "p" Unterart der Druckbeanspruchung Knickung "σ" Unterart der Normalspannungen Die Beanspruchungen lächenpressung und Knickung (unten rechts) gelten als Sonderformen. Eine weitere wichtige Unterscheidung ist die nach Art der Belastungsrichtung (Abb.). Normal (σ) Schub (τ) Im folgenden sind alle 5 Grundbeanspruchungen sowie die Sonderformen beschrieben. Dieses Skript stützt sich auf die Literaturreihe nach Alfred Böge.

3 1. Beanspruchung auf Zug 1.1. Zugspannungsgesetz σ z N S σz Zugspannung [N/mm ] N Normalkraft in [N] S Querschnitt [ mm ] Abb.: Zugbeanspruchung Innerhalb der Brundbeanspruchung auf Zug erfolgt die Belastung ausschließlich längs zum Querschnitt, es handelt sich also um eine Normalspannung. In der Praxis kann sich die Beanspruchung noch am ehesten in einer klassischen Schraubverbindung (Abb.) vorgestellt werden. Übungsempfehlung: Böge Level S : 661, 66, 663, 664, 665, 667, 668, 669, 670, 67, 673, 678 Level M : 666, 675, 676, 681, 68, 684 Level L : 671, 671, 674, 677 Level XL : 679, 680, 683, Zugversuch/ Hookesches Gesetz Diese Beanspruchungsart bildet dient zur Ermittlung der estigkeitskennwerte m Zugfestigekeit und e Streckgrenze aus dem Zugversuch (Abb.). Die ermittelten Kennwerte bilden die Basis für die Konstruktion von Bauteilen. m Zugfestigkeit [N/mm ] e Streckgrenze [N/mm ] E Elastizitätsmodul [N/mm ] Das E-Modul ist für jeden Werkstoff ein konstanter Wert, für Stahl ist: E N/ mm E σ ε ε Λl lo Λl Längenänderung [mm] lo Anfangslänge [mm] Abb.: Zugversuch Übungsempfehlung: Böge Level M : 696, 697, 698, 699, 700, 701, 70, 703, 704, 705, 706, 707, 708 Level L : 709, 710 (Eigengewicht), 711 3

4 1.3. Arbeit (ormänderungsarbeit) 1 Joule (J) ist gleich der Arbeit, die eingesetzt werden muss wenn ein Punkt mittels der Kraft von 1N um den Weg 1m verschoben wird. Somit gilt: Nm Kinetische Energie J Wärmeenergie Ws Elektrische Energie Das entsprechende Grundgesetz ist: W Λl Beispiel: Ein ahrzeug wird mit konstanter Kraft von 100 N einen Weg von 10 m gezogen. Dann wist die Arbeit: W x s 1000 J Zum besseren Verständnis dient die zeichnerische Darstellung. Hierbei entspricht die Arbeit dem lächeninhalt im Kraft, Weg Diagramm (Abb). Abb.: Kraft, Weg Diagramm Übungsempfehlung: Böge Level M : 698, 700, 706, Sicherheitsberechnung Die Sicherheitszahl einer jeweiligen Konstruktion ist immer der Quotient aus der maximalen Spannung und der zulässigen Spannung eines Werkstoffes. Die maximale ist bei Beanspruchung auf Zug gleichzeitig die Zugfestigkeit m aus dem Zugversuch (siehe oben). ϑ m σ zul 1 m Zugfestigkeit [N/mm ] σzul Zulässige Spannung in [N/mm ] 4

5 1.5. Eigengewichtskraft Zum besseren verdeutlichung zunächst eine Schätzfrage: Wie lange müsste ein Stab aus Stahl werden, damit er allein aufgrund seines Eigengewichtes abreißt? Stellen wir uns diesen Vorgang anhand einer gekochten Spagetti vor. Spielt die Dicke der Spagetti bzw. des Stahlstabes eine olle? eißlänge: l σ z ( m) 10 δ g 3 [ m] Übungsempfehlung: Böge Level L : 688 Im olgenden wird das Eigengewicht der Bauteile inkl zusätzlicher Kräfte mit berücksichtigt. Neben der Basisgesetz der Zugspannung wird zusätzlich Länge, Dichte und Erdbeschleunigung berücksichtigt. Hieraus folgt: σ z S + l δ g Die Schwierigkeit besteht darin das unterschiedliche Einheiten vereinheitlicht werden müssen. Das Ergebnis dieser Arbeit zeigt sich in den folgenden fertigen Zahlenwertgleichungen. Wichtig hierbei ist das ausschließliche Verwenden der Basiseinheiten. " l δ g S% 1. σ z S # $ 10 3 & ' N [ ]. S [ mm ] σ z l g δ 3 10 l g δ N 3. σ z + S 10 3 mm² N mm² kg dm³ Wichtig: Immer in den angegebenen Basiseinheiten einsetzen.,,, N, m, Übungsempfehlung: Böge Level L : 666, 689 m s² 5

