Übungen zu Ingenieurmathematik I

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1 Ostbayerische Technische Hochschule Regensburg Fakultät Informatik / Mathematik Prof. Dr. M. Leitz WS 013/14 Blatt 3 / II Übungen zu Ingenieurmathematik I (Bachelor-Studiengänge: Mikrosystemtechnik / Sensorik und Analytik) Themengebiet: Geometrische Anwendungen der Integralrechnung (Bogenlängen, Flächeninhalte, Rauminhalte); Anwendungen der Integralrechnung in Physik und Technik [T] Aufgabe 1

2 a) Zeigen Sie, dass sich die Bogenlänge L einer Ellipse mit der großen Halbachse a und der numerischen Exzentrität e gemäß der Formel p / L = 4 a ò 1-e cos jdj 0 berechnen lässt. Hinweis: Verwenden Sie die Parameterdarstellung für die Ellipse x = a cos j, y = b sin j, mit b = a (1 -e ). b) Für den HALLEYschen Kometen entnimmt man dem Taschenbuch der Astronomie die Daten a = 744 Millionen km und e= (Der Sonnennächste Punkt der Umlaufbahn ist ca. 88 Millionen km von der Sonne entfernt und wurde am durchlaufen; der Sonnenfernste Punkt der Umlaufbahn ist ca Millionen km von der Sonne entfernt und wird im Jahre 03 durchlaufen werden.) Zu bestimmen ist die Wegstrecke, die der Komet bei einem Bahnumlauf zurücklegt. Hinweis: Verwenden Sie die Integralformel aus a). Benutzen Sie dabei zur konkreten numerischen Berechnung die Simpson-Regel mit 5 Teilintervallen der Schrittweite Dj = p /10. [Ü,T] Aufgabe In der Ebene sind die beiden Punkte A = (- 1,) und B = (1,) gegeben, die durch drei verschiedene Kurven mit den nachstehenden Funktionsgleichungen verbunden sind. y = y( 1 x) =, y = y ( x) = x + 1, y = y 3( x) = c cosh( x/ c) ( c = ). Lässt man jede dieser Kurven um die x-achse rotieren, so entstehen Rotationsflächen mit den Mantelflächeninhalten M1, M, M 3.

3 Rotationsmantelfläche von y = y( x) = 1 Rotationsmantelfläche von y = y ( x) = x + 1 Rotationsmantelfläche von y = y ( x) = c cosh( x/ c) 3 ( c = ) [Ü] a) Ordnen Sie gefühlsmäßig die drei Mantelflächeninhalte M1, M und M 3 der Größe nach an. [Ü] b) (i) Bestimmen Sie die Mantelfläche M 1. [Ü] (ii) Bestimmen Sie die Mantelfläche M. [T] (iii) Bestimmen Sie die Mantelfläche M 3. [Ü] Aufgabe 3 Gesucht sind die Schwerpunktskoordinaten x S und y S einer ebenen homogenen Fläche, die von der Kurve y y( x) der x-achse und den Geraden x x1 und x x berandet wird. a) Suchen Sie in einer Formelsammlung oder in einem geeigneten Lehrbuch die Formeln zur Bestimmung von x S und von x S heraus. b) b a Bestimmen Sie die Schwerpunktskoordinaten einer homogenen Viertelellipsenfläche mit den Halbachsenlängen a und b. Welches Ergebnis erhält man für den Sonderfall einer Viertelkreisfläche vom Radius r? 3

