9 Spannungen im Schüttgut

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1 9 Spannungen im Schüttgut Die Kenntnis der in einem Schüttgut auftretenden Spannungen ist vor allem hinsichtlich der Lagerung in Silos im Zusammenhang mit den folgenden Themen von Interesse: Verfahrenstechnische Siloauslegung (z.b. Auslegungsverfahren nach Jenike) Lastannahmen für die Silostatik (z.b. DIN 1055 Teil 6 [9.1,9.2]) Belastung von Austraggeräten und Einbauten Begrenzung der auf ein Schüttgut wirkenden Spannungen (z.b. zum Vermeiden von Produktzerstörung) Anpassen der Spannungen bei Fließfähigkeitsmessungen an die Verhältnisse in der betreffenden Anwendung. Daneben besteht die Möglichkeit, Spannungen auch für andere Anwendungen zu berechnen, z.b. für das Verdichten von Schüttgut in Matrizen oder für das Verschieben von Schüttgutpfropfen. In diesem Kapitel werden nach einer grundsätzlichen Betrachtung der Spannungsverhältnisse in Schüttgütern Ansätze zur Berechnung und wichtige Einflüsse auf die Spannungen erläutert. 9.1 Spannungsverhältnisse bei der Lagerung in Silos Horizontallastverhältnis Schon im Abschnitt 2.3 wurde gezeigt, dass im Schüttgut in unterschiedlichen Richtungen unterschiedliche Spannungen wirken können. Der Fall der einachsigen Verdichtung, der z.b. im Schaft eines Silos vorliegt, ist in idealisierter Form in Abb. 9.1.a anhand eines Schüttgutelementes in einem mit Schüttgut gefüllten Zylinder gezeigt. Der Zylinder habe reibungsfreie und ideal steife Wände. In vertikaler Richtung wirkt auf das Schüttgutelement die Vertikalspannung σ z = σ v. Aufgrund dieser Vertikalspannung stellt sich in der horizontalen Richtung die Horizontalspannung σ x = σ h ein. Zur Beschreibung des Verhältnisses der Spannungen σ v und σ h zueinander

2 258 9 Spannungen im Schüttgut benutzt man das aus der Bodenmechanik bekannte Horizontallastverhältnis λ, das international und in der neuen Silonorm [9.2] auch mit K (stress ratio) bezeichnet wird. Um auf den hier betrachteten Sonderfall der reibungsfreien Wand hinzuweisen, erhält das Horizontallastverhältnis den Index 0 : σ h λ 0 = K0 = (9.1) σv Abb Schüttgutelement umgeben von reibungsfreien Wänden; a. vertikal verdichtet; b. horizontal verdichtet Grundsätzlich stellt sich das Verhältnis λ aber immer ein, wenn ein Schüttgut einachsig verdichtet wird, also in einer Richtung zusammengedrückt wird, während in der Richtung senkrecht zur Beanspruchungsrichtung keine Verformung erfolgt. Die Spannung quer zur Beanspruchungsrichtung erhält man dann jeweils durch Multiplikation der aufgegebenen Spannung mit dem Horizontallastverhältnis λ. Es gilt also für die in Abb. 9.1.b gezeigte horizontale Verdichtung (reibungsfreie Wände; Spannungen σ x und σ z sind Hauptspannungen; Schwerkraft vernachlässigt): σ z λ 0 = K0 = (9.2) σ x Das Schüttgut wird hier als Kontinuum betrachtet, was bereits im Kap. 2 erläutert wurde. Betrachtet man unterschiedlich geneigte Schnitte durch ein Schüttgutelement, so zeigt sich, dass dort auch unterschiedliche Schubund Normalspannungen wirken. Hierauf deutet ja schon Abb. 9.1 hin, die zeigt, dass die Spannungen in einem Schüttgut in unterschiedlichen Richtungen unterschiedlich sind. Die Spannungen in unterschiedlichen Schnitten repräsentiert der Mohrsche Spannungskreis (Abb. 9.2). Es gibt jeweils eine Richtung, in der die dort wirkende Normalspannung am größten ist. Diese größte Normalspannung wird als größte Hauptspannung σ 1 bezeich-

3 9.1 Spannungsverhältnisse bei der Lagerung in Silos 259 net. Genau senkrecht zu σ 1 wirkt im Schüttgut die kleinste der in den unterschiedlichen Schnitten wirkenden Normalspannungen (kleinste Hauptspannung σ 2 ; Erläuterung des Mohrschen Spannungskreises s. Kap ). Abb Mohrscher Spannungskreis (obere Hälfte) für einachsige Verdichtung Die Hauptspannungen wirken im Schüttgut in den Hauptspannungsebenen. Dort sind die Schubspannungen τ gleich Null (Schnittpunkte mit σ-achse, Abb. 9.2). Auch in Abb. 9.1.a sind die betrachteten Spannungen Hauptspannungen, d.h. die aufgebrachte Spannung σ v ist gleich σ 1, und die aus der Belastung resultierende Spannung σ h ist gleich σ 2. Das Horizontallastverhältnis λ 0 in Gl.(9.1) ist also das Verhältnis der kleinsten zur größten Hauptspannung. Das Horizontallastverhältnis wird in der Silotechnik zur Beschreibung des Verhältnisses der Wandnormalspannung zur mittleren Vertikalspannung im Siloschaft verwendet. Da das Schüttgut im Siloschaft aufgrund der Schwerkraft vertikal zusammengedrückt wird, während die Dehnung in horizontaler Richtung behindert ist, liegt eine Verformung wie in Abb. 9.1.a vor. Allerdings sind die Wände des Silos nicht reibungsfrei. Daher sind Vertikal- und Horizontalspannung in der Symmetrieachse des Siloschaftes zwar Hauptspannungen, an der Silowand jedoch nicht. Je nach Wandreibung ergeben sich dadurch Werte für das Horizontallastverhältnis λ bzw. K, die sich etwas von λ 0 bzw. K 0 unterscheiden [9.3,9.4]. Die Größe des Horizontallastverhältnisses ist für jedes Schüttgut unterschiedlich. Während ein ideal steifer, nicht elastischer Festkörper ein Horizontallastverhältnis von Null hat und ein ruhendes Newtonsches Fluid eines von 1, liegen übliche Werte für ruhende Schüttgüter (z.b. im Silo) dazwischen, und zwar meistens im Bereich von 0,3 bis 0,6 [9.3,9.4], selten auch außerhalb dieser Grenzen. Es muss erwähnt werden, dass diese Aussagen für ein Schüttgut gelten, das aus dem lockeren Zustand heraus nur in einer Richtung verdichtet wurde. Verdichtet man ein Schüttgutelement z.b. zunächst in z-richtung, dann in x-richtung, wird man beim zweiten Verdichtungsschritt nicht das gleiche Verhältnis zwischen σ z und σ x erhalten, das sich ohne den ersten Schritt ergeben hätte. Die Ursache ist, dass sich die Partikel bei einer Ver-