6 . Beanspruchung auf Druck/lächenpressung Die einfache Druckbeanspruchung ist der Umkehrfall der Zugbeanspruchung. Die äußeren Kräfte drücken in ichtung der Stabachse (Abb.)..1. Druckspannungsgesetz σ d N S σd Druckspannung [N/mm ] N Normalkraft in [] S Querschnitt [ mm ] Abb.: Druckbeanspruchung Auch hier tritt die Spannung ausschließlich längs zum Querschnitt auf. Die Druckbeanspruchung in seiner Grundform zählt daher auch zur amilie der Normalspannungen. Übungsempfehlung: Böge Level L : 714, 715, 716, 717, 718, 719, 70, 71, 73,.. lächenpressung (Sonderfall 1 der Druckbeanspruchung) Beanspruchung auf lächenpressung ist eine Sonderform der Druckbeanspruchung und wird neben der Knickung die auch durch Druck verursacht wird als Sonderfall der Beanspruchungen eingestuft. Die Querschnittfläche die es zu beachten gilt ist hier eine projezierte (Abb.). Es ist also wichtig nicht bei einer Welle etwa die naheliegende Mantelfläche sonder das projezierte echteck zu betrachten. p N S proj p lächenpressung [N/mm ] N Normalkraft in [] S Projezierter Querschnitt [ mm ] Abb.: Projezierter Querschnitt bei Passfeder lächenpressung ist die Kraft pro Kontaktfläche zwischen zwei estkörpern. Die lächenpressung ist im Gegensatz zum Druck nicht isotrop, das heißt, sie hat wie eine Spannung eine ichtung, und sie ist über die Kontaktfläche nicht notwendigerweise konstant wie im Schaubild am arbverlauf zu entnehmen ist. Daher ist das ormelzeichen hier ein p. Übungsempfehlung: Böge Level L : 714, 715, 716, 717, 718, 719, 70, 71, 73, 6

7 .3. Lochleibungsdruck (Sonderfall der Druckbeanspruchung) Tritt lächenpressung in Nietverbindungen auf sprechen wir von Lochleibungsdruck. Da hier die Kraft isotrop -also ichtungskonstant- auftritt ist es eine Normalspannung und wird mit dem ormelzeichen σl bezeichnet. σ L N S proj σl lächenpressung [N/mm ] N Normalkraft in [] S Projezierter Querschnitt [ mm ] Übungsempfehlung: Böge Level L : 714, 715, 716, 717, 718, 719, 70, 71, 73,.4. Schraubenverbindungen/ Mutternhöhe Un diesem Abschnitt geht es um die lächenpressung in Gewinden. Das Ziel ist die sogenannte erforderliche Mutternhöhe zu bestimmen. p P π d H 1 m p lächenpressung [N/mm ] P Gewindesteigung [siehe Tab] d lankendurchmesser [mm] H1 Tragtiefe [siehe Tab] N Normalkraft in [] m Mutternhöhe [mm] Übungsempfehlung: Böge Level L : 714, 715, 716, 717, 718, 719, 70, 71, 73, Abb.: Projezierter Querschnitt bei Nietverbindung Abb.: Mutternhöhe.5. Drücke 1 N/mm² 10bar p * A Übungsempfehlung: Böge Level L : 674 7

8 Grundlagen der Trägheitslehre Das Trägheitsmoment I und das Widerstandsmoment W sind ein Maß für die Steifigkeit eines Querschnitts. Sie werden in den Kapiteln Biegung und Torsion benötigt um die jeweiligen Spannungen zu bestimmen. Da Widerstandsmomente in Abhängigkeit zum Trägheitsmoment stehen, dürfen Widerstandsmomente niemals addiert oder subtrahiert werden. Bei der Aufteilung von zusammengesetzten lächen in Teilflächen ist zu versuchen, dass die Schwerlinien der Teilflächen mit der Hauptschwerachse zusammen fallen. Gelingt dies nicht, fallen also die Teilschwerlinien nicht mit der Hauptschwerlinie zusammen, so muss diese Verschiebung mittels dem Gesetz des Steinerschen Verschiebesatzes berücksichtigt werden. Verschiebesatz nach Steiner: I I I Axiales lächenmoment [mm 3 ] A läche [mm ] Übungsempfehlung: Böge Level L : 768, 769, 770, 774, 1 + A1 l1 + I + A l +... In + An ln Das Widerstandsmoment W ist eine Kennzahl über die Steifigkeit von Querschnitten. Wir benötigen es für die Berechnung der Biege- bzw. Torsionsspannung. Wir unterscheiden generell 3 Szenarien: I. Standard II. Zusammengesetzt III. Komplex Berechnung erfolgt nach ormeln: (Böge 4.13, 4.14) oder Tabellen: (Böge ab 4.4) Übungsempfehlung: ab 768, 769 Berechnung erfolgt durch "Konstruktion" der Einzelflächen auf eine gemeinsame Schwerlinie Übungsempfehlung: ab 768, 769 Berechnung muss nach Verschiebegesetz nach "Steiner" erfolgen. Vorsicht: Beachte auch Einbaulage. Übungsempfehlung: ab 774, 775, 804 Abb.: Drei Szenarien der Widerstandsmomentenberechnung Da Szenario 3 relativ aufwendig erscheint, folgt nunmehr ein Musterbeispiel zur Bestimmung der Widerstandsmomente. 8

