Touristischer Lernweg

Transkript

1 P L A T Z F Ü R P-Seminar Outdoor-Mathematik: Mathematische Lernwege in Laufen und Umgebung Touristischer Lernweg F O R M E L N Themen: Kreis, Flächenberechnung, Verhältnisrechnung, Volumenberechnung, Strahlensatz, Trigonometrische Funktionen und Satz des Pythagoras Notwendige Hilfsmittel und Materialien: Maßband, Taschenrechner und Stift Konzipiert vom P-Seminar Outdoor-Mathematik 2013/15

2 Vorwort Grüß Gott, Sie wollen die Stadt Laufen entdecken? Schön, dass Sie sich für unseren Math-Trail entschieden haben! Wir, das P-Seminar Outdoor-Mathematik 2013/15 des Rottmayr- Gymnasiums freuen uns sehr, Sie an unserem Touristischen Lernweg zur Stadt Laufen begrüßen zu dürfen. Doch was ist Outdoor-Mathematik? Outdoor-Mathematik ist die spielerische Vermittlung von mathematischen Kenntnissen und Zusammenhängen, die über unsere Umgebung erfolgt. Das Ziel unseres Seminars war es, mehrere Lernwege in und um Laufen zu erstellen. Wir haben die Absicht, Jung und Alt für Mathematik zu begeistern und Schülern eine Abwechslung vom oftmals eintönigen Mathematikunterricht zu bieten. Insgesamt haben wir vier Lernwege in verschiedenen Niveaustufen und einen touristischen Lernweg ausgearbeitet. Die Wege sind während unseres Seminars über zwei Jahre hinweg entstanden. Großer Dank gilt unserem Seminarleiter Herrn Dr. Uwe Schleypen und Herrn Prof. Dr. Matthias Ludwig von der Universität Frankfurt für die hilfreichen Ratschläge, welche uns maßgeblich in unserem Projekt unterstützt haben. Das P-Seminar Outdoor Mathematik wünscht Ihnen viel Spaß beim Lösen der Aufgaben!

3 Zur Geschichte Laufens Die Stadt Laufen existiert bereits seit langer Zeit. Bekannt wurde die Stadt allerdings durch den Salzhandel. Die ersten Hinweise auf die Salzachschifffahrt stammen aus dem Jahr 826. Die Schiffherren in Laufen gehörten dem Patriziat an und waren damit in etwa dem ritterlichen Adel gleichgestellt, deren eindrucksvolle Häuser mit der gesamten mittelalterlichen Altstadt erhalten sind. Flüsse wie die Salzach waren im 19. Jahrhundert wichtige Transportwege, denn nur so konnten große und schwere Lasten befördert werden. In unserer Region wurde das Salz in Bad Reichenhall (reich an Hall) und Hallein (kleines Hall) abgebaut und über die Salzach weiter- verschifft. Im Jahr 1790 erlangte die Schifffahrt ihren Höhepunkt. In den weiteren zehn Jahren wurden 6248 Salzschiffe gebaut und in etwa 1100 Mann beschäftigt fand aufgrund des Eisenbahnbaus der letzte königliche Salztransport auf der Salzach statt.

4 Lage der Stationen A) Beet an der Salzachhalle B) Das Kriegerdenkmal C) Das Salzschiff D) Bis oben hin voll! E1) Die Stiftskirche E2) Treppe zum Europasteg F) Das Absperrventil am Rupertusplatz G) Das gläserne Dreieck H) Das Geländermuster an der Länderbrücke I) Der Marienbrunnen J) Das Stadttor

5 Formelsammlung

6 Beet an der Salzachhalle Die Salzachhalle gilt als DAS Veranstaltungszentrum im Rupertiwinkel. Ihr Programm umfasst hauptsächlich Konzerte, Kabaretts und Theaterstücke, aber auch Veranstaltungen wie Kinovorstellungen oder sogar Puppentheater. Auf dem kleinen Platz vor der Salzachhalle befindet sich ein Blumenbeet, das man, wie im Bild eingezeichnet, in zwei Flächen einteilen kann. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Kreisflächen und stellen Sie anschließend einen mathematischen Zusammenhang zwischen ihnen her! Konzipiert von Colin Dietrich

