MIKRO-LERNPFAD: POTENZFUNKTION AUTOREN/INNEN: HANS-GEORG WEIGAND, PETRA BADER, MICHAEL SCHUSTER, JAN WÖRLER

Transkript

1 Mikrolernpfad: POTENZFUNKTIONEN MIKRO-LERNPFAD: POTENZFUNKTION 10. SCHULSTUFE AUTOREN/INNEN: HANS-GEORG WEIGAND, PETRA BADER, MICHAEL SCHUSTER, JAN WÖRLER 1. MOTIVATION WARUM WURDE DAS THEMA GEWÄHLT? In den Schulstufen 8 und 9 haben die Schüler mit funktionalen Zusammenhängen bereits in vielfacher Weise gearbeitet. In der 10. Jahrgangsstufe werden neue Funktionstypen kennengelernt: Potenzfunktionen, Polynomfunktionen, exponentielle und trigonometrische Funktionen. Potenzfunktionen sind ein zentrales Thema dieser Jahrgangsstufe und ordnen sich in einen systematischen Aufbau wichtiger Funktionstypen ein. 2. DIDAKTISCHER KOMMENTAR In der 10. Jahrgangsstufe wird das funktionale Begriffsverständnis durch das Kennenlernen neuer Funktionstypen weiterentwickelt. Ein wichtiger neuer Typ sind elementare Potenzfunktionen: x x r, r. Von diesem Typ haben Schülerinnen und Schüler bereits proportionale, indirekt proportionale und rein quadratische Funktionen kennengelernt. In diesem Lernpfad werden die vier hier so genannten Grundfunktionen mit f(x) = x n, f(x) = x -n, f(x) =, f(x) =, n, die allgemeine Potenzfunktion mit rationalen Exponenten mit f(x) =, p, q (Im Folgenden einfach Allgemeine Potenzfunktion genannt) und die Funktionen mit g(x) = a f(x) + c, a, c behandelt. Bei der Variablen a sprechen wir von einem Streckparameter, die Variable c heißt Verschiebungsparameter. Die Eigenschaften dieser Funktionen werden durch das Arbeiten mit Funktionstermen und Graphen erschlossen. Der Computer hier das Programm Geogebra unterstützt die Entwicklung des Begriffsverständnisses durch die Visualisierung der Auswirkungen von Parameterveränderungen auf die Graphen der Funktionen. Auf die Behandlung Potenzfunktionen mit reellen Exponenten sowie von ganz und gebrochen rationalen Funktionen wird in diesem Lernpfad verzichtet, da diese den Umfang dieser Unterrichtssequenz überstiegen hätte. Die Behandlung dieser Funktionstypen kann sich an diesen Lernpfad anschließen. Das zentrale Ziel dieser Unterrichtssequenz ist es, das Verständnis der Potenzfunktionen zu verbessern. Teilziele sind: Kenntnis der Eigenschaften der Funktionen und insbesondere der Graphen in Abhängigkeit vom Exponenten; Fähigkeit, die Veränderung der Graphen bei der Variation von Parametern beschreiben zu können; Fähigkeit, den Einfluss von Streck- und Schiebeparametern auf die Veränderung der Graphen beschreiben zu können; Lernpfade Seite 67

2 Dieser Lernpfad ist als eine Vertiefung dieses Themenbereichs gedacht, es werden also grundlegende Kenntnisse über die elementaren Potenzfunktionen bzw. Grundfunktionen und die allgemeine Potenzfunktion vorausgesetzt. Aufgrund der Komplexität wird auf das Einbeziehen reeller Exponenten verzichtet. Der Begriff Kenntnisse bezieht sich dabei auf Form und Eigenschaften der Graphen, den Definitionsbereich und den Bezug der Potenzfunktionen zu proportionaler und quadratischer Funktion sowie der Wurzelfunktion. In dem Lernpfad werden die Eigenschaften der Grundfunktionen in einem Zwei-Schritt-Verfahren wiederholt. Bei den vier Grundfunktionen und der allgemeinen Potenzfunktion werden die Auswirkungen der Variation des Exponenten auf die Graphen untersucht; Es werden die durch Streck- und Schiebeparameter erweiterten Potenzfunktionen analysiert Der Lernpfad ist nach einem Stufenschema aufgebaut: Vorstufe (Anknüpfen an das Vorwissen): Beziehung der Funktion mit f(x) = x 3 zu den proportionalen und rein quadratischen Funktionen und Auswirkungen der Parametervariation bei der Funktion mit g(x) = a x 3 + c auf den Graphen der Funktion g. 1. Stufe: Erweiterung der Funktion mit f(x) = x 3 auf Funktionen mit f(x) = x n, n und Untersuchung der Auswirkung der Variation des Exponenten n auf die Graphen der Funktionen. Dann werden die Funktionen g(x) = a x n + c, a, c und die zugehörigen Graphen analysiert. 2. Stufe: Es werden die Funktion mit f(x) = x -n, n und deren Eigenschaften untersucht. Wiederum werden die Auswirkung der Variation des Exponenten n auf die Graphen der Funktionen und dann die der Funktionen g(x) = a x -n + c, a, c mit entsprechenden Variationen der Parameter analysiert. 3. Stufe: Analog zu Stufe 1 und 2 werden die Funktion mit f(x) =, n untersucht. 4. Stufe: Die Überlegung der Stufen 1 3 werden auf die Funktion mit f(x) =, n übertragen. 5. Stufe: Es werden die Funktionen mit f(x) =, p, q, also Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten p und q untersucht und es werden Beziehungen zu den Funktionen der vorhergehenden Stufen aufgezeigt. Dann werden die Funktionen g(x) = a + c, a, c und die zugehörigen Graphen analysiert. Kurzinformation Schulstufe 10. Schulstufe Dauer 3 Stunden Unterrichtsfächer Mathematik Verwendete Medien Dynamische Geometrie Software (DGS), Internet Technische Voraussetzungen Java, Internet Autoren Hans-Georg Weigand, Petra Bader, Michael Schuster, Jan Wörler Lernpfade Seite 68

3 VORAUSSETZUNGEN Kenntnis der Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten und ihrer Eigenschaften. Die Schülerinnen und Schüler sind mit den grundlegenden Eigenschaften der Potenzfunktionen und ihrer Graphen vertraut. Dieser Lernpfad ist zum Einsatz in der Vertiefungsphase beim Lernen des Begriffs der Potenzfunktion gedacht. LERNINHALTE UND LERNZIELE Lerninhalt Variation der Parameter bei den Funktionsscharen f a,c (x) = a x 3 + c Variation der Parameter bei Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten Variation der Parameter bei Potenzfunktionen mit ganzen Exponenten und Stammbrüchen als Exponenten Variation der Parameter bei Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten Lernziel Verständnis von Parametervariationen auf die Eigenschaften des Graphen Verständnis der Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten und ihrer Graphen Verständnis für die sukzessive Erweiterung auf Potenzfunktionen mit (speziellen) rationalen Exponenten und Kennenlernen der entsprechenden Graphen. Verständnis für die Variation der Exponenten und der entsprechenden Veränderung der Graphen. DIDAKTISCHER HINTERGRUND Das Verständnis der Eigenschaften von Potenzfunktionen bei beliebigen rationalen Exponenten ist komplex. Im Unterricht wird dieser Funktionstyp sukzessive durch Erweiterung der Exponenten entwickelt. In diesem Lernpfad werden zunächst die Eigenschaften der vier Grundfunktionen untersucht oder wiederholt: f(x) = x n, n f(x) = x -n, n, f(x) =, n, f(x) =, n, Zu jeder dieser Grundfunktion werden die Eigenschaften der Funktionen mit g(x) = a f(x) + c analysiert. Dabei ist es ein zentrales Ziel, dass die Eigenschaften der Graphen von g in Abhängigkeit von der Veränderung der Parameter a und c erkannt werden. Dann werden Portenzfunktionen mit f(x) =, p, q, also mit rationalen Exponenten, untersucht. Das Verständnis dieser Funktionen ist komplex und erfordert das stete Zurückgreifen auf die Eigenschaften der Grundfunktionen. EINSATZ IM UNTERRICHT Um diesen Lernpfad einsetzen zu können, sind grundlegende Kenntnisse im Umgang mit den elementaren Potenzfunktionen notwendig. Der Lernpfad dient der Vertiefung des Arbeitens mit Potenzfunktionen und Lernpfade Seite 69