9 Musterbeispiel: 774 Gegeben sei nachfolgend dargestellte Skizze. Gesucht: a) die Schwerpunktsabstände ex1, ex b) die axialen lächenmomente Ix, Iy c) die axialen Widerstandsmomente Wx, Wy. Anmerkung 1: l1 und l sind die Verschiebungen der Teilschwerlinien zur Hauptschwerlinie gemäß: Verschiebesatz von Steiner. l Lösung a. l1 ex ex1 yo h1 b1 b Y S MT- Verlauf Zur Vereinfachung ziehen wir in unserem Beispiel den inneren Hohlraum vom gesamten Körper ab. Zur Erzielung des gleichen esultats könnten wir den Körper natürlich auch in viele Einzelkörper zerlegen und nach bekanntem Schema vorgehen. Wir bestimmen die andfaserabstände ex1 und ex (siehe Skizze) nach der allgemeinen ormel: X Schwerlinie Körper (Hohlraum) Schwerlinie Körper 1 Hauptschwerlinie A1 (läche groß) A (läche Hohlraum) ey xo Anmerkung : Der andfaserabstand ey befindet sich aufgrund der Symmetrie in der Mitte des Körpers und muss somit nicht mathematisch bestimmt werden. Y1 Y h y o A1 y1 + A y +... An yn A ges (gleiches gilt für ey bzw. xo!) y o b h y1 b1 b h b y o 34, 84mm 1 h1 y h Wir erinnern uns an das Thema Schwerpunktslehre aus dem ach ahrzeugmechanik. Hierbei entspricht: ex yo ey xo Hieraus folgt: e x 1 34, 84mm e h e mm x x1 45, 15 Die unterschiedliche Benennung (yo wird ex und xo wird ey) rührt daher, dass es im ach Mechanik um die Bestimmung und Definition des Schwerpunktes geht und jeweils entlang der X-Achse bzw. der Y-Achse im Koordinatensystem der Abstand des Schwerpunktes berechnet wird. 9

10 Im ach Konstruktionstechnik hingegen geht es um die Bestimmung der Trägheits- und Widerstandsmomente (I und W). Hierbei spielt das Maß für die Verschiebung der Schwerlinien (X oder Y ichtung, je nach dem ob wir Ix oder Iy suchen) eine wichtige olle. Lösung b.) Zur Ermittlung der axialen lächenmomente ist nun der Verschiebesatz von Steiner erforderlich. Auch hier wird in unserem Beispiel zur Vereinfachung der innere Hohlraum vom äußeren Körper abgezogen. Zur Erzielung des gleichen esultats könnten wir den Körper natürlich auch in viele Einzelkörper zerlegen und die Werte in die ormel einsetzen. I I 1 + A1 l1 + I + A l +... In + An ln I x b h A l 1 1 b1 h A l I + [ 50 80] [ 40 e ] + [ 34 40] [ 50 e ] [ mm ] x I x ,59 10 mm x1 1 Zur Ermittlung von Iy findet der Verschiebesatz von Steiner keine Anwendung, da hier alle Teilschwerlinien mit der Hauptschwerlinie zusammen fallen. Die Hauptschwerlinie ist hierbei die Y- Achse. h b Iy 1 3 Lösung c.) h1 b I y [ mm ] Die Grundformel zu Ermittlung von Widerstandsmomenten lautet: 4 4 I x 174,59 10 mm 10 3 Wx 50,11 mm 1 e 34,84mm x1 3 x1 I y W I e ,3 10 mm 4 4 I x 174,59 10 mm 10 3 Wx 38,66 mm e 45,15mm x 3 W y I 70,3 10 mm 5mm 4 4 y 3 3 8,09 10 mm (Iy entspricht ½ b) e y Die für die Grundbeanspruchungsarten Biegung, Knickung und Torsion erforderlichen Widerstandsmomente sind somit ermittelt. In Y-ichtung ergibt sich aufgrund der Symmetrie nur 1 Wert, in X- ichtung Werte. Übungsempfehlung: Böge Level L : 795,

11 Ermittlung der günstigsten Einbaulage Wie im Beispiel rechnerisch ersichtlich ergeben sich Steifigkeitswerte über die X-Achse. Daraus folgt das die Einbaulage durchaus von Bedeutung ist (Abb.). 1 Abb.: Einbaulagen Um diese rage zu klären sei zunächst zu klären ob das Bauteil an der Enden jeweils gestützt wird oder es sich um einen einseitig eingespannten reiträger handelt. Betrachten wir hierzu zunächst folgendes Beispiel und entscheiden wo an der belasteten Stelle jeweils Zugbelastung und wo Druckbelastung vorliegt (Abb.). Abb.: Zug- und Druckfasern echnerisch ergibt sich hierbei die Lösung zugunsten Variante. Als azit kann nunmehr festgehalten werden: wir müssen unterscheiden ob das Bauteil einseitig eingespannt ( reiträger ) ist oder auf Stützen ( Stützträger ) aufliegt (siehe Abbildung: Auftrittsformen der Biegebeanspruchung ) grundsätzlich muss an der langen Seite (großer andfaserabstand) Druckspannung vorliegen, entsprechend an der kurzen Seite Zugspannung als Ausgangslage ist immer der Schwerpunkt zu betrachten (Böge) bezogen auf unser berechnetes Bauteil oben ist: günstiger als reiträger günstiger als Stützträger 11

12 3. Beanspruchung auf Biegung Im Vergleich zu den schon behandelten Grundbeanspruchungsarten Zug, Druck und Abscheren ist bei der Biegung die Lage des Körpers bezogen auf seine Hauptschwerlinie von Bedeutung. Die hierbei verwendete Größe ist das bereits behandelte Widerstandsmoment Wb Biegepannungsgesetz Außerdem wird die Biegung durch die Länge und Lage des beanspruchten Körpers beeinflusst, sodass in Verbindung mit der Belastung das Biegemoment Mb Verwendung findet. Der Quotient aus Biegemoment Mb und Widerstandsmoment Wb ergibt die Biegespannung (Abb.). M σ b W b b( x, y) σb Biegespannung [N/mm ] N Normalkraft in [] Wb Widerstandsmoment [ mm ] Abb.: Biegebeanspruchung Biegebeanspruchen sindäufig anzutreffen und können in unterschiedlichen ormen auftreten. Die allgemeinste Unterteilung ist die in Stütz- und reiträger wie im folgenden Kapitel erläutert. 3.. Biegebeanspruchungsformen Wenn innerhalb der Konstruktion von Bauteilen Biegung auftritt werden gundsätzlich älle unterschieden (Abb.). all 1 "reiträger" all "Stützträger" Abb.: Auftrittsformen der Biegebeanspruchung 1 Im folgenden werden die einzelnen Unterformen mit Beispielen vorgesetellt. Wenn innerhalb der Konstruktion von Bauteilen Biegung auftritt werden gundsätzlich älle unterschieden. 1 Böge Aufgabensammlung 1

