Antennen und Antennensysteme

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1 Universität Karlsruhe (TH) Institut für Höchstfrequenztechnik und Elektronik Skriptum zur Vorlesung Antennen und Antennensysteme von Prof. Dr.-Ing. W. Wiesbeck.09 Auflage: 005 Postanschrift: Institut für Höchstfrequenztechnik und Elektronik Tel.: +49 (0) Kaiserstraße 1 Sekr.: +49 (0) D Karlsruhe Fax.: +49 (0) [email protected] Gebäude: Engesserstraße 5, Geb

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines über Antennen 1 Theoretische Grundlagen 4.1 Die ebene Welle 4. Koordinatensystem 9.3 Polarisation 11 3 Allgemeine Zusammenhänge und Begriffsdefinitionen Der Poynting-Vektor Antennengewinn und Richtfaktor Richtcharakteristik Halbwertsbreite und Halbwertswinkel Zusammenhang zwischen Gewinn und Richtcharakteristik Antennenwirkfläche Strahlungswiderstand 5 4 Elektrodynamische Potentiale 8 5 Der Hertzsche Dipol Berechnung des Strahlungsfeldes 3 5. Das Nahfeld des Hertzschen Dipols Das Fernfeld des Hertzschen Dipols Die Richtcharakteristik des Hertzschen Dipols Strahlungswiderstand, Gewinn und Wirkfläche des Hertzschen Dipols Gewinn Antennenwirkfläche Das Feldlinienbild des Hertzschen Dipols 44

4 ii Inhaltsverzeichnis 6 Lineare Antennen (Stabstrahler) Allgemeines zu linearen Antennen Strahlungseigenschaften dünner linearer Antennen Homogen (konstant) belegte Antennen Sinusförmig belegte Antennen Eingangsimpedanz von Stabstrahlern Kapazitiv belastete Stäbe 60 7 Antennengruppen Berechnung des Gruppenfaktors 6 7. Lineare Antennengruppen Zwei parallele Hertzsche Dipole Lineare Antennengruppen mit mehr als zwei Dipolen Stetig verteilte Dipole auf einer Geraden Ebene Antennengruppen 87 8 Aperturantennen (Flächenstrahler) Übersicht über technische Formen von Aperturantennen 9 8. Rechteckige Aperturantenne Kreisförmige Aperturantenne Hornstrahler Linsenantennen Dualitätsprinzip, duale Antennen, Schlitzantennen Magnetischer Dipol als dualer elektrischer Hertzscher Dipol Strahlungskenngrößen des magnetischen Dipols Praktische Ausführungen und Verwendung magnetischer Dipole Schlitzantennen Reflektoren, Direktoren, YAGI-Antennen Halbwellen-Faltdipol Längsstrahler mit strahlungserregten Elementen (YAGI-Antennen) Breitbandantennen Frequenzunabhängige Antennen (Selbstduale Antennen) 13

5 Inhaltsverzeichnis iii Spiralantennen Logarithmisch-periodische Antennen Wanderfeldantennen Vivaldi-Antenne Antennenmeßtechnik Die Antennenmeßstrecke Fernfeldbedingung Interferenzen zwischen Haupt- und Nebenstrahlung Interferenzen zwischen direkter und reflektierter Leistung Freiraummessungen Der Absorbermeßraum Die kompakte Fernfeldmeßstrecke Die Nahfeldmeßstrecke Messung der Richtcharakteristik Gewinnmessung Zwei-Antennen-Methode Drei-Antennen-Methode Gewinnvergleichsverfahren Bestimmung des Wirkungsgrads Bestimmung aus Gewinn und Richtfaktor Bestimmung mittels Wheeler Cap Antennensystemtechnik Antennen mit fester Richtcharakteristik Richtfaktor und geometrische Aperturfläche Verluste Eingangsreflexionsfaktor der Antenne Polarisationsanpassung Aperturbelegung und Nebenkeulendämpfung Belegungsfunktion und Richtcharakteristik Charakteristik, Richtfaktor und Halbwertsbreite Halbwertsbreite und Nebenzipfeldämpfung Flächenwirkungsgrad Antennenwirkfläche und Empfangsleistung Antenne mit schwenkbarer Richtcharakteristik 180

6 iv Inhaltsverzeichnis Verhalten der Charakteristik beim Schwenken Anzahl der Beams bei schaltbarer Charakteristik EIRP und Leistungsdichte in der Apertur Systemrauschen Rauschtemperatur Rauschtemperatur einer Kettenschaltung Systemrauschtemperatur eines Satelliten-Empfängers Antennenrauschtemperatur Verhältnis G/T Radom Die Gruppenantenne Gruppeneigenschaften: Eine Kombination aus Elementeigenschaften und Gruppenfaktor Grating-Lobes und Elementabstand Quantisierungskeulen und Untergruppengröße Aktive Eingangsimpedanz und Scan-Blindness 06 A Anhang 08 A.1 Schreibweise orts- und zeitabhängiger Größen 08 A. Mathematische Symbole 09 A.3 Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen 09 A.4 Verzeichnis der verwendeten Abkürzungen 1 Literaturverzeichnis 17 Sachwortverzeichnis 19

7 1 Allgemeines über Antennen Antennen ermöglichen den Übergang zwischen der leitungsgebundenen Ausbreitung elektromagnetischer Wellen und der Wellenausbreitung im freien Raum. Dieser Übergang kann in beide Richtungen erfolgen. Eine Sendeantenne formt die Leitungswelle in eine sich im freien Raum ausbreitende Welle um. Bei einer Empfangsantenne wird einer sich im Raum ausbreitenden elektromagnetischen Welle Energie entnommen und in einer Leitungswelle weitergeführt. Prinzipiell ist jede Antenne sowohl als Sende- als auch als Empfangsantenne geeignet. Die Auswahl des Antennentyps und verschiedene konstruktive Gesichtspunkte hängen jedoch vom speziellen Anwendungsfall ab. Außer den gewünschten Strahlungseigenschaften spielen Frequenzbereich, Gewicht, Volumen und mechanische Stabilität eine Rolle. Mit abnehmender Wellenlänge nehmen auch die erforderlichen Antennenabmessungen ab. Die Grundidee aller Empfangsantennen ist es, aus einer ankommenden ebenen Welle auf der Basis des Durchflutungsund/oder des Induktionsgesetzes einen Teil der Leistung auf die Anschlußleitung zu bringen. Aus dieser Idee heraus lassen sich drei prinzipielle Antennenformen unterscheiden: Schleifenantennen, in denen durch das ankommende magnetische Wechselfeld ein Strom induziert wird (Induktionsgesetz). Stabantennen, in denen durch das ankommende elektrische Feld ein Strom angeregt wird. Hohlleiterantennen, bei denen ein Teil aus dem äußeren Feld im Hohlleiter weitergeführt wird. Entscheidend ist für alle Antennen, daß durch ihre Form und Lage die geeigneten Randbedingungen bezüglich der ankommenden ebenen Welle geschaffen werden. Bei den einfach zusammenhängenden Antennen (Hohlleiterantennen), 1

8 1 Allgemeines über Antennen ist es offensichtlich, daß für das elektrische und magnetische Feld die Randbedingungen (siehe [Wie]) erfüllt sein müssen. Für Drahtantennen mit nicht einfach zusammenhängender Berandung gilt selbstverständlich jedoch das gleiche. Antennen sind in den verschiedensten Formen bekannt, und es ist häufig schwierig zu ersehen, nach welchem Grundprinzip die Antenne gebaut ist. Manchmal können durchaus mehrere Grundideen gleichzeitig eingesetzt werden. Das meiste dessen, was man an einer Antenne sieht, dient dazu, den Bereich, aus dem man empfangen oder in den man senden will, zu bestimmen. In Bild 1.1 sind einige Beispiele für Antennenformen dargestellt, welche später im Detail untersucht werden. (a) l /4 /4 (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) Bild 1.1: Verschiedene Antennenformen: (a) Dipolantenne, (b) Linearantenne, (c) Rahmenantenne, (d) Hornstrahler, (e) Langdrahtantenne, (f) dielektrischer Strahler, (g) Schlitzantenne, (h) parabolische Reflektorantenne, (i) planare Antennen Eine der häufigsten Antennenformen ist die Dipolantenne nach Bild 1.1a. Sie besteht im einfachsten Fall aus einem geraden Leiter, der an einer Stelle unter-

9 3 brochen ist und dort durch eine HF-Spannung angeregt wird. Üblicherweise wird der Leiter in der Mitte unterbrochen und es gilt l = λ/. Unter Ausnutzung des Stromspiegelungsprinzips können wir in der Symmetrieebene zwischen beiden Dipolhälften eine leitende Ebene anbringen und erhalten so die Linearantenne nach Bild 1.1b. Dieser Antennentyp wird häufig im Mittelund Kurzwellenbereich verwendet, wobei der Erdboden als leitende Ebene dient. Dual zur elektrischen Dipolantenne verhält sich die Rahmenantenne nach Bild 1.1c. Sie besteht aus einer oder mehreren Leiterwindungen, die durch einen HF-Strom angeregt werden. Bild 1.1d zeigt den Hornstrahler als Beispiel für eine Mikrowellenantenne. Ist die Öffnung des Horns im Vergleich zur Wellenlänge groß, so läßt sich mit dem Hornstrahler eine gute Richtwirkung erzielen. Wanderwellenantennen nach Bild 1.1e und 1.1f bestehen aus einem Wellenleiter, dessen Länge ein Vielfaches der Wellenlänge ist. In diesem Wellenleiter wird eine elektromagnetische Welle angeregt, deren Phasengeschwindigkeit etwa der Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Welle im freien Raum entspricht. Bild 1.1e zeigt eine im Kurzwellenbereich verwendete Langdrahtantenne. Der dielektrische Strahler nach Bild 1.1f wird im Mikrowellenbereich verwendet. Werden in einem Leiter HF-Ströme durch Schlitze unterbrochen, so strahlen diese Schlitze ebenfalls Hochfrequenzenergie ab. Bild 1.1g zeigt eine derartige Schlitzantenne. Die Richtwirkung von Antennen kann durch Zusammenfassung mehrerer Antennen zu Antennengruppen oder durch Anordnung von Reflektoren erhöht werden. Bild 1.1h zeigt als Beispiel die Anordnung eines Dipols im Brennpunkt eines parabolischen Reflektors. Planare Antennen nach Bild 1.1i werden dort eingesetzt, wo eine Abstrahlung quer zu einer leitenden Ebene gefordert ist. Üblicherweise werden mehrere Einzelstrahler zu Feldern kombiniert, mit denen dann Richtwirkungen erzielt werden.

10 Theoretische Grundlagen.1 Die ebene Welle Die Maxwellgleichungen sind die Grundlage der Theorie elektromagnetischer Wellen in ruhenden Medien bzw. im Vakuum. Die vollständigen Maxwell schen Gleichungen lauten 1 : rot H = D t + J, rot E = B t, div B = 0, div D = ρ. (.1a) (.1b) (.1c) (.1d) Im homogenen, isotropen, zeitinvarianten Medium gelten folgende wichtige Beziehungen: ε = ε 0 ε r Permittivität oder Dielektrizität, (.a) µ = µ 0 µ r Permeabilität, (.b) c 0 = 1 µ0 ε 0 Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, (.c) c = c 0 µr ε r Lichtgeschwindigkeit im betrachteten Medium. (.d) Für Vorgänge im strom- und ladungsfreien Raum gelten die Einschränkungen: ρ = 0 ladungsfrei, (.3) J = 0 stromfrei. (.4) 1 In der Literatur, z.b. [Bal97], wird manchmal eine nur theoretisch existierende magnetische Stromdichte M eingeführt. Gleichung (.1b) lautet dann rot E = B t M. Grund für die Einführung von M ist die entstehende Symmetrie in den Maxwell-Gleichungen, die theoretische Betrachtungen teilweise vereinfacht. 4

11 .1 Die ebene Welle 5 Unter diesen Voraussetzungen vereinfachen sich die Maxwellschen Gleichungen zu: rot H = ε E t, rot E = µ H t, div H = 0, div E = 0. (.5a) (.5b) (.5c) (.5d) Die Gleichungen (.5a) (.5d) sind ein System gekoppelter, partieller Differentialgleichungen. Um es zu lösen, sucht man zunächst Gleichungen, in denen jeweils nur einer der unbekannten Vektoren E(x, y, z, t) bzw. H(x, y, z, t) vorkommt. Durch Bilden der Rotation von Gl. (.5b), Vertauschen der Reihenfolge der zeitlichen und räumlichen Differentiation und Einsetzen in Gl. (.5a) folgt: rot rot E = µ rot H t = µ ( rot H t ) ( = µ ε ) E t t = µε E t. Unter Benutzung der Operatorenidentität (.6) rot rot = grad div (.7) und mit div E = 0 gemäß der Voraussetzung nach Gl. (.5d) folgt: E = µε E t = E x + E y + E z. (.8) Dies ist die Wellengleichung für das elektrische Feld. In gleicher Weise kann man die Rotation der Gl. (.5a), mit Vertauschen der Reihenfolge der zeitlichen und räumlichen Differentiation und Einsetzen von Gl. (.5b), bilden. Das Ergebnis ist rot rot H = µε H t. (.9) Die Anwendung der Gl. (.9) und Beachtung der Gl. (.5c) führen zur Wellengleichung für das magnetische Feld: H = µε H t = H x + H y + H z. (.10)

12 6 Theoretische Grundlagen H y E y y a) c) b) E x E x H x H x d) H y E y z x Bild.1: Ebene Wellen in positive z-richtung (a und b) und negative z-richtung (c und d) Die Lösungen der Gln. (.8) und (.10) sind nicht unabhängig voneinander. Dies kann man an der einfachsten Lösung, der ebenen Welle, zeigen. Als Ausbreitungsrichtung wird willkürlich die +z-richtung nach Bild.1 gewählt. Man spricht von einer ebenen Welle, wenn die Momentanwerte der Feldgrößen nicht von den Koordinaten senkrecht zur Ausbreitungsrichtung abhängen: E x = E y = 0, H x = H y = 0. (.11) Mit Gl. (.5c) folgt dann und entsprechend mit Gl. (.5d) H z z = 0 (.1a) E z z = 0. (.1b) Da eine eventuell vorhandene räumlich konstante Feldstärke zur Welle nichts beiträgt, gilt E z 0 und H z 0. (.13) Die ebene Welle hat also keine Feldkomponenten in Ausbreitungsrichtung, sie ist transversal.

13 .1 Die ebene Welle 7 Da nach den Gln. (.11) bis (.13) die Ableitungen nach x und y sowie die z-komponente Null werden, folgt aus den Wellengleichungen (.8) und (.10) in kartesischen Koordinaten: ( E = E x z e x + E y z e E x y = µε t e x + E y H = H x z e x + H y z e y = µε ( H x t ) t e y, (.14a) ). (.14b) e x + H y t e y Es werden nun harmonische Zeitabhängigkeit und komplexe Amplitudenvektoren eingeführt: { } E = e (x, y, z, t) = Re E (x, y, z) e jωt, (.15a) H = { } h (x, y, z, t) = Re H (x, y, z) e jωt. (.15b) Dann gilt / t = jω und 1/c = µɛ. Damit folgt aus den Gln. (.14a und (.14b) E x z e x + E y z e y = ω ( ) Ex e c x + E y e y, H x z e x + H y z e y = ω ( ) Hx e c x + H y e y. (.16a) (.16b) Die Gln. (.16a) und (.16b) sind vier gewöhnliche, skalare, nicht gekoppelte Differentialgleichungen für E x, E y, H x und H y, die unabhängig voneinander gelöst werden können. Die Lösungen der Gleichungen lauten: E (x, y, z) = E 0 e ±jβ zz, H (x, y, z) = H 0 e ±jβzz. (.17a) (.17b) Hier wurde implizit bereits die Phasenkonstante β der ebenen Welle eingeführt, die einen Vektor darstellt, der in Ausbreitungsrichtung orientiert ist: β = β x e x + β y e y + β z e z. (.18) Es gilt β = β = ω c = π λ. (.19) Wird das Koordinatensystem so gelegt, daß sich die Welle parallel zu einer der Koordinatenachsen ausbreitet, bleibt nur noch die entsprechende Komponente von β (Gl. (.17a) und (.17b)). Im folgenden wird in der Regel davon ausgegangen, daß Wellenausbreitung im Freiraum erfolgt, hierfür wird dann die Phasenkonstante β 0 = β 0 verwendet. Für Wellen in ( z)-richtung (c und d in Bild.1),

14 8 Theoretische Grundlagen wie sie im folgenden betrachtet werden sollen, gilt in den Gleichungen (.17a) und (.17b) das positive Vorzeichen. Der Zusammenhang zwischen E und H resultiert aus den Gln. (.5a) und (.5b): H z y }{{} =0 H x z H y x }{{} =0 H y z = ε E x t, H z = ε E y } x {{} t, =0 H x y }{{} =0 = ε E z t }{{} =0 (.0a) (.0b), (.0c) E z y }{{} =0 E x E y z z E z }{{} x =0 E y x }{{} =0 E x y }{{} =0 = µ H x t, = µ H y t, = µ H z t }{{} =0 (.1a) (.1b). (.1c) Da E und H im freien Raum orthogonal aufeinander stehen und in Phase sind, sind sie zueinander proportional: E y = ωµ 0 β H x = Z F 0 H x, E x = ωµ 0 β H y = Z F 0 H y. (.) Z F 0 ist der Feldwellenwiderstand des freien Raumes: Z F 0 = ωµ 0 β = µ0 = 10π Ω 377 Ω. (.3) ε 0 Für Ausbreitung im Material wird ɛ 0 durch ɛ 0 ɛ r und µ 0 durch µ 0 µ r ersetzt. Dies ergibt: Z Fµε = ωµ β µε = µ0 µ r ε 0 ε r = Z F 0 µr ε r. (.4)

15 . Koordinatensystem 9. Koordinatensystem In der Antennentheorie ist es vorteilhaft, zur Beurteilung der Abstrahl- und Empfangseigenschaften der Antenne die Kugelkoordinaten r, θ, ψ zu verwenden (Bild.). z r x y Bild.: Kugelkoordinaten Im folgenden werden ohne Ableitung Umrechnungsformeln aus der mathematischen Literatur übernommen. Für den Übergang von kartesischen Koordinaten x, y, z zu Kugelkoordinaten r, θ, ψ gilt: r = x + y + z, x + y θ = arctan, z ψ = arctan y ( ) 1 sgn x x + π = arctan y für x 0 x =. arctan y + π für x < 0 x (.5) Diese Formeln werden eindeutig durch die Festlegung folgender Wertebereiche: 0 r < ; 0 θ π ; 0 ψ < π. (.6)

16 10 Theoretische Grundlagen Meridiankreise z-achse r sin d d rd df r sin r sin( +d ) B 1 B Breitenkreise r sin( d )d r d 0 r Bild.3: Flächenelement d f, Meridian- und Breitenkreise Die Einheitsvektoren lassen sich nach folgenden Gleichungen umrechnen: e r = sin θ cos ψ e x + sin θ sin ψ e y + cos θ e z, e θ = cos θ cos ψ e x + cos θ sin ψ e y sin θ e z, e Ψ = sin ψ e x + cos ψ e y. (.7) Für den Übergang von Kugel- zu kartesischen Koordinaten gilt: x = r sin θ cos ψ, y = r sin θ sin ψ, z = r cos θ (.8) und e x = sin θ cos ψ e r + cos θ cos ψ e θ sin ψ e ψ, e y = sin θ sin ψ e r + cos θ sin ψ e θ + cos ψ e ψ, e z = cos θ e r sin θ e θ. (.9) Das Flächenelement in Kugelkoordinaten ist: Bild.3 zeigt d f. d f = r sin θ dθ dψ e r. (.30)

17 .3 Polarisation 11 Die räumlichen Differentiationsformeln für die skalare Funktion ϕ (r, θ, ψ) lauten: grad ϕ = ϕ r e r + 1 ϕ r θ e θ + 1 ϕ r sin θ ψ e ψ, (.31) ϕ = ϕ r + ϕ r r + 1 ( ϕ r θ + ϕ ) θ cot θ 1 ϕ + r sin θ ψ. (.3) Die räumlichen Differentiationsformeln für eine Vektorfunktion A(r, θ, ψ) lauten: div A = A r r + 1 A θ r θ + A r r + A θ r cot θ + 1 A ψ r sin θ ψ, (.33) rot A = 1 [ r sin Θ Θ (sin ΘA ψ) A ] Θ e r + ψ [ 1 A r + r sin Θ ψ 1 ( )] r r (ra ψ) e Θ + (.34) [ 1 + r r (ra Θ) 1 ] A r e ψ. r Θ.3 Polarisation Allgemein ist Polarisation die Eigenschaft einer monofrequenten elektromagnetischen Welle, die den Betrag und die Richtung des elektrischen Feldvektors als Funktion des Ortes und der Zeit beschreibt. Anschaulich ausgedrückt: Die Polarisation einer Welle beschreibt den räumlichen und zeitlichen Verlauf der Spitze des elektrischen Feldvektors. In der Antennentechnik verwendet man die IEEE-Definition (siehe unten). Hierbei interessiert man sich hauptsächlich für die Polarisationseigenschaften von ebenen Wellen oder von Wellen, die als eben betrachtet werden können. Dann genügt es, die Polarisation des elektrischen Feldes anzugeben, da ein eindeutiger Zusammenhang zwischen E und H über den Feldwellenwiderstand Z F besteht. Im Fernfeld einer Antenne liegt somit der elektrische Feldvektor in einer Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Der Extremwert des Feldvektors bewegt sich im allgemeinsten Fall auf einer elliptischen Spirale in Ausbreitungsrichtung (Bild.4). Man spricht von elliptischer Polarisation.

18 1 Theoretische Grundlagen z Bild.4: Momentanbild einer elliptisch polarisierten Welle Die Komponenten des elektrischen Feldes in x- und y-richtung lauten dabei: E x = E x0 cos (ωt β z z + ϕ x ) = Re { E x0 e } j(ωt β zz) mit E x0 = E x0 e jϕ x, (.35) E y = E y0 cos (ωt β z z + ϕ y ) = Re { E y0 e } j(ωt β zz) mit E y0 = E y0 e jϕ y. (.36) Im folgenden wird die x-richtung parallel zur Erdoberfläche und die y-richtung senkrecht dazu angenommen. Die lineare Polarisation stellt einen Spezialfall der elliptischen Polarisation dar. Bei ihr schwingt der Endpunkt des elektrischen Feldvektors in einer Ebene, die durch den Feldvektor und die Ausbreitungsrichtung aufgespannt wird (Bild.5). Der elektrische Feldvektor läßt sich in die Komponenten E x und E y zerlegen. E x und E y schwingen dabei in Phase (ϕ = ϕ x = ϕ y ). x E x z y H y Bild.5: Momentanbild einer linear polarisierten ebenen Welle Als Bezug für die Polarisationsrichtung einer linear polarisierten Welle wird häufig die Erdoberfläche angegeben. Steht der E-Feldvektor senkrecht zur Erdober-

19 .3 Polarisation 13 fläche, so spricht man von vertikaler Polarisation (E x = 0), liegt er parallel dazu, von horizontaler Polarisation (E y = 0). Jede beliebig linear polarisierte Welle kann in zwei phasengleiche Teilwellen zerlegt werden, die horizontal bzw. vertikal polarisiert sind. Eine elliptisch polarisierte Welle läßt sich ebenfalls aus zwei zueinander senkrecht linear polarisierten Teilwellen mit unterschiedlicher Amplitude E x0, E y0 und gegenseitiger Phasenverschiebung ϕ = ϕ y ϕ x zusammensetzen. Ist ϕ = 90 und haben beide Teilwellen gleiche Amplituden (E x0 = E y0 ), so resultiert als weiterer Spezialfall die zirkular polarisierte Welle. Der elektrische Feldvektor schraubt sich dabei entlang einer kreisförmigen Spirale in Ausbreitungsrichtung. Zur eindeutigen Charakterisierung einer elliptisch bzw. zirkular polarisierten Welle muß noch die Drehrichtung der Spirale angegeben werden. Man betrachtet eine ortsfeste Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung und definiert: Für einen Beobachter, der in Richtung der Ausbreitung schaut, dreht sich der Vektor des E-Feldes in dieser Ebene für rechtshändige Polarisation im Uhrzeigersinn ( ϕ = 3π/ = π/). Für die Gegendrehrichtung spricht man von linkshändiger Polarisation ( ϕ = π/) (Definition nach IEEE-Standard). In der Optik verwendet man eine andere Definition, da man dort nicht in Ausbreitungsrichtung der Welle schaut, sondern die Welle auf sich zukommen sieht. Als zusätzliche Merkmale gibt man für elliptisch polarisierte Wellen im allgemeinen die räumliche Orientierung (Winkel) τ (τ = tilt angle) der Ellipse in Bezug auf eine Referenzebene (hier x-y-ebene) sowie das sogenannte Achsverhältnis γ (Verhältnis der Nebenachse zur Hauptachse der Ellipse) an (Bild.6). Das Achsverhältnis kann auch über das Winkelmaß ɛ (ɛ = ellipticity) angegeben werden. Es ergibt sich τ = π 1 [ ] arctan Ex0 E y0 cos ( ϕ), (.37) Ex0 Ey0 γ = E y0 E x0, (.38) ε = arctan γ = arctan E y0, (.39) E x0 1 ( E x0 = E x0 + Ey0 + [ Ex0 4 + Ey0 4 + Ex0E y0 cos( ϕ) ]), (.40) 1 ( E y0 = E x0 + Ey0 [ Ex0 4 + Ey0 4 + Ex0E y0 cos( ϕ) ]). (.41)

20 14 Theoretische Grundlagen y E' x0 z E' y0 x E y0 I I E x0 Bild.6: Ortskurve des elektrischen Feldvektors einer ebenen elliptisch polarisierten Welle für z = 0 als Funktion der Zeit In Bild.7 sind Ortskurven des elektrischen Feldvektors für verschiedene Kombinationen von ɛ und τ dargestellt. Üblicherweise wird der Polarisationszustand auf der Poincaré-Kugel mit Hilfe der Winkel ɛ, τ dargestellt (Bild.8).

21 .3 Polarisation 15 =45 zirkular linkspolarisiert =,5 =90 =45 =90 =90 =135 =90 elliptisch =0 linear =0 =180 rechtspolarisiert =-,5 =-90 =-45 =-90 =-135 =-90 elliptisch =-45 =-90 zirkular =0 =45 =90 =135 =180 (Ausbreitung aus Zeichenebene heraus in Richtung auf Betrachter) Bild.7: Polarisationszustände elektromagnetischer Wellen als Funktion von ε und τ obere Hemisphäre linksdrehend g 3 Linkszirkular A B HV V g H D g 1 Rechtszirkular untere Hemisphäre rechtsdrehend Bild.8: Darstellung des Polarisationszustandes auf der Poincaré-Kugel

22 3 Allgemeine Zusammenhänge und Begriffsdefinitionen 3.1 Der Poynting-Vektor Der Poynting-Vektor S ist der Vektor der Leistungsflußdichte und somit das Vektorprodukt aus E und H: S (x, y, z, t) = E (x, y, z, t) H (x, y, z, t). (3.1) Bei harmonischen Zeitvorgängen führt man einen komplexen Poynting-Vektor ein S = 1 ( E ) { } H bzw. Re S = s (t), (3.) wobei der Realteil die zeitlich gemittelte Wirkleistungsdichte darstellt. Da bei einer ebenen Welle im freien Raum E und H immer senkrecht aufeinander stehen und in Phase sind, vereinfacht sich Gl. (3.) zu: S = 1 E H = 1 E = 1 Z F 0 H Z F 0. (3.3) In hinreichend großer Entfernung von einer Sendeantenne kann man mit einer lokal ebenen Welle rechnen, in Kugelkoordinaten existiert dann nur eine radiale Komponente des Poynting-Vektors S r = S r = 1 E θh ψ. (3.4) Denkt man sich eine Kugelfläche in hinreichend großem Abstand r mit der Sendeantenne als Mittelpunkt, dann muß die gesamte abgestrahlte Leistung durch die Kugeloberfläche F hindurchtreten: P s = S df = S r df r. (3.5) F F 16

23 3. Antennengewinn und Richtfaktor 17 F ist die gesamte Kugeloberfläche, df das Flächenelement auf der Kugel: P s = r π π S r sinθ dθ dψ r. (3.6) ψ=0 θ=0 3. Antennengewinn und Richtfaktor Der Antennengewinn wird hier anhand einer Sendeantenne behandelt, die Ableitungen sind äquivalent für Empfangsantennen. Praktisch ausgeführte Antennen strahlen ihre Energie in bestimmte Raumrichtungen bevorzugt ab. Sie besitzen eine Richtwirkung. Diese Eigenschaft wird u.a. durch den Richtfaktor (directivity) und den Antennengewinn beschrieben. Zu seiner Definition benötigt man neben der eigentlichen Antenne eine Bezugsantenne. Verglichen wird in der Regel mit einem fiktiven Kugelstrahler, auch isotroper Strahler genannt, der in alle Raumrichtungen gleichmäßig abstrahlt, jedoch praktisch nicht verwirklicht werden kann. Die abgestrahlte Leistung P S verteilt sich im Abstand r auf einer Kugelfläche 4πr. Die Leistungsdichte S i des isotropen Kugelstrahlers in diesem Abstand beträgt daher S = S i = P S 4πr. (3.7) Der Index i weist auf den isotropen Strahler als Bezugsantenne hin. Anstelle des Kugelstrahlers wird jetzt die zu untersuchende Antenne an denselben Ort gebracht und mit derselben Leistung P S gespeist. Der Richtfaktor D i ist definiert als das Verhältnis der maximalen Leistungsdichte S rmax der Antenne zur Leistungsdichte der Bezugsantenne, in diesem Fall des Kugelstrahlers. Im Fernfeld gilt: D i = S r max S i = 4π r S r max P S. (3.8) Der Richtfaktor wird i.a. logarithmisch angegeben: D i = 10 log D i [dbi]. (3.9) Der Richtfaktor einer Antenne ist vollständig durch deren Strahlungsfeld, d.h. durch ihre Richtcharakteristik beschrieben. Er ist ein Maß für die Eigenschaft der

24 18 3 Allgemeine Zusammenhänge und Begriffsdefinitionen Antenne, Energie vorzugsweise nur in eine Richtung abzustrahlen, bzw. nur aus einer Richtung zu empfangen. Der Gewinn G einer Antenne ist aus dem Verhältnis der dem Kugelstrahler zugeführten Leistung P KS zur Leistung P S, die der Antennne zugeführt wird, bestimmbar, wenn beide Leistungen so eingestellt wurden, daß in gleicher Entfernung im Fernfeld S rmax = S i wird. Der Zusammenhang zwischen G und D ist durch den Antennenwirkungsgrad η mit 0 η 1 gegeben: G = η D. (3.10) Bei verlustlosen Antennen sind Gewinn und Richtfaktor identisch. Der meßtechnisch ermittelte Antennengewinn G wird in der Praxis häufiger als der Richtfaktor D verwendet. Dies liegt in der Tatsache begründet, daß der rechnerisch ermittelte Richtfaktor für verlustlose Antennen definiert ist, was bei verlustbehafteten Antennen zu Fehlbeurteilung der Antenne führen kann. Es sei hier darauf hingewiesen, daß der Gewinn einer Antenne nichts mit Verstärkung zu tun hat. Es handelt sich um ein Verhältnismaß, das die Leistungdichte der Antenne in einer bestimmten Richtung mit der Leistungsdichte eines isotropen Strahlers vergleicht, der mit derselben Leistung gespeist wird. Die Leistung, welche von der Antenne in einer Richtung durch Bündelung vermehrt abgestrahlt wird, wird der Abstrahlung in andere Richtungen entzogen. Wegen der Gültigkeit des Umkehrsatzes hängt der Gewinn einer Antenne nicht davon ab, ob sie als Sende- oder als Empfangsantenne betrieben wird. 3.3 Richtcharakteristik Der Gewinn liefert eine zwar wichtige, aber nur integrale Aussage bezüglich der Antenne. In der Regel will man das Abstrahl- oder Empangsverhalten abhängig von θ und ψ wissen. Dieses ist definiert durch die Richtcharakteristik C(θ, ψ): E(θ, ψ) H(θ, ψ) C(θ, ψ) = E(θ, = ψ) H(θ,. (3.11) ψ) max r=const. r max r=const. r E und H sind die Feldstärken im Fernfeld auf einer Kugeloberfläche, E max und H max die dabei auftretenden Maxima.

25 3.3 Richtcharakteristik 19 Durch die Normierung auf E max entfällt die Abhängigkeit von r (sie ist gleichermaßen in E(θ, ψ) und E max enthalten). Damit wird die Richtcharakteristik eine Funktion lediglich der Richtung (θ, ψ). Sie ist eine dimensionslose Größe, deren Betrag zwischen Null und Eins liegt. Zur Darstellung der Richtcharakteristik werden die normierten Feldstärkekomponenten als Funktion der Winkel θ und ψ in einem räumlichen Koordinatensystem aufgetragen. Als Richtdiagramm bezeichnet man die zweidimensionale Darstellung, die sich durch einen ebenen Schnitt durch die räumliche Richtcharakteristik ergibt. Wenn die Schnittebene in der Vertikalen liegt, spricht man von einem Vertikaldiagramm, wenn die Schnittebene waagerecht liegt entsprechend von einem Horizontaldiagramm. Die auf einen Maximalwert von 1 skalierte Richtcharakteristik C(θ, ψ) macht lediglich eine Aussage über den relativen Betrag der Feldstärke in einer ausgewählten Richtung ((θ, ψ), nicht jedoch über die Orientierung des Feldstärkevektors (Polarisation) oder die Phase. In Funksystemen zum Beispiel ist jedoch einerseits die Berücksichtigung der Polarisationseigenschaften der Sendeantenne und andererseits die vollpolarimetrische Berechnung der Ausgangsspannung der Empfangsantennen notwendig. Hierzu ist die Definition der Fernfeld- Richtcharakteristik (3.11) unzureichend. Eine vollständige Beschreibung des Fernfeldes muß daher auf der Amplituden-, Richtungs- und Phaseninformation des komplexen vektoriellen Feldes für große Entfernungen beruhen. Geleistet wird dies durch die Definition einer komplexen vektoriellen Richtcharakteristik E(r, θ, ψ)e C(θ, jk 0r ψ) = E(r, θ, ψ)e jk 0r max r=const mit C θ,ψ = E θ,ψ(r, θ, ψ)e jk 0r Eθ,ψ (r, θ, ψ)e jk 0r max = C θ (θ, ψ) e θ + C ψ (θ, ψ) e ψ (3.1), (3.13) r=const wobei e θ und e ψ die lokalen Einheitsvektoren in sphärischen Koordinaten kennzeichnen und die Phasenreferenz am Antennentor ohne Beschränkung der Allgemeinheit zu 0 gesetzt wurde. Die so definierte Richtcharakteristik enthält die voll- ständige Information bezüglich Betrag, Phase und Polarisation. Da in (3.1), (3.13) der Phasenterm e jk 0r einer Kugelwelle durch den Faktor e +jk 0r kompensiert wird, ist gewährleistet, daß außer dem Betrag auch die Phase der komplexen vektoriellen Richtcharakteristik unabhängig vom Abstand ist. Aus Gründen

26 0 3 Allgemeine Zusammenhänge und Begriffsdefinitionen der Reziprozität, d.h. der Umkehrbarkeit des Übertragungsweges, besitzt die für eine Sendeantenne definierte Richtcharakteristik auch für den Empfangsfall Gültigkeit. Wie unmittelbar zu erkennen ist, besteht zwischen der üblichen reellen skalaren und der komplexen vektoriellen Definition der Richtcharakteristik der einfache Zusammenhang: C(θ, ψ) = C(θ, ψ) = C θ (θ, ψ) + C ψ (θ, ψ). (3.14) 3.4 Halbwertsbreite und Halbwertswinkel Als Halbwertsbreite (θ HB ) oder 3 db-breite bei einem Strahlungsmaximum (räumlich: Strahlungskeule) bezeichnet man den Winkelbereich, an dessen Grenzen die Strahlungsdichte halb so groß wie im Maximum ist (d.h. 3 db weniger). S r ( ) S rmax 1 1 =3dB HW HB Bild 3.1: Definition von Halbwertsbreite und Halbwertswinkel Als Halbwertswinkel (θ HW ) bei einem Strahlungsmaximum (-Keule) bezeichnet man den Winkel zwischen der Richtung des Strahlungsmaximums und der Richtung, in der die Strahlungsleistung halb so groß ist wie im Maximum. Ist das Richtdiagramm in der Umgebung des Strahlungsmaximums spiegelsymmetrisch, so ist die Halbwertsbreite gleich dem doppelten Halbwertswinkel.

27 3.5 Zusammenhang zwischen Gewinn und Richtcharakteristik Zusammenhang zwischen Gewinn und Richtcharakteristik Zur Berechnung des Gewinns benötigen wir die gesamte Strahlungsleistung und die maximale Leistungsdichte. Aus Gl. (3.6) folgt mit Gl. (3.3): P s = r π π ψ=0 θ=0 π π = r E max Z F 0 = r E max Z F 0 E Z F 0 sin θ dθ dψ E Emax ψ=0 θ=0 π π ψ=0 θ=0 sin θ dθ dψ C (θ, ψ) sin θ dθ dψ. (3.15) Die maximale Leistungsdichte ergibt sich mit Gl. (3.3) zu Für den Gewinn nach Gl. (3.8) erhält man S r max = E max Z F 0. (3.16) G i = η D i = η 4πr S r max, (3.17) P s 4π G i = η D i = η. (3.18) π π C (θ, ψ) sin θ dθ dψ ψ=0 θ=0 Für viele Antennen ist es in der Praxis jedoch unmöglich oder zu zeitraubend, das komplette dreidimensionale Richtdiagramm aufzunehmen. Aus diesem Grund wurde bereits sehr früh (vor den vierziger Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts, in einer Zeit ohne Rechner) nach Wegen gesucht, das Integral im Nenner von (3.18) zu approximieren und auf diese Weise einfachere Näherungsformeln zur Berechnung des Richtfaktors aus den Diagrammdaten zu erhalten. Durchgesetzt haben sich Näherungsformeln welche die Halbwertsbreiten θ HB und ψ HB der Richtcharakteristik in den beiden (normalerweise orthogonalen) Hauptschnittebenen verwenden: G i = ηd i = η π π ψ=0 θ=0 4π C (θ, ψ) sin θ dθ dψ 4π a θ HB ψ HB DB θ HB ψ HB. (3.19)

28 3 Allgemeine Zusammenhänge und Begriffsdefinitionen Zur Bestimmung dieser Näherungsformeln wird nach (3.19) vorgegangen. Für eine bekannte analytisch zu integrierende Richtcharakteristik wird das Integral im Nenner von (3.19) bzw. im Nenner von (3.18) berechnet. Durch Vergleich des Integralwertes mit dem Produkt der Halbwertsbreiten wird der Faktor a in (3.19) bestimmt. Am Ende entsteht eine Näherungsformel wie sie in (3.19) ganz rechts angeschrieben ist. Der Faktor DB (Directivity-Beamwidth) ist ein Zahlenwert, der nur noch von der Winkeleinheit (Grad oder RAD) abhängt. Für verschiedene angenommene Richtcharakteristiken ergeben sich naturgemäß verschiedene Werte für DB. Tabelle 3.1 gibt eine Übersicht über die verschiedenen in der Literatur angenommenen Richtcharakteristiken und deren DB- Wert. Die einfachste Aperturbelegung ist die konstante Strombelegung über die gesamte Apertur (Antenne). Für die rechteckige Antenne ergibt sich ein Wert von 3383 [deg ] (Fall 3), für die kreisrunde Antenne errechnet man [deg ] (Fall 5). Eine weitere, insbesondere für Hornantennen (siehe Kapitel 8) interessante Belegung die ebenfalls auf einer rechteckigen Apertur basiert, ist konstant über der ersten Koordinatenrichtung und cosinusförmig über der zweiten Koordinatenrichtung. Mit dieser Belegung errechnet sich ein DB-Wert von 3530 [deg ] (Fall 4). Gauß-förmige oder cos n -förmige Belegungen besitzen keine Nebenkeulen. Eine einfache Approximation dieses Falls ist eine quadratische Charakteristik, die alle Abstrahlung in einem Raumwinkel Ω = θ HB θ HB konzentriert und zu einem DB-Wert von 4153 [deg ] (Fall 1) führt. Denkt man sich eine kegelförmige Richtcharakteristik, deren Durchmesser am Kegelfuß genau θ HB entspricht, so erhält man einen Wert von 455 [deg ] (Fall ). Die Fälle 1 und findet man sehr häufig in der Literatur. Sie treffen jedoch nur auf Fälle zu, in denen der Beam als rechteckig bzw. konisch angesehen werden kann und die Charakteristik keine Nebenkeulen aufweist. Dann beispielsweise kann für eine idealisierte Antenne (η = 1), die ihre gesamte Leistung in einen Raumwinkel Ω mit gleicher Dichte abstrahlt (Fall 1), G = DB Ω = 4153 θ HB ψ HB (3.0) angesetzt werden. Ansonsten geben die Fälle 1 und eine zu optimistische Abschätzung der Directivity und damit des Gewinns der Antenne. Die Fälle 3 bis 6 beschreiben Charakteristiken mit idealen Nullstellen und von der Hauptkeule nach außen abnehmenden Nebenzipfeln. Dies trifft im allgemeinen auf theoretisch berechnete Charakteristiken zu. In der Praxis sorgen jedoch Unge-

29 3.6 Antennenwirkfläche 3 Fall Richtcharakteristik bzw. Antenne Directivity-Beamwidth Produkt DB [deg ] 1 RechteckförmigeCharakteristik ohne 4153 Nebenkeulen Kegelförmige Charakteristik ohne Nebenkeulen Konstant belegte rechteckförmige Apertur Rechteckige Apertur, die in einer Richtung 3530 konstant, in der anderen Richtung cosinusförmig belegt ist 5 Konstant belegte runde Apertur Runde Apertur mit einer parabolic-on-a dB-pedestrial"Belegung 7 Allgemein für reale Antennen 6000 Tabelle 3.1: Directivity-Beamwidth für verschiedene Richtcharakteristiken nauigkeiten bei der Herstellung sowie nicht erwünschte bzw. nicht modellierbare Nebeneffekte für höhere Nebenkeulen und das Auffüllen von Nullstellen in der Charakteristik. Für reale Antennen hat sich daher ein kleinerer Wert für DB, der mit Fall 7 bezeichnet ist, bewährt. Insbesondere für Halbwertsbreiten θ HB < 0 erweist sich in der Regel die resultierende Näherungsformel als ausreichend genau. G = 6000 θ HB ψ HB (3.1) 3.6 Antennenwirkfläche Eine Empfangsantenne, die sich in hinreichender Entfernung von einer Sendeantenne befindet, liegt im ebenen Wellenfeld. Die radiale Energiestromdichte S r ist in der Umgebung der Empfangsantenne konstant. Die Empfangsantenne entnimmt mit ihrer fiktiven Antennenwirkfläche A W dem Wellenfeld die Leistung P E = S r A W (3.)

