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1 Math-Net.Ru All Russian mathematical portal B. Fuchs, Über geodätische Mannigfaltigkeiten einer bei pseudokonformen Abbildungen invarianten Riemannschen Geometrie, Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S., 1937, Volume 2(44), Number 3, Use of the all-russian mathematical portal Math-Net.Ru implies that you have read and agreed to these terms of use Download details: IP: February 19, 2017, 06:11:24

2 1937 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК Т. 2 (44), N. 3 RECUEIL MATHEMATIQUE Ober geodatische Mannigfaltigkeiten einer bei pseudokonformen Abbildungen invarianten Riemannschen Geometrie B. Fuchs (Tomsk) In der vorliegenden Arbeit werden die Eigenschaften der analytischen, vollstandig geodatischen Flachen einer Geometrie betrachtet, die bei pseudokonformen Abbildungen der Bereiche des vierdimensionalen Raumes invariant bleiben. (Eine eineindeutige Abbildung durch ein Paar von analytischen Funktionen eines Bereiches auf einen anderen wird als eine pseudokonforme Abbildung bezeichnet.) Eine solche Geometrie wurde von S. Bergmann in einer Reihe von Arbeiten eingefuhrt und untersucht 1. Ihre Einfuhrung geschieht folgendermassen: es werden in einem gewissen beschrankten Bereiche 33 analytische Funktionen h{z i y z % ) zweier komplexer Veranderlichen betrachtet, die regular sind und fur welche \ А(г 4, )fdv^ 1 ist. Die obere Grenze der Werte A.(z\ z 2 ) 2 3 in jedem Punkte von 23 wird von S. Bergmann als Kernfunktion K(z l, z u, z i, z 2 ) des Bereiches 33 bezeichnet Dann bestimmt die positive, definite Hermitesche Form WO m, /г=1 (0, 1) (0, 2) ist, im Bereich 25 gerade die bei pseudokonformen Transformationen z* k = z* k (z l, Д Л = 1, 2, nvariante Riemannsche Geometrie. Der erste Teil dieser Arbeit ist der Betrachtung der differentialgeometrischen Eigenschaften von vollstandig geodatischen, analytischen Flachen dieser Geometrie gewidmet; der zweite Teil ihrem Verhalten am Rande des Bereiches 33. * Siehe S. Bergmann, Ober die Kernfunktion eines Bereiches und ihr Verhalten am Rande. I, Crelles Journal, 169, (1932), 1 40; II, ibidem, 172, (1934), Weiter werden diese Arbeiten als B lt B 2 bezeichnet. In ihnen, besonders in B 2, sind auch die anderen Arbeiten S. Bergmanns angefuhrt, die dieser Frage gewidmet sind.

3 568 В. Fuchs I. Teil 1 L Einleitung. Im ersten Teil betrachten wir die differentialgeometrischen Eigenschaften dsr v. g. a. F. 2. Zunachst ist es moglich die Gteichungen einer Schar von an lytischen Flachen in geschlossener Form anzugeben, welche alle v. g. a. F. enthalt, die durch einen gewissen Punkt hinlurchgehen. In allgemeinem Falle, wo keine v. g. a. F. vorhanden sind, besitzt diese Flachenschar eine Reihe von interessanten Eigenschaften (vgl. 2). Sie haben mit geodatischen (nicht analytischen) Flachen, die durch diesen Punkt gehen, Beriihrungen hoherer Ordnung. Ferner erweist sich, dass die Untersuchung dieser Flachen in engem Zusammenhang mit der Betrachtung der Reprasentantenbereiche von 33 mit Aufpunkt in den betreffenden Punkten steht. Solche Bereiche wurden von S. Bergmann eingefuhrt und untersucht 3. Ihre Einfuhrung erhubie eine Reihe wichtiger Satze aus der Theorie der pseudokonformen Abbildungen aufzustellen. Dieser Zusammenhang erklart den differentialgeometrischen Sinn der Abbildung des gegebenen Bereichs auf den Reprasentantenbereich. Es zeigt sich, dass eine Abbildung auf den Reprasentantenbereich einer Einfuhrung von analytischen Normalkoordinaten im Raume Equivalent ist, die ein gewisses Ersatz der gewohnlichen Riemannschen Normalkoordinaten (dia im allgemeinen nicht analytisch sind) ЫИеп, Die weitere Betrachtung fiihrt auch zu den Linien, die im gegebenen Punkt eine Beruhrung hoherer Ordnung mit den geodatischen Kurven der Geometrie haben. Im 3 und 4 wird die Frage nach der Existenz v. g. a. F. behandelt. Es erweist sich, dass die Existenz von v. g. a. F., die aus jadem Punkt in alien analytischen Richtungen gehen, zu einem Raum von konstanter unitarer Krummung fiihrt. Zu einer solchen Geometrie fiihrt die Form (0, 1) im Falle der Hyperkugel. Ferner wird der Fall untersucht, wenn durch jeden Punkt nur oo 1 analytischer v. g. a. F. in den Richtungen hindurchgehan, die durch eine Drehung urn die Koordinatenebenen ineinander tiber e 1 ien. In diesem Falle komiren wir zum «Raum von konstanter unitarer Krummung zweiter Art». Diese Geometrie erhalt man im Falle cfes Bizylinders. Zu analogen Resultaten galangt man auch im Falle einer komplexen Veranderlichen. Allgemein erhalt man Kurven, die in einem gegebenen Punkte mit den geodatischen Linien der invarianten Metrik oskulieren. Ist der Raum von konstanter Krummung (Fall eines einfachzusammenhangenden Gebietes), so sind diese Linien geodatisch. Allgemein konnen diese Kurven zur Approximation geodatischer Linien dienen, und deswegen werden die Formeln, dh sich auf diesen Fall b^ziehen, explicite angegeben. 2. Zur Erleichterung des Lesens wollen wir einige dilferentialgeometrische Formeln in einer fur das weitere zweckmassigsn Form zusammenstellen. Im folgenden werden wir iiblicherweise mit z l, z 2, z l, z 2 formal operieren als mit Koordinaten und werden die ihnen entsprechenden Tensorkomponenten betrachten. Dann sind die Komponenten des Fundamentaltensors der Riemannschen Geometrie, die durch 2 v. g. a. F. = vollstandig geodat ; sche analytische Flache. 3 Siehe S. Bergmann, Ober die Existenz von Reprasentantenbereiche usw., Math. Ann.,. 102, (1930). Diese Arbeit wird weiter als B 3 zitiert; Aronszajn, Stir les invariants des transformations dans le domaine de n variables complexes. I, C..R., (1933); II, C. R., (1934); Welke^ Ober die analytischen Abbildungen von Kreiskorpern usw., Math. Ann., 103, (1930).

4 Ober geodatische Mannigfaltigkeiten einer Riemannschen Geometrie 569 die Form (0, 1) definiert ist 4 : wo ^11 = ^12 = ^22=^71 ^ ^ 2 = ^11 = 0 ' «il^ "2" Г П» 1 7, ^ T - a ~ ^- T (\ W ^12 Y 7 l 12' ^21 2! 21' ^ * ' ' Die kontravarianten Komponenten des Fundamentaltensors sind Null ausser Hier ist / 1 = 2Г П ", J* = 2T l \ / = 2Г 2 \ / = 27Л (1, 2) rll Tjl T Z^l T 2 * Zi? Г22 Zil И ЯЪ 1 У D ' l ~ D ' ~ D ' D ' ' "' ^ i ll i 22 M2 i 21 * Bemerken wir, dass wegen der speziellen Gestalt der T m - n [vgl. (0, 2)] die entstehende Riemannsche Geometrie im wesentlichen mit der unitaren Geometrie (ibereinstimmt, die mit Hilfe von (0, 1) im Raume der komplexen VerMnderlichen z l, z 2 definiert wird r>. Die Komponenten der Riemannschen Parallelverschiebung die Christoffelschen Symbole werden durch f {i/h. ^' ',*.'-!. 2, 0.4) bestimmt, oder, ausfiihrlicher geschrieben, /1\ ' bz* '* dz* /2\ '" &s* '' 2 Зг*..., n -. W = 5 ' Ы = 5 ' ' * =1 ' 2 - (1 ' 0> Die (ibrigen Christoffelschen Symbole sind entweder Null, oder konjugiert (bei г, к, /=Г, 2). Ferner haben wir in diesem Falle v _ 2 _. 2 fe* *=i v&?/ j^* ««5=i * m V**/ Die Komponenten des Kriimmungstensors haben die Form /? v-=-i=r{; 1 }' v, ^x,.=1,2. d,7) l Die (ibrigen Komponenten dieses Tensors sind entweder Null oder konjugiert. setzen wir Ferner Diese /?- x - unterscheiden sich laut (1,1) durch den Faktor 2 von den entsprechenden Komponenten des Kriimmungstensors der erwahnten Riemannschen Geometrie. 4 Der Bequemlichkeit halber sind einige Formeln hier explicite angegeben. 5 Dte Formeln (1, 2) (1, 8) konnen leicht aus den ubiichen Formeln der Riemannschen Geometrie abgeleitet werden. Wegen Formeln (1, 4), (1, 7), (1, 9), (1, 10), siehe noch Schouten u. van Dantzig, Ober unitare Geometrie, Math. Annalen, 103, (1930), Im weiteren wird diese Arbeit als S.-D. I zitiert.