13 Development and Construction Grundlagen der KonstruktIonslehre In beiden ällen ist es möglich das die Kräfte jeweils als Punktlast oder als Streckenlast auftreten. (Abb.). Schneelast Lager Eigengewicht all 1 all all 3 Abb.: Streckenlasten Punktlasten sind oft zur Vereinfachung theoretische Kraftangriffspunkte wo hingegen Streckenlasten eher den Praxisfall darstellen. Wirken Punkt- und Streckenlasten gemeinsam an einem Bauteil, so sprechen wir von Mischlasten reiträger Der wohl einfachste aller älle ist dadurch gekennzeichnet das ein einseitig eingespannter Träger mit ein oder mehreren Einzellasten belastet werden (Abb.). Abb.: adnabe Ein bekanntes Anwendungsbeispiel ist eine adnabe eines Kraftfahrzeuges. Wird die Belastung über die Lagerbreite berücksichtigt sprechen wir von einer Streckenlast. 13

14 3.4. Stützträger Wenn innerhalb der Konstruktion von Bauteilen Biegung auftritt werden gundsätzlich älle unterschieden (Abb.). osi Susi Hasi Uti Abb.: Biegebeanspruchung Während Susi, Hasi und Uti sich an Boden abstützen bringt osi ihr ganzes Körpergewicht auf die Parkbank. Die am stärksten beanspruchte Stelle liegt in diesem all vermutlich also nicht in der Mitte. Die Belastungen die auf die Parkbank wirken sind im einzelnen: osi: Susi: Hasi: Uti: A 85 kg 45 kg 49 kg 64 kg Arbeitsplan zur Biegemomenten und Querkraftbestimmung: Schritt 1: reimachen des Bauteils Schritt. Bestimmung der Stützkräfte mit den 3 Gleichgewichtsbedingungen: x 0 + y 0 + M 0 + B Schritt 3: Momentensumme für die Schnittstelle bilden Schritt 4: Kraftsumme für die Schnittstelle bilden. Somit ergibt sich dort die vorhandene Querkraft q. Lehrbuch Alfred Böge Technische Mechanik. 14

15 4. Beanspruchung auf Abscheren Die Scherbeanspruchung zählt zu der amilie der Schubbeanspruchen. Die äußeren Kräfte wirken quer zum beanspruchten Querschnitt Scherspannungsgesetz τa q S τa Scherspannung [N/mm ] q Querkraft in [] S Querschnitt [ mm ] Beim Abscheren wirken zwei gleichgroße gegensinnige Kräfte q auf leicht versetzten parallelen Wirklinien quer zur Stabachse (Abb.). Abb.: Abscherbeanspruchung 3 Überschlägige Ermittlung der Scherfestigkeit von Werkstoffen: τ 0, 85 m (Umrechnung von Normalspannung ( m ) aus dem Zugversuch in Schubspannung) a Übungsempfehlung: Böge Aufgabensammlung 738, 739, 740, 741(b), 74, 743, 744, 745, 746, 748, 749, 750, 751, 75, 753, 755, 756, 757, 758, Lehrbuch Alfred Böge Technische Mechanik. 15

16 5. Beanspruchung auf Torsion Die Torsionsbeanspruchung zählt zu der amilie der Schubbeanspruchen. Die äußeren Kräfte wirken quer zum beanspruchten Querschnitt Torsionspannungsgesetz τt!"!" Mt 9550!! (Nm) τt Torsionsspannung [N/mm ] Mt Torsionsmoment [Nm] Wp Polares Widerstandsmoment [ mm 3 ] P Leistung [ KW] n Drehzahl [ min-1 ] Beim Torsion wirkt die kritische Kraft an der äusseren andfaser (Abb.). Abb.: Torsionsbeanspruchung Innerhalb dieser Beanspruchunbgsart treten häufig Übersetzungen auf. Der Begriff Übersetzung i ist festgelegt als Verhältnis (Quotient) von: n an( Antriebsdrehzahl) 1 1 T i n ab( Abtriebsdrehzahl) dteilkreisdurchmesser n n ω ω d d T 1 Der Wirkungsgrad ist das Verhältnis der Nutzleistung zur Aufwandsleistung: z z 1 M M T T1 ( ω π n ) η P P Nutzen Aufwand P P ab ein 1J 1Nm 1 W s s i Die Gesamtübersetzung ges ist stets das Produkt aller Einzelübersetzungen: Übungsempfehlung: Aufgabensammlung 809, 81, 815, 816, 817, 818, 80, 8, 84 16