4 260 9 Spannungen im Schüttgut formung des Schüttgutes in besonderer Weise anordnen. Diese Anordnung bleibt je nach folgender Verformung mehr oder weniger erhalten und beeinflusst somit die Spannungsverhältnisse (Kap ). Messungen zum Verformungsverhalten und Möglichkeiten zur Beschreibung des Verhaltens findet man in [9.5,9.6] Spannungsverläufe Abb Qualitative Verläufe von Druck bzw. Spannung in Behältern Wie bei der Festkörperreibung allgemein gegeben, kann auch ein Schüttgut (im Gegensatz zu einer Newtonschen Flüssigkeit) in Ruhe Schubspannungen übertragen. Während der Druck in einem Flüssigkeitsbehälter linear mit der Tiefe ansteigt (Abb. 9.3), nimmt in einem Schüttgutbehälter die vom Schüttgut auf die Behälterwand ausgeübte Schubspannung also die Reibung an der Behälterwand einen Teil des Gewichtes der Schüttgutsäule auf, so dass die Spannung nach unten hin immer weniger ansteigt. Ein Silo besteht in der Regel aus einem Vertikalteil und einem Trichter. Die Verhältnisse im Trichter sind etwas komplizierter. Wird ein leerer Silo gefüllt, ergibt sich ein Spannungsverlauf wie in Abb. 9.4.a [9.7]. Wandnormalspannung σ w und mittlere Vertikalspannung σ v steigen im Siloschaft nach unten hin an, um schließlich einem Endwert zuzustreben. Das Verhältnis von Wandnormalspannung und mittlerer Vertikalspannung ist gleich dem Horizontallastverhältnis λ (Kap. 9.1). Die Richtung der größten Hauptspannung wird durch die Hauptspannungstrajektorien in Abb. 9.4 qualitativ angegeben. Die größte Hauptspannung σ 1 weist in Abb. 9.4.a in die vertikale Richtung. Dies nennt man einen aktiven Spannungszustand. Zu den Wänden des Vertikalteils hin weicht die Richtung der größten Hauptspannung zunehmend von der vertikalen Richtung ab, denn wegen

5 9.1 Spannungsverhältnisse bei der Lagerung in Silos 261 der Wandreibung und der damit verbundenen Wandschubspannung können die Vertikalspannung und die Wandnormalspannung keine Hauptspannungen sein (s. Kap ). Entsprechend richten sich auch Hauptspannungen an der Trichterwand weder parallel noch senkrecht zur Wandoberfläche aus. Abb Qualitative Verläufe der Normalspannung auf die Silowand σ w und der mittleren Vertikalspannung σ v (gestrichelt, nur in den Abb. a und c) über der Silohöhe; in den Silos sind die angenommenen Trajektorien der größten Hauptspannung σ 1 eingezeichnet; tote Zonen sind schraffiert [9.7,9.8]. Am Übergang zum Trichter liegt eine Unstetigkeitsstelle vor. Im Trichter nehmen beide Spannungen zur gedachten Trichterspritze wieder auf Null ab, wobei sie je nach der Vertikalspannung am Übergang vom Schaft zum Trichter, der Geometrie und den Schüttguteigenschaften nach unten hin zunächst steigen und dann wieder sinken, oder kontinuierlich sinken kön-

6 262 9 Spannungen im Schüttgut nen; die in Abb. 9.4.a eingezeichneten Kurven sind als mögliche Verläufe zu betrachten. Generell sind die Spannungen in vertikaler Richtung größer als in horizontaler Richtung. In der Trichterachse ist die größte Hauptspannung vertikal, also herrscht wie im Schaft ein aktiver Spannungszustand. Für die Spannungsverhältnisse im Trichter nach dem Füllen ist auch die Bezeichnung Füllzustand üblich. Bei beginnendem Schüttgutabzug kommt in einem Massenflusssilo das gesamte Schüttgut in Bewegung. Das Fließen des Schüttgutes durch den konvergenten Trichter führt dazu, dass das Schüttgut in horizontaler Richtung zusammengedrückt wird, während es in vertikaler Richtung durch das Fließen nach unten entlastet wird. Daher wirken nun die größeren Spannungen in die horizontale Richtung (größte Hauptspannung in der Trichterachse horizontal). Dies bezeichnet man als passiven Spannungszustand oder Entleerungszustand. In Abb. 9.4.b, die die Verhältnisse unmittelbar nach dem Entleerungsbeginn zeigt, liegt der passive Spannungszustand erst im unteren Teil des Trichters vor, in Abb. 9.4.c (etwas später als Abb. 9.4.b) ist er voll ausgebildet. Hier sinken die Spannungen im Trichter nach unten hin stark ab und sind im unteren Trichterbereich nahezu proportional zum Abstand zur gedachten Trichterspitze. Man nennt dies das radiale Spannungsfeld. Die Spannungen in Nähe der Auslauföffnung sind im Entleerungszustand (bei hinreichender Höhe des Trichters) unabhängig von der Spannung, die am oberen Ende des Trichters wirkt, und damit auch unabhängig von der Größe des Silos. Die Hauptspannungstrajektorien im Trichter haben im Entleerungszustand die Form von Gewölben oder Brücken (Abb. 9.4.c), daher spricht man in diesem Zusammenhang von der Bildung von Spannungsgewölben (dies sind keine Gewölbe im Sinne der Brückenbildung, die zu Auslaufschwierigkeiten führen). Auch der Übergang vom aktiven zum passiven Spannungsfeld am Übergang von Schaft zum Trichter findet entlang einer gekrümmten Fläche statt. Die Verformung des Schüttgutes beim Fließen im Trichter entspricht näherungsweise dem stationären Fließen (Fließen unter konstanten Spannungen und konstanter Schüttgutdichte, also Verdichtung in einer Richtung und Ausdehnung in der dazu senkrechten Richtung) und kann nicht mit dem Horizontallastverhältnis λ für einachsige Verdichtung beschrieben werden. Abbildung 9.5 zeigt einen beispielhaften Spannungskreis für stationäres Fließen neben dem bereits betrachteten Spannungskreis für einachsige Verdichtung. Man sieht, dass sich beim stationären Fließen bei gleicher größter Hauptspannung σ 1 eine kleinere kleinste Hauptspannung σ 2 als bei einachsiger Verdichtung einstellt (Weiteres zum Einfluss der Verformung auf die Spannungen s. Kap. 5.1). Das Verhältnis der kleinsten zur

7 9.1 Spannungsverhältnisse bei der Lagerung in Silos 263 größten Hauptspannung in der Trichterachse ist also ähnlich wie beim stationären Fließen. σ 2 1 sinϕe = (9.3) σ1 1 + sinϕe Im Schaft des Silos bleibt auch beim Entleeren der aktive Spannungszustand erhalten, sofern dort keine örtlichen Konvergenzen (Querschnittsverengungen durch Einbauten, Beulen, etc.) vorhanden sind. Den Übergang vom aktiven zum passiven Spannungsfeld (im Massenflusssilo stets am Übergang Schaft/Trichter) bezeichnet man als Switch. Dort entsteht eine lokale Spannungsspitze im Verlauf der Wandnormalspannung (engl.: switch stress peak). Bei einer Unterbrechung des Schüttgutabzuges bleibt im Trichter das passive Spannungsfeld erhalten. Abb Mohrsche Spannungskreise für stationäres Fließen und einachsige Verdichtung Wenn ein zuvor leerer Silo gefüllt und anschließend das erste Mal Schüttgut abgezogen wird, entwickelt sich aus dem Füllzustand (Abb. 9.4.a) heraus vom Auslauf her der Entleerungszustand, indem der Bereich des Switch und der Spannungsspitze nach oben wandern (Abb. 9.4.b) und schließlich am Übergang vom Schaft zum Trichter verharren (Abb. 9.4.c). Es muss also eine gewisse Menge Schüttgut (abhängig von den Schüttguteigenschaften und den Trichterabmessungen) abgezogen werden, bevor sich der Entleerungszustand (passiver Spannungszustand) im gesamten Trichter einstellt. Die Ursachen hierfür sind, dass sich das Schüttgut beim Fließen etwas ausdehnt, damit sich die Partikeln übereinander hinweg bewegen können, und dass sich die Spannungen im unteren Trichterbereich beim Übergang zum Entleerungszustand verringern, was zur Abnahme der Schüttgutdichte führt. In einem Kernflusssilo fließt das Schüttgut in einer Fließzone, die von den toten Zonen umgeben ist, nach unten. Trifft die tote Zone wie in Abb. 9.4.d im Bereich des Siloschaftes auf die Wand, bildet sich ebenfalls auf-

