Informationstechnik N. Fliege Systemtheorie

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1 Informationstechnik N. Fliege Systemtheorie

2 Informationstechnik Herausgegeben von Prof. Dr.-Ing. Norbert Fliege, Hamburg-Harburg In der Informationstechnik wurden in den letzten Jahrzehnten klassische Bereiche wie lineare Systeme, N achrichtenübertragung oder analoge Signalverarbeitung ständig weiterentwickelt. Hinzu kam eine Vielzahl neuer Anwendungsbereiche wie etwa digitale Kommunikation, digitale Signalverarbeitung oder Sprach- und Bildverarbeitung. Zu dieser Entwicklung haben insbesondere die steigende Komplexität der integrierten Halbleiterschaltungen und die Fortschritte in der Computertechnik beigetragen. Die heutige Informationstechnik ist durch hochkomplexe digitale Realisierungen gekennzeichnet. In der Buchreihe "Informationstechnik" soli der internationale Stand der Methoden und Prinzipien der modernen Informationstechnik festgehalten, algorithmisch aufgearbeitet und einer breiten Schicht von Ingenieuren, Physi kern und Informatikern in Universität und Industrie zugänglich gem acht werden. Unter Berücksichtigung der aktuelien Themen der Informationstechnik will die Buchreihe auch die neuesten und damit zukünftigen Entwicklungen auf diesem Gebiet reflektieren.

3 Systemtheorie Von Dr.-Ing. Norbert Fliege Professor an der Technischen Universität Hamburg-Harburg Mit 135 Bildern EI3 B. G. Teubner Stuttgart 1991

4 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme Fliege, Norbert: Systemtheorie 1 Norbert F1iege. - Stuttgart: Teubner, 1991 (Informationstechnik) ISBN ISBN (ebook) DOI / Das Werk einschlie81ich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung au8erhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. B. G. Teubner Stuttgart 1991 Softcover reprint ofthe hardcover Ist edition 1991 Einband: P.P.K, S - Konzepte Tabea Koch, Ostfildem/Stuttgart

5 Vorwort Das vorliegende Buch entstand aus der gleichnamigen Vorlesung, die ich für Studierende der Elektrotechnik im 5. und 6. Semester an der Technischen Universität Hamburg-Harburg halte. Das Kernfach Systemtheorie bildet eine Grundlage für das Hauptstudium in den Studiengängen Nachrichtentechnik, Mef3.., Steuerungs- und Regelungstechnik, Technische Informatik und Mikroelektronik. Darüber hinaus wurde der Text für Fortbildungsseminare in zahlreichen Industriefirmen verwendet. Das Buch wendet sich an Studierende und Ingenieure der Elektrotechnik und benachbarter Fachgebiete. Der Umfang und die Auswahl des Stoft"es orientieren sich an dem Rahmen einer zweisemestrigen Vorlesung. Zur Lektüre des Buches werden Kenntnisse der Mathematik vorausgesetzt, die üblicherweise im Grundstudium eines wissenschaftlichen Studienganges erworben werden. Andererseits bauen auf dem Stoft" weiterführende Vorlesungen wie Filter und Netzwerke, Nachrichtenübertragung, Digitale Signalverarbeitung und Regelungstechnik auf. Eine zeitgemäbe Systemtheorie mub der technischen Entwicklung der letzten Jahre Rechnung tragen, die durch einen steigenden Einsatz von Mikrorechnern bei der Realisierung technischer Systeme gekennzeichnet ist. Der klassischen Theorie der kontinuierlichen Signale und Systeme steht daher heute die Theorie der diskreten Signale und Systeme mit gleicher Bedeutung gegenüber. Bei einer zusammenfassenden Darstellung erscheint es mir wichtig, die Gemeinsamkeiten beider Systemklassen hervorzuheben. Beide werden zwar aus Gründen der Übersichtlichkeit in getrennten KapiteIn behandelt. Diese Kapitel sind aber völlig gleich strukturiert. Zu jeder Aussage kann man in dem jeweils anderen Kapitel ein Pendant finden. Begrift"e wie etwa die Faltung, die Impulsantwort oder die Übertragungsfunktion werden für beide Systemklassen in gleicher Art verwendet. Weiterhin wird das Ziel verfolgt, die enge Verwandtschaft zwischen den verschiedenen Integraltransformationen nachzuweisen und die Voraussetzungen für den Übergang zwischen den transformierten GröBen zu klären. Dazu gehören beispielsweise die lückenlose Ableitung der diskreten Fourier-Transformation über der zeitdiskreten Fourier-Transformation aus dem Fourier-Integral, der Zusammenhang zwischen der Laplace- und der Z Transformation, der Übergang zwischen Fourier- und Laplace-Transformierten, die Dualität zwischen Fourier-Reihen und zeitdiskreter Fourier-Transformation oder die Unterschiede zwischen ein- und zweiseitiger Z-Transformation.