5 370 В. Fuchs Die ubrigen Komponenten dieses Tensors sind Null. Offensichtlich sind JR\-^ symrnetrisch bezuglich der Indizes д und X, /?.- bezuglich der Indizes ji, I und p", со. Die iiblichen Symmetrie- und Asymmetrieeigenschaften entsprechender Indizes bleiben crhalten. Ferner betrachten wir den Hermiteschen Tensor von Ricci ** = *-* =-7^- 0.9, a=i dz'tiz* Es ist leicht zu sehen, dass ~R t i = R k i ist. Der Unterschied zwischen dem Hermiteschen Tensor von Ricci und dem Ricci-Tensor der gewohnlichen Riemannschen Geometrie ist ganz ersichtlich. Endlich hat die Identitat von Bianchi in unserem Fall die Form /?-, #-,- - = 0. l ' j (Der Index nach dem Komma ist, wie ublich, der Index der kovarianten Differentiation.) 3. Jetzt wollen wir einige fruhere Ergebnisse zusammenstellen. Damit 6 die analytische Flache z s =f(j) (1, ") ine vollstandig geodatische ist, ist es bekanntlich notwendig und hinreichend, dass die Komponenten des Tensors der erzwungenen Krummung 7 H'^ der Flache verschwinden. Daher, ist die Flache (1, 11) vollstandig geodatisch, so ist z/;: 1 =о, я;; 2 ==.-о, я;: 1 о, н-1 = о. (i, i2> Die ubrigen Komponenten dieses Tensors sind fur diese Flache identisch Null. Durch eine Rechnung erhalten wir н п = ^, н 22 =. (i, is) Hi} und till werden konjugiert berechnet. Hier ist & S=T +ft li + ft! j+fft s (1, 14) 6 Der iibrige Teil des 1 (inklusive Satz I) stellt im wesentlichen einen kurzen Bericht iiber einen T il meiner Note, sofern dies zur Verstandigung des weiteren notwendig ist. (Siehe B. Fuchs, Ober vollstandig geodatische analytische Mannigfaltigkeiten einervierdimensionalen Riemannschen Geometrie, Mitteilungen des Forschungsinstituts f. Math, und Mech. in Tomsk, I, (1935), In dieser Note wurden die ersten hierher gehcrenden Ergebnisse veroffentlicht. 7 Ober Definition und Ausdruck fur H] n s. S с h о u t e n, Der Ricci-Kalkul (Berlin, 1924), S Dort siehe auch die Definition der vollstandig geodaiischen Flachen. Die Komponenten des Tensors H' m ] konnen auch nach der Formel (90) in S.-D. I gefunden werden.

6 Ober geodatische Mannigfaltigkeiten einer Riemannschen Geometrie 571 T^-\-fT^ und ^2l~b/^22 k^nnen nicnt gleichzeitig verschwinden (D=^0), und deshalb reduzieren sich die Gleichungen (1, 12) auf die Gleichung Q^O, (1, 16) die eine notwendige und hinreichende Bedingung daftir ist, dass die Flache (1, 11) vollstandig geodatisch ist. Man kann auch den geometrischen Sinn der Grosse Q angeben 8. Eetrachten wir zwei Punkte der Flache (1, 11) M(z l, z*) und M' (z i -\-dz i, z*-\-dz % ). Es sei db der Winkel zwischen den analytischen Tangentenebenen in diesen Punkten. [Vorlaufig hat man eine der Ebenen durch eine Riemannsche Parallelverschiebung, die der Metrik (0, 1) entspricht, in den Beriihrungspunkt der anderen ubertragen.] Der analytische Charakter der Ebene bleibt dabei bestehn. Dann erweist sich, dass dq ds z VD\Q\ : з S 2 (1, 17) 1st, wo ds hier den Abstand zwischen den Punkten M und M bedeutet. Im spezielten Falle einer Euklidischen Metrik haben wir dementsprechend ds ct 2v2 (1 + l/y) Wir transiormieren den Ausdruck fur Q und bezeichnen (1, 18) d*f df(z l, z\ 7 l, ~z_ dz l _df <te 8 (dz l f f" 0*7 bz^j b*f dz* 2/' dz4>z* Л-Г a2 F (1, 19) Unter Benutzung der Ausdrucke fur die Symbole, die in den Formeln (1, 5) angegeben sind, und der Formel (0, 2) gemuss, kunnen wir die Gleichung (1, 16) in folgender Form darstellen: Hier ist DQ- К dk dz l d*k (**V ** = "J? % dk* dz l d*kj< - «**У K^ K» 1 dk 7t dz l d % K 7l I «tev 1 " <>z 2 :0. (1, 20) Da diese Gleichung die Gestalt einer Wronskischen Determinante fur die Funktionen K, Kj iy K~ % hat, so muss die gesuchte Funktion z*=f(z l ) einer Relation von der Form "*+Ff+T~ = (1, 21) geniigen. Hier sind a, fi, у willkiirliche (antianalytische) Funktionen von z 1, z-. Wir gelangen somit zum folgenden 8 Siehe meine Arbeit «Ober einige Eigenschaften der pseudokonformen Abbildungen-s, Rec. math., 1 (43), (1936), 569.

7 572 В. Fuchs Satz I. Jed? analytische, vollstandlg gecdutische Flache der durch (O r 1) er~ zeugten Rlzmannschzn Geometric kann auf folgende Weiss erhalten werden: man bestlmme drei antianalytische Funhtionen a, fi, у der art, dass die Relation (1, 21) auf einer gewlssen analytlschen Flache erfiillt 1st. Dann wlrd dlese Flac.ie vollstandig geodutlsch. In 2 wird eine wesentliche Erganzung zu dem Satz I angegeben sein. 2. Eigenschaften von geodatischen Mannigfaltigkeiten in der Umgebung eines Punktes des Raiimes 1. Analytische Flachen. Stellt (1, 11) eine v. g. a. F. dar, so kann man dem Satz I gemass a, [J, у so wahlen, dass auf dieser Flache а*+? +7 = Ф(г1, <?, = (> (2,1) gilt, z* ist dabei (1, 11) entsprechend durch z i ausgedriickt und z 2 durch z l. (2, 1) ist eine Identitat, es bleibt bestehen falls man z l durch t l ersetzt. [(/*, t 2 ), i* f(t l ) y bedeuten dabei die Koordinaten eines inneren Punktes P von 33, der auf (1, 11) liegt.} Unter dieser Voraussetzung gilt Ь log K(z\ z\ t\ t*) Ъ logk(z\ z\ t l n*f a(t\ <*) +р(л *V-^i^p-ll-^ + Y(*i, /2)1^1^4^-^ = 0. (2, 2) Aus der Bedingung, dass der Punkt (Л / 2 ) auf der Flache (1, 11) liegt, erhalten wir 2 (t\ i 1 ) -f p (t\ t*) 1 ' I + Y (< l. * 2 ) ^ - Ц ^ ' - 0. (2, 3) Wenn wir (2, 3) von (2, 2) abziehen, so gelangen wir zu analytischen die durch die Gleichungen Flachen, *logm(z\z\7\?) b\og M(z^z\?,?) -=r-, f- с -= = U (2, 4) dt l! W» bestimmt sind, worin Ж(/,Д???)^^^^ (2,5) /С( л, Л * 4, r*) die sogenannte Minimalfunktion des Gebietes ist 9, с eine Konstante bedeutet. Es ist leicht zu sehen, dass die Flache (2, 4) durch den Punkt (t l, t 2 ) geht. Es gilt somit der Satz II. Jede v. g. a. F., die durch Punkt (Л t 2 ) hindurchgeht, ist in der Flachenschar (2, 4) enthalten. Bemerken wir, dass nach (2, 5) und (0, 2) die Ableitungen nach z l und z* der linken Seite der Gleichung (2, 4) im Punkte (t 1, t 2 ) die Form haben: 9 B lf S. 3. ^11 + ^12> 7*21 + * V V> 6 >