4 deren Graphen. Es wird also vorausgesetzt, dass bereits ein inhaltliches Begriffsverständnis der Grundfunktionen entwickelt ist. KOMBINATION DER MEDIEN In dem vorliegenden Lernpfad wird durch den Einsatz der Software GeoGebra und von interaktiven Internetseiten das selbsttätige Lernen der Schüler/innen gefördert. Die Schüler arbeiten bei diesem Lernpfad allerdings nicht nur am Computer, sondern sie sollen ihre Tätigkeiten und Ergebnisse vielmehr auch schriftlich auf Arbeitsblättern festhalten. Die Schüler haben bei komplexeren Aufgaben die Möglichkeit, auf Hilfestellungen zurückzugreifen und ihre Ergebnisse mit einer Lösung zu vergleichen. LEISTUNGSFESTSTELLUNG/LEISTUNGSBEURTEILUNG In die einzelnen Seiten des Lernpfades sind interaktive Übungen und Aufgabenstellungen zur Selbstkontrolle der Schüler eingebunden. Die auf Arbeitsblättern festgehaltenen Ergebnisse ermöglichen es der Lehrkraft, die Leistungen der Schülerinnen und Schüler zu überprüfen. Eine Evaluation des im Rahmen dieses Lernpfades erworbenen Begriffsverständnisses erfolgt über einen Online-Test am Ende des Lernpfades. 3. VORTEILE DES MEDIENEINSATZES EXEMPLARISCHE BESCHREIBUNG DER MATERIALIEN Systematische Variation und Erkennen von Zusammenhängen Für das Arbeiten mit diesem Lernpfad ist das inhaltliche Verständnis der vier Grundfunktionen mit f(x) = x n, f(x) = x -n, f(x) = und f(x) =, n, und Kenntnisse über die Funktion mit f(x) =, p, q, grundlegend. Die Variation der Parameter erfolgt nun in zweifacher Hinsicht. Zum einen erfolgt die Entwicklung des Verständnisses der Veränderung der Graphen beim Variieren des Exponenten bei den Grundfunktionen. Das Verändern mit Hilfe eines Schiebereglers erlaubt das dynamische Erleben der Veränderung des Graphen der jeweils betrachteten Funktion. Durch das zusätzliche Einfügen von Streck- und Schiebeparameter kann die hoffentlich vorhandene Erwartungshaltung der Lernenden im Hinblick auf die Veränderung der Graphen unmittelbar durch die Applets überprüft werden. Die Veränderung des Graphen der allgemeinen Potenzfunktion (mit rationalen Exponenten) mit f(x) =, p, q, in Beziehung zur Variation der Parameter p und q zu sehen, erfordert den Rückgriff auf Eigenschaften der Grundfunktionen. Der Computereinsatz kann hier durchaus zum Staunen und damit zu weitergehenden Fragen und Untersuchungen anregen, indem die beliebige Variation der Parameter p und q einerseits auf für Schülerinnen und Schüler unbekannte Graphen führt, allerdings immer wieder auch bekannte Graphen (lineare und quadratische) auftauchen. 4. DREHBUCH / DREHBÜCHER METHODISCH- DIDAKTISCHE ANLEITUNGEN UNTERRICHTSORGANISATION ARBEITSANWEISUNGEN FÜR SCHÜLER/INNEN Die Schülerinnen und Schüler arbeiten individuell oder in Partnerarbeit am Computer. Aufgabe der LehrerIn ist es, die individuelle Arbeit der SchülerInnen zu betreuen, Fragen zu beantworten, in ihrer Lösungsfindung Lernpfade Seite 70

5 zu unterstützen und an entscheidenden Stellen des Lernpfades, die Erkenntnisse der Schüler im Klassenplenum zu präsentieren bzw. von einzelnen Schülern darbieten zu lassen. ANLEITUNGEN FÜR LEHRER/INNEN Die Schülerinnen und Schüler sollten den Lernpfad selbstständig durcharbeiten. Sie müssen insbesondere dazu angehalten werden, die Arbeitsblätter an den vorgesehenen Stellen zu bearbeiten. Es ist sinnvoll nach wesentlichen Erarbeitungsschritten die individuelle Arbeit der Schüler zu unterbrechen und die entscheidenden Erkenntnisse im Klassenplenum von einem Schüler (am Beamer) präsentieren zu lassen. WEITERE MATERIALIEN Siehe 5. ERGEBNISSE DER INTERNEN EVALUATION FRAGESTELLUNGEN ZUM DIDAKTISCHEN/METHODISCHEN KOMMENTAR: Der Lernpfad dient dem Vertiefen, Üben und Systematisieren. Der Aufbau des Lernpfades ist didaktische gut durchdacht. Problematisch wird der Zeitumfang gesehen. Eine weitere Schwierigkeit ist das evtl. nicht vorhandene Vorwissen der Schülerinnen und Schüler. Der Lernpfad ist in einem Wiki realisiert. Dadurch sind individuelle Veränderungen und Schwerpunktsetzungen durch die Lehrer/innen möglich. FRAGESTELLUNGEN ZUM LERNPFAD Im Lernpfad gibt es heuristisch-experimentelle Phasen in denen die Schüler/innen Experimentieren und Vermutungen aufstellen. Durch Diskussionen werden Begründungen gesucht, die zu einer Exaktifizierung der Begriffe führen. In dieser Phase werden die Schüler/innen dazu aufgefordert auf ihr Vorwissen evtl. unter Zuhilfenahme des Schulbuchs zurückzugreifen. FESTIGUNG DES WISSENS WISSENSÜBERPRÜFUNG Es gibt viele Angebote für die Schüler/innen das neu erworbene Wissen selbst zu überprüfen. Am Ende des Lernpfades erfolgt ein Verständnistest. 6. ÜBERBLICK ÜBER DEN ERSTELLUNGSPROZESS Die Idee der Parametervariation und das Betrachten der Auswirkungen auf die Graphen lagen von Anfang an nahe. Die Diskussion in der Gruppe ging dann um den systematischen Aufbau des Lernpfades. Die grundlegende Idee ist die Untergliederung der Einheit in das Arbeiten mit (den vier) Grundfunktionen, der allgemeinen Potenzfunktion und dem jeweiligen Hinzufügen der Streckungs- und Verschiebungsparameter. Nach dieser Idee wurden die Geogebra-Applets konstruiert. Hierzu waren im Vorfeld zwei Live-Treffen notwendig. Lernpfade Seite 71

