Partielle Differentialgleichungen

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1 Partielle Differentialgleichungen Vorlesungsskript Wintersemester 2009/10 Bernd Schmidt Version vom 5. März 2010 Zentrum Mathematik, Technische niversität München, Boltzmannstr. 3, Garching, 1

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 2 1 Einleitung 4 2 Die drei Paradebeispiele linearer PDG zweiter Ordnung Die Laplace-Gleichung Analytische Vorbereitungen Harmonische Funktionen Die Poisson-Gleichung Die Wärmeleitungsgleichung Analytische Vorbereitungen Die Wärmeleitungsgleichung im R n Die Wärmeleitungsgleichung auf einem beschränkten Gebiet Die Wellengleichung Die eindimensionale Wellengleichung Die n-dimensionale Wellengleichung Energiemethoden Diskussion Sachgemäß gestellte Probleme Zur Struktur linearer PDG Lokale Existenztheorie Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung Lineare Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung Quasilineare Partielle Differentialgleichungen erster Ordnung Die allgemeine Partielle Differentialgleichung erster Ordnung Anwendungen Zum allgemeinen Cauchy-Problem Sobolev-Räume Definition und grundlegende Eigenschaften Fortsetzungen und der Spursatz Sobolev-ngleichungen

3 4.3.1 Die Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ngleichung Die ngleichung von Morrey Die allgemeine Sobolev-ngleichung Kompakte Einbettungen Differenzenquotienten Elliptische Gleichungen zweiter Ordnung Funktionalanalytische Vorbereitungen Die Variationsgleichung Regularitätstheorie Variationsmethoden Euler-Lagrange-Gleichung und Dirichlet-Prinzip Die direkte Methode Maximumprinzipien Literaturverzeichnis 141 3

4 Kapitel 1 Einleitung Eine partielle Differentialgleichung (PDG/PDE) ist eine Gleichung der Form F(D k u(x), D k 1 u(x),...,du(x), u(x), x) = 0 (1.1) für eine unbekannte Funktion u : R, R n offen. Hier bezeichnet D m u(x) R nm die m te Ableitung von u, so dass F : R nk R nk 1... R n R R. k heißt die Ordnung der PDG. Allgemeiner kann u : R m auch vektorwertig sein als die gesuchte Lösung eines Systems partieller Differentialgleichungen wie in (1.1) mit F : R mnk R mnk 1... R mn R m R m. Im Gegensatz zu gewöhnlichen Differentialgleichungen gibt es keine allgemeine Lösungstheorie geschweige denn explizite Lösungsmethoden für eine allgemeine Gleichung der Form (1.1). (Zur Erinnerung: Lösungen von Anfangswertproblemen erhält man für eine große Klasse von gewöhnlichen Differentialgleichung z.b. aus dem Satz von Picard-Lindelöf wie aus den grundlegenden Analysisvorlesungen bekannt). Die Theorie der PDG besteht vielmehr aus sehr vielen methodisch durchaus verschiedenen Herangehensweisen an spezielle Klassen von PDG, die sich aus den verschiedensten Anwendungen ergeben: Sie kommen fast in jedem Teilgebiet der Physik vor sowie in den Ingenieurswissenschaften und mathematischen Modellen der Wirtschaftswissenschaften. Innermathematisch führen insbesondere Probleme in der Stochastik, Geometrie und der Variationsrechnung in natürlicher Weise zum Studium PDG. Eine Parade von Beispielen 1. Die Laplace- bzw. Poisson-Gleichung: u = 0 bzw. u = f, wobei mit u = n i=1 u x i x i für eine gesuchte Funktion u : R n R den Laplaceoperator bezeichnet. 4

5 Vielleicht ist die Laplace-Gleichung die wichtigste PDG überhaupt, zumindest aber eine der am meisten untersuchten Gleichungen. Oft werden durch PDG auch zeitabhängige Größen beschrieben, so dass von der Form Ω (0, T), Ω R n ist. Die folgenden sechs Beispiele sind von dieser Art. 2. Die Wärmeleitungsgleichung: u t = k u, k > 0 eine Konstante. Beachte, dass der Laplaceoperator hier nur auf die räumlichen Koordinaten (x 1,...,x n ) wirkt, so dass man genauer eigentlich x schreiben sollte. 3. Die Wellengleichung: u tt = c 2 u, c eine Konstante, wobei wieder als x verstanden werden soll. 4. Die Schrödingergleichung eines Teilchens der Masse m im Potential V : i ψ t = 2 2m ψ + V ψ mit = x. (In der Quantenmechanik ist es üblich, die gesuchte Funktion mit ψ zu bezeichnen.) 5. Die lineare Transportgleichung: mit b R n und D = D x. u t + b Du = 0 6. Die Gleichung für einen elastischen Stab: Ω = (a, b) ein Intervall. 7. Die Kolmogorovsche Gleichung u tt = u xxxx, u t = ij a ij u xi x j + i b i u xi spielt in der Stochastik eine Rolle. (Für a ij = δ ij (= Kronecker-δ ) und b i = 0 ergibt sich gerade die Wärmeleitungsgleichung als Spezialfall.) 5

6 Eine PDG der Form a α (x)d α u = f α k heißt linear. Ist f = 0, so nennt man die Gleichung homogen. In all den bis jetzt besprochenen Beispielen sind die Gleichungen tatsächlich linear, und in dieser Vorlesung wird es auch hauptsächlich um lineare Gleichungen gehen. Bekannte Beispiele für Systeme linearer PDG sind: 8. Das System der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen u x = v y, u y = v x, u, v : R 2 R für eine holomorphe Funktion f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y). 9. Die Maxwellschen Gleichungen εe t = rot H, µh t = rot E, div E = div H = 0 des elektrischen Feldes E und magnetischen Feldes H im Vakuum. 10. Die Gleichgewichtsgleichungen der linearen Elastizitätstheorie µ u + (λ + µ) (div u) = 0, wobei die gesuchte Verschiebung eine Funktion u : R 3 R 3 ist. Ausgeschrieben lautet das System µ u i + (λ + µ) i (div u) = 0, i = 1, 2, 3. Natürlich sind aber auch nichtlineare PDG von großem Interesse. Hier nur drei Beispiele: 11. Die Minimalflächen-Gleichung ( ) u div = u Die Reaktions-Diffusions-Gleichung u t u = f(u). 6

7 13. Das System der Navier-Stokes-Gleichungen für eine inkompressible viskose Flüssigkeit u t + (u )u γ u = 1 p, div u = 0. ρ Gesucht ist das Geschwindigkeitsfeld u : R n R n sowie der Druck p : R (wobei meist n = 2, 3). Für die partielle Ableitung einer Funktion u nach x i sind verschiedene Notationen gebräuchlich, etwa u x i = i u = u xi = u,i. Höhere partielle Ableitungen wie α αn u α 1x 1... αn x n schreiben wir meist mit Hilfe des Multiindex α = (α 1,...,α n ) N n 0 als α u. Statt Du verwenden wir auch die Notation u. Ein besonders einfaches Beispiel m ein Gefühl dafür zu bekommen, wie PDG insbesondere beim Modellieren physikalischer Prozesse entstehen, betrachten wir die besonders einfache lineare Transportgleichung u t + b u = 0 bzw. u t + b u = f im R n (0, ), wobei = x nur auf die räumlichen Koordinaten wirkt. Wir werden sogar gleich sehen, dass man diese Gleichung explizit lösen kann. Wie schon erwähnt ist das jedoch für PDG die Ausnahme. Motivation: Ein Stoff, der im Raumpunkt x R n zur Zeit t (0, ) in der Konzentration u(x, t) vorliegt, wird durch das konstante Geschwindigkeitsfeld b R n transportiert (eine Chemikalie in einem Fluss, Bakterien in einer Lösung, Wolken am Himmel,...). Betrachtet man ein (glatt berandetes und beschränktes) Testvolumen V R n, so ist die Änderung der Stoffmenge in V einerseits gegeben durch d u(x, t) dx = u t (x, t) dx. dt V V Andererseits erhält man die Änderung der Stoffmenge in V auch dadurch, dass man untersucht, welche Menge pro Zeiteinheit in V hinein- bzw. herausfließt. Das führt auf u(ξ, t)b ν(ξ) ds(ξ) = div(ub)(x) dx = b u, V V V wobei ν(ξ) die äußere Nomale an V im Punkt ξ bezeichnet (Gaußscher Integralsatz). Beachtet man, dass diese Ausdrücke für jede Wahl von V gleich sein müssen, so bekommt man nun u t + b u = 0. 7