8 Ober geodatische Mannigfaltigkeiten einer Riemannschen Geometrie 573 Da D^O ist, so gibt es keinen Wert van c, ftir den sie gleichzeitig verschwinden. Daraus folgt, dass jeda analytische Ebene im Punkte t {, t 2 eine und nur eine Flache der Schar (2, 4) beruhrt. Satz III. Die Komponenten des Tensors der erzwungenen Krilmmung H' m^ der Flache (2, 4) sind im Punkte (t l, t 2 ) sumtllch Null. Beweis. Ез genugt zu zeigen, dass die Grosse Q, die in (1,15) eingefiihrt wurde, fur diese Fla:he im Punkte (t l, t 2 ) verschwindet. Aus (2, 4) und (2, 5) haben wir fur 6[г Ableitung im Punkte F?(z l, z 2 ) der Flache: WO ist. Offenbar ist / --^?- 21 ' 22 = x-(z l z 2? А У1 <>8*(* 4, z\ t\ 7), ik -i ik (z, z,t,t) = (2, b) У to* x rk (t\ Д t\ * 2 ) = T ifi (t t\ t\ t 2 ). (2, 9) Analog erhalt man fur (2, 7) (durch uamittelbare Berechnung der zweiien Ableitung) die Formel -/' {5+^(^7 2 }-Ш)+/'(Ш- 2 Ш)-(п}- < 2 ' io > Das Zeich3n "~ Ciber eine Grosse bedeutet, dass die Argumente (z\ z 2, z l, z 2 ) durch (z, z 2, t l, t 2 ) zu ersetzen sind. Setzt man dann den gefundenen Wert von /" in (1, 15) ein, so haben wir: Q=/'A{i}+/"Ma.{,, 2}-{»})+/'Mf, 1,}- ~4U) \A==A(z x, z 2, z\ z 2 ) A(z\ z 2, t\ t\ (2, 12) Da fiir z k = t k alle ДД verschwinden, so ist unser Satz bewiesen. Definition. Wir sagen, dass eine Flache im Punkte P geodutisch ist, falls samtliche Komponenten des 1 Tensors H''* im Punkte P verschwinden. Die Flachen (2, 4) sind in diesem Sinne im Punkte P geodatisch. 2. Kurven. Ausgehend von der Betrachtung der Flachen (2, 4) kann man auch eine Schar von Kurven, die im Punkte P(t l, t 2 ) «geodatisch» sind, finden. Wir betrachten die durch den Punkt P(t\ t 2 ) gehenden Kurven Ъ log M(z l, z 2, 7, 7) *> \-L_!_2_) ^ a p. /0 1Q, (2,13) to* Hierin sind a w komplexe Konstanten, die die Richtungen (2, 13) im Punkte P definieren. p ist ein reeller Parameter. Satz III'. Die Komponenten dzs Krummungsvektors im Punkte P(t\ t 2 ) sind far alle Kurven (2 4 13) gleich Null. ^

9 574 В. Fuchs В ewe is. Bezeichnen wir den Kriimmungsvektor mit W. Dann ist: d*z 4 ' ds 3 f-i vap ' «* ds ~~ { ~ ds I d P* «. p=l t}ds d % s / v t rf.zr a dz$ dz* 7n TrP 2 (2, 14) *!a8/ dp dp dp (Л f ds\ //' wird konjugiert berechnet. Ausser den Grossen x^, die durch (2, 8) eingeftihrt sind T betrachten wir die Grossen i ik, die wir erhalten, wenn wir in den Ausdriicken fiir V k siehe (1, 3)] z l, z 2 durch t l, t 2 ersetzen. Dann fiihren wir noch die Gr5ssen u nd 1 J Ji\ =bk= T *e> f> *> TtA ры=,т *=Т*'(Г, /2 1 X t, z\ z ein. [Letztere Gleichungen gelten wegen des Hermiteschen Charakters der Form (0, 1).] Aus (2, 13) haben wir (а к а%): Daher ist 2 ч dzi^= J kp' 21?ы dzl=== w (2, 15) /=i tut =V = a J T'\ dp k=i ^?=S^p", dp /ds\~ ^ rp t m t n \ dp ' 2J тпт» k=l (2, 16) Da (1, 6) eine Identitat ist, konnen wir darin T^ durch i^ (bzw. durch p ft -.) ersetzen. Dann haben wir: ^2 ~ -^ a* J*' ^^ ft, q,r=\ /5 \ / s ) 2 я*^^т«м ( ;^ 2 ГГ^;)-(2,17), 9, r, ^=1,d*7> / 6 wird konjugiert berechnet. Statt { ) muss Ijy) genommen werden, i, worm z\ z 2 durch t l, t* ersetzt wird.) Nach Substitution dieser Ausdrucke in (2, 14) erhalten wir unter Benutzung der Bezeichnung (2, 12): - Ъ a, 8= 1 2 _ ( 4^f' f w{-y) 2 т-л-п (2, 18) 5.4 = A (z\ z 2, z\ z 2 ) A(t\ t 2, z\ z 1 ). (2, 19)

10 Ober geodatische Mannigfaltigkeiten einer Riemannschen Geometrie 575 [Bezfiglich ia vgl. (2, 12).] Da bei z k t k alle \A und 5Л gleich Null sind, so 1st unser Satz bewiesen. Bemerken wir, dass der Satz III richtig ist auch im ebenen Falle. Die zu (0, 1) analoge Metrik ist hier d* % = Tudz l dl\ Г:==^. (2, 20 Die zu (2, 13) analogen Kurven werden durch die Gleichung ilogmtf,?)^- (2 21 definiert. Die Funktionen K(z x, z l ) und M(z\ t l ) haben analoge Bedeutung. kann man fur die Krummung u 1 im Punkte z dieser Kurve leicht erhalten: Dann «' = m\f A Ш -.-il- 8 Ш1 (2, 22) Uls/ 2т п v ll; 2x lt p n V l 1/ J Aus dieser Formel ist zu ersehen, dass die Krummung der Kurven (2, 21) im Punkte z l = t l gleich Null ist. Diese Tatsache kann bei effektiver Durchfiihrung der konformen Abbildungen mehrfachzusammenhangender Gebiete benutzt werden: die Kurven (2, 21) approximieren in der Umgebimg des Punktes t 1 die geodatischen Linien der invarianten Metrik. Die Formel (2, 22) gibt den Fehler einer solchen Approximation. Im Fall einfachzusammenhangender Bereiche kann man einfachere Resultate erhalten (siehe 3). 3. Zusammenhang mit den Reprasentantenbereichen. Eine fundamental Aufgabe der Theorie der pseudokonformen Abbildungen ist die Aufstellung in der Klasse der Gebiete, die aufeinander durch beziiglich eines Punktes (tf 1, t 2 ) normierte Abbildungen (iberfiihrbar sind, besonderer «Reprasentantenbereiche». (Die Abbildungen von der Form wo die Punkte Glieder hoherer Ordnung in bezug auf (z l t l ), (z 2 1 % ) bedeuten, heissen normiert.) Ein derartiger Reprasentantenbereich muss eindeutig durch seine Klasse definiert sein. Fur jeden Bereich dieser Klasse muss ein Paar normierter analytischer Funktionen, die dieses Gebiet auf den Reprasentantenbereich abbilden, definiert sein. Solche Gebiete sind von S. Bergmann in einer Reihe von Arbeiten betrachtet worden. Ein derartiger Reprasentantenbereich fiir die Klasse der einfachzusammenhangenden Bereiche in der Ebene einer komplexen Veranderlichen, deren Grenze mehr als aus zwei Punkten besteht, ist der Kreis. Die Funktion w=f(z), die den Bereich in einen Kreis uberfahrt, kann durch L5sung einer bestimmten Minimalaufgabe definiert werden. Auch im Falle pseudokonformer Abbildung kann man die Losung einer Minimalaufgabe der Bestimmung der Funktionen zugrundelegen, welche den gegebenen Bereich auf den Reprasentantenbereich abbilden. Naturlich kann man statt der Einfuhrung der Reprasentantenbereiche auch reprasentative Koordinaten betrachten, die im ursprunglichen Bereich durch Funktionen definiert sind, die den gegebenen Bereich auf den Reprasentantenbereich abbilden.

