1. Übungsblatt zur Statistik III - Schätzen und Testen

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1 1. Übungsblatt zur Aufgabe 1 (4 Punkte): Ein Würfel mit unbekannter Anzahl k IN von Seiten wird fünf mal geworfen mit folgendem Ergebnis: 7, 2, 11, 4, 10. Geben Sie zwei verschiedene sinnvolle Punktschätzfunktionen und zwei verschiedene sinnvolle Bereichschätzfunktionen für k vollständig an. Welche Schätzungen ergeben diese Schätzfunktionen für das Datenbeispiel? Aufgabe 2 (3 Punkte): Aus Recycling-Glas werden Porzellan-Scherben durch eine Maschine automatisch entfernt. In jeweils 10 Proben gereinigtem Glas à 1 kg wurden folgende Anzahlen von Porzellan-Scherben gezählt: 0, 3, 1, 0, 3, 2, 1, 1, 0, 0. Von Interesse ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Probe frei von Porzellan-Scherben ist. Eine sinnvolle Annahme für die Verteilung der Anzahl der Porzellan-Scherben in einer Probe ist die Poisson-Verteilung, also X 1,...,X 10 Pois(λ), wobei λ (0, ) der unbekannte Parameter ist. Von Interesse ist dann a(λ) = P λ (X 1 = 0) = e λ. Geben Sie zwei verschiedene Punktschätzfunktionen für a(λ) an und begründen Sie, warum Sie sich für diese Schätzfunktionen entschieden haben. Welche Schätzungen ergeben diese Schätzfunktionen für das Datenbeispiel? Achtung: Diese Aufgabe hat eine Fortsetzung in Aufgabe 1 der 8. Übung! Es wurden folgende Lebenszeiten bis zum Ausfall eines elektronischen Bauteils beobachtet (in Wochen) 48, 75, 42, 32, 102, 99, 53, 44, 21, 4. Geben Sie zwei verschiedene Entscheidungsregeln für folgende Hypothesen vollständig an: H 0 : Die erwartete Lebenszeit ist nicht kleiner als 50 Wochen. H 1 : Die erwartete Lebenszeit ist kleiner als 50 Wochen. Für welche Hypothese würden sich diese Entscheidungsregeln jeweils bei dem Datenbeispiel entscheiden? Achtung: Diese Aufgabe wird in Aufgabe 3 der 5. Übung und in Aufgabe 1 der 11. Übung wieder aufgegriffen!

2 2. Übungsblatt zur Aufgabe 1 (3 Punkte): Seien X 1,...,X N u.i.v. mit Bernoulli-Verteilung Bin(1,p) mit unbekanntem Parameter p [0,1]. Welche Schätzfunktionen p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6 für p gegeben durch p 1 (x 1,...,x N ) = x 1, p 2 (x 1,...,x N ) = 1 2 (x 1 +x N ), p 3 (x 1,...,x N ) = 1 4 (x 1 +x N +1), p 4 (x 1,...,x N ) = 1 N N x n, p 5 (x 1,...,x N ) = 1 N +1 p 6 (x 1,...,x N ) = 1 N +2 ( ( ) N x n, ) N x n, sind erwartungstreu? Begründen Sie die Antworten. Die Schätzfunktionen p 3 und p 6 haben den Vorteil, dass sie nie 0 oder 1 annehmen, auch wenn nur Nullen oder nur Einsen beobachtet werden. Achtung: Die Schätzfunktionen dieser Aufgabe sollen auch in Aufgabe 2 der 3. Übung betrachtet werden! Aufgabe 2 (3 Punkte): Let be X 1,...,X N independent and identically distributed (i.i.d.) random variables with existing variance v = var θ (X 1 ) (0, ). Is v given by v(x 1,...,x N ) = 1 ( N 2) N N m=n+1 (x n x m ) 2 an unbiased estimator for v or how must v be changed to be unbiased (unbiased = erwartungstreu)? Aufgabe 3 (4 Punkte): Seien (X 1,Y 1 ),...,(X N,Y N ) unabhängige und identisch verteilte zweidimensionale (bivariate) Zufallsvektoren mit existierender unbekannter Kovarianz c = cov θ (X 1,Y 1 ) IR. Ergibt die empirsiche Kovarianz s xy gegeben durch s xy = 1 N 1 N (x n x)(y n y) (x = (x 1,...,x N ),y = (y 1,...,y N )) eine erwartungstreue Schätzfunktion für c? Gehen Sie ähnlich wie bei der Erwartungstreue der empirischen Varianz in der Vorlesung vor. Aufgabe 4 (4 Punkte): Geben Sie einen alternativen Beweis für die Erwartungstreue der empirischen Varianz mit Hilfe des Satzes von Lancaster.

