Fixpunkt: da läuft nichts mehr
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- Karoline Hoch
- vor 6 Jahren
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Transkript
1 Modul 107 Fixpunkte
2 Fixpunkt: da läuft nichts mehr 2
3 Fixpunkt: da läuft nichts mehr f ( x)! input = x! output 3
4 Fixpunkt: da läuft nichts mehr f ( x)! input = x! output gigo: garbage in, garbage out 4
5 Fixpunkt? 5
6 Fixpunkt? 6
7 Erinnerungen an die Schulgeometrie 7
8 Erinnerungen an die Schulgeometrie 8
9 Erinnerungen an die Schulgeometrie Translation: kein Fixpunkt 9
10 Erinnerungen an die Schulgeometrie 10
11 Erinnerungen an die Schulgeometrie Drehung: Drehzentrum ist Fixpunkt 11
12 Erinnerungen an die Schulgeometrie Drehung: Drehzentrum ist Fixpunkt 12
13 Erinnerungen an die Schulgeometrie 13
14 Erinnerungen an die Schulgeometrie Geradenspiegelung: Spiegelachse ist Fixpunktgerade 14
15 Erinnerungen an die Schulgeometrie Geradenspiegelung: Spiegelachse ist Fixpunktgerade 15
16 Erinnerungen an die Schulgeometrie Zoom: Streckzentrum ist Fixpunkt 16
17 Erinnerungen an die Schulgeometrie Zoom: Streckzentrum ist Fixpunkt 17
18 Erinnerungen an die Schulgeometrie Zoom: Streckzentrum ist Fixpunkt 18
19 Erinnerungen an die Schulgeometrie Zoom: Streckzentrum ist Fixpunkt 19
20 Erinnerungen an die Schulgeometrie Zoom: Streckzentrum ist Fixpunkt 20
21 Erinnerungen an die Schulgeometrie Drehstreckung 21
22 Erinnerungen an die Schulgeometrie Drehstreckung 22
23 Erinnerungen an die Schulgeometrie Drehstreckung 23
24 Erinnerungen an die Schulgeometrie Drehstreckung 24
25 Erinnerungen an die Schulgeometrie Drehstreckung 25
26 Erinnerungen an die Schulgeometrie Drehstreckung 26
27 Erinnerungen an die Schulgeometrie Drehstreckung 27
28 Erinnerungen an die Schulgeometrie Drehstreckung 28
29 Fixpunktsatz: Jede kontrahierende Abbildung f mit f ( A)! A hat genau einen Fixpunkt. A ist der Definitionsbereich von f. 29
30 Mit Folien zeigen
31
32
33
34
35 Unregelmäßige Kontraktion 35
36 Unregelmäßige Kontraktion 36
37 Unregelmäßige Kontraktion 37
38 Unregelmäßige Kontraktion 38
39 Nicht überall kontrahierend 39
40 Nicht überall kontrahierend Zwei Fixpunkte 40
41 Demo mit Taschenrechner cos(x) = x Taschenrechner mit UPN (umgekehrte polnische Notation), bei welchem man zuerst die Zahl und dann die Funktion (zum Beispiel cos) eintippen muss. Bogenmaß (Radian) einstellen. Irgend eine Zahl eingeben. Fortlaufend auf cos-taste drücken. 41
42 cos(x) = x
43 cos(x) = x
44 cos(x) = x
45 cos(x) = x
46 cos(x) = x
47 cos(x) = x Fixzahl 47
48 cos(x) = x 48
49 cos(x) = x
50 cos(x) = x
51 cos(x) = x
52 cos(x) = x
53 cos(x) = x
54 cos(x) = x
55 cos(x) = x
56 cos(x) = x
57 cos(x) = x
58 cos(x) = x
59 Erinnerung: Newton cos(x) = x! cos(x) " x = 0 ( ) = cos(x) " x ( ) = "sin(x) "1 f x # f x x n +1 = x n " cos(x n )"x n "sin(x n )"1 59
60 Erinnerung: Newton Schritt x[n] Newton ist viel schneller als die Fixpunktmethode. 60
61 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 61
62 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 62
63 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 Zu welchem Schnittpunkt geht die Fixpunktmethode? 63
64 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 Demo mit Taschenrechner Taschenrechner mit UPN Irgend eine Zahl als Startwert eingeben. Fortlaufend auf Quadrat-Taste drücken. 64
65 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 Schritt x[n] 0.9 Startwert e e e-23 65
66 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 66
67 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 67
68 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 68
69 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 69
70 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 70
71 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 71
72 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 72
73 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 73
