Bézier-Kurven, Modellierung von Freiformkurven und flächen. Prof. U. Rüde - Algorithmik kontinuierlicher Systeme
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- Hedwig Buchholz
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1 Algorhmk kouerlcher Syeme Bézer-Kurve Modellerug vo Freformkurve ud fläche Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme
2 Modellerug vo Freformkurve Regelgeomere: D : Le Kre-boge D : Ebee Kugel Kegel Zylder Freformgeomere: alle adere Bepele: Karoereele Tragfläche Telefohörer D Kurve D Fläche Regel Freform Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme
3 Modellerug vo Freformkurve Freformkurve werde me paramerch bechrebe: : [ab] à R d d 3 b a a b Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 3
4 Modellerug vo Freformkurve : [ab] à R d d 3 Kokree Bepele: : [π] à R [ co ] : [] à R [ ] Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 4
5 Kokree Bepele: : [ab] à R d d 3 3 : [.5] à R 3 [ /4 3 ] 4 : [4π] à R 3 4 [ e co e ] Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 5
6 Modellerug vo Freformkurve Aforderuge: Iuve Beuzerchelle Korollerbarke: Beuzer mapuler gewe Parameer der Kurve/ Fläche. vorheragbarer ud korollerbarer Effek auf de Geal der Kurve. Polyome p a a a a oder ückwee Polyome Sple: à efache Verarbeug m Recher ugüg: Dreke Egabe der a Koeffzee der Moom-Ba beer: Egabe eger Kurvepuke da Ierpolao à de Kurve verläuf mmer durch dee Puke. och beer: Korollpuke Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 6
7 Modellerug vo Freformkurve Lokalä: Ee lokale Veräderug der Egabedae z.b. ee Süzwere darf möglch ur lokale Auwrkuge habe dealerwee äder ch de Kurvegeal ur eem klee Berech um de Süzpuk. chlech: B-Sple-Ierpolao beer: amull-rom ückwee Bézer De wchge Aäze d: Bézer-Kurve Grudlage werde beproche B-Sple m Korollpuke vorauchlch ch deem Semeer NURBS No-Uform Raoal B-Sple h. Vorleug über Geomerche Modellerug Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 7
8 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme De Bere-Polyome vom Grad blde e Ba der Polyome vom Grad De Bomal-Koeffzee Rekurve Defo Pacalche Dreeck Bomche Formel 8 Bere-Polyome!!! b a b a... B
9 Bere-Polyome Bere-Polyome vom Grad B B ; Sommeremeer 6 Prof. G. Greer Algorhmk kouerlcher Syeme Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme
10 Bere-Polyome Bere-Polyome vom Grad quadrache Bere-Polyome B B B ; Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme
11 Bere-Polyome Bere-Polyome vom Grad 3 kubche Bere-Polyome B B 3 B 3 B3 3 ; Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme
12 Bere-Polyome Bere-Polyome vom Grad 9 B B... B ; Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme
13 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme E gl 3 Egechafe der Bere-Polyome... B B B B B für [] ha ee -fache Nullelle ha ee --fache Nullelle für alle
14 Bezerkurve au Berepolyome Serge Naaovch Bere rucher Mahemaker Perre Éee Bézer frazöcher Igeeur Reaul Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 4
15 Gegebe d og. Korollpuke auch Bézer-Puke De Kurve m R d b b b - b R d b B m heß Bézer-Kurve vom Grad [] Verbde ma de Bézer-Puke durch ee Polygozug erhäl ma da Korollpolygo der Bézer-Kurve. Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 5
16 Bézer-Kurve - Bepele D-Kurve 3D-Kurve Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 6
17 Formegechafe vo Bézer-Kurve Geomere de Korollpolygo pegel grob de Geomere der Kurve wder Formegechafe. Ierpolao der Edpuke. I de Edpuke ageal a da Korollpolygo 3. Bézer-Kurve leg der kovexe Hülle der Korollpuke 4. affe Ivaraz 5. Varaoreduzered Koequez: Modfkao der Korollpuke führ zu vorherehbarer uver Äderug der Bézer-Kurve. Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 7
18 Formegechafe vo Bézer-Kurve Edpuk-Ierpolao b B b b B b Tageebedgug ' B b ' B B ' dabe ' B ' > folglch ' b B ' b b ' b B ' b b Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 8
19 Formegechafe vo Bézer-Kurve Bézer-Kurve leg der kovexe Hülle der Korollpuke M kovex: ab M & << -ab M Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 9
20 Formegechafe vo Bézer-Kurve x Bézer-Kurve leg der kovexe Hülle der Korollpuke x M kovex: ab M & << -ab M x x x x x x Kovexe Hülle eer Mege A de klee kovexe Obermege vo A Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme
21 Kovexe Hülle: Bézer-Kurve leg kovexer Hülle hrer Korollpuke Bepele Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme
22 Formegechafe vo Bézer-Kurve affe Ivaraz Affe Abbldug: Φx A x b Tralao ud leare Abbldug z.b. Roao Spegelug Skalerug Scherug. Soll ee Bézerkurve aff raformer werde da müe ur de Korollpuke aff raformer werde Φ b B da Φ b B Adere Schwee: De raformere Korollpuke erzeuge de raformere Bézer-Kurve! Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme
23 Formegechafe vo Bézer-Kurve Affe Ivaraz: Bepel - Drehug um M [] Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 3
24 Formegechafe vo Bézer-Kurve Affe Ivaraz: Bepel Drehug um Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 4
25 Formegechafe vo Bézer-Kurve Varaoreduko achaulch: De Kurve varer chwak höche o ark we da Korollpolygo exak: Für jede Gerade g gl: #Schpuke vo g m Kurve #Schpuke vo g m Korollpolygo Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 5