8 Die inhomogene Gleichung erhält man, wenn sich die Stoffmenge in V nicht nur durch Heraus- und Hineinfließen ändern kann, wenn also Quellen oder Senken vorliegen. Wird die Quellen- bzw. Senkenstärke durch eine Dichte f(x, t) beschrieben, so liefert das den zusätzlichen Term f(x, t) dx in unseren Betrachtungen, und wir V erhalten u t + b u = f. Beachte, dass nach dieser physikalischen Interpretation die Lösung u des homogenen Problems konstant auf den Linien s z(s) = u(x + bs, t + s) sein sollte. In der Tat rechnet man leicht nach, dass ż(s) = u(x + bs, t + s) b + u t (x + bs, t + s) = 0. Abbildung 1.1: Trajektorie von z. Satz 1.1 Betrachte das Anfangswertproblem u t + b u = f in R n (0, ), u = g auf R n {t = 0} (1.2) mit f C 1 (R n [0, )), g C 1 (R n ). Dann ist die eindeutige Lösung von (1.2) in C 1 (R n (0, )) C(R n [0, )) gegeben durch u(x, t) = g(x tb) + t 0 f(x + (s t)b, s) ds. (1.3) Beweis. Man sieht leicht, dass u, definiert durch (1.3), in C 1 (R n (0, )) C(R n [0, )) liegt und dass u die Transportgleichung (1.2) löst: t u + b x u = b g(x tb) + f(x, t) + + b g(x tb) + b = f(x, t). t 0 t 0 f(x + (s t)b, s) ( b) ds f(x + (s t)b, s) ds 8

9 m Eindeutigkeit zu zeigen, beweisen wir, dass jede Lösung von der Form (1.3) sein muss. Wir nehmen also an, dass u (1.2) erfüllt, und betrachten wieder z(s) = u(x + sb, t + s) mit ż(s) = u t ( ) + b x u( ) = f(x + sb, t + s). Aus u(x, t) u(x tb, 0) = z(0) z( t) = = t 0 0 t f(x + (s t)b, s) ds f(x + sb, t + s) ds und u(x tb, 0) = g(x tb) ergibt sich nun die Formel (1.3). Überblick Weil man in konkreten Situationen vielleicht am besten sieht, von welcher Art die Ergebnisse, Techniken oder auch Schwierigkeiten sind, werden wir gleich im nächsten Kapitel 2 drei wichtige Gleichungen genauer untersuchen: Die Laplacebzw. Poissongleichung, die Wärmeleitungsgleichung und die Wellengleichung. Diese Gleichungen sind sozusagen die Paradebeispiele von drei ganzen Klassen von PDG: Den elliptischen, parabolischen bzw. hyperbolischen Gleichungen. Wir werden am Ende des Kapitels genauer darauf eingehen. Zunächst jedoch soll einiges über klassische Lösungen für diese klassischen Gleichungen besprochen werden. Insbesondere auf dem ganzen R n werden wir diese Gleichungen durch explizite Darstellungen lösen. Die Existenz solcher Darstellungen ist jedoch ein glücklicher Spezialfall; schon für beschränkte Gebiete gibt es solche expliziten Formeln meist nicht. Interessanterweise lassen sich aber dennoch viele Aussagen über das Verhalten von Lösungen dieser Gleichungen beweisen. Im folgenden Kapitel 3 untersuchen wir dann insbesondere allgemeine PDG erster Ordnung. Hauptziel ist es hier ähnlich wie im Satz von Picard-Lindelöf für gewöhnliche Differentialgleichungen ein lokales Existenz und Eindeutigkeitsresultat zu beweisen. In der Tat lassen sich mit der Methode der Charakteristiken PDG erster Ordnung auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zurückführen. Wir gehen auch kurz auf PDG höherer Ordnung ein. Das gesamte Kapitel 4 ist den Sobolev-Räumen gewidmet. Dies sind Räume von Funktionen, die in einem verallgemeinerten schwachen Sinne differenzierbar sind. Das Konzept der schwachen Ableitung ist fundamental für viele moderne Methoden in der Theorie PDG (und anderen Gebieten), so dass wir die wesentlichen Approximations-, Einbettungs- und Kompaktheitstheoreme in einiger Ausführlichkeit besprechen werden. Nach dieser Vorbereitung behandeln wir im Kapitel 5 die allgemeine elliptische Gleichung zweiter Ordnung. Mit weichen funktionalanalytischen Methoden beweisen wir zunächst Existenzsätze für verallgemeinerte schwache Lösungen. Harte Abschätzungen zeigen dann, dass diese Lösungen unter geeigneten 9

10 Voraussetzungen sogar starke klassische Lösungen sind. Wir zeigen den Zusammenhang zur Variationsrechnung auf und besprechen insbesondere das Dirichlet- Prinzip. Schließlich folgt ein kurzer Abschnitt über Maximumprinzipien. Voraussetzungen: Vorkenntnisse sollten Sie haben über: Differentialrechnung im R n (inkl. Taylorentwicklung, Satz über implizite Funktionen bzw. die Inverse) Integralrechnung im R n (inkl. L p -Räume, Transformationsformel, Satz von Gauß) Anfänge der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen (Anfangswertprobleme) etwas Funktionalanalysis. (Die Funktionalanalysis wird allerdings erst gegen Ende der Vorlesung benötigt, so dass es auf jeden Fall ausreicht, die FA gleichzeitig zu hören. Wenn Sie bereit sind, ein paar Resultate ohne Beweis zu akzeptieren, können Sie für diese Vorlesung sogar ganz darauf verzichten (für weitere Vorlesungen über PDG jedoch nicht!).) Literatur: Ein ausgezeichnetes Lehrbuch zu partiellen Differentialgleichungen ist das Buch von Evans (s. [Ev]). Die Kapitel 2, 4 und 5 bestehen im Wesentlichen aus Teilen der entsprechenden Kapitel in [Ev], während das Kapitel 3 nach dem Buch von Folland [Fo] modelliert ist. Weitere und in unterschiedliche Richtungen weiterführende Lehrbücher zu den hier behandelten Themen sind u.a. die Bücher von John [Jo], Gilbarg/Trudinger [GT] und Tartar [Ta] sowie die Skripten von Hoffmann [Ho 06a, Ho 06b] und Brokate [Br 07a, Br 07b]. Die nötigen funktionalanalytischen Hilfsmittel finden sich z.b. in dem Buch von Werner [We]. Gelegentlich verwendete fortgeschrittenere Konzepte aus der Maßtheorie finden sich etwa in Evans/Gariepy [EG]. Vielen Dank an alle, die mich auf Fehler in früheren Versionen dieses Skripts aufmerksam gemacht haben, insbesondere an die Herren Lukas Höhndorf, Torsten Jandt, Florian Klöck und Tilman Selig. 10

11 Kapitel 2 Die drei Paradebeispiele linearer PDG zweiter Ordnung 2.1 Die Laplace-Gleichung Die Gleichungen u = 0 bzw. u = f heißen Laplace-Gleichung bzw. Poisson-Gleichung. Physikalische Interpretation: Da keine Zeitabhängigkeit der Größe u vorliegt, beschreibt die Poisson-Gleichung oft Systeme im Gleichgewicht. Wie bei der physikalischen Interpretation der Transportgleichung im letzten Kapitel sei wieder u(x) die Konzentration eines Stoffes im Raumpunkt x. Es bezeichne F die Flussdichte (Konzentration Geschwindigkeit bzw. Flussrate pro Flächeneinheit). Im Gleichgewicht ist der Gesamtfluss durch ein (glatt berandetes) Testvolumen V F ν ds = 0. V Da V beliebig war, ergibt sich wieder mit dem Satz von Gauß div F = 0. Gilt nun zusätzlich F = a u, so folgt u = 0. Gibt es zusätzliche Quellen oder Senken, die durch eine Dichte f beschrieben werden, so erhält man auf diese Weise die inhomogene Poisson-Gleichung. Dass F wirklich proportional zum Gradienten von u ist, ist eine konstitutive Annahme an das untersuchte Modell. Je nach physikalischer Bedeutung von u beschreibt die Gleichung F = a u ein physikalisches Gesetz. 11

