door 2.gps) Dateien des Tabellenkalkulationsprogramms: Schulhofrennen1.xls (playground race 1_Final_DE.xls), Einzaeunen1.xls (fencing 1_Final_DE.xls),

Transkript

1 : Einleitung Computer und Grafiktaschenrechner können beim Modellieren als gutes Hilfsmittel eingesetzt werden. Schon seit vielen Jahren wird von vielen anerkannt, dass Taschenrechner unabdingbar sind, besonders wenn mit realen Daten gearbeitet wird. Auch andere Neue Medien sind bei der Bearbeitung vieler Aufgaben ebenso wichtig: Im Berufsleben arbeiten beispielsweise viele Angestellte mit Computern mit bestimmter Software. In diesem Untermodul haben die Teilnehmer die Gelegenheit herauszufinden, wie Software wie zum Beispiel Tabellenkalkulationsprogramme, Funktionsplotter und dynamische Geometriesysteme in vielen verschiedenen Situationen verwendet werden können. Im besten Fall stehen den Teilnehmern einige Computer (vielleicht einer pro Gruppe) mit geeigneter Software sowie einige Grafiktaschenrechner zur Verfügung. Materialien für die Teilnehmer Seiten für das Lehrertagebuch zu diesem Untermodul (Lessons_Using Technology_Teacher Diary_Final_DE.doc) Zu Beginn des Untermoduls werden die Teilnehmer gebeten, ihren aktuellen Einsatz von Neuen Medien im Mathematikunterricht zu überdenken, über ihre möglicherweise nötigen Weiterbildungsmaßnahmen diesbezüglich nachzudenken und zu überlegen, wie ihre Schüler beim Modellieren unterstützen können. Nachdem die Lehrer bei der Bearbeitung von ausgewählten Modellierungsaufgaben über einige dieser Punkte nachgedacht und vielleicht auch selbst verwendet haben, sollen sie sich darauf konzentrieren, wie auch ihre Schüler Computer und Grafiktaschenrechner beim Modellieren als Hilfsmittel einsetzen können. Händigen Sie die Seiten für das Lehrertagebuch zu Beginn des Untermoduls aus. Material U.4.1, U.4.2, U.4.3, U.4.4 (Aufgaben) (Lessons_Using Technology_Resources_Final_DE.doc) Materialien, die Sie benötigen PowerPoint-Präsentation: _.ppt (Lessons_Technology_Powerpoint_Final_DE.ppt) Dateien des dynamischen Geometriesystems: Schulhofrennen 1 (playground race 1.gps), Schulhofrennen 2 (playground race 2.gps), Schulhofrennen 3 (playground race 3.gps), Einzaeunen 1 (fencing 1.gps), Einzaeunen 2 (fencing 2.gps), Garagentor 1 (garage door 1.gps), Garagentor 2 (garage UNTERRICHT Seite 1

2 door 2.gps) Dateien des Tabellenkalkulationsprogramms: Schulhofrennen1.xls (playground race 1_Final_DE.xls), Einzaeunen1.xls (fencing 1_Final_DE.xls), Einzaeunen2.xls (fencing 2_Final_DE.xls), Abkuehlen.xls (cooling_final_de.xls) Einführung in das Untermodul Dauer ca. 2 Stunden Modellieren Aufgaben Diagnose Reflexion Neue Medien In diesem Untermodul wird besprochen, wie (der Einsatz von Computern und Grafiktaschenrechnern) mathematisches Modellieren verbessern kann und den Schülern die Gelegenheit gibt, Mathematik einschließlich Modellieren zu lernen und auch zu erfahren, wie mathematische Software verwendet werden kann. Ziele In diesem Untermodul werden Sie darüber nachdenken, wie Computerprogramme oder spezielle Taschenrechner als Hilfsmittel eingesetzt werden können, um mathematisches Modellieren zu unterstützen. 3 UNTERRICHT Seite 2