30 4 3 Allgemeine Zusammenhänge und Begriffsdefinitionen aus dem Energiestrom S r. Die wirksame Antennenfläche läßt sich anhand der Strömungslinien der Strahlungsdichte S r anschaulich erklären. Bild 3. zeigt die Strömungslinien von S r in der Umgebung einer Empfangsantenne. einfallende Welle Bild 3.: Strömungslinien der Strahlungsdichte bei der linearen Empfangsantenne Die innerhalb der gestrichelten Begrenzungen verlaufenden Strömungslinien münden in die Antennenzuleitung und sind mit der von der Antenne empfangenen Feldenergie verknüpft. Die in Bild 3. gestrichelt eingezeichneten Strömungslinien sind räumlich ergänzt in Bild 3.3 dargestellt. Diese Strömungslinienschar bildet eine Begrenzungsfläche A 1, wobei die innerhalb der Begrenzungsfläche verlaufenden Strömungslinien die von der Antenne empfangene Leistung repräsentieren. In einiger Entfernung von der Antenne wird das Empfangsfeld durch die Antenne nicht mehr gestört. Dort ist die Querschnittsfläche (normal zur Ausbreitungsrichtung des Empfangsfeldes) durch den von A 1 begrenzten Strömungslinienbereich gleich der wirksamen Antennenfläche A W. Die Antennenwirkfläche ist also genauso wie der Gewinn ein Maß für die einem

31 3.7 Strahlungswiderstand 5 A 1 A W Bild 3.3: Wirksame Antennenfläche A W der linearen Empfangsantenne ebenen Wellenfeld entnehmbare Leistung. Die Proportionalität ist gegeben durch: A W = λ 4π G i, G i = A W 4π λ. (3.3) Der Beweis erfolgt in Abschnitt 5.5 am Beispiel des Hertzschen Dipols. Der Flächenwirkungsgrad einer Antenne ist definiert als η A = A W A geom.. (3.4) 3.7 Strahlungswiderstand Der Eingangswiderstand Z A einer Antenne ist im allgemeinen komplex: Z A = R A + j X A. (3.5) Da sich die der Antenne zugeführte Wirkleistung P A in Verlustleistung P V und Strahlungsleistung P S aufteilt, zerlegt man entsprechend den Realteil R A in einen

32 6 3 Allgemeine Zusammenhänge und Begriffsdefinitionen Verlustwiderstand R V und einen sogenannten Strahlungswiderstand R S : R A = R V + R S. (3.6) Die Verlustleistung enthält unter anderem die ohmschen Verluste in den Leitern der Antenne, sowie die dielektrischen Verluste in den isolierenden Teilen. Abhängig davon, ob man die Antenne nun als Sende- oder Empfangsantenne betrachtet, läßt sich ein vereinfachtes Ersatzschaltbild angeben (Bild 3.4). Sender Antenne Antenne Empfänger Z i j X A R V R A j X A R S R A R V Z E R S a) b) Bild 3.4: a) Ersatzschaltbild einer Sendeantenne b) Ersatzschaltbild einer Empfangsantenne Im Sendefall wird die Antenne von einer Spannungsquelle mit Innenwiderstand Z i gespeist, im Empfangsfall stellt der Antenneneingangswiderstand den Innenwiderstand einer durch die Antenne dargestellten Spannungsquelle dar. Der Empfänger hat eine Eingangsimpedanz Z E. Soll im Sendefall der Antenne, bzw. im Empfangsfall dem Empfänger maximale Leistung zugeführt werden, so muß zwischen beiden Anpassung vorliegen, d.h. Z i = Z A bzw. Z E = Z A. (3.7) Der Antennenwirkungsgrad η, der sich als Verhältnis von abgestrahlter Leistung P S zu zugeführter Leistung P A errechnet, läßt sich durch Strahlungs- und Verlustwiderstand ausdrücken als Für gute Antennen gilt η = R S R V + R S = P S P A. (3.8) R V R S. (3.9)

33 3.7 Strahlungswiderstand 7 Im weiteren Skript wird, wenn nicht ausdrücklich anders erwähnt, der Einfachheit halber von verlustfreien Antennen ausgegangen und somit der Antennenwirkungsgrad zu η = 1 gesetzt!

34 4 Elektrodynamische Potentiale Die Berechnung der Antennenfelder kann prinzipiell über verschiedene Wege erfolgen, wobei das Ergebnis in allen Fällen selbstverständlich das gleiche sein muß. Drei Möglichkeiten werden im weiteren zur Anwendung kommen: die Maxwellschen Gleichungen, das Induktions- und Durchflutungsgesetz, die elektrodynamischen Potentiale. Die Verfahren unterscheiden sich untereinander primär durch verschiedene mathematische Wege bei der Anwendung der physikalischen Gesetzmäßigkeiten. Welchen Weg man geht, hängt vom Ziel und der Aufgabe ab. Für manche Antennenberechnungen ist der im folgenden dargestellte Weg über elektrodynamische Potentiale günstig. Aus der formalen Vektorrechnung ist bekannt, daß jeder divergenzfreie Vektor als Rotation eines anderen Vektorfeldes dargestellt werden kann. Man wendet dies auf Gl. (.1c) an und führt ein elektromagnetisches Vektorpotential A ein: µ H = rot A. (4.1) Das Vektorpotential A dient hier nur als Rechengröße. Konkret hat man es weiterhin mit dem elektrischen Feld E und dem magnetischen Feld H zu tun, zu deren Berechnung das Vektorpotential A benutzt wird. Durch Gl. (4.1) ist der Vektor A noch nicht vollständig festgelegt, da ein Vektorfeld (bis auf einen konstanten Anteil) erst definiert ist, wenn außer der Rotation auch die Divergenz bekannt ist. Die Festlegung von div A folgt später. 8

35 9 Durch Bilden der zeitlichen Ableitung von Gl. (4.1) und Vertauschen der Reihenfolge von zeitlicher und räumlicher Differentiation folgt Mit Gl. (.1b) erhält man rot µ H t = rot A t. (4.) ( E + A ) = 0. (4.3) t Ein rotationsfreier Vektor kann immer als Gradient einer skalaren Größe dargestellt werden. Man führt ein skalares Potential ϕ ein und definiert: E + A = grad ϕ, (4.4) t ( E A = ) t + grad ϕ. (4.5) Da A bisher noch nicht eindeutig festgelegt wurde, gilt nach Gl. (4.4) bzw. (4.5) das gleiche auch für ϕ. Durch die Definitionen Gl. (4.1) und Gl. (4.5) werden die Maxwellschen Gleichungen erfüllt. Setzt man die Gl. (4.1) in Gl.(.1a) ein, so erhält man rot rot A = µε E t + µ J. (4.6) Setzt man für E den Ausdruck Gl. (4.5) ein, so erhält man ( ) rot rot A A = µε t + grad ϕ + µ J t (4.7) Durch Anwendung der Identität Gl. (.7) ergibt sich ( ) grad div A A = 1 A ϕ grad c t t A 1 c A t = µ J + grad ( div A + 1 ) ϕ c t + µ J, (4.8a). (4.8b) Dies ist dann und nur dann eine inhomogene Wellengleichung für A, wenn der Klammerausdruck rechts in Gl. (4.8b) verschwindet. Die Lösungen der Wellengleichung sind aber gut bekannt. Daher ist es bei der Behandlung von Strahlungsvorgängen zweckmäßig, die noch offene Definition von div A so zu wählen, daß die genannte Voraussetzung zutrifft: div A = 1 c ϕ t. (4.9)

36 30 4 Elektrodynamische Potentiale Diesen Zusammenhang bezeichnet man als Lorentz-Konvention (Lorentz Eichung). Bei anderen Zielsetzungen können andere Konventionen zweckmäßig sein 1. Mit Gl. (4.9) erhalten wir die inhomogene Wellengleichung für A: Wir bilden die Divergenz von Gl. (4.5) A 1 c A t = µ J. (4.10) div E = t ( div A ) ϕ, (4.11) setzen Gl. (.1d) ein ρ ε = ( div A t ) ϕ (4.1) und erhalten mit Gl. (4.9): ρ ε = 1 ϕ ϕ, (4.13a) c t ϕ 1 ϕ c t = ρ ε. (4.13b) Die Lorentz-Konvention führt auch für die Größe ϕ zu einer inhomogenen Wellengleichung. Gelingt es, ausgehend von einer gegebenen Stromverteilung J, ein Vektorpotential A zu finden, das der Gl. (4.10) im ganzen Raum genügt, dann kann das Strahlungsfeld hieraus bestimmt werden. Hierzu gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder man bestimmt H nach Gl. (4.1) und E nach Gl. (4.5), nachdem vorher ϕ nach Gl. (4.9) bestimmt wurde, oder man bestimmt H nach Gl. (4.1) und dann E nach Gl. (.1a). Die zweite Methode macht von der Lorentz-Konvention indirekt Gebrauch, da wir vorausgesetzt haben, daß A der Gl. (4.10) genügen soll. Der Nachweis, daß die elektrodynamischen Potentiale den Maxwellgleichungen genügen, läßt sich anhand der ebenen Welle erbringen. 1 Es existieren auch andere Konventionen (Eichungen) zur Berechnung langsamveränderlicher Felder kann beispielsweise die Coulomb-Eichung div A = 0 verwendet werden.

37 5 Der Hertzsche Dipol Der Hertzsche Dipol ist eine infinitesimale Strahlungsquelle, die üblicherweise in den Ursprung eines Kugelkoordinatensystems gelegt wird. Beispiele können sein: ein kurzes Stück Draht der Länge z, das von einem Strom I 0 durchflossen wird (Bild 5.1), zwei Kugeln mit der Ladung ±Q 0 im Abstand z (Bild 5.). H P =0 P E r z I 0 E E D =90 magn. Feldlinie Bild 5.1: Feld eines stromdurchflossenen Leiters Bild 5.: Feld zweier Ladungen Das magnetische Feld eines infinitesimalen, stromdurchflossenen Leiterstückes berechnet man nach dem Gesetz von Biot-Savart: dh = I 0 d z e r 4π r H ψ = I 0 z 4π Das elektrische Feld des elektrostatischen Dipols nach Bild 5. ist sin θ r. (5.1) E r = Q 0 z πε 0 E θ = Q 0 z 4πε 0 cos θ, r 3 (5.a) sin θ. r 3 (5.b) Die Größen I 0 und Q 0 wurden in Gl. (5.1) und Gl. (5.a) bzw. (5.b) als statisch angenommen. Ändert man sie periodisch und harmonisch, kann man wieder zur 31

38 3 5 Der Hertzsche Dipol komplexen Zeigerschreibweise übergehen: I 0 i 0 (t) = Re { I 0 e jωt}, } Q 0 q 0 (t) = Re {Q 0 e jωt. (5.3) Man erhält dann ein elektrodynamisches Feld. Mit den Gln. (5.1), (5.a) und (5.b) lassen sich mittels des Induktions- und Durchflutungsgesetzes alle Feldkomponenten in Kugelkoordinaten ableiten. Eine umfassende Lösung des Strahlungsfeldes erhält man, wie im folgenden gezeigt wird, mittels der elektrodynamischen Potentiale. 5.1 Berechnung des Strahlungsfeldes Das Strahlungsfeld des infinitesimalen Dipols, der sich im Ursprung eines Kugelkoordinatensystems bei (0, 0, 0) befindet, wird über die Wellengleichung Gl. (4.10) des Vektorpotentials A berechnet: A 1 c A t = µ J. (5.4) Im Wellenfeld soll die Stromdichte J und die Ladungsdichte ρ außerhalb der (im Ursprung liegenden) Quelle verschwinden. Diese Situation läßt sich am einfachsten in Kugelkoordinaten beschreiben: ρ = 0 und J = 0 für r > 0. (5.5) Das führt auf die Helmholtz-Gleichung A 1 A = 0 für r > 0. (5.6) c t Eine mögliche Lösung der Helmholtz-Gleichung erhält man mit dem Ansatz A = 0 e x + 0 e y + A z e z = A z e z, (5.7) d.h. das Vektorpotential hat eine bis auf das Vorzeichen konstante Richtung im Raum, nämlich die (+z)-richtung. Durch diesen Ansatz erhalten wir aus der Vektor-Helmholtz-Gleichung die skalare Helmholtz-Gleichung: A z 1 c A z t = 0 für r > 0. (5.8)

39 5.1 Berechnung des Strahlungsfeldes 33 Wir führen harmonische Zeitabhängigkeit und komplexe Amplituden für das magnetische Vektorpotential ein: und erhalten In Kugelkoordinaten lautet Gl. (5.11) A = a (r, θ, ψ, t) = Re { A (r, θ, ψ) e ±jωt} (5.9) A z = a z (r, θ, ψ, t) = Re { A z (r, θ, ψ) e ±jωt} (5.10) A z r + r A z + β 0A z = 0. (5.11) A z r + 1 r ( A z θ + 1 r sin θ + A z θ ) cot θ + A z ψ + β 0A z = 0. (5.1) Diese Gleichung ist separierbar, d.h. man kann Lösungen in der Form eines Produktes aus je einer Funktion von r, θ und ψ konstruieren: A z = R (r) Θ (θ) Ψ (ψ) A 0. (5.13) Man erhält dann für das Produkt Θ Ψ die sogenannten Kugelflächenfunktionen. Wir beschränken uns auf den einfachsten Fall, daß nämlich A z nur von r und nicht von θ und ψ abhängt: A z = A z (r) ; ψ A z = 0 ; θ A z = 0. (5.14) Dann erhalten wir aus Gl. (5.1) die gewöhnliche Differentialgleichung A z r + r A z r + β 0A z = 0. (5.15) Die allgemeine Lösung dieser Gleichung entnehmen wir der mathematischen Literatur: A z (r) = 1 ( C1 e +jβ0r + C r e ) jβ 0r. (5.16) Der erste Summand beschreibt eine aus dem Unendlichen ins Zentrum des Koordinatensystems laufende Kugelwelle. Da eine solche Welle physikalisch und technisch für das betrachtete Problem nicht sinnvoll ist (wir haben eine Wellenquelle im Ursprung angenommen) können wir die Konstante C 1 gleich Null setzen. Der zweite Summand beschreibt eine vom Koordinatenursprung weglaufende Welle. Durch Verfügen über C zu C = A 0 β 0 (5.17)

40 34 5 Der Hertzsche Dipol erhalten wir eine Form dieser Lösung, in der die Koordinate r nur in dem dimensionslosen Produkt β 0 r vorkommt: A z = A 0 e jβ 0r β 0 r. (5.18) Im folgenden berechnen wir das zu diesem Vektorpotential gehörende elektromagnetische Strahlungsfeld. Man nennt dieses Feld die Hertzsche Lösung der Maxwellgleichungen. Die Komponenten von A = A z e z in Kugelkoordinaten lauten: A r = A z cos θ = A 0 e jβ 0r cos θ, β 0 r A θ = A z sin θ = A 0 e jβ 0r sin θ, β 0 r A ψ 0. (5.19a) (5.19b) (5.19c) Nach dem Vektorpotential wird das skalare Potential bestimmt. Die folgenden Rechnungen werden erleichtert durch die Hilfsformel d dr ( e jβ 0 ) r = β 0 r In Kugelkoordinaten gilt allgemein (Gl..33) ( jβ 0 1 ) e jβ 0 r r β 0 r. (5.0) div A = A r r + 1 A θ r θ + A r r + A θ r cot θ + 1 A ψ r sin θ ψ. (5.1a) Nach Einsetzen der Gl. (5.19a) (5.19c) erhält man: div A = A 0 e jβ 0r β 0 r = A 0 e jβ 0r β 0 r [( jβ 0 1 ) cos θ + r r cos θ + 1r ] ( cos θ cos θ) ( jβ ) cos θ. r (5.1b) Hieraus folgt mit der Lorentz-Konvention (Gl. (4.9)) das skalare Potential ϕ (r, θ, ψ) = c jω div A = A 0 e jβ 0r c β 0 r ( 1 j β 0 r ) cos θ. (5.) In Kugelkoordinaten ist grad ϕ = ϕ r e r + 1 ϕ r θ e θ + 1 ϕ r sin θ ψ e ψ, (5.3)

41 5.1 Berechnung des Strahlungsfeldes 35 Mit Gl. (4.5) [ grad ϕ ]r = A 0 e jβ 0r β 0 r [ grad ϕ ]θ = A 0 e jβ 0r c β 0 r [ ] grad ϕ 0. ψ ( c jβ 0 r jβ 0 r ( 1 ) r + sin θ, j β 0 r ( E = jωa ) + grad ϕ ) cos θ, (5.4a) (5.4b) (5.4c) (5.5) und c = ω/β 0 folgt E r = A ( 0 e jβ 0r j jω β 0 r E θ = A 0 e jβ 0r jω β 0 r E ψ = 0. β 0 r + (β 0 r) ( 1 j β 0 r 1 (β 0 r) ) cos θ, ) sin θ, (5.6a) (5.6b) (5.6c) Die in 1/β 0 r linearen Terme in jωar und [grad ϕ] r haben sich gegenseitig kompensiert, so daß E r die E-Komponente in Ausbreitungsrichtung keinen in 1/β 0 r linearen Term erhält. Das Magnetfeld folgt aus Gl. (4.1). Für rot A gilt in Kugelkoordinaten (Gl. (.34)): rot A = 1 [ r sin θ θ (sin θa ψ) A ] θ e r + ψ { 1 A + r r sin θ ψ 1 [ ]} r r (ra ψ) e θ + [ 1 + r r (ra θ) 1 ] A r e ψ. r θ Da sowohl A ψ als auch A/ ψ voraussetzungsgemäß identisch Null sind, hat das Magnetfeld nur eine Komponente in ±ψ-richtung. H r 0, H θ 0, H ψ = A 0 e jβ 0r β 0 r jβ 0 µ ( 1 j ) sin θ. β 0 r (5.7a) (5.7b) (5.7c) Die Gleichungen in diesem Kapitel gelten unter der Voraussetzung, daß der Dipol in z-richtung orientiert ist. Es kann in einzelnen Fällen die Berechnung erheblich erleichtern, wenn man annimmt, daß der Dipol in x- bzw. y-richtung eines Koordinatensystems orientiert ist. Im folgenden werden hier die Ergebnisse dieser beiden Fälle angegeben. Die Herleitung erfolgt wie bei der z-richtung, indem

42 36 5 Der Hertzsche Dipol man analog zu Gl. (5.7) das magnetische Vektorpotential A in x- bzw. y-richtung ansetzt zu A = A x e x + 0 e y + 0 e z = A x e x, bzw. A = 0 e x + A y e y + 0 e z = A y e y. (5.8) Ergebnisse für den in x-richtung orientierten Dipol: Vektorpotential: Elektrische Feldstärke: E r = A 0e jβ 0r β 0 r E θ = A 0e jβ 0r β 0 r E Ψ = A 0e jβ 0r jω β 0 r Magnetische Feldstärke: A x = A 0 e jβ 0r β 0 r ( j jω jω β 0 r + (β 0 r) ( 1 j β 0 r 1 ( 1 j β 0 r 1 (β 0 r). (5.9) ) cos φ sin θ, (β 0 r) ) cos φ cos θ ) sin φ. (5.30a) (5.30b) (5.30c) H r = 0, H θ = A 0e jβ 0r β 0 r H Ψ = A 0e jβ 0r β 0 r β 0 µ β 0 µ ( ) 1 β 0 r + j sin φ, ( 1 β 0 r + j ) cos θ cos φ. (5.31a) (5.31b) (5.31c) Ergebnisse für den in y-richtung orientierten Dipol: Vektorpotential: Elektrische Feldstärke: E r = A 0 e jβ 0r jω β 0 r E θ = A 0 e jβ 0r jω β 0 r E ψ = A 0 e jβ 0r jω β 0 r A y = A 0 e jβ 0r β 0 r ( j β 0 r + (β 0 r) ( 1 j β 0 r 1 (β 0 r) ( 1 j β 0 r 1 (β 0 r). ) sin φ sin θ, ) cos θ sin φ, ) cos φ. (5.3a) (5.3b) (5.3c)

43 5. Das Nahfeld des Hertzschen Dipols 37 Magnetische Feldstärke: H r = 0, H θ = A 0 e jβ 0r β 0 r β 0 µ H ψ = A 0 e jβ 0r β 0 r ( ) 1 β 0 r + j cos φ, ( 1 β 0 r + j β 0 µ ) cos θ sin φ. (5.33a) (5.33b) (5.33c) Allgemein läßt sich für beliebig orientierte Dipole sagen, daß die Ausdrücke für die Feldgrößen E und H für r > 0 endlich bleiben. Man kann daher das Feld bis in die unmittelbare Nähe des Koordinatenursprungs fortsetzen. Physikalisch gesehen heißt das: Die Hertzsche Lösung muß, wie bereits im Ansatz gefordert wurde, durch eine beliebig kleine Antenne erzeugt werden. Diese Antenne muß so beschaffen sein, daß sie den durch die Hertzsche Lösung gegebenen Randwerten in der Nähe des Koordinatenursprungs entspricht. Da in den Feldkomponenten Glieder proportional 1/r bis 1/r 3 enthalten sind, empfiehlt es sich, zur Vereinfachung die Bereiche Nahfeld der Antenne für β 0 r 1 und Fernfeld der Antenne für β 0 r 1 zu unterscheiden. 5. Das Nahfeld des Hertzschen Dipols In der unmittelbaren Umgebung der Antenne mit β 0 r 1 bestimmen die Glieder mit den höchsten Potenzen von 1/β 0 r das Feld. Vernachlässigt man die übrigen Glieder, so beschreiben die verbleibenden Gleichungen das sogenannte Nahfeld. Außerdem kann man in diesem Gebiet e jβ 0r 1 setzen. Man erhält dann aus

44 38 5 Der Hertzsche Dipol den Gln. (5.6a) (5.6c) und (5.7a) (5.7c) mit β 0 r 1 für das Nahfeld: E r A 0 3 jω cos θ, (5.34a) (β 0 r) E θ A 0 3 jω sin θ, (5.34b) (β 0 r) E ψ 0, (5.34c) H r 0, H θ 0, (5.35a) (5.35b) H ψ A 0 β 0 (β 0 r) sin θ. (5.35c) µ Vergleicht man die Gln. (5.34a) (5.34c) und (5.a) (5.b), so sieht man, daß das elektrische Nahfeld eines Hertzschen Dipols in seiner Entfernungsabhängigkeit r und Winkelabhängigkeit θ dem des elektrostatischen Dipols gleich ist, wenn man Q 0 z 4πε 0 = A 0 jω β 3 0 = j A 0 c β 0 (5.36) setzt (hier wurde für die Ladung q 0 (t) die komplexe Zeigerschreibweise Q 0 mit } q 0 (t) = Re {Q 0 e jωt eingeführt). Das elektrische Feld des stromdurchflossenen Dipols entspricht also unter den Voraussetzungen β 0 r 1, d.h. r λ 0 π, β 0 z 1, d.h. z λ 0 π (5.37) dem elektrischen Feld eines oszillierenden (Ladungs-) Dipols (Bild 5.3). Bei sehr hohen Frequenzen (sehr kleinen Wellenlängen λ 0 ) wird eine sehr große Ladung Q 0 benötigt. Nach der Betrachtung der Entstehung des elektrischen Nahfeldes wird im folgenden das Zustandekommen des magnetischen Nahfeldes untersucht. Dazu vergleicht man das magnetische Feld nach Gl. (5.35a) (5.35c) in unmittelbarer Nähe des Hertzschen Dipols mit dem magnetischen Feld dh eines im Nullpunkt befindlichen Stromelements, wie es in der magnetostatischen Formel von Biot- Savart nach Gl. (5.1) postuliert wird. Es ergibt sich: I 0 z 4π = A 0 µβ 0, A 0 = I 0 z 4π µβ 0 (5.38)

45 5. Das Nahfeld des Hertzschen Dipols 39 << z I z Z i z << y U x Bild 5.3: Prinzipbild des Hertzschen Dipols mit Speisung aus einer Wechselspannungsquelle U mit der Impedanz Z i Das magnetische Feld in unmittelbarer Nähe des Hertzschen Dipols entspricht also dem magnetischen Feld eines stromdurchflossenen Leiterelements nach Gl. (5.38). Im Gegensatz zur Magnetostatik ist ein Wechselstromelement (in Verbindung mit einem Wechsel- Dipolmoment) und das zugehörige magnetische Nahfeld realisierbar. Den Ladestrom I 0 eines Dipols mit i 0 (t) = q 0 t I 0 = jωq 0 (5.39) (vgl. Gl. (5.3)) kann man aus den Gln. (5.36) und (5.38) ermitteln. Setzt man Gl. (5.38) in die Feldgleichungen (5.6a) (5.6c) und (5.7a) (5.7c) ein, so erhält man für das Feld des Hertzschen Dipols E r = I z µ 4π E θ = I z µ 4π H ψ = I z 1 4π e jβ 0r r e jβ 0r r e jβ 0r r ( j jω ( jω 1 j β 0 r + (β 0 r) jβ 0 ( 1 j β 0 r β 0 r 1 (β 0 r) ) sin θ. ) cos θ, ) sin θ, (5.40a) (5.40b) (5.40c)

46 40 5 Der Hertzsche Dipol Das Nahfeld resultiert aus den Komponenten mit der höchsten Potenz in 1/βr: E r = I z µ 4π E θ = I z µ 4π H ψ = I z 1 4π e jβ 0r r e jβ 0r r e jβ 0r jω cos θ, (β 0 r) (5.41a) jω 1 sin θ, (β 0 r) (5.41b) r sin θ. (5.41c) 5.3 Das Fernfeld des Hertzschen Dipols Die Gleichungen für die Feldgrößen Gln. (5.40a) (5.40c) enthalten als Faktor ein Polynom in 1/β 0 r. In großer Entfernung von der Antenne mit β 0 r 1 kann man die Glieder mit höheren Potenzen von 1/β 0 r gegenüber dem Glied mit 1/β 0 r vernachlässigen. Die dann verbleibenden Gleichungen beschreiben das sogenannte Fernfeld in Abhängigkeit vom Speisestrom: E θ = I 0 z µ 4π H ψ = I 0 z 1 4π e jβ 0r r e jβ 0r r jω sin θ, jβ 0 sin θ. (5.4a) (5.4b) Das Fernfeld besitzt nur noch die Komponenten E θ und H ψ. Somit ergibt sich ein Poyntingvektor, der radial von der Antenne wegzeigt, er besitzt nur noch eine Komponente S r : S r = 1 E θh ψ = 1 I 0 z 1 (4πr) µ ω β 0 sin θ (5.43) 5.4 Die Richtcharakteristik des Hertzschen Dipols Die Richtcharakteristik wurde im Abschnitt 3.3, Gl. (3.11) definiert als: E(θ, ψ) (3.11) : C(θ, ψ) = E(θ, ψ) Die Definition gilt für das Fernfeld. max r=const. r H(θ, ψ) = H(θ, ψ) max r=const. r.

47 5.5 Strahlungswiderstand, Gewinn und Wirkfläche des Hertzschen Dipols 41 Aus den Gln. (5.4a) und (5.4b) folgt für das Vertikaldiagramm E θ max = I 0 z µ 4π C V (θ) = sin θ. e jβ 0r r jω, (5.44) Für das Horizontaldiagramm erhält man e jβ 0r H ψ max = I 0 z 1 jβ 0, (5.45) 4π r C H (ψ) = 1 = konst. f (ψ). In den Bildern 5.4 und 5.4 sind die beiden sehr einfachen Diagramme nach Gl. (5.44) und (5.45) dargestellt. Bild 5.5 zeigt eine räumliche Darstellung. a) z b) x y z y x Bild 5.4: a) Vertikaldiagramm und b) Horizontaldiagramm des Hertzschen Dipols 5.5 Strahlungswiderstand, Gewinn und Wirkfläche des Hertzschen Dipols Die abgestrahlte Leistung berechnet sich nach Kapitel 3 aus P s = r π π S r sin θ dθ dψ (5.46) ψ=0 θ=0 Da im Freiraum im Nahfeld keine Verluste auftreten, genügt es aufgrund der Energieerhaltung, P S aus den Gln. (5.4a), (5.4b) im Fernfeld zu berechnen. Es

48 4 5 Der Hertzsche Dipol z y x Bild 5.5: Räumliche Richtcharakteristik des Hertzschen Dipols gilt: S r = 1 E θh ψ 1 ( ) z 8 I 0 sin θ Z F 0 (5.47) λ 0 r für r λ 0 und z λ 0 π. Unter Anwendung von Gl. (5.46) ergibt sich P s = π 3 I 0 Z F 0 ( z λ 0 ) (5.48) Definiert man einen Strahlungswiderstand R S, d.h. den Widerstand in den fiktiv die abgestrahlte Leistung geht, durch dann folgt P S = 1 I 0 R S, (5.49) R S = P S I 0 = π ( ) z 3 Z F 0 (5.50) λ 0 ( ) z z R S = 790 Ω für 1 (5.51) λ 0 π λ 0 Der Strahlungswiderstand R S bildet zusammen mit dem Verlustwiderstand R V den Realteil der Eingangsimpedanz der Antenne. Als Imaginärteil der Eingangsimpedanz eines Hertzschen Dipols ergibt sich die Impedanz der statischen

49 5.5 Strahlungswiderstand, Gewinn und Wirkfläche des Hertzschen Dipols 43 Kapazität der Anordnung, mit der der Hertzsche Dipol angenähert wurde, dies müssen nicht zwei Kugeln sein wie in Bild 5.3. Es gibt daher keine allgemeingültige Formel für den Imaginärteil der Eingangsimpedanz Gewinn Wie aus Gl. (5.47) zu ersehen ist, liefert der Hertzsche Dipol die maximale Strahlungsdichte für θ = π/. Der Gewinn beträgt daher nach Gl. (3.8), Gl. (5.47) und (5.48): ( ) G i = 4πr S 1 r max = 4πr 8 I z Z 1 F 0 λ 0 r ( ) P, (5.5) s π 3 I z Z F 0 λ 0 G i = 3 ( ) 3 ˆ=10 log = 1, 76 [dbi]. (5.53) 5.5. Antennenwirkfläche Zur Berechnung der Wirkfläche nach Abschnitt 3.6 bringt man einen Hertzschen Dipol (Zweikugelmodell nach Bild 5.3, aber ohne innere Spannungsquelle) optimal ausgerichtet als Empfangsantenne in das Feld einer ebenen Welle mit E z = E z0 e jβ 0x und H y = E z0 Z F 0 e jβ 0x (5.54) die in ( x)-richtung läuft und die Leistungsdichte S = 1 E zh y = 1 Z F 0 E z0 (5.55) besitzt. Dann folgt die Leerlaufspannung U A = E d s E z0 z (5.56) an den Anschlussklemmen dem elektrischen Feld dieser Welle. Nach der Definition der Wirkfläche aus dem ebenen Wellenfeld muß die durch A W Leistung P E = A W S r = A W E z0 tretende Z F 0 (5.57)

50 44 5 Der Hertzsche Dipol gleich der maximal am Ausgang des Dipols verfügbaren Leistung sein (konjugiert komplexe Anpassung des Empfängers an die Antenne): P E = 1 U A = 1 8 R S ( U A ) R S. (5.58) Gl. (5.58) erhält man aus Bild 3.4, wenn man Z A = Z E ansetzt und beachtet, daß U A eine Scheitelwertgröße ist. Mit Gl. (5.58) ergibt sich nun A W zu Mit R S aus Gleichung (5.50) erhält man A W = 1 U A Z F 0 8 R S E z0 = 1 Z F 0 ( z). (5.59) 4 R S A W = 3 8π λ 0. (5.60) Sie hängt nicht von der Länge z dieser Antenne ab, sondern nur von λ 0, d.h. von der Frequenz der einfallenden Welle, solange z λ 0 /π ist. In Abschnitt 3.6 wurde bereits darauf hingewiesen, daß es eine Proportinalität zwischen Gewinn und Wirkfläche gibt. Mit Hilfe der speziell für den Hertzschen Dipol gültigen Gln. (5.53) und (5.60) erhalten wir diesen Proportionalitätsfaktor und damit die Gl. (3.0) die allgemein für jede Antenne gilt. A W = λ 0 4π G i, 5.6 Das Feldlinienbild des Hertzschen Dipols Man bekommt eine Vorstellung vom Strahlungsfeld des Hertzschen Dipols, wenn man die Feldlinienbilder betrachtet. Die magnetischen Feldlinien sind konzentrische Kreise um die Dipolachse. Den Verlauf der elektrischen Feldlinien in Abhängigkeit von der Zeit zeigt die Bildfolge 5.6. Dargestellt ist jeweils nur ein Quadrant, der Dipol befindet sich in der linken unteren Ecke der Bilder. Der linke Bildrand entspricht der positiven z-achse. Der gestrichelte Viertelkreis gibt den Abstand einer Wellenlänge an. Die Zeitabstände zwischen den einzelnen Bildern sind gleich groß. Wie man sieht, beginnen nach dem Zeitpunkt t = 0, 333T einzelne Feldlinien sich abzuschnüren. Sie lösen sich vom Dipol und wandern als geschlossene

51 5.6 Das Feldlinienbild des Hertzschen Dipols 45 Feldlinien in den Raum. Zum Zeitpunkt t = 0, 5T sieht das Feld gleich aus wie zum Zeitpunkt t = 0, die Feldlinien haben jedoch die entgegengesetzte Richtung. Das Bild 5.7 zeigt für t = 0 einen Schnitt bei ψ = const. Bild 5.8 stellt die Verschiebungsströme und die magnetischen Feldlinien dar.

52 46 5 Der Hertzsche Dipol t / T=0 t / T=0,5 t / T=0,083 t / T=0,333 t / T=0,167 t / T=0,417 Bild 5.6: Elektrische Feldlinien eines Hertzschen Dipols zu verschiedenen Zeitpunkten (T = 1/f = Periodendauer)

53 5.6 Das Feldlinienbild des Hertzschen Dipols 47 z =0 0 / E r maximal Dipol y =180 Bild 5.7: Elektrische Feldlinien einer Dipolwelle im Momentanbild z i y H x Bild 5.8: Verschiebungsströme und magnetische Feldlinien einer Dipolwelle im Momentanbild

54 6 Lineare Antennen (Stabstrahler) 6.1 Allgemeines zu linearen Antennen Die lineare Antenne besteht in ihrer einfachsten Form aus einem geraden zylindrischen Leiter, der meist symmetrisch in der Mitte (Bild 6.1a) oder im Fußpunkt (Bild 6.1b) gespeist wird. Man setzt voraus, daß die Stromelemente als auf der a I(0) b) a z I(0) a) Bild 6.1: Lineare Antennen z-achse konzentriert betrachtet werden können und in z-richtung orientiert sind. Damit kann die lineare Antenne in unendlich viele Hertzsche Dipole zerlegt werden. Die Feldstärken des Hertzschen Dipols sind bekannt (Gl. (5.4a, (5.4b): E θ = I 0 z µ e jβ 0r jω sin θ, 4π r H ψ = I 0 z 1 (6.1) e jβ 0r jβ 0 sin θ. 4π r Der Stab wird von einem Strom I durchflossen, der sich längs des Stabes ändern, also eine Funktion von z sein kann. In einem fernen Punkt P, der durch den Winkel θ festgelegt ist, bildet sich ein Potential A z als Summe (Integration) aller Teilpotentiale A z (z) der infinitesimalen Teildipole der Länge z. 48

55 6.1 Allgemeines zu linearen Antennen 49 r(z) P z r(0) l z = 0 r z I (z) Bild 6.: Koordinaten zur Berechnung des Vektorpotentials Die Wegdifferenz der Strecken von einem Punkt z (auf dem Stab) nach P und z = 0 nach P ergibt sich nach Bild 6. zu r (z) = r (z) r (0) = z cos θ, (6.) wenn man voraussetzt, daß sich der Punkt P im Fernfeld der Antenne befindet, d.h., r l. Durch diese Wegdifferenz ergibt sich eine Phasendifferenz β 0 r(z) der Teilwellen, die in P ankommen. Das Teilpotential A z (z) bestimmt sich somit zu: A z (z) = µ 4π r (z) e jβ 0 r(z) I (z) z. (6.3a) Damit folgt das gesamte Potential unter Annahme der Fernfeldnäherung für den Abstandsterm r(z) r(0) (die Phasendifferenz darf nicht vernachlässigt werden): A z = +l l A z (z)dz = = µ 4π r e jβ 0 r(0) }{{} +l l I(z) e jβ 0 r(z) dz. }{{} Abstandsfaktor und Richtungsfaktor des Vektorpotentials (6.3b) (6.3c) Die Gesamtfeldstärke ergibt sich durch Integration aller Teilfeldstärken unter Berücksichtigung der Phase: E θ = +l l E θ (θ)dz. (6.4)

56 50 6 Lineare Antennen (Stabstrahler) Somit erhält man für E θ aus Gl. (6.1) und Gl. (6.) E θ = jω µ sin θ I (z) e jβ 0z cos θ dz. 4πr e jβ 0 r(0) } {{ } Abstandsfaktor Antenne } {{ } Richtungsfaktor F (θ) (6.5) H ψ erhält man aus: H ψ = E θ Z F 0. (6.6) Im folgenden werden einige typische Beispiele linearer Antennen untersucht. 6. Strahlungseigenschaften dünner linearer Antennen Die Richtcharakteristik wurde bereits in Abschnitt 3.3 definiert. Wegen der Symmetrie in ψ ergibt sich hier C (θ, ψ) = C (θ) = F (θ) F max. (6.7) Wie schon erwähnt, kürzt sich bei der Bestimmung von C(θ) der Abstandsfaktor weg Homogen (konstant) belegte Antennen Bei konstanter Belegung, d.h. I (z) = I (0) (6.8) gemäß Bild??, kann I(0) bei der Berechnung von E θ vorgezogen werden. Damit ergibt sich aus Gl. (6.5): E θ = K sin θ I (0) +l e jβ 0 z cos θ dz = K sin θ sin z= l ( π l λ 0 ) cos θ π l λ 0 cos θ mit K = I(0)jω µ 4πr e jβr(0) l. (6.9)

57 6. Strahlungseigenschaften dünner linearer Antennen 51 +l I (0) Stromverteilung I (0) -l Bild 6.3: Stromverteilung der konstant belegten Antenne Das Maximum der Funktion nach Gl. (6.9) wird durch geeignete Wahl von K zu 1 festgelegt. Damit folgt für die Richtcharakteristik gemäß Gl. (6.7): ( ) π l sin C (θ) = sin θ λ 0 cos θ cos θ = sin ζ sin θ ζ π l λ 0 mit ζ = π l λ 0 cos θ. (6.10) Die Richtcharakteristik C(θ) ist das Produkt der Kurve aus Bild 6.4 mit ζ aus Gl. (6.10) multipliziert mit sin θ. Die Vertikaldiagramme des Stabes nach Bild?? sind also den Vertikaldiagrammen des Hertzschen Dipols in Bild 5.4 sehr ähnlich, wobei jedoch der Faktor sin ζ/ζ hinzukommt, der die Halbwertsbreite etwas verkleinert und die Amplituden der Nebenzipfel vermindert. Für die Richtwirkung Funktion sin 1,0 Hauptstrahlung 0,7 0,5 Halbwertsbreite erste Nullrichtung erste Nebenstrahlung zweite Nullrichtung zweite Nebenstrahlung 0, ,1 Bild 6.4: Funktion sin ζ/ζ erhält man das Diagramm nach Bild 6.5. Für Werte von ζ > π entstehen Nebenmaxima, wobei die Phasensprünge an den Stellen ζ = nπ auftreten.