12 2.1.1 Analytische Vorbereitungen In diesem Paragraphen werden einige Resultate aus der Analysis wiederholt bzw. angesprochen, die wir im Folgenden immer wieder brauchen werden. a) Zur Integralrechnung im R n. Volumen/Oberfläche: Sei R n messbar, f : R integrierbar. Dann heißt := 1 dx das Volumen von, f(x) dx := 1 f(x) dx (für 0) der Mittelwert von f auf. Analoges definieren wir für Mannigfaltigkeiten: Ist M eine k-dimensionale Mannigfaltigkeit 1, so ist M := 1 ds die (k-dimensionale) Fläche von M, f(ξ) ds(ξ) := 1 f(ξ) ds(ξ) (für M 0) M M der Mittelwert von f auf M. M Ein Spezialfall der Transformationsformel: Sei x R n, r > 0, M R n eine k-dimensionale Mannigfaltigkeit. Ist f integrierbar auf x + rm, so gilt f(ξ)ds(ξ) = r k f(x + rξ)ds(ξ). x+rm Der Satz von Gauß: Ist R n offen und beschränkt mit C 1 -Rand, F C 1 (, R n ), so gilt div F(x) dx = F(ξ) ν(ξ) ds(ξ). Hierbei ist div F = i if i und ν(ξ) die äußere Normale an im Punkte ξ. Zerlegung eines Kugelintegrals: Ist f eine integrierbare stetige Funktion auf B r (x), so gilt r f(y) dy = f(ξ) ds(ξ) dρ. B r(x) 0 M M B ρ(x) 1 Wir werden in dieser VL nur ntermannigfaltigkeiten des R n betrachten, s. z.b. [For]. 12

13 Für das n-dimensionale Kugelvolumen bzw. die n-dimensionale Kugeloberfläche gilt B r (x) = r n B 1 (0), B r (x) = r n 1 B 1 (0), B 1 (0) = 1 n B 1(0) =: ω n = π n 2 Γ( n 2 + 1). b) Glättungskerne (mollifier). Es sei η C (R n ), η 0, supp η B 1 (0), R n η = 1, etwa η(x) := { Ce 1 x 2 1, falls x < 1, 0, falls x 1, mit C > 0 geeignet (s. Abb. 2.1). Man nennt η den Standard-Glättungskern. Setzt Abbildung 2.1: η auf R 2. man für ε > 0 η ε (x) := 1 ε nη ( x ε ), so gilt offenbar η ε C (R n ), η ε 0, supp η ε B ε (0), R n η ε = 1. Der folgende Satz zeigt, wie man mit Hilfe der η ε beliebig glatte Approximationen an allgemeine (raue) Funktionen konstruieren kann. Das ist ein wichtiges Hilfsmittel in der Analysis, das wir im Folgenden öfter benötigen werden. Die Philosophie ist die folgende: Gewisse Aussagen (Gleichungen/ngleichungen) über Funktionen lassen sich häufig viel einfacher zeigen, wenn die beteiligten Funktionen glatt sind. Man behandelt also zunächst diesen Fall und nutzt dann einen Grenzprozess wie im folgenden Satz, um die Aussage für allgemeine Funktionen zu beweisen. 13

14 Satz 2.1 Sei R n offen. Zu ε > 0 definiere ε := {x : dist(x, ) > ε}. Ist f L 1 loc () 2, setze f ε := η ε f in ε, also f ε (x) = η ε (x y)f(y) dy = η ε (y)f(x y) dy. Dann gilt (i) f ε C ( ε ). (ii) f ε f fast überall mit ε 0. B ε(0) (iii) Ist f C(), so gilt f ε f mit ε 0 gleichmäßig auf kompakten Teilmengen von. (iv) Ist f L p loc () mit 1 p <, so gilt f ε f mit ε 0 in L p loc (). Beweis. (i) Ist x ε, so gibt es ein h 0 > 0 mit dist(x, ) > h 0 + ε. Setzt man V := B ε+h0 (x), so ist V offen mit V (kurz: V ). Für alle h h 0 gilt Abbildung 2.2: B h, V, ε und. B h+ε V und f ε (x + he i ) f ε (x) h = η ε (x + he i y) η ε (x y) f(y) dy = ( ) dy, h V i {1,..., n}. Der Bruch im Integranden konvergiert nun gleichmäßig auf V gegen ηε x i (x y) (Mittelwertsatz und gleichmäßige Stetigkeit von ηε x i ). Es folgt, dass fε x i existiert und gegeben ist durch ( ) f ε η ε ηε (x) = (x y)f(y) dy = f (x). x i x i x i 2 Für p [1, ], R n messbar definiert man L p loc () := {f : R messbar, f K L p (K) für jede kompakte Teilmenge K von }. Man sagt f n f für n in L p loc (), wenn f n K f K in L p (K) für jede kompakte Teilmenge K gilt. 14

15 Aus der gleichmäßigen Stetigkeit von ηε x i ergibt sich auch, dass fε x i stetig ist: Für x ε und V wie eben gilt f ε η ε (x k ) = (x k y)f(y) dy = ( ) dy f ε (x) x i x i x i für x k x. Iteriert man dieses Argument, so ergibt sich, dass α f ε existiert für alle Multiindizes α, stetig ist und es gilt V α f ε = ( α η ε ) f. (2.1) (ii) Ein Ergebnis der Maßtheorie besagt, dass fast jeder Punkt x ein Lebesgue-Punkt von f ist 3, d.h. gilt. Für ein solches x gilt: f ε (x) f(x) = lim f(y) f(x) dy = 0 (2.2) r 0 B r(x) B ε(x) ε n η ε (x y) (f(y) f(x)) dy ( ) x y η f(y) f(x) dy ε B ε(x) C f(y) f(x) dy 0 B ε(x) mit ε 0. (iii) Sei nun f C(), K kompakt. Wähle W offen mit K W (etwa W = B 1(0) {x : dist(x, ) > η} für ein genügend kleines η > 0), η so dass f gleichmäßig stetig auf W ist. Dann gilt (2.2) gleichmäßig in x K und die Rechnung von eben 4 (im Beweis von (ii)) zeigt f ε f mit ε 0 gleichmäßig auf K. (iv) Zu f L p loc, K kompakt wähle wieder W offen mit K W. Dann gilt für hinreichend kleine ε f ε L p (K) f L p (W). (2.3) 3 s. z.b. [EG]. (Wenn Sie dieses Ergebnis nicht kennen, macht das gar nichts, wir werden Punkt (ii) des Satzes im Folgenden nicht brauchen. Aus (iv) folgt, dass eine Teilfolge der f ε punktweise gegen f konvergiert. Das wird für unsere Zwecke reichen.) 4 Das folgt direkt aus der gleichmäßigen Stetigkeit; hier braucht man den Satz von den Lebesguepunkten nicht. 15

16 Begründung hierfür: Sei x K. Dann ist nach der Hölderschen ngleichung f ε (x) = η ε (x y)f(y) dy B ε(x) η 1 1 p ε (x y) η 1 p ε (x y) f(y) dy ( B ε(x) B ε(x) ) 1 1 ( )1 p η ε (x y) dy η ε (x y) f(y) p p dy, Bε(x) wobei das erste Integral gleich 1 ist. Integration über K liefert ( ) f ε (x) p dx η ε (x y) f(y) p dy dx K = = K K W W B ε(x) ( ) ( ) (...) dy dx = (...) dx dy W W K ( ) f(y) p η ε (x y) dx dy f(y) p dy, B ε(y) wobei wir in der zweiten Zeile den Satz von Fubini angewendet haben. Das nun impliziert (2.3). Sei nun δ > 0 beliebig. Zu gegebenem f wähle g C(W) mit f g L p (W) δ. (Die stetigen Funktionen liegen dicht in den L p -Räumen. 5 ) Wendet man nun (2.3) auf f g an, so ergibt sich aus (iii) für hinreichend kleines ε: f ε f L p (K) f ε g ε L p (K) + g ε g L p (K) + g f L p (K) 2 g f L p (W) + δ 3δ Harmonische Funktionen Definition 2.2 Eine Abbildung u C 2 (), R n offen, mit u = 0 heißt harmonisch. Beispiel: Sei C = R 2 offen, f : C holomorph und u(x, y) = Rf(x + iy) der Realteil von f, v(x, y) = If(x + iy) der Imaginärteil von f. Dann erfüllen u und v die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen u x = v y und u y = v x. 5 An diesem Ergebnis aus der Maßtheorie kommen wir nicht vorbei, s. etwa [EG]. 16

17 Insbesondere folgt u = u xx + u yy = u xx v xy = u xx u xx = 0 v = v xx + v yy = v xx + u xy = v xx v xx = 0. und Kurz: Der Real- und der Imaginärteil einer holomorphen Funktion sind harmonisch. Lemma 2.3 Sei R n offen, x, R > 0 mit B R (x). Zu u C 2 () definiere ϕ(r) := u(ξ) ds(ξ), r (0, R). B r(x) Dann gilt ϕ (r) = r n u(y) dy und lim rց0 ϕ(r) = u(x). Beweis. Wegen ϕ(r) := B r(x) B r(x) u(ξ) ds(ξ) = u(x + rξ) ds(ξ) B 1 (0) folgt aus dem Satz von Gauß ϕ (r) = u(x + rξ) ξ ds(ξ) = u(ξ) ξ x ds(ξ) B 1 (0) B r(x) r 1 1 = u(ξ) ν(ξ) ds(ξ) = div u(y) dy nω n r n 1 B r(x) nω n r n 1 B r(x) = r n u(y) dy, B r(x) wobei ν(ξ) = ξ x die äußere Normale an B r r (x) in ξ ist. Da u stetig ist, ergibt sich zudem ϕ(r) u(x) = u(ξ) u(x) ds(ξ) u(ξ) u(x) ds(ξ) mit r 0. B r(x) sup u(ξ) u(x) 0 ξ B r(x) B r(x) Korollar 2.4 Es sei R n offen, x, r > 0 mit B r (x), u C 2 () mit u 0. Dann gilt u(x) u(ξ) ds(ξ) und u(x) u(y) dy. B r(x) B r(x) 17