74 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 74
75 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 75
76 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 76
77 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 77
78 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 Schritt x[n] 0 1 Startwert
79 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 79
80 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 Schritt x[n] Startwert e e22 80
81 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 81
82 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 82
83 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 83
84 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 84
85 Ab in die Wolken Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 85
86 Ab in die Wolken Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 stabiler Fixpunkt labiler Fixpunkt 86
87 Vorgehen beim Fixpunktverfahren 1. Gleichung umformen in die Form: dadamdadam = x 2. Linken Teil als Funktion auffassen: f(x) = x 3. Startwert x 0 wählen 4. Rekursion: x n+1 = f(x n ) 5. Vorsicht: Labile Fixpunkte gehen verloren 87
88 Neues Beispiel: 1 10 x3! 1 5 x2! x = x3! 1 5 x2! 1 10 x + 6!###"### $ 5 = x ( ) f x 88
89 Neues Beispiel: 1 10 x3! 1 5 x2! x = x3! 1 5 x2! 1 10 x + 6!###"### $ 5 = x ( ) f x 89
90 1 10 x3! 1 5 x2! 1 10 x + 6!###"### $ 5 = x ( ) f x Labile / stabile Fixpunkte? 90
91 Ausschnitt 91
92 92
93 93
94 94
95 x = 1 ist ein stabiler Fixpunkt 95
96 Anderer Ausschnitt 96
97 97
98 98
99 99
100 100
101 Ab in die Wolken x = 4 ist ein labiler Fixpunkt 101
102 Steigung klein!1 < f "( x) <1 Stabiler Fixpukt 102
103 Kleine positive Steigung 0 < f!( x) <1 y y = x y = f(x) y = f(x) Bild kontrahiert Urbild x 103
104 Kleine positive Steigung 0 < f!( x) <1 y y = x y = f(x) y = f(x) Bild kontrahiert Urbild x 104
105 Kleine positive Steigung 0 < f!( x) <1 y y = x y = f(x) y = f(x) Bild kontrahiert Urbild x 105
106 Kleine positive Steigung 0 < f!( x) <1 y y = x y = f(x) y = f(x) Bild kontrahiert Urbild x 106
107 Kleine positive Steigung 0 < f!( x) <1 y y = x y = f(x) y = f(x) Bild kontrahiert Urbild x 107
108 Kleine positive Steigung 0 < f!( x) <1 y y = x y = f(x) y = f(x) Bild kontrahiert Urbild x 108
109 Kleine positive Steigung 0 < f!( x) <1 y y = x y = f(x) y = f(x) Bild kontrahiert Urbild x 109
110 Kleine positive Steigung 0 < f!( x) <1 y y = x y = f(x) y = f(x) Bild kontrahiert Urbild x 110
111 Kleine positive Steigung 0 < f!( x) <1 y y = x y = f(x) y = f(x) Bild kontrahiert Urbild x 111
112 Kleine positive Steigung 0 < f!( x) <1 y y = x y = f(x) y = f(x) Bild kontrahiert Urbild x 112
113 Kleine positive Steigung 0 < f!( x) <1 y y = x y = f(x) y = f(x) Bild kontrahiert Urbild x Treppen 113
114 Kleine negative Steigung!1 < f "( x) < 0 y y = f(x) y = x Bild kontrahiert Urbild x 114
115 Kleine negative Steigung!1 < f "( x) < 0 y y = f(x) y = x Bild kontrahiert Urbild x 115
116 Kleine negative Steigung!1 < f "( x) < 0 y y = f(x) y = x Bild kontrahiert Urbild x 116
117 Kleine negative Steigung!1 < f "( x) < 0 y y = f(x) y = x Bild kontrahiert Urbild x 117
118 Kleine negative Steigung!1 < f "( x) < 0 y y = f(x) y = x Bild kontrahiert Urbild x 118
119 Kleine negative Steigung!1 < f "( x) < 0 y y = f(x) y = x Bild kontrahiert Urbild x 119
120 Kleine negative Steigung!1 < f "( x) < 0 y y = f(x) y = x Bild kontrahiert Urbild x 120
121 Kleine negative Steigung!1 < f "( x) < 0 y y = f(x) y = x Bild kontrahiert Urbild x Spirale 121
122 Ab in die Wolken Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 stabiler Fixpunkt labiler Fixpunkt 122
123 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 Umformung: x = x! x = 0 oder x = 1 Übergang zur Umkehrfunktion 123
124 Beispiel: x 2 = x! x = 0 oder x =1 Umformung: x = x! x = 0 oder x = 1 labiler Fixpunkt stabiler Fixpunkt 124
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