8 264 9 Spannungen im Schüttgut grund des einsetzenden konvergenten Schüttgutflusses eine Spannungsspitze aus. Die große Wandnormalspannung an der Trichterwand des Kernflusssilos resultiert aus der sehr geringen Wandneigung. Die Spannungsspitze ist bei der festigkeitsmäßigen Auslegung des Silos zu berücksichtigen [9.1]. Bei Kernfluss ist dieses aber schwieriger als bei Massenfluss, denn die Spannungsspitze liegt zum einen im empfindlicheren Siloschaft [9.9], zum anderen kann der (nicht berechenbare) Ort ihres Auftretens über dem Umfang unsymmetrisch und auch zeitlich veränderlich sein, so dass der gesamte Siloschaft entsprechend ausgelegt werden muss [9.1]. In [9.10] sind Siloschäden aufgrund von unerwarteten Spannungsspitzen beschrieben. Einige Schüttgüter (z.b. bei Kristallzucker schon beobachtet) neigen dazu, bei Kernfluss sehr steile Fließzonen auszubilden (z.b. Abb. 9.6.a). Hier trifft die Grenzlinie zwischen Fließzone und toter Zone nicht bzw. erst nahe der Schüttgutoberfläche auf die Silowand, so dass keine Spannungsspitze an der Silowand erzeugt wird. Abb Wandnormalspannung σ w (jeweils an der rechten Silowand) im Silo beim Entleeren; Trajektorien der größten Hauptspannung im fließenden Schüttgut; tote Zonen sind schraffiert; a. Kernfluss mit steiler Fließzone, b. Kernfluss mit einseitigem Schüttgutfluss Abbildung 9.6.b zeigt einen Silo bei einseitigem Schüttgutfluss (exzentrisches Entleeren, Kap ). Die tote Zone bildet sich nur auf der linken Seite, trotzdem ist an der rechten Silowand eine Spannungsspitze am Übergang vom aktiven zum passiven Spannungsfeld (Switch) zu erwarten [9.10], denn die Hauptspannung ändert über der gesamten Silobreite ihre Richtung. Das gleiche würde gelten, wenn der Silo in Abb. 9.6.b ein Massenflusssilo wäre und sich dort anstelle der toten Zone eine Trichterwand befinden würde. Man sieht daran, dass sich am Übergang vom aktiven zum

9 9.1 Spannungsverhältnisse bei der Lagerung in Silos 265 passiven Spannungsfeld, dem Switch, bei hinreichender Vertikalspannung erhöhte Wandnormalspannungen bilden. Entscheidend für die Position der Spannungsspitze ist, wo das aktive ins passive Spannungsfeld übergeht. Hierdurch können sich auch Spannungsspitzen an ebenen vertikalen Wänden ohne Gegenwart toter Zonen an diesen Wänden bilden (Abb. 9.6.b). Die Entstehung der Spannungsspitze lässt sich anhand der Hauptspannungsrichtungen erläutern (Abb. 9.7): Vom Schaft her wirkt auf das Schüttgut im Trichter eine relativ große Vertikalspannung, da die größere Hauptspannung σ 1 in der Achse des Schaftes in vertikaler Richtung wirkt (aktiver Spannungszustand). Die Hauptspannungen sind in Abb. 9.7 anhand von Pfeilen dargestellt, deren Länge ein Maß für die Größe der jeweiligen Spannung ist. Beim Fließen im Trichter wird das Schüttgut in horizontaler Richtung zusammengedrückt, während es nach unten hin ausweichen kann. Dadurch ist im Trichter die Horizontalspannung größer als die Vertikalspannung. In der Trichterachse zeigt die kleinste Hauptspannung σ 2 in die vertikale und die größte Hauptspannung σ 1 in die horizontale Richtung. Da am Übergang vom aktiven zum passiven Spannungszustand die Vertikalspannungen von oben den Vertikalspannungen von unten das Gleichgewicht halten müssen, ergibt sich eine sprungartige Zunahme der Horizontalspannung, was man an der Spannungsspitze im Verlauf der Wandnormalspannung (z.b. Abb. 9.4.c) sieht. Auch wenn die Hauptspannungen zur Silowand hin zunehmend gegen die Vertikale bzw. Horizontale geneigt sind, ändert dies nichts an der prinzipiellen Gültigkeit dieser Betrachtung. Abb Spannungsverhältnisse am Übergang vom Schaft zum Trichter bei Massenfluss Eine Abschätzung der Größe der Spannungsspitze ist grundsätzlich möglich, so z.b. mit den Methoden von Enstad [9.11], Walters [9.12,9.13] und Jenike [9.14]. Silonormen wie die Deutsche Norm DIN 1005 Teil 6 [9.1,9.2] beinhalten Gleichungen zur Erfassung der Spannungsspitze. Allerdings ist davon auszugehen, dass das Spannungs-Dehnungs-Verhalten des Schüttgutes die Spannungsspitze beeinflusst. Ein hartes, nicht kom-

10 266 9 Spannungen im Schüttgut pressibles Schüttgut wird eine stärkere lokale Spannungsspitze hervorrufen als ein feinkörniges, kompressibles Schüttgut. Letzteres benötigt zur Umlagerung der Spannungen (aktiv passiv) eine stärkere Verformung, muss also dazu etwas weiter im Trichter nach unten fließen, bis der passive Spannungszustand voll ausgebildet ist. Die Spannungsspitze wird daher weniger spitz sein und eine kleinere Maximalspannung aufweisen, sich dafür aber stärker vertikal ausdehnen. 9.2 Berechnungsverfahren (Übersicht) Anhand der vorangegangenen Betrachtungen wird deutlich, dass für die Berechnung der Spannungsverläufe in Silos folgende drei Fälle betrachtet werden müssen: Spannungen im Vertikalteil (Siloschaft) Spannungen im Trichter (aktiver Spannungszustand, Füllzustand) Spannungen im Trichter (passiver Spannungszustand, Entleerungszustand) Spannungen in Silos wurden bereits vor mehr als 100 Jahren experimentell und theoretisch untersucht. Nachdem zunächst die Spannungen im Siloschaft betrachtet wurden (Roberts [9.15,9.16], Janssen [9.17], Koenen [9.18]), folgten später Arbeiten, die auch den Spannungsverlauf im Trichter berücksichtigen. Bekannt sind die Arbeiten von Jenike [9.19,9.20], Walker [9.21,9.22] und Walters [9.12,9.13]. Die ersten theoretischen Ansätze beruhten auf Scheibenelementverfahren, bei denen das Kräftegleichgewicht an einem Scheibenelement infinitesimaler Dicke im Siloschaft [9.12,9.17] bzw. im Trichter [9.13,9.21,9.22] betrachtet wurde. Die von Jenike entwickelte Berechnungsmethode [9.19,9.20] beschreibt die Spannungen, die sich während des Entleerens (Entleerungszustand bzw. passiver Spannungszustand) im Trichter ausbilden, mit Hilfe von Differentialgleichungen, die er mit der Charakteristikenmethode numerisch löste. Seine Berechnungsmethode erlaubt zudem die Auslegung von Silos, indem die für Massenfluss notwendige Trichterwandneigung und die Mindestauslaufgröße zur Vermeidung von Brücken- oder Schachtbildung bestimmt werden. Die Ergebnisse seiner Berechnungen präsentierte Jenike in Form von Diagrammen. Unter den neueren Arbeiten sind die von Enstad [9.11] und Benink [9.23] zu erwähnen, die die Spannungen im Trichter während des Entleerens mit Hilfe von Scheibenelementmethoden berechneten. Zur Berechnung der Spannungen im Füllzustand ist u.a. die Arbeit von Motzkus