26 Formegechafe vo Bézer-Kurve. Ierpolao der Edpuke. I de Edpuke ageal a da Koroll-Polygo 3. Bézer-Kurve leg der kovexe Hülle 4. affe Ivaraz 5. Varaoreduzered Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 6
27 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme Rekurve Auwerug der Bere Polyome: euer oder durch Horer-Bézer: effze 7 Auwerug vo Bézer-Kurve B b b b b b b b b b b ~ ~... ~ ~ ~ ~... ~ ~ o fall B B B B r r r
28 Auwerug vo Bézer-Kurve Oder durch forgeeze leare Ierpolao: der Algorhmu vo de aeljau abl Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 8
29 Auwerug vo Bézer-Kurve Oder durch forgeeze leare Ierpolao: der Algorhmu vo de aeljau abl Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 9
30 Auwerug vo Bézer-Kurve der Algorhmu vo de aeljau geomerch b 3 3 / 3 Algorhmu vo de aeljau für / 3 ud 3 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 3
31 Auwerug vo Bézer-Kurve Algorhmu vo de aeljau: e Bepel: kubche Bézer-Kurve m folgede Korollpuke: 9 8 b b b b3 9 8 augewere /3. Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 3
32 Auwerug vo Bézer-Kurve Algorhmu vo de aeljau: Peudoode # Ialerug for.. b b ; # deaeljau Pyramde/Dreeck for k.. for k.. b k -*b k- - *b k- reur b # Kurvepuk Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 3
33 Auwerug vo Bézer-Kurve Algorhmu vo de aeljau m Überchrebe der Were pecher-effzeer: # deaeljau Pyramde for k.. for..-k b -*b *b reur b ; # Kurvepuk Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 33
34 Ierakve Modellerug vo Kurve Der Beuzer mapuler de Korollpuke erakv Verchebe vo Puke Efüge/Löche vo Korollpuke Erhöhug/Verrgerug de Grade Beache: ur Afag- ud Edpuk lege auf der Kurve. Deal erforder uu vele Korollpuke M eer Bézer-Kurve à hoher Polyomgrad abl Beer: mehrere Bézer-Kurve m jewel moderaem Grad aeader füge à Bézer-Sple wchg dabe: e eger of e glaer Übergag zwche de Segmee Segke wr errech durch lezer Korollpuk erer Korollpuk Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 34
35 Ierakve Modellerug vo Kurve Glaer Übergag zwche beachbare Bézer-Kurve c B b B ud D Segke fall b c folg au Edpukerpolao! De Tagee m Puk b c d gegebe durch ' b b folg au Tageebedgug D ' c c à e glaer Übergag fall de dre Korollpuke { b b c c } a der Nahelle kollear e. c b - b c b - c Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 35
36 Ierakve Modellerug vo Kurve Noch glaerer Übergag: De Glahe m Se der Paramererug vo ud D erforder zuäzlche Bedguge a de Korollpuke. -Segke ehe obe. Durch zuäzlche Bedguge a de Korollpuke am Ede bzw. Afag köe och ärkere Glaheegechafe erzel werde: -Segke: Da d auch de Krümmuge eg. Für zwe Polyomegmee -e Grade ka maxmal - -Segke errech werde o gleche Polyom De führ lezedlch auf Splefukoe B-Sple-Kurve Vorleug Geomerche Modellerug Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 36
37 Zeche vo Bézerkurve Fak: Graphk-Hardware ka Le ehr effze zeche: Zel: Approxmere Bézer-Kurve durch Polygozug Mehode: Subdvo E gl: De Kae de deaeljau- Dreeck d de Koroll- polygoe der Telkurve [] ud [] Melpuk ud rekurv weer mache mdpo Subdvo Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 37
38 Zeche vo Bézer-Kurve Rekurve mdpo-ubdvo koverger ehr chell P k co 4 k Bezer curve mdpo ubdvo level 3 4 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 38
39 mdpo ubdvo level 4 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 39
40 Vo Kurve zu Fläche Teorprodukaaz rafe Ierpolao oo-pach Sommeremeer 6 Prof. G. Greer Algorhmk kouerlcher Syeme Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme
41 Ererug: Bleare Ierpolao Überrchee Fläche be der Bewegug vo P ud P auf geradem Weg ach P 3 bzw. P 4 uer Mführug der jewelge Verbdugrecke. Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 4
42 Ererug: Bleare Ierpolao Bleare Ierpola ka mplemeer werde al zuer leare Ierpolao da leare Ierpolao zuer leare Ierpolao da leare Ierpolao oder drek : -- P - P - P 3 P 4 Achaulch: Kurve: eparamerge Schar vo Puke Fläche: eparamerge Schar vo Kurve Teorprodukaaz: Für jede Parameer F leare Kurve. De Koeffzee deer Kurve häge lear vo ab oder umgekehr! Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 4
43 Blear Teorproduk Ver Eckpuke P P P P P P3 P P4 der Ierpola F Kokree Bepel: P P P P P P P j jb B j P P P 3 P P P 3 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 43
44 Teor-Produk-Bézer-Fläche Allgemee Teor-Produk Bézer-Fläche vom Grad ud m : F m k m b B B für [] b k De Korollpuke pae jez e Korollez auf Bepel für Grad 3 m 3 bkubch k k IR 3 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 44
45 Teor-Produk-Bézer-Fläche Bepel: Uah-Teapo Mar Newell 974 beeh au 8 bkubche Bézer-Fläche hp:// Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 45
46 Teor-Produk-Bézer-Fläche Allgemee Teor-Produk Bézer-Fläche vom Grad ud m : m m m m F b k B Bk bk Bk B k k Für jede Parameer F ee Bézer-Kurve vom Grad d.h. eparamerge Schar vo Bézer-Kurve De Korollpuke deer Kurve d häge vo ab: d m k bk Bk Kurve m co d Bézer-Kurve : F b m c B k m ck k k k B Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 46