17 6. Beanspruchung auf Knickung (Sonderfall) 6.1. Grundlagen Wenn bei Druckbeanspruchung die Stablänge l im Verhältnis zu seiner Querschnittfläche S sehr groß ist, besteht die Gefahr des seitlichen Ausknickens. Das kann geschehen, obwohl der Stab genau in ichtung seiner Achse belastet wird und die Druckspannung noch unter der Proportionalitätsgrenze liegt. (Spannungs- Dehnungs-Diagramm). Die Tragfähigkeit ist also schon vorher erreicht. Knickung ist daher kein Spannungsproblem wie Zug, Druck, Biegung und Torsion, sondern ein Stabilitätsproblem: Trotz gleicher Querschnittsfläche und gleicher Druckkraft steigt die Gefahr des Ausknickens mit steigender Stablänge! (Abb. S.335 Böge). Die Knickung stellt also ähnlich der lächenpressung einen Sonderfall dar. Abb. 6-1: Grundbeanspruchungsarten Die besondere Problematik der Knickung hat zur Definition besonderer Größen geführt (s. S 335 ). k Knickkraft Zug σk Knickspannungen i Trägheitsradius I axialeslächenmoment /. Grades λ Schlankheitsgrad ν Knicksicherheit Druck Knickung Abscher. Grundbeanspruchungsarten k E I S min π Biegung lächenpressung I Torsion erf ν k S E π Hinweis: Die Druckspannung muss immer kleiner der Knickspannung und die Knickkraft kleiner der Druckkraft sein. Die Knickkraft/ Spannung ist diejenige Kraft/ Spannung, bei der das Ausknicken beginnt. 17

18 6.. Elastische Knickung (Eulerfall) Ein Stab knickt stets um diejenige Achse, für die das axiale lächenmoment den kleinsten Wert hat. Um die These nach Euler praktisch anwenden zu können, muss folgende Bedingung erfüllt sein: λ vorh > λ 0 Die Eulergleichung gilt nur solange der errechnete Schlankheitsgrad Lambda gleich oder größer ist als der Grenzschlankheitsgrad Unelastische Knickung (Tetmayerfall) Die Tetmyerthese wird immer dann angewendet, wenn: λ vorh < λ 0 Tetmayer und andere orscher haben für diesen all mittels Versuchen Berechnungsgleichungen entwickelt (siehe ormelsammlung oder S Sachbuch). Übungsempfehlung: Aufgabensammlung Böge 900, 901, 906, 907, 908, 909, 911, 91, 913 Arbeitsplan für Knickungsaufgaben: Schritt 1: Knickkraft k aus Sicherheit V und Belastung berechnen. Schritt : Erforderlicher lächenmoment. Grades Ierf nach Euler berechen. Schritt 3: Schlankheitsgrad berechnen und mit dem Grenzschlankheitsgrad vergleichen. Schritt 4: λvorh > λ 0 Ende λ vorh Euler-all < λ 0 Knickspann ungσ nachtetmayer, Schritt 5: Vorhandene Sicherheit bestimmen und mit geforderter Sicherheit vergleichen. Bei Bedarf den Vorgang ab Schritt 3 wiederholen in dem der Querschnitt vergrößert wird. k 18

19 7. Zusammengesetzte Beanspruchung 7.1. Grundlagen Treten oder mehrere Beanspruchungen gleichzeitig auf liegt eine zusammengesetzte Beanspruchung vor. Beanspruchungen Zug, Druck, Biegung Torsion, Abscheren Normalspannungen (Parallel zum Querschnitt) uhende Beanspruchung (Lastfall 1) Spannung steigt auf bestimmten Wert und hält diesen einen längeren Zeitraum, Betrag und ichtung ändert sich nicht. Statische Belastung Lastfälle Schwellende Beanspruchung (Lastfall ) Spannung steigt ständig von Null auf einen Höchstwert und sinkt wieder auf Null, Betrag ändert sich, ichtung ändert sich nicht. Dynamische Belastung Schubspannungen (Senkrecht zum Querschnitt) Wechselnde Beanspruchung (Lastfall 3) Spannung schwankt ständig zwischen positivem und negativen Höchstwert, Betrag und ichtung ändert sich. Innerhalb zusammengesetzter Beanspruchungen können 3 Ausprägungsformen auftreten (Abb.). Zusammengesetzte Normalspannung o Biegung und Zug/ Druck Zusammengesetzte Schubspannung o Torsion und Abscheren Zusammengesetzte Normal- und Schubspannung o Biegung und Torsion Bei gleichartigen Beanspruchungen (nur Schub- oder nur Normalspannungen) können diese addiert bzw. subtrahiert werden. In den folgenden Kapiteln werden die beiden wichtigsten ormen (fett) ausführlich thematisiert. 19

20 7.. Biegung und Torsion Wellen dienen zur Übertragung von Drehmomenten die durch Kupplungen, Zahnräder und dergleichen ein- und weitergeleitet werden. Durch das zu übertragende Drehmoment werden in den gefährdeten Querschnitten Verdreh- und Biegespannungen hervorgerufen. MT Kupplung Abb. Biegung und Torsion Die zusammengesetzte Beanspruchung, die als Vergleichsspannung bezeichnet wird, lässt sich nach folgender ormel ermitteln: σ v A σ b + ( α τ ) 3 0 t Ist Biege- und Drehmoment bekannt, so können bei der Dimensionierung von Wellen die erforderlichen Wellendurchmesser aus dem Vergleichsmoment Mv berechnet werden. Deren Herleitung erfolgt aus der Vergleichsspannung. B q- Verlauf M v M b + ( α τ ) 0,75 0 t 4 M σ v v W W π dh 3 σ M v bzul d 3 M v 3 σ π bzul 5 4 Böge ormelsammlung Abschnitt Böge ormelsammlung Abschnitt 4.9 0

21 7.3. Biegung und Zug/Druck Am Beispiel der skizzierten Schraubzwinge wollen wir uns Klarheit über das innere Kräfte- und Spannungssystem verschaffen. 1