3 3. Übungsblatt zur Aufgabe 1 (4 Punkte): Berechnen Sie jeweils den mittleren quadratischen Fehler für die Schätzfunktionen p 1, p 2, p 3, p 4 und p 6 aus Ausgabe 1 der 2. Übung. Bestimmen Sie für jedes p [0,1] diejenige Schätzfunktion aus p 1, p 2, p 4, p 6 mit dem kleinsten mittleren quadratischen Fehler. Aufgabe 2 (3 Punkte): Welche der Schätzfunktionen p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6 aus Aufgabe 1 der 2. Übung ist stark bzw. schwach konsistent für p? Begründen Sie die Antworten. Seien (X 1,Y 1 ),...,(X N,Y N ) unabhängige und identisch verteilte zweidimensionale (bivariate) Zufallsvektoren mitexistierender unbekannter Kovarianzc = cov θ (X 1,Y 1 ) IR.ZeigenSie, dass die empirische Kovarianz (siehe Aufgabe 3 der 2. Übung) stark konsistent für die theoretische Kovarianz c = cov θ (X 1,Y 1 ) ist. Aufgabe 4 (3 Punkte): Beweisen Sie Lemma

4 4. Übungsblatt zur Aufgabe 1 (4 Punkte): In der Viehzucht ist ein männliches Kalb weniger wert als ein weibliches. Ein Biochemiker behauptet, ein Mittel entwickelt zu haben, das den Anteil an Geburten von weiblichen Kälbern über den normalen Wert p = 50% erhöht. Das Mittel wird in 24 Fällen getestet; dabei werden 18 weibliche Kälber geboren. (a) Wie sollte eine Viehzuchtanstalt entscheiden, die höchstens mit Wahrscheinlichkeit α = 0.01 das Mittel empfehlen will, obwohl es nicht wirkt? (b) Das neue Mittel ist ökonomisch attraktiv, wenn es eine Steigerung auf p = 70% bewirkt. Wie groß ist bei der in (a) benutzten Entscheidungsregel die Wahrscheinlichkeit dafür, das Mittel abzulehnen, obwohl es ökonomisch attraktiv ist? Achtung: Diese Aufgabe hat eine Fortsetzung in Aufgabe 1 der 5. Übung! Aufgabe 2 (3 Punkte): Seien X 1,...,X N u.i.d. mit X n N(µ,4). Leiten Sie einen unverfälschten Test zum Niveau α = 0.05 für H 0 : µ 1 gegen H 1 : µ < 1 her und plotten Sie dessen Gütefunktion für N = 20. Wie entscheidet der Test, wenn x. = 0.8 und N = 20 ist? Aufgabe 3 (6 Punkte): Seien X 1,...,X N u.i.d. mit Bin(1,p)-Verteilung. Sei q N,p (α) das α-quantil der Binomialverteilung Bin(N,p) und x. = N x n. a) Zeigen Sie, dass ϕ gegeben durch ϕ(x) = 1 A(x) (x) mit Ablehnungsbereich A(x) = {x. < q N,p0 (0.025) oder x. > q N,p0 (0.975)} immer ein Test zum Niveau α = 0.05 für H 0 : p = p 0 gegen H 1 : p p 0 ist. b) Bestimmen Sie diese Tests für p 0 = 0.3 und N = 5 und N = 20 und plotten Sie deren Gütefunktionen. Sind diese Tests unverfälscht? c) Finden Sie für N = 5 einen Test zum Niveau α = 0.05, dessen Fehlerwahrscheinlichkeiten 2. Art noch kleiner sind. Finden Sie für N = 20 sogar zwei alternative Tests mit ähnlichen Fehlerwahrscheinlichkeiten 2. Art. Plotten Sie auch deren Gütefunktionen. Gibt es darunter einen Test, der unverfälscht ist? d) Welche Entscheidung werden bei den verschiedenen Tests gefällt, wenn gilt? 5 x n = 4 bzw x n = 5 im Fall von N = 5, 20 x n = 10 bzw. x n = 11 im Fall von N = 20 Achtung: Diese Aufgabe hat eine Fortsetzung in Aufgabe 1 der 6. Übung!