11 9.2 Berechnungsverfahren (Übersicht) 267 [9.24] zu nennen, der die Annahmen von Walker und Walters als unrealistisch erkannte und verbesserte Annahmen einführte. Auch die Methode der finiten Elemente (FEM) wird zur Spannungsberechnung eingesetzt (z.b. [9.6, ]), wobei die Stoffeigenschaften in Form von Stoffmodellen (auch Stoffgesetze genannt) vorgegeben werden. Die verwendeten Stoffmodelle beschreiben die Abhängigkeit von Verformungen und Spannungen in einem Schüttgut. Ihre Parameter sind aber nur mit verhältnismäßig aufwendigen Messungen zu bestimmen, so dass FEM für Schüttgüter in der Praxis als zu aufwendig erscheint. Relativ jung ist die Methode der diskreten Elemente (DEM, z.b. [9.28,9.29,9.30]). Hier wird das Schüttgut nicht mehr als Kontinuum betrachtet, sondern es werden die Wechselwirkungen zwischen einzelnen Partikeln simuliert. Dies erfordert einen hohen Rechenaufwand. Auch die komplexen Formen der Partikel können noch nicht hinreichend angenähert werden. Daher erscheint DEM zur Zeit vor allem geeignet, um Vorgänge zu simulieren, bei denen die Interaktionen einzelner in Form und Größe definierter Partikel wichtig sind und die Zahl der Partikel begrenzt ist (z.b. Kugelmühle). Für die Zukunft sind hier mit zunehmender Rechnerleistung immer mehr Anwendungen zu erwarten. Für praktische Berechnungen werden bis heute vor allem die Scheibenelementmethoden wegen ihrer relativ einfachen Handhabbarkeit benutzt. So basieren mehrere Normen [9.1,9.2,9.31,9.32] zur Berechnung der Belastung von Silos auf der Gleichung Janssens, die durch geeignete Wahl der Parameter an die Verhältnisse im Silo angepasst wird. Für die Berechnung der Spannungen im Trichter im Füllzustand (aktiver Spannungszustand) liefert die Scheibenelementmethode von Motzkus brauchbare Ergebnisse [9.24,9.33], für den Entleerungszustand sind die von Enstad [9.11] hergeleiteten Beziehungen anwendbar (vor allem in der von Arnold und McLean [9.34] präsentierten Form). Im folgenden Kapitel wird die Ermittlung der Spannungen im Siloschaft nach der von Janssen [9.17] hergeleiteten Methode detailliert beschrieben. Außerdem wird die Anwendung der Methode auf andere Aufgabenstellungen (z.b. einachsiges Verdichten von Schüttgut) erläutert. Hinsichtlich der Berechnung der Spannungen im Trichter sei auf die oben genannte Literatur verwiesen (weitere Übersichten s. [9.10,9.24,9.33]). Zur überschlägigen Abschätzung der Spannungen am Auslauf werden einfache Gleichungen angegeben. Eine Abschätzung von Spannungen ist auch mit dem frei erhältlichen Programm Silo Stress Tool des Verfassers möglich [9.35].

12 268 9 Spannungen im Schüttgut Berechnung der Spannungen im Siloschaft Die Methode zur Berechnung von Spannungen im Siloschaft (aktiver Spannungszustand) geht auf Janssen [9.17] zurück. Er betrachtete ein scheibenförmiges Volumenelement der infinitesimalen Höhe dz (Abb. 9.8), das den ganzen Siloquerschnitt überspannt. Unter der Annahme einer konstanten Vertikalspannung σ v über dem Querschnitt sowie konstanter Schüttgutdichte ρ b im Scheibenelement ergibt sich folgendes Kräftegleichgewicht in z-richtung: Aσv b v v + w Nach Einführung des Wandreibungswinkels tan ϕ x = τ w / σ h (9.5) und des Horizontallastverhältnisses + g ρ Adz = A( σ + dσ ) τ U dz (9.4) λ = σ h / σ v (9.6) ergibt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Vertikalspannung σ v : dσv U + σv λ tan ϕ x = gρb (9.7) dz A Abb Scheibenelement (Schüttgut) im Siloschaft Aus der Integration der Differentialgleichung unter Annahme konstanter Parameter ρ b, φ x und λ sowie der Randbedingung, dass die Vertikalspannung an der Schüttgutoberfläche (bei z=0) gleich σ v0 ist, folgt:

13 9.2 Berechnungsverfahren (Übersicht) 269 λ tanϕxu z g ρb A g ρb A σ A v = + σv0 e (9.8) λ tanϕ x U λ tanϕ x U Für die Randbedingung, dass die Spannung an der Schüttgutoberfläche gleich Null ist (σ v0 = 0 bei z = 0), folgt aus Gl.(9.8): λ tanϕx U z g ρb A σ = A v 1 e λ tanϕ x U (9.9) σ h und τ w erhält man unter Benutzung der Gln. (9.5) und (9.6) aus Gl.(9.8): σ τ λ tanϕx U z g ρb A g ρb A A h = + λ σv0 e (9.10) tanϕ x U tanϕ x U λ tanϕxu z g ρb A g ρb A A w = + λ tanϕ x σv0 e (9.11) U Für große Werte von z strebt die e-funktion in den Gln.(9.8) bis (9.11) gegen Null. Damit ist der Ausdruck vor der Klammer der Endwert, der bei den gegebenen Werten von Geometrie und Schüttguteigenschaften für z erreicht wird. Der Endwert für die Vertikalspannung ist: U g ρb A σv = σv ( z ) = (9.12) λ tanϕ U Der Endwert der Vertikalspannung σ v ist unabhängig von der Silohöhe und der Auflast σ v0. Er hängt neben den Schüttguteigenschaften vom Verhältnis A/U ab. In einem zylindrischen Silo ist das Verhältnis A/U = D/4 (D = Silodurchmesser). Das bedeutet, dass die maximal möglichen Spannungen im Siloschaft (Gln.(9.9) bis (9.11)) proportional zum Durchmesser sind. Aus diesem Grund kann man Silos schlank und hoch bauen und trotzdem nicht zu große Spannungen im Silo erhalten, während man Flüssigkeitsbehälter (z.b. Öltanks) wegen des hydrostatischen Druckanstiegs flach und dafür mit großem Durchmesser ausführt. In zahlreichen experimentellen Untersuchungen wurde die prinzipielle Gültigkeit der sogenannten Janssen-Gleichung (9.9) nachgewiesen, z.b. [9.7,9.10, ]. Sie liegt zahlreichen Normen zur Berechnung der Spannungen in Silos zugrunde (z.b. [9.1,9.2,9.31,9.32]). Abbildung 9.9 zeigt gemessene Horizontalspannungen σ h (Füllzustand; Schüttgut: Wei- x