58 5 6 Lineare Antennen (Stabstrahler) ACHSE =0 V V Bild 6.5: Vertikale Halbwertsbreite eines Stabstrahlers Die Diskussion der Richtcharakteristik erfolgt anhand von Gl. (6.10). Nullstellen ergeben sich für sin θ = 0 θ = 0, 180 und sin ζ ζ = 0 π l λ 0 cos θ = n π. (6.11) Die Halbwertswinkel liegen symmetrisch um θ = 90. Für sie gilt 1 = sin θ sin ζ. (6.1) ζ Für lange Antennen bestimmt fast ausschließlich der Faktor sin ζ/ζ die Halbwertsbreite der schmalen Hauptstrahlung, da sin θ 1. Dann gilt mit θ HW = π/ θ: θ HB = θ HW 51 λ 0 l. (6.13) 6.. Sinusförmig belegte Antennen Bei sinusförmiger Strombelegung der Antenne läßt sich die Stromverteilung wie folgt darstellen: I (z) = I (0) sin β 0 l sin β 0 (l z ). (6.14) In Bild 6.6 ist die Stromverteilung für verschiedene Stablängen l dargestellt. Durch die Pfeile längs des Stabes kann man erkennen, in welcher Richtung der Strom I auf den Antennenstäben läuft. In der Speisestelle wechselt die Stromrichtung. Es ergibt sich die Feldstärke in einem Aufpunkt P (r, θ) (Bild 6.) aus der

59 6. Strahlungseigenschaften dünner linearer Antennen 53 l = 0, l = 0,5 l = 0,8 l = l = 1, I(z) I(z) I(z) l I(0) I I(z) I(0) I(0) I I(z) I(0) I(0) I I(0) I(0) I I(0) I(0) I I(0) I I I I I Bild 6.6: Stromverteilung I(z) auf Stabstrahlern Integration E θ = jω µ 4π r e jβ 0 r I (0) sin β 0 l sin θ E θ = jω µ 4π r e jβ 0 r I (0) sin β 0 l β 0 +l z= l sin β 0 (l z ) e jβ 0 z cos θ dz (6.15) cos (β 0 l cos θ) cos β 0 l sin θ Gemäß der Definition nach Gl. (6.5) folgt hieraus der Richtungsfaktor. (6.16) F (θ) = I (0) sin β 0 l β 0 cos (β 0 l cos θ) cos β 0 l sin θ. (6.17) λ/-dipol Für l = λ/ d.h. β 0 l = π/ folgt aus Gl. (6.17) F (θ) = I (0) β 0 ( cos π cos θ) sin θ (6.18) und damit F max = woraus sich für die Richtcharakteristik I (0) β 0 bei θ = π, (6.19) C (θ) = cos ( π cos θ) sin θ (6.0) ergibt.

60 54 6 Lineare Antennen (Stabstrahler) a) b) z y Bild 6.7: a) Stromverteilung und b) Richtcharakteristik des λ/-dipols (zum Vergleich l λ 0 /π gestrichelt) Den Gewinn erhält man aus 4π G i = π π C (θ, ψ) sin θ dθ dψ 0 0 = π 0 π 0 4π cos ( π cos θ ) dθ dψ sin θ (6.1) G i = 1, 64 =, 15 dbi. Das Integral ist numerisch auswertbar. Dieser Gewinn unterscheidet sich nur wenig vom Gewinn des Hertzschen Dipols mit 1, 5. Mit Kenntnis des Gewinns läßt sich die Berechnung des Strahlungswiderstandes durchführen. Aus Gl. (5.50) erhält man R S = P S I (0), (6.) wobei sich P S mit Hilfe des Gewinns nach Gl. (3.8) ausdrücken läßt als S P S = 4πr max, (6.3) G i S max mit Hilfe der E-Feldstärke und E θ max nach Gl. (6.16): S max = E θ max Z F 0 (6.4) E θ max = 1 ωµ π β 0 r I (0) = Z F 0 I (0). (6.5) π r

61 6. Strahlungseigenschaften dünner linearer Antennen 55 Hieraus folgt der Strahlungswiderstand des λ/-dipols zu R S = Z F 0 = 10 Ω π G i 1, 64 = 73, Ω. (6.6) Obwohl Gewinn und Richtcharakteristik des λ/-dipols und des Hertzschen Dipols nur gering voneinander abweichen, ergeben sich größere Differenzen im Strahlungswiderstand λ-dipol Für l = λ, d.h. β 0 l = π erhält man aus Gl. (6.17): F max = β 0 I (0) sin β 0 l. (6.7) Zur Bestimmung von C(θ) setzt man zunächst β 0 l = π ε und kürzt vor dem Grenzübergang ε 0 durch den Ausdruck I(0) /(β 0 sin β 0 l). Damit erhält man die in Bild (6.7) dargestellte Richtcharakteristik und nach numerischer Auswertung C (θ) = 1 cos (π cos θ) + 1 sin θ G i =, 41 = 3, 8 dbi. (6.8) Der größere Gewinn, den der λ-dipol gegenüber dem λ/-dipol hat, zeigt sich im schlankeren Strahlungsdiagramm Längere lineare Antennen In Bild 6.9 sind die Vertikaldiagramme von linearen Antennen der Länge l 3λ/ dargestellt, die numerisch nach Gl. (6.17) ausgewertet wurden. Bei Antennenlängen l λ hat das Diagramm nur ein Maximum. Für l > λ bilden sich zusätzlich zu den Hauptkeulen noch Nebenkeulen aus. Bei größeren Antennenlängen entstehen viele Nebenkeulen (Bild 6.9 c) und die Lage der Hauptkeulen neigt sich immer mehr in Richtung der Antennenachse. Dies ist das Prinzip der Langdraht-Antenne, deren Länge ein Vielfaches der Wellenlänge beträgt und deren Hauptstrahlrichtung nur wenig von der Richtung des Drahtes abweicht.

62 56 6 Lineare Antennen (Stabstrahler) a) z b) y Bild 6.8: a) Stromverteilung und b) Richtcharakteristik des λ-dipols 6.3 Eingangsimpedanz von Stabstrahlern Die Eingangsimpedanz Z A, die die Antenne dem speisenden Generator zwischen den beiden Anschlußklemmen am Ort z = 0 anbietet, hat eine Wirkkomponente R A und eine Blindkomponente jx A. Es ist üblich, dünne Stäbe mit Hilfe der Leitungstheorie zu behandeln. Bild 6.10a zeigt, wie ein Stab aus Induktivitäten und Kapazitäten aufgebaut ist, Bild 6.10b zeigt das Ersatzschaltbild. Die Strombelegung und die Koordinaten sind in Bild 6.10c gezeigt. Faßt man lineare Antennen als Leitungen mit verteilter Induktivität L und verteilter Kapazität C auf, so ist der Wellenwiderstand L /C sicher nicht konstant längs der Antenne. Man vernachlässigt diese Abhängigkeit von z und setzt den Wellenwiderstand in grober Näherung gleich einem mittleren Wellenwiderstand. Wie sich zeigen wird, ist der mittlere Wellenwiderstand eine Funktion des Schlankheitsgrades l/a der Antenne (a = Radius des Stabes, vgl. Bild 6.1). Für diese Abhängigkeit findet man in der Literatur verschiedene Näherungsformeln, von denen hier zwei angegeben sind: [( ) ] l Z L = 10 Ω ln 1 10 Ω ln a ( ) l Z L = 60 Ω ln 10 Ω ln 3a ( 1, 15 l a ( 1, 47 l a ) ), (6.9). (6.30)

63 6.3 Eingangsimpedanz von Stabstrahlern 57 z y a) l = 3 / z y b) l = z y c) l = 10 Bild 6.9: Richtdiagramme und Stromverteilungen linearer, symmmetrisch gespeister Antennen mit l 3/λ Bei der gegen Erde erregten Vertikalantenne ist der anzunehmende Wellenwiderstand nur halb so groß. Der mittlere Wellenwiderstand einer dünnen Stabantenne beträgt 00 bis 500 Ωund wird mit wachsender Stabdicke kleiner. Je größer der Wellenwiderstand, desto größer sind die Blindkomponenten bei gegebenem l/λ 0. Für kleinere Werte l/λ 0 wirkt der Stab als reine Kapazität. Der (negative) Blindwiderstand ist dann proportional zu 1/ω, nimmt also mit wachsen-

64 58 6 Lineare Antennen (Stabstrahler) Generator 1 1 L C 1 I I y=0 Koordinate z 1 I I Stromkurve Nullstelle Nullstelle a) b) c) Bild 6.10: Leitungsersatzbild eines Stabstrahlers. der Frequenz ab. Für größere l/λ 0 wirkt dann auch die Induktivität des Stabes mit und für Stablängen l = λ 0 / (Leitungslängen l = λ 0 /4) tritt Serienresonanz mit X A = 0 ein. Deshalb sind für kleine Werte l/λ 0 (l/λ 0 < 0, 1) der Strahlungswiderstand R S und der Verlustwiderstand R V zu vernachlässigen gegen X A. Man erhält dann den Antenneneingangswiderstand Z A für die leerlaufende Leitung (vgl. Abschnitt 3.7): Z A = R V + R S + jx A = R A + jx A, (6.31) Z L Z A j tan β 0 l. (6.3) Für kleine β 0 l, für die tan β 0 l β 0 l ist, erhält man aus Gl. (6.3) Z A j Z L β 0 l = j c 0 Z L ω l. (6.33) Die Eingangsimpedanz ist damit näherungsweise proportional zu 1/f und 1/l sowie über Z L zu l/a. Wie allgemein bei Leitungen in Luft ist die Phasengeschwindigkeit auf Stabantennen nahezu gleich der Lichtgeschwindigkeit. Für längere Antennen mit 0, < l/λ < 0, 5 berücksichtigt man den endlichen Strahlungswiderstand, indem eine gedämpfte leerlaufende Leitung angesetzt wird: Z A = Z L Z L tanh [(α + jβ 0 ) l] sinh (αl) sinh (αl) + sinh (β 0 l) j Z L sinh (β 0 l) sinh (αl) + sinh (β 0 l). (6.34)

65 6.3 Eingangsimpedanz von Stabstrahlern 59 Bild 6.11 zeigt reale Eingangsimpedanzen Z A für verschiedene mittlere Wellenwiderstände Z L. Der Wert R 1 für l = λ 0 / ist weitgehend unabhängig vom Wellen- Z L =50 Ω X 00 Ω l= / 150 Ω l= 100 Ω R 1 R k R k R k R k R Z L =100 Ω 150 Ω 00 Ω l=1,1 50 Ω l=0,3 Bild 6.11: Eingangsimpedanz Z A eines Stabstrahlers für verschiedene mittlere Wellenwiderstände Z L. Frequenzbereich 0, 4λ 0 < l < 1, 1λ 0. widerstand etwa gleich 75 Ω für alle Kurven. Der Wert R K für l = λ 0 wächst mit wachsendem Wellenwiderstand und kann für dünne Stäbe noch wesentlich höhere Werte annehmen als in Bild Die in Bild 6.11 gezeichneten Kurvenstücke für etwa 0, 3λ 0 < l < 1, 1λ 0 mit verschiedenen Wellenwiderständen entsprechen gleichen Frequenzbereichen, woraus man erkennt, daß die Frequenzabhängigkeit der Impedanz eines Stabstrahlers mit wachsendem Wellenwiderstand schnell wächst. Wünscht man eine Breitbandantenne, d.h. eine Antenne mit kleiner Frequenzabhängigkeit, so muß sie einen kleinen Wellenwiderstand haben. Daneben kann man durch Kompensation an den Eingangsklemmen die Frequenzabhängigkeit in begrenzten Frequenzbereichen noch weiter verringern. Für Breitbanddipole verwendet man daher dicke Stäbe, z.b. mit Z L = 100Ω. Da man den Stab wie in Bild 6.1 in der Mitte teilen muß, um die Generatoranschlüsse 1 und zu erzeugen, entsteht bei dicken Stäben an der Unterbrechungsstelle die in Bild 6.1 a gezeichnete Kapazität C, die parallel zu den Generatorklemmen liegt und für die Eingangsimpedanz des Stabes eine unerwünschte Parallelkapazität darstellt. Vielfach verwendet man daher eine kegelförmige Unterbrechung wie in Bild 6.1b, wobei es meist zweckmäßig ist, den Wellenwiderstand dieser Doppelkegelleitung gleich dem Wellenwiderstand der Generatorzuleitung zu ma-

66 60 6 Lineare Antennen (Stabstrahler) chen. Einen optimalen Breitbanddipol mit Doppelkegel und abgerundeten Ecken zeigt Bild 6.1c. 1 Zuleitung C Zuleitung 1 Zuleitung 1 l a) b) c) d) e) f) Bild 6.1: Breitbandstrahler a) c) Dipole, d) f) Monopole 6.4 Kapazitiv belastete Stäbe Eine Antenne kann wie eine Leitung durch eine Endkapazität verkürzt werden. Der Endkapazität kann eine äqivalente Antennenlänge l zugeordnet werden wie in Bild Bild 6.13a zeigt eine kurze Antenne, welche durch die Endkapazität um die Länge l an jeder Seite verkürzt ist. Belastet man die Antenne nach Bild 6.13b mit einer geeigneten Kapazität C 0, so zeigt Bild 6.13c, daß dadurch ein Stab mit ziemlich konstantem Strom I(z) längs des Stabes entsteht. Insgesamt ergibt sich für l < 0, 7λ 0 eine gleichmäßigere Stromverteilung längs des Stabes im Vergleich zum einfachen Stab der Länge l = λ 0. Die Ströme I(z) nähern sich für Stablängen l < 0, 7λ 0 im Mittel mehr dem Speisestrom I(0). Der kapazitiv belastete Stab nutzt wegen dieser gleichmäßigeren Stromverteilung die verfügbare Länge besser zur Erzeugung einer Welle aus als der einfache Stab. Dies ist besonders bei niedrigen Frequenzen wichtig, weil die Erzeugung einer Welle vom Quotienten l/λ 0 abhängt, also bei großem λ 0 große l erforderlich werden. Hohe Antennen sind teuer. Die Möglichkeit, durch kapazitive Belastung mit kleinerem l eine Welle gleicher Amplitude zu erzeugen, erleichtert bei niedrigen Frequenzen

67 6.4 Kapazitiv belastete Stäbe 61 L l ' C C 0 l` I(l) I(0) I l I(z) I(0) I(0) b) I l ' Leitungskoordinate z I(0) I(z) I I(z) I(z) I(l) l ' c) l` a) Erdoberfläche d) Bild 6.13: Kapazitiv belasteter Stabstrahler die Konstruktion der Antennen. Bei niedrigen Frequenzen verwendet man die unsymmetrische Form nach Bild 6.13d mit der Erdoberfläche als leitende Ebene. Die Kapazität C 0 wird dann durch waagrecht ausgespannte Drähte erzeugt.

68 7 Antennengruppen 7.1 Berechnung des Gruppenfaktors Antennen mit gerichteter Strahlung, d.h. Richtwirkung, können durch Zusammenfassen von mehreren Einzelstrahlern zu einem Array synthetisiert werden. Der Abstand der einzelnen Elementarstrahler liegt dabei in der Größenordnung einer Wellenlänge. Für die Berechnung des Feldes der Antennengruppe geht man von Bild 7.1 aus. Man betrachtet N Elementarstrahler, die jeweils von einem Strom mit der komplexen Amplitude I ν gespeist werden und sich im Abstand r ν von einem Aufpunkt P befinden. z I 1 r 1 P (r 0, 0, 0 ) r I r 0 r N 0 I N y x 0 Bild 7.1: Antennengruppe beliebiger Konfiguration 6

69 7.1 Berechnung des Gruppenfaktors 63 Die Felder der einzelnen Elementarstrahler überlagern sich im freien Raum vektoriell nach dem Prinzip der linearen Superposition. Die Feldstärke E P im Aufpunkt P (r 0, θ 0, ψ 0 ) ergibt sich daher durch vektorielle Addition der Einzelfeldstärken E ν der einzelnen Strahler zu: E P = N E ν (r ν, θ ν, ψ ν, I ν ). (7.1) ν=1 Unter den Voraussetzungen, daß alle verwendeten Einzelstrahler identisch sind, im Raum gleich orientiert sind und sich gegenseitig nicht beeinflussen, weisen sie alle dasselbe Richtdiagramm auf. Man kann dann die E ν gleichsetzen und schreiben: N E P = E (r ν, θ ν, ψ ν, I ν ) (7.) ν=1 Die abgestrahlte Feldstärke des Einzelelementes steigt linear mit der Amplitude des Speisestromes an, so daß gilt: E P = N ν=1 I ν E (rν, θ ν, ψ ν ), (7.3) wobei E die auf einen Einheitsspeisestrom bezogene Feldstärke darstellt. Betrachtet man nun den Fall, daß sich der Aufpunkt P im Fernfeld der Antennengruppe befindet, d.h. r 0 ist groß gegen die Ausdehnung der Anordnung, so kann die Feldstärke im Punkt P wie folgt dargestellt werden: E P = N ν=1 I ν E (θν, ψ ν ) e jβ 0 r ν r ν. (7.4) Im Fernfeld können die Koordinaten r ν, θ ν, ψ ν durch die entsprechenden Größen des Bezugskoordinatensystems r 0, θ 0, ψ 0 ersetzt werden (bis auf das Argument der komplexen e-funktion): E P = N ν=1 I ν E (θ 0, ψ 0 ) e jβ 0 r ν r 0. (7.5)

70 64 7 Antennengruppen Zieht man alle Größen, die nicht von ν abhängig sind, vor das Summenzeichen und führt man noch einen Bezugsstrom I 0 ein, so gilt: E P = E (θ 0, ψ 0 ) I 0 } {{ } F E e jβ 0 r 0 } r 0 {{ } F A N I ν e jβ 0 ( r ν r 0 ) I ν=1 0 }{{} F Gr. (7.6) Die Feldstärke am Ort P setzt sich somit aus 3 Faktoren zusammen: Der Elementfaktor F E wird durch die Richtcharakteristik der verwendeten Einzelstrahler (Dipol, Horn, Patch etc.) bestimmt. Der Abstandsfaktor F A repräsentiert die Freiraumausbreitung, hat aber keinen Einfluß auf die Richtcharakteristik der Gesamtanordnung. Im verbleibenden Gruppenfaktor F Gr sind nur noch die geometrische Anordnung der Antennenelemente und die Stärke von deren Anregung enthalten. Der Gruppenfaktor ist unabhängig von der Art der verwendeten Einzelstrahler. Für sich allein betrachtet beschreibt er die Richtcharakteristik, die eine Anordnung von isotropen Kugelstrahlern erzeugen würde: F Gr = N ν=1 I ν I 0 e jβ 0 (r ν r 0 ). (7.7) 7. Lineare Antennengruppen Für die Anordnung von Einzelelementen im Raum gibt es verschiedene Möglichkeiten, wobei die einfachste wohl darin besteht, die Einzelstrahler längs einer Linie aufzureihen. Man spricht dann von einem linearen Array bzw. einer linearen Antennengruppe. In Bild 7. sind einige Möglichkeiten der Anordnung im Raum am Beispiel von Dipolen dargestellt. Je nach Anordnung der linearen Antennengruppe bezüglich des Koordinatensystems spricht man in Anlehnung an die Matrizenrechnung auch von Antennenspalten bzw. Antennenzeilen. Mit ihnen ist es möglich, aus einfachen Elementen Antennen mit hohem Gewinn herzustellen.

71 7. Lineare Antennengruppen 65 =0 =0 =0 =0 =0 a) b) c) d) e) Bild 7.: Verschiedene Möglichkeiten der Anordnung von Dipolen in Zeilen und Spalten Wie im vorherigen Kapitel gezeigt, wird das Richtdiagramm durch den Elementfaktor und den Gruppenfaktor bestimmt, die unter den gemachten Voraussetzungen unabhängig voneinander sind. Der Elementfaktor bestimmt die Form der Einhüllenden des Richtdiagramms der Gesamtanordnung. Je nach Ausrichtung der Einzelstrahler ist eine Hauptstrahlrichtung in Ausdehnungsrichtung wie z.b. in Bild 7.a, c, d oder senkrecht dazu wie in Bild 7.b, e möglich. Durch Ansteuerung der Einzelelemente mit unterschiedlichen Strömen in Betrag und Phase kann der Gruppenfaktor und damit das Richtdiagramm der Gesamtanordnung in der gewünschten Weise beeinflußt werden. Durch Steuerung der Phasenbelegung ist eine Schwenkung der Hauptstrahlrichtung der Antennengruppe möglich. Man spricht in diesem Fall von einem Phased Array, d.h. einer phasengesteuerten Antenne. Im folgenden soll nun die Berechnung des Gruppenfaktors für eine lineare Antennengruppe dargestellt werden. Die Herleitung soll für eine in x-richtung ausgedehnte Antennengruppe erfolgen. Für in y-oder z-richtung ausgedehnte Antennengruppen ist die Herleitung analog. Für die Antennengruppe gelten die nachstehenden Voraussetzungen: gleiche Antennenelemente, gleicher Betrag des Speisestroms für alle Antennenelemente I ν = I 0,

72 66 7 Antennengruppen gleiche gegenseitige Phasenverschiebung I ν+1 I ν = e jϕ 0x, Ausdehnung in x-richtung mit gleichem gegenseitigen Abstand d x, keine gegenseitige Beeinflussung der Einzelstrahler. y P r 0 r 0 -r n -1 x x = 0 d x I 0 I 1 I I 3 I 4 I 5 I... 6 I n x - 1 Bild 7.3: Anordnung zur Berechnung des Gruppenfaktors Den Gruppenfaktor für die Anordnung in Bild 7.3 erhält man zu: F Gr = n x 1 ν=0 e j ν ϕ 0x e jβ 0 ( r ν r 0 ). (7.8) Der Gangunterschied zwischen dem ν-ten Element und dem Element im Koordinatenursprung beträgt nach Bild 7.3 r ν r 0 = ν d x cos ψ sin θ. (7.9)

73 7. Lineare Antennengruppen 67 Eingesetzt in Gl. (7.8) erhält man: F Gr = = = n x 1 ν=0 n x 1 e j ν ϕ 0x e +jν β 0 d x cos ψ sin θ ν=0 n x 1 e +j ν(β 0 d x cos ψ sin θ ϕ 0x ) ( ) e +j (β 0 d x cos ψ sin θ ϕ 0x ) ν ν=0 = n x 1 ν=0 ( e +j δ ) ν (7.10) mit δ = β 0 d x cos ψ sin θ ϕ 0x = π λ d x cos ψ sin θ ϕ 0x. Für die Summe einer endlichen geometrischen Reihe gilt (für alle q): n 1 q ν ν=0 = 1 qn 1 q. (7.11) Angewandt auf Gl. (7.10) folgt: F Gr (δ) = 1 e+j n x δ = e+j δ nx 1 e +j δ = e+j nx e +j δ δ sin ( ) δ n x sin ( ). δ e +j δ e+j n x δ e j n x δ e +j δ e j δ = (7.1) Der Betrag des Gruppenfaktors errechnet sich somit zu F Grx (θ, ψ) = { sin nx { sin 1 ( π dx ( λ π dx cos ψ sin θ ϕ 0x )} λ cos ψ sin θ ϕ 0x )}. (7.13) Für in y- bzw. z-richtung ausgedehnte lineare Antennengruppen erhält man analog: ( π dy { )} sin FGry (θ, ψ) ny sin ψ sin θ ϕ λ 0y = { ( )} 1 π dy, (7.14) sin sin ψ sin θ ϕ λ 0y { sin nz ( π dz )} F Grz (θ, ψ) = cos θ ϕ λ 0z { sin 1 ( π dz )} cos θ ϕ λ 0z. (7.15) Stellvertretend soll hier der Gruppenfaktor einer in x-richtung ausgedehnten linearen Anordnung in der Horizontalebene (θ = 90 ) näher untersucht werden: F Grx (θ = 90, ψ) = { sin nx { sin 1 ( π dx ( λ π dx cos ψ ϕ 0x )} λ cos ψ ϕ 0x )}. (7.16)

74 68 7 Antennengruppen Hauptstrahlung Ein absolutes Maximum ψ Hm ergibt sich für den Gruppenfaktor, wenn Zähler und Nenner gleichzeitig gegen Null gehen, d.h. 1 ( π dx λ cos ψ Hm ϕ 0x ) = mπ mit m = 0, ±1, ±,... (7.17) Das erste Maximum ergibt sich für m = 0 (wenn 0 ϕ 0x π) ψ H0 = ± arccos ϕ 0x π dx λ (7.18) Für d x /λ 1 existieren weitere Hauptstrahlrichtungen für m 0, sogenannte grating lobes. Der Wert F Gr (ψ) wird an diesen Stellen gleich n x (n x = Zahl der Einzelstrahler) Nullstellen Nullstellen ψ 0m existieren dort wo der Zähler null, der Nenner jedoch ungleich null ist, d.h. n x ( π d x λ Die erste Nullstelle liegt bei ) cos ψ 0m ϕ 0x = mπ mit m = ±1, ±,... (7.19) m n x ganzzahlig. (7.0) ψ 01 = ± arccos π n x + ϕ 0x π dx λ. (7.1) Nebenstrahlungen Die Maxima der Nebenstrahlungen liegen ungefähr mittig zwischen zwei Nullstellen, d.h. bei ψ Nm = ± 1 [ arccos wobei m = ±1, ±,.... ( π m n x ) + ϕ 0x + arccos π d x λ ( π (m±1) n x )] + ϕ 0x, (7.) π d x λ

75 7. Lineare Antennengruppen 69 Gesamtgewinn von Antennengruppen Der Gruppenfaktor nimmt in Hauptstrahlrichtung den Wert n x an (n x = Zahl der Einzelstrahler ). Dies bedeutet, daß in dieser Richtung sich die Abstrahlung gegenüber den Einzelstrahlern um den Faktor n x erhöht. Wenn die Hauptstrahlrichtung des Einzelelements und der Antennengruppe übereinstimmen, so erhöht sich der Gewinn um G Gr = 10 log n x in db. (7.3) Der Gesamtgewinn ergibt sich somit aus dem Produkt des Gewinns der Einzelstrahler und des Gewinns des Gruppenfaktors G ges = 10 log (n x G E ) = 10 log G }{{ E + 10 log n } x. }{{} (7.4) Gewinn Einzelelement Gewinn Gruppenfaktor Jede Verdopplung der Anzahl der Elemente in einem Array bringt folglich zusätzliche 3 db Gewinn (Gruppenfaktor) Zahl der Elemente Gewinn des Gruppenfaktor in db Tabelle 7.1: Gewinn des Gruppenfaktors einer Antennengruppe Gruppencharakteristik Die Gruppencharakteristik erhält man durch die Normierung des Gruppenfaktors auf seinen Maximalwert: C Gr (θ, ψ) = F Gr (θ, ψ) = F Gr (θ, ψ). (7.5) F Gr (θ, ψ) max n x Die Gesamtcharakteristik der Gruppe ergibt sich aus der Multiplikation der Gruppen- und der Einzelelementcharakteristik für jede Richtung.

76 70 7 Antennengruppen z r 1 -r = d cos sin y 4 r 1 nach P nach P I 1 1 d d cos 3 r nach P I nach P x = 0 Bild 7.4: Phasenunterschied zweier Hertzscher Dipole 7..1 Zwei parallele Hertzsche Dipole Für den Spezialfall zweier paralleler Dipole nach Bild 7.4 vereinfacht sich Gl. (7.13) mit n x = zu ( sin π dx ) cos ψ sin θ ϕ λ 0x F Grx (θ, ψ) = { sin 1 ( π dx )} cos ψ sin θ ϕ λ 0x. (7.6) Die Gruppencharakteristik ergibt sich zu C Grx (θ, ψ) = 1 ( sin π dx ) cos ψ sin θ ϕ λ 0x { sin 1 ( π dx )} cos ψ sin θ ϕ λ 0x { ( )} = 1 π cos dx λ cos ψ sin θ ϕ 0x. (7.7) Berücksichtigt man nun noch den Elementfaktor für einen in z-richtung orientierten Hertzschen Dipol, so ergibt sich die Richtcharakteristik der Gesamtanordnung als das Produkt aus Einzelelementcharakteristik und Gruppencharakteristik: C ges (θ, ψ) = C E (θ, ψ) C Gr (θ, ψ) { ( = sin θ 1 π cos dx λ cos ψ sin θ ϕ 0x )}. (7.8)

77 7. Lineare Antennengruppen 71 Horizontaldiagramm Die dazugehörigen Richtdiagramme in der Horizontalebene (θ = 90 ) sind in Bild 7.5 bis 7.7 für verschiedene Abstände d x /λ und Phasenunterschiede ϕ 0x in der Draufsicht auf die Dipole dargestellt. Grundsätzlich kann eine achtförmige, horizontale Richtcharakteristik beispielsweise sowohl durch zwei Strahler in einem Abstand von λ/ und gleichphasiger Speisung (Bild 7.5 c) oder durch zwei Strahler im Abstand von λ/ und gegenphasiger Speisung (Bild 7.7 c) erreicht werden. Die Nullstellen haben in beiden Fällen verschiedene Richtungen und sind auch unterschiedlich scharf. Dies ergibt sich dadurch, daß bei einer Lage des Empfangsorts bei ψ = 0 geringe Abweichungen von dieser Winkellage kaum Änderungen der Weglängen zu den einzelnen Strahlerorten ergeben und damit auch kaum gegenseitige Phasenverschiebungen der beiden Empfangsfeldstärken. Die in dieser Richtung vorhandene resultierende Empfangsamplitude, Nullstelle bzw. Maximum bleibt daher auch bei kleinen Abweichungen von der Richtung erhalten, ist im Richtdiagramm also relativ breit. Lageschwankungen bei ψ = 90 bewirken ausgeprägte Wegdifferenzen und deutliche Änderungen der resultierenden Amplituden. Nullstellen bzw. Maxima bei ψ = 90 und ψ = 70 sind also stets schmäler als bei ψ = 0 oder ψ = 180. =0 d = /10 d = /4 d = / d = 3 /4 d = a) b) c) d) e) Bild 7.5: Horizontaldiagramm zweier gleichphasig gespeister Stabantennen (ϕ 0x = 0 )

78 7 7 Antennengruppen =0 d = /10 d = /4 d = / d = 3 /4 d = a) b) c) d) e) Bild 7.6: Horizontaldiagramm zweier Stabantennen. Speisestrom des rechten Strahlers eilt nach (ϕ 0x = 90 ) =0 d = /10 d = /4 d = / d = 3 /4 d = a) b) c) d) e) Bild 7.7: Horizontaldiagramm zweier Stabantennen mit gegenphasiger Speisung (ϕ 0x = 180 ) Vertikaldiagramm Die Überlagerung von Elementfaktor und Gruppenfaktor in der Vertikalebene ist für den Fall d x /λ = 0, 5 und ϕ 0x = 90 in Bild 7.8 anschaulich dargestellt. Bild 7.9 zeigt die perspektivische Kombination von Vertikaldiagramm und Horizontaldiagramm. Dipol vor einer leitenden Wand Um die Richtcharakteristik eines Dipols im Abstand d/ vor einer unendlich ausgedehnten leitenden Wand zu bestimmen, kann nach dem Spiegelungsprinzip die leitende Wand durch das Spiegelbild des Dipols ersetzt werden (Bild 7.10). Damit ist der Spezialfall des Dipols vor einer leitenden Wand auf den bereits untersuchten Fall von zwei gegenphasig gespeisten Dipolen mit dem Abstand

79 7. Lineare Antennengruppen 73 =0 =90 1 =180 a) Elementfaktor b) Gruppenfaktor Multiplikation Achse =0 1 =90 c) Gesamtdiagramm Bild 7.8: Vertikaldiagramm zweier Dipole (d x /λ = 0, 5, ϕ 0x = 90 ) Achse =0 =0 =90 horizontal vertikal Bild 7.9: Perspektivische Kombination der Diagramme Bild 7.6b) (horizontal) und Bild 7.8c) (vertikal), d x /λ = 0, 5, ϕ 0x = 90

80 74 7 Antennengruppen Spiegelbild - q(t) z leitende Wand Dipol + q(t) i(t) d/ d/ i(t) y + q(t) x - q(t) leitende Wand = 90 d/ 0 = 0,7 0,5 0,5 maximale Strahlung für d/ 0 = 0,7 z y = 0 x E 1 E S elektrische Feldlinie des Dipols E elektrische Feldlinie des Spiegelbildes = 70 maximale Strahlung für d/ 0 = 0,7 a) vertikaler Schnitt durch die Anordnung b) Horizontaldiagramm (Draufsicht auf Dipole) Bild 7.10: a) Dipol vor leitender Wand, b) Horizontaldiagramm eines Dipols vor leitender Wand d zurückgeführt. Die Richtcharakteristik entspricht den in Bild 7.7 dargestellten Richtcharakteristiken mit dem Unterschied, daß bei Anwesenheit der Wand nur in den einen Halbraum abgestrahlt wird, da der andere von der leitenden Fläche abgeschirmt ist. Gl. (7.8) reduziert sich damit für θ = 90, ϕ 0x = 180 zu ( C(ψ) = sin π d ) x λ cos ψ. (7.9) 7.. Lineare Antennengruppen mit mehr als zwei Dipolen y Ebene =90 r z x d x Bild 7.11: Lineare Anordnung von 4 Hertzschen Dipolen Bild 7.11 zeigt eine lineare Anordnung von vier in x-richtung orientierten Hertz-

81 7. Lineare Antennengruppen 75 schen Dipolen. Bei festem Abstand d x /λ = 0, 6 zwischen den Einzelstrahlern ergeben sich die in Bild 7.1 dargestellten Richtdiagramme für verschiedene Phasenverschiebungen ϕ 0x zwischen den Erregerströmen der Einzelelemente. Mit zunehmender Phasenverschiebung neigt sich die Hauptkeule immer stärker in Richtung der in der Phase nacheilenden Dipole. Die zugrundeliegende Formel ergibt sich aus Gl. (7.13) und Gl. (7.5) folgt für θ = 90 und d x /λ = 0, 6 für die Richtcharakteristik C(θ = 90, ψ) = sin ψ }{{} Elementfaktor = sin ψ FGr(θ, ψ) = n }{{ x } (7.30) Gruppenfaktor sin{ (1, π cos ψ ϕ 0x )} 4 sin{ 1 (1, π cos ψ ϕ 0x)} (7.31) In Bild 7.1 werden alle Dipole mit derselben Amplitude bei festem Abstand gespeist und nur die Phase zwischen den Elementen geändert (dabei eilen die Elemente in wachsender x-richtung in der Phase nach). In Bild 7.13 sieht man dagegen, daß bei fester Phaseneinstellung aber variablen Abständen für d x /λ > 1 grating lobes (vgl. S. 68) auftreten. Das Diagramm des Gruppenfaktors zeigt mehrere Hauptstrahlrichtungen, und zwar um so mehr je größer der Abstand d x /λ wird. Bild 7.13 zeigt die Horizontaldiagramme der Anordnung in Bild 7.11 für d x /λ zwischen 0,5 und und ϕ 0x = Stetig verteilte Dipole auf einer Geraden Wenn man in einem linearen Dipolarray den Abstand der Elemente stetig verkleinert und jedem Dipolelement einen infinitesimalen Strom zuschreibt, so erhält man eine dichte Zeile aus infinitesimal kleinen Einzelstrahlern, wie sie in Bild 7.14 dargestellt ist. Dieser Grenzfall kann zur Untersuchung des prinzipiellen Verhaltens von großen Arrays mit diskreten Einzelstrahlern verwendet werden. Der infinitesimale Strom di in den stetig verteilten Einzelstrahlern ist abhängig von der Strombelegungsfunktion J F (x): di = J F (x) dx. (7.3)

82 76 7 Antennengruppen Gruppenfaktor y y Elementfaktor x x a) Gesamtdiagramm Gruppenfaktor y y Elementfaktor x x b) Gesamtdiagramm Bild 7.1: Horizontaldiagramm für eine Dipolzeile aus 4 Dipolen bei konstantem Elementabstand d x /λ = 0, 6 und Variation der Phasenbelegung a) ϕ 0x = 0 b) ϕ 0x = 90 Der Gruppenfaktor der Anordnung ergibt sich als Grenzfall von Gl. (7.7), wobei hier die Summation in ein Integral übergeht: F Gr = J F (x) e jβ 0(r(x) r 0 ) dx = J F (x) e jβ 0 r(x) dx. (7.33) Der Gangunterschied r ergibt sich aus Bild 7.14 zu r (x) = r (x) r 0 = x cos ψ sin θ. (7.34)

83 7. Lineare Antennengruppen 77 y y x x a) b) y y x x c) d) Bild 7.13: Gruppenfaktor für eine Antennenzeile aus 4 Elementen mit homogener Phasenbelegung ϕ 0x = 0 bei Variation des Elementabstands a) d x /λ = 0, 5; b) d x /λ = 1; c) d x /λ = 1, 5; d) d x /λ = Daraus folgt für den Gruppenfaktor F Gr (θ, ψ) = J F (x) e jβ 0 x cos ψ sin θ dx = J F (x) e jβ x x dx mit β x = β 0 cos ψ sin θ. (7.35) Gl. (7.35) entspricht ihrer Form nach genau dem Fourierintegral, wobei x und β x die einander zugeordneten Größen im Urbild und Bildbereich darstellen. Gl. (7.35) sagt aus, daß die Fouriertransformierte der Strombelegung J F (x) den Gruppenfaktor der Anordnung darstellt. Mit Hilfe dieser Gleichung kann nun auf

84 78 7 Antennengruppen y r 0 r(x) r - a/ + a/ x Bild 7.14: Gerade mit stetig verteilten Einzelstrahlern einfache Weise der Gruppenfaktor für jede beliebige Stromverteilung bestimmt werden Homogene Strombelegung Im einfachsten Fall ist die Strombelegungsfunktion J F (x) von a/ bis +a/ konstant. Mit Gl. (7.35) ergibt sich F Gr (θ, ψ) = J F 0 für a J F (x) = x a 0 sonst a a = J F 0 j β x J F (x) e jβx x dx = J ( ) F 0 e jβ x x j β x ( a a e jβ x e jβ x. (7.36) a a ) = J F 0 a sin ( β x a β x a ) (7.37). (7.38) Die Richtcharakteristik ergibt sich zu ( ) ( sin a βx sin π a C Gr (θ, ψ) = λ a βx = cos ψ sin θ) cos ψ sin θ Hier wurde die Hilfsgröße π a λ ξ = π a λ cos ψ sin θ = β x a = sin ξ ξ. (7.39) (7.40)

85 7. Lineare Antennengruppen 79 I F (x) I F0 F Gr ( x ) I F0 a - a/ a/ x 0-4 a - a 0 4 x a a Bild 7.15: Strombelegungsfunktion J F (x) Gruppenfaktor F Gr (β x ) eingeführt, die auch im folgenden verwendet wird. Strombelegung und Gruppenfaktor F Gr sind in Bild 7.15 dargestellt. In der Horizontalebene ergibt sich mit θ = 90 : ( sin π a λ C H (ψ) = cos ψ) cos ψ π a λ. (7.41) Die Halbwertsbreite ergibt sich als Winkelabstand zwischen den Richtungen ψ HL1 und ψ HL, an denen die Leistungsdichte gerade die Hälfte der maximalen Leistungsdichte ist. Mit folgt aus Gl. (7.41): sin ξ ξ = 1 ξ ±1, 391 (7.4) cos ( ψ HL1/ ) = ±0, 449 λ a ˆ= ± 5, 5 λ a. (7.43) Die Hauptstrahlung ist bei der vorliegenden Anordnung in die Richtung ψ H = 90 gerichtet und die Richtungen halber Leistungsdichte sind symmetrisch um ψ H = 90. Damit kann man die Halbwertsbreite ψ HB ermitteln zu: ψ HB = 51 λ a. (7.44) Die Hauptkeule wird mit größer werdendem Verhältnis von λ/a immer breiter. Die erste Nullstelle ψ 01 ergibt sich für ξ = ±π. Daraus folgt π a λ cos ψ 01 = ± π cos ψ 01 = ± λ a. (7.45) Aus Gl. (7.45) wird ersichtlich, daß Nullstellen nur für λ a auftreten. Für λ > a besitzt das Richtdiagramm des Gruppenfaktors sonst nur eine Hauptkeule. Die Nebenstrahlungen liegen in guter Näherung mittig zwischen den Nullstellen und lassen sich ermitteln aus ( ξ = ± n + 1 ) π n = 1,, 3,.... (7.46)

86 80 7 Antennengruppen Das Maximum der n-ten Nebenstrahlung hat den Wert: C Gr (ψ) = 1 ( ). (7.47) n + 1 π Die erste Nebenstrahlung hat bei der angenommenen konstanten Strombelegung immer eine Größe von circa 1% bezogen auf die Hauptstrahlung. Dies entspricht einer Absenkung um 13, db(vgl. Bild 6.4 in Abschnitt 6..1 für den Verlauf von sin ξ/ξ). Die in diesem Kapitel diskutierte Antenne mit homogener Strombelegung kann in guter Näherung auch für diskrete gleicherregte Einzelstrahler angesetzt werden. Das übersichtliche theoretische Ergebnis erlaubt eine schnelle Berechnung der wichtigsten Antennendaten. In Bild 7.16 sind für 3 verschiedene Werte von a/λ die Richtdiagramme des Gruppenfaktors aufgetragen Verminderung der Randstrahlung durch inhomogene Belegung In der Praxis sind Nebenstrahlungen mit 1% Feldstärke oft nicht zulässig. Eine Methode zur Reduzierung der Nebenstrahlung ist eine zum Rand der Anordnung hin abfallende Amplitudenbelegung. Ein erster Ansatz hierzu ist eine cosinusförmige Belegung. J F 0 cos ( ) πx für a a J F (x) = x a 0 sonst Der Gruppenfaktor ergibt sich damit zu: F Gr (θ, ψ) = a/ a/ J F 0 cos ( π x ) a. (7.48) e jβ x x dx (7.49) ( π a ) ( ) cos a βx = J F 0 ( π ) ( ) a mit β x = β 0 cos ψ sin θ. (7.50) βx In Bild 7.17 ist der Vergleich des Gruppenfaktors zwischen homogener und cosinusförmiger Belegung gezeigt. Durch die verminderte Randstrahlung geht das Maximum der ersten Nebenstrahlung auf 8% im Vergleich zu 1% zurück. Da jedoch die Randstrahlung geringer ist, wird die Hauptstrahlung breiter.