11 576 В. Fuchs Die Benutzung von Reprasentantenbereichen erlaubt es, Einheit in das Studium einer Reihe von Fragen der Theorie pseudokonformer Abbildungen zu bringe.i, insbesondere in die Theorie der Abbildungen von Korpern, die eine Gruppe von pseudokonformen Abbildungen mit einem invarianten Punkte des Bereiches zulassen, u. a. Wir wollen nunmehr auf einen 2usammenhang zwischen der Theorie der Repraseniantenbereiche und der Metrik (0, 1) hinweisen. Die Abbildung eines gegebenen Bereiches 23 auf seinen Reprasentantenbereich C1> wird durch (mit dem Normierungspunkt (t, t 2 )) jx Kit 1, t\ t\ P) K' F (t\ t\ t\ r 2 ) K' F {*, t\ t\?) /c; (t\ t\?) K" t2t (t\ л,т tj } K»_ i(t i } t % 9 71, ^ K(z\ z\ Г\ fi) K~ (z\ z\ i\?) K~ (z\ z\ 1\?) K(z\ z\ t\?) у Tik Ъ log M (z l, z\ }\j*j Л,2 Л 7%, Л f2 Л /2, К(^ t\ t\ t 2 ) K T (t\ t\ t\ t A ) K~it\ t*, t\ t* K' t At\ t\ t\ f) K" tltl (t\ i\?, P) K" t4i it t\ t\ ) Kiz\ z\ 7\ Г*) K' 7 (Z\ Z\ ~t\?) K~iz\ z\ 7\ fl) 2 (z\ z\ t\ t*) (2, 23) -gegeben. Hier ist jx = -. Urn die rechtsstehenden Ausdrucke zu erhalten, werden K*D dh Elemente der dritten Zeile durch den Nenner dividiert, und zu weiteren Transformationen die Formeln (0, 2) und (1, 3) herangezogen. Die in (2, 23) auftretenden T mn, K, D sind fur den Punkt it 1, t 2 ) berechnet. Wir sehen, dass in den «reprusentatlven» Koordinaten и 1, и 2 die Gleichungen der Flachen (2, 4) die Form (2, 24) L Г 22 haben und somit linear sind. Da fur diese Flac 1 en im Punkte u l =0, u*~q, der dem Punkte (t l, t*) entspricht, fur jedes beliebi~ y =a /"zzo ist, so haben wir auf Grund von (1, 15) im Punkte л 1 =0, и.-_ 0 in reprasentativen Koordinaten: Ш=»(У-{а}->Ш -{,'i} = {.'.}- < 2 ' 25 ' Wie leicht zu ersehen ist, bleibt diese Eigenschaft audi bei beliebigen Koordinatentransformationen von der Form w l = a l ti-\-b l u, w 2 = au+b 2 u (2, 26) 10 Siehe Вз. Die Formeln fur den Obergang zum reprasentativen Gebiet sind hier der Abkurzung wegen unwesentlich modifiziert.

12 Ober geodatische Mannighltigkeiten einer Riemannschen Geometrie 577 erhalten. Demnach haben wir in der Transformation (2, 23) eine Art normaler analylischer Koordinaten. Bemerken wir, dass die Einfihrung Riemaanscher, fur den Punkt 1 2 {t, /) normaler, Koordinaten durch eine in allgemeinem nicht analytische Transformation geschieht. Satz IV. Die analytlschen Koordinaienfliichzn des beziiglizh elms Punktes M rep-asentativen Koordinateasy stems, de durch dbszn Punkt gehsn, slnd in diesem Punkte geodutisch. In dlesen Koordinaten gellen fur den Punkt M die Gleichungen {2, 25). Es sei bemerkt, dass die Bedingung (2, 25) in der invariants Form fc}+i (^+W =. Г. = ^ (2,27) aufgeschrieben werden kann. Hieraus folgt in Verbindun^ Verwendung von reprasentativen Koordinaten mit (1, 6), dass bei der gilt. ^=-7<W+W 3. Fall der Existenz eines vollen Systems von v. g. a. F. (2 ' 28) 1. Existenzfrage. Wir betrachten zunachst den Fall, dass ein «voiles» System v. g. a. F. existiert, mit anderen Worten den Fall, dass durch jeden Punkt und in der Richtung jeder analytischen Ebene eine v. g. a, F. gent. Nach Satz II mussen in diesem Falle die Fla:hen (2,4) vollstandi^ geodatiich sein, und folglich muss in alien Punkten einer solchen Flache Q = 0 gelten. Wir gehen vom Auslruck fur Q aus, der durch Formel (2,11) gegeben 1st, und z^riegei Q in eine Taylorsche Reihe in der Um^ebung des Punktes t 1, t 2 \z x, z l s * n d durch die Relation (1, 11) verbunden]. Dann mussen alle Glieder dieser Zerlegung fur beliebiges с verschwinden; somit ist + 1R\i?J'- R l n{f' - /? l nl) +/* (* Vi + *\fj - 2^ T - 2^12-J') - Hier sind die F*ormeln (1, 7) verwendrt worden. Alle Komponenten des Krummungstensors, /', /' sind im Purik'e (t\ t 2 ) berechaet. Da die Gleichung (3, 1) bei beliebigem с erfullt sein muss, so hat man /' und / ebenfalls sals willkurlich anzusehen, und) deshalb bekommen wir aus (3, 1) fol^ende Gleichungen ^nt = 0 ' 4 = - 2 * 2 m-*\it = 0-2^2 2-^1,-2= - (3 2) ^222Т- 2^Ш = 0 ' ^22l- 2^122 = 0 ' :^22-l =. ^222 = - ) Diese Gleichungen kann man auf invariante Form bringen. Hierzu muss man aus (3, 2) und den Gleichungen (1,9), die als Definition des Hermiteschen Tensors von Ricci dienen, alle /? v )ao- durch R^r ausdrucken. Die als Resultat elementarer Rechnungen "ЛЗ Математический сборник, т. 2 (44), N. 3.

13 578 В. Fuchs erhaltenen Relationen schreiben sich: Neben (3, 3) gilt naturlich auch die konjugi-rte Relation. Diese Relation druckt das Nullwerden der Komponenten des Hermiteschen Tensers von Weyl aus, der analog dem gew5hnlichen Tensor von Weyl in der Riemannschen Geometrie 11 eingefuhrt werden kann. Anstatt (3,3) kann man auch schreiben: #T^ = j (7\T*^+^V/? X -). (3,4) Wegen der Symmetrie von R-^- in bezug auf die Indizes V, w [siehe (1,8)] hat man) T,-R-4-T-R,- = T,-R~4-T -#,-. (3,5) Setzt man in (3,5) i=^jx, so hat man: D D AUD A V Die zu (3, 6) konjugierte Gleichung gibt, wegen des Hermiteschen Charakters der Tensoren Rjj und T^, Die Verbindung der Gleichungen (3, 6) und (3, 7) ergibt wegen der Willkiirlichkeit von X, w, > R(k Rfs Rp~S л /Q Q\ 1 Ik Hier ist p eine reelle Invariante. Setzt man dies in (3,4) ein, so hat man: i ls *ps R _ = P_ ( T T _ i 7* -71-). (3, 9) Nach Schouten und van Dantzig 12 druckt (3, 9) die Tatsache aus, dass die betrachtete Geometrie eine unitare Geometrie von konstanter Krummung ist und p == const. In der oben zitierten Arbeit gelangen Schouten und van Dantzig zu einer solchen Geometrie, indem sie von Massbestimmung Study's und Fubini's ausgehen. Weiter unten wird auf die Moglichkeit eines anderen Zugangs zu dieser Geometrie hingewiesen, und deswegen werden wir diese Geometrie als Geometrie von konstanter unitarer Krummung bezeichnen. In den Bedingungen (3,9), die den Bedingungen (3,2) Equivalent sind, haben wir nicht nur die notwendigen, sondern auch die hinreichenden Bedingungen fur die Existenz eines vollen Systems von v. g. a. F. Gemass unserer Forderung der Existenz eines vollen Systems von v. g. a. F ist (3,2) in alien Punkten des Raumes erfullt. Es ist leicht zu sehen, dass (3, 2) die Bedingungen dafur sind, dass die Ausdrucke {^J, 2{/ 2 } { }, ^{n}~ {n}' {n}analytisch(unabhangigvon 7,7) sind. In diesem Fall ist Ми} = А ( 2 {12}-{и})= Д ( 2 {12}-{и})= А {и}=» (3 ' 10) 11 Siehe, z. В., Eisenhart, Riemannian Geometry, S. 135, insbesondere Formel (40, 20). 12 Siehe S. Schouten und van Dantzig, Ober unitare Geometrie konstanter Krummung, Proc. Kon. Akad. van Wettenschappen te Amsterdam, 34, (1931). Fernerhin zitiert als S.-D II.