18 Beweis. Die erste ngleichung folgt direkt aus Lemma 2.3, die zweite aus der ersten, indem man das Kugelintegral zerlegt: ( r ) u(y) dy = u(ξ) ds(ξ) dρ B r(x) B ρ(x) 0 r u(x) B ρ (x) dρ 0 r = u(x) 1 ds(ξ) dρ 0 = u(x) B r (x). B ρ(x) Bemerkung 2.5 Eine C 2 -Funktion u mit u 0 nennt man subharmonisch, eine mit u 0 superharmonisch. Natürlich gelten analoge Aussagen auch für superharmonische Funktionen. Satz 2.6 (Die Mittelwerteigenschaft und ihre mkehrung) Es sei u C 2 (), R n offen. (i) Ist u harmonisch, so gilt u(x) = B r(x) u(ξ) ds(ξ) = u(y) dy B r(x) für jede Kugel B r (x). (ii) Gilt umgekehrt u(x) = u(ξ) ds(ξ) für jede Kugel B B r(x) r(x), so ist u harmonisch. Beweis. (i) ist klar nach Korollar 2.4 (angewandt auf u und u). (ii) Wäre u 0, so könnte man eine Kugel B r (x), r > 0, wählen, auf der u strikt positiv oder strikt negativ ist. Mit ϕ wie in Lemma 2.3 ist dann aber 0 = ϕ (r) = r n u(y) dy positiv oder negativ. Widerspruch. B r(x) Wir besprechen im folgenden einige (erstaunliche) Folgerungen aus der Mittelwerteigenschaft. Satz 2.7 (Maximumsprinzip) Sei R n offen und beschränkt und u C 2 () C() subharmonisch auf. Dann gilt 18

19 (i) Das schwache Maximumsprinzip: max u = max u. (ii) Das starke Maximumsprinzip: Ist zusammenhängend 6 und gibt es einen Punkt x 0 mit u(x 0 ) = max u, so ist u konstant. Beweis. Da u sowohl auf als auch auf sein Maximum annimmt, gilt (ii) = (i): Wäre max u = u(x 0 ) > max u, so betrachte die Zusammenhangskomponente (x 0 ) von x 0 in. Dann ist aber u konstant gleich u(x 0 ) auf (x 0 ) und damit auch auf (x 0 ). (ii) Sei x 0 mit u(x 0 ) = M =: max u. Dann gilt M = u(x 0 ) u, B r(x 0 ) wenn B r (x 0 ). Da aber u M ist, muss dann u M auf B r (x 0 ) sein. Das zeigt, dass die Menge M := {x : u(x) = M} offen ist. Da M = u 1 ({M}) aber auch abgeschlossen ist und zusammenhängend ist, muss M leer oder ganz sein. Da aber insbesondere x 0 M gilt, ist also M =, d.h. u M. Satz 2.8 (Glattheit harmonischer Funktionen) Es erfülle u C(), R n offen, die Mittelwerteigenschaft u(x) = u(y) dy = u(ξ) ds(ξ) B r(x) für alle B r (x). Dann gilt u C (). B r(x) Bemerkung Man kann zeigen, dass u sogar reell analytisch ist, d.h. u lässt sich in einer (hinreichend kleinen) mgebung eines beliebigen Punktes x 0 in eine Potenzreihe u(x) = α a α (x x 0 ) α entwickeln. 6 Eine Teilmenge V von R n (oder eines beliebigen topologischen Raumes) heißt zusammenhängend, wenn sie sich nicht als disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer, bzgl. V offener Mengen schreiben lässt. 19

20 2. Die Mittelwerteigenschaft folgt schon aus der schwächeren Annahme, dass u(x) = u(y) dy für alle B B r(x) r(x) oder u(x) = B r(x) u(ξ) ds(ξ) für alle B r (x) gilt: Dass die erste Bedingung aus der zweiten folgt, sieht man wie im Beweis von Korollar 2.4. Die mkehrung ergibt sich wie folgt. Wegen ( r ) ω n r n u(x) = u(y) dy = u(ξ) ds(ξ) dρ, B r(x) 0 B ρ(x) wobei der Term in Klammern stetig in ρ ist, gilt nω n r n 1 u(x) = d u(y) dy = dr B r(x) B r(x) u(ξ) ds(ξ). Beweis. Sei η der (radialsymmetrische) Standardglättungskern aus Paragraph Setze u ε = η ε u auf ε = {x : dist(x, ) > ε}. Nach Satz 2.1(i) ist dann u ε C ( ε ). Die Behauptung folgt nun daraus, dass u u ε ist auf ε : u ε (x) = η ε (x y)u(y) dy = η ε (x y)u(y) dy B ε(x) ε = η ε (r) u(ξ) ds(ξ) dr, 0 B r(x) wobei wir ausgenutzt haben dass η ε radialsymmetrisch ist und sich daher η ε (z) = η ε ( z ) schreiben lässt. Aus der Mittelwerteigenschaft folgt nun ε u ε (x) = u(x) η ε (r) B r (x) dr = u(x) η ε (x y) dy = u(x). 0 B ε(x) Satz 2.10 (Satz von Liouville) Beschränkte harmonische Funktionen auf ganz R n sind konstant. Bemerkung 2.11 Angewendet auf Real- und Imaginärteil einer holomorphen Funktion liefert das gerade den aus der Funktionentheorie bekannten Satz von Liouville. Beweis. Sei u : R n R harmonisch und beschränkt. Nach Satz 2.8 ist u unendlich oft differenzierbar. Leitet man die Gleichung u = 0 nach x i ab, so ergibt sich, dass auch u xi harmonisch ist. Für alle x R n, r > 0 gilt also nach der Mittelwerteigenschaft und dem Satz von Gauß u xi (x) = u xi (y) dy = 1 u B r(x) ω n r n xi (y) dy B r(x) = 1 u(ξ)ν ω n r n i (ξ) ds(ξ) B r(x) n r u(ξ) ds(ξ) n sup R u n, r B r(x) 20

21 wobei ν(ξ) die äußere Normale an B r (x) im Punkt ξ bezeichnet. Mit r folgt nun u xi (x) = 0. Da i und x beliebig waren, haben wir damit u 0 gezeigt Die Poisson-Gleichung Wir betrachten die Poisson-Gleichung u = f (2.4) auf dem R n, n 2, und für ein beschränktes Gebiet R n das Randwertproblem u = f in, u = g auf. (2.5) Hierbei sind f bzw. f und g vorgegebene Daten und u ist die gesuchte Lösung. Ist z.b. u das von einer Ladungsverteilung f induzierte elektrostatische Potential, so gilt (bis auf physikalische Konstanten) u = f. Eine sogenannte Dirichlet-Randbedingung kommt dabei ins Spiel, wenn das Potential am Rand des untersuchten Gebietes fest vorgegeben ist. Diese physikalische Interpretation liefert auch eine erste Idee zur Lösung des Problems: Man versucht zunächst, das von einer Punktladung erzeugte Potential zu bestimmen und erhält dann die gesuchte Funktion u durch Superposition. Problematisch ist hierbei allerdings, dass wir dazu insbesondere die Gleichung u = δ 0 (2.6) lösen müssten, wobei die rechte Seite das Dirac-Maß mit Masse 1 im rsprung bezeichnet. 7 Wir umgehen das Problem, indem wir den Nullpunkt aus unseren Betrachtungen zunächst ausschließen. Intuitiv ist sicher zu erwarten, dass das von einer Punktladung im rsprung induzierte Potential radialsymmetrisch ist. Zusammengefasst: Wir suchen zunächst radialsymmetrische Funktionen u : R n \ {0} R mit u = 0. Sei also r := x, u(x) = v(r). Mit Hilfe von r x i = x i r, 2 r x 2 i = 1 r x2 i r 3, ergibt sich leicht, dass u(x) = v (r) + n 1 r v (r). (Man nennt r 2 + n 1 r r daher auch den radialen Anteil des Laplaceoperators.) Insbesondere ist u = 0 genau dann, wenn v (r) + n 1 v (r) = 0 r 7 Mit der Theorie der Distributionen kann dieser Zugang tatsächlich rigoros durchgeführt werden. 21