47 Teor-Produk-Bézer-Fläche Allgemee Teor-Produk Bézer-Fläche vom Grad ud m : F m k b k B B m k für [] b k IR 3 Formegechafe der Bézer-Kurve überrage ch auf Bézer-Fläche. Eckpukerpolao. Tagealebee de 4 Eckpuke 3. Affe Ivaraz 4. Kovexe Hülle 5. Jedoch ch: Varaoreduko De 4 Radkurve eer Bézer-Fläche d Bézer- Kurve. De jewelge Korollpuke lege am Rad de Korolleze. Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 47
48 Teor-Produk-Bézer-Fläche Algorhme für Teorproduk-Fläche Allgemee Vorgehe: Zwe Schre: Kurve-Algorhmu -Rchug Kurve-Algorhmu -Rchug oder umgekehr Bepel: Auwerug m deaeljau Auf jede Spale vo Korollpuke de Kurve-deaeljau -Rchug Auf de erhalee Puke ee Kurve-deaeljau -Rchug Weere Bepel: mdpo ubdvo Auf jede Spale vo Korollpuke mdpo ubdvo Auf jede Zele de erhalee Array mdpo ubdvo Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 48
49 Teor-Produk-Bézer-Fläche Bepel: Teorproduk-deaeljau Allgemee Teor-Produk Bezer-Fläche vom Grad ud m m : m 3 F k b k B B [] Teor-Produk Aaz: D Vero bede Rchuge Zuer edmeoal erer Rchug m de aeljau Da edmeoal zweer Rchug m de aeljau k für b k IR Adere Schwee Zuer de Auwerug m deaeljau für jede Zele a der Selle. Für de o erhalee Were de Auwerug ach deaeljau a der Selle. b k F m b k k b B k B m k Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 49
50 Flächemodellerug / Freformfläche Zel: Verallgemeerug der bleare Ierpolao: Ver kompable Radkurve S O N W Iere foreze verblede W N W N N O W S S O S O Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 5
51 Flächemodellerug / Freformfläche Verallgemeerug der bleare Ierpolao: dabe ware de Radkurve leare Srecke Verbde korrepodereder Puke durch leare Srecke Trafe Ierpolao eer Rchug Regelfläche: Kurve vo P ach P ud vo P 3 ach P 4 Da defere wr de Regelfläche F - Lear eer Rchug kurvg der adere Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 5
52 Flächemodellerug / Freformfläche Trafe Ierpolao eer Rchug m Regelfläche: gegeüber legede Kurvepaar W ud O lear verbde Da ergb de Regelfläche F - W O W N S O Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 5
53 Flächemodellerug / Freformfläche Trafe Ierpolao de adere Rchug : gegeüber legede Kurvepaar S ud N lear verbde Da ergb de Regelfläche F - S N W N S O Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 53
54 Flächemodellerug / Freformfläche We ka ma u de bede jewel eege rafe Ierpolae kombere? De Summe F F ehäl am Rad gerade de leare Aele zu vel. Löug: da oo-pach : Subrahere vo der Summe de bleare Ierpolae der Eckpuke P W S P O S P 3 N W P 4 N O F -- P - P - P 3 P 4 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 54
55 Flächemodellerug: Leare oo-pach Da oo-pach machmal auch al rafe Ierpolao bezeche: F F F - F wobe F der bleare Ierpola zu de ver Radpuke Da oo-pach mm am Rad exak m de ver Radkurve übere Da Flächeere wrd dabe m Hlfe mehrfacher learer Ierpolao defer De ka och weer verallgemeer werde: z.b. kubche oo-pach Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 55
56 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme Bepel: Bemme da oo-pach zu folgede Radkurve: 56 Flächemodellerug: oo-pach W N O S W y x O N S z
57 Flächemodellerug: oo-pach Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 57
58 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme Bepel co d 58 Flächemodellerug: oo-pach W N O S F N S F O W F O W O W
59 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme Bepel co d 59 Flächemodellerug: oo-pach W N O S F F F F F F P
60 Flächemodellerug: oo-pach Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 6
61 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme Bepel: Bemme da oo-pach zu folgede Radkurve: 6 Flächemodellerug: oo-pach W N O S W y x O N S z
62 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme Bepel co d 6 Flächemodellerug: oo-pach F N S F O W F O W O W W N O S
63 Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme Bepel co d 63 Flächemodellerug: oo-pach F F F W N O S F F F P
64 Flächemodellerug: oo-pach Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 64
65 Dreeckge Bezér-Fläche Für de Flächemodellerug d der Regel zuäzlch dreeckge Fläche erforderlch Ma paramerer dee Flächeücke über eem dreeckge Parameergebe Ud verwede dazu bepelwee Berepolyome baryzerche Koordae Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 65
66 Zuammefaug Regelgeomere v. Freformgeomere Polyomkurve Moom-Ba ugeege Lagrage-Ba beer Ierpolaopuke Bere-Ba vel beer Bézer-Kurve Vorele der Bézer-Kurve Formegechafe Auwerug m deaeljau aalych ud geomerch mdpo-ubdvo Zeche m Hlfe vo Bézer-Kurve Darellug vo Freform-Fläche Teorprodukaaz: blear ud allgemeer TP-Bézer Trafe Ierpolao: Leare oo-pach Prof. U. Rüde - Algorhmk kouerlcher Syeme 66
erster Ansatz: Kurve durch Polygon approximieren
6. Modelle für Kurve erser Asaz: Kurve durch Polygo approxmere Polygoe sd sückwese leare Approxmaoe für Kurve bzw. Fläche Nachele: hohe Zahl vo Eckpuke für geaue Repräseao erforderlch erakve Mapulao schwerg
Analytische Statistik. Statistische Schätzungen ( Fortsetzung) Population N = unendlich. Stichprobe n = endlich
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3 BE b) Wie kann man als Spieler eine Standardabweichung von annähernd null realisieren?