6 Das Buch gliedert sich grob in zwei Teile. In den ersten vier Kapitein werden zeitkontinuierliche Signale und Systeme behandelt, in den darauf folgen den vier Kapitein zeitdiskrete Signale und Systeme. Da die bekannten Integraltransformationen wie Fourier-Transformation, Laplace-Transformation und Z-Transformation Eigenschaften aufweisen, die von den Eigenschaften der betrachteten Systeme untrennbar sind, werden sie als fester Bestandteil der Systemtheorie aufgefabt und in jeweils eigenständigen Kapitein behandelt. Die eigentlichen Systeme werden in den Kapitein 4 und 8 beschrieben. Die Beschreibung erfolgt für determinierte als auch für stochastische Signale im Zeitund im Frequenzbereich. Zusätzlich werden die kontinuierlichen wie auch die diskreten Systeme in der Zustandsdarstellung behandelt. Im 7. Kapitel wird zwischen den kontinuierlichen und den diskreten Signalen und Systemen eine Brücke gebaut. Es wird der Versuch unternommen, sowohl theoretische als auch praktische Aspekte der Signalabtastung und -rekonstruktion mit den Mitteln der Systemtheorie zu beschreiben. Um dem Leser eine gründliche Auseinandersetzung mit der Systemtheorie zu ermöglichen, werden alle wichtigen systemtheoretischen Aussagen hergeleitet. Die dazu benötigten mathematischen Beziehungen werden dagegen als Werkzeug betracht et und nicht bewiesen. So wird beispielsweise in vielen Fällen die Vertauschbarkeit der Reihenfolge bei der Summation oder Integration als gegeben vorausgesetzt. Die 40 wichtigsten Ergebnisse werden als eingerahmte Formeln dargestellt und bilden ein Skelett für den gesamten Text. An wenigen Stellen wird eine nicht eingeführte Nomenklatur verwendet. So wird im Hinblick auf die ideale Abtastung nicht von der Ausblendeigenschaft des Dirac-Impulses gesprochen, sondern von der Abtasteigenschaft. Verschiedene Fourier-Transformationen, die mit diskreten Signalen in Verbindung gebracht werden, werden in der Klasse der Diskreten Fourier- Transformationen zusammengefabt. Das Symbol " " wird in den Korrespondenzen aller Transformationen verwendet. Als Leistungsdichtespektren werden nicht nur Fourier Transformierte bezeichnet, sondern auch Laplace- und Z-Transformierte, wenn diese offensichtlich äquivalent sind. Bei der Abfassung des Textes haben zahlreiche Diskussionen mit Prof. K.D. Kammeyer wertvolle Dienste geleistet. Der 'fex-text wurde von Frau B. Erdmann geschrieben. Der gröbte Teil der Bilder wurde von den Herren T. Boltze, G. Monien und M. Seidel erstellt. Mit einer kritischen Durchsicht und Korrektur haben mir die Herren Dr. A. Mertins, M. Schusdziarra und Dr. J. Wintermantel geholfen. Ihnen allen gilt mein herzlicher Dank! Bei Herrn Dr. J. Schlembach vom Teubner-Verlag möchte ich mich für das bereitwillige Eingehen auf meine Wünsche bedanken! Hamburg, im März 1991 N. Fliege