6 Mikrolernpfad: TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN MIKRO-LERNPFAD: TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN SCHULSTUFE AUTOREN/INNEN: SILVIA JOACHIM, KARLO HABERL, FRANZ EMBACHER 1. MOTIVATION WARUM WURDE DAS THEMA GEWÄHLT? Funktionen der Form x a sin(b x + c) + d und x a cos(b x + c) + d werden in zahlreichen Anwendungen der Winkelfunktionen benötigt, und das die Frage, wie sie und ihre Graphen von den Parametern abhängen, rührt an das Verständnis des Funktionsbegriffs generell. 2. DIDAKTISCHER KOMMENTAR Ziele des Lernpfads Voraussetzungen: Darstellungsformen von Funktionen Kenntnis der Auswirkung von Variationen in den Darstellungsformen von linearen und quadratischen Funktionen Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen Lernziele: Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion, und umgekehrt Unterschiedliche Variablenbezeichnungen identifizieren können Methodische Hinweise Einsatzmöglichkeiten des Lernpfades: Der Lernpfad eignet sich zum eigenverantwortlichen Erarbeiten des Stoffes in Einzel- oder Partnerarbeit. Die Lehrperson sollte für Fragen zur Verfügung stehen. Der zentrale Abschnitt Einfluss der Parameter eignet sich zum Arbeiten in Expertenteams. Vorschlag zur Einteilung der SchülerInnen in Expertenteams: o Zunächst Einteilung der Teams nach Buchstaben ( ABC-Teams ). SchülerInnen bearbeiten in Einzel- oder Partnerarbeit die entsprechenden Aufgaben. o Danach werden neue Teams nach Zahlen ( 123-Teams ) gebildet pro Team vier SchülerInnen. Jede/r stellt den Anderen das Gelernte vor. Gemeinsames Bearbeiten der folgenden Aufgaben. Lernpfade Seite 72

7 o Hinweise zur Gruppeneinteilung sowie ein Buchstaben/Zahlen-Raster zum Ausdrucken und Ausschneiden sind im Lernpfad integriert. Der Lernpfad kann auch zur Wiederholung des Stoffes zu Hause verwendet werden. Kurzinformation Schulstufe 10. Schulstufe Dauer 2 Stunden Unterrichtsfächer Mathematik Verwendete Medien Dynamische Geometrie Software (DGS), Java Applets, Internet Technische Voraussetzungen Java, Internet Autoren Silvia Joachim, Karlo Haberl, Franz Embacher VORAUSSETZUNGEN Darstellungsformen von Funktionen Kenntnis der Auswirkung von Variationen in den Darstellungsformen von linearen und quadratischen Funktionen Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen LERNINHALTE UND LERNZIELE Lerninhalt Untersuchung des Einflusses der Parameter der Funktionen x a sin(b x + c) + d und x a cos(b x + c) + d auf die Graphen mit Hilfe vorbereiteter GeoGebra-Arbeitsblätter Anwendungen in der Physik (noch im Entwicklungszustand) Lernziel Erkennen der Auswirkung der Variation von Parametern im Funktionsterm auf die Graphen der Sinus- und Kosinusfunktion, und umgekehrt Unterschiedliche Variablenbezeichnungen identifizieren können DIDAKTISCHER HINTERGRUND Funktionen der Form x a sin(b x + c) + d und x a cos(b x + c) + d werden in zahlreichen Anwendungen der Winkelfunktionen benötigt, und das die Frage, wie sie und ihre Graphen von den Parametern abhängen, rührt an das Verständnis des Funktionsbegriffs generell. Zudem ist die Variation der Parameter ein Paradebeispiel für die Nützlichkeit interaktiver Werkzeuge. EINSATZ IM UNTERRICHT Der Lernpfad eignet sich zum eigenverantwortlichen Erarbeiten des Stoffes in Einzel- oder Partnerarbeit. Die Lehrperson sollte für Fragen zur Verfügung stehen. Der zentrale Abschnitt Einfluss der Parameter eignet sich zum Arbeiten in Expertenteams. Vorschlag zur Einteilung der SchülerInnen in Expertenteams: o Zunächst Einteilung der Teams nach Buchstaben (A, B,...). SchülerInnen bearbeiten in Einzel- oder Partnerarbeit die entsprechenden Aufgaben. Lernpfade Seite 73

8 o Danach werden neue Teams nach Zahlen (1, 2, 3, 4) gebildet pro Team also vier SchülerInnen. Jede/r stellt den Anderen das Gelernte vor. Gemeinsames Bearbeiten der Aufgaben. o Hinweise zur Gruppeneinteilung sowie ein Buchstaben/Zahlen-Raster zum Ausdrucken und Ausschneiden sind im Lernpfad integriert. Der Lernpfad kann auch zur Wiederholung des Stoffes zu Hause verwendet werden. KOMBINATION DER MEDIEN Im Lernpfad werden vor allem vorbereitete GeoGebra-Arbeitsblätter eingesetzt. Vereinzelt wird auf externe Webseiten mit weiteren interaktiven Materialien verwiesen. LERNMEDIEN DER SCHÜLER/INNEN SchülerInnen arbeiten vor allem mit vorbereiteten GeoGebra-Arbeitsblättern. LEISTUNGSFESTSTELLUNGLEISTUNGSBEURTEILUNG Die Art der Leistungsfeststellung/Leistungsbeurteilung wird im Lernpfad nicht weiter spezifiziert, d.h. sie bleibt der Lehrperson anheim gestellt. 3. VORTEILE DES MEDIENEINSATZES EXEMPLARISCHE BESCHREIBUNG DER MATERIALIEN Von der Visualisierung zur Formulierung Die Variation der Parameter von Funktionsgraphen ist eines der Paradebeispiele für die Nützlichkeit interaktiver Werkzeuge. GeoGebra bietet den zusätzlichen Vorteil, die entsprechende Funktionsgleichung anzuzeigen und automatisch zu aktualisieren. Im zentralen Abschnitt Einfluss der Parameter sollen SchülerInnen die Bedeutung der Parameter a, b, c und d für die Familie von Funktionen und x a sin(b x + c) + d x a cos(b x + c) + d untersuchen und ihre Ergebnisse formulieren. Sie gehen dabei vom visuell erfahrbaren Verhalten des Graphen aus und sollen einer mathematischen Formulierung dieses Sachverhalts erzielen. Interessant bei diesem Zugang ist, dass die beiden Aspekte wissen, wie die Funktionsgraphen von den Parametern abhängen wissen, warum das so ist voneinander getrennt werden können. Lernpfade Seite 74

9 4. DREHBUCH / DREHBÜCHER METHODISCH- DIDAKTISCHE ANLEITUNGEN UNTERRICHTSORGANISATION ARBEITSANWEISUNGEN FÜR SCHÜLER/INNEN Die Arbeitsanweisungen für SchülerInnen sind gegenüber der Organisation des Unterrichts neutral gehalten, d.h. sie beziehen sich nicht auf bestimmte Einsatzformen. Im didaktischen Kommentar, der sich an LehrerInnen richtet, wird auf verschiedene Einsatzmöglichkeiten des Lernpfads verwiesen. ANLEITUNGEN FÜR LEHRER/INNEN Im didaktischen Kommentar wird auf verschiedene Einsatzmöglichkeiten des Lernpfads verwiesen. WEITERE MATERIALIEN Neben dem Einsatz der vorbereiteten GeoGebra-Arbeitsblätter wird im Lernpfad vereinzelt auf externe Webseiten mit weiteren interaktiven Materialien verwiesen. 5. ERGEBNISSE DER INTERNEN EVALUATION Physikalische Anwendungen Akustik statt Oszilloskop Thema Biorhythmus vermeiden! 6. ÜBERBLICK ÜBER DEN ERSTELLUNGSPROZESS Da die AutorInnen in verschiedenen Ländern und in einiger Entfernung voneinander wohnen (Deutschland, Österreich), fand die Kommunikation zur Planung des Lernpfads ausgenommen eine kurze Absprache beim Projekttreffen in Würzburg Anfang Juni 2008 ausschließlich per statt. In der Anfangsphase (Juli 2008 September 2008) lag der Fokus auf der Erstellung von GeoGebra- Arbeitsblättern zur Variation der Parameter in Funktionen von Typ und x a sin(b x + c) + d x a cos(b x + c) + d und der Einbindung in geeignete Aufgabentexte sowie der Gestaltung eines Mottos, unter das das mathematische Thema des Lernpfad gestellt werden sollte. In der Phase ab September 2008 wurden mehrere Überarbeitungen der Anordnung und Gruppierung der Aufgaben sowie Formulierungsdetails durchgeführt und das Layout übersichtlicher gestaltet. Eine eingehende Diskussion über das methodisch-didaktische Konzept wurde kaum geführt. Die Idee, den zentralen Abschnitt Einfluss der Parameter in Expertenteams zu bearbeiten und erste Stichworte zu einem didaktischen Kommentar wurden gewissermaßen nachgeliefert. Zum Zeitpunkt der Berichterstellung ( ) bleibt vor allem die Frage, ob das zunächst vorgesehene Motto Biorythmus ein geeignetes ist oder durch ein anderes ersetzt werden soll, noch zu klären. Insgesamt wurde die Hauptarbeit von Silvia Joachim und Karlo Haberl durchgeführt. Lernpfade Seite 75