87 7. Lineare Antennengruppen 81 a = = 90 a = = 90 = 180 = 0 Nullrichtung 01 Nullrichtung 01 a) HB HB = 180 Nullrichtung 0 b) Nullrichtung 01 Nebenstrahlung N1 HB HB Nullrichtung 01 Nebenstrahlung N1 = 0 Nullrichtung 0 Nebenstrahlung N1 Nullrichtung 0 a = 3 Nullrichtung 01 = 90 HB Nullrichtung 01 Nullrichtung 0 Nebenstrahlung N1 c) Nebenstrahlung N = 180 Nullrichtung 03 Nebenstrahlung N = 0 Nullrichtung 03 Bild 7.16: Horizontaldiagramme des Gruppenfaktors einer Zeile aus infinitesimalen Einzelstrahlern mit konstanter Strombelegung

88 8 7 Antennengruppen 1,0 Hauptstrahlung 0,7 0,5 Halbwertsbreite erste Nullrichtung erste Nebenstrahlung zweite Nullrichtung zweite Nebenstrahlung 0, ,1 x a Bild 7.17: Gruppenfaktoren für konstante Belegung (gestrichelt) und cosinusförmige Belegung (durchgezogen) Schrägstrahlung durch Phasenbelegung In Unterabschnitt hatten wir konstante Belegung, d.h. gleichen Betrag und Phase für alle infinitesimalen Einzelstrahler angenommen und daraus eine Hauptstrahlung orthogonal zur Ausrichtung der Strahler erhalten. Wie bei diskret verteilten Einzelstrahler kann man jedoch auch hier die Phase variieren. Der einfachste Fall ist eine stetige Änderung der Phase. ) (jπ J F 0 e x x0 für a J F (x) = x a 0 sonst. (7.51) Im Gruppenfaktor wirkt sich dies als eine Winkeldrehung der Hauptstrahlung aus. F Gr (θ, ψ) = = (( sin β x + π ( sin x 0 ) x 0 ) ) a β x + π a ( ) π a λ 0 cos ψ sin θ + π a x 0 π a λ 0 J F 0 a (7.5) cos ψ sin θ + π a x 0 J F 0 a. (7.53) Die Hauptstrahlrichtung in der Horizontalebene (θ = 90 ) liegt nun bei π a cos ψ H + π a = 0, (7.54) λ 0 x 0 cos ψ H = λ 0 x 0 (7.55) Hier gibt x 0 die Strecke im Array an, über der sich die Phasenbelegung gerade um π ändert (für große x 0 schwenkt man das Diagramm nur wenig). Bild 7.18 zeigt ein typisches Beispiel. Ein Beispiel von besonderem Interesse ist die Schräg-

89 7. Lineare Antennengruppen 83 = 90 maximale Strahlung Nullrichtung = 180 = 0 Nullrichtung Nullrichtung Bild 7.18: Schrägstrahlung einer Zeile aus stetig verteilten Elementarstrahlern, a = λ 0, x 0 = a = λ 0 strahlung in Richtung der Antennenzeile. Aus Gl. (7.55) ergibt sich für eine Hauptstrahlrichtung in +x- oder x-richtung: ψ H = 0 x 0 = λ 0, (7.56) ψ H = 180 x 0 = λ 0. Das Diagramm hat die Hauptstrahlung in Richtung der nacheilenden Phasen. Für den Gruppenfaktor der Längsstrahler folgt aus Gl.(7.5) und Gl.(7.56) ( ) π a sin λ 0 (cos ψ sin θ ± 1) F Gr (θ, ψ) = π a. (7.57) λ 0 (cos ψ sin θ ± 1) Die Phasen und Ströme sind beim Längsstrahler wie bei einer ebenen Welle verteilt, die mit Lichtgeschwindigkeit längs der Antenne läuft. In Bild 7.19 ist ein Beispiel gezeigt Antennenbelegung und Gruppenfaktor Die vorangegangenen Kapitel haben gezeigt, wie man sich auf einfache Weise mit Hilfe der Fouriertransformation einen Überblick über den Gruppenfaktor eines linearen Arrays beschaffen kann, wenn die Strombelegung bekannt ist. Mit Hilfe

90 84 7 Antennengruppen y Nullrichtung = 10 Nullrichtung = 90 Nullrichtung = 60 H = 180 HB HB = 0 x Bild 7.19: Dipolzeile als Längsstrahler, a = λ 0, x 0 = λ 0 der inversen Fouriertransformation kann man umgekehrt die erforderliche Strombelegung ermitteln, um ein gewünschtes Richtdiagramm zu erzeugen. In Tabelle 7. sind die Korrespondenzen häufig in der Praxis vorkommender Strombelegungen und Gruppenfaktoren dargestellt. Tabelle 7.3 gibt die dazugehörigen Werte für Halbwertsbreite, Nullwertsbreite, Nebenkeulendämpfung sowie Flächenwirkungsgrad an. Die für ein lineares Array hergeleitete Beziehung (Gl.(7.35)) kann auf einfache Weise für planare oder räumliche Antennengruppen erweitert werden. Die durch die Fouriertransformation einander zugeordneten Größen in Bildund Urbildbereich sind: x β x = β 0 cos ψ sin θ, y β y = β 0 sin ψ sin θ, z β z = β 0 cos θ. (7.58) Einige Zusammenhänge sollen nun nochmals herausgestellt werden: eine hohe Randstrahlung führt zu großen Nebenmaxima, eine niedrige Randstrahlung zu niedrigen Nebenmaxima,

91 7. Lineare Antennengruppen 85 einer verbreiterten Hauptkeule, einem verringerten Gewinn und einem verringerten Flächenwirkungsgrad. eine lineare Phasenbelegung schwenkt die Hauptkeule in Richtung der nacheilenden Phasen. Belegungsfunktion J F (p) = J F 0 f(p) mit p = x a y a z a Strahlungsfunktion F Gr (u) = a J F 0 g(u) mit u = β x a β y a β z a 1 - a _ 0 p a_ konstante Belegung f(p) = 1 1 sin u g(u) = sp(u) = u 1 t t - a _ 0 a_ p 1 - a _ 0 a_ p 1 - a _ 0 a_ p a _ 0 p a_ - a _ 0 a_ p kreisförmige Belegung f(p) = 1 (1 δ)p cos-förmige Belegung mit Sockel f(p) = t + (1 t) cos ( π p) cos -förmige Belegung mit Sockel f(p) = t + (1 t) cos ( π p) = = 1+t + 1 t cos(πp) cos n -förmige Belegung f(p) = cos n ( π p) dreieckförmige Belegung f(p) = 1 p 1 d g(u) = sp(u) + (1 δ) sp(u) = du = sp(u) + (1 δ) ( u ) sin u u cos u u 3 g(u) = ( t + 4 (1 t)) sp(u)+ π + 1 t π ν=1 +sp(u νπ)) = = t sp(u) + 4 π ( 1) ν+1 (sp(u + νπ)+ (ν 1/4) (1 t) cos u 1 4u π g(u) = (1 + t)sp(u) + 1 t {sp(u + π) + sp(u π)} = = (1 + t)sp(u) (1 t) u sin u u π g(u) = n! n ν=1{(ν) 4u π }sp(u) für n = m g(u) = 4 n! cos u π n }sp(u) ν=0{(ν+1) 4u π für n = m + 1 (m = 0, 1... ) g(u) = sp ( ) u Tabelle 7.: Korrespondenzen: Antennenbelegung Gruppenfaktor, sp =Spaltfunktion

92 86 7 Antennengruppen Dämpfung Halbwertsbreite θ HB = θ HW Nullwertsbreite θ 0 der ersten Nebenkeulen Flächenausnutzung d n η F = A W F in db 0, 88λ/l ˆ=50, 5 λ/l λ/l ˆ=115 λ/l 13, 1 δ = 1 0, 88λ/l ˆ=50, 5 λ/l δ = 1 λ/l ˆ=115 λ/l δ = 1 13, δ = 1 1 0,8 0, 9λ/l ˆ=5, 5 λ/l 0,8, 1λ/l ˆ=11, 5 λ/l 0,8 15,8 0,8 0,994 0,5 0, 97λ/l ˆ=55, 5 λ/l 0,5, 8λ/l ˆ=130, 5 λ/l 0,5 17,1 0,5 0,97 0 1, 15λ/l ˆ=66 λ/l 0, 86λ/l ˆ=164 λ/l 0 0,6 0 0,833 t = 1 0, 88λ/l ˆ=50, 5 λ/l t = 1 λ/l ˆ= 115λ/l t = 1 13, t = 1 1 0,8 0, 91λ/l ˆ=5 λ/l 0,8, 1λ/l ˆ=10 λ/l 0,8 14 0,8 0,99 0,6 0, 94λ/l ˆ=54 λ/l 0,6, λ/l ˆ=17 λ/l 0,6 16 0,6 0,975 0,4 λ/l ˆ=57, 5 λ/l 0,4, 39λ/l ˆ=137 λ/l 0,4 18,6 0,4 0,95 0, 1, 08λ/l ˆ=6 λ/l 0,, 6λ/l ˆ=150 λ/l 0, 1,5 0, 0, , λ/l ˆ=68, 5 λ/l 0 3λ/l ˆ=17 λ/l ,81 t = 1 0, 88λ/l ˆ=50, 5 λ/l t = 1 λ/l ˆ=115 λ/l t = 1 13, t = 1 1 0,8 0, 9λ/l ˆ=5, 5 λ/l 0,8, 1λ/l ˆ=11, 5 λ/l 0,8 15, 0,8 0,99 0,6 0, 98λ/l ˆ=56 λ/l 0,6, 3λ/l ˆ=13 λ/l 0,6 18,7 0,6 0,97 0,4 1, 16λ/l ˆ=60, 5 λ/l 0,4, 51λ/l ˆ=144 λ/l 0,4 4,3 0,4 0,94 0, 1, 18λ/l ˆ=67, 5 λ/l 0, 3, 36λ/l ˆ=187 λ/l 0, 30,3 0, 0, , 45λ/l ˆ=83 λ/l 0 4λ/l ˆ=9 λ/l ,667 n = 0 0, 88λ/l ˆ=50, 5 λ/l n = 0 λ/l ˆ=115 λ/l n = 0 13, n = , λ/l ˆ=68, 5 λ/l 1 3λ/l ˆ=17 λ/l ,81 1, 45λ/l ˆ=83 λ/l 4λ/l ˆ=9 λ/l 3 0, , 66λ/l ˆ=95 λ/l 3 5λ/l ˆ=87 λ/l , , 93λ/l ˆ=110, 5 λ/l 4 6λ/l ˆ=344 λ/l ,515 1, 8λ/l ˆ=73 λ/l 4λ/l ˆ=9 λ/l 6,4 0,75 Tabelle 7.3: Kenngrößen der Strahlungsdiagramme nach Tabelle 7.

93 7.3 Ebene Antennengruppen Ebene Antennengruppen Bisher wurden ausschließlich Antennenelemente in linearer Anordnung, d.h. Zeilen bzw Spalten betrachtet. Im folgenden wollen wir nun lineare Antennengruppen zu ebenen Antennengruppen kombinieren. Aus unseren früheren Überlegungen wissen wir, daß gleichgerichtete Felder linear superponiert werden können. Aus diesem Wissen heraus können wir feststellen, daß sich für ebene Antennengruppen der Gruppenfaktor als Produkt der zugehörigen Spalten- und Zeilenfaktoren ergeben muß. Ein Beispiel soll uns dies verdeutlichen. Wir geben uns eine ebene Antennengruppe gemäß Bild 7.0 vor. Es gelten wieder die Voraussetzungen, daß es sich um y (n x -1,n y -1) r d y (, ) r 0 nach P x d x z Bild 7.0: Ebene Antennengruppe gleiche, gleichorientierte Antennenelemente handelt, die sich gegenseitig nicht beeinflussen.

94 88 7 Antennengruppen Die Abstände der Elemente in x- und y-richtung von einander sind jeweils d x bzw. d y. Für einen Aufpunkt im Fernfeld laufen alle von den Antennenelementen ausgehenden Vektoren parallel. Der Gangunterschied zwischen Einzelelement und Koordinatenursprung ergibt sich zu: r = r νµ r 0 = ν d x cos ψ sin θ µ d y sin ψ sin θ. (7.59) Für die Erregerströme der einzelnen Elemente gelte Damit erhält man für den Gruppenfaktor F Gr (θ, ψ) = = n x 1 ν=0 n x 1 ν=0 n y 1 µ=0 I νµ = I 0 e j(ν ϕ 0x+µϕ 0y ). (7.60) e j(ν ϕ 0x+µϕ 0y ) e j(ν d xβ 0 cos ψ sin θ+µd y β 0 sin ψ sin θ) e jν(β 0 d x cos ψ sin θ ϕ 0x) = F Grx (θ, ψ) }{{} Zeilen-Gruppenfaktor n y 1 µ=0 F Gry (θ, ψ) }{{} Spalten-Gruppenfaktor e jµ(β 0 d y sin ψ sin θ ϕ 0y ). (7.61) Für F Grx und F Gry können Gl. (7.13) und Gl. (7.14) eingesetzt werden, so daß sich für den Gruppenfaktor der Gesamtanordnung ergibt: { )} n sin x cos ψ sin θ ϕ 0x F Gr (θ, ψ) = sin sin sin { 1 ( π d x λ 0 ( π d x { ( ny π dy λ 0 { 1 λ 0 cos ψ sin θ ϕ 0x )} (7.6) )} sin ψ sin θ ϕ 0y ( )} π dy. (7.63) λ 0 sin ψ sin θ ϕ 0y Ein praktisches Beispiel für eine solche ebene Antennengruppe zeigt Bild 7.1. Dargestellt ist die Draufsicht auf eine Streifenleitungsantenne, bei der die Einzelstrahler aus rechteckigen Kupferpatches bestehen, die auf einem dielektrischen Substrat mit rückwärtiger Massemetallisierung aufgebracht sind. Der Abstand d zwischen den Einzelstrahlern beträgt hier 0.85λ 0 (λ 0 = Freiraumwellenlänge). Das dazugehörige berechnete Richtdiagramm für den Fall, daß alle Elemente über das Speisenetzwerk mit dem gleichen Strom nach Betrag und Phase gespeist werden, zeigt Bild 7.. Das Richtdiagramm ist dabei in logarithmischem Maßstab dargestellt. Die 1. Nebenkeule liegt für diese homogene Strombelegung 13, dbunter der Hauptkeule.

95 7.3 Ebene Antennengruppen 89 d Bild 7.1: 4 4-Patcharray, d = 0, 85λ 0 Bild 7.: Richtdiagramm für ein 4 4-Patcharray in logarithmischem Maßstab

96 8 Aperturantennen (Flächenstrahler) Im Kapitel 7 wurden lineare Antennen mit diskreten Elementen und mit stetig verteilten Strahlungsquellen untersucht. Der Übergang von diesen zu Flächenstrahlern ist nur ein kleiner Schritt, in der mathematischen Behandlung kann er jedoch größere Schwierigkeiten bereiten. z r P r 0 r A ' y ' x Bild 8.1: Allgemeine Darstellung eines Flächenstrahlers Als Flächenstrahler definiert man zweidimensionale Quellen, deren Ausdehnung klein gegen den Abstand zu einem Punkt P im Fernfeld ist. In Bild 8.1 ist der allgemeine Fall eines Flächenstrahlers dargestellt. Das Koordinatensystem ist in die Fläche gelegt, welche sich in der y-z-ebene befindet. Der Abstand eines Aufpunktes in der Fläche vom Ursprung sei durch den Vektor r A gegeben. Größen in der Aperturebene werden hierbei mit einem Strich gekennzeichnet. Wie im vorangegangenen Kapitel definieren wir die Entstehung des Fernfeldes aus infinitesimalen Hertzschen Dipolen in der strahlenden Fläche, die ih- 90

97 91 re Ursache in einer Flächenstromdichte J F (y, z ) haben. Im folgenden wird die Feldstärke im Fernfeld durch die vektorielle Superposition der von den einzelnen infinitesimalen Dipolen erzeugten Felder berechnet. Um die Behandlung überschaubar zu halten, werden folgende Einschränkungen eingeführt: 1. Der Flächenstrom ist nach z gerichtet,. Die Ausdehnung der Flächenantenne ist klein, d.h. r A max r. Der infinitesimale Strom auf einer Apertur ist durch di = J F (y, z ) dy dz (8.1) gegeben. Das daraus resultierende Fernfeld im Kugelkoordinatensystem ergibt sich für einen Hertzschen Dipol in z-richtung nach Gl. (5.4a) mit Gl. (.3) zu de θ = j Z F 0 rλ 0 J F (y, z ) e jβ 0r sin θdy dz, (8.) womit man für die Summenfeldstärke, für die über die gesamte Fläche A zu integrieren ist, folgenden Ausdruck erhält: E θs = j Z F 0 sin θ rλ 0 A J F (y, z ) e jβ 0r dy dz. (8.3) Aufgrund der Bedingungen 1. und. (Fernfeldnäherung) können wir setzen r 0 = r 0 r, (8.4) r = r 0 r, wobei r der Gangunterschied eines beliebigen infinitesimalen Dipols zum Dipol im Koordinatenursprung ist. r beeinflußt die Phase, r 0 den Abstandsfaktor, wie bereits bei der Berechnung von linearen Antennen in Abschnitt 6.1 gezeigt wurde. Aus der Geometrie in Bild 8.1 ergibt sich r unter Berücksichtigung der Bedingungen 1. und. zu Aus Gl. (8.3) folgt somit E θs = j Z F r 0 λ 0 e jβ 0r 0 sin θ r = y sin ψ sin θ + z cos θ. (8.5) A J F (y, z ) e +jβ 0(y sin ψ sin θ+z cos θ) dy dz. (8.6)

98 9 8 Aperturantennen (Flächenstrahler) Diese Gleichung ist allgemein (Fernfeld) gültig für alle Aperturantennen, bei denen der Flächenstrom in z-richtung fließt, d.h. für vertikal polarisierte Antennen. Bei horizontaler Polarisation sind der Rechengang und das Ergebnis analog bei sinngemäßer Vertauschung aller stromrichtungsbezogener Parameter. Zirkular polarisiert erregte Antennen können in ihre orthogonalen Erregungen zerlegt werden, die Richtcharakteristik ist bis auf den Elementfaktor identisch zu der, die wir aus Gl. (8.6) erhalten. In der Praxis werden fast ausschließlich Horizontal- und Vertikaldiagramme ermittelt. Hierfür ist es sinnvoll, Gl. (8.6) in getrennt auswertbare Faktoren zu zerlegen. E θs = j Z F r 0 λ 0 e jβ 0r 0 sin θ A e jβ 0(y sin ψ sin θ) J F (y, z ) e jβ 0(z cos θ) dy dz. (8.7) }{{} Horizontaldiagramm } {{ } Vertikaldiagramm 8.1 Übersicht über technische Formen von Aperturantennen Im Laufe der Jahre haben sich verschiedene Formen von Aperturantennen entwickelt, die grob in die folgenden Gruppen eingeteilt werden können: Hornantennen, Reflektorantennen, Linsenantennen, Dielektrische Antennen. Allen Aperturantennen ist gemein, daß durch ihre Geometrie im Nahfeld eine ebene Phasenfront erzielt wird, welche die Richtung der Hauptstrahlung bestimmt (Bild 8.). Durch die Stromverteilung auf der Antenne (Belegung) wird die Form der Richtcharakteristik in der angestrebten Weise beeinflußt. Die Berechnung von Richtcharakteristik und Gewinn für die wichtigsten Aperturformen und Belegungen ist in den folgenden Kapiteln dargestellt. Eine allgemeine Übersicht bietet Tabelle 8.1.

99 8.1 Übersicht über technische Formen von Aperturantennen 93 Unterdrückung Art der Belegung Relativer Gewinn Halbwertsbreite (in ) des ersten Nebenmaximums (in db) Homogen; A(z) = λ 0 /a 13, Cosinus; A(z) = cos n (πz/): n=0 1 51λ 0 /a 13, n=1 0,810 69λ 0 /a 3 n= 0,667 83λ 0 /a 3 n=3 0,575 95λ 0 /a 40 n=4 0, λ 0 /a 48 Parabolisch; A(z) = 1 (1 )z : = 1, λ 0 /a 13, = 0, 8 0,994 53λ 0 /a 15,8 = 0, 5 0,970 56λ 0 /a 17,1 = 0 0,833 66λ 0 /a 0,6 Triangular; A(z) = 1 z 0,75 73λ 0 /a 6,4 Circular; A(z) = 1 z 0,865 58,5λ 0 /a 17,6 Tabelle 8.1: Merkmale des Richtdiagramms als Funktion der Belegung

100 94 8 Aperturantennen (Flächenstrahler) a H 10 - Welle = b Rechteckhohlleiter Rundhohlleiter H 11 - Welle = D g D Parabolic Surface Vertex or opex Focus Wavefront Bearn axis Dipole Parasitic reflector Parabolic Surface Parabola Hyperbola Parabola Feed Hyperbolic subreflector F Real focal point Virtual focal polar Feed Bild 8.: Erzeugung ebener Phasenfronten 8. Rechteckige Aperturantenne Die einfachste Form einer Aperturantenne ist die Rechteckantenne mit konstanter Belegung, die Bild 8.3 zeigt. Für eine homogene Stromverteilung di = J F 0 dy dz mit J F 0 f (y, z ) (8.8)

101 8. Rechteckige Aperturantenne 95 b z y b a a Bild 8.3: Rechteckige Aperturantenne ergibt sich E θs = j Z F J F 0 r 0 λ 0 e jβ 0r 0 sin θ sin = Kab ( πa λ 0 sin ψ sin θ πa λ 0 sin ψ sin θ y =a/ y = a/ ) sin e jβ 0y sin ψ sin θ dy ( ) πb λ 0 cos θ πb λ 0 cos θ und daraus der (Apertur-)Gruppenfaktor zu sin θ z = b/ z = b/ e jβ 0z cos θ dz (8.9a) (8.9b) F GR (ζ a, ζ b ) = ζ a = πa λ sin ζ a ζ }{{ a } Horizontaldiagramm sin ψ sin θ sin ζ b, ζ }{{ b } Vertikaldiagramm (8.10) ζ b = πb sin ψ sin θ λ Eine rechteckige Aperturantenne liefert als Richtdiagramm das Produkt zweier Spaltfunktionen. In Bild 8.4 ist F Gr (ζ a, ζ b ) perspektivisch dargestellt, Bild 8.5 zeigt die Verteilung der Orte gleicher Feldstärke. Die Richtcharakteristik für die Dipolausrichtung in z-richtung ergibt sich zu C (ψ, θ) = F Gr (ζ a, ζ b ) sin θ = sin ζ a sin ζ b ζ a ζ b sin θ. (8.11) Für eine Dipolausrichtung in x- oder y-richtung ist der Elementfaktor richtig zu wählen. Die charakteristischen Merkmale des Antennendiagramms werden wie

102 96 8 Aperturantennen (Flächenstrahler) bei der Dipolzeile bzw. -spalte berechnet, d.h. für und für ψ HW = arcsin (0, 44λ 0 /a) ψ HB 51 λ 0 a, θ HW = arcsin (0, 44λ 0 /b) θ HB 51 λ 0 b. (8.1a) (8.1b) b a Bild 8.4: Gruppenrichtcharakteristik einer quadratischen Aperturantenne mit konstanter Belegung Der Gewinn einer verlustlosen Antenne errechnet sich gemäß Definition zu G i = S max S K = π π ψ=0 θ=0 4π. (8.13) C (ψ, θ) sin θ dθdψ Die direkte Berechnung des Integrals ist schwierig. Für den Fall, daß a/λ 0 1 ist, sinkt FGr (ψ, θ) mit wachsendem ψ und θ so stark ab, daß bei einer einfacher durchzuführenden Integration für ψ und θ von bis + folgt: + sin ζ ζ dζ = π. (8.14) Damit ergibt sich G i = ab 4π. (8.15) λ 0 Die Wirkfläche A W errechnet sich aus dem Gewinn G i zu A w = λ 0 4π G i = ab. (8.16)

103 8.3 Kreisförmige Aperturantenne 97 b a Bild 8.5: Höhenlinien der Intensitätsverteilung einer quadratischen Apertur (Niveaustufung 5 db) Sie ist aufgrund der homogenen Belegung identisch mit der physikalischen Fläche unter den weiteren Bedingungen, daß a/λ 0 1 und die Phasenfront eben und parallel zur Fläche ist. 8.3 Kreisförmige Aperturantenne Für die Berechnung der Richtcharakteristik setzt man bei der kreisförmigen Aperturantenne wie bei der rechteckigen eine ebene Phasenfront voraus. Diese ebene Phasenfront wird bei kreisförmigen Aperturantennen wie in der Optik erzeugt. In Bild 8.6 ist das Prinzip für eine parabolische Reflektorantenne dargestellt. Ein Strahler im Brennpunkt des Rotationsparaboloids sendet eine Kugelwelle aus, welche bei der Reflexion am Paraboloid in eine Welle mit ebener Phasenfront transformiert wird. Diese Wirkung des Parabolspiegels beruht darauf, daß die

104 98 8 Aperturantennen (Flächenstrahler) d 1 d z f f Bild 8.6: Phasenfronten bei der parabolischen Reflektorantenne Abstände d 1 und d in Bild 8.6 gleich groß sind. Ersetzt man den parabolischen Reflektor nun durch eine gedachte Fläche, so kann man eine von links kommende ebene Welle der Kugelwelle so überlagern, daß die tangentiale elektrische Feldkomponente auf der gesamten Fläche verschwindet. Eine derartige Feldverteilung erfüllt jedoch auch die Randbedingungen bei vorhandenem metallischen Reflektor und ist eindeutig. Für die folgenden Berechnungen geht man von einer ebenen Phasenfront der kreisförmigen Aperturantenne aus und nimmt weiter die Belegung als konstant an. Der Gruppenfaktor und das Richtdiagramm werden für das Fernfeld berechnet, d.h. die Apertur ist klein gegen den Fernfeldvektor. Für die kreisförmige Apertur ist es sinnvoll, in der Antennenebene Polarkoordinaten einzuführen. Die Antennenebene wird, wie in der Literatur üblich, in die x-y- Ebene gelegt, Bild 8.7 zeigt die Anordnung. Die in der Aperturebene verwendeten Größen werden durch einen Strich gekennzeichnet. Für die Aufpunkte in der Apertur gilt x = ρ cos ψ, y = ρ sin ψ, z = 0. (8.17) Die Antenne sei durch die konstante Flächenstromdichte J F 0 erregt, woraus sich

105 8.3 Kreisförmige Aperturantenne 99 z r 0 r P R y x Bild 8.7: Koordinatensystem zur Berechnung kreisförmiger Aperturantennen der infinitesimale Strom di = J F 0 ρ dρ dψ (8.18) ergibt. Der Gangunterschied r, der von den einzelnen infinitesimalen Dipolen herrührenden E-Feldanteile, bestimmt sich mit Bild 8.7 zu ( π ) sin Φ = cos (Φ) = r r = ρ cos (Φ). ρ Der Winkel Φ soll nun mittels zirkular zylindrischer Koordinaten und Kugelkoordinaten beschrieben werden. Um diese Darstellung zu erhalten, bedient man sich der Definition des Skalarproduktes: ρ e ρ e r = ρ cos (Φ) e ρ e r = ρ cos (Φ) = (x e x + y e y ) (sin (θ) cos (ψ) e x + sin (θ) sin (ψ) e y + e z cos (θ)) = x sin (θ) cos (ψ) + y sin (θ) sin (ψ) = ρ sin (θ) (cos (ψ ) cos (ψ) + sin (ψ ) sin (ψ)) = ρ sin (θ) cos (ψ ψ ) = ρ cos (Φ) = r. (8.19) Nachdem nun das Koordinatensystem gewählt und der Gangunterschied mit Gl.(8.19) allgemein bestimmt ist, müssen die Beiträge der einzelnen infinitesimalen Dipole im Fernfeld am Punkt P bestimmt werden. Hierzu setzt man Dipole, die in der x-y- Ebene liegen, an. Die Fernfeldgleichungen können ganz analog zu Kapitel 4 hergeleitet werden, wobei nun das magnetische Vektorpotential in x- und in y- Richtung ( A = A x e x, A = A y e y ) angesetzt ist. Es ergeben sich folgende Gleichungen:

106 100 8 Aperturantennen (Flächenstrahler) Für eine Dipolausrichtung in x-richtung erhält man für die Felder de rx = 0, ωµ de θx = jdi x 4π de ψx = jdi x ωµ 4π (8.0a) e jβ0r cos (θ) cos (ψ), (8.0b) r e jβ0r sin (ψ), (8.0c) r dh rx = 0, (8.1a) β 0 dh θx = jdi x 4π β 0 dh ψx = jdi x 4π e jβ0r sin (ψ), (8.1b) r e jβ0r cos (θ) cos (ψ). (8.1c) r Für eine Dipolausrichtung in y-richtung erhält man für die Felder de ry = 0, ωµ de θy = jdi y 4π de ψy = jdi y ωµ 4π (8.a) e jβ0r cos (θ) sin (ψ), (8.b) r e jβ0r cos (ψ), (8.c) r dh ry = 0, (8.3a) β 0 dh θy = jdi y 4π β 0 dh ψy = jdi y 4π e jβ0r cos (ψ), (8.3b) r e jβ0r cos (θ) sin (ψ). (8.3c) r Die Berechnungen sollen im weiteren auf das elektrische Feld beschränkt bleiben, da im Fernfeld ein eindeutiger Zusammenhang über den Wellenwiderstand zwischen dem elektrischen und magnetischen Feld besteht. Um das Gesamtfeld am Punkt P zu berechnen, nutzen wir nun die Linearität der Maxwellgleichungen, d.h. wir addieren die einzelnen Feldbeiträge der Gln. (8.0a) (8.0c) vektoriell in Kugelkoordinaten mit den Gln. (8.a) (8.c). Die Stromdichte soll in kartesischer Form beibehalten werden. Es ergibt sich de r = de rx + de ry = 0, (8.4a) de θ = de θx + de θy = j ωµ e jβ0r ( ) cos (θ) cos (ψ) dix + sin (ψ) di 4π r y, (8.4b) de ψ = de ψx + de ψy = j ωµ e jβ 0r ( ) sin (ψ) dix cos (ψ) di 4π r y. (8.4c)

107 8.3 Kreisförmige Aperturantenne 101 Für den Fall, daß der Strom ausschließlich in x-richtung fließt und konstant ist, ergeben sich aus den Gln. (8.4a) (8.4c) die Gl. (8.5a) und (8.5b). E θ = j Z F 0 cos (θ) e jβ0r0 cos (ψ) I λ 0 r x e jβ0ρ sin(θ) cos(ψ ψ ) ρ dρ dψ, 0 ρ,ψ E ψ = j Z F 0 e jβ0r0 sin (ψ) I λ 0 r x e jβ0ρ sin(θ) cos(ψ ψ ) ρ dρ dψ, 0 ρ,ψ (8.5a) (8.5b) Das Integral in den Gln. (8.5a), (8.5b) läßt sich mit Hilfe der Besselfunktion darstellen J 0 (ζ) = 1 π π 0 e jζ cos(τ) dτ. (8.6) Mit den Substitutionen τ = ψ ψ und ζ = β 0 ρ sin θ erhält man für die Oberflächenintegrale, welche den Gruppenfaktor darstellen, aus den Gln. (8.5a), (8.5a) und aus der Gl.(8.6) F GR (θ) = ρ τ e jζ(ρ ) cos(τ) dτρ dρ = 1 β 0 sin (θ) R 0 J 0 (β 0 ρ sin (θ))β 0 ρ sin (θ) dρ. (8.7) Das verbleibende Integral läßt sich mit der allgemeinen Beziehung J 0 (ζ)ζdζ = ζj 1 (ζ) (8.8) lösen. Es ergibt sich mit Gl.(8.8) aus Gl.(8.7) für den Gruppenfaktor F GR (θ) = πβ 0R sin (θ) (β 0 sin (θ)) J 1 (β 0 R sin (θ)) = πr J 1 (β 0 R sin (θ)). (8.9) β 0 R sin (θ) Für das elektrische Feld gilt damit E θ = j Z F 0 λ 0 πr cos (θ) e jβ0r0 r 0 cos (ψ) I x E ψ = j Z F 0 λ 0 πr e jβ0r0 r 0 sin (ψ) I x J 1 (β 0 R sin (θ)), (8.30a) β 0 R sin (θ) J 1 (β 0 R sin (θ)). (8.30b) β 0 R sin (θ) Die magnetischen Feldkomponenten berechnen sich daraus zu H θ = E ψ Z F 0, H ψ = E θ Z F 0. (8.31) Zur Berechnung des Beitrages des Gruppenfaktors zur Richtcharakteristik betrachtet man die radialsymmetrische Spaltfunktion J 1 (ζ)/ζ. (8.3)

108 10 8 Aperturantennen (Flächenstrahler) Das Maximum liegt analog zur Rechteckapertur bei Die Bildung des Grenzüberganges führt auf θ = 0 (ζ = 0). (8.33) J 1 (ζ) lim ζ 0 ζ = 1. (8.34) Mit Gl.(8.9) und Gl.(8.34) läßt sich die Gruppenrichtcharakteristik bestimmen zu ) C GR (θ) = J 1 (ζ) ζ = J 1 (π R λ 0 sin (θ) π R λ 0 sin (θ). (8.35) Bild 8.8 zeigt einen Vergleich der Funktionen J 1 (ζ)/ζ und sin (ζ)/ζ. Bild 8.9 zeigt die Gruppenrichtcharakteristik in der Nähe der Hauptkeule. 1 1 J 1 ( ) sin 0, 0,13 4,49 1,39 1,616 3,83 5,136 7,0 3,141 6,8 Bild 8.8: Spaltfunktion und radialsymmetrische Spaltfunktion Für den einfachen Fall, daß die Aperturbelegung konstant ist, läßt sich der Richtfaktor, der bei verlustlosen Antennen gleich dem Gewinn ist, bestimmen zu G i = 4π R. (8.36) λ 0 Wie bei rechteckigen Aperturen wird auch bei kreisförmigen Aperturen mit konstanter Belegung die Wirkfläche A W gleich der geometrischen Fläche: A w = R π. (8.37)

109 8.3 Kreisförmige Aperturantenne R sin 10,17 7,0 3,83 3,83 7,0 10,17 R sin Bild 8.9: Ausschnitt aus der Gruppenrichtcharakteristik einer kreisförmigen Apertur mit dem Radius R λ 0 und konstanter Strombelegung (räumliche Skizze, Höhenlinien im Bereich 4 db db, etwa um 6 db abgestuft) Das Verhältnis R/λ 0 ist für die Richtcharakteristik und den Gewinn entscheidend, nicht jedoch für die Wirkfläche. Bei einer in Amplitude und Phase konstanten Strombelegung ist nach Gl. (8.6) unabhängig vom Verhältnis R/λ 0 der Wert der Richtcharakteristik der 1. Nebenstrahlung gleich 0,13 entsprechend 17, 6 db Nebenkeulendämpfung, d.h. für ( ) 5, 136 λ 0 θ N1 = arcsin. (8.38) π R Obwohl der Winkel θ N1, bei dem die erste Nebenstrahlung auftritt, vom Verhältnis λ 0 /R abhängig ist, erhält man für diesen Winkel θ N1 immer 0,13 als Wert der 1. Nebenstrahlung. An der Stelle ( ) 1, 616 λ 0 θ = arcsin π R (8.39) ist C HW = 1/. Für R λ 0 und D = R berechnet sich die Halbwertsbreite zu θ HB = 58, 8 λ 0 D. (8.40)

110 104 8 Aperturantennen (Flächenstrahler) Für Aperturbelegungen, welche zum Rand abfallen, läßt sich die Gruppenrichtcharakteristik für die Fälle ( ) ) ρ I F (ρ p ) = I F 0 (1 (8.41) R einfach ermitteln. Die Richtdiagramme gehorchen hierbei den Funktionen C (θ) J p+1 (ζ) ζ p+1 (8.4) mit ζ = π λ 0 R sin (θ). 8.4 Hornstrahler In den letzten Kapiteln ging man jeweils von einer Kugelwelle aus, welche durch die zu berechnende Antenne in eine ebene Welle geformt wird. In der Praxis ist die am häufigsten verwendete Quelle für Kugelwellen der Hornstrahler (Bild 8.10) [Lov76]. Er wird überall dort eingesetzt, wo lineare Polarisation gefordert wird. Der am Ende offene Hohlleiter ist die einfachste degenerierte Form des Hornstrahlers. Seine Berechnung ist wegen der nachstehenden Einflüsse schwierig: Reflexion wegen Z F H, Z F E Z F 0, d.h. hin- und rücklaufende Welle überlagern sich, Randströme und Ströme außen sind nicht zu vernachlässigen, Erzeugung von höheren Moden. Für die folgenden Überlegungen wird der H 10 -Mode im Hohlleiter vorausgesetzt. Die Feldlinienverteilung für den H 10 -Mode zeigt Bild Die Aperturebene liegt in der y-z-ebene. Die in der Aperturebene verwendeten Größen werden durch einen Strich gekennzeichnet. Die Verteilung des Feldes an der Stelle x = 0 sei für den H 10 -Mode ( ) πy E = E z e z = E z 0 cos, a E x 0, E y 0. (8.43)

111 8.4 Hornstrahler 105 x x r 0 r P z a y r z b y b a Bild 8.10: Koordinatensystem zur Berechnung rechteckiger Aperturantennen Statt mit den bisher verwendeten Leitungsströmen hat man es mit Verschiebungsströmen zu tun, welche zu E z 0 direkt proportional sind. In der Literatur werden zur Berechnung statt der Verschiebungsströme häufig sogenannte Magnetische Dipole unter Anwendung des Dualitätsprinzips verwendet. Auch wird dort die Aperturebene in die x-y-ebene gelegt, was zu einem erhöhten mathematischen Aufwand führt. Analog zu Gl.(8.19) bestimmt man wieder den Gangunterschied r = (y e y + z e z ) (sin (θ) cos (ψ) e x + sin (θ) sin (ψ) e y + e z cos (θ)) = y sin (θ) sin (ψ) + z cos (θ). (8.44) Mit r = r 0 r erhält man unter Verwendung der Fernfeldbedingung das Gesamtfeld an einem beliebigen Punkt P im Fernfeld E θ = j β 0 4π sin (θ) E e jβ 0r 0 z 0 r 0 y, z ( ) πy cos e jβ 0(y sin(θ) sin(ψ)+z cos(θ)) dy dz, (8.45) a

112 106 8 Aperturantennen (Flächenstrahler) Aus dem Integral folgt der Gruppenfaktor ( ) πy F GR (θ, ψ) = cos e jβ 0(y sin(θ) sin(ψ)+z cos(θ)) dy dz a y, z ( ) ( ) = 1 πb πa sin ab π λ 0 cos (θ) cos λ 0 sin (θ) sin (ψ) πb λ 0 cos (θ) ( π ) ( ). πa λ 0 sin (θ) sin (ψ) (8.46) Das Ergebnis für das Horizontaldiagramm zeigt die gleiche Abhängigkeit, wie man sie für stetig verteilte Dipole mit cosinusförmiger Belegung erhält, während wir vertikal die typische sin (ζ)/ζ-charakteristik vorfinden. y x E-Ebene b 0 0 a H-Ebene z Koordinatensystem Felder elektrisch magnetisch H-Ebene y x a 0 b E-Ebene Koordinatensystem Felder elektrisch magnetisch Bild 8.11: Feldlinienbilder am Übergang Rechteckhohlleiter auf Hornstrahler (H 10 - Mode) Bei den bisherigen Überlegungen wurde die Krümmung der Phasenfront in der Aperturebene vernachlässigt. An sich ist diese Vernachlässigung nur dann ge-

113 8.4 Hornstrahler 107 rechtfertigt, wenn die Öffnungswinkel α 1 und α des Hornstrahlers nach Bild 8.1 die Bedingungen a α 1 λ 0, b α λ 0 erfüllen. Der tatsächliche oder schein- Phasenzentrum b 1 a Bild 8.1: Krümmung der Phasenfront eines Hornstrahlers bare Ausgangspunkt einer Kugelwelle wird als Phasenzentrum bezeichnet. Der Gewinn eines verlustlosen Hornstrahlers errechnet sich zu woraus sich die Antennenwirkfläche (siehe Gl. (3.3) aus G = 3ab, (8.47) πλ 0 A W = G λ 0/ 4π (8.48) ergibt zu A W = 8 ab = 0, 81ab. (8.49) π Die wirksame Antennenfläche beträgt also nur 81% der geometrischen Aperturfläche. Der hohe Gewinn bei großen Aperturen ist mit einer starken Richtwirkung verbunden. Für β 0 a 1 und β 0 b 1 hat die Hauptstrahlungskeule in der Ebene ψ = 0 die Breite und in der Ebene θ = π/ die Breite θ N = λ 0 b = 114, 6 λ 0 b (8.50) ψ N = 3 λ 0 a = 17 λ 0 a. (8.51)

114 108 8 Aperturantennen (Flächenstrahler) Die Nullwertsbreiten θ N bzw. ψ N sind die Winkel zwischen den ersten Nullstellen der Hauptkeule. Die Halbwertsbreiten sind entsprechend der homogenen Erregung im Vertikaldiagramm θ HB = 51 λ 0 b und entsprechend der cosinusförmigen Belegung im Horizontaldiagramm (8.5) ψ HB = 69 λ 0 a. (8.53) 8.5 Linsenantennen Linsenantennen sind wie Parabolantennnen in der Lage, eine Kugelwelle in eine ebene Welle umzusetzen, als welche sie wieder nach dem bereits aus den vorangegangenen Kapiteln bekannten Verfahren berechnet werden können. Einige Beispiele für Linsenantennen zeigt Bild Nach dem Huygenschen Prinzip kann jeder Punkt einer Welle wieder als Ausgangspunkt für eine neue Kugelwelle betrachtet werden. Bezogen auf die Antennenberechnung heißt das, daß für die Erzeugung einer Richtcharakteristik nicht die Metallkonstruktion der Antenne, sondern die Geometrie und Belegung der von ihr erzeugten ebenen Welle die Basis ist. Das Huygensche Prinzip besagt nichts anderes, als daß man in die ebene Welle Hertzsche Dipole interpretiert und hieraus die Richtcharakteristik berechnet. Für die folgende Berechnung der Linsenantennen bedient man sich dieser Analogie. In den Bildern 8.14 und 8.17 ist die Anwendung von Linsen zur Umwandlung einer Kugelwelle in eine Welle mit ebener Phasenfront schematisch dargestellt. Im Bereich der Linse weicht die Phasengeschwindigkeit v ϕ der elektromagnetischen Welle von c 0 ab. Der Brechungsindex n ist durch n = c 0 v ϕ (8.54) gegeben. Bei der Verzögerungslinse ist n > 1, während für die Beschleunigungslinse n < 1 gilt. Eine Verzögerungslinse läßt sich mit dielektrischen Materialien realisieren, wobei der Brechungsindex durch n = ε r (8.55)

115 8.5 Linsenantennen 109 Bild 8.13: Verschiedene Ausführungen von Linsenantennen. a) Bikonvex Verzögerungslinse, b) Stufenlinse, c) Bikonkav Beschleunigungslinse, d) Luneburg Linse d x z Bild 8.14: Linsen zur Transformation von Kugelwellen: Verzögerungslinse (Hyperbel)

116 110 8 Aperturantennen (Flächenstrahler) gegeben ist. Die Wellenlänge im Material ist λ ε = λ 0 /n. Für die Verzögerungslinse nach Bild 8.14 muß die Laufzeit des Mittelstrahls gleich der eines beliebigen Randstrahles sein, um eine ebene Phasenfront zu erzeugen, so daß d + n z = (d + z) + x (8.56) gilt. Daraus folgt, daß die Berandung der Linse durch die Hyperbel z ( n + 1 ) + d z (n 1) x = 0 (8.57) gegeben ist. Zur Material- und Gewichtsersparnis wird eine dielektrische Verzögerungslinse als Stufenlinse entsprechend Bild 8.15 ausgebildet. Eine Beschleuy z Bild 8.15: Stufenlinse nigungslinse (Bild 8.17) kann als Hohlleiterlinse mit äquidistanten parallelen Metallplatten entsprechend Bild 8.16 realisiert werden. Fällt auf die Linse eine parallel zu den Metallplatten polarisierte elektromagnetische Welle ein, so werden zwischen den Metallplatten die H 10 -Moden des Rechteckhohlleiters angeregt. Die Phasengeschwindigkeit der H 10 -Wellen zwischen den Metallplatten ist durch v ϕ = c 0 1 ( ) (8.58) λ 0 a gegeben. Man kann wieder wie bei der Verzögerungslinse die Phasenbedingungen für eine ebene Welle ansetzen, d.h. der Phasengang muß für alle Wege von der Quelle durch die Linse gleich sein. Insbesondere muß der Mittelstrahl gleichen Phasengang wie jeder andere Strahl haben.