22 für alle r > 0. Dies ist eine Gleichung mit getrennten Veränderlichen, und man überzeugt sich leicht, dass die allgemeine Lösung gegeben ist durch { c1 log r + c v(r) = 2, falls n = 2, c 1 r 2 n + c 2, falls n 3. Definition 2.12 Die Funktion Φ : R n \ {0} R, { 1 log x, falls n = 2, 2π Φ(x) := 1 n(n 2)ω n x 2 n, falls n 3. heißt Fundamentallösung der Laplace-Gleichung. (Wir haben uns dabei die Freiheit genommen, in der allgemeinen Lösung c 2 = 0 zu wählen das elektrostatische Potential ist ja nur bis auf eine additive Konstante definiert. Die spezielle Wahl der Konstanten c 1 erklärt sich dadurch, dass geeignet interpretiert Φ tatsächlich die Gleichung (2.6) erfüllt.) Bemerkung 2.13 Sowohl Φ als auch Φ sind lokal integrierbar, nicht jedoch D 2 Φ. Heuristisch ergibt sich eine Lösungsformel für die allgemeine Poissongleichung nun durch Überlagerung von skalierten und verschobenen Fundamentallösungen: Schreibt man (formal!) f(x) = R n δ y (x)f(y) dy = R n δ 0 (x y)f(y) dy als Überlagerung der mit f(y) multiplizierten Deltafunktionen δ y = δ 0 ( y) und beachtet man Φ( y)f(y) = δ 0 ( y)f(y), so liegt es nahe, die Lösung u als Überlagerung der Φ( y)f(y) anzusetzen. Dies führt tatsächlich zum Ziel: Satz 2.14 Es sei f Cc 2(Rn ), d.h. f C 2 (R n ) mit kompaktem Träger. Setze u(x) := (Φ f)(x) = Φ(x y)f(y) dy. (2.7) R n Dann gilt u C 2 (R n ) und u = f. Beweis. Wegen u(x) = Φ(y)f(x y) dy R n ist für i {1,..., n} u(x + he i ) u(x) h = Φ(y) f(x + he i y) f(x y) dy, R h n 22

23 wobei f(x+he i y) f(x y) h f x i (x y) gleichmäßig in y konvergiert mit h 0. Die Ableitung u x i existiert also und ist gegeben durch u x i = Φ f x i. Genauso ergibt sich 2 u x i x j = Φ 2 f x i x j. (Die gleichmäßige Konvergenz folgt aus dem Mittelwertsatz und der Tatsache, dass kompakten Träger hat und daher 2 f x i x j gleichmäßig stetig ist. Die Konvergenz des Integrals auf der rechten Seite folgt dann aus Bemerkung 2.13.) Wir können also schreiben u(x) = Φ(y) x f(x y) dy R n = ( ) dy + B ε(0) Für hinreichend kleine ε gilt 8 I 1 (ε) C D 2 f B ε(0) R n \B ε(0) Φ(y) dy ( ) dy =: I 1 (ε) + I 2 (ε). { ε C 0 r2 n r n 1 dr Cε 2, falls n 3, C ε log r r dr 0 Cε2 logε, falls n = 2, und damit lim ε 0 I 1 (ε) = 0. Weiter ist (partielle Integration) I 2 (ε) = Φ(y) y f(x y) dy R n \B ε(0) = Φ(y) f(x y) ds(y) Φ(y) y f(x y) dy (R n \B ε(0)) ν R n \B ε(0) =: I 3 (ε) + I 4 (ε), wobei ν die äußere Normale an R n \ B ε (0) (also die innere Normale an B ε (0)) bezeichnet. Hierbei ist lim ε 0 I 3 (ε) = 0, da I 3 (ε) C f Φ(y) ds(y) C f sup Φ ε n 1 B ε(0) { Cε, falls n 3, Cε logε, falls n = 2. Nochmalige partielle Integration ergibt Φ I 4 (ε) = (y)f(x y) ds(y) + (R n \B ε(0)) ν Φ = (y)f(x y) ds(y). ν (R n \B ε(0)) R n \B ε(0) B ε(0) Φ(y)f(x y) dy 8 Wir folgen der Konvention, verschiedene Konstanten mit dem gleichen Buchstaben C zu bezeichnen. 23

24 Mit ν = ν(y) = y und Φ(y) = 1 y und damit schließlich u(x) = lim = lim nω n ε 0 (R n \B ε(0)) ε 0 B ε(0) y y n erhalten wir nun Φ ν (y) = 1 nω n y n 1 1 nω n y n 1f(x y) ds(y) f(x y) ds(y) = f(x). Beachte, dass die Lösung von (2.4) nicht eindeutig ist: Addiert man eine beliebige harmonische Funktion zu einer Lösung, so erhält man eine neue Lösung von (2.4). Die in Satz 2.14 konstruierte Lösung ist jedoch zumindest für n 3 dadurch ausgezeichnet, dass sogar u C0 2(Rn ) gilt (also C 2 (R n ) mit lim x u(x) = 0): Ist supp f B R (0) und x > R, so ist u(x) Φ(x y)f(y) dy f L x y 2 n dy n(n 2)ω n B R (0) f L Rn n(n 2) ( x R)2 n 0 B R (0) mit x. In der Tat charakterisiert diese Bedingung die Lösung eindeutig. Proposition 2.15 Sei f C 2 c (R n ), n 3. Die durch (2.7) definierte Lösung des Poissonproblems (2.4) auf R n ist eindeutig in der Klasse C 2 0 (Rn ). Beweis. Sind u 1, u 2 C0(R 2 n ) Lösungen von (2.4), so ist (u 2 u 1 ) = 0. Da u 1 und u 2 als Elemente von C0 2(Rn ) beschränkt sind, ist nach dem Satz von Liouville u 1 u 2 c für eine Konstante c. Wiederum da beide Lösungen im nendlichen gegen Null konvergieren, muss c = 0 sein. Betrachte nun das Dirichlet-Problem für die Poissongleichung u = f in, u = g auf (2.8) mit stetigen f und g auf einem beschränkten Gebiet. Wir suchen eine klassische Lösung von (2.8), d.h. ein u C 2 () C(), das (2.8) erfüllt. Satz 2.16 Das Dirichlet-Problem für die Poissongleichung in einem beschränkten Gebiet hat höchstens eine klassische Lösung. Beweis. Seien u 1, u 2 : R Lösungen. Dann ist u 1 u 2 harmonisch in und gleich Null auf. Aus dem Maximumprinzip (angewendet auf u und u) folgt dann aber u 1 u 2 0. nter geeigneten Voraussetzungen kann man auch zeigen, dass es immer mindestens eine Lösung gibt. Wir beweisen das hier nicht, geben aber das relevante Ergebnis an. Ein Beweis des folgenden Satzes findet sich z.b. in [GT]. 24

25 Satz 2.17 Ist g stetig und f Hölder-stetig, ein beschränktes Gebiet mit hinreichend gutartigem Rand (z.b. C 1 ), so existiert eine klassische Lösung von (2.8). m eine Lösungsformel für das Dirichlet-Problem (2.8) ähnlich wie in (2.7) für die Poissongleichung auf dem R n zu erhalten, wenden wir die Greensche Formel (s. Aufgabe 3) auf u und Φ( x) im Gebiet V ε := \B ε (x) an. Ist u C 2 () C 1 (), so gilt u(y) Φ(y x) Φ(y x) u(y) dy V ε = V ε u(y) Φ ν (y x) Φ(y x) u(y) ds(y), ν ν die äußere Normale an V ε. Beachte, dass Φ(y x) u (y) ds(y) ν u L () Φ L ( B ε(0))nω n ε n 1 0 B ε(x) mit ε 0 und haargenau wie im Beweis von Satz 2.14 u(y) Φ (y x) ds(y) = u(y) ds(y) u(x) ν B ε(x) B ε(x) mit ε 0. Da zudem Φ( x) = 0 ist auf V ε, erhalten wir im Limes ε 0 u(x) = Φ(y x) u (y) u(y) Φ(y x) ds(y) Φ(y x) u(y) dy. ν ν (2.9) Das ist zwar schon die halbe Miete, doch hängt die rechte Seite noch von u ab, was nicht durch das Problem vorgegeben ist. Der Ausweg gelingt durch ν Betrachten der Korrektorfunktionen ϕ x : Es sei ϕ x, x, die klassische Lösung des Problems y ϕ x = 0 in, ϕ x = Φ( x) auf. (Die gibt es, wie oben bemerkt, wenn hinreichend glatt ist.) Definition 2.18 Die Greensche Funktion des Gebietes ist G(x, y) := Φ(y x) ϕ x (y), x, y, x y. Durch die Subtraktion von ϕ x werden sozusagen die störenden Randwerte in (2.9) eliminiert. Da ϕ x harmonisch ist, gilt (symbolisch bzw. im distributionellen Sinne) y G(x, ) = δ x in, G(x, ) = 0 auf. 25