3 Ergebnisse Sie werden darüber nachdenken, wie Ihre Schüler folgende Software verwenden können, um mathematisches Modellieren zu unterstützen: Funktionsplotter Tabellenkalkulationsprogramme Dynamische Geometriesysteme Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, im Mathematikunterricht einzusetzen. Wir beschränken uns hier auf einige ausgewählte Programme. 4 Lehrertagebuch Verwenden Sie Ihr Lehrertagebuch, um aufzuzeigen, wie Sie derzeit im Computer verwenden. darüber nachzudenken, wie Ihre Schüler Ihrer Meinung nach beim mathematischen Modellieren den Computer nutzen können. um mögliche Fortbildungen zu nennen, die Sie vielleicht benötigen, um im einzusetzen. 5 Entgegen bisherigen Abläufen beginnen wir dieses Untermodul damit, dass sich die Lehrer ein paar Minuten Gedanken darüber machen, wie sie derzeit Neue Medien im einsetzen und wie man ihrer Meinung nach Computer und spezielle Taschenrechner im und für Modellierungsstunden einsetzen kann. Vielleicht möchten Sie den Teilnehmern hier auch die Gelegenheit geben, zu zweit, in kleinen Gruppen oder im Plenum darüber zu diskutieren. als Hilfsmittel Auf dieser Folie finden Sie Vorschläge, wie beim Modellieren hilfreich sein können Hauptmöglichkeiten, beim Modellieren als Hilfsmittel einzusetzen: Schnell viele Situationen erkunden (zum Beispiel Wiederholungsschritte ausführen, viele Anordnungen von räumlichen Situationen anschauen). Herausfinden, wie Funktionen verwendet werden können, um Daten zu modellieren. Parameter einer Situation variieren (Annahmen ändern, auf der ein Modell basiert). 6 vielleicht wäre es gut, am Ende des Untermoduls noch einmal zu dieser Folie zurückzukommen, da die Teilnehmer dann schon die Gelegenheit hatten, Computer und Grafiktaschenrechner zu verwenden und damit selbst ein paar Modellierungsaufgaben zu bearbeiten. UNTERRICHT Seite 3

4 Hauptaktivitäten des Untermoduls Vier Modellierungsaufgaben Sie können dieses Untermodul auf viele verschiedene Arten aufbauen, je nachdem welche Hilfsmittel Ihnen zur Verfügung stehen. Rennen Garagentor Einzäunen Abkühlender Tee 7 Im Idealfall haben Sie einige Computer und Grafiktaschenrechner, die die Teilnehmer verwenden können. Dies ist jedoch nicht unbedingt notwendig. Selbst ohne diese können die Teilnehmer eine Aufgabe bearbeiten und herausfinden, wo und wie der Einsatz von Neuen Medien hilfreich gewesen wäre: Sie können dies dann vielleicht anhand der Ihnen zur Verfügung stehenden Dateien aufzeigen. Auf dieser Folie sehen Sie Hinweise zu vier Modellierungsaufgaben Sie finden sie in Material U.4.1, U.4.2, U.4.3 und U.4.4. Jede Lehrergruppe könnte zum Beispiel eines davon bearbeiten. Im Idealfall stehen Ihnen Computer mit einem Tabellenkalkulationsprogramm, einem dynamischen Geometriesystem und möglicherweise auch einem Funktionsplotter zur Verfügung. Sie können den Teilnehmern auch einige Grafiktaschenrechner geben. Bevor die Gruppen beginnen die Aufgaben zu bearbeiten, sollten Sie die Einzelheiten zu den Übungen auf der nächsten Folie besprechen. UNTERRICHT Seite 4

5 Übung 1 Wenn Sie möchten, kann auch die gesamte Gruppe gemeinsam an nur einer der Aufgaben arbeiten. Bearbeiten Sie eine der folgenden Modellierungsaufgaben: Überlegen Sie sich dabei, wie Schülergruppen verschiedenen Alters und mit verschiedenen die Aufgabe bearbeiten würden (jüngere Schüler würden vielleicht zum Beispiel einen algebraischen Ansatz meiden und eher mehrere Berechnungen durchführen). Denken Sie darüber nach, wie Ihre Schüler bei der Bearbeitung der Aufgabe den Computer verwenden können. Wenn möglich, nutzen Sie selbst Computersoftware. 8 Vier Modellierungsaufgaben Rennen Einzäunen Jede Gruppe soll ein Poster mit ihrer Lösung der Aufgabe erstellen und diese zusammen mit ihren Ideen zum Einsatz von Computern und Taschenrechnern vortragen. Diese Poster können auch dazu verwendet werden, um Diskussionen anzuregen. Garagentor Abkühlender Tee 9 Wenn Sie möchten, können Sie die restliche PowerPoint Präsentation verwenden, um weitere Ideen vorzustellen. Jedes Bild ist auch ein Link zum entsprechenden Teil der Präsentation am Ende jeder Aufgaben-Sequenz können Sie durch Anklicken von Pfeilen wie diesen wieder zu der Folie mit den Aufgabenbeispielen zurückgehen. Sie benötigen Material U.4.1, U.4.2, U.4.3 und U.4.4. Um gleich zur Plenumsdiskussion am Ende des Untermoduls zu gelangen, klicken Sie auf diesen Pfeil: UNTERRICHT Seite 5

