Raytracing. Ausarbeitung zum Proseminarvortrag vom im Rahmen des Proseminars Computergraphik und Visualisierung TU München.

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1 ... Raytracing Ausarbeitung zum Proseminarvortrag vom im Rahmen des Proseminars Computergraphik und Visualisierung TU München Florian Ferstl

2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Was ist Raytracing? Forward- und Backward-Raytracing Der Strahl Die Kamera Algorithmus als Pseudocode Rekursiver Strahlengang und Schattenfühler Beschleunigungstechniken Optimierung von Intersektionstests Strahl - Kugel - Intersektion Strahl - Dreieck - Intersektion Raumpartitionen Bounding Volumes Bounding Volume Hierarchies BSP - Binary Space Partition kd-bäume Octrees

3 1 Grundlagen 1.1 Was ist Raytracing? Abbildung 1: Beispiele für mit Raytracing gerenderte Bilder Raytracing ist ein Renderverfahren in der Computergraphik, d.h. ein Verfahren, um aus der reinen Beschreibung einer 3d-Szene (Rohdaten) ein Bild zu erzeugen. Markant im Vergleich zu anderen Renderverfahren ist in erster Linie die realistische und physikalisch korrekte (oder zumindest gut simulierte) Berechnung und Darstellung von Lichtbrechungen und Reflektionen. Auch komplexe Schatten lassen sich mithilfe von Raytracing gut berechnen, wobei sie in der grundlegenden Form von Raytracing noch sehr scharfkantig sind, was sich aber durch ein paar Tricks recht gut beseitigen lässt. Klarer Nachteil von Raytracing ist, dass es bis heute noch nicht Echtzeit-fähig ist und für die Berechnung von komplexen Szenen noch viel Zeit benötigt wird. Aufgrund des hohen Realimusgrades der erzeugten Bilder jedoch findet es schon überall dort Anwendung, wo Bilder vorberechnet werden können, wie z.b. bei Kinofilmen. Im Folgenden soll nun ein Einblick in diese Rendertechnik gegeben, und eine Idee davon verschafft werden, wie sich Bilder mit dem Raytracing-Algorithmus berechnen lassen, und wie sich dieser Algorithmus beschleunigen und optimieren lässt. 1.2 Forward- und Backward-Raytracing Um ein Bild zu berechnen betrachtet der Raytracing-Algorithmus (Raytracing = Strahlenverfolgung) den Weg, den einzelne Lichtstrahlen durch die Szene zurücklegen. Von Bedeutung sind dabei die Strahlen die den Beobachtungspunkt der Szene aus der Beobachtungsrichtung treffen. Es gibt zwei Methoden, die Lichtstrahlen zu verfolgen, vorwärts in ihrer eigentlichen Richtung, und rückwärts: Forward-Raytracing: Es wird der Weg von vielen zufälligen Lichstrahlen betrachtet, die bei der Lichtquelle starten. Diejenigen, die den Beobachtungspunkt aus der richtigen Richtung treffen, werden in das Bild miteingerechnet. viel zu ineffektiv, da von vielen zu betrachtenden Strahlen nur sehr wenige zum Bild beitragen Backward-Raytracing: Es werden genau die Strahlen betrachtet, die den Beobachtungspunkt aus den zum Bild beitragenden Richtungen treffen. Hierbei geht man rückwärts vor und bestimmt, von welchem Objekt die Strahlen kommen, und welche Farbe sie demnach haben müssen. für jeden Bildpunkt wird ein Strahl erzeugt Verwendet wird Backward-Raytracing (fast immer mit Raytracing gemeint), da Forward-Raytracing viel zu aufwendig ist. 1.3 Der Strahl Mathematisch gesehen ist ein Strahl eine Halbgerade, bestehend aus Ortsvektor/Startpunkt o und Richtungsvektor d: x = o + λ d, λ > 0 2