14 Ober geodatische Mannigfaltigkeiten einer Riemannschen Geometrie 579 wo ДЛ die in (2, 12) angegebene Bedeuttmg hat. Dann ist offenbar fur alle Flachen (2,4) Q = 0, und sie sind daher vollstandig geodatisch. Satz V. Damit ein voiles System v. g. a. F. in eimr Geometrie, die durch die Form (0, 1) definiert ist, existiert, ist notwendlg und hinreichend, dass diese Geometrie von konstanter anitarer Krilmmung sei. In diesem Falle sind alle Flachen (2, 4) vollstandig geodatisch. Bemerken wir, dass man die Bedingungen (3, 2) unmittelbar, als Bedingungen dafur, dass die Koeffizienten (1, 15) analytisch sind, erhalten kann. 2. Der Raum von konstanter unitarer Krilmmung. Die Bedingungen (3, 9) kann man auch auf anderem Wege erhalten und so zum Raum konstanter unitarer Krummung gelangen. Bekanntlich wird die gawohnliche Riemannsche Geometrie von konstanter Krummung durch diz Forderung bestimmt, dass die Riemannsche Krummung nach alien <zweidimensionalen Richtungen» in alien Punkten des Raumes konstant sei. Jetzt wollen wir zeigen, dass ma zu dem in Betracht genommenen Raume auf einem analogen Wege gelangen kann, indem man verlangt, dass die Riemannsche Кг ;mmung fur alle zweidimensionalen analytischen Richtungen (Ebenen), die durch jeden Punkt des Raumes gehen, konstant sei. Wir gehen von der allgemeinen Formel 13 aus, die die Riemannsche Krummung in derjenigen zweidimensionalen Richtung bestimmt, die in einem Punkte durch die Vektoren u\ v* festgelegt ist. Sie lautet: R^ 1. (3,11) 2 (Shijgik ghksij) uhvlujvk [Hier sind die Komponenten (1,7) des Krnmmungstensors eingesetzt; die Summation erstreckt sich auf die Indizes 1, 2, 1, 2.j Dieses R unterscheidet sich urn den Faktor -^ [vgl. die Bemerkung zur Formel (11,8)] von dem iiblich gebrauchten. Bekanntlich wird eine analytische zweidimensionale Richtung (Ebene) durch einen ihr zugehorigen Vektor bestimmt, beispielsweise и. Jeder andere zugehorige Vektor, beispielsweise v'% kann in der Form & = au\ Hr = - a IF, v = 1, 2 (3,12) geschrieben werden, wo a eine komplexe Zahl ist. Setzt man das in (3,11), so erhalten wir R = *LJ!i!!L-^.. (3,13) (S r *««*) Diese Grdsse werden wir als uniture Krummung des Raumes bezeichnen (a und a fallen bei der Rechnung heraus, die Summierung erstreckt sich auf die Indizes 1,2, wobei naturlich die uberstrichenen Indizes die Werte 1 und 2 annehmen). Die Forderung, dass R fur alle in Betracht kommenden Richtungen konstant sei, fuhrt zur Beziehung 13* Мнит- ^TH T jl) «Wu* = 0, (3, 14) 13 Siehe, z. В., Е i s e n h a r t, Riemannian Geometry, S. 81.

15 580 В. Fuchs die fur alle и gilt. Hieraus folgt, da die Indizes /, j symmetrisch auftreten: l 2 *Mifi-*T Tl TjS-*THFtT) й*й* = 0. (3, 15) Der in Klammern stehende Ausdruck ist in bezug auf die Indizes h, k symmetrisch, und setzen wir - 2 = (!-, so erhalten wir aus (3, 15) d. h. unser Raum besitzt konstante unmre Kriimmung. In 4 werden wir diesen Zugang zur Untersuchung eines Raumes von konstanter unitarer Kriimmung einer anderen Art heranziehen. Schouten und van Dantzig u haben gezeigt, dass man in dem hier betrachteten Raume von konstanter unitarer Kriimmung das Koordinatensystem so wahlen kann, dass in diesem System 15 K(z\z\ z\ s*j = (l 4-2 OLfj^Y' (3,16) wird. Hier sind an die Komponentan eines konstanten Hermiteschen Tensors, q eine Konstante. Wenn die Hermitasche Form H t a i ' l z' : z J definit negativ und irreduzibel ist, so erhalten wir die Kernfunktion fur die Hyperkugel 16. Durch die Variation der Konstante q Mndern sich die Langen proportional. In diesem Falle stolen die Flachen (2, 4) analytische Ebenen dar, wovon man sich durch Ausrechnen iiberzeugen kann. Eoenso kann man zeigen, dass in diesem Fall die Linien (2, 13) geodatische Linien des Raumes sind. Satz VI. Im Fall eines Raumes von konstanter uniturer Kriimmung sind die Linien (2, 13) geodatisch. Beweis. ZunEchit kann der Ausdruck fur den Kriimmungsvektor auf Grund von (3,10) und der konju^iarten Formel transformiart werden. In diesem Falle кбппеп и alle Д {//} durch Mil/ und M22} au sgedruckt werden (ebenso 8 M). Fuhrt man in (2,18) die entsprechande Substitution durch, so erhalt man als Resultat -»'* l»{.'.}+ *{»}] ") Hier bedeutet 3 [...] dan Koeffiztenhn bei i in [...]. Es genugt zu zeigen, dass > +&&]=<> 14 Siehe S.-D. II. 1 5 In der zitierten Arbeit zeigen Schouten und van Dantzig, dass man ds* die Form d& =^ M + ^-qbpz*? geben kann. Indes ist leicht zusehen, dass diese Gleichimg aus (3,16) auf Grund von (0,2) folgt. Hierbei kann in (3,16) noch ein Faktor e g{z \ Л + ^ Л auftreten. Jedoch hat er keinen Einfiuss auf die Form (0, l),aufdis Flachen (2, 4), die Kurven (2, 3) u. a.' м B lf S. 17. Bemerken wir, dass ftir die Hyperkugel # = l ist]

16 Ober geodatische Mannigfaltigkeiten einer Riemannschen Geometrie 581 Weiter kann man durch unmittelbare Ausrechnung feststellen, dassnach(l, 5) und (0, 2)ist vii/ }T lt ^12 [ 22 '21 D "bz 1 1 ' K*D ^00(0 ^0010 ^4)001 Л'моо ^oiio ^oiol 2000 Aon ^OtO 1П Аолт к. А 2001 (3,18) / 2^ т ът Г12 D 1 ^oooo ^ooto ^1000 ^1010 ^oooi ^1001 ^0)200 ^0210 ^0201 _o^log/c дг 2 Hier ist K - = mnpq ^ m + n + p + q j {^)^2y { y z y(b2 2 f' nur von * &^ Die ersten Gleichungen besagen, dass {ц> und < 2 2( abhmngen und bei Variation der Grosse q in (3,16) unverandert bleiben. Setzt man deshalb rechts in (3,18) <7 = 1 ein, so sieht man unmittelbar, dass die Determinanten verschwinden, und man erhalt ^h]z J j 2 \ * 0 Ъыг' (3, 19) 1+2 <,;* *< + s»/>y Die Gleichungen der Kurven (2, 13) haben in unserem Fall die Form 1 +2«J*V i+2«j^y (3, 20) Durch unmittelbare Ausrechnung uberzeugt man sich, dass lmngs dieser Kurven eine reelle Zahl ist. Hiermit ist unser Satz bewiesen. Fur den Fall einer komplexen Veranderlichen kann man auf gleiche Weise beweisen: ist ^,riii = / j 7 Ii 7 \r (/, = const) (3,21) (dies geschieht in der Geometrie, die im Falle eines einfachzusammenhmngenden Bereiches auftritt), so sind die Kurven (2,21) geodatische Linisn der Geometrie. Bemerkung. Dass die invariante Metrik (0, 1) innerhalb der Hyperkugel eine Geometrie von konstanter unit&rer Krummung ist, erweist sich als ganz naturlich, wenn man auf oben gezeigtem Weg an eine solche Gecmeirie herantritt. Man kann leicht zeigen, dass die Gruppe aller pseudokonformen AbJldungen, die die Hyperkugel in sich abbilden 17, jeden beliebigen Punkt innerhalb der Hyperkugel und eine zweidimensionale analytische Richtung in ihm in jeden andernjpiinkt der Hyperkugel und in jede bsliebige zweidimensional г Richtung in ihm uberfuhren kann. Deshalb muss die Riemannsche Krummung der invarianten Geometrie fur alle analytischen Richtungen und Punkte gleich sein. 17 Den Ausdruck fur die Transformation dieser Gruppe siehe, z. В., bei В e h n к e-t h u 11 e n, Theorie der Funktionen mehrerer komplexer Veranderlichen, Berlin, 1934, S