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Entladung Wanderung Entladung Wanderung H + --- Q -t - F OH - - F. Q --- +t - F
B - - Überführgszahle d Wadergsgeschwdgke fgabe: Besmmg der orfsche Überführgszahle vo - d O - -oe 0N O oder vo 2 - d SO 4 -oe 0N 2SO 4 d Berechg hrer oeäqvalelefähgkee 2 Besmmg der Wadergsgeschwdgkee
6. Zusammenhangsmaße (Kovarianz und Korrelation)
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F Lorbeer ud Ardt Quer 5.0.006 Physkalsches Praktkum für Afäger Tel Gruppe Optk.4 Wellelägebestmmug mt dem Prsmespektrometer I. Vorbemerkug E Prsmespektrometer st e optsches Spektrometer, welches das efallede
Die Binomialverteilung als Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Schadenversicherung
De Bomalvertelg al Wahrchelchketvertelg für de Schadevercherg Für da Modell eer Schadevercherg e gegebe: = Schade ee Verchergehmer, we der Schadefall etrtt w = Wahrchelchket dafür, da der Schadefall etrtt
Grundlagen der Energietechnik Energiewirtschaft Kostenrechnung. Vorlesung EEG Grundlagen der Energietechnik
Prof. Dr. Ig. Post Grudlage der Eergetechk Eergewrtschaft Kosterechug EEG. Vorlesug EEG Grudlage der Eergetechk De elektrsche Eergetechk st e sogeates klasssches Fach. Folglch st deses Fach vele detallert
Bezier II: Realisierung von Bézier-Flächen. Martin Sommer, Elvis Corbo
ezer II: Realserug vo ézer-fläche Mar Sommer, Elvs Corbo Geschche Paul ézer 1910 1999 Réaul: Drekor Mascheabelug Rechssre: ézer De Caseljau Folge: ézer Kurve ud De Caseljau Alg. Kurve zu Fläche assfuko
4. Marshallsche Nachfragefunktionen Frage: Wie hängt die Nachfrage nach Gütern
Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 Prof. Dr. Fredel Bolle Vorlesug "Mkroökoome" WS 008/009 III. Theore des Haushalts 0 4. Marshallsche Nachfragefuktoe Frage:
Der Approximationssatz von Weierstraß
Der Approxmatossatz vo Weerstraß Ja Köster 22. Oktober 2007 1 Eführug Aus der Aalyss wsse wr, dass sch aalytsche Fuktoe durch Potezrehe der Form f(x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... darstelle lasse. Dabe kovergert
v. Weter st + r X + = ( X + ) = ( X + ) ( X + ) = P Deshalb fr 6 6 = + X = K, d. h. I desem Berech ( 6 6 ) glt also ( Idukto ach ) ( ) ( mod ), was fr
5. De Stze vo Sylow Im gaze Abschtt st G ee edlche Grue, 4 #( G). 5.. Problem: Gbt es zu jedem Teler t vo ( tj ) ee Utergrue H mt #( H) = t? We ja, wevele? Gegebesel: 9 Utergrue H vo G = A 5 mt #( H) =
Erinnerung: Funktionslernen. 5.6 Support Vector Maschines (SVM) Beispiel: Funktionenlernen. Reale Beispiele
Ererug: Fuktoslere 5.6 Support Vector Masches (SVM) überomme vo Stefa Rüpg, Kathara Mork Uverstät Dortmud Vorlesug Maschelles Lere ud Data Mg WS 2002/03 Gegebe: Bespele X LE de ahad eer Wahrschelchketsvertelug
Zahlensysteme. Dezimalsystem. Binär- oder Dualsystem. Hexadezimal- oder Sedezimalzahlen
IT Zahlesysteme Zahledarstellug eem Stellewertcode (jede Stelle hat ee bestmmte Wert) Def. Code: Edeutge Abbldugsvorschrft für de Abbldug ees Zeche-Vorrates eem adere Zechevorrat. Dezmalsystem De Bass
WIB 2 Mathematik und Statistik Formelsammlung. Z Menge der ganzen Zahlen {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
1 Allgeme Geometrsche Rehe: q t = 1 q1 t=0 1 q Mtterachtsformel: ax 2 bxc=0 x 1/ 2 = b±b2 4ac 2a Bomsche Formel: 1. ab 2 =a 2 2abb 2 2. a b 2 =a 2 2abb 2 3. ab a b=a 2 b 2 Wurzel: ugerade 1 Ergebs gerade
Statistik für Ingenieure (IAM) Version 3.0/21.07.2004
Stattk fü Igeeue (IAM) Veo 74 Vaazaalye Mt de efache Vaazaalye (ANOVA Aaly of Vaace) wd de Hypothee gepüft, ob de Mttelwete zwee ode mehee Stchpobe detch d, de au omaletelte Gudgeamthete gezoge wede, de
1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen. 1.1. Jährliche Rentenzahlungen 1.1.1. Vorschüssige Rentenzahlungen
.. Jährlche Retezahluge... Vorschüssge Retezahluge Ausgagspukt: Über ee edlche Zetraum wrd aus eem Kaptal (Retebarwert v, ), das zseszslch agelegt st, jewels zu Beg ees Jahres ee bestmmte Reterate ř gezahlt
Deskriptive Statistik - Aufgabe 2