4 1.4 Die Kamera Einige Details zum Beobachtungspunkt - der Kamera. Augpunkt: Position der Kamera Blickrichtung: Richtung der Kamera (virtuelle) Bildebene: Das Rechteck im Raum, das dem zu berechnenden Bild entspricht Bildvektoren: Legen virtuelle Bildebene fest, jeder Punkt auf virtueller Bildbene dadurch erreichbar Im Beispiel wird für einen Pixel ein Strahl ausgesendet (rot), der auf ein blaues Objekt trifft und damit den Pixel als blau bestimmt (stark vereinfacht). Abbildung 2: Bestandteile der Kamera 1.5 Algorithmus als Pseudocode Der folgende Pseudocode soll die einzelnen Schritte und den rekursiven Charakter des Algorithmus veranschaulichen: // Erzeuge für jeden Bildpunkt einen Strahl und weise ihm die durch Farbe von Strahl berechnete // Farbe zu foreach Pixel { Strahl = berechne Strahl(Punkt auf Bildebene); Pixel.Farbe = Farbe von Strahl (Strahl); } procedure Farbe von Strahl (Strahl) { // Schneide Strahl mit allen Objekten der Szene und wähle den Schnittpunkt mit der kürzesten // Entfernung zu Strahlstartpunkt Schnittpunkt = berechne nächsten Schnittpunkt (Strahl); if ( Schnittpunkt.ist beleuchtet() ) // kein Objekt zwischen Schnittpunkt und Lichtquelle? Direkter Anteil = lokalesbeleuchtungsmodell(normale); return Direkter Anteil //Falls Schnittpunkt verdeckt war 0 (Schatten) + k r Farbe von Strahl (reflektierter Strahl) //rekursiver Aufruf mit reflektiertem Strahl + k g Farbe von Strahl (gebrochener Strahl); //rekursiver Aufruf mit gebrochenem Strahl } 3

5 1.6 Rekursiver Strahlengang und Schattenfühler Die nebenstehende Abbildung zeigt, wie bei der Berechnung der Farbe eines Primärstrahls E durch die rekursive Aufteilung des Strahls in reflektierte und gebrochene Strahlen ein Strahlenbaum entsteht. Die gestrichelten Linien sind Schattenfühler, mit deren Hilfe überprüft wird, ob die Schnittpunkte im Schatten der Lichtquellen liegen. Dazu muss der Schattenfühler ebenso wie ein Lichtstrahl mit allen Objekten der Szene geschnitten werden. Wird ein Schnittpunkt vor der Lichtquelle gefunden, so liegt der Schnittpunkt, von dem der Schattenfühler ausgeht, im Schatten. Abbildung 3: Beispiel für rekursiven Strahlengang E: Primärstrahl L: Lichtquellen S i : Schattenfühler R j : reflektierte Strahlen T k : gebrochene Strahlen 3, 4, 6, 9: Objekte der Szene 2 Beschleunigungstechniken Im grundlegenden Ansatz von Raytracing muss für jeden Bildpunkt ein Strahl erzeugt werden, der wiederum mit allen Objekten einer Szene auf Intersektion getestet werden muss. Man kann sich leicht vorstellen, dass dies in großen Rechenaufwand ausartet. Aus einer Vielzahl von Beschleunigungsstrategien für Raytracing sollen hier zwei Kategorien angesprochen werden: Beschleunigung durch... Verkürzung der Intersektionstests Verringerung der Anzahl an Intersektionstests durch Raumpartitionen 2.1 Optimierung von Intersektionstests An 2 Beispielen soll gezeigt werden, wie man Objektintersektionen effizient berechnen kann Strahl - Kugel - Intersektion Das Problem: Gegeben ist ein Strahl (Halbgerade) und eine Kugel mit Mittelpunkt m und Radius r. Schneidet der Strahl die Kugel? Strahlgleichung: x = o + λ d, d = 1, λ > 0 ( d = 1 erleichtert Rechnung, λ > 0 weil rekursiv erstellte Strahlen ihre Startpunkte auf Objektoberflächen haben, diese aber nicht schneiden sollen) Kugelgleichung: (x 1 m 1 ) 2 + (x 2 m 2 ) 2 + (x 3 m 3 ) 2 = r 2 Erste Idee: Einsetzen der Strahlgleichung in Kugelgleichung und Lösen der dabei entstehenden quadratischen Gleichung. Es geht besser! Abbildung 4: Die drei möglichen Situationen, falls ein Strahl außerhalb der Kugel startet 4