10 Mikrolernpfad: EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTION Lernpfad - Pflichtenblatt: Mitglieder der Arbeitsgruppe: Andreas Lindner, Anita Dorfmayr, Gaby Jauck (Arbeits-)Titel des Lernpfads: Exponential- und Logarithmusfunktionen Schulstufe: 10.Schulstufe Voraussichtliche Stundenanzahl: 2 Eingangskompetenzen (fachlich, technisch, methodisch), die vorausgesetzt bzw. aktiviert werden: 1) fachlich Kennen allgemeiner Eigenschaften von reellen Funktionen (z. B. Monotonie,...), Zeichnen von Funktionsgraphen mit Hilfe einer Wertetabelle oder aufgrund ihrer Eigenschaften, Kapitalentwicklung und Zinseszinsrechnung, Begriff der Umkehrfunktion 2) technisch Bedienung eines Browsers, grundlegende Bedienung von GeoGebra 3) methodisch eigenverantwortlich arbeiten können Ideen für den Lernpfad *) (Inhalte, Materialien, Aufbau,...): Das Vorwissen aktivieren. Einleitung: ein Beispiel zur Kapitalentwicklung. Einfache Zinsenrechnung versus Zinseszinsrechnung mit Übergang vom diskreten zum kontinuierlichen Modell. Die Eigenschaften und der Verlauf der Graphen der Exponentialfunktionen werden an dynamischen Arbeitsblättern erforscht. Ebenso werden die Graphen der Logarithmusfunktionen in interaktiven Arbeitsblättern selbst erstellt. Zur Exaktifizierung trägt eine genaue Beschreibung der Eigenschaften der Exponentialfunktionen bei. Weiters sollen die SchülerInnen erkennen, warum der Logarithmus zur Basis a nur für a aus R + \{1} definiert ist. *) Bitte beachten: Der Lernpfad soll, wenn möglich, sowohl die experimentelle als auch die exaktifizierende Lernphase berücksichtigen. Zielkompetenzen, die durch den Lernpfad erreicht werden sollen: Den Übergang von der diskreten zur kontinuierlichen Modellbildung nachvollziehen können. Den ungefähren Verlauf von Graphen der Exponentialfunktionen für verschiedene Basen a auch ohne Wertetabelle zeichnen können Ein intuitives Verständnis für das exponentielle Verhalten einer Zu- oder Abnahme entwickeln können. Die Eigenschaften der Logarithmusfunktionen aus den Eigenschaften der Exponentialfunktionen ableiten können. Lernpfade Seite 76

11 MIKRO-LERNPFAD: EXPONENTIAL- UND LOGARITHMUSFUNKTION 10. SCHULSTUFE AUTOREN/INNEN: JAUCK, LINDNER 1. MOTIVATION WARUM WURDE DAS THEMA GEWÄHLT? Die Exponentialfunktion ist Voraussetzung zur Beschreibung vieler Vorgänge in den Naturwissenschaften. 2. DIDAKTISCHER KOMMENTAR Kurzinformation Schulstufe 10. Schulstufe Dauer 2-3 Stunden Unterrichtsfächer Mathematik Verwendete Medien Browser mit Java Applets (online und offline), Internet Technische Voraussetzungen Java, Internet Autoren Andreas Lindner, Gabriele Jauck VORAUSSETZUNGEN Technische Voraussetzungen Internet Browser, Java Runtime, Internetzugang, Drucker zum Ausdrucken der Arbeitsblätter. Der Lernpfad ist so konzipiert, dass er zum größten Teil ohne Internetzugang bearbeitet werden kann. Vorwissen Die Schüler/innen sollten als Vorwissen mitbringen: Sie kennen allgemeine Eigenschaften von reellen Funktionen (z. B. Monotonie,...) Sie können Funktionsgraphen mit Hilfe einer Wertetabelle oder aufgrund ihrer Eigenschaften zeichnen. Sie können die Kapitalentwicklung mit der Zinseszinsrechnung nach n Jahren berechnen. Sie kennen den Begriff der Umkehrfunktion und können den Graph durch Spiegeln an der 1.Mediane ermitteln. LERNINHALTE UND LERNZIELE Lerninhalt Exponentielles Anwachsen eines Kapitals bei Zinseszinsrechnung Lernziel Die Schüler/innen sollen die Berechnung des Kapitals nach n Jahren wiederholen und anwenden können. Lernpfade Seite 77

12 Festlegung des Begriffs Exponentialfunktion Eigenschaften der Exponentialfunktion Gestalt des Graphen der Exponentialfunktion Einfluss der Basis a und des Faktors c in f(x) = c a x Gestalt des Graphen der Logarithmusfunktion Die Schüler/innen sollen die Exponentialfunktion als neuen Typ von Funktion mit der Variablen im Exponenten beschreiben können. Die Schüler/innen sollen die wesentlichen Eigenschaften der Exponentialfunktion wiedergeben können. Die Schüler/innen sollen den Graphen der Exponentialfunktion für verschiedene Basen zeichnen können. Die Schüler/innen sollen die Auswirkungen des Faktors c und der Basis a auf das Verhalten der Funktion kennen. Die Schüler/innen sollen den Graphen der Logarithmusfunktion für verschiedene Basen zeichnen können. DIDAKTISCHER HINTERGRUND Dieser Lernpfad bietet einen Einstieg in die Grundlagen zu Exponential- und Logarithmusfunktion. Aufbauend auf einem bereits aus der Sekundarstufe I vorhandenen diskreten Modell der Kapitalentwicklung für n ganze Jahre wird ein kontinuierliches Modell der Kapitalentwicklung für einen beliebigen Zeitpunkt x entwickelt. Nach der Untersuchung der Eigenschaften der Exponentialfunktion sollen die Schüler/innen Graphen der Exponentialfunktion für verschiedene Basen zeichnen. Ein weiterer Schwerpunkt ist das Herausarbeiten des Unterschieds zwischen einer linearen und einer Exponentialfunktion. Dabei wird die Änderung der Funktionswerte untersucht, wenn das Argument um 1 anwächst. Die Logarithmusfunktion wird nur als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion eingeführt und auf Berechnungen von Logarithmen verzichtet. Ein Zeichnen des Graphen der Logarithmusfunktion mit Hilfe Wertetabellen ist daher nicht möglich, da die notwendigen Funktionswerte noch nicht ermittelt werden können. Durch interaktive Applets, Übungen, Arbeitsblätter und Aufgaben mit Lösungen sollen die Schüler/innen zum Experimentieren und selbstständigen Arbeiten angeregt werden. EINSATZ IM UNTERRICHT Grundsätzlich wäre für ein effizientes Arbeiten pro Schüler/Schülerin ein PC notwendig; allerdings ist auch eine Partnerarbeit an einem Gerät bei entsprechender Abstimmung der Lerngeschwindigkeiten der beiden Partner durchaus möglich. Das Arbeiten am Computer wird öfter durch Aufgabenstellungen, die im Heft durchzuführen sind, unterbrochen, weshalb idealerweise für ausreichend freien Arbeitsplatz zwischen den PCs gesorgt sein sollte. KOMBINATION DER MEDIEN In dem vorliegenden Lernpfad wird versucht, durch interaktive Applets das erforschende Lernen der Schüler/innen zu fördern. Die neu gewonnenen Erkenntnisse sollen im Anschluss daran durch Zeichnen von Graphen in einem Arbeitsblatt vertieft und gefestigt werden. Viele der Aufgabenstellungen sind eine Verflechtung von Arbeiten am PC und Rechnen mit Papier und Bleistift, wobei die Lösungen der Übungen entweder aus der Konstruktion ersichtlich sind oder explizit als solche angeführt werden. Lernpfade Seite 78