5 5. Übungsblatt zur Aufgabe 1 (3 Punkte): Bestimmen Sie für die Fragestellung in Aufgabe 1 der 4. Übung einen unverfälschten randomisierten Binomial-Tests zum Niveau α = Wie groß ist bei diesem Test die Wahrscheinlichkeit dafür, das Mittel abzulehnen, obwohl es ökonomisch attraktiv ist? Plotten sie die Gütefunktionen des nichtrandomisierten Tests und des randomisierten Tests. Welcher Test ist vorzuziehen? Aufgabe 2 (4 Punkte): Das Gewicht von 10 Neugeborenen, deren Mütter eine bestimmte Stoffwechselkrankheit hatten, betrug in kg 3.83, 4.31, 4.05, 4.29, 4.04, 4.21, 4.17, 4.36, 3.94, Kann man daraus schließen, dass Neugeborenen von diesen Müttern ein erwartetes Gewicht von mehr als 4 kg haben? Formulieren Sie geeignete Null- und Alternativhypothesen und testen Sie dann die Hypothesen mit einem Test zum Niveau α = Nehmen Sie dazu an, dass die Gewichte normalverteilt sind mit Standardabweichung von 0.2 kg. Welche Entscheidung treffen Sie? Wie würde die Entscheidung ausfallen, wenn Sie zum Niveau α = 0.01 testen würden? Achtung: Diese Aufgabe hat Fortsetzungen in Aufgabe 3 der 6. Übung, in Aufgabe 2 und 3 der 13. Übung und in Aufgabe 1 der 14. Übung! Bestimmen Sie einen geeigneten Test zum Niveau α = 0.05 für die Fragestellung in Aufgabe 3 von der 1. Übung. Nehmen Sie dazu an, dass die Lebenszeiten eine Exponentialverteilung besitzen und unabhängig und identisch verteilt sind. Welche Entscheidung wird dann gefällt? Hinweis: Zeigen Sie per Induktion, dass die Summe N X n =: T von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsgrößen X 1,...,X N mit Exponential-Verteilung Exp(λ) eine sogenannte Erlang-N-Verteilung mit Dichte f T,λ (t) = λ (λt)n 1 (N 1)! e λt 1 [0, ) (t) und Verteilungsfunktion F T,λ (t) = ( 1 e λt N 1 ) (λt) n 1 [0, ) (t) n! n=0 besitzt. Bestimmen Sie damit den P-Wert. Welchen Schluss ziehen Sie für die Daten aus Aufgabe 3vonder1.Übung?Achtung:DieseAufgabehateineFortsetzunginAufgabe1der11.Übung! Aufgabe 4 (3 Punkte): Man zeige für den Gauß-Test ϕ N (x) = 1 x. µ { N 0 >F 1 )}(x) σ N(0,1) (1 α 2 für H 0 : µ = µ 0 gegen H 1 : µ µ 0, dass dieser ein konsistenter asymptotischer Test zum Niveau α ist.