6 Abbildung 5: Veranschaulichung des effizienten Ansatzes Effizienter Ansatz: Als Erstes bestimm man, ob o außer- oder innerhalb der Kugel liegt: om = m o l 2 om = om om Da man den Radius von Anfang an quadratisch abspeichert, kann man sich eine Wurzel sparen und r 2 mit lom 2 direkt vergleichen. Ist lom 2 < r 2, ist o innerhalb der Kugel und man kann spätere if-abfragen weglassen, denn der Strahl schneidet die Kugel auf jeden Fall. Als Nächstes wird l n berechnet, wobei n der Punkt auf der Strahlgeraden sein soll, der m am nächsten liegt und l n der Abstand zwischen o und n. ( ) ln om d l n = om d = cos α = om om 1 Ist o außerhalb der Kugel, überprüft man nun ob l n < 0 gilt, denn dann zeigt der Strahl von der Kugel weg, kann diese nicht treffen und man kann abbrechen. Letzter Schritt: Die Entfernung h von n zur Kugeloberfläche ( ) h 2 = r 2 + ln 2 lom 2 2 mal Pythagoras : r2 = h 2 + h 2 lom 2 = ln 2 + h 2 Endgültige Entscheidung falls o außerhalb: Gilt h 2 < 0, verfehlt Strahl die Kugel, andernfalls trifft er. Schnittpunkt s ergibt sich als: s = o + (l n h 2 ) d o außerhalb o + (l n + h 2 ) d o innerhalb Man beachte: Es werden nicht nur sehr wenig arithmetische Operationen benötigt, auch kann oft schon früh abgebrochen werden. Die einzige Wurzel muss erst gezogen werden, wenn es sicher ist, das der Strahl die Kugel schneidet Strahl - Dreieck - Intersektion Das Problem: Gegeben ist ein Strahl (Halbgerade) und ein Dreieck mit seinen 3 Eckpunkten v 0, v 1 und v 2. Schneidet Strahl das Dreieck? Alle Punkte x im Dreieck können folgendermassen durch die Baryzentrischen Koordinaten dargestellt werden: x(α, β) = (1 α β) v 0 + α v 1 + β v 2, mit α 0, β 0, α + β 1 Gleichsetzen dieser Gleichung mit der Strahlgleichung liefert: o + λ d = (1 α β) v 0 + α v 1 + β v 2 Umformen dieser Gleichung wiederum ergibt ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten λ, α und β: λ ( d) + α (v 1 v 0 ) +β (v 2 v 0 ) = o v }{{}}{{}}{{} 0 e 1 e 2 t Die Variablen e 1, e 2 und t sind Abkürzungen und dienen im Folgenden lediglich der Übersicht. (1) Anwenden der Cramer schen Regel: (1) λ = D 1 D, α = D 2 D, β = D 3 D, mit D = d, e 1, e 2 D 1 = t, e 1, e 2 D 2 = d, t, e 2 D 3 = d, e 1, t Abbildung 6: Strahl und Dreieck D = (d e 2 ) e 1 D (2) 1 = (t e 1 ) e 2 D 2 = (d e 2 ) t D 3 = (t e 1 ) d 5