22 Schritt 1: reimachen des Bauteils. Hierzu legen wir einen Schnitt an eine zweckmäßige Querschnittsfläche an und entwickeln so das innere Kräftesystem. Schritt : Anwendung der 3 bekannten Gleichgewichtsbedingungen: x 0 y 0 M 0 Die innere Normalkraft (N) ruft im schraffierten Querschnitt eine gleichmäßig verteile Zugspannung hervor. Durch das innere Biegemoment (Mb) entsteht im Querschnitt das bekannte System der Biegespannung. Im hier symmetrischen Querschnitt sind die Größtwerte beider Normalspannungen gleich groß. σ bz σ bd σ b M b W Da es sich bei Zug/ Druck als auch bei Biegespannungen um Normalspannungen (Sigma) handelt (rechtwinklig auf der Schnittfläche stehend), können diese addiert bzw. subtrahiert werden. Tragen wir die Spitzen der Biegespannung an die Zugspannung richtungsgemäß an, so erhalten wir nebenstehendes Bild der resultierenden Gesamtspannung. Aus diesem Bild lassen sich nun die Beziehungen der resultierenden Spannungen leicht ablesen und wir erhalten nebenstehende Gleichungen. Bei unsymmetrischen Bauteilen mit verschiedenen andfaserabständen e ist es erforderlich die Biegespannungen σ bz / d sodass: M W b Mb e I σ bd und σ bz über das axiale lächenmoment. Grades I zu bestimmen: 1/ l e I 1/ l e σ σ I S l e σ + σ I S reszug + zzul resdruck dzul

23 7.4. Biegung und Druck Diese Beanspruchung unterscheidet sich von der vorherigen dadurch, dass sich hier der Biegespannung nicht eine Zugspannung, sondern eine Druckspannung überlagert. So erhalten wir neben stehenden Bild der resultierenden Spannung, indem wir an die Spitze der Biegespannung richtungsgemäß die über den Querschnitt konstante Druckspannung auftragen. Es ergibt sich nebenstehende Gleichung. Ist die Stablänge eines auf Druck und Biegung beanspruchten Bauteils im Verhältnis zum Querschnitt sehr groß, muss das Bauteil auf Knickung nachgerechnet werden. Im Bild der resultierenden Spannung ist zu sehen, dass die spannungsfreie aserschicht a nach links verschoben ist. Aus der Ähnlichkeit der schraffierten Dreiecke erhalten wir eine Proportion, die zu einer einfachen Beziehung für die Verschiebegröße a führt. Übungsempfehlung: Aufgabensammlung Böge Böge Sachbuch, Übung S.351. Biegung + Zug/Druck 97, 98, 93, 931, 934, 935, 938, 937. Biegung + Torsion: , (949) 3

24 8. Statik in der Ebene In der Konstruktionslehre unterscheiden wir generell Kernbereiche: Konstruktionslehre Innere Kräfte (S) Äußere Kräfte (A) estigkeitslehre (KTL) Physik (KTL) Abb.: Einteilung der Konstruktionstechnik Momente In diesem Kapitel soll in kompakter orm das gebiet der Drehmomente gefestigt werden. Das Momenten Gesetz lautet: M l (Kraft; lweg) An dieser Stelle soll bereits auf die 3 Gleichgewichtsbedingungen hingewiesen werden die in der olge von großer Bedeutung sind: x 0 + y 0 + M 0 + ür Anzahl und ichtungssinn der Belastungskräfte gibt es keine Beschränkung. Gleichungssysteme dieser Art sind Grundsteine für die Entwicklung von echnerprogrammen, die der Staat. Gepr. Techniker für seine Arbeit in der Praxis erstellen und anwenden kann Lernziel: Technisches Verständnis für Momente entwickeln Ausführliche Herleitungen: Kapitel 1, Böge Lehrbuch Übungsempfehlung: Böge Aufgabensammlung 1-8 Böge Aufgabensammlung 8.. reimachen der Bauteile Um Berechnungen an Bauteilen möglich zu machen ist eine genaue Analyse der an dem jeweiligen Bauteil wirkenden Kräfte notwendig. Durch reimachen werden alle Bauteile die das zu berechnende Bauteil berühren entfernt und durch Kraftpfeile ersetzt. Lernziel: Verständnis für Krafteinwirkungen an Bauteilen entwicklen Ausführliche Herleitungen: Böge Lehrbuch Übungsempfehlung: Böge Aufgabensammlung 9-8 Böge Aufgabensammlung 6 Eigene Darstellung 4

25 8.3. Zentrales Kräftesystem Ein zentrales Kräftesystem liegt vor wenn sich die Wirklinien aller Kräfte in einem gemeinsamen Punkt treffen (Abb.). Um ichtungen und Betrag der Kräfte zu bestimmen ist i.d.. eine zeichnerische als auch eine rechnerische Lösung möglich. Kräftesystem Aufgabenart Lösungsweg Lernziel: Betrag und Wirkrichtung der resultierenden Kraft (roter Pfeil in Skizze) analysieren. Ausführliche Herleitungen: Böge Lehrbuch Übungsempfehlung: Böge Aufgabensammlung 1/. Grundaufgabe: 9-41, 47, Böge Ag./ (einfacher-mittlerer Schwierigkeitsgrad) 3/4. Grundaufgabe: 49,50,51,58,61,6,63,66,68 Böge Ag. (gehobener Schwierigkeitsgrad) Notizen: 1.G-Aufgabe esultierende rechnerisch Kräfte bekannt.g-aufgabe esultierende zeichnerisch Zentral 3.G-Aufgabe echerische Lösung Kräfte unbekannt 4.G-Aufgabe Zeichnerische Lösung 5