17 582 В. Fuchs 4. Fall, wo durch jeden Punkt oo l vollstandig geodatlsche ana^tische Flachen gehen, die durch analytische Drehung um dis Koordinatanebenen ineinander ubergehen Fragestellu ng. Wir betrachten im folgenden Raume (Bereiche), fur deren Linienelemente die Beziehung n. m:. л ds *=: 2 g ih dudu k = 2 g.kdudu*-(- ^ gtkdu'du* i, k = 1 i, k = l i,k = m~{~l gilt. Solche Raume (Bereiche) stellen ein topologisches Produkt von Raumen niedrigeren Dimension dar. In unserem Falle wird ein solcher Raum durch die Beziehungen d =ds\+ds\, (4, 1) d^t^d/dz* (4, 2) charakterisiert. Wir fordern, doss durch j2den Punkt P unseres Raurnes eine Schar von oo 1 v. g. a. F. hindurchgeht. (Man kann diese Forderung durch eine schwachere ersetzen, namlich, dass durch jeden Punkt zwei v. g. a. F. hindurchgehen; man kommt in diesem letzten Falle zu gleichem Ergebnis, wie in dem ersten.) 1. Bedingungen fur die Existenz einer Schar von v. g. a. F. angegebener Art. Da in unserem Falle ist, hangt Г и - nur von z l, z i, T 2 ~ nur von z 2, z 2 ab. Es verschwinden alle Ghristoffelsymbole, ausser kk und deren Konjugierten. Ebenso verschwinden samtliche Komponenten des Kriimmungstensors, ausser kkk sen wir d 2 1ncr 7V. bz k b? &*\n<j T.~ (4, 4) (4, 5) In den Geometrien, die durch die Linienelemente (4, 2) bestimmt sind, stellen -± - skalare Krummungen dar. ' Wir miissen wieder verlangen, dass auf den entsprechenden Flachen (2, 3) Q = 0 gilt. Indem wir Q [(2, 10) gemass] in eine Reihe entwickeln und das Glied erster Ordnung betrachten, gelangen wir anstatt (3, 1) zu: ikkk j 1 d»log7-«* " Г А* *A<? - ^ДЛЧ-/"/! 2 >-=<> (4,6) \dzv p ' U l/ Ъ 2}

18 Obex geodatische Mannigfaltigkeiten einer Riemannschen Geometrie 583 Daraus folgt: wo f =\/ г ае 1ф, UT< 22 (4, 7) (4, 8) ist; Ф tritt hierin als ein willkurlicher Parameter auf, Bei der Drehung k *k fob (4, 9) и e^u gehen die Richtungen der analytischen Flachen, die durch (4, 7) gegeben sind, ineinander uber. Damit fur die betrachteten Flachen aus der Schar (2, 3) ( =) =0 gilt, und damit \dz x ) p sie mil den Geodaten einen Beruhrungspunkt mindestens dritter Ordnung besitzen, genugt, dass die Bedingungen (4, 7) erfiilit sind. Wir miissen jetzt die Gleichung / _ ) =0 betrachten, wobei wir jetzt an Stelle von (2, 9) \(dz x f/p J J \2 2/ ^J \\ If jsetzeu miissen. Aus (4, 7) und (4, 8) erhalten wir: W / ' P L (^) 2, 2 2J dz 2 \2 2) {2 2}Jf _ в Ы_Х(Ч+-1р1 (41=0. (4, 10) Der Punkt P ist beliebig; wir werden im folgenden den Index P weglassen. Die Gleichung (4, 10) muss bei beliebigen Ф erfiilit sein. Indem man das freie Glied und den Koeffizienten bei е* ф gleich Null setzt, erhalt man: [-ШН,\}' Ы' *ШШ- <* " Unter Verwendung von (4, 4) erhalten wir aus der ersten Gleichung (4, 11) und ihr Konjugierten 1 log 'g ' T ll log ЪЧг 1 log = 0, :{). (4,12) Тй Das gleiche Resultat erhalten wir aus der zweiten Gleichung (4, 11). Unter Benutzung der Bezeichnungen von (4, 5) hat man /j = const, I 2 const. (4,13) Nun sehen wir, dass die Geometrien, die durch die Formen (4,2) definiert sind, Geometrien von konstanter unitarer Krummung sind (im Falle einer Veranderlichen besitzt die Geometrie von konstanter unitarer Krummung eine konstante Krummung im gew5hn-

19 584 В. Fuchs lichen Sinne). Wieder konnen spezielle Koordinaten eingefuhrt werden, in denen die: Formen (4,2) folgende Gestalt haben (a k kann man gleichztl setzen): (4, 14) bekommt man durch Integrieren von (4,5), die jetzt die Form von Liouvilleschen Gleichungen haben, deren Integration auf elementarem Wege geschehen kann. Die Gleichungen (4, 14) sind der Gleichung K(z\ z\ 7\ 7) = (1 + a,z l 7)* (1 + a 2 zv)" (4,15) equivalent. Die Gleichungen (2, 4) haben in diesem Fall die Form Z i t l 2 2 * 2 -fp = 0 [p = const]. (4,16) 1 + а х г 1^ l + a 2 * 2 Durch unmittelbare Rechnung kann man sich uberzeugen, dass fur und nur fur p = l die Flachen. (4, 16) vollstandig geodatisch sind. So kommen wir zu dem Satz VII. Dafiir y dass durch jeden Punkt des Beretches, der ein topologisches Produkt zweier Bereiche ist, oo l v. g. a. F. gehen, ist es nolwendig und hinreichend, dass die durch die Form (0, 1) in diesen Bereichen definlrten Geometrien konstante Kiummung haben. In diesem Falle konnen die Koordinaten so gewahlt werden, dass die erwahnten v. g. a. F. die Gleichungen л = -f. & _ ^0 (4,17) l+d!* 4 ** 1 + <X * 2 besitzen. Hier ist a k 3z 1. Es ist nicht schwer zu diesem Fall die geodatischen Linien der Geometrie zu bestimmen. Indessen werden wir uns hiermit nicht aufhalten. Ein Spezialfall einer solchen Geometrie ist die Geonfetrie, die innerhalb eines Bizylinders ausgehend von der Form (0, 1) is aufgestellt werden kann. 2. Der Raum von konstanter unitarer Kriimmung zweiter Art. Wie wir gesehen haben, sind die Bedingungen 7^=7^ = 0 hinreichend dafur, dass durch jeden Punkt des Bereiches in Richtungen, die durch eine Drehung (4, 1) ineinander ubergehen, oo i Flachen (2,4) hindurchgehen, die in diesem Punkte «geodatisch» bis auf unendlich kleine Gr6ssen dritter Crdnung sind. Eine solche Geometrie kann auch anders charakterisiert werden. Wir fordern zuerst, dass die Werte der Riemannschen Kriimmung (3, 13) in einem Punkte des Bereichs nach alien analytischen Richtungen, die durch eine Drehung (4, 9) ineinander ubergehen, r fibereinstimmen. Die Gesamtheit der Richtungen einer solchen Schar kann durch die diesen Richtungen geh5rigen Vektoren u k bestimmt werden, wo «* = av**,?=av /ft (4, 18) ist: a 1, a 2 sind reelle positive Zahlen. Das Verhaltnis - ist der die Schar dieser Richa 1 tungen bestimmende Parameter. is B 2, S. 14. a 1