7 Inhalt Vorwort Inhaltsverzeichnis 1. Einführung: Signale und Systeme Zeitkontinuierliche Signale Allgemeine Exponentialfunktionen Sinusförmige Signale Sprungfunktion und verwandte Funktionen Dirac-Impuls Kausale Signale Gerade und ungerade Signalanteile Energiesignale und Leistungssignale Stochastische Signale Zeitdiskrete Signale Exponentialfolgen Sinus- und Kosinusfolgen Sprungfolge und verwandte Folgen Diskrete Energiesignale und Leistungssignale Stochastische diskrete Signale Testsignale zur Systembeschreibung Erregung mit Rechtecksignal Lösung der Differentialgleichung Auswertung der Lösung Erregung mit Dirac-Impuls Systeme Impulsantwort von LTI-Systemen Faltungsintegral Eigenfunktionen und Frequenzgang... 31

8 VIII lnhaltsverzeichnis 2. Fourier-Transformation Fourier-Integral Eigenschaften und Rechenregeln Linearität Umkehrintegral und Dualität Ähnlichkeitssatz (Zeitskalierung) Frequenzskalierung Normierung und Zeit-Bandbreite-Produkt Verschiebungssatz (Zeitverschiebung) Modulationssatz (Frequenzverschiebung) Konjugiert komplexe Zeitfunktionen Differentiation im Zeitbereich Leistungssignale Gleichspannungssignal Wechselspannungssignal Signumfunktion Sprungfunktion Symmetrieeigenschaften ReelIe Zeitfunktionen Imaginäre Zeitfunktionen Komplexe Zeitfunktionen Kausale Zeitfunktionen Faltung und Korrelation Faltung im Zeitbereich Faltungstheorem Faltung mit dem Dirac-Impuls Integrationssatz Faltung im Frequenzbereich Parsevalsches Theorem Korrelation von Energiesignalen Wiener-Khintchine-Theorem Rücktransformation Das Fourier-Umkehrintegral Rücktransformation mit Bandbegrenzung Gibbs'sches Phänomen Rücktransformation der Sprungfunktion Laplace-Transformation Definitionen und Korrespondenzen Definition der zweiseitigen Laplace-Transformation... 86

9 lnhaltsverzeichnis IX Definition der einseitigen Laplace-Transformation Transformation des Dirac-Impulses Transformation der Sprungfunktion Kausale Exponentialfunktionen Kausale cos- und sin-funktionen Konvergenz, Kausalität und Stabilität Rationale Laplace-Transformierte Konvergenz rechtsseitiger Funktionen Konvergenz linksseitiger Funktionen Zweiseitige Funktionen Kausale und stabile Signale., Eigenschaften und Rechenregeln Linearität Verschiebung im Zeitbereich Verschiebung im Frequenzbereich Ähnlichkeitssatz Differentiation im Zeitbereich Differentiation im Frequenzbereich Integration im Zeitbereich Erster Anfangswertsatz Zweiter Anfangswertsatz Endwertsatz Rücktransformation Das Umkehrintegral Kausale stabile Funktionen Potenzen von s Mehrfache Pole Konjugiert komplexe Pole Kontinuierliche LTI-Systeme Systemantwort im Zeitbereich Impulsantwort und Faltungsintegral Impulsantwort aus Differentialgleichung Frequenzgang und Übertragungsfunktion Frequenzgang Übertragungsfunktion Systemanalyse im Frequenzbereich Auswertung im Zeit- und Frequenzbereich Dämpfung, Phase und Gruppenlaufzeit Real- und Imaginärteil Betrag und Phasenwinkel