7 Das Kriegerdenkmal Sie sehen hier das Kriegerdenkmal, welches von dem münchener Bildhauer Valentin Kraus geschaffen und 1911 von dem Freilassinger Fabrikanten Georg Wrede für die Gefallenen des deutsch-französischen Krieges 1870 / 1871 gestiftet. Auslöser dieses Krieges war der Streit zwischen Frankreich und Preußen um die Frage der spanischen Thronkandidatur eines Hohenzollernprinzens. Entgegen Napoleons Erwartung traten die vier süddeutschen Staaten in Erfüllung ihrer so genannten Schutz- und Trutzbündnisse mit dem Norddeutschen Bund auf dessen Seite in den Krieg ein. Währenddessen blieben die anderen europäischen Staaten neutral, da sie den Angriff Frankreichs als überflüssig betrachteten. Innerhalb weniger Wochen wurde Frankreich besiegt und Napoleon gefangen genommen. Daraufhin bildete sich in Frankreich die dritte Republik, welche den Krieg noch bis 1871 weiterführte. Das Denkmal in Laufen, welches vor Ihnen steht, wurde später noch um Gedenktafeln der Gefallenen des ersten und zweiten Weltkriegs erweitert. Dieses Denkmal steht auf ein Fundament aus Stufen. Wie groß ist die Oberfläche der Stufen? Reicht diese Fläche aus, um den gesamten Bereich aus Kies rund um die Statue zu bedecken? Konzipiert von Christian Wimmer

8 Das Salzschiff Der Salzhandel hat Laufen zu einer bekannten Stadt gemacht. Flüsse wie die Salzach waren früher sehr wichtig um große und schwere Lasten zu transportieren. Ein sehr wichtiger Beruf in der Stadt war der des Salzschiffers. Nicht immer lief der Handel ohne Probleme ab. Im Stadtpark ist ein Salzschiff gestrandet und hat einiges an Ladung verloren. Entdecken Sie das Salzfass vor dem Schiff? Ein sogenanntes Barrique Fass ist in Wirklichkeit 120cm hoch. Auf welche Größe müssten Sie schrumpfen, damit Sie im Verhältnis zum Fass im Stadtpark passen? Konzipiert von Sophia Schweiger

9 Bis oben hin voll! Sehen Sie das abgebildete Häuschen? Besonders das Glasdach ist ein wahrer Blickfang. Stellen Sie sich vor, Sie würden das Dach abnehmen, umdrehen und dreieckige Seitenwände einbauen. Wie viele Liter Wasser benötigt man nun um es bis oben hin zu füllen? Konzipiert von Marco Tschimpke

10 Die Stiftskirche Die Stiftskirche in Laufen ist als die älteste gotische Hallenkirche Bayerns bekannt. Auch die Pfarrei Laufen existiert laut Belegen schon seit dem 12. Jahrhundert. Die Stiftskirche ist mit ihrem prunkvollen Inneren wirklich schön zu besichtigen. Außerdem ist sie ein stimmungsvoller Ort der Ruhe und für ein persönliches Gebet immer das Richtige. Im Folgenden soll die Höhe der Kirche berechnet werden. Gegeben ist die Höhe der Statue, welche 3,98m beträgt. Ermitteln Sie die Höhe des Kirchturms der ca. 106m von der Statue entfernt ist. Beachten Sie außerdem, dass sich der Boden der Kirche ca. 1m über deinem Standort befindet. Konzipiert von Marco Tschimpke

11 Treppe zum Europasteg Bereits zwei Holzbrücken, deren Pfeiler man immer noch sehen kann, sind bei einem Hochwasser weggerissen worden. Beim Bau des Europastegs 2006 mussten Holzlatten auf Wagen für das Geländer des Stegs rauf gebracht werden. Welche Kraft musste für jede Holzlatte mindestens aufgewendet werden, wenn ein ca. 1000g wiegt? Die Hangabtriebskraft F h =ma würde die Holzlatten wieder runterrutschen lassen, wobei sich diese durch Vektorenaddition (vgl. Skizze, F G =mg; g=9,81m/s 2) errechnen lässt. Bei der Vektorenaddition müssen Sie nichts messen, Sie können die Kräftevektoren als ein Dreieck auffassen und dort trigonometrische Funktionen verwenden. Die Reibung ist zu vernachlässigen. Konzipiert von Fabian Fleidl, Maxi Dandl und Florian Langgartner