26 Satz 2.19 Ist u C 2 () eine Lösung des Dirichlet-Problems (2.8), so gilt u(x) = g(y) G (x, y) ds(y) + f(y)g(x, y) dy. ν Beweis. Nach der Greenschen Formel ist ϕ x (y) u(y) = u(y) ϕx ν (y) ϕx (y) u (y) ds(y). ν Addiert man dies zu (2.9), so ergibt sich in der Tat u(x) = u(y) G (x, y) ds(y) u(y)g(x, y) dy. ν Beispiel: Die Greensche Funktion für die Kugel B 1 (0). Wir müssen die Korrektorfunktion ϕ x, x B 1 (0), bestimmen mit ϕ x = 0 in B 1 (0), ϕ x = Φ( x) auf B 1 (0). Man kann sich hier mit einem Spiegelungstrick behelfen: Die Inversion an der Kugeloberfläche x := x, x 0, spiegelt die Singularität von Φ ins Äußere der x 2 Kugel. Beachte, dass für alle y B 1 (0) gilt ( x y 2 = x 2 2x y + 1 = x 2 y 2 2 x x y + x ) 2 2 x 2 Setze nun = x 2 y x 2. ϕ x (y) := Φ( x (y x)). Mit x y = x y x sieht man dann leicht, dass in der Tat gilt ϕ x = 0 in B 1 (0) und ϕ x = Φ( x) auf B 1 (0). Die Greensche Funktion für die Einheitskugel im R n ist dann gegeben durch G(x, y) = Φ(y x) Φ( x (y x)), x y (stetig ergänzt für x = 0). Bemerkung 2.20 Mit Hilfe dieser Formel lässt sich das Dirichlet-Problem auf einer Kugel explizit lösen: Ist g C( B r (0)), so ist u mit u(x) := r2 x 2 nω n r B r(0) g(ξ) x ξ n ds(ξ) 26

27 für x B r (0) eine klassische Lösung von u = 0 in B r (0), u = g auf B r (0). Man nennt K(x, y) = r2 x 2 nω nr x y den Poissonkern von B n r (0). Mit der Méthode de Balayage erhält man daraus sogar die Existenz klassischer Lösungen des Dirichlet-Problems auf allgemeinen Gebieten, was wir hier aber nur kurz skizzieren: Es sei R n ein beschränktes Gebiet und B 1, B 2,... eine Familie von offenen Kugeln mit B i und i B i =. Für eine stetige Funktion v definiert man die harmonische Ersetzung T i v durch T i v(x) = { K(x, ξ)v(ξ) ds(ξ) B r(0) für x B i, v(x) für x \ B i. Es sei u 0 C(). Definiere die Funktionenfolge (u k ) induktiv durch u k+1 = T k+1 T k... T 1 u k. Man kann nun zeigen, dass die u k gegen eine harmonische Funktion u konvergieren. (Übungsaufgabe: Zeigen Sie dies unter der zusätzlichen Annahme, dass u 0 subharmonisch ist.) Für hinreichend gutartigen Rand (z.b. C 1 ) gilt außerdem u = u 0 auf. 2.2 Die Wärmeleitungsgleichung Wir betrachten u t u = 0 bzw. u t u = f auf (0, T) mit R n offen, T (0, ] für eine gesuchte Funktion u : (0, T) R. Physikalische Motivation: Dies ist die nicht-stationäre Variante der im letzten Abschnitt gegebenen Motivation für die Laplace-Gleichung. Betrachtet man wie im vorigen Abschnitt die zeitliche Veränderung der Konzentration eines Stoffes in einem Testvolumen V, der durch die Flussdichte F mit F = adu, a > 0, beschrieben wird, so ergibt sich u t = d u = F ν ds = div F = a u. dt V V V V V Ist z.b. u die Temperaturverteilung in einem Medium, so beschreibt a 1 einen guten Temperaturleiter, a 1 einen guten Isolator. Nach Reskalierung können wir uns o.b.d.a. auf den Fall a = 1 beschränken. (Betrachte u(x, at) statt u(x, t).) Beachte: An Maximalstellen (bzw. Minimalstellen) x 0 ist u(x 0 ) 0 (bzw. 0) und damit u t (x 0 ) 0 (bzw. 0). Die Wärmeleitungsgleichung versucht also, Temperaturunterschiede auszugleichen in Übereinstimmung mit unserer physikalischen Intuition. 27

28 2.2.1 Analytische Vorbereitungen a) Die Fouriertransformation Für f L 1 (R n, C) definiert man ˆf(ξ) := (Ff)(ξ) := 1 e iξ x f(x) dx (2π) n 2 R n (die Fouriertransformierte von f). Die inverse Fouriertransformation ist definiert durch F 1 f(ξ) := 1 e +iξ x f(x) dx (2π) n 2 R n Man kann zeigen, dass f L 1 impliziert, dass ˆf in C 0 liegt. Wir erinnern außerdem an die folgenden wichtigen Eigenschaften: Die Formel von Plancherel: Ist f, g, ˆf, ĝ L 1, so gilt ˆf ĝ = F 1 f F 1 g = f ḡ, R n R n R n wobei z das konjugiert Komplexe einer Zahl z C bezeichnet. Insbesondere gilt also Ff L 2 = F 1 f L 2 = f L 2. Dies erlaubt, die Fouriertransformation zu einer Isometrie F : L 2 L 2 fortzusetzen. Faltung: Sind f, g L 1 (und damit nach der Youngschen ngleichung 9 auch f g L 1 ), so gilt f g = (2π) n 2 ˆf ĝ. Streckung, Verschiebung, Spiegelung: Ist f λ (x) = f(λx), λ R \ {0}, (τ a f)(x) = f(x a), a R n, so gilt ( ) ξ f λ (ξ) = λ n ˆf, τa f(ξ) = e ia ξ ˆf(ξ), ˆf(x) = f( x). λ Insbesondere ist F ( e t 2) = 1 e 2 (2t) n 4t. 2 9 Gleich mehr zur Youngschen ngleichung, s. (2.10). 28

29 b) Diracfolgen Wir benötigen eine Variante der im vorigen Abschnitt diskutierten Glättungskerne. Eine Folge nichtnegativer Funktionen (ϕ k ) L 1 (R n, R) heißt eine Diracfolge, wenn lim k R n ϕ k = 1 und lim k R n \B r(0) ϕ k = 0 r > 0. Der folgende Satz ist die nicht lokalisierte Variante von Satz 2.1. Satz 2.21 Es sei (ϕ k ) eine Diracfolge auf R n, f L p (R n ), 1 p. Setze f k := ϕ k f. Dann gilt: (i) Ist f L p mit 1 p <, so folgt f k f in L p. (ii) Ist f L C, so folgt f k f gleichmäßig auf Kompakta. Bevor wir das beweisen, inspizieren wir den Beweis von Satz 2.1(iv), insbesondere der Formel (2.3) noch einmal genauer. Ist f L p (R n ) und ϕ L 1 (R n ) mit ϕ L 1 = 1, so zeigt der Beweis von (2.3), dass ϕ f L p (R n ) f L p (R n ) gilt. (Man muss nur überall K, W und B ε (x) durch R n und η ε durch ϕ ersetzen. Beachte, dass der Satz von Fubini für nicht-negative Funktionen immer gilt unabhängig davon, ob die beteiligten Funktionen integrierbar sind.) Wendet man dies für allgemeine ϕ L 1 auf ϕ ϕ L 1 an, so ergibt sich die Youngsche ngleichung ϕ f L p (R n ) ϕ L 1 (R n ) f L p (R n ). (2.10) Beweis von Satz Wir zeigen zunächst (ii). Sei K R n kompakt. Zu ε > 0 wähle 0 < r < 1 so klein, dass sup x K sup y B r(x) f(x) f(y) ε. Für hinreichend große k ist auch R n \B r(0) ϕ k ε und 1 R n ϕ k ε und wir erhalten f k (x) f(x) ( ) = ϕ k (y x) (f(y) f(x)) dy 1 ϕ k (y x) dy f(x) R n R n ϕ k (y x) f(y) f(x) dy + 2 f L ϕ k (y x) dy B r(x) R n \B r(x) + f L R 1 ϕ k (y x) dy n (1 + ε)ε + 2 f L ε + f L ε Cε 29