6 6. Übungsblatt zur Aufgabe 1 (4 Punkte): Seien X 1,...,X N u.i.v. mit Bin(1,p)-Verteilung. a) Bestimmen Sie (1 α)-konfidenzintervalle für p mittels der Pearson-Clopper-Werte für N = 5, α = 0.05 und α = 0.1 und stellen Sie diese in einer Tabelle wie im Skript da. Welche Intervalle sind größer? b) Bestimmen Sie mittels der (1 α)-konfidenzintervalle Tests zum Niveau α = 0.05 für die Fragestellungen in Aufgabe 3 der 4. Übung. Welchen Tests aus Aufgabe 3 der 4. Übung entsprechen diese Tests? Aufgabe 2 (2 Punkte): Seien X 1,...,X N u.i.v. mit Normalverteilung, d.h. X n N(µ,σ 2 ), wobei µ IR unbekannt und σ 2 IR + bekannt sind. Bestimmen Sie das zweiseitige Konfidenzintervall zum Niveau γ für µ. Wie verändert sich das Konfidenzintervall, wenn der Stichprobenumfang N bzw. das Niveau γ vergrößert wird? Geben Sie eine Interpretation für die beiden Veränderungen. Aufgabe 3 (2 Punkte): Bestimmen Sie für die Fragestellung aus Aufgabe 2 der 5. Übung ein halbseitiges Konfidenzintervall zum Niveau Wie wird damit die Fragestellung aus Aufgabe 2 der 5. Übung beantwortet? Achtung: Diese Aufgabe wird in Aufgabe 3 der 13. Übung fortgesetzt! Aufgabe 4 (3 Punkte): Beweisen Sie Satz Aufgabe 5 (3 Punkte): Simulieren Sie 1000 und mal die Konfidenzbereichschätzung für µ aus Aufgabe 2 zu einem gegebenen Niveau γ und einem gegebenen Stichprobenumfang N. Wie oft fällt in den beiden Simulationen das zugrunde gelegte µ in den Konfidenzbereich? Geben Sie den R-Code an. Aufgabe 6 (2 Punkte): Beweisen Sie folgenden Satz: Ist Y 1 Bin(1,p 1 ), Y 2 Bin(1,p 2 ) und ist [p u (Y i ),p o (Y i )] ein 1 α 2 -Konfidenzintervall für p i für i = 1,2, dann ist der Test gegeben durch Lehne H 0 : p 1 p 2 p 0 ab, falls p u (Y 1 ) > p 0 +p o (Y 2 ) oder p u (Y 2 ) > p 0 +p o (Y 1 ), d.h. die Konfidenzintervalle haben einen Abstand von mehr als p 0, ein Test zum Niveau α für H 0 : p 1 p 2 p 0 gegen H 1 : p 1 p 2 > p 0.

7 7. Übungsblatt zur Aufgabe 1 (2 Punkte): Let be X 1,...,X N i.i.d. with binomial distribution, i.e. X n B(M,p), where M is known. Determine the maximum likelihood estimator for p and for var(x n ) = Mp(1 p). Aufgabe 2 (2 Punkte): Seien X 1,...,X N u.i.v. (a) Man bestimme die Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für λ für den Fall, dass X n eine Exponential-Verteilung E(λ) besitzt. (b) Man bestimme die Maximum-Likelihood-Schätzfunktion für p für den Fall, dass X n eine Geometrische Verteilung G(p) besitzt. Aufgabe 3 (4 Punkte): Um die Anzahl M der Fische in einem Teich zu bestimmen, werden bei der Capture-Recapture- Methode N Fische gefangen, markiert und wieder ausgesetzt. Nach einer Weile, währenddessen die Fische sich gut vermengt haben, werden m Fische gefangen. Von diesen wird die Anzahl x der markierten Fische notiert. Bestimmen Sie eine Maximum-Likelihood-Schätzung für M basierend auf x = 3 bzw. x = 5 und m = 10, N = 20. Aufgabe 4 (2 Punkte): Seien X 1,...,X N u.i.v. mit geometrischer Verteilung G(p). Bestimmen Sie die Momenten- Schätzfunktion für p. Vergleichen Sie diese mit der Maximum-Likelihood-Schätzfunktion.