12 Das Absperrventil am Rupertusplatz Auf dem 1914 errichteten Platz steht ein Brunnen mit einer Figur des Hl. Rupert. Dieser ist der Schutzpatron der Region (Rupertiwinkel). An der rechten Seite des Brunnens ist unten ein blaues Schild angebracht. Mit solchen Schildern werden die Standorte von Hydranten oder Punkte für andere mögliche Zugänge zur Kanalisation markiert. In diesem Fall wird der Ort eines Absperrventils (AV) beschrieben. Auf dem Schild wird schematisch ein Koordinatensystem dargestellt, mit welchem der genaue Ort angegeben werden kann. Die Zahlen links zeigen dabei die Entfernung (in Metern) vom Schild nach links an, die Zahlen rechts die Entfernung nach rechts. Die Zahlen unten geben die Entfernung nach vorne (bzw. aus Sicht des Lesers nach hinten) an. Suchen Sie das zugehörige Absperrventil. Ein Wert auf dem Schild fehlt! Geben Sie diesen möglichst genau an. Freiwillige Knobelaufgabe: Überlegen Sie, mit welchen weiteren Methoden man den Standort auch eindeutig bestimmen könnte. Der Weg zur nächsten Aufgabe führt jetzt weiter durch das Mühlengaßl, welches für Unaufmerksame nicht leicht zu finden ist, da es auf der gegenüberliegenden Straßenseite des Rupertusplatzes durch eine Holztür zu erreichen ist. Davor rentiert es sich jedoch noch einen Blick nach rechts und links durch die mit ihrem Kopfsteinpflaster historisch anmutende Rottmayrstraße schweifen zu lassen. Das rote Gebäude mit dem kleinen Türmchen ist das alte Rathaus der Stadt Laufen. Linkerhand ist am Ende der Straße nun die Stiftskirche zu sehen, zu der sich ein kurzer Abstecher lohnt. Sie wurde um 1330 erbaut und ist somit die älteste gotische Hallenkirche Süddeutschlands. Konzipiert von Melanie Käser

13 Das gläserne Dreieck Sie haben gerade das Mühlengassl durchquert, das die rückseitigen Bebauungen der Rottmayrstraße erschließt. Zusätzlich dazu diente diese Gasse früher als Löschwasserversorgung bei ausgebrochenen Feuern, da sie direkt an den Salzachuferweg mündet. Vielleicht sind Ihnen die Schwibbögen aufgefallen, die der statischen Sicherung der engen Schluchten dienen. Am Ende dieser Gasse befindet sich eine überdachte Holztreppe. Wie auf dem Foto zu sehen, befindet sich hinter dem Schild eine dreieckige Öffnung. Berechnen Sie alle Maße (Seitenlängen, Winkel und Flächeninhalt), die ein Fenster haben müsste, um diese Fläche unter dem Dachfirst auszufüllen. Um die Aufgabe zu lösen, sollte möglichst nicht geklettert werden. Konzipiert von Melanie Käser

14 Das Geländermuster an der Länderbrücke Sie befinden sich nun an der Länderbrücke, die Laufen mit der österreichischen Stadt Oberndorf bei Salzburg verbindet. Sie wurde zwischen 1901 und 1903 während der Herrschaft von Kaiser Franz Joseph I. und dem Prinzregent Luitpold von Bayern erbaut und ist im Umkreis von 15 km immer noch die einzige Verbindung zwischen Bayern und dem Land Salzburg. An beiden Enden der Länderbrücke befindet sich ein Geländer, das durch ein bestimmtes Muster gekennzeichnet ist. Berechnen Sie die durchsehbare Fläche eines Geländerabschnittes und geben Sie diese in m 2 an. Optional können Sie außerdem die Länderbrücke überqueren, um die fantastische Sicht auf Laufen von der österreichischen Seite zu genießen und sich das bedeutende Schifferschützen-Corpsdenkmal anzusehen. Dieser Schifferschützen-Corps wurde 1278 von Erzbischof Friedrich II. von Walchen gegründet, um die Schiffer auf der Salzach gegen kriegerische und räuberische Überfälle auf die Salzzillen zu schützen, und existiert, obwohl die Salzsschifffahrt nicht mehr betrieben wird, noch heute unter dem Namen historische Schiffergarde. Konzipiert von Lisa Abstreiter