10 X Inhaltsverzeichnis Übertragungsmafi, Dämpfung und Phase Ermittlung des Betragsfrequenzganges Bode-Diagramme für die Dämpfung Ermittlung des Phasenfrequenzganges Bode-Diagramme für die Phase Gruppenlaufzeit Allpässe und minimalphasige Systeme Kausalität und Stabilität Kausale LTI-Systeme Stabile LTI-Systeme Test auf Hurwitzpolynom Quasistabile Systeme LTI-Systeme mit stochastischer Erregung Linearer Mittelwert Kreuzkorrelation zwischen Eingang und Ausgang des Systems Die Autokorrelationsfunktion der Systemantwort Das Leistungsdichtespektrum der Systemantwort Stochastische Nutzsignale im Rauschen Determinierte Nutzsignale im Rauschen Systembeschreibung mit Zustandsgleichungen Das Zustandskonzept Darstellung der Zustandsgleichungen Lösung der Zustandsgleichungen im Zeitbereich Faltung und Impulsantwort Lösung der Zustandsgleichungen mit Laplace-Transformation Die Transitionsmatrix Die Übertragungsmatrix Diskrete Fourier-Transformationen Dirac-Impulsreihen Faltung mit der Dirac-Impulsreihe Multiplikation mit der Dirac-Impulsreihe Fourier-Transformation der Dirac-Impulsreihe Fourier-Reihen Poissonsche Summenformel Komplexe Fourier-Reihen Zusammenhang mit dem Fourier-Integral Mittlere Leistung periodischer Signale Reelle Fourier-Reihen

11 Inhaltsverzeichnis XI 5.3 Zeitdiskrete Fourier-Transformation Duale Poissonsche Summenformel Definition der zeitdiskreten Fourier-Transformation Zusammenhang mit Fourier-Integral und Fourier-Reihen Symmetrieeigenschaften Zeitverschiebung Zeitskalierung und Zeitumkehr Frequenzverschiebung Differentiation im Frequenzbereich Konjugiert komplexe Folgen Faltungstheorem Korrelation von Energiesignalen Energiedichtefunktion und Wiener-Kintchine-Theorem Energie diskreter Signale und Parsevalsches Theorem Zeitdiskrete Fourier-Reihen Reihenentwicklung Mittlere Signalleistung Diskrete Fourier-Transformation Z-Transformation Definitionen und Korrespondenzen Definition der zweiseitigen Z-Transformation Definition der einseitigen Z-Transformation Transformation der Impulsfolge Transformation der Sprungfolge Transformation der kausalen Exponentialfolge Zusammenhang mit der Laplace-Transformation Konvergenz, Kausalität und Stabilität Rationale Z-Transformierte Konvergenz rechtsseitiger Folgen Konvergenz linksseitiger Folgen Zweiseitige Folgen Kausale und stabile Folgen Eigenschaften und Rechenregeln Linearität Verschiebung im Zeitbereich Negierung des Zeitindex Skalierung der Variablen z Differenzieren im z-bereich Konjugiert komplexe Folgen Spezifische Eigenschaften der einseitigen Z-Transformation

12 XII lnhaltsverzeichnis Verzögernde Zeitverschiebung Voreilende Zeitverschiebung Anfangswertsatz Endwertsatz Faltung und Korrelation Faltungstheorem Korrelationstheorem Faltung im z-bereich Parsevalsches Theorem Umkehrintegral und Rücktransformation Umkehrintegral Partialbruchentwicklung Entwicklung nach Potenzen von z Signalabtastung und -rekonstruktion Nichtideale Abtastung Beschreibung im Zeitbereich Signalspektren Ideale Abtastung Beschreibung im Zeitbereich Signalspektren Skalierungseffekt der Abtastung Laplace-Transformierte Abtasttheorem Herleitung des Theorems Bandbegrenzung Ideale Rekonstruktion Nichtideale Rekonstruktion Nichtideales Rekonstruktionsfilter Nichtideale Abtastsignale Signalspektren Rekonstruktion mit Abtasthalteoperation Äquivalente zeitdiskrete Signalverarbeitung Abtastung im Frequenzbereich Diskrete LTI-Systeme Systemantwort im Zeitbereich Impulsantwort diskreter LTI-Systeme Diskrete Faltung Sprungantwort