14 270 9 Spannungen im Schüttgut zengrieß [9.37]). Dargestellt sind die obere und untere Grenze des 95%- Vertrauensintervalles der Messwerte. Die Abbildung zeigt zum einen den typischen Verlauf der Horizontalspannungen über der Höhe, wie ihn auch Gl. (9.10) vorhersagt, zum anderen wird der Einfluss des Wandreibungswinkels φ x deutlich: Die raue Wand (großer Wandreibungswinkel φ x ) nimmt einen größeren Teil des Schüttgutgewichtes auf als die glatte Wand und bewirkt damit eine geringere maximale Horizontalspannung. Abb Horizontalspannung im Füllzustand bei unterschiedlich rauen Silowänden (95%-Vertrauensintervall der Messwerte; Schüttgut: Weizengrieß) [9.37] Weitere Anwendungen der Janssen-Gleichung Die Janssen-Gleichung kann nicht nur für Silos verwendet werden, sondern auch für andere Situationen, bei denen das Schüttgut in einer Richtung durch eine Spannung belastet wird, während es in den dazu senkrechten Richtungen konstante Abmessungen behält. Ein Beispiel ist die einachsige Verdichtung von Schüttgut. In Abb wird Schüttgut in einem Hohlzylinder von oben mit einem Stempel verdichtet. Die Spannung, die der Stempel ausübt, ist die Auflast σ v0 in Gl.(9.8). Um die Darstellung zu verallgemeinern, werden die Vertikalspannungen σ v und σ v0 auf die in unendlicher Tiefe erreichte Vertikalspannung σ v bezogen, und die Koordinate z wird auf den Durchmesser D des Schüttgutelements bezogen. Gl.(9.8) wird damit zu:

15 9.2 Berechnungsverfahren (Übersicht) 271 Abb Einachsige Verdichtung von Schüttgut in vertikaler Richtung und Verlauf der Vertikalspannung σ v im Schüttgut über der Tiefe z für verschiedene Auflasten σ v0 (dimensionslose Darstellung) σ σ v v σ λ v0 4 tanϕx = 1+ 1 e (9.13) σv Der Verlauf von σ v /σ v über z/d ist nur von der Auflast σ v0 /σ v und den Parametern λ und φ x abhängig, d.h. für geometrisch ähnliche Behältnisse ergeben sich bei gleichen Werten für λ, φ x und σ v0 /σ v dieselben Verläufe. Im Diagramm in Abb ist der gemäß Gl.(9.13) mit typischen Werten von λ und φ x berechnete Spannungsverlauf über der Koordinate z für verschiedene Auflasten gezeigt. Da die Exponentialfunktion für große z/d schnell klein wird, sind die Kurven schon ab ca. z/d = 3 recht dicht am Wert σ v /σ v = 1. Dies gilt sowohl ohne Auflast als auch mit Auflast. Man sieht daran, dass es z.b. wenig Sinn hat, beim Verdichten eines Schüttgutes entsprechend Abb zu große Verhältnisse von Höhe zu Durchmesser zu wählen. Möchte man Schüttgut in einem Bereich mit parallelen vertikalen Wänden nach oben schieben (Abb. 9.11), wirkt die Wandschubspannung auf das Schüttgut entgegen der Bewegungsrichtung, also nach unten. Mit einem Ansatz ähnlich Abb. 9.8 (aber mit nach unten gerichteter Schubspannung) erhält man eine Differentialgleichung wie Gl.(9.7), aber mit negati- z D

16 272 9 Spannungen im Schüttgut vem Vorzeichen vor dem Term mit dem Wandreibungswinkel. Die Lösung der modifizierten Differentialgleichung ist: λ tanϕx U z g ρb A g ρb A σ A v = + σv0 + e (9.14) λ tanϕ x U λ tanϕ x U Ohne Auflast (σ v0 = 0) folgt: σ v λ tanϕxu z g ρb A = e A 1 λ tanϕ x U (9.15) Für den Schüttgutpfropfen in Abb mit kreisförmigem Querschnitt lässt sich Gl.(9.15) unter Verwendung von σ v gemäß Gl.(9.12) dimensionslos darstellen: σ σ v v = e 4λ tanϕx z D 1 (9.16) Abb Verschieben eines Schüttgutpfropfens der Höhe h in einem Hohlzylinder entgegen der Schwerkraft und dazu erforderliche Vertikalspannung σ vk an der Unterseite in Abhängigkeit von der Höhe h des Schüttgutpfropfens (dimensionslose Darstellung) Wendet man Gl.(9.16) an, um die Vertikalspannung σ vk an der Unterseite des Schüttgutpfropfens (z = h) in Abb zu berechnen, erhält man den

17 9.2 Berechnungsverfahren (Übersicht) 273 dort gezeigten Verlauf in Abhängigkeit vom Höhe/Durchmesser-Verhältnis h/d. Bei einem Wert h/d = 5 wäre schon mehr als das Hundertfache der Vertikalspannung σ v nach Gl.(9.12) notwendig, die sich unter einem ruhenden Schüttgutkolben allein aufgrund der Schwerkraft maximal ergeben könnte. Soll zusätzlich zur Schwerkraft die Wirkung einer vertikalen Gasströmung im Schüttgut berücksichtigt werden, muss beim Kräftegleichgewicht am Scheibenelement nach Gl.(9.4) zusätzlich der Druckgradient dp/dz berücksichtigt werden: dp ( ) A dz = A σv + dσv τ wu dz Aσv + g ρb A dz ( ) + (9.17) dz Bei Durchströmung von oben nach unten nimmt der Druck p in z-richtung ab, also ist der Druckgradient dp/dz < 0 (Abb a). Bei Durchströmung von unten nach oben steigt der Druck dagegen in z-richtung an (dp/dz > 0, Abb b). Die Durchströmungskraft wirkt dabei der Schwerkraft entgegen. Solange die resultierende Kraft aus Gewichtskraft und Durchströmungskraft nach unten wirkt, wirkt die Schubspannung wie in Abb. 9.8 nach oben. Nimmt man einen konstanten Druckgradienten sowie konstante Schüttguteigenschaften über der Höhe der Schüttgutsäule an, ist die Lösung der Differentialgleichung ohne Auflast entsprechend Gl.(9.9): dp ( gρb ) λ tanϕ U z A x dz σ = A v 1 e λ tanϕ x U dp ρ b dz für ( ) 0 g (9.18) Der Verlauf der Vertikalspannung über der Höhe (Abb a) entspricht dem Verlauf für σ v0 /σ v = 0 in Abb Dabei ist hier der für z erreichte Endwert: σv dp ( g ρb ) A dz dp = σv ( z ) = für ( ρ b ) 0 λ tanϕ x U g (9.19) dz Für den Fall gρ b = dp/dz ist die Vertikalspannung in der gesamten Schüttgutsäule gleich Null, denn die Gewichtskraft des Schüttgutes ist gleich der aus der Gasströmung resultierenden Kraft. Sobald die Durchströmungskraft die Schwerkraft etwas übersteigt, wirkt auf das Schüttgut eine resultierende Kraft nach oben, woraufhin sich ein lockeres, kohäsionsloses Schüttgut auszudehnen beginnt, in eine Wirbelschicht übergeht und wegen der zunehmenden Porosität wieder gρ b = dp/dz gilt (Lockerungspunkt, Kap ).