30 für alle x K und ε 1. Daraus folgt nun (i) aus der Youngschen ngleichung (2.10) und der Dichtheit von {f L C : supp f ist kompakt} in L p. Sei f L p, p <. Zu ε > 0 wähle g stetig mit kompaktem Träger, so dass f g L p ε. Da mit (ϕ k ) auch (χϕ k ) eine Diracfolge ist, wobei χ = χ B1 (0) die charakteristische Funktion der Einheitskugel um 0 bezeichnet, folgt nun aus (i) für k genügend groß f k f L p ϕ k f ϕ k g L p + ϕ k g g L p + g f L p (1 + ϕ k L 1) g f L p + (χϕ k ) g g L p + ((1 χ)ϕ k ) g L p 3ε + (χϕ k ) g g L supp g + B 1 (0) + (1 χ)ϕ k L 1 g L p 3ε + ε + ε, wobei wir verwendet haben, dass supp((χϕ k ) g) supp(χϕ k )+supp g supp g+ B 1 (0) gilt Die Wärmeleitungsgleichung im R n In diesem Abschnitt untersuchen wir das Anfangswertproblem zunächst für f = 0. u t u = f in R n (0, ), u = g auf R n {t = 0} Das homogene Problem Sei f = 0. m eine Lösungsformel zu erhalten, nehmen wir zunächst an, dass eine gutartige Lösung existiert und dass g L 1 ist. Betrachte die partielle Fouriertransformation Dann ist zu lösen û(ξ, t) = F x u(ξ, t) := 1 (2π) n 2 R n e ix ξ u(x, t) dx. û t + ξ 2 û = 0 für t > 0, û = ĝ bei t = 0. Dies ist ein entkoppeltes System linearer gewöhnlicher Differentialgleichungen! Die Lösung ist û(ξ, t) = e ξ 2tĝ(ξ). Die inverse Fouriertransformation liefert dann e t 2 u(, t) = 1 g F (2π) n x 1 e t 2 = g Φ(, t) mit Φ(, t) = Fx 1. 2 (2π) n 2 Da die Funktion e t 2 gerade ist, erhalten wir F 1 x e t 2 = F x e t 2 = 1 (s. Abschnitt 2.2.1a) und damit Φ(x, t) = 1 u(x, t) = 1 (4πt) n 2 30 (4πt) n 2 R n e x 2 e 4t und x y 2 4t g(y) dy. (2t) n 2 2 e 4t

31 Bemerkung Es gilt ( t )Φ = 0 auf R n (0, ). 2. Für t > 0 ist Φ(, t) > 0 auf R n und Φ(x, t) dx = (2π) n 1 2 e i0 x Φ(x, t) dx R n (2π) n 2 R n e t 0 2 = (2π) n 2 (Fx Φ(, t))(0) = (2π) n 2 (2π) n 2 = Schreibt man Φ in der Form Φ(x, t) = 1 (2π) n 2 1 det Ct e 1 2 xt C 1 t x, wobei C t die n n-matrix 2t Id ist, so sieht man, dass Φ(, t) gerade die Dichte des Gaußmaßes mit Erwartungswert 0 und Kovarianzmatrix C t auf dem R n ist. (In einer Dimension: Die Gaußsche Dichte mit Erwartungswert 0 und Standardabweichung 2t.) In der Tat spielt die Wärmeleitungsgleichung beim Studium der Brownschen Bewegung in der Wahrscheinlichkeitstheorie eine wichtige Rolle. 4. Es ist nicht schwer zu sehen, dass für jede Folge t n ց 0 die Funktionen Φ(, t n ) eine Diracfolge bilden. Diese Beobachtung und Punkt 1 zeigen (zumindest formal), dass t Φ Φ = 0 in R n (0, ), Φ = δ 0 auf R n {t = 0} gilt. Wir nennen daher Φ die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung. Satz 2.23 Es sei g L p (R n ) mit 1 p. Setze u(x, t) = (g Φ(, t))(x). Dann gilt: (i) u C (R n (0, )). (ii) u t u = 0 in R n (0, ). (iii) Ist g L p mit p <, so gilt lim tց0 u(, t) = g in L p. (iv) Ist g L C, so gilt lim tց0 u(x, t) = g(x) gleichmäßig auf Kompakta. Beweis. (i) und (ii) folgen daraus, dass Φ C (R n (0, )) ist und die Wärmeleitungsgleichung erfüllt (s. Bemerkung 2.22,1) und dass wir u(x, t) = Φ(x y, t)g(y) dy R n 31

32 unter dem Integral differenzieren dürfen. Dies sieht man wie folgt: Für jeden Multiindex α N n+1 0 lässt sich die α -Ableitung in der Form (x,t) α Φ(x y, t) = p α(x y, t 1 2 )e x y 2 4t mit einem Polynom p α schreiben (Induktion!). Es sei m der Grad dieses Polynoms. Dann gilt für z R n+1 p α (z) C(1 + z m ) und daher α (x,t) Φ(x y, t) C(1 + x y m + t m 2 )e x y 2 4t. Ist nun (x 0, t 0 ) R n (0, ) und ε > 0 so klein, dass t 0 > 2ε, dann gilt für alle (x, t) mit x x 0 < ε, t t 0 < ε α (x,t)φ(x y, t) C ( 1 + ( y x 0 + ε) m + (t 0 ε) m 2 ) e (max{ y x 0 ε,0})2 4(t 0 +ε). Die rechte Seite dieser Gleichung ist aber in L q für jedes q [1, ], insbesondere also für q mit = 1. Multiplikation mit g ergibt also eine integrierbare q p Majorante für g (x,t) α Φ(x, t). Es folgt, dass wir bei (x 0, t 0 ) unter dem Integral differenzieren dürfen. (iii) und (iv) folgen direkt aus Bemerkung 2.22,4 und Satz Die Voraussetzungen an g können noch wesentlich abgeschwächt werden. Der Beweis von Satz 2.23 zeigt, dass in der Tat u(x, t) = (g Φ(, t))(x) die Wärmeleitungsgleichung auf R n (0, T) löst, wenn nur g(x) Ce x 2 4T für ein C > 0 gilt. Folglich erhält man durch g Φ eine Lösung auf R n (0, ), wenn für alle ε > 0 ein C > 0 existiert, so dass g(x) Ce ε x 2. Eine ähnliche Wachstumsbedingung werden wir später bei der Diskussion der Eindeutigkeit benötigen. Wir halten noch zwei wichtige Folgerungen aus Satz 2.23 fest. Bemerkung Ist g 0 auf R n und g > 0 auf einer Menge positiven Maßes, so ist u > 0 überall auf R n (0, T). Störungen breiten sich unendlich schnell aus! 2. Die Wärmeleitungsgleichung ist nicht zeitumkehrbar. Beliebig raue Anfangsdaten werden in infinitesimaler Zeit C -glatt. 32

33 Das inhomogene Problem Wir betrachten nun das Problem u t u = f in R n (0, ), u = 0 auf R n {t = 0}. Indem wir als eine lineare Abbildung A, die auf u wirkt interpretieren, können wir die Gleichung heuristisch als eine gewöhnliche Differentialgleichung d u + Au = f (2.11) dt auffassen. 10 Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung und mit der Methode der Variation der Konstanten können wir sofort eine Lösung angeben: Ist u( ; s) eine Lösung des homogenen Problems d u(t; s) + Au(t; s) = 0 für t > s, u(t; s) = f(s) bei t = s, dt so ergibt sich die Lösung u von (2.11) als u(t) = t 0 u(t; s) ds. In der Variante für PDG nennt man das das Duhamelsche Prinzip: Für s > 0 löse u t (x, t; s) u(x, t; s) = 0 in R n (s, ), u(x, s; s) = f(x, s) auf R n. Setze dann u(x, t) = t 0 u(x, t; s) ds. Da das allerdings bisher nur heuristisch war, müssen wir zeigen, dass wir auf diese Weise tatsächlich eine Lösung erhalten. Satz 2.25 Es sei f C1(R 2 n [0, )) (d.h. f ist zweimal stetig differenzierbar nach x und einmal stetig differenzierbar nach t), supp f kompakt und t u(x, t) = Φ(x y, t s)f(y, s) dy ds. 0 R n Dann ist (i) u C 2 1(R n (0, )), (ii) ( t )u = f in R n (0, ) und 10 Alternativ kann man auch wieder mit der Fouriertransformation argumentieren. 33