13 Inhaltsverzeichnis XIII 8.2 Kausalität und Stabilität Kausale LTI-Systeme Stabile LTI-Systeme Frequenzgang und Übertragungsfunktion Frequenzgang Übertragungsfunktion Betrag und Phasenwinkel Dämpfung, Phase und Gruppenlaufzeit LTI-Systeme mit stochastischer Erregung System- und Signalbeschreibung Linearer Mittelwert Kreuzkorrelation zwischen Eingang und Ausgang des Systems Die Autokorrelationsfolge der Systemantwort Das Leistungsdichtespektrum der Systemantwort Systembeschreibung mit Differenzengleichungen Rekursive und nichtrekursive Systeme Differenzengleichungen mit Anfangsbedingungen Systembeschreibung mit Zustandsgleichungen Lösung der Zustandsgleichungen im Zeitbereich Faltung und Impulsantwort Lösung der Zustandsgleichungen mit z-transformation Die Transitionsmatrix Die Übertragungsmatrix Anhänge Al. Distributionen A1.1 Problemstellung '" A1.2 Definitionen von Distributionen A1.3 Verallgemeinerte Linearität A1.4 Verallgemeinerte Summe A1.5 Verallgemeinerte Zeitverschiebung A1.6 Verallgemeinerte Skalierung A1.7 Gerade und ungerade Distributionen A1.8 Produkt einer Distribution und einer Funktion A1.9 Faltung zweier Distributionen A1.lO Endliche Integrationsgrenzen

14 XIV lnhaltsverzeichnis A1.11 Verallgemeinerte Ableitungen A Ableitung an einer Knickstelle A Ableitung an einer Sprungstelle A1.12 Verallgemeinerte Grenzwerte A Grenzwert der Rechteckfunktion A Grenzwert der Gaufischen Fehlerfunktion A Grenzwert der komplexen Exponentialfunktion A Grenzwert der si-funktion A1.13 Integration der komplexen Exponentialfunktion A2. Mathematische Formeln A2.1 Rechnung mit komplexen Zahlen A2.2 Trigonometrische Regeln A2.3 Geometrische Reihen A2.4 Potenzreihenentwicklung A2.5 Partialbruchentwicklung A2.6 Differentialrechnung A2.7lntegralrechnung A2.8 Residuensatz A3. Kontinuierliche stochastische Prozesse A3.1 Stochastische Prozesse und Zufallsvariable A3.2 Korrelation und Kovarianz A3.2.1 Autokorrelationsfunktion A3.2.2 Stationäre Prozesse A3.2.3 Kreuzkorrelation zwischen zwei Prozessen A3.2.4 Ergodische stationäre Prozesse A3.3 Leistungsdichtespektrum A4. Diskrete stochastische Prozesse A4.1 Einfache Erwartungswerte A4.2 Korrelation und Kovarianz A4.3 Leistungsdichtespektrum A5. Transitionsmatrix A5.1 Definition A5.2 Eigenwertproblem

15 Inhaltsverzeichnis XV A5.3 Cayley-Hamilton-Theorem A5.4 Restpolynome A5.5 Berechnung der Transitionsmatrix A6. Korrespondenzen der Integraltransformat ionen A6.1 Fourier-Transformation A6.2 Laplace-Transformation A6.3 Z-Transformation A 7. Rechenregeln der Integraltransformationen A7.1 Fourier-Transformation A7.2 Laplace-Transformation A 7.3 Fourier-Reihen A 7.4 Zeitdiskrete Fourier-Transformation A7.5 Zeitdiskrete Fourier-Reihen A 7.6 Diskrete Fourier-Transformation A 7.7 Z-Transformation Literatur Sachverzeichnis