Derptve Statt - Augabe Budelad Mäer Fraue Bade-Württemberg 7,5 7,5 Bayer 6,8 7,5 Berl-Wet 4,4 Berl-Ot,8 4, Bradeburg 0, 0,8 Breme 4,6,6 Hamburg, 8, Hee 8, 8, Mecleburg-Vorpommer,3, Nederache 0,3, Nordrhe-Wetale
(Markowitz-Portfoliotheorie)
Thema : ortfolo-selekto ud m-s-rzp (Markowtz-ortfolotheore) Beurtelugskrtere be quadratscher Nutzefukto: Beroull-rzp + quadratsche Nutzefukto Thema Höhekompoete: Erwartugswert µ Rskokompoete: Stadardabwechug
Abschnitt III: Gleichungen, Ungleichungen, lineare Gleichungssysteme, Summen. x 2x
Thema: Glechuge 4 4 a) 3 ; b) 3 6 4 1 1 Swatje hat zwe Sparbücher mt glech hohe Beträge. Ihr Bruder Horst Kev hat ur e Sparbuch, auf dem dremal so vel Geld st we auf eem Sparbuch vo Swatje. Horst Kevs
Spannweite, Median Quartilsabstand, Varianz und Standardabweichung.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 06.0.008 Spawete, Meda Quartlsabstad, Varaz ud Stadardabwechug. Streuug um de Mttelwert. I de folgede Säuledagramme st de Notevertelug zweer Schülergruppe (Mädche,
Marketing- und Innovationsmanagement Herbstsemester 2013 - Übungsaufgaben Lesender: Prof. Dr. Andreas Fürst
Marketg- ud Iovatosmaagemet Herbstsemester 2013 - Übugsaufgabe Leseder: Prof. Dr. Adreas Fürst Isttut für Marketg ud Uterehmesführug Abtelug Marketg Uverstät Ber Ihaltsverzechs 1 Eletug Allgemee Grudlage
2.2 Rangkorrelation nach Spearman
. Ragkorrelato ach Spearma Wr wolle desem Kaptel de Ragkorrelatoskoeffzete ach Spearma bereche. De erste Daterehe besteht aus Realseruge x, x,..., x der uabhägg ud detsch stetg vertelte Zufallsvarable
Eigenwerteinschließungen I
auptsemar: Numersche Lösuge für Egewertaufgabe Egewerteschleßuge I Referet: Wolfgag Wesselsky Glederug Eletug Kodto vo Egewerte 3 Eschleßugssätze Bauer-Fke, Gershgor, Wlkso, Bedxo 4 Zusatz: Courat / Weyl
Regressionsverfahren haben viele praktische Anwendungen. Die meisten Anwendungen fallen in eine der folgenden beiden Kategorien:
Regressoslse De Regressoslse st ee Slug vo sttstshe Alseverfhre. Zel e de häufgste egesetzte Alseverfhre st es Bezehuge zwshe eer hägge ud eer oder ehrere uhägge rle festzustelle. Se wrd sesodere verwedet
Grundgesetze der BOOLEschen Algebra und Rechenregeln
5... Grudgesetze der BOOLEsche Algebra ud Recheregel Auf de mathematsch korrekte Eführug der BOOLEsche Algebra ka ch verzchte, da das Ihrer Mathematkausbldug ausführlch behadelt wrd. Ich stelle Ihe zuächst
Maße zur Kennzeichnung der Form einer Verteilung (1)
Maße zur Kezechug der Form eer Vertelug (1) - Schefe (skewess): Defto I - Ee Vertelug vo Messwerte wrd als schef bezechet, we se der Wese asymmetrsch st, dass lks oder rechts des Durchschtts ee Häufug
AG Konstruktion KONSTRUKTION 2. Planetengetriebe (Umlaufgetriebe) Skript. TU Berlin, AG Konstruktion
AG Kstrut KONTRUKTION Plaetegetrebe (Umlaufgetrebe) rpt TU Berl, AG Kstrut Plaetegetrebe Vrtele Plaetegetrebe: e Achsversatz z.t. sehr grße Über-/Utersetzuge möglch grße Tragraft guter Wrugsgrad Rhlff
Prof. Dr. B.Grabowski. Die Behauptung I folgt aus der Multiplikationsformel: )
Höhere Mathemat KI Master rof. Dr..Grabows E-ost: grabows@htw-saarlad.de Satz vo ayes ud totale Wahrschelchet Zu ufgabe anachwes der Formel I ud II: eh.: I. Formel der totale Wahrschelchet: ewes: Es glt:...
Deskriptive Statistik - Aufgabe 3
Desrptve Statst - Aufgabe 3 De Überachtugszahle der Fremdeverehrsgemede "Bachstadt" für de Moate ud zege auf de erste Blc scho deutlche Uterschede de ezele Ortschafte. We seht e etsprecheder Verglech der
Definitionen und Aussagen zu Potenzreihen
Deftoe ud Aussage zu Potezrehe User bsherges Repertore a stetge Abblduge basert auf ratoale Fuktoe, also Ausdrücke, dee Addto, Subtrakto, Multplkato ud Dvso vorkomme. Auf dese Wese sd aber Epoetalfukto,
Ordnungsstatistiken und Quantile
KAPITEL Ordugsstatste ud Quatle Um robuste Lage- ud Streuugsparameter eführe zu öe, beötge wr Ordugsstatste ud Quatle... Ordugsstatste ud Quatle Defto... Se (x,..., x R ee Stchprobe. Wr öe de Elemete der