8 8. Übungsblatt zur Aufgabe 1 (3 Punkte): Betrachten Sie die Fragestellung aus Aufgabe 2 der 1. Übung bezüglich der Porzellanscherben im recycelten Glas. Zeigen Sie, dass die Momenten-Schätzfunktion â gegeben durch ( ) â(x) = exp 1 N x n N keine erwartungstreue Schätzfunktion für a(λ) = e λ ist. Aufgabe 2 (3 Punkte): Let be X 1,...,X N i.i.d. with exponential distribution Exp(λ). Determine the most efficient unbiased estimator for 1 and check whether the assumptions of the information inequality of λ Rao/Cramér/Frechêt are satisfied. Aufgabe 3 (4 Punkte): a) Die Zufallsgröße X : Ω N 0 habe eine geometrische Verteilung G(p) mit p (0,1). Bestimmen Sie die einzige erwartungstreue Schätzfunktion für p. b) Seien X 1,...,X N u.i.v. mit geometrischer Verteilung G(p). Bestimmen Sie die höchsteffiziente Schätzfunktion für 1 p. Aufgabe 4 (4 Punkte): Beweisen Sie folgende Aussagen: a) Für die Fisher sche Information gilt unter naheliegender Zusatzvoraussetzung [ ] 2 I θ (X) = E θ 2 θ lnf θ(x) für alle θ Θ. b) Sind X 1,...,X N u.i.v., dann gilt (mit X = (X 1,...,X N )) für alle θ Θ. I θ (X) = N I θ (X 1 )

9 9. Übungsblatt zur Aufgabe 1 (2 Punkte): Seien X 1,...,X N u.i.v. mit diskreter Verteilung P θ, θ Θ. Zeigen Sie, dass T gegeben durch T(x) = x = (x 1,...,x N )immersuffizient für{pθ X ; θ Θ}ist.T istdamitdietrivialesuffiziente Statistik für {Pθ X; θ Θ}. Aufgabe 2 (2 Punkte): Seien X 1,...,X N u.i.v. mitbinomial-verteilung Bin(M,p), wobei M bekannt undp [0,1]unbekannt ist. Zeigen Sie, dass die Ordungsstatistik T gegeben durch T(x) = (x (1),x (2),...,x (N) ) mit x (1) x (2)... x (N) eine suffiziente Statistik für {Pp X ; p [0,1]} ist. Let be X 1,...,X N i.i.d. with uniform distribution U ([ θ 1 2,θ+ 1 2]), i.e. f θ (x n ) = 1 [θ 1 2,θ+1 2] (x n), with θ IR. Show that T given by T(x) = (x (1),x (N) ) = (min n x n,max n x n ) is sufficient for {P X θ ; θ Θ}. Aufgabe 4 (3 Punkte): Seien X 1,X 2 u.i.v. mit geometrischer Verteilung G(p), p (0,1), d.h. P(X i = k) = p(1 p) k für k N 0, i = 1,2. Verbessern Sie die Schätzfunktion â für 1 p gegeben durch â(x p 1,x 2 ) = x 1 mit Hilfe des Satzes von Rao-Blackwell.