117 8.5 Linsenantennen 111 E a a a a > / Bild 8.16: Hohlleiterlinse d x z Bild 8.17: Linsen zur Transformation von Kugelwellen: Beschleunigungslinse (Ellipse) Der Ansatz führt zu dem Ergebnis, daß die Berandung der Beschleunigungslinse durch die Ellipse (d z) + x + nz = d, (8.59) z ( 1 n ) d z (1 n) + x = 0. (8.60) gegeben ist. Die Berechnung der Richtcharakteristik kann nun wie in dem vorangegangenen Kapitel erfolgen.

118 9 Dualitätsprinzip, duale Antennen, Schlitzantennen Das Dualitätsprinzip besagt, daß im strom- und ladungsfreien Raum folgende Substitutionen möglich sind: el. Dipol magn. Dipol D = duales Feld E D = Z F 0 H P, (9.1) H D = 1 Z F 0 E P, (9.) P = primäres Feld (9.3) Anhand der Maxwellgleichungen soll dies bewiesen werden. Für sinusförmige Zeitabhängigkeit gilt: rot H D = jω ε E D, (9.4) rot E D = jω µ H D. (9.5) Setzen wir Gln. (9.1) und (9.) ein, so erhalten wir, wenn zusätzlich µ0 Z F 0 = (9.6) ε 0 gesetzt wird, ε0 rot E µ P = jω P µ 0 ε 0 H, (9.7) 0 µ0 ε 0 rot H P = jω µ 0 ε 0 E P (9.8) woraus sich wieder die Ausgangsgleichungen (9.4) und (9.5) ergeben, jedoch jetzt für die primären Feldkomponenten. Die Maxwellschen Gleichungen gehen mit den Transformationsgleichungen (9.1) und (9.) in sich selbst über. 11

119 9.1 Magnetischer Dipol als dualer elektrischer Hertzscher Dipol 113 Man nennt dies das Babinet sche Prinzip. Es besagt, daß man aus jedem möglichen primären Strahlungsfeld E P, H P das duale Strahlungsfeld E D, H D ableiten kann. Dies genügt, wie bewiesen, den Maxwellgleichungen. Es hat somit gleiches Ausbreitungsverhalten und auch gleiche Poyntingvektoren. Aufgabe ist es, für das duale Feld die entsprechenden Strom- und Ladungsverteilungen als Feldquellen darzustellen. 9.1 Magnetischer Dipol als dualer elektrischer Hertzscher Dipol Als Beispiel des Dualitätsprinzips wird im folgenden der Hertzsche Dipol verwendet, in dessen Feldgleichungen die Transformationsgleichungen (9.1) und (9.) nachfolgend eingesetzt werden: E D r E D θ = A 0 e jβ 0r jω β 0 r = A 0 e jβ 0r jω β 0 r H D ψ = A 0 e jβ 0r β 0 r jβ 0 µ Mit Z F 0 = ωµ/β 0 erhält man hieraus H P r H P θ = A 0 e jβ 0r β 0 r = A 0 e jβ 0r β 0 r jβ 0 µ ( j β 0 r + ) (β 0 r) ( 1 j jβ 0 µ E P ψ = A 0 e jβ 0r jω β 0 r cos θ, (9.9) β 0 r 1 ) (β 0 r) sin θ, ) (9.10) sin θ. (9.11) ( 1 j β 0 r ( j β 0 r + ) (β 0 r) ( 1 j cos θ, (9.1) β 0 r 1 ) (β 0 r) sin θ, ) (9.13) sin θ. (9.14) ( 1 j β 0 r Einen Strahler, der dieses Feld erzeugt, nennt man einen magnetischen (Hertzschen) Dipol. Um die Quelle dieses Feldes zu beschreiben, beschränkt man sich auf die unmittelbare Nähe des Ursprungs und damit auf die höchste Potenz von 1/β 0 r in den Gln. (9.1) und (9.13). Dann erhält man näherungsweise H P (r, θ, ψ) ja 0 e jβ 0r µ β ( cos θ e 0 r 3 r + sin θ e θ ). (9.15)

120 114 9 Dualitätsprinzip, duale Antennen, Schlitzantennen Bei den Randbedingungen versagt im allgemeinen das Dualitätsprinzip. Man kann nicht wie beim elektrischen Hertzschen Dipol das Feld (Gl. (9.15)) als von zwei Punktladungen herrührend beschreiben, da es keine magnetischen Ladungen gibt. Wir vergleichen jedoch Gl. (9.15) mit der bekannten Formel für das Magnetfeld einer kleinen Spule der Windungsfläche A und der Windungszahl n, die von einem Strom I durchflossen wird: H (r, θ, ψ) nia 4π r 3 ( cos θ e r + sin θ e θ ). (9.16) Beide Felder stimmen überein, wenn man setzt (unterscheide Windungsfläche A und magnetisches Vektorpotential A 0 ): nia 4π = j A 0 µ β 0, (9.17) A 0 = j n I A µ β 0. (9.18) 4π Der magnetische Dipol läßt sich also mit einer von Wechselstrom durchflossenen unendlich kleinen Spule vergleichen, wobei n I A einen endlichen Wert hat. Die elektrischen Feldlinien nach Gl. (9.14) sind konzentrische Kreise um die Dipolachse, die magnetischen Feldlinien nach Gl. (9.1) und (9.13) verlaufen wie die elektrischen Feldlinien des elektrischen Hertzschen Dipols. Das elektrische Feld eines elektrischen Dipols ist parallel, das elektrische Feld eines magnetischen Dipols senkrecht zur Dipolachse polarisiert Strahlungskenngrößen des magnetischen Dipols Weil das durch die Gln. (9.1) bis (9.14) dargestellte Feld im Fernfeld denselben Poynting-Vektor liefert wie das Feld des Hertzschen Dipols, erhält man aus Gl. (9.18) die Strahlungsleistung P s = 4π 3 und damit den Strahlungswiderstand Z F 0 µ A 0 = (n I A) Z F 0 β0 4 1 π (9.19) R S = P S I = 8 π3 3 Z F 0 ( ) n A. (9.0) Das Richtdiagramm und damit der theoretisch mögliche Gewinn (Richtfaktor) sind dieselben wie beim elektrischen Dipol. Der praktische Gewinn ist auch hier wegen der Verluste viel kleiner. λ 0

121 9.1 Magnetischer Dipol als dualer elektrischer Hertzscher Dipol 115 Die in einer kleinen Spule durch eine ebene Welle induzierte Leerlaufspannung beträgt U A = n A j ω µ H. (9.1) R v R A R s Empfänger U A Bild 9.1: Ersatzschaltbild einer Empfangsantenne Da der Verlustwiderstand R V der Antennenspule immer groß gegen den Strahlungswiderstand R S der nach Definition gegen die Wellenlänge kleinen Antenne ist (R A R V ), kann man die Leerlaufspannung als eingeprägt ansehen, die praktisch vefügbare Leistung beträgt dann (vgl. Gl. (5.58)) Mit P E = 1 ( U A ) = U A. (9.) R V 8 R V H = S Z F 0 (9.3) und A e z H erhalten wir S U A = (ω µ n A). (9.4) Z F 0 Aus der Definition für die Wirkfläche ergibt sich nach Einsetzen der Gln. (9.0) und (9.4) für die Wirkfläche A W = P E max S, (9.5) A W = U A 8 S = R S S (ω µ n A) Z F 0 8 S ), (9.6) 8 π3 Z 3 F 0 ( n A λ A W = 3 8 π λ. (9.7)

122 116 9 Dualitätsprinzip, duale Antennen, Schlitzantennen Die Wirkfläche ist dieselbe wie beim elektrischen Hertzschen Dipol, ebenso der theoretische Gewinn (Richtfaktor). G i = 1, 5. (9.8) Dieser Wert hat wegen des hohen Verlustwiderstandes nur theoretische Bedeutung Praktische Ausführungen und Verwendung magnetischer Dipole Aufgrund des beim magnetischen Dipol unvermeidlichen Spulenwiderstands ist der Wirkungsgrad des magnetischen Dipols außerordentlich gering, weshalb er als Sendeantenne kaum benutzt wird. Für die Verwendung als Empfangsantenne spielt der Wirkungsgrad nur eine untergeordnete Rolle, da er durch Verstärkung ausgeglichen werden kann, solange der Störpegel hinter der ersten Verstärkerstufe im wesentlichen aus dem Strahlungsfeld und nicht etwa vom Rauschen dieser Stufe selbst herrührt. Dies trifft i.a. bei Verwendung magnetischer Antennen im Lang- und Mittelwellenbereich zu. Für lange, mittlere und kurze Wellenlängen (f < 50 MHz) wird ausschließlich die vertikale Polarisation des elektrischen Feldes benutzt, da eine horizontal polarisierte Welle durch den schwach leitenden Erdboden zu stark gedämpft würde. Bei vertikaler Polarisation verlaufen die magnetischen Feldlinien annähernd parallel zum Erdboden. Empfängt man also mit einer Antenne die magnetische Komponente des Feldes, so kann man aus der Richtung dieses Feldes auf die Richtung schließen, in der sich die Sendeantenne befindet. Die magnetische Dipolantenne wird daher in ihren beiden Ausführungsformen als Rahmenantenne und als Ferritstabantenne (siehe unten) für Richtungspeilungen benutzt. Die Rahmenantenne besteht aus einer oder mehreren Windungen isolierten Drahtes, die, wenn sie zu Peilzwecken verwendet wird, mit einem ringförmigen Rohr zur Abschirmung der elektrischen Feldkomponente versehen wird (Bild 9.). Die Abschirmung muß an der Anschlußstelle eine Unterbrechung haben, da sonst auch das magnetische Feld in der Spule abgeschirmt würde. Die Ferritstabantenne besteht aus einer Spule, die um einen langgestreckten, stabförmigen

123 9. Schlitzantennen 117 Bild 9.: Rahmenantenne Ferritkern gewickelt ist (Bild 9.3). Sie wird zum Empfang von Mittel- und Langwellen direkt in Rundfunkempfänger eingebaut. Ihre Wicklung bildet dabei die Induktivität des Empfänger-Eingangskreises. Die hohe Permeabilität des Ferritstabes bietet den magnetischen Feldlinien einen kleinen magnetischen Widerstand und führt zu einer erhöhten Induktion im Ferrit. Die Erhöhung der Induktion kann durch eine effektive Permeabilität µ eff beschrieben werden. 9. Schlitzantennen Als für die Praxis wichtigstes Beispiel dualer Antennen zu den bisher behandelten Antennen wird im folgenden die Schlitzantenne untersucht. Die Dualität der Schlitzantenne (Bild 9.4 b) zum Dipol wird anhand eines Streifendipols (Bild 9.4 a) gezeigt. Wenn man davon ausgeht, daß sich beide komplementär in einer Ebene befinden, so sind sowohl von den Feldstärken des Dipols als auch des Schlitzstrahlers die Randbedingungen unter Berücksichtigung der Transformationsgleichungen zu erfüllen. Dies kann durch Aufstellen der Randbedingungen und Ver-

124 118 9 Dualitätsprinzip, duale Antennen, Schlitzantennen l a a Ausgang Bild 9.3: Ferritstabantenne mit Empfänger-Eingangskreis wendung der Transformationsgleichungen (9.1) und (9.) bewiesen werden. An dem Beispiel Streifendipol des Bildes 9.4a und dessen Feldbildern in der Projektion, Bild 9.5, wird diese Dualität gezeigt. Die magnetischen Feldlinien um einen stromdurchflossenen Streifen sind im stationären Fall (Nahfeld) konfokale Ellipsen, deren Brennpunkte in den Kanten des Steifens liegen. Die elektrischen Feldlinien sind konfokale Hyperbeln mit denselben Brennpunkten. Anhand von Bild 9.4 und 9.5 erkennt man, daß sowohl die angegebenen Symmetrieverhältnisse und die Bedingungen für die Stetigkeit als auch die dualen Transformationen erfüllt sind. Die Transformation vom Streifendipol (D) zur Schlitzantenne (S) erfolgt über die Gln. (9.1) und (9.) nach: H S = 1 D E, Z F 0 (9.9a) E S D = Z F 0 H, (9.9b) die Transformation von der Schlitzantenne zum Streifendipol über die Transformationsgleichungen mit umgekehrten Vorzeichen H D = 1 S E, Z F 0 (9.30a) E D S = Z F 0 H. (9.30b)

125 9. Schlitzantennen 119 A B I I U U a) b) Bild 9.4: a) Streifendipol und b) hierzu duale Schlitzantenne mit Anschluß der Speiseleitungen. Bild 9.5: Elektrisches (durchgezogen) und magnetisches (gestrichelt) Nahfeld a) des Streifendipols und b) der Schlitzantenne in der Ebene A B (siehe Bild 9.4). Im Unterschied zu den Flächenstrahlern ist bei der Schlitzantenne die Aperturdimension in einer Richtung klein gegen die Wellenlänge λ 0. Schlitzantennen können entweder über einen Hohlleiter (Bild 9.6 a), eine Koaxialleitung (Bild 9.6 b) oder eine Streifenleitung eingespeist werden. Der Schlitz verhält sich wie eine an beiden Enden kurzgeschlossene Leitung. Über die koaxiale Speiseleitung in Bild 9.6b wird eine stehende Leitungswelle angeregt mit Spannungsknoten an den beiden Schlitzenden.

126 10 9 Dualitätsprinzip, duale Antennen, Schlitzantennen a) b) Bild 9.6: Schlitzantennen: a) Hohlleiterschlitzantenne, b) koaxial gespeiste Schlitzantenne. In Bild 9.7 ist die entlang des Schlitzes auftretende Spannung U(z) dargestellt. Die Schlitzbreite ist s. Üblicherweise ist der Schlitzstrahler auf der Rückseite so abgeschirmt, daß der Schlitz nur nach einer Seite strahlt. Der Abstand des Schirms zum Schlitz kann günstigstenfalls so gewählt werden, daß sich die Feldstärke im Fernfeld verdoppelt. Das Richtdiagramm ergibt sich aus der Integration über alle Feldlinien im Schlitz zu H θ = E θ = jω ε 0 e jβ0 r0 sin θ Z F 0 π r +l l U (z) e +jβ 0 z cos θ dz. (9.31) Die Gl. (9.31) ist dual zu der für den linearen Strahler abgeleiteten Gl. (6.5), wenn man berücksichtigt, daß der Strahler nur in einen Halbraum strahlt und deshalb im Halbraum die doppelte Feldstärke hervorruft. Die Dualität erkennt man, wenn man in Gl. (6.5) folgende Substitutionen vornimmt: (Superskript D für Dipol, S für Schlitzstrahler) I (z) D = Z F 0 U (z) S, (9.3) E D Θ = Z F 0 H S θ, (9.33) H D ψ = 1 Z F 0 E S ψ. (9.34) Ist P die vom Schlitzstrahler abgestrahlte Leistung und definiert man einen auf das Spannungsmaximum U m bezogenen Strahlungswiderstand RSm S des Schlitzstrahlers durch P = 1 U S m R S Sm, (9.35)

127 9. Schlitzantennen 11 z S l U U y Bild 9.7: Schlitzantenne, Belegung. so erhält man aus der Definition des Strahlungswiderstandes für den Dipol P = 1 RD Sm I D m (9.36) und Gl. (9.3) den folgenden Zusammenhang zwischen dem Strahlungswiderstand R D Sm des Stabstrahlers und dem Strahlungswiderstand RS Sm des Schlitzstrahlers: R S Sm = Z F 0 4 R D Sm Für einen λ/- Dipol mit RSm D = 73 Ω folgt RS Sm = 486 Ω.. (9.37)

128 10 Reflektoren, Direktoren, YAGI-Antennen Unter diesem Kapitel sollen Antennen, welche sich aus Kombinationen von linearen Antennen (z.b. Dipolantennen) ergeben, zusammengefaßt werden. Da das Gebiet sehr weit ist, weil der Kombinationsmöglichkeit keine Grenzen gesetzt sind, werden einige ausgewählte Antennen behandelt Halbwellen-Faltdipol Die Grundform des Faltdipols besteht aus zwei eng benachbarten parallelen etwa λ 0 / langen Leitern, die an den Enden miteinander verbunden sind und von denen der eine in der Mitte gespeist wird. In Bild 10.1 ist ein Faltdipol dargestellt. Die Leiterdicken d 1 und d sowie der Leiterabstand a können in weiten Grenzen variiert werden. Dementsprechend ist sein Eingangswiderstand in weiten Grenzen wählbar. In der Grundform des Faltdipols werden die Größen I a x d = d 1 d 1 Bild 10.1: Faltdipol, Strombelegung d 1 = d, (10.1) 1

129 10.1 Halbwellen-Faltdipol 13 a < 0, 01 λ 0 gesetzt. In den beiden Zweigen des Faltdipols fließen, bedingt durch den sehr kleinen Abstand und die dadurch verursachte starke Kopplung der Zweige, die gleichen Ströme. Für eine gegebene Speiseleistung ist damit der Strom in jedem der beiden Leiter nur halb so groß wie beim Einzeldipol. Aus der Leistungsbilanz ( ) ID R F D (10.) folgt, daß P SF D = P SD = 1 I D R D = 1 I F D R F D = 1 R F D = 4 R D. (10.3) Der Eingangswiderstand des idealen, unendlich dünnen Dipols ist R D = 73 Ω. (10.4) Bei realen Dipolen liegt der Eingangswiderstand niedriger, in der Praxis ergeben sich 55 Ω < R D < 73 Ω. (10.5) Insbesondere kann ein Eingangswiderstand von 60 Ω erreicht werden; dies ermöglicht eine Speisung mit 60 Ω-Kabel und Symmetrierglied. Der daraus resultierende Faltdipol hat einen Eingangswiderstand von R F D = 40 Ω. (10.6) was eine Speisung mit der früher häufig verwendeten symmetrischen 40 Ω- Bandleitung ohne weitere Anpassung ermöglicht. Aufgrund der endlichen Leiterdicke sind sowohl der λ 0 /-Dipol als auch der Faltdipol kürzer als λ 0 /. Das Richtdiagramm und der Gewinn des Faltdipols sind identisch mit dem des λ 0 /-Dipols. Der Unterschied zwischen beiden liegt somit nur im höheren Eingangswiderstand und in der größeren mechanischen Stabilität. Zur Erzielung anderer Eingangswiderstände als R F D = 4 R D (10.7) werden die Konstruktionsparameter d 1, d und a variiert. Der Eingangswiderstand gehorcht dann der Gleichung R F D = ü R D (10.8) mit ü = ( ) ln a/d (10.9) ln a/d

130 14 10 Reflektoren, Direktoren, YAGI-Antennen a d = d 1 a d = d 1 d 1 d 1 ü 3, ü Bild 10.: Faltdipole a/d 1 = 5 In Bild 10. sind zwei Varianten dargestellt. Die Gl. (10.9) ist in Bild 10.3 ausgewertet. In der Praxis gibt es noch zahlreiche weitere Varianten wie Dreidraht Faltdipole (Bild 10.4 a) und Unsymmetrische Faltdipole (Bild 10.4 b) ü = 3 d 1 /d 1,0 0,8 0,6 0,4 ü = 4 ü = 5 ü = 6 0, ü = 7 ü = 8 0, a/d 1 Bild 10.3: Transformationsverhältnis ü des Faltdipols

131 10. Längsstrahler mit strahlungserregten Elementen (YAGI-Antennen) 15 / d = d 1 a a d 1 d = d 1 R 1 14, ,01 d = d 1 / a a d 1 /4 R d = d 1 / d = d 1 a a d 1 R d = d 1 a) b) Bild 10.4: a) Dreidraht Faltdipole b) Unsymmetrische Faltdipole (Vertikalantennen) 10. Längsstrahler mit strahlungserregten Elementen (YAGI-Antennen) Die in den Elementen eines Längsstrahlers für das Zustandekommen einer Richtcharakteristik erforderlichen Ströme und Stromphasen können auch durch Strahlungskopplung erzeugt werden. Ein kurzgeschlossener elektrischer Dipol, der etwa λ 0 / lang ist, kann in einem elektromagnetischen Strahlungsfeld als Reihenresonanzkreis (schmalbandiges Äquivalent zu Bild 7.6) betrachtet werden, in dem durch das Strahlungsfeld eine Spannung U induziert wird (Bild 10.5). Ist der Dipol etwas kürzer als die halbe Wellenlänge des Strahlungsfeldes, so wird er unterhalb seiner Resonanzfrequenz betrieben, der Widerstand ist kapazitiv und der Strom I um etwa π/ der Spannung U voreilend. Umgekehrt wird der Strom der induzierten Spannung und damit der elektrischen Feldstärke um ca. π/ nacheilen, wenn der Dipol etwas länger als λ 0 / ist. Besteht das Antennensystem nur aus zwei Leitern (0) und (1), von denen der

132 16 10 Reflektoren, Direktoren, YAGI-Antennen C 73 L/ / I I U L/ 73 C Bild 10.5: Schmalbandige Ersatzschaltung eines Dipols im Strahlungsfeld Leiter (0) gespeist wird, so gilt das Gleichungspaar U 0 = I 00 Z 00 + I 01 Z 01, (10.10) 0 = I 00 Z 01 + I 01 Z 11. (10.11) Hierin sind Z 00 und Z 11 die Impedanzen der Leiter 0 bzw. 1 und Z 01 = Z 10 der Kopplungswiderstand zwischen den beiden Leitern. Es folgt daraus für das Verhältnis der Ströme I 01 I 00 = Z 01 Z 11. (10.1) In Z 01 ist der Einfluß des Abstands und der Abmessungen beider Leiter, in Z 11 der Einfluß der Abstimmung und der Abmessungen des strahlungsgekoppelten Leiters (1) enthalten. Durch Änderung des Abstands zwischen den Leitern und der Impedanz Z 11 kann man Größe und Phase des Stromverhältnisses und damit das Richtdiagramm beeinflussen. Amplitudengleichheit ist nur bei kleinen Abständen zu erreichen. Für die Berechnung der Phasenlagen geht man vom gespeisten Dipol D 0 aus, der ein Fernfeld erzeugt gemäß E θ0 = j Z F 0 π r I 0 sin β 0 l e jβ 0 r cos (β 0 l cos θ) cos β 0 l sin θ (10.13)

133 10. Längsstrahler mit strahlungserregten Elementen (YAGI-Antennen) 17 Auf der x -Achse erhält man bei θ = π/ für den λ 0 / -Dipol mit β 0 l = π/ und r = x die Feldstärken E θ0 = j I 0 Z F 0 π x e jβ 0 x (10.14) Z F 0 π = I 0 π x e j (β 0 x + ). Die Phase des elektrischen Primärfeldes E θ0 ist gegenüber dem Primärstrom I 0 um (β 0 x + π/) verzögert. Die erregte Spannung U ν in einem Stab ν an der Stelle x ν ist proportional der Feldstärke E θ0 : U ν E θ0 +I 0 e j(β 0 x ν + π ). (10.15) Die Spannung U ν treibt im Strahler einen Kurzschlußstrom I ν. Dieser eilt bei kapazitiven Strahlern, d.h. Strahlern, die kürzer als λ 0 / sind, dem Primärfeld E θ0 um π/ voraus: I ν U ν e +j π +I0 e j β 0 x ν, (10.16) Die Phasenverschiebung von I ν gegenüber dem Primärstrom beträgt also β 0 x ν. Durch I ν werden die Dipole selbst zu Strahlern. Für das von ihnen erzeugte Feld gilt und mit Gl. (10.16) für x > x ν E θν I ν e j (β 0 x x ν + π ) (10.17) E θν (x) I 0 e j (β 0 x + π ). (10.18) Ihr Fernfeld in positiver x -Richtung ist mit dem Fernfeld des erregenden Dipols in Phase und verstärkt dieses. Diese kapazitiven Dipole werden deshalb Direktoren genannt. In negativer x-richtung (x < 0) überlagert sich das Feld der Direktoren (ν > 0) verstärkend oder vermindernd zum Primärfeld, abhängig von x ν. Die Geometrie ist in Bild 10.6 dargestellt. Entgegen dem Voreilen bei kapazitiven Strahlern erhält man bei induktiven, d.h. Strahlern länger als λ 0 / ein Nacheilen des induzierten Stromes I ν : I ν U ν e j π +I0 e j β 0 x ν, (10.19) Für das aus dem induzierten Strom hervorgerufene Feld ergibt sich für x < x ν : E θν (x) I 0 e j(β 0 x π ), (10.0) E θν (x) E θ0. (10.1)

134 18 10 Reflektoren, Direktoren, YAGI-Antennen z I -1 I 0 I 1 I I x / x -1 x 0 x 1 x x Bild 10.6: Prinzipschaltbild zur Strahlungskopplung Die Gln. (10.0) bzw. (10.1) zeigen, daß sich bei induktiven, strahlungsgekoppelten Stäben das Feld in Richung des gekoppelten Stabes gegenphasig zum Primärfeld aufbaut. Induktive strahlungsgekoppelte Elemente werden daher als Reflektoren bezeichnet. Die Ergebnisse der vorangegangen Berechnungen macht man sich bei den nach ihrem Erfinder benannten YAGI -Antennen zu Nutze. Dabei werden Direktoren und Reflektoren mit einem gespeisten Dipol oder Faltdipol so kombiniert, daß in einer Richtung maximale Strahlung und in der anderen eine Unterdrückung der Abstrahlung auftritt. Durch Kombinieren einer gespeisten Antenne mit einem Direktor und einem Reflektor erhält man die einfachste Form der YAGI-Antenne (Bild 10.7). Sie ergibt einen Gewinn von 3 bis 4 db, wenn der Abstand zwischen Strahler und Reflektor zwischen 0,1 und 0,15 λ 0 und zwischen Strahler und Direktor etwa 0, 1λ 0 beträgt. Ordnet man mehrere Direktoren hintereinander an, dann können Richtschärfe und Gewinn noch wesentlich gesteigert werden. Für die praktische Dimensionierung von YAGI-Antennen existieren Kurvendarstellungen, welche die bisher nicht berücksichtigten Einflüsse Nahfeld

135 10. Längsstrahler mit strahlungserregten Elementen (YAGI-Antennen) 19 Reflektor (induktiv (+)) Direktor (kapazitiv (-)) Resonator Bild 10.7: Einfachste YAGI -Antenne sekundäre Kopplungen und die geänderte Phasengeschwindigkeit längs der Antenne bezogen auf die Phasengeschwindigkeit im freien Raum berücksichtigen. In Bild 10.8 sind derartige Kurven gezeigt.

136 Reflektoren, Direktoren, YAGI-Antennen d d x x = 0,400 = 0,00 6,0 14,0 x x 0,950 L 5,0 4,0 3,0,0 1,0 0,5 G/dB 13,5 x x 0,940 13,0 x x 0,930 = 0,04 1,3 x x 0,915 11, x x 0,890 = 0,048 9,5 x x 0,840 7,7 x 0,770 0,140 0,150 0,160 0,170 0,180 0,190 0,00 v c l Bild 10.8: Dimensionierung von YAGI -Antennen: l = Länge der Direktoren d = Abstand der Direktoren ρ = Durchmesser der Direktoren L = Gesamtlänge der Antenne (ohne Reflektor) G = Gewinn v ϕ /c = rel. Phasengeschwindigkeit

137 11 Breitbandantennen Da im folgenden wiederholt die Bandbreite verschiedener Antennen diskutiert wird, soll dieser Begriff zunächst kurz erläutert werden. Die Bandbreite kann definiert werden als der Frequenzbereich, für den die Antenne im Hinblick auf eine bestimmte Eigenschaft einen vorgegebenen Standard einhält [Bal97]. Üblicherweise wird die Eingangsanpassung der Antenne als Kriterium herangezogen (z.b. weniger als 14 db reflektierte Leistung), wobei auch Richtcharakteristik, Keulenbreite, Polarisation oder Gewinn, abhängig von der Anwendung, in die Bandbreitenbestimmung einbezogen werden können. Für schmalbandige Antennen gibt man die Bandbreite anhand der unteren und oberen Grenzfrequenz f u, f o als Prozentwert an: BB s = f o f u f m 100%, (11.1) f m = f u + f o (Mittenfrequenz). (11.) Werte im Bereich 0 00% sind möglich, in der Praxis verwendet man diese Definition für Antennen mit ca % Bandbreite. Für breitbandigere Antennen wird die Bandbreite als Verhältnis der oberen zur unteren Grenzfrequenz angegeben (für eine Antenne mit Frequenzbereich 18 GHz demnach 9:1). Für Verhältnisse :1 bzw. 10:1 werden oft die Begriffe Oktave bzw. Dekade verwendet. Die bisher behandelten Antennen waren in der Regel schmalbandige Antennen. Alle Drahtantennen, wie λ/ -Dipol, Faltdipol oder YAGI -Antenne, ebenso deren duale Antennen, sind in ihrem Richtdiagramm, der Anpassung und in ihrem Gewinn, da sie üblicherweise in Resonanz arbeiten, sehr schmalbandig. Ihre Bandbreite beträgt einige Prozent bis ca. 5%. Etwas breitbandiger sind Hornantennnen und Reflektorantennen. Hornstrahler decken in der Regel ein Hohlleiterband ab, bei Reflektorantennen wird die Bandbreite meistens durch die Speiseantenne bestimmt. In der Praxis werden in zunehmendem Maße auch Antennen mit Bandbreiten von 10 : 1 und mehr gefordert. Anwendungen liegen in der Breitband- Nachrichtenübertragung, Meßtechnik, Funküberwachung und ähnlichen Arbeits- 131

138 13 11 Breitbandantennen gebieten. In der Regel geht die Breitbandigkeit zu Lasten des Gewinns und des Wirkungsgrades. Die Breitbandigkeit kann durch folgende Maßnahmen erzielt werden: Logarithmische Strukturen, Logarithmisch periodische Strukturen, Wanderfeldstrukturen. Die Bilder 11.1 und 11. zeigen einen Überblick über verschiedene Ausführungen von Breitbandantennen Frequenzunabhängige Antennen (Selbstduale Antennen) Die für eine Antenne charakteristischen Eigenschaften Eingangsimpedanz, Richtcharakteristik, Gewinn und Polarisation sind durch Form und Abmessungen bezogen auf die Wellenlänge gegeben. Wenn nun die Antenne so aufgebaut ist, daß sie für alle Wellenlängen dieselben relativen Antennenabmessungen aufweist, bleiben die charakteristischen Eigenschaften erhalten. Die Theorie zu diesen Antennen wurde erst seit 1957 entwickelt. Zwei Gruppen sind hier vorrangig zu nennen und werden im weiteren kurz beschrieben: Spiralantennen und periodische Antennen. Diese Antennen gehen durch Drehen oder Verschieben in sich selbst über, d.h. sie sind selbstdual. Damit gilt für den Eingangswiderstand Z D = Z P, (11.3)

139 11.1 Frequenzunabhängige Antennen (Selbstduale Antennen) 133 D D D L L L Kegel Kegel mit Ellipsoid Kegel mit Kugel a) Kegelantennen Gegengewicht y x Q d L D Achse s A b) Exponentialhornantenne c) Wendelantenne (Helix) N N R i R r 1 R r 1 R 3 0 Metallplatte d d 1 = rn Rn = Rn+1 Rn d) Logarithmisch periodische Antenne e) selbst komplementäre Yagi Antenne Bild 11.1: Breitbandantennen woraus mit Gl. (9.37) Z = Z F 0 = 188 Ω = R S (11.4) folgt. Der Eingangswiderstand ist frequenzunabhängig, reell und gleich dem Strahlungswiderstand R S.

140 Breitbandantennen z 0 Logarithmische Spirale h 0 M E 0 y E x m Konische Spiralantenne Archimedische Spirale Bild 11.: Breitbandantennen Spiralantennen Spiralantennen (Bild 11.) bestehen aus N Armen (N gerade), die entweder winkelkonstant sind = logarithmische Spirale, oder querschnittskonstant sind = archimedische Spirale. Beide Antennentypen gehen durch Vertauschen der Leiterflächen mit den Freiflächen in sich selbst über, womit sie, wie vorher gesagt, selbstdual sind. Die Spiralen sind entweder räumlich angeordent = konische Spiralantenne, oder eben angeordnet = ebene Spiralantenne,

141 11.1 Frequenzunabhängige Antennen (Selbstduale Antennen) 135 wobei die eine aus der anderen durch Projektion zwischen Kegel und zur Kegelachse orthogonaler Ebene hervorgeht. Betrachtet man den Winkel zwischen einer Verbindungsstrecke vom Mittelpunkt der Spirale zu einem Punkt auf ihrem Rand sowie einer Tangente in diesem Punkt, so ist er bei der winkelkonstanten Spirale immer gleich. Auf der winkelkonstanten Spiralantenne läuft die symmetrisch eingespeiste Welle entlang der Antennenarme rotierend nach außen und strahlt dort, wo der Armabstand λ/ ist, nahezu vollständig ab. Die weiterführenden Arme sind deshalb fast stromlos. Die Richtcharakteristik hat eine Halbwertsbreite von etwa 80 < θ HB < 10 (11.5) und einen Gewinn von bis 3 db. Die Polarisation ist zirkular. Spiralantennen werden primär in Antennengruppen, sowie zur Speisung von Aperturantennen eingesetzt. In Kugelkoordinaten r, θ, ψ ausgedrückt, läßt sich die Berandung einer Leiterfläche einer Spiralantenne darstellen durch r = f (θ, ψ), (11.6) d.h. alle Größen der Antenne können durch Winkelgrößen beschrieben werden. Wenn die durch Gl. (11.6) beschriebene Antenne selbstdual sein soll, dann muß eine Maßstabsänderung um den Faktor C identisch sein mit einer Drehung um einen Winkel ψ : C f (θ, ψ) = f (θ, ψ + ψ ). (11.7) Im allgemeinsten Fall ergibt die Lösung der Gl. (11.7) r = e a (ψ ψ 0) g (θ). (11.8) Für eine ebene Spirale kann g(θ) = 1 gesetzt werden, da r g(θ) ist. In Bild 11.3 ist die Geometrie dargestellt.