3. Das Messergebnis. Was ist ein Messergebnis?
. Das Messergebs Was st e Messergebs? Wederholug der Messug Wahrer Wert? Mehrere Eflussgröße Fehlerbetrachtug Messergebs Vorgeheswese für Messergebs. Bestmmug des bekate systematsche Fehlers 2. Aufahme
Prof. Dr. H. Rommelfanger: Entscheidungstheorie, Kapitel 3 54
Prof. Dr. H. Rommelfager: tschedugstheore, Katel 3 54 3.2.8 ARROW-PRATT-Maß für de Rskoestellug Rskoverhalte bsher grob kategorsert ach Rskoeutraltät, -symathe ud averso be Rskoaverso: (X) < SÄ Rskoräme
BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FB B: SCHUMPETER SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS
Name: Vorame: Matrkel-Nr.: BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL FB B: SCHUMPETER SCHOOL OF BUSINESS AND ECONOMICS Itegrerter Studegag Wrtshaftswsseshaft Klausuraufgabe zur Hauptprüfug Prüfugsgebet: BWW 2.8
14. Folgen und Reihen, Grenzwerte
4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Folge ud Rehe, Grezwerte 4. Ee Folge defere Defere de Folge (a ) Õ mt a =+: Eplzte Defto *+ a() Doe 3, falls = Rekursve Defto Defere de Folge (b ) Õ, b = : b + sost whe(=,
1 Elementare Finanzmathematik
Elemetare Fazmathemat 4 Elemetare Fazmathemat Zel: Bewertug ud Verglech atueller ud zuüftger Geldströme. Determstsche Zahlugsströme Defto: E determstscher Zahlugsstrom st ee Futo Z: N R, de jedem Zetput
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Satz vo Bayes ud totale
Formelsammlung zur Zuverlässigkeitsberechnung
Formelsmmlug zur Zuverlässgetsberechug zusmmegestellt vo Tt Lge Fchhochschule Merseburg Fchberech Eletrotech Ihlt:. Zuverlässget vo Betrchtugsehete.... Zuverlässget elemetrer, chtreprerbrer ysteme... 3.
2. Die Elementarereignisse sind die Kombinationsmöglichkeiten von: Wappen = W und:
1 L - Hausaufgabe Nr. 55 Sotag, 1. Ju 2003 Ee Müze werde dremal geworfe. Was st das Zufallsexpermet, das Elemetareregs, das zusammegesetzte Eregs, der Eregsraum ud de Wahrschelchket? Lösugs kte.: 1 De
av, Stand % w w w.alvico.ch
T o c euh ouv eau e eu U g V D V B U V L U UV UD Ä B be -T VU D UV av, Sad 06.2017 alv L U Verka uf- é V L D V U LV Z V al U U B UV be eu U UV V L V D U ue q Téch e m â du B de Vee T 20% euh e LV V l G
19. Amortisierte Analyse
9. Amortserte Aalyse Amortserte Aalyse wrd egesetzt zur Aalyse der Laufzet vo Operatoe Datestrukture. Allerdgs wrd cht mehr Laufzet ezeler Operatoe aalysert, soder de Gesamtlaufzet eer Folge vo Operatoe.
2 Integrierte Sicherheitstechnik
Iegrere Scherhesechk Scherhesechsche Archekur o MOISAFE UCS..B 2 2 Iegrere Scherhesechk De acholged beschrebee Scherhesechk des MOISAFE UCS..B erüll olgede Scherhesaorderuge: Kaegore 4 ud erorace Leel
Ein Kredit von 350.000 soll mit 10% p.a. verzinst werden. Folgende Tilgungen sind vereinbart:
E. Tlgugsechuge Aufgabe E Ked vo 350.000 soll 0% p.a. vezs wede. Folgede Tlguge sd veeba: Ede Jah : 70.000 Ede Jah : 63.000 Ede Jah 6:.500 Ede Jah 7: Reslgug. A Ede des 3. ud 5. Jahes efolge keele Zahluge
Grundlagen der Entscheidungstheorie
Kaptel 0 Grudlage der Etschedugstheore B. 0 (Gegestad) De Etschedugstheore befasst sch mt dem Etschedugsverhalte vo Idvdue ud Gruppe. Se besteht aus we Telgebete. Deskrptve Etschedugstheore De deskrptve
Unter einer Rente versteht man eine regelmässige und konstante Zahlung
8 Aweduge aus der Fazmathematk Perodsche Zahluge: Rete ud Leasg Uter eer Rete versteht ma ee regelmässge ud kostate Zahlug Bespele: moatlche Krakekassepräme, moatlche Altersrete, perodsches Spare, verteljährlcher
die Schadenhöhe ( = Risikoergebnis) des i-ten Versicherungsnehmers i 1,, n).
Aufgabe Wr betrachte ee Reteverscherug der Retebezugszet mt jährlch vorschüssger Retezahlug solage der Verscherte lebt. a) Bezeche V bzw. V de rechugsmäßge Deckugsrückstellug am Afag bzw. am Ede des Verscherugsjahres.
Pyramidenvolumen Was haben Treppenkörper mit Intervallschachtelung zu tun?