34 (iii) u C(R n [0, )), u(x, 0) = 0 für alle x R n. Beweis. Es gilt u(x, t) = t 0 R n Φ(y, s)f(x y, t s) dy ds. (2.12) Wir müssen wieder rechtfertigen, dass wir unter dem Integral differenzieren dürfen. Dazu beachte, dass Φ(y, s)f(x y, t s) dy = Φ(y, s) f (x y, t s) dy t R n R t n gilt, da f C1 2 kompakten Träger hat, und dass dieser Ausdruck stetig und gleichmäßig beschränkt in s (0, t] ist. Es folgt, dass u t (x, t) = Φ(y, t)f(x y, 0) dy + Φ(y, s) f (x y, t s) dy ds t R n 0 R t n (2.13) ist. Genauso ist für alle s > 0 der Ausdruck 2 2 f Φ(y, s)f(x y, t s) dy = Φ(y, s) (x y, t s) dy x i x j R n R x n i x j gleichmäßig beschränkt in s, und damit 2 u t 2 f (x, t) = Φ(y, s) (x y, t s) dy ds. (2.14) x i x j 0 R x n i x j Aus (2.13) und (2.14) folgt nun (i). Außerdem ergibt sich t (u t u)(x, t) = Φ(y, s)( t x )f(x y, t s) dy ds 0 R n + Φ(y, t)f(x y, 0) dy R n t = Φ(y, s)( s y )f(x y, t s) dy ds ε R n ε + ( ) dy ds + Φ(y, t)f(x y, 0) dy 0 R n R n =: I 1 (ε) + I 2 (ε) + I 3 (ε). Dabei ist I 2 (ε) ( f t L + Dx 2 f ) ε L 0 R n Φ(y, s) dy ds Cε 34

35 und (partielle Integration) t I 1 (ε) = ( s y )Φ(y, s)f(x y, t s) dy ds ε R n Φ(y, t)f(x y, 0) dy + Φ(y, ε)f(x y, t ε) dy R n R n = Φ(y, ε)f(x y, t ε) dy I 3 (ε). R n Es folgt, dass (u t u)(x, t) = lim Φ(y, ε)f(x y, t ε) dy ε 0 R n = lim Φ(y, ε)(f(x y, t ε) f(x y, t)) dy + Φ(y, ε)f(x y, t)) dy, ε 0 R n R n wobei der erste Term wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von f gegen Null konvergiert und der zweite gegen f(x, t) nach Bemerkung 2.22,4. Also gilt in der Tat (u t u)(x, t) = f(x, t). (iii) ergibt sich direkt aus (2.12), da t u(x, t) 0 f L (R n [0, )) Φ(x y, t s) dy ds = f L t. R n Als direkte Folgerung aus Satz 2.23 und Satz 2.25 erhalten wir durch Addition der dort gewonnenen Lösungen: Korollar 2.26 nter den Voraussetzungen an g und f von Satz 2.23 bzw ist eine Lösung von u t u = f in R n (0, ), u = g auf R n {t = 0}. gegeben durch u(x, t) = Φ(x y, t)g(y) dy + R n t 0 R n Φ(x y, t s)f(y, s) dy ds Die Wärmeleitungsgleichung auf einem beschränkten Gebiet Sei R n offen. Man nennt T := (0, T] das parabolische Innere des parabolischen Zylinders T über und Γ T := T \ T seinen parabolischen Rand. Wie durch die physikalische Interpretation motiviert ist Γ T die Menge, auf der Randbedingungen (Anfangswerte auf {0}, Randwerte auf [0, T]) für die Wärmeleitungsgleichung vorgegeben werden sollen. 35

36 Satz 2.27 (Maximumsprinzip) Sei u C 2 1( T ) C( T ) eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung in T, R n offen und beschränkt. Dann gilt max u = max u. T Γ T Bemerkung Mit etwas mehr Arbeit kann man auch hier eine starkes Maximumprinzip zeigen: Ist zusammenhängend und existiert ein Punkt (x 0, t 0 ) T mit u(x 0, t 0 ) = max u, T so ist u konstant auf t0. Beachte: Für spätere Zeiten t > t 0 muss das nicht gelten. 2. Natürlich gilt auch ein entsprechendes Minimumprinzip. Beweis. Sei ε > 0. Setze v(x, t) = u(x, t) + ε x 2. Dann ist t v v = 2nε < 0. Hätte v eine Maximalstelle (x 0, t 0 ) T, so wäre v(x 0, t 0 ) 0 und t v(x 0, t 0 ) 0, also t v(x 0, t 0 ) v(x 0, t 0 ) 0. Widerspruch. (Der Fall t v(x 0, t 0 ) > 0 kann nur auftreten, wenn t 0 = T ist.) Es ergibt sich max T u max T v max Γ T v max u + ε max x 2. Γ T Γ T Mit ε 0 folgt die Behauptung. Korollar 2.29 Sei g C(Γ T ), f C( T ). Dann existiert höchstens eine Lösung des Anfangs-/Randwertproblems u t u = f in T, u = g auf Γ T. Beweis. Sind u 1 und u 2 Lösungen, so folgt aus dem Maximum- und dem Minimumprinzip u 1 u 2 = 0. Das Maximumprinzip liefert auch ein Eindeutigkeitsresultat für die Wärmeleitungsgleichung auf dem R n : Satz 2.30 Sei u C 2 1(R n (0, T]) C(R n [0, T]) eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung u t u = 0 in R n (0, T], u = g auf R n {0}, 36

37 für die Konstanten a, A > 0 existieren, so dass Dann gilt u(x, t) Ae a x 2 x R n, 0 t T. sup u = sup g. R n [0,T] R n Beweis. Sei zunächst 4aT < 1. Wähle ε > 0 mit 4a(T + ε) < 1. Zu x 0 R n und µ > 0 definiere µ v(x, t) := u(x, t) e x 0 x 2 (T + ε t) n 4(T+ε t). 2 Dann ist ( t )v = 0. (Denn v(x, t) = u(x, t) (4π) n 2 µφ(ix ix 0, T + ε t).) Zu r > 0 setze = B r (x 0 ). Nach dem Maximumprinzip ist Nun gilt für die Startwerte µ v(x, 0) = u(x, 0) (T + ε) n 2 Für die Punkte x mit x x 0 = r ist Da µ v(x, t) = u(x, t) (T + ε t) n 2 1 a =: γ > 0 ist, heißt das 4(T+ε) µ v(x, t) e ( (a+γ)r2 (T + ε) n 2 max v = max v. (2.15) T Γ T e x 0 x 2 4(T+ε) < u(x, 0) = g(x). e x 0 x 2 4(T+ε t) Ae a( x 0 +r) 2 µ (T + ε) n 2 + Ae γr2 +2ar x 0 +a x 0 2 ). e r2 4(T+ε). Dieser Ausdruck geht gegen für r. Für hinreichend großes r ist also v(x, t) sup R n g. Mit (2.15) ist dann auch v(x 0, t) sup R n g. Nun lasse µ 0. Für allgemeines T > 0 wende dieses Ergebnis sukzessive auf die Intervalle [0, T 0 ], [T 0, 2T 0 ], [2T 0, 3T 0 ],... mit 4T 0 a < 1 an. Korollar 2.31 Sei g C(R n ), f C(R n [0, T]). Dann existiert höchstens eine Lösung von die der Wachstumsbedingung u t u = f in R n (0, T], u = g auf R n {0}, u(x, t) Ae a x 2 mit Konstanten a, A genügt. 37 x R n, 0 t T

38 Beweis. Klar. Bemerkung Ohne zusätzliche Voraussetzungen ist die Lösung des Anfangswertproblems für die Wärmeleitungsgleichung im R n nicht eindeutig. 2. Eine alternative Bedingung, die Eindeutigkeit garantiert, ist u 0 auf R n (0, T). Das ist physikalisch von Interesse, da Temperaturen gemessen in Kelvin nicht-negativ sind. Wir untersuchen zuletzt noch die Regularität von Lösungen der Wärmeleitungsgleichung in einem beliebigen Gebiet. Satz 2.33 Sei u C 2 1 ( T) eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung in T, R n offen. Dann ist u C ( T ). Beweis. Zu (x 0, t 0 ) T fest und r > 0 definieren wir die Zylinder Z r = B r (x 0 ) [t 0 r, t 0 ]. Wähle r so klein, dass Z := Z(x 0, t 0, r) T und setze Z := Z(x 0, t 0, 3r ), 4 Z := Z(x 0, t 0, r ) (s. Bild 2.3). Es sei ζ = ζ(x, t) eine Abschneidefunktion mit 2 Abbildung 2.3: Z, Z, Z und V. 0 ζ 1, ζ 1 auf Z und ζ 0 in einer mgebung des parabolischen Randes von Z und in R n [0, t 0 ] \ Z. Eine solche Funktion kann man wie folgt konstruieren: Wähle V R n (0, ) als eine offene Menge mit Z V und so, dass der Abstand von V zum parabolischen Rand von Z und der Abstand von Z zu V größer als ein δ > 0 ist. Setze dann ζ := χ V η δ, wobei χ V die charakteristische Funktion von V und η δ der skalierte Standardglättungskern (im R n+1 ) ist. Sei zunächst u C ( T ). Setzt man v(x, t) = ζ(x, t)u(x, t) für (x, t) R n [0, t 0 ], 38