142 Breitbandantennen z r ' y r 1 r 3 x r 4 Bild 11.3: Winkelkonstante, ebene Spiralantenne Danach beschreibt die Berandung folgende Kurven: r = r 0 e a ψ, (11.9) r 0 = e a ψ 0, (11.10) r 1 = r 0 e a ψ, (11.11) r = C r 1 = r 0 e a (ψ ψ ), (11.1) r 3 = r 0 e a (ψ π), (11.13) r 4 = C r 3 = r 0 e a (ψ π ψ ). (11.14) In den Gln. (11.11) (11.14) ergibt sich ψ aus Bild Die untere Frequenzgrenze ist gegeben durch r 1 max + r 3 max λ max, (11.15) die obere Frequenzgrenze erhält man aus r 1 min + r 3 min λ min. (11.16) Mit steigender Frequenz dreht sich das Richtdiagramm, wobei die Änderung des Radius hier maßgebend ist: r r 0 λ 0 = r 0 e a ψ r 0 λ 0 = r 0 λ 0 ( e a ψ 1 ). (11.17) Neben den winkelkonstanten Spiralantennen sind noch die archimedischen Spiralantennen bekannt, die durch die Gleichung r = r 0 ψ e ψ 0 (11.18)

143 11.1 Frequenzunabhängige Antennen (Selbstduale Antennen) 137 beschrieben werden, wobei ψ 0 = 0 oder π ist für eine zweiarmige Spirale, wie sie in Bild 11.4 gezeichnet ist. Bild 11.4: Archimedische Spiralantenne Untersuchungen haben gezeigt, daß die Strahlung dort, wo die Ströme in Phase sind, erfolgt. Dies ist an der Stelle der Fall, wo der Umfang gleich einer Wellenlänge ist. Die charakteristischen Merkmale der archimedischen Spiralantenne entsprechen denen der winkelkonstanten Spiralantenne. Die archimedische Spiralantenne zeigt jedoch größere Verluste aufgrund der langen Leitungen Logarithmisch-periodische Antennen Ändert man die Abmessungen einer Antenne proportional mit der Wellenlänge, so ändern sich ihre elektrischen Eigenschaften nicht. Diese Tatsache, die bei den behandelten Spiralantennen gilt, macht man sich auch bei den sogenannten logarithmisch-periodischen YAGI-Antennen zu Nutze, wie eine in Bild 11.5 dargestellt ist. Diese Antenne besteht aus einer Dipolzeile, bei der die Abstände d ν und Dipollängen l ν ein konstantes Verhältnis haben: d ν l ν = konst. (11.19)

144 Breitbandantennen N N R i d 1 d Bild 11.5: Logarithmisch-periodische YAGI -Antenne Das Verhältnis C der Längen (oder Abstände) benachbarter Elemente ist konstant: l ν l ν 1 = C l ν l 0 = C ν, (11.0) log l ν l 0 = ν log C (11.1) (daher der Name logarithmisch -periodisch ). (11.) Die Elemente werden mit abwechselnder Polarität über eine Zweidrahtleitung gespeist. Die Speiseleitung wird nach dem längsten Dipol reaktiv abgeschlossen. Drei Abschnitte werden auf der Antenne unterschieden: Übertragungsabschnitt: logarithmisch-periodisch kapazitiv belastet durch Dipole unterhalb ihrer Resonanzfrequenz, reichend vom 0-ten Dipol bis an die Dipole mit l ν λ/, Strahlungsabschnitt mit l ν λ/ und maximalen Speiseströmen in die Dipole, deren Eingangswiderstand einen geringen Blindanteil hat. Das Strahlungsverhalten dieses Abschnitts kann mit dem einer kurzen YAGI -Antenne (etwa 4 Elemente, Gewinn G Yagi,kurz = db) verglichen werden,

145 11. Wanderfeldantennen 139 Reaktiver Abschnitt: er trägt im wesentlichen nur zur Anpassung der Antenne an den Sender bei. Die auf der Speise-Zweidrahtleitung laufende Welle ist also der Abstrahlungsrichtung entgegengesetzt. Die Halbwertsbreite dieser Antennne liegt zwischen 50 und 80. Sie ist in der H -Ebene stets größer als in der E - Ebene. Der Gewinn ist um so höher, je dichter die Dipole stehen, d.h. je näher C bei 1 liegt. Die Bandbreiten können durchaus Werte von 10 : 1 erreichen. 11. Wanderfeldantennen Die einfachste Wanderfeldantenne stellt ein am Ende offener Rechteckhohlleiter dar. Bei einem Seitenverhältnis von :1 beträgt die technisch nutzbare Bandbreite aber nur 58%. Beim Einzug von einem oder zwei Stegen in den Hohlleiter, wie in Bild 11.6 zu erkennen, läßt sich die Bandbreite auf Werte von 6:1 erhöhen. Diese große Bandbreite beruht auf einer Absenkung der Grenzfrequenz (cut-offfrequency) des Grundmodes durch die Stege. Um den Eingangsreflexionsfaktor Bild 11.6: Querschnitt eines Steghohlleiters über die ganze Bandbreite möglichst gering zu halten, verwendet man Hohlleiterhörner mit exponentiell getaperten Stegen, die einen möglichst reflexionsarmen Übergang der Speiseleitungsimpedanz Z L in die Freiraumimpedanz Z F 0 erlauben. Diese Exponentialhörner, wie in Bild 11.1b und Bild 11.7 im Querschnitt zu sehen, sind auch in dual linear polarisierter Ausführung verfügbar. Exponentialhörner besitzen aber den Nachteil sehr großer geometrischer Abmessungen,

146 Breitbandantennen so daß die Elementabstände in einem Array-Verband zu groß würden. Außerdem ist ihre Herstellung aufwendig und kostenintensiv. Eine zu dem Querschnitt Z F0 Z L Bild 11.7: Querschnitt eines Exponentialhorns Substrat eines Exponentialhoms ähnliche Struktur, die exponentiell getaperte Schlitzantenne nach Bild 11.8, hat sich für breitbandige Array-Antennen in vielen Anwendungen durchgesetzt. Seit Anfang der achtziger Jahre erfreuen sich diese geta- Hauptstrahlrichtung Speisepunkt Metallisierung Bild 11.8: Exponentiell getaperte Schlitzantenne perten Schlitzantennen (kurz TSA für Tapered Slot Antennas) aufgrund ihrer einfachen Herstellung und vielseitigen Verwendbarkeit wachsender Beliebtheit. Eine TSA besteht im wesentlichen aus einem getaperten (sich kontinuierlich verbreiternden) Schlitz, der in die Metallisierungsschicht eines dielektrischen Substrats eingeätzt wurde. Die andere Substratseite bleibt dabei frei. Das schmale Schlitzende erlaubt eine Speisung der Antenne, der sich aufweitende Schlitz zeigt in die Hauptabstrahlrichtung. Bedingt durch den einfachen Herstellungsprozeß einer solchen Struktur, sind die Produktionskosten sehr gering. Bild 11.9 zeigt eine Auswahl dieser planaren Antennen, die sich in ihren Schlitzformen unterscheiden. Die Abstrahlung eines Wellenfeldes beruht bei getaperten Schlitzantennen auf der Ausbreitung von Wanderwellen auf der Antennenstruktur. Diese Wanderwel-

147 11. Wanderfeldantennen 141 a b c Bild 11.9: Auswahl verschiedener getaperter Schlitzantennen: (a) Vivaldi- Antenne, (b) lineargetaperte Schlitzantenne, (c) Schlitzantenne mit konstanter Schlitzbreite len besitzen eine Phasengeschwindigkeit v ph, die unterhalb der Vakuumlichtgeschwindigkeit liegt. Da die Hauptabstrahlrichtung in der Substratebene liegt und in Vorwärtsrichtung der sich auf der Struktur ausbreitenden Wanderwelle zeigt, gehören diese Antennen zur Klasse der endfire-wanderwellenantennen. Die E- Ebene (Ebene der elektrischen Feldvektoren im Fernfeld) des Strahlungsfeldes fällt dabei mit der Substrat- bzw. Metallisierungsebene zusammen, die H-Ebene (Ebene der magnetischen Feldvektoren im Fernfeld) steht dazu senkrecht. Aufgrund der planaren Geometrie könnte man vermuten, daß sich die Richtdiagramme in E- und H-Ebene stark unterscheiden. Es kann aber gezeigt werden, daß bei geschickter Wahl der Designparameter nahezu identische Richtdiagramme in E- und H-Ebene erzeugt werden können. Generell läßt sich feststellen, daß die Keulenbreite der Richtcharakteristik mit ansteigender Antennenlänge abnimmt. Das Richtdiagramm in der E-Ebene wird dabei durch die Wahl der Taperkontur beeinflußt, während das Richtdiagramm in der H-Ebene durch die Phasengeschwindigkeit v ph der sich auf der Antennenstruktur ausbreitenden Wanderwelle bestimmt wird. Diese Phasengeschwindigkeit läßt sich zum einen durch die Taperkontur, zum anderen durch die relative Permittivität des Substrats und dessen Dicke beeinflussen. Um eine effiziente Abstrahlung zu erreichen, sollte die maximale Schlitzbreite an der Antennenvorderkante mindestens eine halbe Freiraumwellenlänge betragen Vivaldi-Antenne Die Vivaldi-Antenne nach Bild 11.9a hat sich aufgrund ihrer exponentiell getaperten Struktur als besonders breitbandige TSA herausgestellt. Mit Hilfe der drei

148 14 11 Breitbandantennen Designgrößen S min - Schlitzbreite der Speiseleitung, S max - maximale Schlitzbreite am Ende der Antenne, L taper - Länge der getaperten Region läßt sich die Taperkontur (Bild 11.10) nach Gl. (11.3) eindeutig festlegen: y = ± W min epx mit p = 1 L taper ln W max W min. (11.3) y b S min x S max L taper Bild 11.10: Taperkontur der Vivaldi-Antenne

149 No job control in this shell. 11. Wanderfeldantennen 143

150 1 Antennenmeßtechnik Die Entwicklung von Antennen geht in drei prinzipiellen Schritten vor sich: Berechnung, Skalierung, Herstellung (mechanisch, technologisch), Vermessung. Sehr häufig sind diese Schritte zur Optimierung iterativ zu durchlaufen. Bisher wurde primär der erste Schritt dargestellt. Im folgenden soll nun die Antennenmeßtechnik vorgestellt werden. Die Meßtechnik der Antennen befaßt sich vornehmlich mit dem Messen der elektrischen Eigenschaften der Antennen. Es sind dies Messungen von: Richtcharakteristik Azimuth Elevation schräge Schnitte räumliche Darstellung Gewinn Wirkungsgrad Impedanz Polarisation linear 144

151 1.1 Die Antennenmeßstrecke 145 horizontal vertikal zirkular rechtsdrehend linksdrehend elliptisch rechtsdrehend linksdrehend Weil die Antenne in Wechselwirkung zu dem sie umgebenden Raum steht, ist die Antennenmeßtechnik im Gegensatz zur allgemeinen elektrischen Meßtechnik zur Berücksichtigung des die Antenne umgebenden Raumes gezwungen. Die daraus resultierenden Probleme für die Antennenmeßstrecken, die mit Freiraumbedingungen reproduzierbare Meßergebnisse erbringen sollen, werden in den ersten Abschnitten dieses Kapitels besprochen. In der Praxis eingesetzte Antennen müssen außer den Anforderungen an ihre elektrischen Eigenschaften auch noch eine ganze Reihe nichtelektrischer Forderungen erfüllen, ohne deren Berücksichtigung die Antennen nicht entwickelt werden können. So müssen z.b. kleine Antennen an Flugzeugen größten mechanischen und thermischen Belastungen widerstehen. Fernseh- und UKW-Antennen, die häufig auf hohen Bergen stehen, müssen Vereisung und Sturm aushalten. Diese unvollständigen Beispiele zeigen, daß die elektrische Meßtechnik der Antennen eigentlich noch ergänzt werden muß durch Messungen z.b. der Materialfestigkeit, Schock- und Vibrationsfestigkeit, Temperaturfestigkeit, Korossionsfestigkeit etc., was jedoch hier nicht weiter betrachtet werden soll. 1.1 Die Antennenmeßstrecke Bild 1.1 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Antennenmeßplatzes. Zur Ausrüstung eines solchen Antennenmeßplatzes gehören neben leistungsstarken Sen-

152 146 1 Antennenmeßtechnik Meßobjekt (AUT, antenna under test) Drehtisch Meßantenne Sendedrehtisch Sender Empfänger Positionsanzeige Positionsanzeige Drehsteuerung Drehsteuerung Sendersteuerung Rechner Meßantenne Meßobjekt (AUT, antenna under test) Drehtisch Sender Drehsteuerung Sendersteuerung Positionsanzeige Empfänger Rechner Bild 1.1: Aufbau eines Antennenmeßplatzes dern hoher Frequenzkonstanz empfindliche selektive Empfänger mit automatischer Frequenznachstimmung. Die Antennendrehstände müssen so ausgelegt sein, daß sie die zu messende Antenne tragen können und dazu die Forderungen an die Einstellgenauigkeit erfüllen.

153 1.1 Die Antennenmeßstrecke Fernfeldbedingung Für die Anlage der Antennenmeßstrecken ist es nun von größter Bedeutung in welchem Abstand von der zu vermessenden Antenne die Fernfeldcharakteristik mit der geforderten Genauigkeit gemessen werden kann. Bild 1. zeigt, daß man das von einer Antenne abgestrahlte Wellenfeld in mehrere Regionen unterteilen kann. Man unterscheidet dabei zwischen dem reakti- Mischung von Wellentypen Einzelner Wellentyp Wellenleiter- Feld reaktives Nahfeld abstrahlendes Nahfeld abstrahlendes Fernfeld Referenzebene 0 D E Abstand r Bild 1.: Feldregionen einer Antenne ven Nahfeld, dem abstrahlenden Nahfeld und dem abstrahlenden Fernfeld. Je nachdem, in welchem Abstand man mißt, erhält man verschiedene Meßergebnisse z.b. für die Richtcharakteristik, wie Bild 1.3 zeigt. In den meisten Fällen interessiert nur das Strahlungsverhalten der Antennen im Fernfeld. Hierzu muß die zu vermessende Antenne bei der Messung im Bereich einer ebenen Welle der Sendeantenne stehen. Betrachtet man die Sendeantenne zunächst idealisiert als Punktquelle und die Testantenne mit einer maximalen Ausdehnung D E (z.b. Durchmesser der Anten-

154 148 1 Antennenmeßtechnik Feldverteilung bzw. gemessenes Richtdiagramm reaktives Nahfeld abstrahlendes Nahfeld abstrahlendes Fernfeld Bereich 0 10 D E 50D E Abstand r Bild 1.3: Abhängigkeit der Feldverteilung von den Feldregionen nenapertur bzw. der Antennenwirkfläche) in Bild 1.4, so ergibt sich ein Wegunterschied λ des Weges zwischen Sendeantenne und Antennenschwerpunkt (Phasenzentrum) der Testantenne, sowie des Weges zwischen Sendeantenne und dem Randbereich der Testantenne. In der Praxis sind Wegunterschiede von l = λ 0 /16 zulässig, was einer Phasendifferenz von ϕ = π λ 0 l = π λ 0 λ 0 16 = π 8 =, 5 (1.1) entspricht. Nach dem Satz des Phytagoras ergibt sich so als Grenzfall r SE + ( DE ) = (r SE + l). (1.) Daraus ergibt sich unter Vernachlässigung von l die Fernfeldbedingung für den Abstand zwischen den beiden Antennen: r SE D E λ 0. (1.3) Neben der Phasenvariation über der Apertur der Testantenne darf auch die Amplitudenvariation über der Apertur einen von der erforderlichen Meßgenauigkeit abhängigen Wert nicht überschreiten. In der Praxis sollte der Unterschied in der Strahlungsdichte im Zentrum und am Rand der Testantenne S 1 db (1.4)

155 1.1 Die Antennenmeßstrecke 149 Phasenfront l l= Meßpunkt, Ursprung der Kugelwelle (Phasenzentrum) r SE D E Antenne Bild 1.4: Phasenfehler als Funktion der Entfernung und Apertur D E sein, woraus für die Apertur der Sendeantenne D S λ 0 4 r SE D E (1.5) folgt. Da die Aperturgröße der Sendeantenne D S quadratisch in den Gewinn eingeht, sind die Grenzen für D S nach unten durch die verfügbare Leistung gesetzt. Die Gleichungen (1.4) und (1.5) wurden aus der Betrachtung einer idealisiert als Punktquelle angenommenen Sendeantenne und einer räumlich ausgedehnten Testantenne gewonnen. Trotzdem sind diese Gleichungen auch für ausgedehnte Sendeantennen gültig. Dies soll nachfolgend gezeigt werden. In Bild 1.5 ist eine Sendeantenne mit dem Durchmesser D S und eine Empfangsantenne mit Durchmesser D E skizziert. Ihr Abstand betrage, wie bereits in Bild 1.4 r SE. Die Aufgabe ist nun, die Beiträge aller Quellen auf der Sendeantenne, die zur Amplitude und Phase der Stromdichte an der oberen Kante der Empfangsantenne (C) führen, mit der Stromdichte in der Mitte der Empfangsantenne (E) zu vergleichen. Dies ist dann der maximale, tatsächlich auftretende Fehler. (r SE + l ) = r SE + ( ) DE x. (1.6) Hierzu wird die Länge eines Strahls zwischen einer beliebigen Position x auf der Sendeantenne und der Ecke C der Empfangsantenne nach (1.6) bestimmt. Unter Vernachlässigung von l, wie bereits bei (1.3) geschehen, erhält man aus

156 150 1 Antennenmeßtechnik Phasenfront l l = C A x D S E B D E Sendeantenne l l 1 = 1 r SE D Empfangs- bzw. Testantenne Bild 1.5: Phasenfehler bei endlich großer Sendeantenne und endlich großer Testantenne (1.6) den Phasenfehler l zu l = r SE ± ( ) rse + DE x. (1.7) Damit läßt sich die Stromdichte j E (D E /) an der Ecke C der Empfangsantenne durch Integration über alle Quellen auf der Sendeantenne j S (x), zu (1.8) bestimmen, wobei K eine Konstante ist, die alle festen Größen beinhaltet. ( ) DE j E = K = K D S / D S / D S / D S / j s (x)e jβ l rse + ( D E x ) dx j s (x)e jβ ( r SE ± r SE + ( DE r SE + ( D E x ) ) ) x dx (1.8) Auf dieselbe Weise erhält man die Länge eines Strahl zwischen einer beliebigen Position x auf der Sendeantenne und der Mitte E der Empfangsantenne l 1 zu

157 1.1 Die Antennenmeßstrecke 151 (1.9). Die Stromdichte j E (0) in der Mitte der Empfangsantenne errechnet sich dann zu (1.8). Der Phasenfehler ϕ F l 1 = r SE ± j E (0) = K D S / D S / r SE + x (1.9) j s (x)e jβ ( r SE ± r SE +x ) r SE + x dx (1.10) nach (1.11) kann nicht analytisch berechnet werden. Bild 1.6 zeigt deshalb das Ergebnis numerischer Rechnungen für Paare von identischen Sende- und Empfangsantennen mit den Durchmessern D A zwischen λ und 4λ als Funktion des Abstandes r SE in Wellenlängen für konstant belegte Sendeantenne. Zusätzlich ist der Phasenfehler eingetragen, der durch die Näherungsformel (1.3) bestimmt werden kann und grau hinterlegt ist der Bereich mit Phasenfehlern keiner als π/8. Deutlich ist hier die gute Übereinstimmung der Näherungsformel (1.3) mit der exakten Rechnung für Phasenfehler kleiner π/8 zu erkennen. ϕ F = arg ( je ( DE ) j E (0) ) (1.11) Auch andere Auswertungen von (1.8) und (1.10) zeigen diese gute Übereinstimmung von Näherung und exakter Rechnung für Phasenfehler kleiner π/8. So zeigt die Veränderung der Antennenlängen nur wenig Auswirkungen auf den Phasenfehler. Nur für im Verhältnis zur Empfangsantenne größere Sendeantennen tritt ein merklicher Fehler auf, der jedoch immer kleiner als π/8 bleibt. Bild 1.7 zeigt die Auswertung von (1.8) und (1.10) hinsichtlich des Amplitudenfehlers über der Apertur für die in Bild 1.7 untersuchten Fälle. Für die nach (1.3) bestimmten Fernfeldabstände von 8, 18 und 3 Wellenlängen für die Antennen mit Durchmessern von, 3 und 4 Wellenlängen ergeben sich Amplitudenfehler unter 1 db. Damit zeigt sich insgesamt, daß trotz ihrer Einfachheit (1.3) die notwendige Entfernung zwischen den beiden zu messenden Antennen sehr genau wiedergibt Interferenzen zwischen Haupt- und Nebenstrahlung Außer der Einhaltung des Fernfeldabstandes muß auch darauf geachtet werden, daß Interferenzen zwischen Haupt- und Nebenstrahlung vernachlässigbar sind.

158 15 1 Antennenmeßtechnik 1 Phasenfehler (Mitte-Rand) / RAD 0,1 D A = exakt D = A approx. D A =3 exakt D =3 A approx. D A =4 exakt D =4 A approx Abstand / Bild 1.6: Phasenfehler (Phasendifferenz zwischen Aperturrand und Aperturmitte der Empfangsantenne) für identische Paare von Sende- und Empfangsantennen mit den Aperturdurchmessern D A zwischen λ und 4λ, als Funktion des Abstandes r SE in Wellenlängen

159 1.1 Die Antennenmeßstrecke 153 Amplitudenfehler (Mitte-Rand) / db ,1 D A = D A = 3 D A = Abstand / Bild 1.7: Amplitudenfehler (Amplitudendifferenz zwischen Aperturrand und Aperturmitte der Empfangsantenne) für identische Paare von Sende- und Empfangsantennen mit den Aperturdurchmessern D A zwischen λ und 4λ, als Funktion des Abstandes r SE in Wellenlängen

160 154 1 Antennenmeßtechnik In Bild 1.8 ist dies dargestellt. Von Interesse ist nur die erste Nebenstrahlung. Nebenkeule Diese Interferenz wird vermieden, wenn die Nebenstrahlung genügend stark ab- Empfangsantenne Sendeantenne Hauptkeule Boden Bild 1.8: Bodenreflexion bei der Antennenmessung sorbiert wird, bzw. die Reflexion der Nebenstrahlung nicht die Richtcharakteristik der Empfangsantenne erreicht. Die Leistung über den unerwünschten Empfangsweg muß mindestens 10 db unter der kleinsten Meßgröße liegen Interferenzen zwischen direkter und reflektierter Leistung Weiterhin muß versucht werden, Interferenzen zwischen direkter und reflektierter Leistung zu vermeiden. In der Praxis treten die größten Probleme bei der Messung der Rückwärtsstrahlung einer Antenne auf, wie es z.b. in Bild 1.9 für eine Messung im Absorberraum dargestellt ist. Da der Gewinn der Antenne in dieser zu vermessende Antenne reflektierte Anteile direkter Signalweg Meßantenne Bild 1.9: Störung durch Reflexion der Hauptstrahlung an der Wand

161 1. Freiraummessungen 155 Stellung in Richtung des einfallenden an der Wand reflektierten Strahls wesentlich höher ist (ca db) als in Richtung des direkt einfallenden Strahls, muß die Dämpfung des reflektierten Strahls an der Außenwand mindestens 10 db größer sein als die kleinste zu messende Rückwärtsstrahlung (hier ca. 60 db Dämpfung). 1. Freiraummessungen Sehr große Antennen (Richtfunk-, Radar-, Satellitenantennen) werden im Original immer im Freien vermessen. Meßobjekt und Sendeantenne werden je auf eine Landschaftserhöhung gebracht. Zur Messung wird die Empfangsantenne (das Meßobjekt) im Fernfeld der Sendeantenne gedreht und das Empfangssignal ausgemessen. In einigen Fällen, in denen dies nicht möglich ist, wird die zu vermessende Antenne als Sendeantenne benutzt und die Richtcharakteristik mit dem Flugzeug oder Hubschrauber ausgeflogen oder mit dem Schiff ausgeschwommen. Die Vermessung von Antennen am Einsatzort hat den Vorteil, daß die Einflüsse der Umgebung mit erfaßt und bei Korrekturen berücksichtigt werden können. Nachteil ist, daß Störungen durch Rauschen, Fremdeinstrahlungen usw. nicht ausgeschlossen werden können. 1.3 Der Absorbermeßraum Im Frequenzbereich oberhalb von 100 MHz und bei nicht zu großen Antennenabmessungen kann man eine Reihe von Vorteilen durch Messen im Absorbermeßraum erhalten. Ein Absorbermeßraum (anechoic chamber) ist ein gegen HF-Störungen von außen abgeschirmter, mit Pyramiden-Absorbermatten ausgekleideter Raum. Die Länge dieser aus graffitiertem Schaumstoff hergestellten Pyramiden-Absorbern ist ein Maß für die tiefste Frequenz, bei der im Meßraum gemessen werden kann. Dabei sollte für die Höhe der Absorberpyramiden h > λ 0 4 (1.1)

162 156 1 Antennenmeßtechnik gelten. Die geringste Reflexion des einfallenden Wellenfeldes ergibt sich bei orthogonalem Einfall auf die Absorbermatten. Bild 1.10 zeigt mögliche Bauformen von Absorbermeßräumen. Meßantenne Bild 1.10: Absorberräume: a) Rechteckige Kammer b) Getaperte Kammer 1.4 Die kompakte Fernfeldmeßstrecke Bei der kompakten Fernfeldmeßstrecke ( compact range far field ) werden die Schwierigkeiten des Fernfeldabstandes im Absorberraum durch Einbau eines Präzisions-Parabolreflektors ausgeschaltet (siehe Bild 1.11). Damit sind Messungen im Absorberraum möglich, die sonst wegen eines zu kleinen Antennenabstandes in der Kammer nur im Freiraummeßfeld mit allen Wetter- und Störungsschwierigkeiten ausgeführt werden könnten. Mit dem von einem Erregerhorn ausgeleuchteten Parabolreflektor erreicht man, daß nach der Reflexion der vom Horn abgestrahlten Welle am Parabolreflektor in der Meßzone des Absorberraums eine ebene Welle (ebene Phasenfront bei konstanter Amplitudenbelegung) vorhanden ist. Eine solche ebene Welle würde im Fernfeld erst bei viel größerem Abstand von der Quellenantenne auftreten. Schwierigkeiten gibt es, die Apertur des Parabolreflektors gleichmäßig mit Energie zu belegen, und außerdem Rückwirkung des Meßobjekts auf das Meßfeld zu vermeiden. Um Randbeugungseffekte des Parabolrands klein zu halten, zähnt man den Rand (siehe Bild 1.11). Man kann ihn auch mit Absorbermaterial belegen. Zwischen Quellenantenne und Testantenne darf keine direkte Kopplung bestehen, deshalb werden sie gegeneinander abgeschirmt. Abschirmung und Test-

163 1.5 Die Nahfeldmeßstrecke 157 a) b) Bild 1.11: Kompakte Fernfeld-Meßstrecke a) Gesamtansicht b) Prinzipbild 1 Parabolreflektor, Erregerhorn, 3 Testantenne auf Drehtisch im Fernfeld, 4 mit Pyramiden-Absorbern bedeckte Rückwand. Allgemein sind alle Seiten des Raumes mit Pyramiden-Absorbern bedeckt antennenträger werden zur Vermeidung von Reflexionen mit Absorberpyramiden abgedeckt. Im Frequenzbereich 40 GHz haben sich die kompakten Fernfeldmeßstrecken bei der Messung an relativ kleinen Antennen bewährt. Sie machen eine Direkt-Meßtechnik wie bei großen Fernfeld-Meßstrecken möglich und erfordern trotz des kleinen Meßabstandes nicht den Rechnereinsatz der nachfolgend beschriebenen Nahfeldmeßtechnik. 1.5 Die Nahfeldmeßstrecke In Fällen, in denen die Vermessung der Antenne sehr große Fernfeldabstände erfordert und die Vermessung der oft sehr empfindlichen Antennensysteme im Freien nicht angebracht scheint, kann man auf in Absorberräumen eingebaute sogenannte Nahfeldmeßstrecken zurückgreifen, mit denen man genaue und ungestörte Nahfeldmessungen an Antennen durchführen kann. Die Meßergebnisse werden in die Fernfeldrichtdiagramme transformiert. Für diese Messungen gelten höchste Genauigkeitsanforderungen bei der Positionierung von Sende- und Empfangsantenne.

164 158 1 Antennenmeßtechnik 1.6 Messung der Richtcharakteristik Bei der Messung der Richtcharakteristik wird das Meßobjekt im Strahlungsfeld der Sendeantenne gedreht und die Ausgangsspannung des Meßempfängers als Funktion der Position aufgezeichnet. Dabei sind folgende Darstellungen üblich: polare Darstellung kartesische Darstellung in linearem Maßstab logarithmischem Maßstab Neben der Erfassung des kopolaren Richtdiagrammes interessiert bei der genauen Bestimmung des Polarisationsverhaltens auch noch das kreuzpolare Richtdiagramm. Es beschreibt, inwieweit die zur Hauptpolarisation (für die die Antenne konstruiert ist) orthogonale Polarisation überkoppelt und noch von der Antenne empfangen wird. Für die Messung von linear polarisierten Antennen reicht es in der Regel aus, in zwei zueinander orthogonalen, durch die von der Hauptstrahlrichtung und dem magnetischen ( H) bzw. dem elektrischen Feldvektor ( E) gebildeten Ebenen zu messen. Die resultierenden Diagramme werden dann als H- bzw. E-Diagramm bezeichnet. Bild 1.1 zeigt das aufgenommene E- bzw. H-Diagramm für ein 8 4 Patcharray, wobei jeweils Kopolarisation (Co-Pol.) und Kreuzpolarisation (X-Pol.) aufgetragen sind. Bei der Messung von elliptisch bzw. zirkular polarisierten Antennen läßt man eine linear polarisierte Sendeantenne mit konstanter Drehzahl drehen. Dadurch wird die zu testende Empfangsantenne mit einer rotierenden linear polarisierten Welle angestrahlt. Da bei einer elliptisch polarisierten Antenne die empfangene Leistung abhängig ist von der momentanen Polarisationsrichtung dieser einfallenden Welle, schwankt die Empfangsleistung im Rhytmus der Umdrehungen der Sendeantenne. Dreht man dazu noch die Empfangsantenne in Azimut oder Elevation, erhält

165 1.7 Gewinnmessung 159 E-Ebene H-Ebene X-POL CO-POL X-POL CO-POL (a) Ohne (b) Bild 1.1: Ko- und Kreuzpolarisation für ein 8 4-Patcharray: a) E-Ebene, b) H- Ebene man ein Richtdiagramm nach Bild Die beiden Einhüllenden dieser Kurve geben die in einer bestimmten Raumrichtung maximal bzw. minimal empfangene Leistung an. Die Differenz zwischen beiden wird als Elliptizität P E bezeichnet. Die Elliptizität reduziert den Gewinn von Antennen, wenn diese zirkular angestrahlt werden. Die Gewinnreduzierung errechnet sich aus: G red = (1 + P E) (1 + P E ) P E in linearem Maßstab (1.13) Als Maß für die Qualität der zirkularen Polarisation einer Antenne wird auch häufig das sogenannte axial ratio AR verwendet, das der Elliptizität ausgedrückt in db entspricht: AR = P E db = 0 log P E. (1.14) 1.7 Gewinnmessung Die Messung des Antennengewinns kann auf mehrere Arten erfolgen. Bild 1.14 zeigt zwei Antennen A und B mit den Gewinnen G A und G B im Abstand r voneinander. Wenn die eine Antenne als Sender und die andere als Empfänger wirkt, gilt für den Zusammenhang zwischen gesendeter Leistung P S und empfangener

166 160 1 Antennenmeßtechnik AR db = P E db Amplitude /db vs. Azimutwinkel Bild 1.13: Richtdiagramm für eine zirkular polarisierte Antenne mit der Elliptizität P E in Hauptstrahlrichtung Leistung P E : ( ) P E λ0 = G A G B. (1.15) P S 4π r In logarithmischer Form gilt: 10 log P E P S ( ) λ0 = 0 log + G A 4π r db + G B db. (1.16)

167 1.7 Gewinnmessung 161 P S P E G A r G B, A WE Bild 1.14: Meßaufbau für die Gewinnbestimmung Zwei-Antennen-Methode Verwendet man für die Gewinnmessung zwei vollkommen identische Antennen mit G A = G B, gilt: G A db = G B db = 1 [ 10 log P ( )] E λ0 0 log P S 4π r. (1.17) 1.7. Drei-Antennen-Methode A B A C B C Bild 1.15: Drei-Antennen-Methode Bei der Drei-Antennen-Methode müssen die drei Antennen A, B und C nicht genau gleich sein. Man führt insgesamt drei Messungen wie in Bild 1.15 dargestellt durch. Aus den drei Messungen erhält man 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten G A, G B und G C, die sich leicht lösen lassen. ( ) PE G A db + G B db = 10 log 0 log P S AB ( ) PE G A db + G C db = 10 log 0 log P S AC ( ) PE G B db + G C db = 10 log 0 log P S BC ( λ0 ), (1.18a) 4π r ), (1.18b) 4π r ( ) λ0. (1.18c) 4π r ( λ0 (1.18d)

168 16 1 Antennenmeßtechnik Gewinnvergleichsverfahren Hat man mittels der Zwei-Antennen-Methode bzw. der Drei-Antennen-Methode den Gewinn einer Antenne genau bestimmt, so kann dieser für weitere Messungen als Gewinnormal eingesetzt werden. Hierzu mißt man nach Bild 1.16 zuerst die von der Vergleichsantenne empfangene Leistung P Enormal. Danach ersetzt man die Vergleichsantenne durch das Meßobjekt und mißt die von der Testantenne empfangene Leistung P EMeßobjekt. Der Gewinn der Testantenne ergibt sich dann zu: G db = G normal db + 10 log P E Meßobjekt P E normal. (1.19) Normal Meßobjekt Sender Empfänger Bild 1.16: Gewinnvergleichsverfahren 1.8 Bestimmung des Wirkungsgrads Der Wirkungsgrad η einer Antenne wurde bereits in Abschnitt 3. als Verhältnis der von einer Antenne abgestrahlten Leistung P S zu der eingespeisten Leistung P a eingeführt: η = P S P a. (1.0) Den Wirkungsgrad einer Antenne exakt zu berechnen, ist aufgrund der oft nur unzureichend bekannten Verlustmechanismen nahezu unmöglich. Besonders bei Frequenzen im Mikrowellenbereich spielen Oberflächenrauhigkeiten, Materialtoleranzen und parasitäre Effekte, wie die Abstrahlungsverluste durch Speiseleitun-

169 1.8 Bestimmung des Wirkungsgrads 163 gen und die Ausbildung von Oberflächenwellen, eine bedeutende Rolle. Diese lassen sich jedoch im allgemeinen nur ungenau vorherberechnen. Zur vollständigen Charakterisierung einer Antenne bleibt daher meist nur die meßtechnische Ermittlung des Antennenwirkungsgrads. Dies ist eine in der Praxis nicht einfach zu lösende Aufgabe. Allgemein kann der Wirkungsgrad nicht direkt gemessen werden, sondern muß über die Messung anderer Antennenkenngrößen indirekt bestimmt werden. Verschiedene Verfahren sind dazu möglich, wovon im folgenden zwei exemplarisch beschrieben werden Bestimmung aus Gewinn und Richtfaktor Eine erste Möglichkeit zur Bestimmung des Wirkungsgrades ergibt sich durch die Bildung des Verhältnisses von Antennengewinn G und Richtfaktor D nach η = G D. (1.1) Die Messung des Gewinns G erfolgt nach einem der in Abschnitt 1.7 beschriebenen Verfahren. Die verbleibende Ermittlung des Richtfaktors D kann auf drei Arten durchgeführt werden: 1. Durch Berechnung der dreidimensionalen Richtcharakteristik der Antenne und anschließende Auswertung des Integrals: D = π π ψ=0 θ=0 4π. (1.) C (θ, ψ) sin θ dθ dψ Abweichungen zwischen berechneter und tatsächlicher Richtcharakteristik können das Ergebnis dieser Methode verfälschen.. Durch Messung der dreidimensionalen Richtcharaktersitik C(θ, ψ) und anschließender Auswertung des Integrals Gl. (1.). In der Praxis erfordert diese Messung viel Zeit und außerdem eine spezielle Antennen- Meßkammer, welche eine dreidimensionale Vermessung der Richtcharakteristik erlaubt. In vielen Fällen wird diese Methode daher nicht durchführbar sein.

170 164 1 Antennenmeßtechnik 3. Durch Messung der Halbwertsbreiten in der E- bzw. H-Ebene der Richtcharakteristik und Anwendung der Näherungsformel (Winkel in Grad) D 4153 θ ψ. (1.3) Diese Näherungsformel gilt nur für idealisierte sektorförmige Richtcharakteristiken. Insbesondere für Antennen mit näherungsweise omnidirektionaler Richtcharakteristik (z.b. Antennen für Handys) sind solche Formeln unbrauchbar Bestimmung mittels Wheeler Cap Im Vergleich zu den oben beschriebenen Verfahren, bei denen die Ermittlung des Wirkungsgrads auf der Kenntnis der dreidimensionalen Richtcharakteristik der zu untersuchenden Antenne beruht, erfordert die Bestimmung des Wirkungsgrads mit einer sogenannten Wheeler Cap nur die Messung der komplexen Eingangsimpedanz am Speiseanschluß der Antenne. Damit ergibt sich ein wesentlich geringerer Meßaufwand. Aus Abschnitt 3. ist bereits das in Bild 1.17(a) ge- j X a j X a R v R v R s R s Kurzschluß durch Wheeler Cap (a) Ohne Wheeler Cap (b) Mit Wheeler Cap Bild 1.17: Eingangsimpedanz der Antenne zeigte Ersatzschaltbild einer Antenne bekannt. Der Einfachheit halber beschränkt man sich auf die Darstellung des Sendefalls. Der Realteil der Eingangsimpedanz kann in zwei Anteile R V und R S aufgeteilt werden. Der Anteil R V beschreibt die in der Antenne auftretenden Verluste, welche z.b. durch dielektrische Verluste oder

171 1.8 Bestimmung des Wirkungsgrads 165 den Skineffekt in metallischen Leitern verursacht werden. Die von R V aufgenommene Leistung trägt somit nicht zur Abstrahlung der Antenne bei, und vermindert daher den Wirkungsgrad der Antenne. Der zweite Anteil R S beschreibt die Leistung, welche durch die Antenne abgestrahlt wird. Der Wirkungsgrad der Antenne kann daher durch R S η = (1.4) R V + R S berechnet werden. Dazu müssen jedoch die beiden Realteile der Eingangsimpedanz separat bekannt sein. Bei einer Messung der komplexen Eingangsimpedanz einer Antenne wird normalerweise die Serienschaltung R V + R S als Realteil erfaßt. Wird nun durch besondere Maßnahmen eine Abstrahlung von der Antenne verhindert, so wird der Abstrahlungsanteil unterdrückt (Bild 1.17(b)). Bei der Messung der Eingangsimpedanz kann dann der Verlustanteil R V getrennt erfaßt werden. Wheeler Cap planare Antenne Massefläche Speiseleitung Bild 1.18: Abschirmung der Antenne mit Wheeler Cap (z.b. mit planarer Antenne) Eine besonders einfache Möglichkeit, die Abstrahlung einer Antenne zu unterdrücken, ist die sogenannte Wheeler Cap (Bild 1.18). Dies ist eine metallisch leitfähige, rundum geschlossene Abdeckung, welche die gesamte Antenne umhüllt. Die metallisch leitende Abschirmung muß dabei in so großem Abstand von der eigentlichen Antenne verlaufen, daß die Stromverteilung auf der Antenne selbst nicht wesentlich beeinflußt wird. Durch eine veränderte Stromverteilung könnten sich nämlich die Verlustmechanismen in der Antenne selbst und damit auch R V verändern, was dann zu Meßfehlern führt. Dies ist gleichzusetzen mit der Forderung, daß sich die Wheeler Cap außerhalb des reaktiven Nahfelds der Antenne befinden muß, d.h. nach Bild 1. in einem Abstand von ungefähr λ 0 /π bis λ 0 von der Antennenstruktur. Die Bestimmung des Wirkungsgrads über die

172 166 1 Antennenmeßtechnik Impedanzmessung mit Hilfe der Wheeler Cap stellt ein sehr einfaches und elegantes Verfahren dar. Es besitzt zudem eine bessere Reproduzierbarkeit als die Verfahren, welche die Richtcharakteristik der Antenne auswerten. Es eignet sich insbesondere für stark miniaturisierte Antennen, wie sie z.b. in schnurlosen Telefonen und Handys zum Einsatz kommen. Die zusätzlichen Verluste, welche durch die Integration der Antennen in unmittelbarer Nähe elektronischer Bauteile und Schaltkreise entstehen, lassen sich mit dieser Methode sehr gut bestimmen.