4 [Ü,T] Aufgabe 4 (Das Problem der BRACHISTOCHRONE) Erst mal fast zwei Seiten Historie. Aufgabentext folgt danach. In der in Leipzig erschienenen Zeitschrift Acta Eruditorum (gegründet 168) veröffentlichte im Juni 1696 JOHANN BERNOULLI ( ), zu dieser Zeit Professor der Mathematik und Medizin in Groningen (seit Oktober 1695) eine Einladung zur Lösung eines neuen Problems. "Wenn in einer verticalen Ebene zwei Punkte A und B gegeben sind, soll man dem beweglichen Punkte M eine Bahn AMB anweisen, auf welcher er von A ausgehend vermöge seiner eigenen Schwere in kürzester Zeit nach B gelangt.'' JOHANN BERNOULLI Auf welcher Bahn geht s am schnellsten von A nach B? FH Regensburg (Exponat der Ausstellung Mathematik zum Anfassen [Februar 00]) Im Anschluss an die Aufgabenstellung schrieb er weiter: "Damit Liebhaber solcher Dinge Lust bekommen sich an die Lösung dieses Problems zu wagen, mögen sie wissen, dass es nicht, wie es scheinen könnte, blosse Speculation ist und keinen praktischen Nutzen hat. Vielmehr erweist es sich sogar, was man kaum glauben sollte, auch für andere Wissenszweige, als die Mechanik, sehr nützlich. Um einem voreiligen Urtheile entgegenzutreten, möge noch bemerkt werden, dass die gerade Linie AB zwar die kürzeste zwischen A und B ist, jedoch nicht in kürzester Zeit durchlaufen wird. Wohl aber ist die Curve AMB eine den Geometern sehr bekannte; die ich angeben werde, wenn sie nach Verlauf dieses Jahres kein anderer genannt hat.'' Im Januar 1697 wiederholt JOHANN BERNOULLI seine Aufgabenstellung in Groningen in einer Ankündigung, die mit folgenden Worten beginnt: "Die scharfsinnigsten Mathematiker des ganzen Erdkreises grüsst Johann Bernoulli, öffentlicher Professor der Mathematik. Da die Erfahrung zeigt, dass edle Geister zur Arbeit an der Vermehrung des Wissens durch nichts mehr angetrieben werden, als wenn man ihnen schwierige und zugleich nützliche Aufgaben vorlegt, durch deren Lösung sie einen berühmten Namen erlangen und sich bei der Nachwelt ein ewiges Denkmal setzen, so hoffte ich den Dank der mathematischen Welt zu verdienen, wenn ich den ausgezeichnetsten Analysten dieser Zeit eine Aufgabe vorlegte, damit sie daran, wie an einem Prüfsteine, die Güte ihrer Methoden beurtheilen, ihre Kräfte erproben und, wenn sie etwas fänden, mir mittheilen könnten; dann würde einem jeden öffentlich sein verdientes Lob von mir zu Theil geworden sein.'' Dann wiederholt er, in etwas abgeänderter Form, die Aufgabenstellung. "Zwei gegebene Punkte, welche verschiedenen Abstand vom Erdboden haben und nicht senkrecht übereinander liegen, sollen durch eine Curve verbunden werden, auf welcher ein beweglicher Körper vom oberen Punkte ausgehend vermöge seiner eigenen Schwere in kürzester Zeit zum unteren Punkte gelangt." Damit keine Zweifel aufkommen, fügt er noch erläuternde Bemerkungen hinzu: "Der Sinn der Aufgabe ist der: unter den unendlich vielen Curven, welche die beiden Punkte verbinden, soll diejenige ausgewählt werden, längs welcher, wenn sie durch eine entsprechend gekrümmte sehr dünne Röhre ersetzt wird, ein hineingelegtes und freigelassenes Kügelchen seinen Weg von einem zum anderen Punkte in kürzester Zeit durchmisst.'' 4