16 1. Einführung: Signale und Systeme Als Systeme sollen komplexe Anordnungen aus allen Bereichen des Lebens, vor allem aus Technik und Wissenschaft verstanden werden. Beispiele hierfür sind das Feder-Masse-System eines Kraftfahrzeuges, der menschliche Körper, eine Volkswirtschaft, ein elektrisches Netzwerk oder ein digitales Filter. Die Systemtheorie betrachtet meistens vereinfachte ModelIe dieser komplexen Anordnungen. Sie beschäftigt sieh insbesondere mit der Reaktion der Systeme auf Störungen oder Erregungen, die von auben auf die Systeme einwirken. So reagiert das Kraftfahrzeug auf eine Unebenheit in der StraBe mit einer gedämpften Schwingung. Der menschjiche Körper reagiert auf die Einnahme eines Medikament es mit zeitabhängigen Wirkstoffkonzentrationen im Blut. Die Volkswirtschaft reagiert auf eine Aktienemission mit einem zeitabhängigen Aktienkurs. Das elektrische Netzwerk reagiert auf eine sprungförmige Spannung an einem Eingangstor mit einer Ausgangsspannung, die im allgemeinen eine Funktion der Zeit ist. Ein digitales Filter reagiert auf eine Eingangszahlenfolge mit einer A usgangszahlenfolge. lm allgemeinen befreit man die Erregungen und Reaktionen durch geeignete Normierung von ihren physikalischen Einheiten und beschreibt sie mathematisch als Funktionen unabhängiger Variablen, meistens als Funktionen der Zeit. Die so normierten Erregungen werden als Eingangssigna/e bezeichnet, die Reaktionen als A usgangssigna/e. Die Systeme sind immer im Zusammenhang mit den Signa/en am Eingang und Ausgang zu betrachten. Die beiden folgenden Abschnitte geben daher zunächst einmal eine Einführung in die gebäuchiichsten Signale und deren Klassifizierung. Der dritte Abschnitt beschäftigt sich mit Testsignalen, die zur Beschreibung des Übertragungsverhaltens der Systeme benötigt werden. Hier wird besonders auf den Nutzen und die mathematische Begründung des Dirac-Impulses eingegangen. Der letzte Abschnitt führt schlieblich die für die Signalverarbeitung wichtige Klasse der linearen zeitinvarianten Systeme ein.

17 2 1. Einführung: Signale und Systeme 1.1 Zeitkontinuierliche Signale Zeitkontinuierliche oder kontinuierliche Signale x(t) sind Funktionen der unabhängigen reellen Variablen t, die in der Regel als Zeitvariable aufzufassen ist. Das Signal x(t) ist abgesehen von gegebenenfalls endlich oder abzählbar unendlich vielen Unstetigkeitsstellen für jeden reellen Wert von t definiert. Ist der Wertevorrat der Funktion x(t) ebenfalls kontinuieriich, so spricht man von analogen kontinuierlichen Signalen. Läfit sieh ein Signal durch eine Formel, eine Tabelle oder einen Algorithmus vollständig beschreiben, so spricht man von einem determinierten Signal Allgemeine Exponentialfunktion Die allgemeine Exponentialfunktion ist ein in der Systemtheorie häufig verwendetes determiniertes Signal: x(t) = A exp(st), A = A' + ja". (1.1.1) In (1.1.1) ist A die komplexe Amplitude und sein komplexer Frequenzparameter. Schreibt man s = u + jw, so lautet (1.1.1) x(t) = A exp(ut). exp(jwt). (1.1.2) Mit w =I- 0 ist diese Funktion auch dann komplexwertig, wenn die Amplitude A = A' reell ist. Man sp richt in diesem Fall von der komplexen Exponentialfunktion. Mit w = 0 und reeller Amplitude A' erhält man die reelie Exponentialfunktion x(t) = A'. exp(ut), (1.1.3) die für u < 0 mit der Zeit t abklingt und für u > 0 mit der Zeit t gröber wird, siehe Bild 1.1.1a und b. Mit Hilfe der Eulerschen Gleichung läbt sieh die komplexe Exponentialfunktion exp 0: = cos 0: + j sin 0: (1.1.4) x(t) = x'(t) + jx"(t) = A' exp(ut). [cos(wt) + jsin(wt)] (1.1.5) in den reellwertigen Realteil x'(t) = A'. exp(ut). cos(wt) (1.1.6)