173 13 Antennensystemtechnik 13.1 Antennen mit fester Richtcharakteristik Zur Auslegung einer Antenne in einem System ist die Kenntnis vieler Parameter notwendig. Die genauen Werte dieser Parameter können häufig erst im Nachhinein aus der Messung der aufgebauten Antenne bestimmt werden. Aus diesem Grund wird häufig zunächst ein einfaches Modell mit wenigen Parametern, die sich zudem einfach abschätzen lassen, verwendet. Weiterhin wird zunächst in Abschnitt 13.1 der Fall einer Antenne mit fester - also nicht schwenkbarer - Richtcharakteristik, betrachtet. Die Einflüsse durch das Schwenken der Richtcharakteristik werden dann anschließend in Abschnitt 13.3 bzw. für Arrays im Abschnitt 13.5 diskutiert. Der Gewinn einer Antenne kann mit Hilfe von (13.1) aus den folgenden Parametern abgeschätzt werden: der als Antenne wirkenden strahlenden planaren Aperturfläche A geom ; bei nichtplanaren Antennen ist hier die projizierte Fläche einzusetzen. der Frequenz und damit der Wellenlänge λ, bei der die Antenne betrieben werden soll. Funktioniert die Antenne innerhalb einer bestimmten Bandbreite, so ist die untere Grenzfrequenz einzusetzen, da dort der minimale Gewinn der Antenne erreicht wird. die Flächen- oder Aperturausnutzung η F der Antenne (z.b. nach Tabelle 7.3), die aus der Belegungsfunktion der Apertur sowie der Krümmung der Apertur herrührt. dem Wirkungsgrad η cd der Antenne, der aus den metallischen und dielektrischen Verlusten der Antenne herrührt. 167

174 Antennensystemtechnik dem leitungsseitigen Reflexionsfaktor r der Antenne an ein Netzwerk. dem Polarisationswirkungsgrad η P LF der Antenne, der die Verluste durch Abstrahlung der Kreuzpolarisation (Polarisation, die zur gewünschten Polarisation orthogonal ist) beschreibt. Hieraus folgt für den realisierbaren Gewinn nach (3.3) unter Berücksichtigung von leitungsseitigen Anpassungsverlusten (Reflexionsfaktor r) ( G = η A 1 r ) ( ) 4π ( A λ geom = η P LF η cd η F 1 r ) ( ) 4π A λ geom (13.1) Die Werte der Parameter sowie der Einfluß auf den Gewinn wird in den folgenden Abschnitten im Einzelnen diskutiert Richtfaktor und geometrische Aperturfläche Für den Idealfall einer verlustfreien, konstant belegten, ideal angepaßten und polarisationsrein strahlenden Antenne ist der Gewinn nach (13.1) gleich dem maximalen Richtfaktor D max (engl. Directivity) nach (13.). ( ) 4π D = η F A λ geom D max = ( 4π λ ) A geom (13.) Aufgrund der Idealisierungen bildet der Richtfaktor eine obere Schranke für den Gewinn, die in der Praxis jedoch nie erreicht wird, da immer Verluste vorhanden sind Verluste Die Verluste sind für die Differenz zwischen Richtfaktor und Gewinn verantwortlich. Sie lassen sich in zwei Gruppen einteilen, die hier ohmsche Verluste und Richtungsverluste genannt werden sollen. Bei den ohmschen Verlusten wird Signalenergie in thermische Energie umgewandelt, bei den Richtungsverlusten bleibt die Signalenergie zwar erhalten, wird aber nicht in das Hauptmaximum polarisationsrichtig abgestrahlt.

175 13.1 Antennen mit fester Richtcharakteristik 169 Oberflächenwellen, wie sie bei Streifenleitungsantennen (Microstrip-Antennen) auftreten, werden häufig zu den Verlustmechanismen gezählt. Sie werden für folgenden Betrachtungen nicht weiter verfolgt, da die Energie, die in Oberflächenwellen transportiert wird, am Ende in thermische Energie umgewandelt oder abgestrahlt oder zurück auf die Leitung reflektiert wird. In allen aufgezählten Fällen wird sie damit von einem der beiden anderen Verlustmechanismen erfaßt. Ohmsche Verluste in der Antenne lassen sich auf Leitungsverluste oder dielektrische Verluste zurückführen und werden deshalb als ohmsche und dielektrische Verluste bezeichnet. Für die Funktion der Antenne ist die genaue Aufteilung der Verluste auf die beiden Verlustmechanismen unerheblich, weswegen sie in aller Regel in einer einzigen Größe η cd zusammengefaßt werden Verluste in Strahlerelementen Abhängig vom Strahlerelement und den eingesetzten Materialien sind die Verluste durch ohmsche Verluste auf endlich leitfähigem Metall oder durch dielektrische Verluste aufgrund des tan δ des Materials dominiert. Statt der Verluste wird im allgemeinen der Wirkungsgrad der Elemente η cd angegeben. Der Verlust oder negative Gewinn (in db) G cd ist mit dem Wirkungsrad wie folgt verknüpft. G cd = 10 log 10 (η cd ) (13.3) In aperturgekoppelten Streifenleitungsantennen mit Schaumsubstraten halten sich die beiden Verlustmechanismen in etwa die Waage und führen zu einem Wirkungsgrad für das Strahlerelement von ca. 95%. In Spiralantennen dominieren die ohmschen Verluste auf den langen Armen und führen zu Wirkungsgraden unter 90%. Die höchsten Wirkungsgrade werden bei Flächenantennen wie Parabolantennen erreicht Verluste in den Leitungen Beim Zusammenschalten mehrerer Einzelstrahler zu einer Gruppe werden Verbindungsleitungen benötigt, die, unabhängig vom Strahlertyp, kostengünstig auf das die Strahlerelemente tragende Substrat mitgeätzt werden können. Bei den

176 Antennensystemtechnik im Vergleich zur Wellenlänge dünnen Substraten dominieren die ohmschen Verluste im Kupfer und führen zu ganz erheblichen Verlusten, die in Tabelle 13.1 für die beiden Substratmaterialien Duroid5880 von Rogers Corp. und Arlon30 für verschiedene Leiterbreiten zusammengestellt sind. Zum Vergleich: Die Dämpfung von 50 Ω-Koaxialkabeln mit einem Außendurchmesser um 5 mm liegt zwischen 0.3 db/m und 0.5 db/m. Leistungskabel mit einem Außendurchmesser von 7 mm erreichen db/m. Dieser Wert wird von Aluminiumhohlleitern mit 0.01 db/m noch übertroffen, leider übertreffen aber auch die Abmessungen mit 134 mm x 169 mm alles andere. Liegen diese Ver- Substrat Wellenwiderstand Leiterbreite Dämpfung 0.5 mm Duroid Ω.53 mm 1.3 db/m 0.5 mm Duroid Ω 1.54 mm 1.4 db/m 0.5 mm Duroid Ω 0.87 mm 1.4 db/m 1.5 mm Arlon Ω 5.97 mm 1.1 db/m 1.5 mm Arlon30 50 Ω 3.58 mm 1. db/m 1.5 mm Arlon Ω 1.99 mm 1. db/m Tabelle 13.1: Verluste verschiedener Streifenleitungsanordnungen bei 1.6 GHz teilnetzwerke zwischen Strahlerelement und Antennenanschluß, so werden ihre Verluste der Antenne zugeschlagen und gehen in η cd mit ein Eingangsreflexionsfaktor der Antenne Eine weitere Quelle von Gewinnverlusten ist eine leitungsseitige Fehlanpassung der Antenne. Der Effekt ist anschaulich recht klar, da Leistung, die nicht in die Antenne kommt, auch nicht abgestrahlt werden kann. Die (in diesem Falle negative) Gewinnzunahme (in db) G Anp durch schlechte Anpassung läßt sich mit Hilfe von (13.4) berechnen und ist in Bild 13.1 dargestellt. G Anp = ( 1 r ) (13.4) Für eine Anpassung von 0 db beträgt der Gewinnverlust 0.04 db und liegt damit weit unter der Meßgenauigkeit für Gewinnmessungen (Abschnitt 1.7). Bei

177 13.1 Antennen mit fester Richtcharakteristik 171 einer Anpassung von 14 db, wie sie üblicherweise für Patchantennen spezifiziert wird, beträgt der Gewinnverlust 0.18 db, bei einer Anpassung von 10 db, wie sie üblicherweise für Spiralantennen spezifiziert wird, kann aus Bild 13.1 ein Wert von 0.46 db abgelesen werden. Bild 13.1: Abnahme des Gewinns einer Antenne aufgrund einer Fehlanpassung am Eingang Polarisationsanpassung Das elektromagnetische Feld, das von einer Antenne abgestrahlt wird, besitzt eine bestimmte Polarisationsrichtung, die nach IEEE wie folgt definiert ist: Man betrachtet eine ortsfeste Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle. Für einen Beobachter, der in Ausbreitungsrichtung der Welle blickt, beschreibt die Spitze des Vektors des elektrischen Feldes als Funktion der Zeit in dieser Ebene eine Ellipse nach Bild.6 bzw Bewegt sich die Spitze des Vektors des elektrischen Feldes als Funktion der Zeit im Uhrzeigersinn, so spricht man von rechtshändiger Polarisation (engl. right-hand circular, RHC), bewegt sich die Spitze gegen den Uhrzeigersinn, so spricht man von linkshändiger Polarisation (engl. left-hand circular, LHC). AR = große Halbachse kleine Halbachse = OA, 1 AR (13.5) OB

178 17 13 Antennensystemtechnik Das Verhältnis der großen Halbachse OA zur kleinen Halbachse OB der Ellipse nach Bild 13. wird nach (13.5) als Achsenverhältnis (engl. Axial-Ratio, AR) bezeichnet 1. Es handelt sich um ein Maß für die Elliptizität der Polarisationsellipse. Ideale zirkulare Polarisation besitzt ein Achsenverhältnis AR = 1 entsprechend AR = 0 db. Die Qualität von zirkularer Polarisation läßt sich damit quantitativ beschreiben. y E y0 OB OA z E x0 Die Grenze für zirkulare Polarisation wird im allgemeinen bei einem Achsenverhältnis von 3 db gezogen. Eine größere Elliptizität bedeutet eine zunehmend lineare Polarisation. Betrachtet man allerdings den Zusammenhang zwischen Polarisationsreinheit und Gewinn genauer, so stellt sich heraus, daß diese Grenze von 3 db eher geometrische Gründe hat. Hierzu wird der Zusammenhang zwischen Polarisationsreinheit und Gewinn näher beleuchtet. Der Gewinn der Anx Bild 13.: Polarisationsellipse, Projektion der Raumkurve der Spitze des Vektors des elektrischen Feldes als Funktion der Zeit in eine Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung tenne wird für die gewünschte Polarisationsrichtung gemessen. Jede reale Antenne strahlt auch einen Anteil der eingespeisten Leistung in der zur gewünschten Polarisation orthogonalen Polarisation ab, man spricht von Kreuzpolarisation. Dadurch entsteht ein Verlust in der Empfangsleistung, der durch den Polarisationswirkungsgrad nach (13.6) beschrieben wird. η P LF = ρ W ρ A (13.6) 1 Teilweise wird in der Literatur auch der Kehrwert OB/OA als Axial Ratio bezeichnet. Eine genormte Definition existiert nicht.

179 13.1 Antennen mit fester Richtcharakteristik 173 Polarisationsrichtung horizontal vertikal rechtshändig zirkular linkshändig zirkular Vektor e x e y e x j e y e x+j e y Tabelle 13.: Überblick der gebräuchlichsten Polarisationsrichtungsvektoren bezogen auf das in Bild 13. dargestellte Koordinatensystem für Ausbreitung in positive z-richtung Es handelt sich um das Skalarprodukt der normierten Polarisationsrichtungsvektoren der einfallenden Welle ρ W und der Antenne ρ A. Tabelle 13. gibt einen Überblick der gebräuchlichsten Polarisationsrichtungsvektoren bezogen auf das in Bild 13. dargestellte Koordinatensystem für Ausbreitung in positive z-richtung. Der Polarisationswirkungsgrad für eine Antenne mit Achsenverhältnis AR, auf die eine ideal rechtszirkular polarisierte Welle einfällt, berechnet sich dann zu (13.7). ( η P LF = ex j e y ) ( ) AR ex j e y = AR + 1 AR + 1 (AR + 1) (13.7) Die in Bild 13.3 dargestellte Kurve ergibt sich dann, wenn (13.7) als Funktion aufgetragen wird und zusätzlich der Polarisationswirkungsgrad in (hier negativen) Gewinn (in db) umgerechnet wird. Abzulesen ist, wie man sich auch anschaulich überlegen kann, daß für AR, also für lineare Polarisation, der Antennengewinn um 3 db abnimmt, also die Hälfte der in der ankommenden Welle enthaltenen Leistung nicht aufgenommen werden kann. Der interessante Bereich aus Bild 13.3, nämlich der Bereich 0 db AR 10 db ist in Bild 13.4 nochmals vergrößert dargestellt. Aus Bild 13.4 ist zu sehen, daß für ein Achsenverhältnis von 3 db der Gewinnverlust 0.13 db beträgt, für AR = 6 db ein Gewinnverlust von 0.45 db auftritt und für AR = 10 db ein Verlust von 1.04 db zu erwarten ist. Ein weiterer betrachtenswerter Aspekt ist der Zusammenhang - genauer das Verhältnis - zwischen Co-Polarisation, also gewünschter Polarisationsrichtung, und Kreuzpolarisation (X-Polarisation), also der unerwünschten Polarisationsrichtung. Für die Herleitung wird ein zirkular polarisiertes Bezugssystem verwendet, d. h. statt linear in x- und y-richtung polarisierten Feldstärkevektoren (E x und E y ) wer-

180 Antennensystemtechnik Bild 13.3: Abnahme des co-polaren Gewinns einer Antenne aufgrund einer Fehlanpassung der Polarisation Bild 13.4: Abnahme des co-polaren Gewinns einer Antenne aufgrund einer Fehlanpassung der Polarisation, Vergrößerung des Bereichs zwischen 0 db und 10 db Achsenverhältnis aus Bild 13.3

181 13.1 Antennen mit fester Richtcharakteristik 175 den rechts- und linkszirkular polarisierte Feldstärkevektoren (E RHC und E LHC ) verwendet. O. B. d. A. wird im folgenden die rechtshändig zirkular polarisierte Feldstärke als die Co-Polarisation betrachtet, die linkshändig polarisierte Feldstärke als die Kreuzpolarisation. Entsteht nun die Polarisationsellipse in Bild 13. Bild 13.5: Zusammenhang zwischen Kreuzpolarisationsunterdrückung und Achsenverhältnis für zirkulare Polarisation aus diesen beiden zirkular polarisierten Wellen, dann muß sich die große Halbachse aus der konstruktiven Interferenz ergeben OA = E RHC + E LHC die kleine Halbachse aus der destruktiven Interferenz OB = E RHC E LHC. Die Auflösung dieser beiden Gleichungen nach E RHC und E LHC sowie anschließende Verhältnisbildung unter Nutzung von (13.5) ergibt einen Zusammenhang zwischen dem Achsenverhältnis und dem Verhältnis zwischen Co- und Kreuzpolarisation nach (13.8). E LHC E RHC = OA OB OA + OB = AR 1 AR + 1 (13.8) Bild 13.5 zeigt den graphischen Verlauf von (13.8), wobei sowohl das Achsenverhältnis als auch das Verhältnis zwischen X- und Co-Polarisation in db umgerechnet wurde.

182 Antennensystemtechnik 13. Aperturbelegung und Nebenkeulendämpfung Neben den Verlustmechanismen, die mit einem eigenen Faktor berücksichtigt werden, taucht in (13.1) auch noch die Flächen- oder Aperturausnutzung η F auf. Sie wirkt zwar auch mindernd auf den Richtfaktor und damit auch auf den Gewinn, beruht jedoch nicht auf ungewollten Verlusteffekten, sondern auf gewollten Änderungen der Aperturbelegung zur Erreichung einer bestimmten Richtcharakteristik Belegungsfunktion und Richtcharakteristik Die Aperturbelegung der Antenne ist über die Fouriertransformation (13.9) fest mit der Richtcharakteristik verknüpft. So ist es möglich, bei bekannter Aperturbelegung die Richtcharakteristik zu ermitteln, wie auch umgekehrt aus der Richtcharakteristik die Aperturbelegung synthetisiert werden kann. f(x) = 1 π k= F (k)e jkx dk (13.9) F (k) = f(x)e jkx dx (13.10) x= Mit Hilfe der Fouriertransformation läßt sich somit leicht die Charakteristik einer konstant belegten Antenne ermitteln, die Fouriertransformierte einer Rechteckfunktion ist die sin(x)/x-funktion Charakteristik, Richtfaktor und Halbwertsbreite Die Halbwertsbreite dieser konstanten Belegung ist die kleinste Halbwertsbreite, die mit der vorhandenen Apertur zu realisieren ist. Gleichzeitig ist der Richtfaktor, der nach (3.18) bzw. (13.11) aus dieser Richtcharakteristik C(θ, ψ) berechnet werden kann, der maximal mögliche Richtfaktor D max, der mit dieser Apertur erreicht wird. D = π π θ=0 ψ=0 4π (C(θ, ψ)) sin θ dθ dψ (13.11)

183 13. Aperturbelegung und Nebenkeulendämpfung 177 Belegung Niveau des höchsten Nebenzipfels Halbwertsbreite Konstant 13. db 50.5 λ/a Cosinus 3 db 68.5 λ/a Cosinus 3 db 8.5 λ/a Cosinus mit 10 db Sockel 6 db 6 λ/a Cosinus mit 0 db Sockel 40 db 73.5 λ /a Tabelle 13.3: Belegungsfunktionen, deren Nebenzipfelniveau und Halbwertsbreite (a =Größe der Apertur), siehe auch Tabelle 7.3 Allgemein gilt, je kleiner die Halbwertsbreite, desto größer der Richtfaktor. Da der exakte Zusammenhang (13.11) für Abschätzungen zu unhandlich ist, wurden eine Reihe von Näherungsformeln entwickelt (Abschnitt 3.5), von denen (3.1) bzw. (13.1) als die am meisten realitätsnahe gilt. G = 6000 θ HW / ψ HW / (13.1) Alle diese Formeln gehen von bestimmten Belegungen aus, berechnen die Richtcharakteristik nach (13.10) und entwickeln diese dann günstig in Reihen, so daß die Integration in (13.11) durchgeführt werden kann. Anschließend werden Richtfaktor und Halbwertsbreiten der Charakteristik verglichen. Der hierbei ermittelte Zahlenwert stellt den Zähler von (13.1) dar. Zusätzlich sind in (13.1) durchschnittliche Werte für die Verluste nach Abschnitt berücksichtigt, weswegen dort G für Gewinn statt D für Richtfaktor steht Halbwertsbreite und Nebenzipfeldämpfung Soll das Niveau der Nebenzipfel einer Antenne abgesenkt werden, so muß die Belegung der Antenne am Rand vermindert werden. Hierzu sind in Tabelle 7. verschiedene Belegungsfunktionen zu finden, die alle die Randbelegung mindern und damit die Nebenzipfel absenken, sie unterscheiden sich jedoch in den erreichten Werten, wie auch im genauen Aussehen der erreichten Richtcharakteristik. In Tabelle 13.3 sind einige Belegungen und deren Nebenzipfelniveau zusammengefaßt. Weiterhin ist in Tabelle 13.3 die Halbwertsbreite der jeweiligen Belegungen unter Berücksichtigung der Aperturgröße a im Verhältnis zur Wellenlänge λ angegeben. Ein generell gültiges Verhalten ist auch hier abzulesen:

184 Antennensystemtechnik Belegung Flächenausnutzung Konstant 1 Cosinus 0.81 Cosinus 0.67 Cosinus mit 10 dbsockel 0.88 Cosinus mit 0 dbsockel 0.75 Tabelle 13.4: Belegungsfunktionen und deren Flächenausnutzung (eindimensional), siehe auch Tabelle 7.3 Je geringer die Nebenzipfel, desto größer die Halbwertsbreite und folglich (nach (13.11) bzw. (13.1)) je kleiner der Gewinn Flächenwirkungsgrad Der maximale Gewinn wird bei verlustfreier Antenne und konstanter Belegung erreicht. Dann ist G = D max nach (13.). Der Flächenwirkungsgrad ist der Faktor, um den sich der Richtfaktor bzw. der Gewinn einer verlustfreien Antenne vom maximal mögliche Richtfaktor unterscheidet. Mathematisch führt dies auf (13.13), durch Auflösen von (13.) und Einsetzen von (13.11). η F = D ( 4π ) = λ Ageom π A geom θ=0 ψ=0 π λ (C(θ, ψ)) sin θ dθ dψ (13.13) Für die Belegungen aus Tabelle 13.3 ist die Flächenausnutzung in Tabelle 13.4 wiedergegeben. Sie beträgt zum Beispiel bei der cos-belegung Zur Berechnung der Flächenausnutzung einer rechteckigen Antenne mit unterschiedlichen Belegungsfunktionen in beiden Richtungen ist dann das Produkt der Flächenausnutzung beider Belegungen zu bilden. So beträgt zum Beispiel die Flächenausnutzung einer Antenne mit konstanter Belegung in einer Richtung und cosförmiger Belegung in der zweiten Richtung Ein bekannter Vertreter solcher Antennen ist das in der Meßtechnik häufig verwendete Pyramidenhorn. Auch in der Flächenausnutzung spiegelt sich das Abschnitt bereits angesprochene Problem wieder. Werden die Nebenzipfel abgesenkt so vermindert sich der Gewinn und damit die Flächenausnutzung. Umgekehrt hat dies Auswirkungen auf die notwendige Aperturgröße bei gegebenem Gewinn und steigenden

185 13. Aperturbelegung und Nebenkeulendämpfung 179 Anforderungen an die Nebenzipfel: Die notwendige Aperturgröße steigt ebenfalls an Fehler in der Belegungsfunktion Aufgrund von Toleranzen bei der Herstellung der Einzelelemente in Gruppenantennen können Fehler in der Geometrie, der Position und der Orientierung auftreten. Weiterhin sind durch Toleranzen im aktivem oder passiven Speisenetzwerk Fehler sowohl in der Amplitude als auch in der Phase der Belegung möglich. Alle diese Fehler führen dazu, daß Leistung aus der Haupkeule der Richtcharakteristik auf die Nebenzipfel verteilt wird. Die Fehler selbst können systematischer oder zufälliger Natur sein. Die systematischen Fehler müssen im Rahmen der deterministischen Arraysimulation berücksichtigt werden, die zufälligen Fehler können mit Hilfe der Statistik abgeschätzt werden. σtotal = σphase + σamplitude (13.14) Für kleine, unkorrelierte Fehler kann die Standardabweichung der Belegung σ Total aus den Standardabweichungen der Amplitude σ Amplitude und der Standardabweichung der Phase σ Phase nach (13.14) berechnet werden. So ergibt sich beispielsweise für eine Standardabweichung der Amplitude von 1 db (σ Amplitude = 0.6) und einer Standardabweichung der Phase von rad (σ Phase = 0.10) die Standardabweichung der Belegung von σ Total =0.8. Mit Hilfe dieser Standardabweichung der Belegung kann dann sowohl die Gewinnreduktion G/G 0 nach (13.15) als auch das erreichbare mittlere Nebenzipfelniveau SLL nach (13.16) berechnet werden. G 0 in (13.15) und (13.16) steht jeweils für den Gewinn bei fehlerfreier Belegung. G G 0 = SLL = 1 (13.15) 1 + σtotal 1 + σtotal (13.16) G 0 Mit den Werten aus obigen Beispiel ergibt sich eine Reduktion des Gewinns um 0.33 db und ein erreichbares mittleres Nebenzipfelniveau von 31.6 db für eine Antenne mit 0 dbi Gewinn. Steigen die Fehler in der Belegung an, so ist die Wirkung auf das Nebenzipfelniveau weitaus gravierender als die Gewinnreduktion.

186 Antennensystemtechnik Antennenwirkfläche und Empfangsleistung Zur Berechnung der Empfangsleistung P E aus dem Antennengewinn G und der Strahlungsleistungsdichte des Wellenfeldes am Ort der Antenne S wird das Konzept der Antennenwirkfläche verwendet. Die Antennenwirkfläche berechnet sich nach (3.3) bzw. (13.17) aus der Wellenlänge und dem Gewinn der Antenne. ( ) λ A W = G i (13.17) 4π P E = A W S (13.18) Die Empfangsleistung kann dann mit Hilfe von (13.18) und der Kenntnis der Strahlungsleistungsdichte berechnet werden Antenne mit schwenkbarer Richtcharakteristik Nachdem in den beiden vorangegangenen Abschnitten die wichtigsten Größen für eine Antenne mit fester Richtcharakteristik diskutiert wurden, sollen in diesem Abschnitt die zusätzlichen Einflüsse beim Schwenken angesprochen werden Verhalten der Charakteristik beim Schwenken Die Bilder 13.6 und 13.7 zeigen die Charakteristik ein und derselben Antenne, einmal für Strahlung nach 0, der eigentlichen Hauptstrahlrichtung der Antenne, und für Strahlung nach 30, also für einen Schwenk der Charakteristik um 30. Vergleicht man die Halbwertsbreite der Charakteristik in Bild 13.6 von 10 mit der Halbwertsbreite in Bild 13.7 von 11.8 so ist eine Aufweitung als Resultat des Schwenkens festzustellen. Diese Aufweitung der Charakteristik geht nach (13.1) aus Abschnitt 13.. mit einer Gewinnabnahme einher. Beide Phänomene sind auf die gleiche Ursache zurückzuführen, die Abnahme der Antennenfläche, die in die jeweilige Schwenkrichtung wirksam wird.

187 13.3 Antenne mit schwenkbarer Richtcharakteristik 181 Bild 13.6: Charakteristik einer quadratischen cosinusförmig mit 8 db Sockel belegten Antenne der Seitenlänge 5.5 λ 0, die nach 0 strahlt Bild 13.7: Charakteristik einer quadratischen cosinusförmig mit 8 db belegten Antenne der Seitenlänge 5.5 λ 0, die nach 30 strahlt, also um 30 geschwenkt ist

188 18 13 Antennensystemtechnik Aufweitung der Charakteristik Die Abnahme der wirksamen Fläche läßt sich mathematisch durch die Projektion der Antennenfläche auf eine Ebene orthogonal zur Schwenkrichtung darstellen und verhält sich demnach wie 1/ cos(x). Bild 13.8 zeigt die folgerichtig auftretende Aufweitung der Halbwertsbreite als Funktion des Schwenkwinkels. Die Aufweitung ist bezogen auf die Halbwertsbreite, die bei Strahlung orthogonal zur Antennenfläche erreicht werden kann. Die in den Bildern 13.6 und 13.7 beob- Bild 13.8: Aufweitung der Halbwertsbreite, bezogen auf die Halbwertsbreite bei einer Hauptstrahlrichtung orthogonal zur Antennenfläche, als Funktion des Schwenkwinkels für eine planare Antenne achtete Aufweitung von 18 % für einen Schwenkwinkel von 30 stimmt sehr gut mit dem aus der Projektion resultierenden Wert überein Gewinnreduktion Halbwertsbreite und Gewinn sind fest miteinander verkoppelte Größen. Die aus der Abnahme der wirksamen Fläche resultierende Gewinnabnahme ist in Bild 13.9 in db als Funktion des Schwenkwinkels dargestellt. Aus Bild 13.9 geht hervor, daß die Aufweitung der Hauptkeule um den Faktor 1.18 mit einer Gewinnabnahme von 0.6 db identisch ist.

189 13.3 Antenne mit schwenkbarer Richtcharakteristik 183 Beide Kurven, Bild 13.8 und Bild 13.9, sind für das Schwenken planarer Antennen in jeweils einer Hauptschnittebene gültig. Werden planare Antennen in beiden Hauptschnittebenen geschwenkt, so sind die Verluste aus beiden Schwenkrichtungen, bezogen auf die Hauptschnittebenen, zu addieren (Werte in db). Das Schwenken von phasengesteuerten Antennen auf anderen als planaren Bild 13.9: Abnahme des Gewinns, bezogen auf den Gewinn bei einer Hauptstrahlrichtung orthogonal zur Antennenfläche, als Funktion des Schwenkwinkels für ein planares Array Geometrien führt zu anderen Ergebnissen. So ergibt das Schwenken einer Charakteristik bei kugelförmiger Antennenoberfläche keinerlei Gewinnreduktion, da die projizierte Fläche einer Kugel, unabhängig von der Projektionsrichtung immer ihr Querschnitt ist. Zylindrische Antennen weisen keine Gewinnreduktion beim Schwenken entlang der Krümmung (ψ-richtung) auf, jedoch sehr wohl eine Abnahme des Gewinns beim Schwenken in axialer Richtung (θ-richtung). Für komplexere Geometrien ist für jeden Einzelfall eine eingehendere Betrachtung notwendig Anzahl der Beams bei schaltbarer Charakteristik Eine Möglichkeit der Steuerung der Richtcharakteristik besteht im Umschalten zwischen räumlich fest vorgegebenen Beams mit Hilfe von Matrizen. Für die ver-

190 Antennensystemtechnik schiedenen Eingänge werden dann am Ausgang verschiedene (Phasen-) Belegungen erzeugt, die wiederum in der Charakteristik zur Ausbildung von räumlich unterschiedlich ausgerichteten Beams führen. Eine wichtige Information zur Abschätzung der Komplexität dieser Matrizen ist die Anzahl der notwendigen Beams zur Bedeckung eines vorgegebenen Raumbereichs. Hierzu wird unter Vorgabe des Halbwertswinkels α max = HW/, der aus dem Gewinn mit Hilfe von (13.1) berechnet werden kann, der von einem Beam bedeckte Raumwinkelbereich, unter Berücksichtigung der Überdeckung mit benachbarten Beams, bestimmt. π α max Ω Kreis = sin θ dθdψ = π(1 cos α max ) (13.19) ψ=0 θ=0 In Bild 13.10a ist der Raumwinkel eines Beams (in Bild 13.10a die dunkel hinterlegten Flächen unter Einbeziehung des hellen Sterns) nach (13.19) berechenbar. Von diesem Wert ist die Hälfte der Fläche abzuziehen, die gemeinsam mit anderen Beams bedeckt wird. Diese Überdeckung hängt von der räumlichen Anordnung der Beams ab. In Bild 13.10a ist beispielsweise ein Szenario für N = 4 Nachbarbeams dargestellt. Abzuziehen ist für N = 4 also die Hälfte der in Bild 13.10a dunkel hinterlegten Fläche. Zur Berechnung dieser Fläche wird zunächst der Raumwinkelbereich des hellen Sterns nach (13.0) allgemein für N Nachbarbeams berechnet. Anschließend kann durch Differenzbildung der gewünschte mittlere Raumwinkel, der von einem Beam bedeckt wird, mit (13.4) bestimmt werden. Ω Stern = N ψ=ψ Stop ψ=ψ Start θ=α(ψ) θ=0 sin θ dθ dψ ψ Stop = N ψ Stop ψ Start cos (α max [1 sin(ψ Start )]) cos(α max sin ψ)dψ... ψ Start ψ Stop sin (α max [1 sin(ψ Start )]) sin(α max sin ψ)dψ ψ Start (13.0) α(ψ) = α max (1 sin(ψ Start ) sin(ψ)) (13.1) ψ Start = π π N ψ Stop = π + π N Ω Beam = Ω Kreis + Ω Stern (13.) (13.3) (13.4)

191 13.3 Antenne mit schwenkbarer Richtcharakteristik 185 Beamanordnung N Bedeckung eines Beams Notwendige Anzahl sr sr sr sr sr sr 63 Tabelle 13.5: Bedeckungsbereich eines Beams sowie notwendige Anzahl von Beams zur Bedeckung von 7.37 sr für einen Gewinn (je Beam) von dbi und verschiedene Anzahl von Nachbarbeams N Beamanordnung N Notwendige Anzahl 4 Arrays 5 Arrays 6 Arrays 7 Arrays Tabelle 13.6: Anzahl der Beams pro Einzelarray, falls der gesamte Raumwinkelbereich gleichmäßig durch mehrere Arrays bedeckt wird Eine grobe Abschätzung, unter Vernachlässigung der Beamaufweitung beim Scannen planarer Antennen (vgl. Abschnitt ), ist dann durch einfache Division des Bedeckungsbereichs (berechenbar mit (13.19)) durch den aus (13.4) resultierenden mittleren Raumwinkelbereich zu erhalten. Für eine komplette azimutale Bedeckung und eine Bedeckung in der Elevation vom Zenit bis 10 unter den Horizont ergibt sich ein zu bedeckender Raumwinkel von 7.37 sr. In Tabelle 13.5 ist für verschiedene Beamanordnungen N der mittlere Raumwinkelbereich eines Beams sowie die notwendige Anzahl von Beams zur Bedeckung von 7.37 sr angegeben. Der Berechnung der Anzahl notwendiger Beams liegt ein Gewinn von dbi je Beam, und hieraus nach (13.1) ein Winkel α max = 5.6 zugrunde. Wird der gesamte Raumwinkelbereich durch mehrere Arrays abgedeckt, zum Beispiel eine sog. Multiface planare Anordnung, so ist die Anzahl von Beams je Array Tabelle 13.6 zu entnehmen.

192 Antennensystemtechnik a) y z x b) z max Bild 13.10: Berechnung des von einem Beam abgedeckten Raumwinkelbereichs, skizziert für N = 4 Nachbarbeams a) Ansicht entlang der z-achse, b) Seitenansicht

193 13.3 Antenne mit schwenkbarer Richtcharakteristik 187 Max. Schwenkwinkel max. Elementabstand Leistung pro Element λ m 0.44 W λ m 0.34 W Tabelle 13.7: Maximale Elementabstände und resultierende Leistungen pro Element für ein planares Array, das 33 dbw EIRP abstrahlt (für maximale Scanwinkel) EIRP und Leistungsdichte in der Apertur Die Leistung, die die Antenne abstrahlen soll, muß irgendwo erzeugt und den Elementen zugeführt werden. Oft ist die Effective Isotropic Radiated Power, also die auf eine ideale Punktquelle bezogene abgestrahlte Leistung, spezifiziert. Hieraus kann, mit Hilfe des isotropen Antennengewinns, die notwendige Leistung in der Apertur nach (13.5) bestimmt werden. Auflösen von (13.5) nach P Apertur EIRP RHCP = G P Apertur (13.5) und Division durch die Antennenwirkfläche nach (13.17) führt auf (13.6), was gleichzeitig die maximale Leistungsdichte in der Apertur darstellt. P Apertur A W = EIRP RHCP G ( ) 4π λ (13.6) Für die z.b. für eine INMARSAT-Antenne spezifizierte EIRP des Datenkanals von 33 dbw (=000 W), einen Gewinn der Antenne von dbi und der maximalen Sendefrequenz von MHz (λ 0 = m) ergibt sich ein Wert von 30.8 W/m als notwendige Leistungsdichte in der Apertur. Zur Umrechnung der Leistungsdichte auf die Leistung, die jedem Element einer Gruppenantenne zugeführt werden muß, ist die Kenntnis der geometrischen Verteilung der Strahlerelemente auf der Apertur notwendig. Für planare Arrays können hierzu die maximalen Elementabstände, wie sie aus dem maximalen Schwenkwinkel nach Abschnitt resultieren, verwendet werden. Tabelle 13.7 gibt für die beiden maximalen Schwenkwinkel θ 0 = 30 und θ 0 = 45 die resultierenden Abstände sowie Leistungen an. Zur Berechnung der im Endverstärker aufzubringenden Leistungen sind die Leitungs- und Einfügungsdämpfungen der passiven Komponenten wie Diplexer etc. zwischen Antenne und Endverstärker zusätzlich zu berücksichtigen. Neben der maximalen Leistung ist die über die Apertur notwendige Dynamik

194 Antennensystemtechnik von Interesse. Diese Dynamik kann direkt aus der Belegungsfunktion ermittelt werden, sobald diese Funktion bekannt ist (vgl. Abschnitt 13.) Systemrauschen Die Detektierbarkeit (rauschfreie Wiedergabe bei analogen Signalen und Bitfehlerrate bei digitalen Signalen) eines Empfangssignals ist vom sogenannten Signal-zu-Rausch-Verhältnis (S/N) am Eingang des Detektors abhängig. Das bedeutet, dass nicht nur die empfangene Signalleistung (Nutzsignal + Rauschen) für einen zuverlässigen Empfang verantwortlich ist, sondern auch der in ihr enthaltene Anteil der störenden Rauschleistung. Die am Detektor ankommende Leistung des Nutzsignals hängt von der Sendeleistung, Funkfelddämpfung, Antennengewinnen und Verstärkung des Empfängers ab. Zum Nutzsignal kommt jedoch in der Praxis immer das Rauschen hinzu. Zu den wichtigsten Rauschquellen in einem Empfangssystem gehören: von der Antenne empfangenes Hintergrundrauschen (Rauschen von externen Rauschquellen wie Sonne, Erde und anderen nahen sowie weit entfernten kosmischen Objekten); von der Antenne empfangenes Rauschen emittiert von technischen Systemen auf der Erde und im Weltraum, sog. man made noise ; eigenes thermisches sowie von außerhalb induziertes Rauschen der aktiven und passiven Komponenten des Empfangssystems Rauschtemperatur Ein ohmscher Widerstand R, als diskretes Bauelement, der auf die Umgebungstemperatur T R aufgeheizt ist, liefert in einer Bandbreite von B folgende Rauschleistung: P R = kt R B (13.7) In dieser sogenannten Nyquist-Gleichung ist k = 1, J/K die Boltzmann

195 13.4 Systemrauschen 189 Konstante, eine Naturkonstante. Die Temperatur T wird dabei in Kelvin (0 K = 73 C) angegeben und als Rauschtemperatur bezeichnet. Die Rauschleistung von vielen anderen Bauelementen ist ebenfalls proportional zu der physikalischen Umgebungstemperatur und der Bandbreite B, daher ist es üblich, die von einem Bauelement x erzeugte Rauschleistung in der gleichen Form darzustellen: P x = kt x B (13.8) Im Allgemeinen kann die Rauschtemperatur T von elektronischen Bauelementen sehr stark von der physikalischen Umgebungstemperatur abweichen und liegt im Bereich zwischen ein paar Kelvin und mehreren Tausend Kelvin. Die Rauschtemperatur repräsentiert also die Rauschleistung und hat in vielen Fällen mit der Umgebungstemperatur nichts außer der Messeinheit Kelvin zu tun. Außerdem muss die Rauschtemperatur T konstant über der Bandbreite B sein bzw. den Mittelwert derselbigen darstellen Rauschtemperatur einer Kettenschaltung Bei einer Kettenschaltung (serieller Schaltung) von mehreren aktiven bzw. passiven und verlustbehafteten Bauelementen muss berücksichtigt werden, dass die nachfolgenden Kettenglieder die Rauschleistung von den davor stehenden Elementen verstärken bzw. dämpfen. Hier ist ein Beispiel für Ausgangsleistung von drei in Serie geschalteten Bauelementen mit den Leistungs- Übertragungsfaktoren G i : P 1,,3 = P 1 G 1 G G 3 + P G G 3 + P 3 G 3 = k(t 1 G 1 G G 3 + T G G 3 + T 3 G 3 ) f = kt 1,,3 f (13.9) mit T 1,,3 = T 1 G 1 G G 3 + T G G 3 + T 3 G 3 (13.30) Hierbei wird mathematisch angenommen, dass das Rauschen vor dem rauschenden Element entsteht und von ihm selbst verstärkt (G i > 1) bzw. gedämpft (G i < 1) wird.

196 Antennensystemtechnik Systemrauschtemperatur eines Satelliten-Empfängers Um unterschiedliche Empfangssysteme miteinander vergleichen zu können, ist es in der Praxis üblich, die Rauschtemperatur auf eine bestimmte Schnittstelle zu beziehen. So versteht man z.b. unter Systemrauschtemperatur die Rauschtemperatur eines Empfängers bezogen auf den Eingang des ersten LNA (Low Noise Amplifier). Jedes haushaltsübliche TV-Satellitenempfangssystem besteht mindestens aus einer Parabolantenne, einem LNB (Low Noise Amplifier & Converter Block) und einem analogen bzw. digitalen Receiver. Die Parabolantenne ist in ihrem Brennpunkt über einen kurzen Hohlleiter an den LNB angeschlossen. Der LNB ist weiter mit einem langen Koaxialkabel mit dem Receiver verbunden. Bezogen auf den Eingang des LNB ergibt sich für die Systemrauschtemperatur: T sys = T Ant G HL + T HL G HL + T LNB + T K T R + (13.31) G LNB G LNB G K Ein Beispiel für einen handelsüblichen Satellitenempfänger: T Ant = 40 K T HL = 3 K T LNB = 80 K T K = K T R = 000 K G HL = 0, 9 ( 0, 46 db) G LNB = (50 db) G K = 0.01 ( 0 db) - Antennenrauschtemperatur - Hohlleiterrauschtemperatur - Rauschtemperatur des LNB - Rauschtemperatur des Koaxialkabels - Receiver-Rauschtemperatur - Hohlleiterübertragungskoeffizient (Dämpfung) - LNB-Gewinn (Verstärkung) - Kabeldämpfung Daraus ergibt sich: T sys = , = 147, 1 K. Wie man sieht, sind dank der hohen Verstärkung des LNB die Beiträge des stark rauschenden Kabels sowie des Receivers zur Systemrauschtemperatur sehr gering.