6 Rennen Auf einem Schulhof stehen zwei Bäume ein kleiner und ein großer. Außerdem gibt es einen geradlinigen Zaun. Eine Gruppe von Schülern organisiert ein Rennen: Jeder Schüler muss am kleinen Baum beginnen, dann den Zaun berühren und danach zum großen Baum rennen, womit das Rennen abgeschlossen wird. Wo sollten die Schüler den Zaun am besten berühren? Dies ist eine veränderte Version einer Aufgabe, die die Teilnehmer eventuell schon in einem vorherigen Untermodul kennengelernt haben. Die Aufgabe wurde für dieses Untermodul geändert, damit es etwas einfacher ist, es mit einem dynamischen Geometriesystems zu bearbeiten. 10 Untersuchen Sie zuerst eine einfache, wenn nicht sogar die einfachste Lösung. Annahmen vereinfachen: Beide Bäume stehen auf einer geraden Line parallel zum Zaun. Die Schüler laufen in dem Gelände gleich schnell (wir benötigen also die kürzeste Strecke, die die Schüler laufen). Die Schüler brauchen keine zusätzliche Zeit, um den Zaun zu berühren und die Laufrichtung zu ändern...? 11 Eine Möglichkeit die Aufgabe anzugehen ist zum Beispiel, die Situation oft aufzuzeichnen und die Strecke zu messen, die die Schüler rennen. Die Zeichnung sollte maßstabsgetreu sein. 12 Alternativ kann der Computer oder der Taschenrechner verwendet werden, um die Situation mehrere Male zu untersuchen. Ein dynamisches Geometriesystem kann wie auf dieser Folie aufgezeigt eingesetzt werden (Datei: Schulhofrennen 1). Wenn man den Punkt auf dem Zaun entlang zieht, werden die Strecken gemessen und man kann so herausfinden, wann die Gesamtstrecke am kürzesten ist. UNTERRICHT Seite 6

7 Mit einem dynamischen Geometriesystem kann schnell aufzeigt werden, wie die eine Variable die andere bedingt. Der Abstand zwischen dem Punkt, an dem die Schüler den Zaun berühren und dem Punkt auf dem Zaun, der dem Anfangsbaum gegenüber liegt, wurde mit x bezeichnet und die Gesamtstrecke des Rennes mit y. 13 Hiermit ist vielleicht eine Lösung für die vereinfachte Situation möglich. (Datei: Schulhofrennen 2) Mit einem dynamischen Geometriesystem können auch Tabellen mit Daten erstellt werden. (Datei: Schulhofrennen 3) 14 Die in einer Tabelle gesammelten Daten können dann in ein Tabellenkalkulationsprogramm übertragen werden, wo sie zusätzlich grafisch dargestellt werden können (Datei: Schulhofrennen 1.xls). An diesem Punkt kann man auch überlegen, wie fortgeschrittene Schüler diese Aufgabe mit dem Satz des Pythagoras lösen würden. 15 Vielleicht können die Schüler auch die Funktion finden, die zu den Angaben passt, indem sie die räumliche Situation anschauen. UNTERRICHT Seite 7

8 Modellbildung. Denken Sie zum Beispiel darüber nach, dass die Bäume nicht im gleichen Abstand zum Zaun stehen. die Schüler die Streckenabschnitte unterschiedlich schnell bewältigen (zum Beispiel rennen Sie zweimal so schnell zum Zaun hin wie vom Zaun weg)..? Problem in der realen Welt Reale Lösung Mathematisches Problem Mathematische Lösung 16 Die Lehrer sollten hier nun überlegen, wie einige der am Anfang zur Vereinfachung gemachten Annahmen nun verändert werden können. Hier zeigt sich, dass ein dynamisches Geometriesystem ein wertvolles Hilfsmittel ist, mit dem viel ausprobiert und erkundet werden kann. Wenn Sie auf den Pfeil klicken, kommen Sie wieder zur Folie mit den Aufgabenbeispielen zurück. Einzäunen Du hast 10 Meter Zaun und sollst damit ein Auslaufgehege für deine Kaninchen einzäunen. Die beiden Wände einer Ecke deines Gartens sollen dabei zwei Seiten des Auslaufs bilden. Wie muss das Gehege angeordnet sein, damit deine Kaninchen die größte Fläche zum Laufen haben? 17 Bearbeiten Sie zuerst die einfachste Situation. Annahmen vereinfachen: Die Wände sind sehr lang. Die Wände stehen im rechten Winken zueinander. Die Seiten des Zauns sind parallel zu den Wänden das Auslaufgehege der Kaninchen wird somit rechteckig...? 18 UNTERRICHT Seite 8