18 274 9 Spannungen im Schüttgut Abb Prinzipielle Verläufe von Vertikalspannung und Gasdruck bei Durchströmung einer Schüttgutsäule (Festbett, Gasgeschwindigkeit w). a. Durchströmung von oben, b. Durchströmung von unten bei gρ b < dp/dz vor dem Erreichen des Lockerungspunktes Ein kohäsives Schüttgut kann vor Erreichen des Lockerungspunktes aufgrund seiner Zugfestigkeit auch noch bei nennenswerten Druckgradienten dp/dz > gρ b, deren Größe vom Verfestigungszustand des Schüttgutes abhängt, als Festbett vorliegen. Dabei erzeugt die Gasströmung im Inneren des Schüttgutes eine negative Vertikalspannung (Zugspannung). Vernachlässigt man mögliche Horizontalspannungen, die nach einer vorangegangenen Verfestigung auch nach der Entlastung bestehen bleiben können (z.b. [9.3,9.4]), ist für dp/dz > gρ b die Schubspannung an der Wand gleich Null. Das Kräftegleichgewicht am Scheibenelement nach Abb. 9.8 liefert unter Berücksichtigung des Druckgradienten für τ w = 0: dp dz Aσ + g ρ A dz A dz = A( σ + dσv ) v b Daraus folgt der Verlauf der Vertikalspannung: σ v dp ( gρ ) z = für ( ) < 0 b dz v dp ρ b dz (9.20) g (9.21) Die Vertikalspannung ist nach Gl.(9.21) an der Oberseite der Schüttgutsäule gleich Null und fällt nach unten hin linear ab, d.h. im Schüttgut wirkt eine Zugspannung, deren Betrag an der Unterseite am größten ist (Abb b). Reicht die Zugspannung aus, um das Schüttgut zum Fließen zu bringen, wird der Lockerungspunkt (s. Kap ) erreicht und die ruhende Schüttung geht in die Wirbelschicht über (Es ist anzumerken, dass bei kohäsiven Schüttgütern bei einem Aufbau gemäß Abb b auch die gesamte Schüttgutfüllung in Form eines Kolbens aufsteigen kann). Die

19 9.2 Berechnungsverfahren (Übersicht) 275 Druckdifferenz zum Erreichen des Lockerungspunktes hängt somit von der Fließgrenze und damit vom Verfestigungszustand des Schüttgutes ab Schüttguteigenschaften zur Spannungsberechnung Die Janssen-Gleichung benötigt die Werte von Schüttgutdichte ρ b, Wandreibungswinkel φ x und Horizontallastverhältnis λ. Während man Schüttgutdichte und Wandreibungswinkel leicht mit Schergeräten messen kann, ist die Ermittlung des Horizontallastverhältnisses λ schwieriger. Janssen bestimmte den Wert des Horizontallastverhältnisses durch Anpassung der Gl.(9.9) an die im Modellsilo gemessenen Spannungen. Diese Möglichkeit steht für die Berechnung von Spannungen in der Regel nicht zur Verfügung. Daher werden alternativ andere Methoden verwendet. Koenen [9.18] schlug vor, das Horizontallastverhältnis λ aus dem aktiven Rankineschen Grenzspannungsverhältnis λ 0 zu berechnen. Das aktive Rankinesche Grenzspannungsverhältnis ist das Verhältnis der kleinsten zur größten Hauptspannung in einem Schüttgut (daher Index 0 ) im aktivplastischen Spannungszustand, was dem stationären Fließen in der Schüttguttechnik entspricht (Abb. 9.5): λ 0 σ 2 1 sinϕe = = (9.22) σ 1 + sinϕ 1 Die Benutzung von Gl.(9.22) in Verbindung mit der Janssen-Gleichung impliziert die Annahmen, dass die Vertikal- und Horizontalspannungen im Schaft Hauptspannungen sind (was bei einer nicht reibungsfreien Silowand nur in der Symmetrieachse des Silos der Fall ist) und dass sich das Schüttgut im aktiv-plastischen Spannungszustand (stationäres Fließen) befindet. Zur Behebung der erstgenannten nicht zutreffenden Annahme wurden Gleichungen aufgestellt, die bei der Berechnung des Horizontallastverhältnisses die Reibung an der Wand berücksichtigen (z.b. Walters [9.12]). Die Annahme stationären Fließens kann ebenfalls nicht richtig sein, da dieses nur bei hinreichender Ausdehnung des Schüttgutes in horizontale Richtung zu erreichen wäre, was bei den in der Regel wenig nachgiebigen Silowänden nicht gegeben ist [9.10,9.24,9.36]. Im Siloschaft wird das Schüttgut einachsig verdichtet. Dabei stellt sich bei gleicher größter Hauptspannung σ 1 eine größere kleinste Hauptspannung σ 2 als beim stationären Fließen ein (z.b. [9.3,9.4,9.39]). Daher liegt der in Abb. 9.5 für einachsige Verdichtung (aktiv-elastischer Spannungszustand) eingezeichnete Mohrsche Spannungskreis unterhalb des effektiven Fließortes. Gl.(9.22) sagt also für den Siloschaft ein zu kleines Horizontallastverhältnis vorher. e

20 276 9 Spannungen im Schüttgut Es gab es eine Reihe von Arbeiten, in denen andere Beziehungen für das Horizontallastverhältnis λ hergeleitet wurden. Übersichten finden sich in [9.5,9.24,9.36,9.40]. Häufig wird eine von Kézdi [9.41] vorgeschlagene Gleichung zur Berechnung des Ruhedruckbeiwertes λ 0 in unendlich ausgedehnten Böden benutzt, um das Verhältnis zwischen Horizontalspannung und Vertikalspannung im Siloschaft wiederzugeben: λ = λ 0 =1 sinϕ (9.23) φ ist der innere Reibungswinkel des Schüttgutes, für den in der Schüttguttechnik als Näherung häufig der effektive Reibungswinkel φ e eingesetzt wird. Der Vorteil der Gl.(9.23) ist die gegenüber Gl.(9.22) bessere Übereinstimmung von berechneten mit gemessenen Horizontallastverhältnissen [9.39]. Eigentlich gilt Gl.(9.23) aber nur für eine in horizontaler Richtung unendlich ausgedehnte Schüttung, d.h. der Wandeinfluss wird wie in Gl.(9.22) vernachlässigt. Gl.(9.23) liegt in leicht veränderter Form auch der DIN 1055, Teil 6 von 1987 [9.1] zugrunde: λ = 1,2 (1 sin ϕ) (9.24) Gl.(9.24) ergibt im oberen Silobereich fülligere Lastkurven, d.h. größere Wandnormal- und Schubspannungen, so dass sich für die festigkeitsmäßige Siloauslegung gegenüber Gl.(9.23) eine auf der sicheren Seite liegende Lastannahme ergibt. Für Anwendungen zur Berechnung der Vertikalspannungen (z.b. um die Belastung eines Austraggeräts zu ermitteln) sollte das kleinere λ aus Gl.(9.23) vorgezogen werden, da es gegenüber dem aus Gl.(9.24) zu größeren Vertikalspannungen führt. Für grobe Abschätzungen der Spannungen im Siloschaft wird in [9.42,9.43] der Wert λ = 0,4 (9.25) empfohlen. Die nach Gl.(9.24) entsprechend der DIN 1055 Teil 6 von 1987 [9.1] berechneten Werte des Horizontallastverhältnisses sind nicht unbedingt richtig, da das in einem konkreten Silo wirkende Horizontallastverhältnis von weiteren Parametern (z.b. Wandreibungswinkel) abhängt. Ein Schritt, bei der Bestimmung mehr Sicherheit zu gewinnen, ist die Empfehlung in der neuen Europäischen Silonorm (DIN : [9.2]), das Horizontallastverhältnis aus einem einachsigen Kompressionsversuch in einem abgewandelten Oedometer (Abb. 9.13) zu ermitteln. Bei diesem in einer Arbeit von Lohnes [9.44] benutzten sowie von Nielsen und Kolymbas [9.45] vorgeschlagenen einachsigen Kompressionsversuch wird die Schüttgutprobe in einem Hohlzylinder in axialer Richtung einer Spannung