13 LERNMEDIEN DER SCHÜLER/INNEN Computer, Heft, Schreibutensilien. LEISTUNGSFESTSTELLUNG - LEISTUNGSBEURTEILUNG Selbstkontrolle durch Schüler, Kontrolle der Notizen und Arbeitsblätter durch die Lehrperson. Im Rahmen dieses Lernpfades ist kein Prüfungsmodul enthalten, die behandelten Lehrinhalte eignen sich jedoch zur schriftlichen Leistungsfeststellung bei Schularbeiten. Die Aufgabenstellung bleibt dem Lehrer überlassen. 3. VORTEILE DES MEDIENEINSATZES EXEMPLARISCHE BESCHREIBUNG DER MATERIALIEN Begriffsbildung erleben Aus der Formel für das Anwachsen eines Kapitals nach der Formel K(x) = K 0 (1+p/100) x ergibt sich zwanglos die Definition einer Exponentialfunktion. Forschen und Dokumentieren Im Lernpfad wird versucht, das erforschende und entdeckende Lernen zu fördern. Die Schüler/innen sollen außerdem ihre Vermutungen sprachlich zusammenzufassen und in einer mathematischen Form ausdrücken. Vermuten Begründen Lernpfade Seite 79

14 Das Experimentieren mit Applets ermöglicht das Erkennen der Eigenschaften der Exponentialfunktion. Beispielsweise sollen die Schüler/innen die prozentuelle Zunahme der Funktionsweise untersuchen. Das Ergebnis dieser Untersuchung soll festgehalten werden und lautet in mathematisch exakter Form: Wiederholen und Festigen des Vorwissens Als Einstieg und Wiederholung wird ein bereits bekanntes Beispiel aus 7.Schulstufe über Kapitalentwicklung gewählt. Lernpfade Seite 80

15 4. DREHBUCH / DREHBÜCHER METHODISCH- DIDAKTISCHE ANLEITUNGEN UNTERRICHTSORGANISATION ARBEITSANWEISUNGEN FÜR SCHÜLER/INNEN Arbeitsplan für Schüler/innen Lernpfade Seite 81

16 Lernpfade Seite 82

17 ANLEITUNGEN FÜR LEHRER/INNEN Lernpfade Seite 83

18 5. ÜBERBLICK ÜBER DEN ERSTELLUNGSPROZESS Treffen in Würzburg 3 Tage ( ), Gruppenfindung, Themenfindung, Erstellung div. Vorlagen, Ausfüllen des Pflichtenblatts Juni September: Internetrecherche, Individuelle Arbeit an Lernmaterialien der Projektteilnehmer, Juli, August: Umsetzung als HTML-Lernpfad September, Oktober: Abstimmung der Inhalte per Mail und Skypekonferenzen, gegenseitige Evaluation innerhalb der Projektteilnemer, Überarbeitung und Auflistung der noch fehlenden Inhalte, November: Arbeit an didaktischem Kommentar, Arbeitsblättern und div. Anlagen zum Lernpfad Ende November: Arbeitstreffen 3 Tage Altlengbach Feinabstimmung und Fertigstellung des Lernpfads, Schreiben des Rechenschaftsbericht. Lernpfade Seite 84

19 Mikrolernpfad: DIFFERENZEN- / DIFFERENZIALGLEICHUNGEN MIKRO-LERNPFAD: DIFFERENZEN-/DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Diskret Kontinuierlich - Beschreibung der Veränderung von Zuständen SCHULSTUFE AUTOREN/INNEN: MATTHIAS KITTEL, JOCHEN MAIERHOFER, WALTER WEGSCHEIDER 1. MOTIVATION WARUM WURDE DAS THEMA GEWÄHLT? Die Möglichkeit der Beschreibung von dynamischen Vorgängen nimmt in zahlreichen Anwendungen von Biologie über Medizin bis zu Technik und Physik eine zentrale Rolle ein. Während es relativ einfach ist, dynamische Zusammenhänge mathematisch korrekt zu beschreiben, ist die Lösung derartiger Aufgaben ohne technische Hilfsmittel extrem aufwändig. Dies hat dazu geführt, dass die Behandlung dieser Themenbereiche in zahlreichen Schularten beinahe komplett aus den Lehrplänen verschwunden ist. Wir wollen zeigen, dass mit den Möglichkeiten der Visualisierung und der Unterstützung der rechnerischen Problemlösung durch technologische Hilfsmittel die Behandlung von dynamischen Vorgängen einen stärkeren Platz im Curriculum haben könnte. 2. DIDAKTISCHER KOMMENTAR Ziele des Lernpfads Voraussetzungen: Darstellungsformen von Funktionen Kenntnis der Auswirkung von Variationen in verschiedenen Darstellungsformen (lineare, quadratische Funktionen, Potenzfunktionen, trigonometrische Funktionen u.a.) Lernziele: Der Lernpfad beschreibt mit Hilfe von bekannten Beispielen aus Ökologie und Ökonomie (Zerfall/Wachstum, Räuber-Beute-Modell, Ausbreitung von Krankheiten, Volkswirtschaftliche Modelle, ) die formalisierte Darstellung von Prozessen durch Differenzengleichungen (diskret) und Differentialgleichungen (kontinuierlich). Wie beschreibt man diskrete dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differenzengleichungen - Lösungsmöglichkeiten und Visualisierung an verschiedenen Beispielen o Rekursive Beschreibung von Veränderungen o Visualisierungsmöglichkeiten (Cobweb, ) o Simulation dynamischer Systeme mittels geeigneter Software (z.b. VenSIM) Lernpfade Seite 85