5 An diese Ergänzungen schließt sich ein vollmundiger Appell an die Geometer an, daß sie sich der Herausforderung dieser Aufgabe stellen sollen. "Da nunmehr keine Unklarheit übrig bleibt, bitten wir alle Geometer dieser Zeit insgesammt inständig, dass sie sich fertig machen, dass sie daran gehen, dass sie alles in Bewegung setzen, was sie in dem letzten Schlupfwinkel ihrer Methoden verborgen halten. Wer es vermag, reisse den Preis an sich, den wir dem Löser bereit gestellt haben. Freilich ist dieser nicht von Gold oder Silber, denn das reizt nur niedrige und käufliche Seelen, von denen wir nichts löbliches, nichts nützliches für die Wissenschaft erwarten. Vielmehr, da Tugend sich selbst der schönste Lohn ist und Ruhm ein gewaltiger Stachel, bieten wir als Preis, wie er einem edlen Manne zukommt, Ehre, Lob und Beifall, durch die wir den Scharfsinn dieses grossen Apollo öffentlich und privatim, in Schrift und Wort, preisen, rühmen und feiern werden. Wenn aber das Osterfest vorübergegangen ist und Niemand unsere Aufgabe gelöst hat, dann werden wir unsere Lösung der Welt nicht vorenthalten, dann wird der unvergleichliche Leibniz seine und unsere Lösung, die wir ihm schon längst anvertraut haben, sofort, wie ich hoffe, ans Licht gelangen lassen.'' Diesem zweiten Aufruf zur Lösung der Aufgabe war nun eine größere Resonanz beschieden. Im Maiheft des Jahres 1697 der Acta Eruditorum wurde die Lösung JOHANN BERNOULLIs publiziert, ebenso diejenige seines älteren Bruders JACOB BERNOULLI ( ). LEIBNIZ selbst fügte noch eine kurze Note an, in der er u.a. erklärte, daß auch er eine Lösung gefunden habe, die aber denen der Brüder BERNOULLI ähnlich war und daher keiner Veröffentlichung bedarf. Das Maiheft der Acta Eruditorum enthielt ferner noch Lösungen des MARQUIS DE L'HOPITAL ( ) und des EHRENFRIED WALTER VON TSCHIRNHAUS ( ). JACOB BERNOULLI GUILLAUME FRANÇOIS ANTOINE MARQUIS DE L'HÔPITAL GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ EHRENFRIED WALTER VON TSCHIRNHAUS Hier beginnt Ihre Aufgabe. Eine Perle (mit Loch) soll an einem reibungsfreiem Draht, der die Form der gegebenen Kurve y y( x) hat, vom Punkt A ( x0, y0) zum Punkt B ( x1, y1) gleiten. Die Anfangsgeschwindigkeit in A sei v0 0. Die dazu benötigte Zeit T berechnet sich gemäß der Integralformel x1 1 1 y ( x) () T dx. g x y 0 0 y( x) Betrachtet werden im Weiteren die drei nachstehenden Kurven 5

6 y y( x) 1x y ŷ( x) (1 x) x x( ) r ( sin ), y y( ) 1 r (1cos ), 0 1 r , welche die Punkte A ( x0, y0) (0,1) und B ( x1, y1) (1,0) verbinden. [T] a) (i) Welche der oben genannten Kurven ist am kürzesten und welche am längsten? (Beantwortung ohne Rechnung nach Gefühl erbeten) (ii) Längs welcher der drei oben genannten Kurven kommt die Perle in der kürzesten Zeit im Punkt B an und bei welcher der oben genannten Kurven dauert dieses am längsten? (Beantworten Sie diese Frage spekulativ ohne Rechnung nach Ihrem physikalisch-technischen Gefühl.) [Ü] b) (i) Bestimmen Sie die Bogenlänge s der Kurve y y( x) (0 x 1). (ii) Bestimmen Sie die Bogenlänge ŝ der Kurve y ŷ( x) (0 x 1). (iii) Bestimmen Sie die Bogenlänge s der Kurve (x( ),y( )) ( 0 1). [Ü] [T] c) Berechnen Sie die Laufzeit T, wenn die Perle längs der blauen Kurve y gleitet unter Heranziehung der Integralformel ( ). d) Bestimmt werden soll die Laufzeit T ˆ, wenn die Perle längs der blauen Kurve ŷ gleitet unter Heranziehung der Integralformel ( ). Es ist also x1 (+) ˆ 1 1 y ˆ ( x) T dx g x y 0 0 ŷ( x) mit x0 0, x1 1, y0 1. (i) Schreiben Sie das Integral zur Berechnung von T ˆ möglichst detailliert hin und überzeugen Sie sich davon, dass Sie hier auch bei Einsatz umfangreicher Tabellenwerke das bestimmte Integral nicht ohne weiteres via eine durch gängige Funktionen darstellbare Stammfunktion der Integrandenfunktion bestimmen können. (ii) Es bezeichne f( x): (1 y ˆ( x) )/( y0 y( ˆ x)) den Integranden in (+). Überzeugen Sie sich davon, dass hier lim f( x) ist. Demnach liegt in (+) ein so genanntes x0, x0 uneigentliches Integral vor und deshalb können die Ihnen bekannten Verfahren zur näherungsweisen numerischen Integration nicht direkt angewendet werden. (Warum nicht?) 6