26 8.4. Allgemeines Kräftesystem Beim allgemeinen Kräftesystem haben die Wirklinien der Einzelkräfte keinen gemeinsamen Schnittpunkt. Um ichtungen und Betrag der Kräfte zu bestimmen ist eine zeichnerische Lösung nur bedingt möglich und empfehlenswert. Kräftesystem Aufgabenart Lösungsweg (kursiv vernachlässigbar) Lernziel: Berechnen von unbekannten Kräften (rote Pfeile in Skizze). Ausführliche Herleitungen: Böge Lehrbuch Übungsempfehlung: Böge Aufgabensammlung 5. Grundaufgabe: 7-76,79, 80, Böge Ag. (Einfacher-Mittlerer Schwierigkeitsgrad) 8. Grundaufgabe: 85, 87,89,91,(93,94),108, 139, 143, 144, 146, 147, 151, Böge Ag. (gehobener Schwierigkeitsgrad) Notizen: 5.G-Aufgabe esultierende rechnerisch Kräfte bekannt 6.G-Aufgabe esultierende zeichnerisch Allgemei n 7.G-Aufgabe echerische Lösung Kräfte unbekannt 8.G-Aufgabe Zeichnerische Lösung 6

27 9. Schwerpunkts Lehre 9.1. Vorwort Weil für die Grundbeanspruchungsarten Biegung und Torsion die so genannten lächenmomente. Grades erforderlich sind, wird nachfolgend die Ermittlung des Schwerpunktes von zusammengesetzten lächen behandelt. 9.. lächenschwerpunkt Von bekannten lächen wie Kreis, echteck, Dreieck ist die Lage des Schwerpunktes bekannt. ür die Ermittlung des Gesamtschwerpunktes einer zusammengesetzten läche wird diese in lächen mit bekannten Schwerpunkten zerlegt. Mit Hilfe dieser lächen (Dichte, Erdbeschleunigung und Volumen sind bekannt) und den dazu gehörigen Abständen bezogen auf einen Drehpunkt werden mittels Momentensatz die Momente gebildet um die Lage des Hauptschwerpunktes zu bestimmen (Abb.): Y3 Y D Y Y1 X1 Xo A1 A A3 X X3 Yo Teilschwerpunkt Hauptschwerpunkt Drehpunkt X Abb.: lächenschwerpunkt 7 Stellen wir nun die Grundgleichungen auf, so erhalten wir die Schwerpunktsabstände Xo und Yo. Xo A X A X.. + A A ges n X n Yo A1 Y1 + A Y.. + An Yn A ges 7 Eigene Darstellung 7

28 9.3. Kippmoment, Standmoment, Standsicherheit Musterbeispiel (Aufgabe 68): Eine Mauer soll mit Hilfe eines Seiles umgekippt werden, dass unter dem Winkel α 30 an der Mauerkrone zieht. Die Abmessungen entnehmen Sie der beiliegenden Skizze. Gesucht: a) die zum Ankippen erforderliche Seilkraft! b) Wie groß ist der Winkel β beim Ankippen? c) die erforderliche Kipparbeit bis zum Selbstkippen! Lösung b.) h m l 0,5m S S γ a β b x D Lösung a.) S Ms Mk g 0,5l x h x cos α g 0,5l cosα h g 0,5l 16KN 0,5m, 31KN S cosα h 1 cos 30 m Anmerkung: S 1 Beim Ankippen ist die Kippsicherheit 1. Die Mauer kippt in dem Moment, wo die Senkrechte des Schwerpunktes durch den Kippdrehpunkt verläuft (siehe Skizze). α Gk a 0,5m tan γ 0,5 Ak b 1m inv tan(0,5) 14,03 γ 14,03 β 90 γ 90 14,03 75,96 Wenn β75,96 ist, beginnt die Mauer zu kippen. Lernziel: Berechnung der Kipp -und Standmomente von Körpern Ausführliche Herleitungen: Böge Lehrbuch Übungsempfehlung: Böge Aufgabensammlung Schwerpunkt: 01, 0, 03, 05, 1, 17, 18 Standsicherheit: 78 (s.o.), 66, 67, 68, 69, 73, 74, 77 8

29 10. eibung Grundlagen Wollen wir einen Körper auf einer läche verschieben, so spüren wir einen Widerstand. Die Bewegungshemmende Kraft ist die eibkraft. Solange sich die Berührungsflächen nicht gegeneinander bewegen sprechen wir von uhe oder Haftreibung, ansonsten sprechen wir von Gleitreibung (Abb.): Abb.: eibarten Die eibkraft ist eine in der Berührungsfläche wirkende Tangentialkraft welche versucht den schnelleren Körper zu verzögern und den langsameren oder stehenden zu beschleunigen. Die Kupplung ist hierfür ein gutes Beispiel. Bewegen sich beide Körper gegenseitig zueinander, so wirkt die eibkraft auf beide verzögernd. Die eibkraft ist unabhängig von der Größe der Gleitfläche und stets proportional mit der Normalkraft N mit der die beiden lächen zusammen gedrückt werden Auch ein rollender Körper wird durch eine Kraft abgebremst, die wir ollwiderstand nennen. Er ist erfahrungsgemäß kleiner als die Gleit- oder Haftreibkraft. Innerhalb bewegter lüssigkeiten und Gase tritt ebenfalls eibung auf. N eibkraft Normalkraft e Ersatzkraft µ Haftreibung 0 µ Gleitreibung µ ollreibung f wirksamerhebelarm δ eibwinkel tanα N N µ µ (eibzahl ) N G 9