20 Wie beschreibt man kontinuierliche dynamische Vorgänge mit Hilfe von Differentialgleichungen - Visualisierung und Lösungsansätze mit Hilfe verschiedener Technologieunterstützungen an verschiedenen Anwendungsbeispielen o Aufstellen und Lösen einfacher Differentialgleichungen Lösung über Integration o Aufstellen komplexerer Differentialgleichungen Lösung mittels Technologie o Visualisierung über Richtungsfelder Erweiterung numerische Verfahren: Euler-Cauchy, Runge-Kutta Methodische Hinweise Einsatzmöglichkeiten des Lernpfades: Der Lernpfad eignet sich für Blended-Learning o Neben der von der Lehrperson unterstützten Einführungsphase soll in eigenverantwortlicher Einzelarbeit bzw. Partnerarbeit der Stoff vertieft werden. Die Lehrperson sollte für Fragen zumindest in der Präsenzphase zur Verfügung stehen. o Im Anschluss stehen einige Erweiterungsbereiche für Selbststudium zur Verfügung. Die Begleitung der Online-Phase über eine Lernplattform ist empfehlenswert. Schulstufe Dauer Unterrichtsfächer Verwendete Medien Technische Voraussetzungen Autoren 11. bis 13. Schulstufe Kurzinformation 4 Stunden Erweiterungsmöglich für Selbststudium Mathematik Dynamische Geometrie Software (DGS), Java Applets, Tabellenkalkulation, Computeralgebra (CAS) Java, Internet, CAS-Software, installiertes Officepaket Matthias Kittel, Jochen Maierhofer, Walter Wegscheider KOMBINATION DER MEDIEN Im Lernpfad werden verschiedene Medien / Softwaremöglichkeiten eingesetzt. Während im Bereich der diskreten Anwendungen vor allem die Tabellenkalkulation eine große Rolle spielt, ist für die Berechnung der kontinuierlichen dynamischen Vorgänge eine leistungsfähige Computeralgebra-Software notwendig (z.b. DERIVE, Mathematica, Maxima, ). Die Visualisierung kann auch über dynamische Mathematik-Software wie GeoGebra erfolgen. LEISTUNGSFESTSTELLUNGLEISTUNGSBEURTEILUNG Die Art der Leistungsfeststellung/Leistungsbeurteilung wird im Lernpfad nicht weiter spezifiziert, d.h. sie bleibt der Lehrperson anheim gestellt. Lernpfade Seite 86

21 Mikrolernpfad: ZUGANG ZUR POISSONVERTEILUNG Lenrpfad Pflichtenblatt Mitglieder der Arbeitsgruppe: Gabi Bleier, Heidi Metzger-Schuhäker, Peter Hofbauer (Arbeits-)Titel des Lernpfads: ZUGANG ZUR POISSINVERTEILUNG Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen Schulstufe:11-13 Voraussichtliche Stundenanzahl:2 Eingangskompetenzen (fachlich, technisch, methodisch), die vorausgesetzt bzw. aktiviert werden: o Werte einer Tabelle grafisch darstellen und interpretieren o statistische Zentral - und Streumaße berechnen und sinnvoll anwenden o Treppenfunktionen zeichnen und ihren Graph interpretieren o Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben Ideen für den Lernpfad *) (Inhalte, Materialien, Aufbau,...): Dieser Lernpfad bietet einen Einstieg in das Thema "diskrete Wahrscheinlichkeits- bzw. Verteilungsfunktion". Der Einstieg in das Thema soll am Beispiel einer Unfallstatistik erfolgen. Anfangs sollen die SchülerInnen den funktionalen Zusammenhang zwischen der Anzahl der Unfälle, in die ein Autofahrer im Laufe seines Lebens verwickelt ist und der Wahrscheinlichkeit, mit welcher ein Autofahrer diese Unfallanzahl aufweist, erkennen und grafisch darstellen. Statistische Kennzahlen werden in diesem Zusammenhang wiederholt. Dazu können verschiedene Technologien eingesetzt werden. Anschließend werden die Begriffe diskrete Zufallsvariable und nach eigenständiger Internetrecherche auch die statistische Definition von Wahrscheinlichkeit exaktifiziert. Im nächsten Schritt wird der Begriff der diskreten Wahrscheinlichkeitsfunktion exakt formuliert und an dem konkreten Beispiel der Autounfallstatistik deren Eigenschaften beschrieben. Sehr experimentell mit Hilfe von Excel, CAS oder Geogebra sollen die SchülerInnen nun anhand des Graphen den Zusammenhang des vorliegenden Beispiels mit der Poissonverteilung erkennen, welche zuletzt exakt definiert wird. Die Zusatzaufgaben im Anschluss bieten Möglichkeiten zur weiteren Übung und Vertiefung. *) Bitte beachten: Der Lernpfad soll, wenn möglich, sowohl die experimentelle als auch die exaktifizierende Lernphase berücksichtigen. Zielkompetenzen, die durch den Lernpfad erreicht werden sollen: o Übersetzen von einer Realsituation in ein mathematisches Modell o grafische Darstellung diskreter Zufallsvariable erkennen o Treppenfunktionen als Graphen von diskreten Verteilungsfunktionen identifizieren o charakteristische Merkmale einer poissonverteilten Zufallsvariable kennenlernen Lernpfade Seite 87

22 MIKRO-LERNPFAD: ZUGANG ZUR POISSONVERTEILUNG 12. / 13. SCHULSTUFE AUTOREN/INNEN: HEIDI METZGER-SCHUHÄKER, PETER HOFBAUER, GABI BLEIER 1. MOTIVATION WARUM WURDE DAS THEMA GEWÄHLT? Dieser Lernpfad bietet eine kurze Einführung in das Thema diskrete Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen anhand eines Anwendungsbeispiels. Dabei wird eine Unfallstatistik als Maß der Sicherheit genauer untersucht. Als Alternative zur im Unterricht häufig verwendeten Binomialverteilung wird hier bewusst die Poissonverteilung eingesetzt. 2. DIDAKTISCHER KOMMENTAR Anhand der Unfallstatistik soll eine Einführung in die diskrete Poissonverteilung gegeben werden. Im ersten Teil des Lernpfades werden die Daten einer Unfallstatistik vorgelegt, mit deren Hilfe die Schüler/innen selbständig die wichtigsten Zentral- und Streuungsmaße berechnen sollen. Dazu können verschiedene Technologien eingesetzt werden. Anschließend werden im zweiten Schritt die Begriffe der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Zufallsvariable wiederholt, es wird dabei jedoch vorausgesetzt, dass die Begriffe grundsätzlich im Unterricht schon behandelt wurden. Eigenständig bzw. in Teamarbeit sollen dabei Beispiele diskreter Zufallsvariabler gefunden werden. Im zweiten Schritt sollen die Schüler den statistischen Wahrscheinlichkeitsbegriff im Zusammenhang mit relativen Häufigkeiten mittels Internetrecherche erarbeiten. Für die grafische Gestaltung können die Schüler/innen sowohl Tabellenkalkulationsprogramme ihrer Wahl, ein CAS oder GeoGebra verwenden. Im nächsten Schritt wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Poissonverteilung eingeführt und intuitiv mit Hilfe eines GeoGebra-Applets mit dem Diagramm der relativen Unfallhäufigkeiten in Zusammenhang gebracht. Die Schüler/innen sollen dabei die wichtigsten Eigenschaften dieser Verteilung erkennen. Zuletzt sollen konkrete Fragestellungen die Schüler/innen zu einer eigenständigen Erarbeitung der Verteilungsfunktion als Summenfunktion der Wahrscheinlichkeitfunktion führen. Weitere Aufgaben dienen der Vertiefung und Anwendung der neuen Inhalte, neben dem Einsatz von Tabellenkalkulation, CAS oder GeoGebra sollen Verweise auf Internetseiten die Möglichkeit zur Vertiefung bieten. Lernpfade Seite 88