15 Der Marienbrunnen Der weitläufige, in seiner Gestalt uneinheitliche Marienplatz mit seinem Brunnen, der die obere Stadt mit Trinkwasser versorgte, war bis in das späte 19. Jahrhundert zugleich Schrannenplatz, wo regelmäßig Vieh und landwirtschaftliche Produkte feilgeboten wurden. Berechnen Sie die gepflasterte Fläche des Sechsecks, das den Marienbrunnen umgibt. Die kreisförmige Fläche vor dem Brunnen soll dabei nicht mit einbezogen werden. Konzipiert von Leonhard Starzer

16 Das Stadttor Das Obere Stadttor oder auch Salzburgtor genannt war seit jeher ein wichtiger Zugangspunkt für die Stadt Laufen. Der Turm, den Sie sehen können, wurde unter dem Salzburger Fürsterzbischof Johann Ernst Graf Thun fertig gestellt und zeigt auch heute noch dessen Wappen. Ursprünglich hatte das Tor vor dem Durchgang einen Graben mit Brücke, sodass die Bürgerwehr es verteidigen konnte. Heute jedoch wird das Tor als Durchgang benötigt, um über die Länderbrücke zu gelangen. Aufgrund des hohen Verkehrs stellt sich die Frage, wie hoch denn ein Pkw oder auch ein Lkw tatsächlich sein könnte, wenn es die erlaubte gesetzliche Breite von 2,50 m erfüllt. Hinweis: Man kann annehmen, dass das Tor die rechts skizzierte Form hat. Konzipiert von Fabian Fleidl, Maxi Dandl und Florian Langgartner

17 Touristischer Lernweg - Lösungen Beet an der Salzachhalle Lösung: Durchmesser innerer Kreis: 210cm r = 105cm Flächeninhalt innerer Kreis: r 2 π = π 34636[cm 2 ] 3,5m 2 Flächeninhalt äußerer Kreis: s = = 163[cm] r 2 π = π 83469[cm 2 ] 8,4m 2 evtl. mathematischer Zusammenhang: prozentueller Anteil vom inneren am äußeren Kreis; Fläche des schwarzen Bereiches ausrechnen; etc.

18 Das Kriegerdenkmal Breite Stufe 1 b Stufe 1 = 2,50m Länge Stufe 1 l Stufe 1 = 2,90m Breite Stufe 2 b Stufe 2 = 1,6m Länge Stufe 2 l Stufe 2 = 2,0m Breite Statue b Statue = 0,6m Länge Statue l Statue = 1,0m Höhe Stufen h = 0,3m Radius der Kreisfläche r = 2,9m Breite Kiesfläche b Kies = 2,55m b l - b l 2 l h 2 b h 2 l h 2 b h O= Stufe 1 Stufe 1 Statue Statue + Stufe 1 + Stufe 1 + Stufe 2 + Stufe 2 = 2,5 2,9 0, ,9 0, ,5 0, , ,6 0,3 12,4 [m²] 2 A = 0,5 π r² + bkies 2r = 0,5π 2,9 + 2,55 2 2, 9 28 [m²] -> Nein, es reicht nicht aus, da die Kiesfläche größer ist als die Oberfläche des Podests der Statue.

19 Das Salzschiff Höhe eines echten Fasses Körpergröße (variabel) 120 cm deine Körpergröße Höhe des Fasses am Spielplatz Körpergröße Salzschiffer 62 cm Gesucht (Rechenbeispiele mit erfundenen Zahlen) Antwort: Als Salzschiffer wäre ich ca. 89,38cm groß.

20 Bis oben hin voll! Fall 1: Es hat so viel Wasser im Glascontainer Platz bis der untere der Öffnung erreicht wird. Rand Länge (Quader) l Quader = 16,7dm; Breite (Quader) b Quader = 16,2dm; Höhe (Quader) h Quader = 12dm; V Flasche = 0,7l V gesucht = V Quader = 3246,48 [l] l Quader b Quader h Quader = 16,7 16,2 12 = 3246,48 [dm³] = = gesucht -> Anzahl an Flaschen: VFlasche V 3246,48 = 0, [Flaschen] Fall 2: Es hat so viel Wasser im Glascontainer Platz bis die Decke erreicht wird (d.h. die Öffnung wird nicht beachtet). Länge (Quader) l Quader = 16,7dm; Breite (Quader) b Quader = 16,2dm; Höhe (Quader) h Quader = 12dm; V Flasche = 0,7l; Höhe (Prisma) h Prisma = 7dm; obere Länge des Trapez l Ober = 3dm V Quader = 3246,48 [l] (vgl. Fall1) G lquader hpr isma ( bquader + lober ) 0, 5 lquader V Prisma = = = 7 (16,2 + 3) 0,5 16, 7 = = 1122,24 [dm³] = 1122,24 [l] V gesucht = V Quader + V Prisma = 3246, , 24 = 4368,72 [l] -> Anzahl an Flaschen: V gesucht 4368,72 V Flasche = 0, [Flaschen]