20 Ober geodatische Mannigfaltigkeiten einer Riemannschen Geometrie 58fr Setzt man (4, 18) in (3, 13) ein, so sieht man, dass Hier ist /? = b) A = /? rn - f ( / + 4Л. Й (в*)' (*') '+ #2222 С) > J 2 /r, / J2 ^i = 2^4^im ( fl V 2 J + /?^(0 J ). i4 2 = /? 5ll5 (flv(av,.i 2/ 2V2 В = 7t f (a 1 ) (7- lf Г 22 + Г 12-7' 2i ) (a 1 ) 2 (a? + Г 22 (a 2 ) 4, } ^1 = 2a 1 a 2 (r il (av+r 22 (a? ), ft T 2 / A 2 /,* 2 2 J (4,19), (4,20), Man kann leicht zeigen, dass B^O ist. Daher fuhrt die Forderung, dass R von еиъ-ъ) unabhangig ist, zu den Bedingungen А г В - AB U = 0, A>B AB 2 = 0. (4, 21 > Ihrerseits mussen dann (4, 33) bei beliebigem erfullt sein, und sie zerfallen deshalb a" in eine Reihe von Relationen zwischen den Komponenten der Tensoren /?- - und T ntn ^ls Resultat der Analyse dieser Relationen kommen wir zu zwei M6glichkeiten: 1. Es muss die Bedingung (3,9) erfullt sein. Wir erhalhn einen Raum von konstanter unitarer Kriimmung. Unsere Forderung ist ersichtlich erfullt. 2. 7^=7^ = 0. Dies*er Fall ist von uns oben betrachtet worden. In diesem Falle unsere Geometrie ein topologhches Produkt zweier «ebenen» G^ometrien ist. Um daraus zum Falle ^der im Satze VII betrachte.ide.i Geometrie zu gelangen, mussen wir noch fordern, dass die skalare Kriimmung des Raumes ^T hk T lm R- hkl ~ (die in unsere m Falle gleich ^Ч-^ * s 0 Constant sel. Wir bezeichnen in r diesem Fal, unseren Raum als einen Raum von konstanter unitarer К г u m- mung zweiterart. Bemerken wir wnter, dass die Tatsache, dass die invariants Geometrie innerhalb eines Einheitsbizylinders sich als Geometrie von unitarer konstanter Kriimmung zweiter Art erweist, ganz naturli:h ist. Die Gesamtheit aller pseudokonforimn Abbildungen, die den Bizylinder in sich selbst abbild:n und einen seiner Punkte invariant lassen, fuhrt. auf (4,9). II. Teil 5. Einleitung zum II. Tell Im zweiten Teil untersuchen wir das Verhalten der geodatischen Mannigfaltigkeiten der betreffenden Geometrie am Rande des Bereiehes 95, und zwar werden wir betracht^n: 1) die Euklidische Kriimmung d?r im Punkte M geodatischen analytischen Flachen (2,4), 2) die unitare Kriimmung des Raumes im Punkte M. Die erste dieser Gr6ssen muss auf Grund von (1, 18) bestimmt werden, \/o f aus (2,10) entnommsn ist. Wenn wir /' = setzen, wo u x, u 2 die Komponenten eines l

21 -586 В. Fuchs Einheitsvektors sind 19, der die analytische Ebene bestimmt, und (1,5) und (0,2) heranziehen, so haben wir 5=l^{i}+.4p{i'.i -{S})+-:^({.'i}->{&}) ; (nih 1 ^oodo ^ooio ^ooot ^1000 Кто ^iooi ^"oioo %om ^oioi ^ 0000 ^0010 ^0001 " U 2 ^1000 ^1010 ^1001 u i ^oioo ^oiio ^oioi 0 Aoo A T6 A oi (5,1) A - = "l^ontn + 2a i U *! <nmn + 4 ^iflnm mn 33t. Die Riemannsche Kjummung des Raumes R in der zweidimensionalen analytischen Richtung, die durch den Vektor u 1, и г bestimmt ist, werden wir nach (3, 13) berechnen. Wir werden uns ferner auf die Methode der Vergleichskorper stutzen, die von S. Bergmann in die Theorie der Funktionen zweier komplexer Veranderlichen bei der Untersuchun-? des Verhaltens der K^rnfunktion am Rande des Bereiches 20 eing:fuhrt wurde. Das Verhalten der Kernfunktion am Rande des Bereiches 23 zwingt vor allem, Grenzpunkte zweiter und dritter Ordnung zu unterscheiden. Bei Annaherung an einen Punkt h-tzr Ordnung (es miisscn naturlich gewisse Voraussetzungen uber die Art der Annaherung gemacht werden) wird die Kernfunktion unendlich von der Ordnung h. Zu den Punkt :n dritter Ordnung gehoren die Punkte der Grenzenflachen, die die Eigenschaft der ausseren Pseudokonvexitat besitzen. Fur sie ist dar Ausdruck von Levy /,(Ф)<[0, wenn Ф<^0 den ausseren Teil der Umgebung eines Grenzpunktes (z. B. im Falle der Hyperkugel) bestimmt. Punkte zweiter Ordnung sind Punkte analytischer Randhyperflachen (z. B. im Falle des Bizylinders). Fur diese Hyperflachen ist (Ф) = 0, sie stellen das Resultat einer lamellaren Addition analytischer Flachen dar. Weiter ist es notw:ndig, dass gewisse «Bedingungen bezuglich der Regularitat der oben genannten Hyperflachen erfiillt sind. Die Grundidee der Methode der Vergleichskorper in Aufgaben, die unserer analog sind, besteht darin, dass die Gr5sse, deren Verhalten an dem Rande des Bereiches untersucht wird, als Kombination von L6sungen gewisser Minimalaufgaben bestimmt wird. Nunmehr wird der Korper 23 einer besonderen Transformation, die keinen Einfluss auf die Resultate hat, unterworfen. (Obergang zum kanonischen Ersetzkorper 33 *. Wir werden ihn aber fernerhin einfach 23 nennen.) Nachdem werden zwei Bereiche 3>, 21, ^ cz 23 cz 31, konstruiert. Wenn das Verhalten der genannten Grosse in der Nahe eines Randpunktes M untersucht wird, so miissen die Randhyperflachen dieser Bereiche durch den Punkt M hindurchgehen und in ihm eine mit der Grenzenhyperflache 23 gemeinsame Tangentialhyperebene haben. Falls M ein Punkt dritter Ordnung ist, so kann man fur 3» un( * 21 Gebiete wahlen, die durch pseudokonforme Abbildungen aus der Hyperkugel entstehen (wenn M ein Punkt zweiter Ordnung ist, aus einem Bizylinder). Ferner muss man fur 3 unc * 2t Minimalaufgaben 19 щ, u i untere Indizes stellen. 20 Siehe B x und B 2. sin d kontravariante Komponenten. Weiterhin werden wir auch bei Koordinaten

22 Ober geodatische Mannigfaltigkeiten einer Riemannschen Geometrie 587 betrachten, die denjenigen analog sind, aus deren Losungen sich die zu untersucfrende Grosse zusammenstellen lasst. Ihre Betrachtung eriaubt uns, diese Gr6sse in gewisse Grenzen einzuschliessen. Beim Grenziibergang von einem inneren Punkt zum Randpunkt verengern sich diese Grenzen und fiihren schliesslich zu dem gesuchten Ergebnis. Ausserdem ist die Benutzung des ebenfalls von S. Bergmann in der oben zitierten Arbeit eingefiihrten sogenannten normalen Koordinatensystems wesentlich: hier wird als Ebene ^ = 0 die analytische Ebene angenommen, die durch den Punkt M geht und vollstandig in der zur Randhyperflache des Gebietes Tangentialhyperebene liegt. Als Ebene 2r 2 0 wird die analytische Ebene angenommen, welche durch die Normale zur Randhyperflache gelegt ist. Fur die positive Richtung der л^-ахе wird die innere Normale gewahlt. Der Koordinatenanfangspunkt wird im Falle eines Punktes dritter Ordnung im Punkte M angenommen. Im Falle eines Punktes 2-ter Ordnung wird die lamellare Komponente der analytischen Randhyperflache, also die analytische Flache, zu der der Punkt M gehort, vorlaufig durch eine geeignete Transformation in einen Bereich einer analytischen Ebene verwandelt. S. Bergmann bezeichnet sie mit. Den Koordinatenanfangspunkt verlegt S. Bergmann in ir^endeinen inneren Punkt dieses Bereiches. Fur unsere Zwecke kann man ihn wiederum in den Punkt M legen. Fernerhin mussen einige einschrankende Annahmen fiber die Annaherungsart e&es inneren Punktes an den Punkt M gemacht werden. Im Falle der Randpunkte dritter Ordnung werden wir mit Bergmann die folgenden Voraussetzungen («Annaherung Л 1») machen: der innere Pu^kt P nahert sich dem Randpunkte M innerhalb eines Hyperkegels A a, der von den Strahlen gebildet ist, die mit der inneren Normale zum Rande 3? im Punkte M einen willkiirlichen, aber konstanten Winkel a (i<c^-) Punkten zweiter Ordnung bleibt der Punkt P in dem Hyperkegel ±fll<_l_ X 1 ^ CCS a (a<4) v ^ 2 7 bilden. Bei den Annaherung A v ). Wir konnen hier nicht in weitere Einzelheiten dieser Methode eingehen und mussen den Leser auf die schon genannten Arbeiten Bergmanns verweisen. Wir halten uns moglichst an seine Bezeichnungen und Benennungen. Als Resultat einer Betrachtung, die sich auf die genannte Methode stfitzt, gelingt es eine Schranke fur die Ordnung des Unendlichwerdens der Euklidischen Krummung von analytischen Flachen, die in gegebenem Punkte geodatisch sind, und die Limeswerte der unitaren Krummung des Raumes in diesem Punkte zu erhalten. Man erhalt verschiedene Ergebnisse fur Punkte zweiter und dritter Ordnung. 6. Das Verhalten der Grossen ~ und R am Rande Zunachst mussen wir die Grossen (5, 1) und (3, 13) als L5sungen von Minimalaufgaben eines bestimmten Typus darstellen. Unter Verwendung der fruher besprochenen Methode von S. Bergmann bestimmen wir den Minimalwert von \\к( г, Ъ iol gender Nebenbedingung: ^2) 2^со bei