Pyramdevolume Was abe Treppekörper mt Itervallscactelug zu tu? Gegebe st ee Pyramde mt der Grudkate a = 5 ud der Höe = 8. De Höe st äqudstat Tele egetelt ud der Pyramde sd 3 Quader ebescrebe. 1) Berece
Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap.5: Kombinatorik. Referenzen zum Nacharbeiten:
FH Wedel Prof. Dr. Sebasta Iwaows D5 Fole Dsrete athemat Sebasta Iwaows FH Wedel ap.5: ombator Refereze zum Nacharbete: Lag 5. 5. 7. (Bsp. 4) Beutelspacher 4 (außer Fxpute vo Permutatoe) eel 8 Hacheberger
n 4 Dr. A. Brink Dr. A. Brink 1
E. Tlgugsechuge Aufgabe E/3 E Ked ee chuldsue vo. s übe Jahe ach de Mehode de quaalswese-achschüssge Auäelgug zuückzuzahle. Eel e de Jahesauä sowe de Rückzahlugsae ud eselle e ee Fazpla fü ee Jaheszssaz
Physikalische Messungen sind immer fehlerbehaftet! Der wahre Wert ist nicht ermittelbar. Der wahre Wert x ist nicht identisch mit dem Mittelwert
Physkalsche Messuge sd mmer fehlerbehaftet! Der wahre Wert st cht ermttelbar. Der wahre Wert st cht detsch mt dem Mttelwert Der Wert legt mt eer gewsse Wahrschelchket (Kofdezahl bzw. Vertrauesveau %) m
Aufgaben. 1. Gegeben seien folgende Daten einer statistischen Erhebung, bereits nach Größe sortiert (Rangliste):
Aufgabe. Gegebe see folgede Date eer statstsche Erhebug, berets ach Größe sortert (Raglste): 0 3 4 4 5 6 7 7 8 8 8 9 9 0 0 0 0 0 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 8 30 Erstelle Se ee Tabelle, der de Merkmalsauspräguge
= T. 1.1. Jährliche Ratentilgung. 1.1. Jährliche Ratentilgung. Ausgangspunkt: Beispiel:
E Tilgugsrechug.. Jährliche Raeilgug Ausgagspuk: Bei Raeilgug wird die chuldsumme (Newer des Kredis [Aleihe, Hypohek, Darleh]) i gleiche Teilberäge T geilg. Die Tilgugsrae läss sich ermiel als: T =.. Jährliche
Strittige Auffassungen zu Anforderungsprofil und Betriebsart bei der Neufassung der IEC 61508-3 und -7
Strtte Auffassue zu Aforderusrofl ud Betrebsart be der Neufassu der IEC 6508-3 ud -7 Vortra a der TU Brauschwe m November 205 vo Wolfa Ehreberer, Hochschule Fulda 7..205 Ehreberer, IEC 6508, Strtte Auffassue...
Geometrisches Mittel und durchschnittliche Wachstumsraten
Dpl.-Kaufm. Wolfgag Schmtt Aus meer Skrpterehe: " Kee Agst vor... " Ausgewählte Theme der deskrptve Statstk Geometrsches Mttel ud durchschttlche Wachstumsrate Modellaufgabe Übuge Lösuge www.f-lere.de Geometrsches
Abschlussprüfung zum/zur Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis. Formelsammlung. Autor: Iwan Brot
Abschlussprüfug zum/zur Fazplaer/ mt edg. Fachauswes Formelsammlug Autor: Iwa Brot Dese Formelsammlug wrd a de Prüfuge abgegebe sowet erforderlch. Stad 1. Jul 2010. Äderuge vorbehalte. Formelsammlug Fazplaer
Abschlussprüfung zum/zur Finanzplaner/in mit eidg. Fachausweis. Formelsammlung. Autor: Iwan Brot
Abschlussprüfug zum/zur Fazplaer/ mt edg. Fachauswes Formelsammlug Autor: Iwa Brot Dese Formelsammlug wrd a de Ole- ud a de müdlche Prüfuge abgegebe sowet erforderlch. A der schrftlche Klausur (Ope-book-Prüfug)
Lösungen zum Übungs-Blatt 7 Wahrscheinlichkeitsrechnung
Lösuge zum Übugs-Blatt 7 Wahrschelchketsrechug BMT Bostatstk Prof. Dr. B. Grabowsk ----------------------------------------------------------------------------------------------- Bedgte Wahrschelchket
1 s. 1 s. 1 k. n j. j = Wärmedurchgang durch eine mehrschichtige, ebene Wand:
Wärmeurchgg urch ee mehrchchtge, ebee W: ugehe vo er Löug er Fourer'che Dfferetlglechug für e Wärmetrport urch ee ebee Wfläche : A T ergbt ch ru für ee mehrchchtge, ebee Wfläche: A ru wr e Wärmeurchggwertzhl
Bogenlängen. Beispiele: Die Länge eines Grafen (Bogenlänge) einer Funktion f über [ a ; b ] läßt sich berechnen mit der Formel :
![Bogenlängen. Beispiele: Die Länge eines Grafen (Bogenlänge) einer Funktion f über [ a ; b ] läßt sich berechnen mit der Formel :](/thumbs/65/54237888.jpg "Bogenlängen. Beispiele: Die Länge eines Grafen (Bogenlänge) einer Funktion f über [ a ; b ] läßt sich berechnen mit der Formel :")
Bogeläge De Läge ees Gre Bogeläge eer Fuko üer [ ; ] läß sch ereche m der Formel : l ' d Des ühr de mese Fälle u komplzere Iegrde, de sch häug ur äherugswese ereche lsse. Bespele: De Keele m h, e e - h
Prinzip "Proportional Reduction of Error" (PRE)
Dr. Reate Prust: Eführug quattatve Forschugsmethode Bvarate Maße: Przp "Proportoal Reducto of Error" (PRE) E 1 - E Fehler be Regel 1 - Fehler be Regel = E 1 Fehler be Regel 1 Regel 1: Vorhersageregel ur
Praktikumsbericht AUSFALLRATEN
Praumsberch AUSALLATEN.7. Clauda Hallau Tel.: 5-95- E-Mal: verehrssysemech@dlr.de> Copyrgh ach DIN beache. Weergabe sowe Vervelfälgug deses Doumes, Verwerug ud Melug sees Ihales sd verboe, sowe ch ausdrüclch
Lineare Algebra Formelsammlung
ee Algeb Fomelsmmlug vo Gábo Zogg Fomelsmmlug ee Algeb Gábo Zogg. ee Glechugsssteme. Ds Guss'sche Elmtosvefhe Defto: Σ Sstem vo m Glechuge ud Ubekte Opetoe: - Vetusche vo Glechuge - Addee/Subthee ees Velfche
Finanzmathematische Grundlagen zur Zins- und Rentenrechnung
Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug Fazmahemasche Grudlage zur Zs- ud Reerechug (Fassug - November 008) /3 Markus Scheche Emal: mal@markus-scheche.de Homepage: www.markus-scheche.de Fazmahemasche
Z Z, kurz. Zählt die Reihenfolge der Buchstaben (ja/nein) Daraus ergeben sich wiederum vier Möglichkeiten, Wörter der Länge k zu bilden.