18 1.1 Zeitkontinuierliche Signale :I und den reellwertigen Imaginärteil zerlegen. X"(t) = A'. exp(at) sin(wt) (1.1. 7) o......!.... O u o o nentialfunktion o "",''-'" o o t Bild 1.1.1: ReelIe Exponentialfunktionen mit a < 0 (a) und a > (h) und lmaginärteile der komplexen Exponentialfunktionen (e und d) Bild 1.1.1e und d zeigen die lmaginàrteile naeh (1.1.7). Man sieht, dab die reellen Exponentialfunktionen naeh (1.1.3) als Einhüllende der komplexen auftreten (in Bild 1.1.1c und d gestrichelt eingezeichnet) Sinusförmige Signale Setzt man in ( ) den Parameter a = 0, 50 erhält man Sinus- und Kosinusfunktionen mit der Amplitude A'. Beide Funktionen lassen sieh wegen sin( a) = - sin( -a) (ungerade Funktion), (1.1.8) cos(a) = eos(-a) (gerade Funktion) (1.1.9)

19 4 1. Einführung: Signale und Systeme mit Hilfe von (1.1.4) als Linearkombination von komplexen Exponentialfunktionen darstellen: A'. sin(wt) = A exp(jwt) ~ _ A ~ 2) 2) exp( - jwt}, (1.1.10) Der Frequenzparameter A' A' A'. cos(wt) = 2" exp(jwt) + 2" exp( -) wt). (1.1.11) w = 211" f = 211" ft (1.1.12) wird Kreisfrequenz genannt. Die GröBe f ist die Frequenz in Hz, d.h. die Anzahl der Sinusperioden pro Sekunde. Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind periodisch in der Zeit mit der Periode T. Es gilt daher A'. sin(wt) = A'. sin[w(t ± it)], i = 0,1,2,... (1.1.13) Die Sinus- und Kosinusfunktionen können allgemein mit Nullphasenwinkel CPo dargestellt werden: x(t) = A. ~ sin(wt + cpo). (1.1.14) Auch diese Funktion läbt sich durch komplexe Exponentialfunktionen, allerdings mit komplexen Amplituden, ausdrücken: Darin ist x(t) = ~ exp(jwt) + ~ exp(-jwt). * (1.1.15) A = A. ~ sin CPo - i A. ~ cos CPo (1.1.16) und A* der konjugiert komplexe Wert zu A. Dieses läbt sich mit Hilfe der Eulerschen Gleichung (1.1.4) und den trigonometrischen Umrechnungsformeln im Anhang 2 zeigen Sprungfunktion und verwandte Funktionen Die zeitkontinuierliche Sprungfunktion ist für alle Zeiten t =1= 0 folgenderma Ben definiert: (1.1.17) (t) = {o für t < 0 1 für t > O. Für t = 0 ist die Sprungfunktion nicht definiert. An dieser Stelle ist sie unstetig, siehe Bild 1.1.2a.

20 , 1.1 Zeitkontinuier/iche Signale 5 Die zeitkontinuier/iche Rechteckfunktion rect(t) ist für alle Zeiten t mit Itl =ft 1/2 wie folgt definiert: { 0 für Itl > 1/2 rect(t) = 1 für Itl < 1/2, (1.1.18) siehe Bild 1.1.2b. An den Sprungstellen bei t = -1/2 und t = 1/2 ist sie nicht definiert. a) dl) b) rect(t) I - H r - - ~ ~ ~ - - ~ o ~ _ -... IH ; ~ Of---+ -I o 2 -O '---...l '----' -I -0.5 o 0.5 C)S2I1(t)..., ;.- : ----; o t d tri t..,...,... oot o.o.,... ;...,... ~... -I H Ol---...;r -2 -I o -2 -I o Bild 1.1.2: Sprungfunktion (a), Rechteckfunktion (b), Signumfunktion (c) und Dreieckfunktion (d) Die Rechteckfunktion kann durch zwei Sprungfunktionen dargestellt werden: 1 1 rect(t) = E(t + 2) - E(t - 2) (1.1.19) oder alternativ 1 1 rect(t) = E(t + 2) ' E(-t + 2)' (1.1.20) Das Argument t - (1/2) drückt eine zeitliche Verzögerung aus, das Argument t + (1/2) ein Voreilen und das Argument -t + (1/2) eine Verzögerung und zeitliche U mkehr.