23 588 В. Fuchs 2) h(z lt * 2 ) = 0, uj^l) +" 2 (^-) =1, \ d *l/ft, z% \<Wzi, z* 3) A(* It * 8 ) = 0, (- -) <9Х,, +^йк?<щ1.^ Й 2 Л 4) А (г,, * a ) r^ = 0, :U 1 si» ss si, 2 \ * / Si, Sa Die sich ergebenden Minimalwerte des Integrals seien mit W {k \ k=\, 2, 3, 4 r. bezeichnet. Ausgehend von einer allgemeinen Formel S. Bergmanns 21 kann man sie im der Form der sogenannten Jakobischen Reduzierten darstellen. Mit Hilfe der Gleichungen (0,2), (1,8) und (5,1) erhalten wir dann W (D_ KT, 11 + KT xl D w (2). #0000 #0000 K l# W 2 AToOOl "l # И 2#0100 U l U l # M 1 W 2 # И 2 М 1 # W 2 M 2 # W W = W M + W M ( )\ (6,1 (6,2) (6,3) I #0000 #0010 #0001 I #10бб #1010 #1001 I w (4) I #0100 #01Г6 #0101 I #0000 #0010 #0001 ^00 #1000 #1010 #1001 ^10 #0100 #0110 #0101 ^01 ^oo ^10 -^oi H 1 (6, 4> /C(2[- R- h kis + (TlkTis 4- T h T ks ) u- h u k u x u- s )) Hier ist H = #2020 u i u i + 2K 26il u i u i u 2 + #2002 u i u 2 + 2/С п - й и^а»! + 4ЛГ п1т и^ к 3 я "+ 2/^1102 K 1 M 2 W 2 + #0220 М 2 Й #02Й M 2 M 1 W 2 + #0202 U 2 U In den Formeln (6, 2), (6, 3) und (6, 4) muss man nach k, /г, /, 5 = 1, 2 summieren;: hieraus folgt: / db \2 W m W a) 1 W {i) /R (-4 u> -/? [1^(2)]2 K 21 Siehe 1, (1,4), (1,17) und S. Bergmann, Zur Theorie der Hnearen Integrale und Funktionalgleichungen im komplexen Gebiet [Mitteilungen des Forschungsinstituts I. Math, und Mech. in Tomsk, 1, (1936)].

24 Ober geodatische Mannigfaltigkeiten einer Riemannschen Geometrie 589 Jetzt кбппеп wir zu der Aufstellung der Limesrelationen ubergehen. Wir betrachten zunachst den Fall eines Randpunktes dritter Ordnung. Durch die Abbildungen 22 1 l+«iv 2 l+(ai + M»i kann der innere Vergleichskorper 3> aus der Hyperkugel (6,6) <erhalten werden. Der Mussere Vergleichsk5rper 31 entsteht aus der Hyperkugel durch uie Abbildung a i I a i 1 + ", '<-V a» 2 *, =,-*-, g^^-hfe-'»)^. (6,7) 1 1 a x v a.,^ a k, $ k sind genugend grosse Konstanten, und es ist а 2 <Сз<Со г, wo a der Wert des Levyschen Ausdrucks fur die Randhyperflache von 93 im Anfangspunkt der Normalkoordinaten ist. Da die W^ ) L6sungen von Minimalaufgaben sind, so ist v <> _1_ < L 1 ** J *Ь * L^s J #k (Der untere Index bei l^w weist, auf welchen Кбгрег sich das betreffende WW bezieht.) Bei der Berechnung von W ' muss man in Betracht Ziehen, dass die Geometrie im Vergleichskorper gemass (0, 1) eine Geometrie von konstanter unitarer Krummung mit dem Wert /? = 1 ist, da die Vergleichskorper aus der Hyparkugel durch pseudokonforme Abbildungen erhalten werden. Deshalb ist fur die Korper 3> un & Sl : i F ( 4 ) - ^. (6, 10) -r-\ ist es am bequemsten, unmittelbar von der Formel (1, 18) auszugeh^n. Die Ghichung der v. g. a. F. fur den Кбгрег kann man durch die Transformation (6, 7) aus der Gleichung erhalten. (Sie gibt die v. g. a. F. fur diese Hyperkugel an, die durch den Punkt P(v ^(^1» v v v \) 2 ) gehen.) Nach Berechnung von f p mttssen A und В in (1, 18) aus der Oleichung f p =^ "1 ersetzt werden. 22 Siehe B u S und B 2, S

25 590 В. Fuchs Zieht man ferner in Betracht, dass и г und u 2 die Komponenten des Einheitsvektors sind, so erhalt man den endgiiltigen Ausdruck fur ( j. Grossen, die gleichmassig gegen Null streben, wenn der Punkt P sich dem Punkt M nahert, wefden wir unterschiedslos mit A bezeichnen. Dann erhalten wir u)«=2 i^-^bxu i + A)- (6, il) Unter Heranziehung der Resultats von Bergmann 28 erhalten wir nach (6, 11), (6, 2) und (6, 10): ^lag.'^ + g!) W?: 8, r?ju 1 \ i (z 1 +z 1 ) i (1+Л), (6, 12) 6c, 6 of wf = 6o, 27c;., (1+Л),(6, 13) (6, 14) IF 2) (6, 15) 2o, г. 2 ( г1 + ^) 3 (1+Л). (6, 16) Wenn der untere Index bei W ( fehlt, und die im Ausdruck auftretenden Parameter das Zeichen / besitzen, so verstehen wir bei /=1 W^h> >=W (^ und bei 1 = 2 Bei Benutzung dieser Formel Ziehen wir in Betracht, dass o, o ( beliebig klein gemacht werden kann, und zeigen ausgehend von (6, 8), dass з db lini(«,-}-2r 1 ) 2^- = 0. (6, 17) In der Formel (6, 9) hat die rechte und linke Seite die F*orm -^-(1 -\-A). Daher finden wir, dass lim7? = 1 (6, 18) ist. Bemerken wir, dass fur die Richtung u x = 0 eine besondere Betrachtung notig ist. In diesem Falle verschwinden einige Glieder der Ausdrucke (6, 11), (6, 10), und andere (als in allgemeinem Falle) Glieder haben die grosste Wachstumsordnung. Indessen kann man als Resultat von Rechnungen, auf die wir nicht weiter eingehen, zeigen, dass die Limesrelation (6, 18) auch in diesem Falle besteht, und dass kein Grund vorhanden 3 ist, den Exponenten -к in der Relation (6, 17) abzuandern. So erhalten wir folgenden Satz VIII. Bei einer Annaherung A 1 eines inneren Punktes P an einen Randpunkt M dritter Ordnung strebt die unitare Kriimmung der Geometrie (0, 1) zu 1. Die Ordnung des moglichen Unendlichwerdens der Euklidischen Kriimmung von analytischen Fluchen (2, 4), die im Punkte P geodatisch sind, wird durch die Formel (6, 17) eingeschrankt. 23 Siehc B 2, S. 99.