21 Die Stiftskirche h Statue = 3,98m Strahlensatz: (h Kirche + 1 m) (106m + 4,25m) = (h Statue - h Auge ) 4,25m h Kirche = ((h Statue - h Auge ) (106m + 4,25m) 4,25m) - 1m + h Auge = 61,1m

22 Treppe zum Europasteg s = 9,6m sin α = F h F g, m Steigung = tan α = h x = y x = m α = arctan m = 19,134 F h = F g sin α = m g sin (19,134 ) = m 0,33 m/s 2 = 0,33 N

23 Das Absperrventil am Rupertusplatz Fehlender Wert: Je nach Messung zwischen 1,80 m und 2,00 m Zur freiwilligen Knobelaufgabe: Man könnte den Standort auch mit einem Winkelwert (zu einer festgesetzten Gerade) und der Länge des Abstandes zum Schild eindeutig angeben.

24 Das gläserne Dreieck Berechnung der Seiten über den Satz des Pythagoras: c = cm 15cm = 75cm a² + b² = c²; a = b, da Dreieck rechtwinklig und gleichschenklig ist; 2a² = 2b² = c² :2 a² = b² = c²/2 a = b = c²/2 = 75²/2 53,0 [cm] Berechnung der Winkle durch Innenwinkelsumme: γ = 90, wegen rechtwinkligem Dreieck α = β, wegen gleichschnekligem Dreieck α = β = (180 - γ) : 2 = 45 Berechnung der Seiten über sinus oder cosinus: sin α = a : c a = sin α c = sin (45 ) 75cm 53,0cm sin β = b : c b = sin β c = cos (45 ) 75cm 53,0cm Berechnung des Flächeninhalts: sin α = h : b h = sin α b A = 0,5 c h = 0,5 c sin α b = 1406,35cm² oder: A = 0,5 a² = 1406,35cm² oder: A = (0,5c)² = 1406,25cm²

25 Das Geländermuster an der Länderbrücke 1. Lösungsweg: Berechnung der einzelnen Figuren A ges = 4 A A A A 4 = = 4 0,5 25,5 cm 14 cm ,6 cm 22,6 cm + 2 0,5 30 cm 14 cm + 2 0,5 (38,7 cm + 71 cm) 15 cm = 3801,02 cm 2 0,38 m 2 2. Lösungsweg: Teilung des Musters in vier gleiche Teile (mittelgroßes Dreieck = A 1 ; großes Dreieck = 0,5 A 2 ; kleines Dreieck = 0,5 A 3 ; rechtwinkliges Trapez = 0,5 A 4 ) A ges = 4 (A 1 + 0,5 A 2 + 0,5 A 3 + 0,5 A 4 ) = = 4 (0,5 25,5 cm 14 cm + 0,5 22,6 cm 22,6 cm + 0,5 0,5 30 cm 14 cm + 0,5 0,5 (38,7 cm + 71 cm) 15 cm = = 3801,02 cm 2 0,38 m 2

26 Der Marienbrunnen A Dreieck = b c = 6,62 m 2,26 m 14,38 m 2 A Rechteck = a b = 4 m 6,62 m = 26,48 m 2 A Sechseck = 14,38 m ,48 = 40,86 m 2 U Kreis = 8 u = 8 2,05m = 16,4 m 16,4 m = 2 π r => r 2,61 m A Kreis = π 2,612 21,40 [m 2 ] A Gesamt = 40,86 m 2 21,40 m 2 = 19,46 m 2

27 Das Stadttor Um nicht von einem Auto zusammengefahren zu werden, kann man in guter Näherung davon ausgehen, dass die Höhe des Halbkreises der Höhe des Rechtecks entspricht. Damit ergibt sich, dass g = 2,55m und r = 2,55m ist. Gesucht ist die Höhe H des LKWs mit H = g + h (Höhe des LKW Teiles im Einheitskreis) a entspricht der halben Breite des LKWs. h a r H g H = g + h ; mit => Alternativ kann man auch noch mit dem Einheitskreis rechnen.