30 Mit zunehmender eibkraft vergrößert sich der Winkel (Delta) zwischen der Normal- und der Ersatzkraft. Hierbei ist die eibkraft der Tangensfunktion des eibwinkels stets proportional. Die Tangensfunktion des eibwinkels wird als eibzahl (Müh) bezeichnet (Abb.3-). N N Abb.: Herleitung der eibgesetze 8 G Gleitreibz ahlµ tanδ Aus diesen Beziehungen erhalten wir die Gleichung zur Errechnung der eibkraft. e ibkraft Normalkraftxeibzahl µ N uhen beide Körper aufeinander, kann die Haftreibkraft von null bis auf einen Höchstwert anwachsen, der größer ist als. Dann ist: Somit wird: Haftreibkr aft Haftreibzahlµ tanδ µ > µ, weilδ > δ 0 Normalkraft Haftreibza hl N 0 µ 0 eibzahlen bzw. eibwinkel werden durch Versuche ermittelt. Sie können auch bei gleichartigen Bedingungen (autiefen, Werkstoff, Schmierung) voneinander abweichen. Angegebene Werte sind stets ichtwerte (Tab.). δ G Tab.: eibzahlen 9 8 Böge Sachbuch S Böge Sachbuch S. 9 30

31 Bestimmung von eibzahlen: Zur Ermittlung von eibzahlen wird eine schiefe Ebene benutzt. Der Prüfkörper bleibt bei zunehmender Neigung der Ebene so lange in uhestellung, bis: Neigungswi nkelα Haftreibwi nkelδ 0 Abb.: Herleitung der eibgesetze 10 Beim gleichförmigen Abwärtsgleiten ist: Die Gleichungsentwicklung belegt: Liegt die Ebene unter dem eibungswinkel, gleitet der Körper nach dem Anstoßen mit VC abwärts. In beiden ällen ist der Körper im Gleichgewicht und es ergibt sich ein geschlossenes Krafteck. Der Winkel zwischen Normalkraft und Gewichtskraft ist während des Gleitens δ denn hier ist: G e Aus den geometrischen Verhältnissen resultiert: δ α Seine Tangensfunktion ist die eibzahl µ. Zum gleichen esultat gelangen wir mit Hilfe der rechnerischen Gleichgewichtsbedingungen. Als X-Achse legen wir die ichtung der schiefen Ebene fest und zerlegen die Gewichtskraft in: G sinαund G cosα x 0 und y 0 tan α µ folglich ist: α δ Experimente mit variablem Neigungswinkel α zeigen, dass der Körper so lange in seiner Stellung verharrt bis: α δ 0 Der Bereich zwischen den Winkeln null und δ 0 heißt Selbsthemmungsbereich. 10 Böge Lehrbuch 31

32 10.. eibwinkel und eibzahl (Haft- und Gleitreibung) Aufgabe 309: Ein Stahlquader mit der Gewichtskraft g soll durch die Zugkraft unter dem Zugwinkel α mit konstanter Geschwindigkeit v nach rechts gezogen werden. Die Zugkraft greift im Körperschwerpunkt S an. Gesucht: a) Eine Gleichung für die Zugkraft in Abhängigkeit von der Gewichtskraft g, dem Zugwinkel α und der Gleitreibzahl µ. b) Der Betrag der Zugkraft für g 1000N, α30 und µ0,15. N µ cos30 ( G sin30 )µ cos 30 G µ sin 30 µ G µ cos 30 + sin 30 µ G V konstant G N µ (cos 30 µ + sin 30 µ ) α e Der Lösungsansatz erfolgt in Anlehnung an die 3 bekannten Bedingungen: x 0 + cos 30 y 0 + N G sin 30 M 0 + µ tan α N (cos30 ) ( G µ cos30 + sin 30 µ G sin 30 ) 3

33 10.3. Kupplungen Kupplungen (39): geg: N 400N, dm 116mm, µ 0,09 dm dm M ges M ges n M l M l i i n: Anzahl der eibflächen a.) µ n N 400N 0, N b.) M l M M M l 0,116m 88N 16,7Nm M M Alternativ: µ 400N 0,09 36Nm ges N l 36N 0,058m,088Nm M 8,088Nm 8 16,7Nm

34 10.4. Trommel- und Backenbremse db50 mm l00mm b100mm, µ0,4 auflaufende Seite l P l lb + N 0 l N lb P l l lb P l µ M B 0 + M A 0 + P l 454,54N l lb µ db M 56,81Nm l lb N + P l 0 l lb + P l µ 1 l lb + P l µ P l 357,14N l lb + µ db M 44,64Nm ablaufende Seite 34

35 Mges M A + M B 101, 45Nm Scheibenbremse MB 516 Nm, p 543 N, µ 0,4 Durchmesser der Scheibenbremse: dm Mb MB N µ p µ dm 0, 507m p µ MB p µ dm Ermittlung des Bremsdruckes: d 18mm p P A 500N 4 π ² ( 18mm) 1,96 N mm ² 19,6bar Lernziel: Berechnung der eibwiderstände Ausführliche Herleitungen: Böge Lehrbuch Übungsempfehlung: Böge Aufgabensammlung Haft und Gleitreibung: , 31, 316, 37, 38 Kupplungen: 39, 330, 331, 333 Bremsen: 363, 375 ollreibung:

36 36