21 9.2 Berechnungsverfahren (Übersicht) 277 unterworfen, während die resultierende Horizontalspannung gemessen wird. Mit dieser Messung werden zwar nicht alle, aber wenigstens die Einflussgrößen, die allein auf den Schüttguteigenschaften beruhen, berücksichtigt. Messungen an einer vom Verfasser entworfenen und als Lambdameter bezeichneten Vorrichtung (s. Kap , Abb. 5.7) [9.3,9.4] zeigen dessen prinzipielle Anwendbarkeit zur Bestimmung des Horizontallastverhältnisses. Abb Prinzip der direkten Messung des Horizontallastverhältnisses Abb Horizontallastverhältnis λ: Messwerte gegenüber Berechnungsgleichungen nach Kézdi und DIN 1055 Teil 6 von 1987 (als innerer Reibungswinkel φ wurde hier der effektive Reibungswinkel φ e eingesetzt) [9.3,9.4]. In Abb sind mit dem Lambdameter gemessene Horizontallastverhältnisse λ über dem effektiven Reibungswinkel φ e aufgetragen. Außerdem sind die Ergebnisse der Berechnungsgleichungen nach Kézdi und DIN 1055 Teil 6 (Gln.(9.23) und (9.24)) als gestrichelte Kurven eingezeichnet. Demnach ergeben sich zum Teil deutliche Abweichungen der gemessenen Werte von den Ergebnissen der Näherungsgleichungen. Insgesamt bewegt sich das Horizontallastverhältnis in einem engeren Wertebereich als die

22 278 9 Spannungen im Schüttgut Ergebnisse der Näherungsgleichungen. Für die untersuchten Produkte ist der Mittelwert etwa bei λ = 0,5. Insbesondere Produkte mit einem großen effektiven Reibungswinkel zeigen deutliche Abweichungen. Daher ist die Empfehlung in [9.2], das Horizontallastverhältnis direkt zu messen, sinnvoll Abschätzung der Spannungen an der Auslauföffnung Die Berechnung der Spannungen im Trichter ist zu aufwendig, um hier im Detail erläutert zu werden. Außerdem sind zum Teil numerische Lösungen notwendig. Im Kap. 9.2 wird auf geeignete Literatur sowie ein vom Verfasser bereitgestelltes Programm verwiesen. Zur Ermittlung der Vertikalspannungen und der Wandnormalspannungen an der Auslauföffnung findet man Diagramme bei Jenike [9.19] oder Gleichungen in [9.8,9.34]. Eine sehr grobe Abschätzung, die zumindest die Größenordnung der Vertikalspannung σ va an der Auslauföffnung eines Massenflusstrichters im Entleerungszustand wiedergibt, ist mit folgenden Gleichungen möglich: Konischer Trichter: Keilförmiger Trichter: σva = 0, 2 g ρb d (9.26a) σ va = 0, 4 g ρ b (9.26b) d und b sind der Auslaufdurchmesser eines konischen bzw. die Auslaufschlitzbreite eines keilförmigen Trichters (s. Kap. 10.3, Abb. 10.4). Die größte Hauptspannung an der Auslauföffnung lässt sich für den Entleerungszustand unter Verwendung von Gl.(9.3) in Verbindung mit den obenstehenden Gleichungen grob abschätzen, indem die Vertikalspannung der kleinsten Hauptspannung gleichgesetzt wird: bzw. 1 + sinϕe σ1 = 0, 2 g ρb d 1 sinϕe σ 1 + sinϕ b e 1 = 0, 4 1 sinϕe g ρ b b (9.27a) (9.27b) Die Spannungen an der Auslauföffnung im Füllzustand hängen von einer Reihe von Einflüssen ab und sind nicht genau zu berechnen. Die Erfahrung aus Messungen (z.b. in [9.33]) ist, dass die Vertikalspannung im Füllzu-

23 9.2 Berechnungsverfahren (Übersicht) 279 stand (nach vollständiger Füllung eines vorher leeren Silos) durchaus fünfbis zehnmal so groß sein kann wie die Vertikalspannung im Entleerungszustand. Im Füllzustand ist die Vertikalspannung an der Auslauföffnung näherungsweise gleich der größten Hauptspannung Spannungsberechnung für das Gesamtsystem Zur Berechnung der Spannungen in einem Silo, wie es beispielhaft in Abb gezeigt ist, werden die einzelnen Abschnitte (Siloschaft, Trichter etc.) nacheinander betrachtet, wobei die Berechnung an der Schüttgutoberfläche beginnt und sich nach unten hin fortsetzt. Abb Silo, aufgeteilt in Bereiche zur Spannungsberechnung Zuerst werden die Spannungen im oberen Vertikalteil (Siloschaft) mit der Janssen-Gleichung berechnet. Die Vertikalspannung an der Unterkante des Schaftes erhält die Bezeichnung σ v1. Danach erfolgt die Berechnung der Spannungen im Trichter (für Füll- oder Entleerungszustand) unter der Beachtung der Randbedingung, dass auf das Schüttgut im Trichter die am unteren Ende des Siloschaftes wirkende Spannung σ v1 lastet. Hierfür eignen sich z.b. die genannten Ansätze von Motzkus [9.24] und Enstad bzw. Arnold und McLean [9.34] (Eine Zusammenfassung der Gleichungen findet man in [9.33]). Die Vertikalspannung an der Trichterunterkante (Bezeichnung σ v2, Abb. 9.15) wird wiederum als Auflast für die Berechnung des Spannungsverlaufes in dem unteren Vertikalteil benutzt (Gleichung von

24 280 9 Spannungen im Schüttgut Janssen mit Auflast). An der Auslauföffnung wirkt die Vertikalspannung σ v3. Die hier genannten Berechnungsverfahren werden im vom Verfasser erstellten, frei erhältlichen PC-Programm Silo Stress Tool [9.35] benutzt. Mit dem Programm lassen sich für einfache Siloformen wie in Abb (runde/rechteckige Vertikalteile, konische/keilförmige Trichter) Spannungen abschätzen; für eine festigkeitsmäßige Auslegung ist das Programm aber nicht geeignet, da hierzu andere Berechnungsgleichungen und Sicherheiten benutzt werden müssten. 9.3 Belastung von Austraggeräten Fast jedes Silo ist mit einem Austraggerät verbunden. Dieses muss in der Lage sein, die Belastung durch das Schüttgut zu ertragen sowie das Schüttgut unter der Auslauföffnung zu bewegen. Nach einer grundsätzlichen Betrachtung der Spannungen am Auslauf eines Silos wird anhand einfacher Beispiele eine grundsätzliche Vorgehensweise zur Abschätzung von Antriebskräften geschildert Vertikalspannung an der Auslauföffnung Unmittelbar nach dem Füllen (Füllzustand, aktiver Spannungszustand) ist die Vertikalspannung an der Auslauföffnung größer als im Entleerungszustand [9.19,9.33,9.34,9.42,9.46] (in Experimenten wurden im Füllzustand bis zu zehnmal größere Vertikalspannungen an der Auslauföffnung als im Entleerungszustand gemessen [9.19,9.33]). In Abb a ist das Füllen und Entleeren eines Silos anhand der Füllhöhe h f über der Zeit dargestellt. Sobald nach dem Füllen des leeren Silos das erste Mal Schüttgut abgezogen wird, stellt sich der Entleerungszustand ein, wobei die Vertikalspannung σ v an der Auslauföffnung schlagartig absinkt (Abb b). Das Austraggerät muss nach dem Füllen zunächst in der Lage sein, das Schüttgut unter einer großen Vertikalspannung σ v zu bewegen und dazu eine entsprechend große Abzugskraft F h aufzubringen (Abb c). Sobald das Schüttgut in Bewegung gekommen ist, stellt sich im Trichter innerhalb kurzer Zeit der Entleerungszustand mit der niedrigeren Vertikalspannung σ v (und damit kleineren Abzugskraft F h ) ein. Die große Abzugskraft im Füllzustand lässt sich durch Reduzierung der Vertikalspannung vermeiden. Dazu geeignete Maßnahmen sind:

25 9.3 Belastung von Austraggeräten 281 Abb Zeitlicher Verlauf von Füllhöhe h f, Vertikalspannung σ v und Abzugskraft F h beim Füllen und Entleeren eines Silos Kontinuierlicher, langsamer Schüttgutabzug während des Füllens führt zu einer Verringerung der Vertikalspannung durch Änderung des Spannungsfelds von aktiv zu passiv [9.46]; alternativ ist auch ein intervallweiser Betrieb des Austraggeräts möglich (vor allem, während der Trichter gefüllt wird!). Vermeiden, dass der Silo vollständig entleert wird, so dass stets auf bereits im Silo vorhandenes Schüttgutpolster gefüllt wird. Neben der Verringerung der Vertikalspannung hat diese Vorgehensweise die Vorteile, dass das Austraggerät nicht dem Verschleiß durch das nach unten fallende Schüttgut (grobkörnige Schüttgüter) ausgesetzt ist, und dass es nicht zum Überfluten des Austraggeräts durch fluidisiertes Schüttgut (feinkörnige Schüttgüter) kommt [9.46]. Verwendung von Einbauten zur Entlastung des Austraggeräts [9.47], wobei die Vorgaben der verfahrenstechnischen Siloauslegung (Massenfluss, keine Brückenbildung) berücksichtigt werden müssen.