Kombator Problemstellug Ausgagsput be ombatorsche Fragestelluge st mmer ee edlche Mege M, aus dere Elemete ma edlche Zusammestelluge vo Elemete aus M bldet Formal gesproche bedeutet das: Ist M a,, a ee
Wenn man mehrere Verbraucher in Reihe schaltet, so werden alle vom gleichen Strom durchflossen, siehe auch Abschnitt und Formel ( ).
- rudlage der Elektrotechk - 60 22..04 4 Der komplzertere elektrsche lechstromkres 4. Kombato vo Verbraucher 4.. Sere- oder eheschaltug vo Wderstäde We ma mehrere Verbraucher ehe schaltet, so werde alle
Ergebnis- und Ereignisräume
I Ergebs- ud Eregsräume Zufallsexpermete Defto: E Expermet, welches belebg oft uter gleche Bedguge wederholbar st ud desse Ergebs cht mt Bestmmthet vorhergesagt werde ka (d.h. es gbt md. 2 Mgk.), heßt
Beispielklausur BWL B Teil Marketing. 45 Minuten Bearbeitungszeit
Bespelklausur BWLB TelMarketg 45MuteBearbetugszet BWLBBespelklausurTelMarketg Sete WchtgeHwese:. VOLLSTÄNDIGKEIT: PrüfeSeuverzüglch,obIhreKlausurvollstädgst(Aufgabe).. ABGABE: EsstdegesamteKlausurabzugebe.
Zur Interpretation einer Beobachtungsreihe kann man neben der grafischen Darstellung weitere charakteristische Größen heranziehen.
Rudolf Brkma http://brkma-du.de Sete 0.0.008 Lagemaße der beschrebede Statstk. Zur Iterpretato eer Beobachtugsrehe ka ma ebe der grafsche Darstellug wetere charakterstsche Größe herazehe. Mttelwert ud
1 n. STATISTIK I Übung 06 Schiefe und Wölbung. 1 Kurze Wiederholung. Eine dritte Form von Verteilungsparametern?
Stattk I Übu 06 Chrta Reboth STATISTIK I Übu 06 Schefe ud Wölbu Kurze Wederholu Ee drtte For vo Verteluparaeter? Nebe de Maße der zetrale Tedez (Zetru eer Vertelu) ud de Dperoparae- ter (Streuu der Werte
1.2. Taylor-Reihen und endliche Taylorpolynome
1.. aylor-reihe ud edliche aylorpolyome 1..1 aylor-reihe Wir köe eie Fuktio f() i eier Umgebug eies Puktes o gut durch ihre agete i o: t o () = f(o) + f (o) (-o) aäher: Wir sehe: Je weiter wir vo o weg
Ein Beitrag zur Identifikation von dynamischen Strukturmodellen mit Methoden der adaptiven KALMAN-Filterung
E Berag zur Idefao vo damche Sruurmodelle m Mehode der adapve KAMAN-Flerug Vo der Faulä Bau- ud Umwelgeeurwechafe der Uverä Sugar zur Erlagug der Würde ee Door-Igeeur Dr.-Ig. geehmge Abhadlug Vorgeleg
Histogramm / Säulendiagramm
Hstogramm / Säuledagramm Häugkete 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 3,45 3,75 4,05 4,35 4,65 Flüge lläge [mm] Be Hstogramme st soort deutlch, daß es sch um Häugketsauszähluge hadelt. De Postoe der Klasse sowe hre
Induktion am Beispiel des Pascalschen Dreiecks
Iduto am Bespel des Pascalsche Dreecs Alexader Rehold Coldtz 0.02.2005 Eletug vollstädge Iduto De vollstädge Iduto st ebe dem drete ud drete Bewesverfahre ees der wchtgste der Mathemat. Eher bespelhaft
MST Übung 3 Mathematik 2 Prof.Dr.B.Grabowski Tel.:
MST Übug Mthemtk Prof.Dr.B.Grbowsk e-ml: grbowsk@htw-srld.de Tel.: 87- Iverse Mtrze ufgbe : Bereche Se de Iverse Mtr zu folgede Mtrze. Prüfe Se Ihr Ergebs, dem Se - bereche! b dg-,,-,,-, c 7 d ufgbe :
2. Mittelwerte (Lageparameter)
2. Mttelwerte (Lageparameter) Bespele aus dem täglche Lebe Pro Hemspel hatte Borussa Dortmud der letzte Saso durchschttlch 7.2 Zuschauer. De deutsche Akte sd m Durchschtt um 0 Zähler gefalle. I Ide wurde
wahlberechtigte Personen der BRD zur Bundestagswahl zugelassene Parteien (SPD, CDU, Grüne, FDP)
Zu Aufgabe 1) Sd folgede Merkmale dskret oder stetg? a) De durch ee wahlberechtgte Perso der BRD gewählte Parte be der Budestagswahl. b) Kraftstoffverbrauch ees Persoekraftwages auf 100 km. c) Zahl der
Bestimmung von Blei in Wasser. (Beispiel: Abwasserüberwachung)
Betg vo Ble Wer Bepel: Awerüerwchg erfhre Alehg DIN 38406-6 AAS, Lft-Eth-Fle : Detche Ehetverfhre zr Wer-, Awer- d Schlterchg Aorptole: 83,3 ; Meerech: Mekozetrto 0,5 g/l 0 g/l Zel: Erttlg der Mekozetrto