7 (2) λ, α und β könnten jetzt direkt berechnet werden, jedoch kann man die Determinantenberechnung mithilfe der Formel a, b, c = (a c) b = (c b) a noch wesentlich vereinfachen (Vorzeichenausgleich z.b. durch vertauschen der Vektoren in den Determinanten wo nötig). Man beachte: Nur noch 2 Kreuzprodukte zu berechnen! Vorgehensweise bei der Berechnung: Zunächst berechnet man sich die Hilfsvariablen e 1 = v 1 v 0 und e 2 = v 2 v 0. Dann berechnet man das erste Kreuzprodukt p und die Hauptdeterminante D: p = d e 2 D = p e 1 Gilt D = 0 kann man abbrechen (Strahl ist parallel zu Dreiecksebene). Sonst wird die erste Baryzentrische Koordinate α berechnet (D 1 ermöglicht 3 Divisionen durch 3 Multiplikationen zu ersetzen kleine Zeitersparnis): D 1 = 1 D t = o v 0 α = (p t) D 1 Gilt α < 0 α > 1 kann Strahl die Dreiecksebene nicht mehr im Dreieck schneiden (Abbruch!). Erst jetz wird das zweite Kreuzprodukt q und damit β berechnet: q = t e 1 β = (q d) D 1 β muss wieder überprüft werden, nämlich auf β < 0 β + α > 1 (Abbruch falls wahr). Sonst ist jetz sicher, dass die Strahlgerade das Dreieck schneidet, aber der Schnittpunkt muss nicht unbedingt auf der Halbgeraden liegen, deshalb muss nun λ berechnet und überprüft werden. λ = (q e 2 ) D 1 Ist letztendlich λ > 0 gibt es einen Schnittpunkt, den man erhält wenn man das errechnete λ in die Strahlgleichung einsetzt. Besondere Anmerkungen: Diese Methode benötigt lediglich die Dreiecksecktpunkte als Information über das Dreieck und keine zusätzlichen Informationen wie z.b. Normale Speichereffizienz. 2.2 Raumpartitionen Da jeder Strahl mit jedem Objekt der Szene geschnitten werden muss, hat Raytracing eigentlich lineare Komplexität bezüglich der Objektanzahl. Durch die Idee von Raumpartitionen, den Raum der Szene zu unterteilen, lassen sich jedoch bei der Intersektion früh Objekte ausschließen. Dadurch muss ein Strahl nicht mehr mit allen Objekten geschnitten werden. Diese Idee soll an einigen ausgewählten Beispielen von Raumpartitionstechniken veranschaulicht werden Bounding Volumes Bounding Volumes basieren auf einer einfachen Idee: Man umhüllt komplexe Objekte mit einfachen Primitiven (z.b. Kugel, Box,...), so dass diese das komplexe Objekt komplett enthalten. Will man nun überprüfen, ob ein Strahl dieses Objekt schneidet, prüft man zunächst, ob der Strahl das Bounding Volume schneidet, und nur wenn dies der Fall ist, schneidet man den Strahl mit dem komplexen Objekt. Nebenstehendes Bild lässt leicht erahnen, dass man sich so schon eine Menge an Rechenaufwand ersparen kann, wenn man einmal die Komplexität der Bounding Box mit der des Kopfes vergleicht. Abbildung 7: Beispiel für eine Bounding Box 6

8 2.2.2 Bounding Volume Hierarchies Abbildung 8: Bounding Volumes (links) und Bounding Volumes Hierarchie(rechts) In einer Variante beginnt man z.b. damit, jedes Szenenobjekt in ein Bounding Volume zu verpacken, und fasst dann solange wiederholt mehrere Bounding Volumes in einem größeren zusammen, bis die ganze Szene in einem Bounding Volume steck. Daraus resultiert eine Baumstruktur, die man, wenn man einen Strahl mit der Szene schneiden will, effizient in logarithmischer Zeit traversieren kann. So effizient die Traversierung auch ist, ist die Konstruktion eines guten Baums jedoch eine wesentlich weniger triviale Angelegenheit BSP - Binary Space Partition Baumstrukturen erhält man ebenfalls bei den sog. BSP-Bäumen. Ein BSP-Baum repräsentiert eine rekursive, hierarchische Unterteilung des Raumes des Szene. Genauer gesagt wird hier der Raum wiederholt, rekursiv durch Ebenen halbiert. Jeder Innere Knoten eines BSP-Baumes repräsentiert eine Teilungsebene, und jeder seiner Unterbäume repräsentiert einen von 2 Teilräumen. (a) Raumunterteilung durch Geraden (b) dazugehöriger BSP-Baum Abbildung 9: Beispiel für einen BSP-Baum im 2d-Raum Im Beispiel von Abb. 9 wird ein 2d-Raum mit 5 beliebigen Objekten A-E (Abb. 9(a)) rekursiv unterteilt und der dazugehörige BSP-Baum (Abb. 9(b)) erstellt. Der komplette Raum wird zunächst durch die Gerade 1 halbiert (die kleinen roten Pfeile legen fest, welche Seite vorne ist). Der dazugehörige Knoten 1 ist die Wurzel des BSP-Baumes. Alles was vor Gerade 1 ist, wird links an diesen Knoten gehängt, alles dahinter rechts an den Knoten. Der vordere Raum wird nochmal durch Gerade 2 halbiert und der entsprechende Knoten 2 links an Knoten 1 gehängt. Ebenso 7