23 Schulstufe Dauer Unterrichtsfächer Verwendete Medien Technische Voraussetzungen Autoren 12. / 13. Schulstufe 3 Unterrichtseinheiten Kurzinformation Mathematik bzw. Mathematik und angewandte Mathematik Dynamische Geometrie Software (DGS), Computer Algebra Systeme (CAS), Tabellenkalkulationsprogramme, Internet Internetanbindung, oben angeführte Programme Heidi Metzger-Schuhäker, Peter Hofbauer, Gabi Bleier VORAUSSETZUNGEN Werte einer Tabelle grafisch darstellen und interpretieren statistische Zentral - und Streuungsmaße berechnen und ihre Bedeutung kennen die Begriffe des Zufalls, der Zufallsvariablen und der Wahrscheinlichkeitsfunktion kennen Treppenfunktionen zeichnen und ihren Graph interpretieren Parameter variieren und die Auswirkung dieser Variation beschreiben Funktionseigenschaften grafisch interpretieren können LERNINHALTE UND LERNZIELE Lerninhalt Beschreibende Statistik (Zentral und Streumaße) und grafische Darstellung von Datenmaterial Diskrete Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsfunktion Diskrete Verteilungsfunktionen DIDAKTISCHER HINTERGRUND o o o o o o Lernziel Interpretation von statistischem Datenmaterial Verwendung der geeigneten Zentral bzw. Streumaße Wählen geeigneter grafischer Darstellungsformen grafische Darstellung diskreter Zufallsvariable erkennen Zusammenhang relativer Häufigkeiten und dem Wahrscheinlichkeitsbegriff erkennen Treppenfunktionen als Graphen von diskreten Verteilungsfunktionen identifizieren Bereits in den vorangegangenen Schulstufen Gelerntes soll gefestigt werden. Neu ist der Begriff der Poissonverteilung. Zentral ist dabei das Erkennen der Zusammenhänge dieser Verteilung mit dem gegebenen Datenmaterial. Dynamische Applets unterstützen die Visualisierung, dabei können die Parameter n und p durch Schieberegler frei gewählt werden und damit die Annäherung an gegebenes grafisches Datenmaterial erreicht werden. EINSATZ IM UNTERRICHT Grundsätzlich ist dieser Lernpfad als Einzel bzw. Partnerarbeit konzipiert, es wäre dabei von Vorteil, wenn jede/r Schüler/in einen PC zur Verfügung hat. Da die einzelnen Lernschritte aufeinander aufbauen, ist dieser Lernpfad in der vorgegebenen Reihenfolge abzuarbeiten. Wichtig ist die Dokumentation der einzelnen Lernpfade Seite 89

24 Arbeitsschritte und abschließend eine kurze Zusammenfassung der neu erlernten Inhalte in Form eines Handouts. KOMBINATION DER MEDIEN Einsatz von CAS, DGS und Tabellenkalkulation Einbindung der Programme in eine Textverarbeitung zur Erarbeitung des Handouts. LERNMEDIEN DER SCHÜLER/INNEN CAS, DGS oder Tabellenkalkulation je nach Verfügbarkeit Internet LEISTUNGSFESTSTELLUNGLEISTUNGSBEURTEILUNG Anhand des Handouts 3. VORTEILE DES MEDIENEINSATZES EXEMPLARISCHE BESCHREIBUNG DER MATERIALIEN Durch grafische Annäherung mittels Schieberegler Finden einer Modellfunktion Aufgabe Finde durch Probieren mit Hilfe von EXCEL eine POISSONVERTEILUNG, die der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Autounfälle möglichst nahe kommt. Variiere dabei die Parameter p und n durch Einsetzen der Schieberegler. p n DREHBUCH / DREHBÜCHER METHODISCH- DIDAKTISCHE ANLEITUNGEN UNTERRICHTSORGANISATION ARBEITSANWEISUNGEN FÜR SCHÜLER/INNEN Jeder Schüler soll in Einzelarbeit das statistische Material mittels Tabellenkalkulation, CAS oder GeoGebra grafisch darstellen, in Partnerarbeit sollen die Schüler/innen ihre Überlegungen schriftlich dokumentieren und abschließend in einem Handout zusammenfassen. Lernpfade Seite 90

25 ANLEITUNGEN FÜR LEHRER/INNEN Vor Beginn des Lernpfades ist sicherzustellen, dass die Schüler/innen grundlegende Kenntnisse über Zentralund Streuungsmaße sowie über die Begriffe des Zufalls, der Zufallsvariablen sowie der Wahrscheinlichkeitsfunktion haben. Dieses Wissen sollte vor dem Beginn des Lernpfades aktiviert werden, da es während des Arbeitens nur in kurzen Zügen wiederholt, nicht jedoch von Grund auf erarbeitet wird. Anfangs kann gemeinsam mit den Schülern über geeignete Daten als Maß der Sicherheit diskutiert werden. Im Vorfeld sollten die zu berechnenden Zentral und Streuungsmaße vereinbart werden. Zur Bearbeitung des Lernpfads ist es notwendig, dass die Schüler/innen Kenntnisse notwendiger Computerprogramme vorweisen können um das Datenmaterial grafisch aufzuarbeiten. Während der Arbeitsphase sollten die Gruppen individuell betreut werden, kurze Hilfestellungen in einzelnen Fällen sollten bei Bedarf gegeben werden. Bei geforderten Internetrecherchen muss darauf hingewiesen werden, die Quellen genau zu überprüfen, gegebenenfalls sollten diese vom Lehrer geprüft werden. Der Lernpfad ist vom Schwierigkeitsgrad derart gestaltet, dass auch schwächere Schüler/innen mit allgemeinen Hilfestellungen das Auslangen finden sollten. Ein gemeinsames Erarbeiten der Inhalte erscheint nicht notwendig. WEITERE MATERIALIEN Zur Bearbeitung des Lernpfads sind keine weiteren Materialien notwendig. 5. ERGEBNISSE DER INTERNEN EVALUATION ÜBERBLICK ÜBER DEN ERSTELLUNGSPROZESS (Eggenburg): Treffen zur Themenabgrenzung, Ideenfindung, Grobstrukturierung des Lernpfads, Materialsuche, Erstellung des vorläufigen Pflichtenheftes (Heidenreichstein): Treffen zur Abklärung der einzusetzenden Medien, Erstellung der endgültigen Lernpfadstruktur, Überblick über die Möglichkeiten verschiedener Technologien (Horn): Besprechung des aktuellen Entwicklungsstandes, Abklärung verschiedener Ungereimtheiten in der Struktur und der Tiefe und Umfang des Lernpfads; Finalisierung des Pflichtenheftes (Wien): Besprechung und Kontrolle des vorläufigen Endprodukts, Diskussion von Verbesserungsvorschlägen, Erstellung des didaktischen Konzepts September 2009 (via ): Korrektur des Lernpfads und Einarbeitung der Verbesserungsvorschläge, Übermittlung des Pflichtenheftes (Horn): Beginn der Einbindung ins Wiki (Horn): Treffen zur Abklärung von Schwierigkeiten bei der Wiki-Einbindung Oktober 2009 (via , Skype): Fertigstellung der Wiki-Einbettung : Erstellung des Rechenschaftsberichts Abbildung10: Zusatzinformation für Lehrer/innen Lernpfade Seite 91

26 Mikrolernpfad: WIE LANGE DAUERN PROJEKTE? DIE DREIECKSVERTEILUNG Lernpfad- Pflichtenblatt: Lernpfade Seite 92

27 MIKRO-LERNPFAD: WIE LANGE DAUERN PROJEKTE? DIE DREIECKSVERTEILUNG (KONTINUIERLICHE WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN) 12. / 13. SCHULSTUFE AUTOREN/INNEN: PETER HOFBAUER, HEIDI METZGER-SCHUHÄKER, GABI BLEIER 1. MOTIVATION WARUM WURDE DAS THEMA GEWÄHLT? Dieser Lernpfad bietet eine kurze Einführung in das Thema kontinuierliche Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen. Die Einführung soll in einem Beispiel erfolgen, bei dem versucht wird, die Dauer von Projekten vorherzusagen. 2. DIDAKTISCHER KOMMENTAR Anhand der Dreiecksverteilung soll eine Einführung in kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen gegeben werden. Im ersten Schritt sollen die Schüler/innen möglichst selbständig ein Modell einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsfunktion entwickeln und wesentliche Eigenschaften dieser Funktionen erkennen. Dazu können verschiedene Technologien eingesetzt werden. Die Schüler/innen sollen möglichst intuitiv den Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsmodellen vollziehen. Im zweiten Schritt sollen die Begriffe der kontinuierlichen Zufallsvariable, der Wahrscheinlichkeitsfunktion und deren Eigenschaften exakter formuliert und die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen diskreten und kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen erarbeitet werden. Neben dem Einsatz von Tabellenkalkulation, CAS oder GeoGebra sollen Verweise auf Internetseiten die Möglichkeit zur Vertiefung bieten. Schulstufe Dauer Unterrichtsfächer Verwendete Medien Technische Voraussetzungen 12. / 13. Schulstufe 3-4 Stunden Kurzinformation Mathematik bzw. Mathematik und angewandte Mathematik Dynamische Geometrie Software (DGS), Computer Algebra Systeme (CAS), Tabellenkalkulationsprogramme, Internet Internetanbindung, oben angeführte Programme Lernpfade Seite 93