26 282 9 Spannungen im Schüttgut Ist ein Schieber oberhalb des Austraggerätes, so sollte dieser beim Befüllen des leeren Silos geschlossen werden. Wird er dann geöffnet, fließt das Schüttgut bereits etwas nach unten, so dass sich die Vertikalspannung verringert. Werden keine Maßnahmen zur Verringerung der Vertikalspannung unternommen, so ist auf jeden Fall darauf zu achten, dass sich während des Füllens der Silo nicht in stärkerem Maße nach unten bewegt als das Austraggerät. Dieses kann z.b. dann der Fall sein, wenn der Silo in einem Stahlgerüst hängt und das Austraggerät (z.b. ein Kettenförderer) auf einem Betonfundament befestigt ist: Die Gewichtszunahme des Silos führt dann dazu, dass dieser sich zusammen mit dem Schüttgut nach unten absenkt, während das Austraggerät keine oder nur eine sehr viel kleinere Absenkung ausführt. Dabei kann die auf das Austraggerät wirkende Vertikalspannung schon bei kleinen Absenkungen des Silos (< 1 mm) ein Vielfaches der normalerweise im Füllzustand wirkenden Vertikalspannung betragen [9.33]. In Abb ist qualitativ die Vertikalspannung σ vg auf das Austraggerät für den Füllzustand in Abhängigkeit von der Differenz z = z a - z s der Absenkungen von Austraggerät (Koordinate z a ) und Silo (z s ) aufgetragen: Positive z bedeuten, dass sich das Austraggerät gegenüber dem Silo nach unten bewegt, wie es bei nachgiebiger Aufhängung des Austraggerätes der Fall ist. Letzteres führt zu der bereits oben beschriebenen Abnahme der Vertikalspannung (Abb. 9.17). Im Gegensatz dazu erhält man für negative Werte z (Abstand zwischen Silo und Austraggerät verringert sich: das Austraggerät senkt sich weniger ab als der Silo) einen starken Anstieg der Vertikalspannung, was vermieden werden sollte. Abb Qualitative Abhängigkeit der Vertikalspannung σ vg am Austraggerät von der Absenkung z des Austraggeräts relativ zum Silo beim Füllen [9.33]

27 9.3 Belastung von Austraggeräten Abschätzen von Abzugskräften Die Antriebsdrehmomente bzw. Abzugskräfte von Austraggeräten resultieren aus einer Reihe von Mechanismen, z.b. der Reibung im Schüttgut, Trägheitskräften und inneren Reibungskräfte des Austraggerätes (Lager, Ketten, Rollen...). Trägheitskräfte sind bei den üblicherweise geringen Abzugsgeschwindigkeiten vernachlässigbar, innere Reibungskräfte des Austraggerätes sind von dessen Typ und Konstruktion abhängig und lassen sich durch in der Fördertechnik bekannte Kennwerte abschätzen [9.48]. Daher sollten hier nur die Kräfte betrachtet werden, die benötigt werden, um das Schüttgut zu bewegen. Dazu werden die Bewegungs- und Reibungsverhältnisse im Auslaufbereich betrachtet. Als Beispiele für die Berechnung der Abzugskraft sind in den Abb bis 9.20 drei Austraggeräte (Gurtförderer, Plattenband, Trogkettenförderer; Beschreibung s. Kap ) schematisch dargestellt. Die Austraggeräte befinden sich jeweils unterhalb des Auslaufschlitzes eines keilförmigen Trichters. Das Schüttgut im Trichter erzeugt eine Vertikalspannung σ va in Höhe der Auslauföffnung. Diese lässt sich mit den im Kap. 9.2 dargelegten Gleichungen abschätzen. Auf das Austraggerät selbst wirken etwas größere Spannungen, da die Schüttgutschicht unterhalb der Auslauföffnung durch ihre Gewichtskraft die Vertikalspannung vergrößert. Dieser Spannungszuwachs kann wegen des in der Regel geringen Verhältnisses von Höhe zu Breite der Schicht unterhalb der Auslauföffnung ohne Berücksichtigung von Wandreibung berechnet werden. Abb Schüttgutabzug mit Gurtförderer Abb Schüttgutabzug mit Plattenband

28 284 9 Spannungen im Schüttgut Abb Schüttgutabzug mit Trogkettenförderer Zunächst wird der Gurtförderer (Abb. 9.18) betrachtet. Die maximal vom Gurt auf das Schüttgut übertragbare Kraft ist durch die maximale Reibungskraft zwischen Gurt und Schüttgut bestimmt [9.33], denn die Kraftübertragung zwischen Gurt und Schüttgut erfolgt nicht formschlüssig. Auf den Gurt wirkt die Vertikalspannung σ vg. Diese beträgt: σvg = σva + ρb gh (9.28) Die maximal mögliche Abzugskraft F h des Gurtförderers ist die vom Gurt übertragbare Reibungskraft: Fh = σvg Lb tan( ϕ x,sg ) (9.29) Hierbei ist φ x,sg der Reibungswinkel zwischen Schüttgut und Gurt. Messungen an einem mit einem Gurtförderer ausgerüsteten Versuchssilo haben gezeigt, dass Gl.(9.29) tatsächlich eine obere Grenze der Abzugskraft darstellt, d.h. in den meisten Fällen liegt die Abzugskraft unterhalb des berechneten Wertes [9.33,9.49]. Abbildung 9.21 zeigt die gemessene maximale Abzugskraft eines Gurtförderers beim Schüttgutabzug aus dem Füllzustand heraus. Die Messpunkte entsprechen dem Maximum im Verlauf der Abzugskraft F h in Abb c. Variiert wurde bei den Messungen der Trichterneigungswinkel Θ und die Geometrie des Übergangs vom Trichter zum Gurtförderer. Die Gerade in Abb entspricht Gl.(9.29). In der Literatur findet man weitere, zum Teil rein empirische Gleichungen zur Abzugskraft eines Gurtförderers, die aber meist kleinere Abzugskräfte ergeben ([9.42,9.46,9.50,9.51], Übersichten in [9.33,9.49]). Das in Abb gezeigte Plattenband besitzt auf seiner Oberfläche in das Schüttgut ragende Stege. Dadurch wird die Relativbewegung zwischen Plattenband und Schüttgut verhindert. Zur Berechnung der Abzugskraft des Plattenbandes wird daher davon ausgegangen, dass sich die eingezeichnete Schüttgutschicht der Höhe h zusammen mit dem Plattenband bewegt. Damit müssen beim Schüttgutabzug die Reibungskräfte an der Oberseite der Schüttgutschicht (Reibung Schüttgut/Schüttgut) sowie an