9 wird der Raum hinter Gerade 1 noch durch 2 weiter Geraden unterteilt und entsprechende Knoten in den Baum eingefügt. Nun können noch die Teilräume der Objekte A-E als Blätter den einzelnen inneren Knoten zugeordnet werden, immer entweder links ( davor ) oder rechts ( dahinter ). Mit solchen BSP-Bäumen kann man nun u.a. die Strahlintersektionen beim Raytracing verringern. Dies kann einfach am Beispiel des grünen Strahls in Abb. 9(a) verstanden werden. Man hangelt sich durch den Baum und testet den Strahl zuerst mit allen Objekten von Teilraum E auf Intersektion. Findet man keinen Schnittpunkt kann man in Teilraum D, und danach in Teilraum C weitersuchen. Findet man allerdings einen Schnittpunk, kann man alle (vom Strahl aus gesehen) dahinterliegenden Teilräume vernachlässigen und abbrechen, da weitere Schnittpunkte immer eine größere Entfernung zum Strahlursprung hätten. Die Teilräume A und B, die vom Strahl nicht getroffen werden, können komplett vernachlässigt werden kd-bäume Sehr praxisrelevant sind die sog. kd-bäume. Sie sind im Prinzip BSP-Bäume mit der kleinen Erweiterung, das Halbierungsebenen immer an den Achsen ausgerichtet sind, was die Rechnungen mit diesen Ebenen erleichtert. Bei der Konstruktion sollte man auch darauf achten, bei den einzelnen Unterteilungsschritten immer durch die Ausrichtungsachsen zu rotieren. Außerdem kann man im Gegensatz zu den Bounding Volume Hierarchien hier durch eine relativ einfache Kostenabschätzung einen gut balancierten Baum erreichen. Hierzu zieht man die Größe der entstehenden Teilräume (Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Strahl den Raum trifft?) und die Komplexität der Objekte in den entstehenden Teilräumen (Was entsteht für ein Aufwand, wenn man den Strahl mit diesen Objekten schneidet?) zusammen in Betracht. Im Beispiel-Bild nebenan wird z.b. erst der komplette Raum (weißer Würfel) durch die rote Ebene halbiert. Die 2 entstehenden Teilräume wiederum werden durch 2 grüne Ebenen halbiert, die nicht identisch sein müssen. Schließlich werden die 4 entstandenen Teilräume noch durch die 4 blauen Ebenen unterteilt. Natürlich könnte man mit der Unterteilung noch fortfahren. Abbildung 10: Ein kd-baum 8

10 2.2.5 Octrees Abschließend sollen noch Octrees angesprochen werden. Auch ähnlich zu den BSP- Bäumen wird hier der Raum rekursiv unterteilt, jedoch hier nicht in jedem Schritt in 2 Hälften, sondern der Raum als Würfel wird in 8 gleich große kleinere Würfel geteilt, was sehr schön auf dem Bild zu erkennen ist. Je nach Objektdichte unterteilt man die kleineren Würfel rekursiv noch weiter. Allerdings sind Octrees besonders in komplexen Regionen aufwändig zu konstruieren, und allgemein komplexer zu traversieren als z.b. BSP-/kd-Bäume. Abbildung 11: Raumunterteilung mit einem Octree 9

11 Literatur [1] Andrew S. Glassner, An Introduction to Raytracing, Morgan Kaufmann Verlag, San Francisco, 2002 [2] Peter Shirley, R. Keith Morley, Realistic Raytracing, AK Peters, Natick(Mass.), 2003 [3] Tomas Möller and Ben Trumbore, Fast, Minimum Storage Ray/Triangle Intersection, Journal of Graphics Tools, 2(1):21 28, 1997, [4] Wikipedia [5] [6] [7] [8] Povray Hall of Fame 10