28 Autoren Peter Hofbauer, Heidi Metzger-Schuhäker, Gabi Bleier VORAUSSETZUNGEN Integrale als Übergang von diskreten zu kontinuierlichen Modellen verstehen mit diskreten Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen arbeiten können Schieberegler zur Parametervariation verwenden können Funktionseigenschaften grafisch interpretieren können grafische Darstellungen durch Terme formulieren können LERNINHALTE UND LERNZIELE Lerninhalt Modellbildung, Skizzieren Integralrechnung, Grenzübergänge DIDAKTISCHER HINTERGRUND Zentrales Anliegen des Lernpfades sind Modellbilden Argumentieren Begründen Lernziel Reale Problemstellungen mithilfe mathematischer Modelle beschreiben und diese exaktifizieren Skizzen und mathematische Vorgaben kombinieren und zu einem mathematischen Modell verbinden die Integralrechnung im Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung einsetzen Fragestellungen aus dem Bereich der Wahrscheinlichkeit mathematisch formulieren Möglichkeiten und Grenzen der kontinuierlichen Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktionen erkennen Das Ziel des Lernpfades ist die Entwicklung des Begriffs der Dichtefunktion einer kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsverteilung am Beispiel der Dreiecksverteilung. Die Schüler/innen sollen in die Lage versetzt werden, die Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen diskreten und kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsmodellen zu erkennen und zu beschreiben sowie die passenden Modelle in anderen Aufgabensituationen anwenden zu können. EINSATZ IM UNTERRICHT Als Gruppenarbeit von 2 bis 3 Schüler/innen, die gemeinsam den Lernpfad bearbeiten und abschließend ihre Erkenntnisse in einem kurzen Handout zusammenfassen. KOMBINATION DER MEDIEN Einsatz von CAS, DGS und Tabellenkalkulation Einbindung der Programme in eine Textverarbeitung zur Erarbeitung des Handouts. LERNMEDIEN DER SCHÜLER/INNEN DGS, CAS oder Tabellenkalkulation je nach Verfügbarkeit Internet LEISTUNGSFESTSTELLUNGLEISTUNGSBEURTEILUNG Anhand des Handouts bzw. durch Schüler/innenbeobachtung in der Gruppenphase. Lernpfade Seite 94

29 Abbildung10: Zusatzinformation für Lehrer/innen Medienvielfalt im Mathematikunterricht Rechenschaftsbericht 3. VORTEILE DES MEDIENEINSATZES EXEMPLARISCHE BESCHREIBUNG DER MATERIALIEN Experimentieren systematisch Probieren Exaktifizieren Kontrollieren Die Möglichkeit, interaktiv (z.b. im GeoGebra-Applet) die für die Dreiecksverteilung wesentlichen Parameter zu manipulieren bietet eine ausgezeichnete Möglichkeit, die Entwicklung des kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsbegriffs experimentell zu erleben und eigene Vermutungen durch systematische Probieren zu überprüfen. Der Umstand, dass GeoGebra eigenständig algebraische Darstellungsformen von graphische Objekte bereitstellt, bietet die Chance, den vorerst intuitiven Zugang zur Dichtefunktion schrittweise zu exaktifizieren und letztendlich die Fläche unterhalb der Dichtefunktion mithilfe des Integrals als Wahrscheinlichkeit zu erkennen. Die Tatsache, dass zur allgemeinen exakten Beschreibung der Dreiecksfunktion stückweise definierte Funktionen Anwendung finden (müssen), lässt sich bei Betrachtung des Applets intuitiv erkennen, GeoGebra liefert sofort die dazu notwendigen formalen Beschreibungen der Funktionen und ermöglicht durch die Anzeige der wesentlichen Bedingungen für die Dichtefunktion auch gleich die Kontrolle der eigenen Berechnungen. 4. DREHBUCH / DREHBÜCHER METHODISCH- DIDAKTISCHE ANLEITUNGEN UNTERRICHTSORGANISATION ARBEITSANWEISUNGEN FÜR SCHÜLER/INNEN Gruppenarbeit; Skizzen sollen unbedingt auf Papier freihändig gezeichnet werden; während des Erarbeitens sollen die Schüler/innen ihre Überlegungen schriftlich dokumentieren und abschließend in einem Handout zusammenfassen. ANLEITUNGEN FÜR LEHRER/INNEN Zur Bearbeitung des Lernpfads ist es notwendig, dass die Schüler/innen das Integral als Grenzübergang diskret kontinuierlich begreifen können; zur Erarbeitung des Themas reichen grundsätzlich einfache geometrische Überlegungen (Dreieckskonstruktion, Strahlensatz) aus; ein Hinweis auf die Verwendung von stückweise definierten Funktionen kann bei der Bearbeitung des Themas hilfreich sein. Während der Arbeitsphase sollten die Gruppen individuell betreut werden, kurze Hilfestellungen in einzelnen Fällen sollten bei Bedarf gegeben werden. Der Lernpfad ist vom Schwierigkeitsgrad derart gestaltet, dass Lernpfade Seite 95

30 auch schwächere Schüler/innen mit allgemeinen Hilfestellungen das Auslangen finden sollten. Ein gemeinsames Erarbeiten der Inhalte erscheint nicht notwendig. WEITERE MATERIALIEN Zur Bearbeitung des Lernpfads sind keine weiteren Materialien notwendig. 5. ÜBERBLICK ÜBER DEN ERSTELLUNGSPROZESS (Eggenburg): Treffen zur Themenabgrenzung, Ideenfindung, Grobstrukturierung des Lernpfads, Materialsuche, Erstellung des vorläufigen Pflichtenheftes (Heidenreichstein): Treffen zur Abklärung der einzusetzenden Medien, Erstellung der endgültigen Lernpfadstruktur, Überblick über die Möglichkeiten verschiedener Technologien (Horn): Besprechung des aktuellen Entwicklungsstandes, Abklärung verschiedener Ungereimtheiten in der Struktur und der Tiefe und Umfang des Lernpfads; Finalisierung des Pflichtenheftes (Wien): Besprechung und Kontrolle des vorläufigen Endprodukts, Diskussion von Verbesserungsvorschlägen, Erstellung des didaktischen Konzepts September 2009 (via ): Korrektur des Lernpfads und Einarbeitung der Verbesserungsvorschläge, Übermittlung des Pflichtenheftes (Horn): Beginn der Einbindung ins Wiki (Horn): Treffen zur Abklärung von Schwierigkeiten bei der Wiki-Einbindung Oktober 2009 (via , Skype): Fertigstellung der Wiki-Einbettung : Erstellung des Rechenschaftsberichts Lernpfade Seite 96

31 Schnittstellenlernpfad: SEKUNDARSTUFE2 / UNIVERSITÄT/HOCHSCHULE Lernpfad Pflichtenblatt Lernpfade Seite 97