10 10. Übungsblatt zur Aufgabe 1 (3 Punkte): Seien X 1,...,X N u.i.v. mit Verteilung P θ, θ Θ. Zeigen Sie, dass T gegeben durch T(x) = c, c IR, immer eine vollständige Statistik für {Pθ X ; θ Θ} ist. T ist damit die triviale vollständige Statistik für {Pθ X; θ Θ}. Aufgabe 2 (4 Punkte): Seien X 1,...,X N u.i.v. mitbinomial-verteilung Bin(M,p), wobei M bekannt undp [0,1]unbekannt ist. Zeigen Sie, dass die Ordungsstatistik T gegeben durch T(x) = (x (1),x (2),...,x (N) ) mit x (1) x (2)... x (N) keine vollständige Statistik für {Pp X ; p [0,1]} ist. Betrachten Sie dazu f(t) = 1, für t = (0,0,...,0,0,1,1), ( N 2)( M 1)( M 1) 1, für t = (0,0,...,0,0,0,2), N( M 2) 0, sonst. Let be X 1,...,X N i.i.d. with Binomial distribution Bin(M,p) where M IN is known and p [0, 1] is unknown. Derive the uniformly best unbiased estimator (BUE) for p. Use the theorem of Lehmann-Scheffé.

11 11. Übungsblatt zur Aufgabe 1 (3 Punkte): Bestimmen Sie den trennschärfsten Test für die Fragestellung aus der Aufgabe 3 der 1. Übung. Beachten Sie Aufgabe 3 der 5. Übung. Aufgabe 2 (4 Punkte): An einer Kreuzung wurden in den Jahren 1980 bis 1989 folgende Anzahlen von Unfällen beobachtet: 0, 1, 0, 4, 2, 0, 2, 3, 1, 0. Kann man behaupten, dass die erwartete Anzahl der Unfälle an dieser Kreuzung pro Jahr kleiner als 2 ist? Stellen Sie geeignete Hypothesen auf und finden Sie dazu einen trennschärsten Test. Nehmen Sie dazu an, dass die Unfallzahlen eine Poisson-Verteilung besitzen. Let be X 1,...,X N i.i.d. with normal distribution N(µ,σ 2 ) where µ is known and σ 2 IR + is unknown. Determine the most most powerful test for H 0 : σ 2 σ 2 0 against H 1 : σ 2 < σ 2 0.

12 12. Übungsblatt zur Aufgabe 1 (4 Punkte): Let be X 1,...,X N i.i.d. with normal distribution N(µ,σ 2 ) where µ IR and σ 2 IR + are unknown. Show that ϕ with ϕ(x) = 1 K (x) and K = { x R N ; 1 N N 1 (x n x) 2 σ0 2 < k oder is a likelihood ratio test for H 0 : σ 2 = σ 2 0 against H 1 : σ 2 σ N N 1 (x n x) 2 σ0 2 > k } Aufgabe 2 (4 Punkte): Seien X 1,...,X N,Y 1,...,Y M unabhängig, X 1,...,X N mit Normalverteilung N(µ 1,σ1 2) und Y 1,...,Y M mit Normalverteilung N(µ 2,σ2 2), wobei µ 1, µ 2 IR und σ1 2, σ2 2 IR+ unbekannt sind. Zeigen Sie, dass ϕ mit ϕ(x,y) = 1 K (x,y) und { 1 N (x n x) 2 1 N (x } n x) 2 K = (x,y) R N+M ; N 1 1 M 1 M y=1 (y m y) 2 < k oder N 1 1 M 1 ein Likelihood-Qotienten-Test für H 0 : σ 2 1 = σ2 2 gegen H 1 : σ 2 1 σ2 2 ist. M m=1 (y m y) 2 > k Aufgabe 3 (2 Punkte): X besitze eine χ 2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden, d.h. X χ 2 n, und Y besitze eine χ2 - Verteilung mit m Freiheitsgraden, d.h. Y χ 2 m. Zeigen Sie, dass X + Y eine χ2 -Verteilung mit n + m Freiheitsgraden besitzt, d.h. es gilt X + Y χ 2 n+m, falls X und Y stochastisch unabhängig sind.