7 (iii) Das in (ii) dargelegte Problem soll nun behoben werden. Transformiere hierzu das in (+) auftretende Integral vermöge der Substitution x 1cos [cos1 x] in ein anderes bestimmtes Integral, welches den gleichen Wert liefern muss, und bestimme sodann einen geeigneten Näherungswert dieses Integrals numerisch. [T] e) (i) Entwickle eine der Integralformel ( ) entsprechende Formel, welche auch für A ( x0, y0) und B ( x1, y1) verbindende Kurven, die in Parameterdarstellung x x( u), y y( u ( u0 u u1) gegeben sind, die richtige Laufzeit T wiedergibt. (ii) Berechnen Sie die Laufzeit T, wenn die Perle längs der roten Kurve x x( ) r ( sin ), y y( ) 1 r (1cos ) mit 0 1 ( r , 0 0, ) gleitet. [Ü] f) Bestimmen Sie für alle drei genannten Kurven jeweils die durchschnittliche Geschwindigkeit v, ˆv und v. [Ü] [Ü] g) Offensichtlich gibt es neben den bisher drei betrachteten Kurven noch viele andere (sogar unendlich viele) Kurven, welche die Punkte A ( x0, y0) (0,1) und B ( x1, y1) (1,0) verbinden und es wäre somit durchaus denkbar, dass es noch günstigere Kurven als die bisher betrachteten mit noch geringerer Laufzeit gibt. (Genau das war die seinerzeitige schwierige Problemstellung von JOHANN BERNOULLI, nämlich unter allen denkbaren Verbindungskurven diejenige herauszufinden, welche die absolut geringste Laufzeit produziert und zwar mit vollkommener stichhaltiger Begründung.) Recherchieren Sie [z.b. Internet [Google], Bibliothek], ob es in dem beschriebenen Sinn noch günstigere Verbindungskurven mit noch geringerer Laufzeit als die bisher in dieser Aufgabe diskutierten [siehe Aufgabenteile b), c) und d-ii)] geben kann. h) Studieren Sie die historische Einführung zu dieser Aufgabe. Was ist Ihre Meinung zu dem besonders kenntlich gemachte Textauszug (rosafarben)? Teilen Sie die diesbezüglichen Ansichten JOHANN BERNOULLIs auch in der heutigen noch oder sind diese Ansichten altmodisch oder gar verschroben? Diskutieren Sie mit StudienkollegInnen darüber. 7

8 [Ü] Aufgabe 5 Bei der Kompression einer abgeschlossenen Gasmenge vom Anfangsvolumen V 1 auf das Endvolumen V mit V V1 muss eine Volumenänderungsarbeit gemäß der Formel V V1 W1, p( V)dV p( V)dV. V1 V aufgewendet werden. Stets bezeichne R die universelle (molare) Gaskonstante und n die Teilchenmenge in mol. ROBERT BOYLE ( ) EDME MARIOTTE (ca ) JOHANNES DIDERIK VAN DER WAALS ( ) a) Bestimmen Sie die Volumenänderungsarbeit für ein ideales Gas bei isothermer Zustandsänderung ( T const.) unter Verwendung des Gesetzes von BOYLE MARIOTTE p V nr T. b) Bestimmen Sie die Volumenänderungsarbeit für ein reales Gas bei isothermer Zustandsänderung ( T const.) unter Verwendung der Zustandsgleichung von VAN DER WAALS. n a ( p ) ( V nb) nr T. V Dabei sind a und b gasspezifische Konstanten. c) Bestimmen Sie die Volumenänderungsarbeit für ein ideales Gas bei isentroper Zustandsänderung (kein Wärmeaustausch mit der Umgebung während der Kompression) unter Verwendung der Isentropengleichung. p V p V 1 1 Dabei ist 1 eine gasspezifische Konstante, der so genannte Isentropenexponent. 8

9 [Ü] Aufgabe 6 JAMES CLERK MAXWELL ( ) JAMES CLERK MAXWELL ( ) MAXWELL-BOLTZMANN- Verteilung Für ein Gas lautet die MAXWELLsche Geschwindigkeitsdichtefunktion mv 3 m f( v) 4 v ( ) e kt ( v 0) k T Dabei ist k die BOLTZMANN-Konstante, m die Molekülmasse (Masse eines Gasmoleküls) und T die absolute Temperatur des Gases. Die mittlere Geschwindigkeit v der Gasmoleküle berechnet sich gemäß v v f( v)dv. 0 Bestimmen Sie allgemein diese mittlere Geschwindigkeit v. Hinweis: Substituieren Sie mv x. kt [T] : Aufgabe für das Tutorium [Ü] : Übungsaufgabe zur selbständigen Bearbeitung [zusammen mit StudienkollegInnen] 9