9 Eine Herangehensweise an die Aufgabe ist, die Situation ein paar Mal zu zeichnen, sodass die Schüler ein Gefühl dafür bekommen, um was es geht. Die Ergebnisse können dann in einer Tabelle zusammengeführt werden und ein Schaubild erstellt werden (dies kann mit einem Tabellenkalkulationsprogramm mehrmals wiederholt werden). 19 Alternativ kann die Situation mit einem dynamischen Geometriesystem mehrere Male untersucht werden. Eine mögliche Konstruktion des Geheges ist auf dieser Folie zu sehen (Datei: Einzaeunen 1). Wenn an Punkt P gezogen wird, variiert die Länge des Zauns und der Flächeninhalt des Geheges wird automatisch berechnet. So kann man erkennen, wann der maximale Flächeninhalt erricht ist. Mit einem dynamischen Geometriesystem kann schnell tabellarisch dargestellt werden, wie sich der Flächeninhalt verändert, wenn man eine Seitenlänge variiert. (Datei: Einzaeunen 2) 20 UNTERRICHT Seite 9

10 Diese Werte können dann in ein Tabellenkalkulationsprogramm übertragen und einfach grafisch dargestellt werden, so dass man eine Lösung zu dieser vereinfachten Situation erhält. (Datei: Einzaeunen 1.xls) 21 Alternativ könnte man ein Tabellenkalkulationsprogramm verwenden was zu einem algebraischen Ansatz führen kann Länge Alternativ kann für diese Modellierungsaufgabe von Anfang an ein Tabellenkalkulationsprogramm verwendet werden dies ist auch eine gute Möglichkeit, algebraisches Denken zu schulen Breite 22 Auf dieser Folie wird gezeigt, wie die Schüler vielleicht erst eine Formel entwickeln, die die Länge der beiden Seiten zu der Gesamtlänge des zur Verfügung stehenden Zaunes in Beziehung setzt. (Datei: Einzaeunen 2.xls) Länge Auf dieser Folie sehen Sie, wie mit dem Tabellenkalkulationsprogramm zusätzlich der Flächeninhalt des Geheges berechnet werden kann. Breite 23 UNTERRICHT Seite 10

11 30 Flächeninhalt Schließlich kann auch noch ein Funktionsgraph gezeichnet werden, der den Flächeninhalt in Bezug zu einer Seitenlänge setzt Länge Breite Modellbildung. Denken Sie zum Beispiel darüber nach, dass es nur eine Wand gibt. die Wände nicht im rechten Winkel zueinander stehen..? Problem in der realen Welt Reale Lösung Mathematisches Problem Mathematische Lösung Die Lehrer sollten hier nun überlegen, wie einige der am Anfang zur Vereinfachung gemachten Annahmen nun verändert werden können. Wenn Sie auf den Pfeil klicken, kommen Sie wieder zur Folie mit den Aufgabenbeispielen zurück. 25 Garagentor Wie nah kann man vor einer Garage mit Schwenktor parken? Dies ist besonders für Architekten wichtig, wenn sie ein Haus entwerfen und dabei Platz sparen müssen! 26 UNTERRICHT Seite 11

12 Garagentor Wie funktionieren Garagentore? Schwenkstange Als erstes muss der Mechanismus des Garagentors verstanden werden. Vielleicht sollten die Schüler versuchen, eine Seitenansicht der Situation zu skizzieren. Fixierter Punkt, der nach oben oder unten fährt 27 Dafür müssen sie einige Annamen über die verwendeten Längen machen und ihre Zeichnung einem Maßstab anpassen. Die meisten Garagentore sind 2 Meter hoch. Schülergruppen können mehrere Diagramme erstellen, in denen das Tor in verschiedenen Positionen zu sehen ist. Mit einem dynamischen Geometriesystem kann man die verschiedenen Positionen mit nur einer Skizze untersuchen. (Datei: Garagentor 1) 28 Die Animationsmöglichkeit in Kombination mit der Markierung der Bewegung zeigt auf einen Blick den Platz, der benötigt wird, wenn das Tor geöffnet oder geschlossen wird. Diese Lösung hängt natürlich auch von der Höhe der Stoßstange des Autos ab. 29 Je nach Alter der Schüler kann diese Aufgabe auch mit Gleichungen (mit Parametern) bearbeitet werden. (Datei: Garagentor 2) UNTERRICHT Seite 12