13 13. Übungsblatt zur Aufgabe 1 (2 Punkte): Seien X 1,...,X N,Y 1,...,Y M unabhängig, X 1,...,X N mit Normalverteilung N(µ 1,σ 2 ) und Y 1,...,Y M mit Normalverteilung N(µ 2,σ 2 ), wobei µ 1, µ 2 IR und σ 2 IR + unbekannt sind. Zeigen Sie, dass wobei σ 2 1 (X) = 1 N 1 N σ 2 1(X) σ 2 2 (Y), (X n X) 2, σ 2 2 (Y) = 1 M 1 M (Y m Y) 2 die empirischen Varianzen für die erste und zweite Stichprobe sind, eine F-Verteilung mit Freiheitsgraden N 1 und M 1 besitzt. Aufgabe 2 (2 Punkte): Bestimmen für die Fragestellung in Aufgabe 2 der 5. Übung einen Test, der nicht die Kenntnis der Varianz voraussetzt. Führen Sie diesen Test durch und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Ergebnis aus Aufgabe 2 der 5. Übung. Bestimmen für die Fragestellung in Aufgabe 2 der 5. Übung ein einseitiges Konfidenzintervall, das nicht die Kenntnis der Standardabweichung voraussetzt. Vergleichen Sie dieses mit dem in Aufgabe 3 der 6. Übung bestimmten Konfidenzintervall und erklären Sie den Unterschied. Bestimmen Sie für diese Daten auch das zweiseitige Konfidenzintervall ohne die Kenntnis der Standardabweichung vorauszusetzen. Aufgabe 4 (3 Punkte): Die folgende Tabelle stellt das Gewicht von 10 Raucher, die mit dem Rauchen nach einer Entwöhnungskur aufhörten, am Anfang der Entwöhnungskur und zwei Jahre nach der Entwöhnungskur dar: m=1 Person vorher nachher Kann man daraus schließen, dass das Aufhören mit dem Rauchen das Gewicht erhöht? Welche Annahmen müssen dazu gemacht werden? Geben Sie auch ein zweiseitiges und ein geeignetes einseitiges Konfidenzintervall für die Gewichtsänderung an. Welchen Schluss würde man ziehen, wenn man das zweiseitige Konfidenzintervall benutzt?

14 14. Übungsblatt zur Aufgabe 1 (4 Punkte): Testen Sie für die Gewichtsdaten in Aufgabe 2 der 5. Übung die Nullhypothese, dass die Standardabweichung nicht größer als 0.2 ist. Bestimmen Sie auch zweiseitige Konfidenzintervalle für die Varianz und für Standardabweichung. Enthält das Konfidenzintervall für die Standardabweichung die 0.2, die in Aufgabe 2 der 5. Übung angenommen wurde? Aufgabe 2 (3 Punkte): Die Wirksamkeit eines Medikamentes zur Minderung der Auswirkungen eines Alkoholgenusses wird in zwei Versuchsreihen untersucht. In der ersten Gruppe wird die Reaktionszeit auf ein Ereignis nach Alkoholgenuß gemessen, während den Personen der zweiten Gruppe vor dem Test eine Kombination aus Medikament und Alkohol verabreicht wird. Als Meßergebnisse wurden beobachtet: 1. Gruppe: 85, 106, 118, 81, 138, 90, 112, 119, 107, 95, 88, Gruppe: 96, 105, 104, 108, 86, 84, 99, 101, 78, 124, 121, 97, 129, 87, 109. Unter der Annahme, daß diese Werte Realisationen zweier unabhängiger, jeweils normalverteilter Stichproben X 1,...,X 12 N(µ 1,σ1 2) und Y 1,...,Y 15 N(µ 2,σ2 2 ), untersuche man die Frage, ob die beiden Stichproben eine unterschiedliche Streuung besitzen. Untersuchen Sie für die Daten aus Aufgabe 2, ob die Reaktionszeiten unter dem Medikament kürzer sind, d.h. die Wirkung des Medikament gegensinnig zu der des Alkohols ist. Aufgabe 4 (3 Punkte): Bestimmen Sie für die Daten aus Aufgabe 2 eine Punktschätzung und ein zweiseitiges Konfidenzintervall für µ 1 µ 2 zum Niveau γ = 0.99 und γ = 0.95.