13 Modellbildung. Berücksichtigen Sie zum Beispiel verschiedene Positionen der Schwenkstange. verschiedene Längen des Garagentor..? Problem in der realen Welt Reale Lösung Mathematisches Problem Mathematische Lösung Die Lehrer sollten hier überlegen, wie einige der am Anfang zur Vereinfachung gemachten Annahmen nun verändert werden können. Wenn Sie auf den Pfeil klicken, kommen Sie wieder zur Folie mit den Aufgabenbeispielen zurück. 30 Abkühlender Tee Wie kannst du ein mathematisches Modell für die sinkende Temperatur einer Tasse Tee darstellen? Kann man dieses Modell auch auf andere Situationen übertragen? Können es zum Beispiel Gerichtsmediziner verwenden, um anhand der Temperatur einer Leiche zu berechnen, wann der Mord stattfand? 31 Zeit Temperatur (Minuten) (Grad Celsius) Diese Folie enthält reale Messwerte vielleicht würden die Teilnehmer aber auch eigene Werte sammeln. Grafiktaschenrechner eignen sich gut dafür, wenn ein automatischer Messwerterfasser und ein Temperaturmesser zur Verfügung stehen UNTERRICHT Seite 13

14 Hier sehen Sie wie die Werte in einen Grafiktaschenrechner eingegeben und dann das Schaubild erstellt wurde. 33 Die Schüler können auch überlegen, ob sie die Werte mit einer Funktion modellieren können. Natürlich haben die meisten Schüler keine Erfahrungen mit Exponentialfunktionen, aber auch lineare Funktionen können verwendet werden, um Teile der Werte zu modellieren. Reichen die Werte wohl, wenn man das Abkühlen über einen relativ kurzen Zeitraum betrachtet? Alternativ kann man auch einen iterativen Prozess betrachten, bei dem in jedem Zeitintervall die Temperatur um den gleichen Anteil verringert wird. Weisen Sie die Teilnehmer auf die Screenshots auf dieser Folie hin, die zeigen, wie man solch einen iterativen Prozess sehr schnell durchführen kann. 34 Modellbildung. In diesem Fall wäre es nützlich, um über folgende Aspekte nachzudenken: Die Validität des Modells, Untersuchungen mit anderen Flüssigkeiten, die abkühlen..? Problem in der realen Welt Reale Lösung Mathematisches Problem Mathematische Lösung 35 UNTERRICHT Seite 14

15 Plenumsdiskussion Ziele In diesem Untermodul werden Sie darüber nachdenken, wie Computerprogramme oder spezielle Taschenrechner als Hilfsmittel eingesetzt werden können, um mathematisches Modellieren zu unterstützen. Mit Verweis auf die Zielsetzungen des Untermoduls können Sie die Teilnehmer noch einmal darauf hinweisen, dass Sie nur ein paar der vielen Möglichkeiten ansprechen konnten, mit denen Neue Medien als Hilfsmittel mathematisches Modellieren unterstützen kann. 36 Ergebnisse Sie werden darüber nachdenken, wie Ihre Schüler folgende Software verwenden können, um mathematisches Modellieren zu unterstützen: Funktionsplotter Tabellenkalkulationsprogramme Dynamische Geometriesysteme Auf dieser Folie werden noch mal drei wichtige Programme genannt, die sich für die Durchführung solcher Übungen eignen. Auf der nächsten Folie werden einige Möglichkeiten genannt, in welcher Weise hilfreich sein können. 37 als Hilfsmittel Hauptmöglichkeiten, beim Modellieren als Hilfsmittel einzusetzen: Schnell viele Situationen erkunden (zum Beispiel Wiederholungsschritte ausführen, viele Anordnungen von räumlichen Situationen anschauen). Herausfinden, wie Funktionen verwendet werden können, um Daten zu modellieren. Parameter einer Situation variieren (Annahmen ändern, auf der ein Modell basiert). 38 UNTERRICHT Seite 15

16 Lehrertagebuch Verwenden Sie Ihr Lehrertagebuch, um darüber nachzudenken, was Sie in diesem Untermodul gelernt haben. Vorgehensweisen festzuhalten, die Sie nun verwenden können, um sstunden zu entwerfen, in denen Ihre Schüler als Hilfsmittel für mathematisches Modellieren nutzen. Weisen Sie die Teilnehmer daraufhin, ihre Lehrertagebücher zu verwenden, um festzuhalten, wie sie sicherstellen möchten, dass ihre Schüler beim mathematischen Modellieren einsetzen können. 39 UNTERRICHT Seite 16