197 13.4 Systemrauschen Antennenrauschtemperatur Auffällig in der Formel für T sys ist, dass die Antennenrauschtemperatur T Ant nicht mit dem Antennengewinn multipliziert wird. Dies liegt daran, dass T Ant immer auf den Antennenausgang und nicht den Eingang bezogen wird. Sie besteht aus zwei Komponenten: T Ant = T A + T AP (13.3) mit T A als Anteil der Antennenrauschtemperatur, der durch externe Rauschquellen verursacht wird und T AP als der Anteil der Antennenrauschtemperatur, der durch thermisches Rauschen in der Antenne selbst entsteht. Dieser Anteil berechnet sich direkt aus dem Wirkungsgrad η der Antenne zu ( ) 1 T AP = η 1 T P (13.33) mit T P der physikalischen Temperatur der Antenne. Der Anteil der Antennenrauschtemperatur T A kann nach [Bal97], [ZB95] mit Hilfe von (13.34) berechnet werden. Hierin ist T H die Rauschtemperatur des Hintergrundes, G der Antennengewinn und C die Richtcharakteristik der Antenne. T A = G C (θ, ψ)t H (θ, ψ)dω (13.34) 4π 4π Zwei Sonderfälle sind interessant. Im ersten Fall sei eine stetige, sich nur schwach mit θ und ψ ändernde Hintergrundrauschtemperatur im Bereich der Hauptstrahlrichtung der Antenne angenommen. Dann kann T H als konstanter Faktor vor das Integral in (13.34) gezogen werden. Das verbleibende Integral kann unter Annahme eines hohen Wirkungsgrades (G D) und unter Ausnutzung von (3.10) zu (13.35) berechnet werden. T A = T H 4π G C (θ, ψ)dω = T H (13.35) 4π }{{} 4π Den zweiten Sonderfall stellt eine quasi diskrete Rauschquelle der Temperatur T H in einem engen Raumwinkelbereich Ω H dar. Die sonstige Hintergrundstrahlung sei zu vernachlässigen. Der äquivalente Raumwinkel Ω Ant = 4π/G der An-

198 19 13 Antennensystemtechnik tenne sei größer als Ω H. Bei Ausrichtung der Antenne auf die Rauschquelle kann die Antennenrauschtemperatur nach (13.36) berechnet werden. T A = T H Ω H Ω Ant (13.36) Ein Beispiel für eine solche diskrete Rauschquelle ist die Sonne, bei der Ω H = 6, sr ist. Die Rauschtemperatur der Sonne liegt bei ca K. Außerhalb der Atmosphäre, auf der Satellitenlaufbahn, ergibt sich somit mit Ω Ant = 0, 08 sr eine Antennenrauschtemperatur von 8, K. Der erste Fall ist damit der interessantere. Für eine Ausrichtung der Antenne auf den Himmel ergibt sich eine Rauschtemperatur von ca. 10 K aufgrund des kosmischen Hintergrundrauschens, für Ausrichtung der Antenne entlang der Erde (Blickrichtung horizontal) ergibt sich eine Rauschtemperatur von ca. 00 K Verhältnis G/T Die für das Systemdesign wichtige Größe ist das Verhältnis von Antennengewinn zur Systemrauschtemperatur G/T, da dieses einen maßgeblichen Einfluss auf das Signal-zu-Rausch-Verhältnis hat. Da die Systemrauschtemperatur sich auf den Eingang des LNB bzw. den Ausgang des Hohlleiters bezieht, soll auch der Gewinn der Antenne auf den Ausgang des Hohlleiters bezogen angegeben werden. Für einen Gewinn von 40 dbi (=10000) und eine Rauschtemperatur von 147,3 K ergibt sich: 10000/147, 3 K = 67, 98 1 K (13.37) In logarithmischer Darstellung ergibt sich: G/T = 10 log 10 (67, 98) = 18, 3 db/k (13.38) Es wird zwar das gesamte G/T -Verhältnis logarithmiert, jedoch wird üblicherweise als Messeinheit die Bezeichnung db/k verwendet.

199 13.5 Die Gruppenantenne Radom Zum Schutz der Antenne gegenüber Umwelteinflüssen ist eine Abdeckung der Antenne ein sog. Radom notwendig. Diese Abdeckung sollte elektrisch so verlustarm wie möglich und gleichzeitig mechanisch so stabil wie möglich sein. Es gibt im wesentlichen zwei elektrische Verlustmechanismen: Die Reflexion der Leistung an der Innenseite des Radoms und unter Umständen an den weiteren Schichtgrenzen für mehrlagige Radome, sowie die Verluste beim Durchgang der Welle durch das Radom. Für phasengesteuerte Gruppenantennen ist insbesondere der erste Verlustmechanismus kritisch. Für große Schwenkwinkel des Arrays treten am Radommaterial starke Reflexionen und unter Umständen geführte Wellen auf. Dieser Umstand muß durch geeignete Schichtung von Materialien bzw. Aufbaumaßnahmen unbedingt vermieden werden. Hierfür werden in der Literatur das sog. Wide-Angle-Impedance-Matching (WAIM) oder die Frequency-Selective- Surfaces (FSS) angeboten. Trotzdem muß mit Durchgangsdämpfungen zwischen 0.1 db und 0.5 db für mehrlagige Radome gerechnet werden Die Gruppenantenne Die planare Gruppenantenne stellt eine besondere Art der planaren Antenne dar. Die Belegungsfunktion ist hier nicht kontinuierlich über die Apertur verteilt, sondern bedingt durch die Anordnung der Strahlerelemente in einem Gitter, an diesen Gitterstellen quasi abgetastet. Dies führt zu dem Problem der Digitalisierung in Zusammenhang mit der Fouriertransformation: Aliasing, oder in der Antennenterminologie Grating-Lobes. Bevor auf diese Effekte eingegangen wird, wird generell der Einfluß des Gruppenfaktors und des Elementfaktors kurz erläutert werden.

200 Antennensystemtechnik Gruppeneigenschaften: Eine Kombination aus Elementeigenschaften und Gruppenfaktor Beim Aufbau von Gruppenantennen spielt neben der Größe der Antenne und der Anordnung der Strahlerelemente in der Gruppe auch das Strahlerelement selbst eine wesentliche Rolle. Insbesondere die Strahlungseigenschaften des Elements sind für die Leistungsfähigkeit der Gesamtantenne wichtig. Die leitungsseitigen Eigenschaften des Einzelelements (Anpassung, Verkopplung) bilden den Ausgangspunkt für den Entwurf des Speisesystems Multiplikation der Charakteristiken Für planare Gruppenantennen läßt sich die Charakteristik der Gesamtantenne (näherungsweise) in Elementfaktor, Untergruppenfaktor und Gruppenfaktor zerlegen. Die Gesamtbelegung der Antenne berechnet sich aus der Faltung der drei Einzelbelegungen im Ortsbereich. Dieser Faltung im Ortsbereich entspricht nach den Gesetzen der Fouriertransformation eine Multiplikation im Wellenzahlbereich. Die Charakteristik setzt sich also nach (13.39) multiplikativ aus den drei Faktoren Einzelelement-Charakteristik, Untergruppen-Charakteristik und dem Gruppenfaktor zusammen. C(θ, ψ) Gesamt = C(θ, ψ) Gruppe C(θ, ψ) Untergruppe C(θ, ψ) Element (13.39) Falls die Untergruppenanordnung bekannt ist oder keine Untergruppen gebildet werden, kann die notwendige Gruppencharakteristik aus der zu erreichenden Gesamtcharakteristik und der Elementcharakteristik mit Hilfe von (13.39) berechnet werden. An den Nullstellen einer der drei Charakteristiken ergeben sich für die anderen zwei Charakteristiken entsprechende Freiheitsgrade. Weiterhin folgt aus der Möglichkeit die Charakteristik in Faktoren zu zerlegen die Tatsache, daß sich auch der Gewinn in Faktoren zerlegen läßt. Der Gesamtgewinn ist ebenfalls ein Produkt, nämlich aus den Gewinnen des Gruppenfaktors, des Untergruppenfaktors und des Einzelements. Im allgemeinen sind die Raumrichtungen der Maxima aller beteiligter Charakteristiken identisch, so daß in Hauptstrahlrichtung normalerweise keine getrennte Behandlung der Untergruppen erfolgen muß. Beim Schwenken einer solchen

201 13.5 Die Gruppenantenne 195 Gruppe treten jedoch, wie in Abschnitt und beschrieben wird, zusätzliche Effekte auf, die bei der Bildung der Untergruppen neben speisetechnischen Gesichtspunkten zu berücksichtigen sind Polarisationsreinheit des Einzelelements Die Polarisationsreinheit und damit die Polarisationsanpassung nach Abschnitt wird im wesentlichen durch das Einzelelement bestimmt. Aufgrund seiner Konstruktion, insbesondere aufgrund von Unsymmetrien im Aufbau, strahlt es sowohl die gewünschte Polarisation (Co-Polarisation) als auch die hierzu orthogonale Polarisation (X-Polarisation) ab. Die entstehende Polarisation der Antenne ist dann, wie die Charakteristik auch, das Produkt der Interferenz aller beteiligter Einzelelemente. Nun sind die Randbedingungen, hauptsächlich die Verkopplungen zwischen benachbarten Elementen, die die verschiedenen Einzelelemente in einer Gruppenantenne vorfinden, nicht überall gleich. Es gibt zentrale Elemente, Randelemente und Eckelemente. Die Abstrahlung der Elemente an diesen Positionen ist wiederum jeweils verschieden von der Abstrahlung eines isolierten Einzelelements. Eine einzelne Optimierung jedes einzelnen Elements innerhalb der Gruppenantenne scheidet schon aus zeitlichen Gründen aus. So ist die Polarisationsreinheit der Gruppe in aller Regel schlechter als die Polarisationsreinheit des isolierten Einzelelements. Es existieren zwei Ausnahmen von dieser Regel. Die Erste ist die aktive Polarisationskontrolle, bei der für jedes Element oder zumindest für jede Untergruppe die abgestrahlte Polarisation getrennt eingestellt werden kann. Dies erfordert auf Elementebene oder auf Untergruppenebene die Möglichkeit zwei orthogonale Polarisationen nach Betrag und Phasenlage zu kontrollieren, also zwei Anregungskoeffizienten statt einem einzigen. Weiterhin müssen die optimalen Koeffizientenpaare in Abhängigkeit von der Frequenz, der gewünschten Polarisation und der Raumrichtung zum Beispiel durch vorherige Messung und Speicherung bekannt sein. Die Komplexität der Antenne wächst also, falls von dieser Möglichkeit Gebrauch gemacht wird. Die zweite Möglichkeit, und damit Ausnahme von der oben zitierten Regel, ist die Optimierung der Anordnung dahingehend, daß sich die Kreuzpolarisationsanteile der einzelnen Elemente, die aufgrund von

202 Antennensystemtechnik Unsymmetrien entstanden sind, im Fernfeld der Antenne in bestimmten Richtungen auslöschen. Diese Technik ist als Sequential Rotaion bekannt und funktioniert sehr gut für eine Optimierung der Polarisationsreinheit in und in nächster Umgebung um die Hauptstrahlrichtung. Diese Möglichkeit erhöht ebenfalls die Komplexität der Ansteuerung, jedoch bleibt sie unter der Komplexität der aktiven Polarisationskontrolle, erreicht aufgrund der räumlichen Begrenzung aber auch nicht deren Güte Eingangsreflexionsfaktor des Einzelelements Die Eingangsimpedanz des Einzelelements bildet den Ausgangspunkt für den Entwurf des Speisenetzwerks. Doch, wie bereits bei der Polarisationsreinheit im vorangegangenen Abschnitt, unterscheidet sich die Eingangsimpedanz des isolierten Einzelelements von der Eingangsimpedanz des Elements in der Gruppe, je nach Einbauort in der Gruppe. Die Veränderung der Eingangsimpedanz vom isolierten Element zum Element in der Gruppe resultiert aus der Verkopplung der verschiedenen Elemente der Gruppe untereinander. Ein Vergleich des Verlaufs der Eingangsimpedanz des isolierten Elements und der sog. embedded impedance ergibt eine Verschiebung des Bereichs guter Anpassung hin zu höheren Frequenzen. Der Betrag dieser Verschiebung hängt sowohl von den Materialien wie auch von der Geometrie der Einzelelemente ab. Der Eingangsreflexionsfaktor eines Einzelelements wird daher zunächst für ein isoliertes Einzelelement konzipiert und später auf die Verhältnisse im Array optimiert. Eine Verbesserung der Anpassung kann nun auf Arten erreicht werden. Zum einen kann die Eingangsimpedanz des Elements günstig gewählt werden, also je nach Speisetechnik reell zwischen 5 Ω und 100 Ω. Diese Impedanzen lassen sich verhältnismäßig gut im Speisenetzwerk weiterverarbeiten. Zum anderen kann ein Anpaßnetzwerk in das Antennenspeisenetzwerk integriert werden. Dies kostet allerdings Platz, der häufig aufgrund des Abstandes zwischen den Arrayelementen nicht vorhanden ist.

203 13.5 Die Gruppenantenne Auswirkungen auf die Gruppenantenne In den vorangehenden Abschnitten wurden die Einflüsse des Einzelelements auf das Verhalten der Gruppenantenne vorgestellt. Insbesondere wurde mit (13.39) in Abschnitt das Prinzip der Charakteristik-Multiplikation erläutert. Bild zeigt dieses Prinzip in anschaulicher Weise. Dargestellt ist der Gruppenfaktor des Arrays bestehend aus 10 Elementen im Abstand 0.5λ 0 mit einer Tschebyscheff-Belegung für 0 db Nebenzipfeldämpfung, der Elementfaktor, eine zirkular polarisierte aperturgekoppelte Streifenleitungsantenne, sowie deren Produkt: Die Charakteristik der Gesamtantenne. Deutlich ist für betragsmäßig große Winkel der Einfluß des Elementfaktors zu erkennen. Er bewirkt eine zusätzliche Absenkung der Nebenzipfel. Die Halbwertsbreite (engl.: Half Power Beamwidth HPBW) des nach 0 strahlenden Arrays beträgt Bild 13.1 zeigt zum Vergleich die um 45 geschwenkte Charakteristik, die sich wieder aus Gruppenfaktor und Elementfaktor zusammensetzt. Da die Maxima des Gruppenfaktors und des Elementfaktors hier nicht übereinstimmen, treten zwei für das Schwenken typische Effekte auf: Der Gewinn der Antenne nimmt gemäß der Einzelelementcharakteristik als Hüllkurve mit zunehmendem Schwenkwinkel ab. In Bild 13.1 beträgt diese Abnahme 3.6 db. Das Nebenzipfelniveau (bezogen auf das Strahlungsmaximum) steigt an. Der genaue Betrag des Anstiegs hängt von der vorliegenden Charakteristik bzw. der Belegung der Gruppe ab. Für konstante Nebenzipfeldämpfung (Tschebyscheff-Belegung) werden die Nebenzipfel Richtung 0 nicht gedämpft, die Hauptkeule hingegen nimmt gemäß der Einzelelementcharakteristik ab. Hier ist der Anstieg der Nebenzipfel identisch mit der Abnahme des Gewinns aufgrund der Einzelelemencharakteristik. Gleiches gilt für Charakteristiken deren höchste Nebenzipfel nicht mit der ersten Nebenkeule identisch sind. Für Pattern dagegen, deren höchster Nebenzipfel mit der ersten Nebenkeule identisch ist, kann der Anstieg des Nebenzipfelniveaus geringer ausfallen. So beträgt hier der tatsächliche relative Anstieg der Nebenzipfel 3.6 db. In beiden Bildern ist der bereits in Abschnitt beschriebene Effekt sichtbar,

204 Antennensystemtechnik Bild 13.11: Charakteristik des Einzelelements, Gruppenfaktor (Tschebyscheff- Belegung mit -0dB Nebenzipfeldämpfung, 10 Elemente mit Abstand 0.5λ 0 ) und resultierende Charakteristik der Gesamtantenne daß das Einzelelement für betragsmäßig große Winkel zu einer starken Nebenzipfeldämpfung führt. Eine hohe spezifizierte Nebenzipfeldämpfung im Bereich größer 70 stellt damit keine allzu hohe Anforderung an das Design dar. Umgekehrt bringt eine Erniedrigung der spezifizierten Nebenzipfeldämpfung in diesem Winkelbereich keine nennenswerte Erleichterung Grating-Lobes und Elementabstand Eine wichtige Größe für den Entwurf planarer Arrays ist der Abstand der Einzelelemente untereinander. Dieser Abstand muß mindestens so groß gewählt werden, so daß sich benachbarte Elemente nicht berühren. Darüber hinaus gilt die Faustregel, daß mit wachsendem geometrischen Elementabstand die Verkopplung der Einzelelemente untereinander abnimmt. In so fern erscheint es wünschenswert, den Elementabstand so groß wie möglich zu machen. Wird jedoch der Elementabstand d/λ 0 für eine beliebige Frequenz innerhalb der Bandbreite der Antenne größer als 1, so treten neben der gewünschten Hauptkeule (mindestens eine) weitere Hauptkeule(n), sog. Grating-Lobes, auf. Damit

205 13.5 Die Gruppenantenne 199 Bild 13.1: Charakteristik des Einzelelements, Gruppenfaktor (Tschebyscheff- Belegung mit -0dB Nebenzipfeldämpfung, 10 Elemente mit Abstand 0.5λ 0 ) und resultierende Charakteristik der Gesamtantenne für eine um 45 geschwenkte Hauptkeule lautet die Bedingung für den Elementabstand eines planaren Arrays mit Hauptstrahlrichtung orthogonal zur Antennenfläche d/λ 0 1. Das Gleichheitszeichen läßt eine Grating-Lobe bei 90 zu, die jedoch durch die Charakteristik des Einzelelements, wie in Abschnitt erläutert, zumindest teilweise unterdrückt wird. Soll die Charakteristik zusätzlich geschwenkt werden, verschärft sich die Bedingung für den Elementabstand zu (13.40), die gewährleistet, daß im Bereich ±θ 0 keine Grating-Lobes auftreten. Für λ 0 ist die obere Grenzfrequenz der Antenne zu verwenden, um zu gewährleisten, daß die Bedingung (13.40) für alle Frequenzen eingehalten wird. d λ 0 < sin θ 0 Wie bereits für den nicht-geschwenkten Fall mit d/λ 0 (13.40) = 1 erlaubt (13.40) das Auftreten der Grating-Lobe bei 90 für einen Schwenkwinkel von ±θ 0. Eine etwas strengere - leider jedoch von der Anzahl der Elemente in Schwenkrichtung N abhängige - Bedingung ist (13.41). Hier wird erreicht, daß für einen Schwenkwinkel von ±θ 0 genau die Nullstelle vor der Grating-Lobe bei 90 erscheint. Mit dieser Bedingung kann also auf die Grating-Lobe unterdrückende Eigenschaft des Ein-

206 00 13 Antennensystemtechnik zelelements verzichtet werden. d < N 1 1 λ 0 N 1 + sin θ 0 (13.41) Bild zeigt die maximal zulässigen Abstände als Funktion des maximalen Schwenkwinkels nach (13.40) und (13.41) für verschiedene Anzahl von Elementen N im linearen Array. Sowohl (13.40) als auch (13.41) gelten für ein rechteckiges Gitter, d. h. die Strahlerelemente sind auf einem rechtwinkligen Gitter an den Kreuzungsstellen der Gitterlinien angeordnet. Der Flächenbedarf jedes Elements ist d. Die Literatur kennt weitere Gitter für planare Gruppenantennen. So können mit einem hexagonalen Gitter, wo jedes Element eine Fläche von d / 3 belegt, 15 % der Elemente im Vergleich zu einem rechteckigen Gitter eingespart werden. Bild 13.13: Notwendiger Elementabstand als Funktion des Grating-Lobe freien Schwenkbereichs für ein rechteckiges Gitter Quantisierungskeulen und Untergruppengröße Zur Reduzierung der aktiven Komponenten im Speisenetzwerk oder zur Reduzierung des Steueraufwandes im Array ist es möglich, mehrere Einzelstrahler zu

207 13.5 Die Gruppenantenne 01 Untergruppen, sog. Subarrays, zusammenzufassen. So ist es in großen, breitbandigen Arrays üblich, die Schwenkung der Charakteristik durch Zeitverzögerungsleitungen auf Arrayebene und Phasenschieber auf Subarrayebene zu realisieren. Abhängig von den Spezifikationen für den Schwenkbereich ist es manchmal möglich, das Speisesystem innerhalb des Subarrays auch ganz ohne aktive Komponenten zu gestalten. Da sehr oft eine kostengünstige Lösung im Vordergrund steht und zweitens die Bandbreite so klein ist, daß sich eine Steuerung der Schwenkrichtung über Zeitverzögerungsleitungen nicht lohnt, steht die komponentenfreie Zusammenschaltung mehrerer Einzelelemente zu Subarrays im Vordergrund. Der prinzipielle Aufbau eines Arrays aus Subarrays ist in Bild l Sub l Sub l Sub Elevation Azimut 1 3 Bild 13.14: Planares Array mit 8 1 Untergruppen der Länge l Sub. Die Schwenkung der Charakteristik in Azimut und Elevation ist angedeutet dargestellt. Es handelt sich um ein 4 4 Array, das wiederum aus 8 1 Untergruppen zusammengesetzt ist. Die Schwenkung der Charakteristik in Azimut und Elevation ist angedeutet. Beim Schwenken einer aus solch einzelnen Subarrays bestehenden Antennen-

208 0 13 Antennensystemtechnik gruppe im Azimut treten sogenannte Quantisierungsnebenkeulen auf, die den nutzbaren Schwenkbereich der Anordnung einschränken. Diese Quantisierungsnebenkeulen entstehen dadurch, daß beim Schwenken einer solchen Anordnung alle Elemente eines Subarrays mit derselben Phase ϕ i angesteuert werden und dann die Phase von einem Subarray zum nächsten abrupt springt. Die Phasenverteilung über der Apertur der gesamten Antennengruppe läßt sich daher durch eine Treppenfunktion nach Bild beschreiben. Die Länge der einzelnen Stufen entspricht dabei der Länge eines Subarrays l Sub. Die Höhe der Stufen hängt ebenfalls von der Subarray-Länge ab und variiert mit dem eingestellten Schwenkwinkel. Sie wird maximal bei maximaler Auslenkung der Hauptkeule. Der ideale Phasenverlauf über der Antennenapertur stellt im Gegensatz zu der Treppenkurve eine Gerade dar, wobei die Steigung der Geraden proportional zum Sinus des eingestellten Schwenkwinkels θ 0 ist. Aus der Differenz zwischen dem tatsächlichen und dem idealen Phasenverlauf ergibt sich der resultierende Phasenfehler, der die Form einer Sägezahnkurve hat. Dieser Phasenfehler ist für die Entstehung der Quantisierungsnebenkeulen verantwortlich. Für eine sehr große Anzahl N 1 von Subarrays ergibt sich der Betrag der einzelnen Quantisierungsnebenkeulen zu: Hauptkeule: F 0 = sin(πν 0) πν 0 1. Quantisierungsnebenkeule: F q1 = sin(πν 0) π(1 ν 0 ). Quantisierungsnebenkeule: F q = sin(πν 0) π( ν 0 ) mit ν 0 = l Sub λ 0 sin(θ 0 ) (13.4) (13.43) (13.44) Der Ort läßt sich durch die folgende Gleichung bestimmen: sin(θ qm ) = sin(θ 0 ) mλ 0 l Sub mit m = 1,,... (13.45) Mit Hilfe dieser Gleichungen lassen sich die Auswirkungen verschiedener Subarray-Größen und verschiedener Elementabstände auf das Abstrahlverhalten abschätzen. In den Bildern bis sind der Betrag und der Ort der Hauptkeule sowie der ersten beiden auftretenden Quantisierungsnebenkeulen in Abhängigkeit von der Länge des Subarrays dargestellt. Betrachtet werden nur die maximal auftretenden Schwenkwinkel von 30 und 45, die jeweils den ungünstigsten Fall darstellen sollen. Der Abstand der Elemente im Array sollte mindestens 0.5λ 0 betragen. Das kleinste realisierbare Subarray hat damit eine Länge von 1λ 0.

209 13.5 Die Gruppenantenne 03 Phase -l Sub Tatsächlicher Phasenverlauf Idealer Phasenverlauf l Sub Apertur Phasendifferenz -l Sub l Sub Apertur Bild 13.15: Quantisierungseffekte bei der Strahlschwenkung eines aus Subarrays bestehenden phasengesteuerten Arrays

210 04 13 Antennensystemtechnik Aus den Bildern und wird deutlich, daß die unerwünschten Nebenkeulen mit zunehmender Subarray-Länge drastisch ansteigen. Zudem wandern sie näher an die Hauptkeule heran (Bilder und 13.19). Dies läßt sich anschaulich damit erklären, daß mit zunehmender Subarray-Größe der gewünschte lineare Phasenverlauf durch die Treppenkurve immer schlechter angenähert wird. Mit zunehmender Größe der Subarrays steigt auch der Gewinnverlust beim Bild 13.16: Betrag der Haupt- und Quantisierungsnebenkeulen (QK) für einen Schwenkwinkel von 30 in Abhängigkeit der Subarraylänge (normiert auf λ 0 ) Schwenken der Hauptkeule. Dieser rührt daher, daß in diesem Fall die Hauptkeule der einzelnen Subarrays, die ja als Einhüllende des Gesamtrichtdiagrammes nach (13.39) dient, sehr schmal wird. Wie aus Bild für eine Schwenkung um 30 ersichtlich ist, beträgt der Gewinnverlust bei Verwendung des schmalst möglichen 1 Subarrays bereits 3.9 db. In diesem Falle strahlt die erste Quantisierungsnebenkeule gleich viel Leistung ab, wie die eigentliche Hauptkeule. Für 45 Schwenkung beträgt der Gewinnverlust für die Hauptkeule mehr als 5 db die erste Quantisierungsnebenkeule strahlt mehr Leistung ab als die eigentliche Hauptkeule. Die genannten Probleme sprechen somit für die Wahl des kleinsten möglichen Subarrays, des Einzelelements. Selbst eine Bildung von Subarrays scheidet bei diesen großen betrachteten Scanwinkeln aus.

211 13.5 Die Gruppenantenne 05 Bild 13.17: Ort der Haupt- und Quantisierungsnebenkeulen (QK) für einen Schwenkwinkel von 30 in Abhängigkeit der Subarraylänge (normiert auf λ 0 ) Bild 13.18: Betrag der Haupt- und Quantisierungsnebenkeulen (QK) für einen Schwenkwinkel von 45 in Abhängigkeit der Subarraylänge (normiert auf λ 0 )

212 06 13 Antennensystemtechnik Bild 13.19: Ort der Haupt- und Quantisierungsnebenkeulen (QK) für einen Schwenkwinkel von 45 in Abhängigkeit der Subarraylänge (normiert auf λ 0 ) In Abschnitt wurden die Auswirkungen von zufälligen, statistisch verteilten Amplituden- und Phasenfehler diskutiert. Für korrelierte Fehler in der Amplituden- und Phasenverteilung muß eine Betrachtung, ähnlich der hier für Quantisierungskeulen erfolgten, durchgeführt werden Aktive Eingangsimpedanz und Scan-Blindness In Abschnitt wurde bereits auf den Unterschied der Eingangsimpedanz des isolierten Elements und der Eingangsimpedanz des Elements im Array eingegangen. Da die Veränderung der Eingangsimpedanz ein Ergebnis der Kopplung der verschiedenen Elemente untereinander ist, ändert sich die Eingangsimpedanz selbstverständlich auch, wenn sich die Kopplung ändert. Dies ist der Fall beim Schwenken der Richtcharakteristik durch Phasenbelegung. Hier wird dann aus der embedded impedance die aktive Eingangsimpedanz active impedance, die besser scan impedance genannt werden sollte. Diese resultierende Eingangsimpedanz ist, als Streuparameter betrachtet, ein Quotient aus hinlaufender und rücklaufender Welle. Im Falle des Arrays setzt sich nun die Leistung der rücklaufenden Welle aus mehreren Anteilen zusammen.

213 13.5 Die Gruppenantenne 07 Nicht nur der reflektierte Anteil, der am aktuellen Element eingespeisten Leistung, kommt zurück, zusätzlich erscheint an diesem Tor auch noch die an anderen Elementen eingespeiste Leistung gewichtet mit den jeweiligen Kopplungen. Diese zusätzlichen Anteile bewirken die Abhängigkeit der Eingangsimpedanz vom Schwenkwinkel, die damit ihren Namen aktive Eingangsimpedanz bzw. scan impedance zurecht trägt. Unter ungünstigen Bedingungen kann es nun dazu kommen, daß die Summe der rücklaufenden Leistungen an einem Tor (Element) gleich der eingespeisten Leistung ist. Der Grund hierfür ist in der Kopplung von Leistung aus anderen Elementen zu suchen. Netto gesehen heißt dies aber: Es geht keine Leistung ins Tor (Element) bzw. auf die ganze Antenne bezogen in das Array. Dieser Zustand, daß für eine bestimmte Belegung und damit für einen bestimmten Schwenkwinkel keine Leistung abgestrahlt wird, wird als Scan-Blindness bezeichnet. Sie ist berechenbar, also vorhersagbar, und durch sorgfältiges Design zu verhindern.

214 A A.1 Schreibweise orts- und zeitabhängiger Größen Beliebige Orts- und Zeitabhängigkeit: A: allgemeine beliebig orts- und zeitabhängige vektorielle Feldgröße oder nur ortsabhängige vektorielle Feldgröße. A = A( r, t) oder A = A( r) z.b. in kartesischen Koordinaten: A = A x ( r, t) e x + A y ( r, t) e y + A z ( r, t) e z r = x e x + y e y + z e z A 0 : Amplitude, Scheitelwert, Gleichgröße. A(r;t) z r x y

215 A. Mathematische Symbole 09 Bei harmonischen Zeitvorgängen: a: reelle Schreibweise der orts- und zeitabhängigen Größe. a = a( r, t) = A( r) cos(ωt + ϕ) = A 0f( r) cos(ωt + ϕ) a: komplexe Schreibweise der orts- und zeitabhängigen Größe. a = a( r, t) = A( r)(cos(ωt + ϕ) + j sin(ωt + ϕ)) = A( r)e j(ωt+ϕ) = A( r)e jϕ e jωt = A( r)e jωt A: komplexe Amplitude. A = A( r) = A( r)e jϕ = A 0f( r)e jϕ A steht stellvertretend für H, E, B, D, etc. A. Mathematische Symbole Nablaoperator ( x x, y y, e z z) Kreuzprodukt A Vektor e i A [A] j A, rot A A, div A A, grad A Einheitsvektor Tensor Matrix Imaginäre Einheit 1 Differentialoperator Rotation Divergenz Gradient A, A Laplaceoperator ( ) Umlaufintegral (im mathematisch positiven Sinn) A.3 Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen Großbuchstaben

216 10 A Anhang Symbol Bedeutung Einheit A Vektorpotential V s/m A Fläche m B magnetische Induktion V s/m B einfache Bandbreite Hz jb Blindleitwert S C Kapazität F C Kapazität pro Längeneinheit F/m D elektrische Verschiebungsdichte A s/m E elektrische Feldstärke V/m G reeller Leitwert (ohmscher Leitwert) S G auf die Längeneinheit bezogener Leitwert S/m H magnetische Feldstärke A/m I elektrischer Strom A J Stromdichte A/m J F Flächenstromdichte (Strombelag) A/m J V Verschiebungsstromdichte A/m J n (ξ) Besselfunktion n-ter Ordnung L Induktivität H L auf Längeneinheit bezogene Induktivität H/m N F Rauschzahl (noise figure) P Leistung V A P W, P B Wirkleistung, Blindleistung W, V A Q elektrische Ladung A s R reeller Widerstand (ohmscher Widerstand) Ω R auf die Längeneinheit bezogener Widerstand Ω/m S Poynting-Vektor V A/m [S] S µν Streumatrix Streuparameter T Periodendauer s T Temperatur K U Spannung V W Energie V A s jx Blindwiderstand Ω Y (komplexer) Leitwert, Scheinleitwert S

217 A.3 Verzeichnis der verwendeten Formelzeichen 11 Z (komplexer) Widerstand, Scheinwiderstand Ω Z F (Z F 0 ) Feldwellenwiderstand (im Vakuum) Ω Z L Leitungswiderstand Ω Z F E, Z F H Wellenwiderstand der E-Welle, der H-Welle Ω Kleinbuchstaben Symbol Bedeutung Einheit a ν hinlaufende Leistungswelle in Tor ν W rücklaufende (reflektierte) Welle aus Tor ν W b ν c (c 0 ) Lichtgeschwindigkeit im Medium (im Vakuum) m/s f Frequenz Hz j imaginäre Einheit j = 1 k Boltzmannkonstante k = 1, W s/k l Leitungslänge m m Anpassungsfaktor n Brechungsindex p(z, t) Leistungswelle W r Reflexionsfaktor r, θ, ψ Kugelkoordinaten v ϕ, v P h Phasengeschwindigkeit m/s t Zeit s w Energiedichte V A/m 3 x, y, z kartesische Koordinaten Griechische Buchstaben Symbol Bedeutung Einheit α Dämpfungskonstante einer Leitung m 1 β Phasenkonstante einer Leitung m 1 γ komplexe Leitungskonstante γ = α + jβ m 1 δ Verlustwinkel tan δ Verlustfaktor

218 1 A Anhang ε Dielektrizitätszahl ε = ε 0 ε r F/m ε 0 = F/m κ elektrische Leitfähigkeit S/m λ Wellenlänge m µ Permeabilitätszahl µ = µ 0 µ r H/m µ 0 = 4π 10 7 H/m ρ Raumladungsdichte A s/m 3 τ Zeitkonstante s ϕ Phasenwinkel ω Kreisfrequenz, Winkelgeschwindigkeit s 1 A.4 Verzeichnis der verwendeten Abkürzungen GTD MUF UTD V SW R Geometrical Theory of Diffraction Maximum usable frequency Uniform Geometrical Theory of Diffraction Stehwellenverhältnis

219 Sachwortverzeichnis Absorbermeßraum, 155 Achsverhältnis, 13 Anpassung, 6, 13 Antenne Formen, Antennen Apertur-, Flächenstrahler, 90 langere lineare, 55 Antennenbelegung, 83 Antennengewinn, 17, 18, 159 Antennengruppe, 3, 6 65, 67, 69, 87, 88, 135 ebene, 87 Lineare, 74 lineare, 64 planare, 84 räumliche, 84 Antennenmeßplatz, 145 Antennenmeßtechnik, 144, 145 Antennenwirkfläche, 3, 4, 107, 148 Aperturantenne kreisförmige, 97 rechteckige, 94 Aperturebene, 90, 98, Array lineares, 84 Ausbreitungsrichtung, 6, 11 13, 4, 35 Babinet sches Prinzip, 113 Bandbreite, 131, 139 Belegung konstante, 50 sinusformige, 5 Biot-Savart, 38 Biot-Savart, Gesetz von, 31 Breitbandantenne, 131 Charakteristik Einzelelement-, 70 Gruppen-, 69, 70 Dieelektrische Antenne, 9 Dipol Breitband-, 59, 60 elektrostatischer, 31 Falt- Dreidraht, 14 Unsymmetrisches, 14 Halbwellen-Falt-, 1 Hertzscher, 31, 34, 37 39, 4 44, 48, 54, 55, 70, 74, 90, 91, 108, 113, 114, 116 Hertzscher und dualer magnetischer, 113 Hertzscher, Feldlinienbild, 44 Hertzscher, Fernfeld, 40 Hertzscher, Gewinn, 41 Hertzscher, Nahfeld, 37 13

220 14 Sachwortverzeichnis Hertzscher, Richtcharakteristik, 40 Hertzscher, Strahlungswiderstand, 41 Hertzscher, Wirkfläche, 41 Hertzscher, zwei parallele, 70 infinitesimaler, 3 λ-, 55 λ/-, 53 magnetischer, 116 vor leitender Wand, 7 Dipolantenne, Direktor, 1, 17, 18 Direktor, YAGI-Antenne, 18 Doppelkegel, 59, 60 Dualitätsprinzip, 105, 11, 113, 114 Eingangsimpedanz, 6, 4, 43, 58, 59, 13 Stabstrahler, 56 Elementfaktor, 64, 65, 70, 7, 9, 95 Elliptizität, 159 Endkapazität, 60 Energiestromdichte, 3 Erdoberfläche, 1, 61 Ersatzschaltbild, 6 Feldwellenwiderstand, 8, 11 Fernfeld, 11, 17, 18, 37, 40, 41, 63, 88, 90 9, , 105, 114, 10, 16, 17, 147, 148, 151, 155, 157 abstrahlendes, 147 Fernfeldbedingung, 147 Flächenelement, 10, 17 Flachenwirkungsgrad, 5 Frequenzbereich Kurzwelle, 3 Mittelwelle, 3 Funktion Kugelflächen-, 33 Gangunterschied, 66, 76, 88, 91, 99 Gesetz Durchflutungs-, 1, 8, 3 Induktions-, 1, 8, 3 Gewinn, 17 Grating Lobes, 68 Gruppenfaktor, 6, 64 69, 7, 75 80, 8, 83, 87, 88, 95, 98, 101, 106 Halbwertsbreite, 0, 3, 51, 5, 79, 84, 86, 103, 108, 135, 139 Halbwertswinkel, 0, 5 Hauptkeule, 55, 75, 79, 88, 10, 108 Hauptpolarisation, 158 Hauptstrahlung, 5, 9, 107 Helmholtz-Gleichung, 3 Hohlleiter, 1, 104, 110, 119, 131 Rechteck-, 110 Hohlleiterantenne, 1 Horizontaldiagramm, 19, 41, 7, 75, 95, 106, 108 Hornantenne, 9 Huygensches Prinzip, 108 Kartesische Koordinaten, 10 Koordinaten kartesische, 9 kartesische-, 10 Kugel-, 10 Kugelkoordinaten, 9, 10, 16, 31 35, 91, 99, 100, 135 Kugelstrahler, 17, 18, 64 Ladungsdichte, 3

221 Sachwortverzeichnis 15 Langdrahtantenne,, 3 Leerlaufspannung, 43, 115 Leistungsflu sdichte, 16 Leitungswelle, 1, 119 Linearantenne,, 3 Lineare Antenne, 48 Wellenwiderstand, 56 Lineare Antennen dünne, Strahlungseigenschaften, 50 Lineare Antennengruppe, 64 Linsenantenne, 9, 108 Logarithmisch-periodische Antennen, 137 Lorentz-Konvention, 30, 34 Magnetostatik, 39 Maxwellgleichungen, 4, 5, 8 30, 34, 100, 11, 113 Meßstrecke Fernfeld, kompakte, 156 Nahfeld, 157 Mikrowellenantenne, 3 Nahfeld, 37 39, 41, 9, 118 abstrahlendes, 147 Dipol, Feldgleichungen, 38 reaktives, 147 Nebenkeule, 55, 84, 86, 88 Nebenzipfel, 51 Ortskurve, 14 Phasendifferenz, 148 Phasenfront, 156 Phasengeschwindigkeit, 3, 58, 108, 110, 19 planare Antenne, 3 Polarisation, 11 14, 9, 104, 116, 13, 135, 144, 158 Definition, 11 elliptische, 1, 13 lineare, 1 zirkulare, 13 Potentiale, elektrodynamische, 8, 30, 3 Poynting-Vektor, 16, 114 Rahmenantenne,, 3 Reflektor, 3 parabolischer, 3 Reflektor, YAGI-Antenne, 18 Reflektorantenne,, 9, 97, 131 parabolische, Richtcharakteristik, 17 19, 1, 40, 51 53, 55, 9, 95, 97, 101, 103, 108, 111, 15, 13, 135, 147, 154, 155 Messung, 158 Richtdiagramm, 19, 0, 63, 65, 71, 75, 79, 80, 84, 88, 95, 98, 104, 114, 10, 13, 16, 131, 136, 159 E-Ebene, 158 H-Ebene, 158 kopolares, 158 kreuzpolares, 158 Richtfaktor, 10, 114, 116 Richtwirkung, 3, 17, 51, 6, 107 Schleifenantenne, 1 Schlitzantenne,, 3, 117 Selbstduale Antennen, 13 Spannungsquelle, 6, 43 Speiseleitung, 119, 138 Spiralantenne, 13,

222 16 Sachwortverzeichnis archimedisch, 134 archimedische, 137 eben, 134 konisch, 134 logarithmisch, 134 winkelkonstante, 135 Stabantenne, 1, 57, 58 Ferrit-, 116 Stabstrahler Eingangsimpedanz, 56 Strahler dielektrischer,, 3 Einzel-, 3, 6 66, 68, 69, 75, 80, 8, 88 Elementar-, 6, 63 Horn-,, 3, 104 isotroper, 17 Schlitz-, 117, 10, 11 Stab-, 48, 59, 11 Strahlungseigenschaft, 1 Strahlungswiderstand, 5, 6, 4, 54, 55, 58, 114, 115, 10, 11, 133 Dipol, 11 Stromdichte, 3, 100 Stromelement, 38, 39, 48 Stromspiegelungsprinzip, 3 Stromverteilung, 30, 5, 60, 78, 9, 94 dielektrische, 6 ohmesche, 6 Verlustwiderstand, 6, 4, 58, 115, 116 Verschiebungsstrom, 45 Vertikaldiagramm, 19, 41, 51, 55, 7, 9, 95, 108 Wanderwellenantenne, 3 Wegdifferenz, 49, 71 Welle ebene, 6, 30 Kugel-, 97, 98, 104, 107, 108 transversale, 6 Wellengleichung, 5, 7, 9, 30, 3 inhomogene, 9 Wellenleiter, 3 Wellenwiderstand, 57, 59, 100 lineare Antenne, 56 Wirkungsgrad, 18, 6 YAGI-Antenne, 1, 15, 18 Teilwellen, 13 Vektor Amplituden-, 7 Vektorfeld, 8 Vektorpotential, 8, 30, 3, 34, 36, 49, 99 Verluste

223 Literaturverzeichnis [Bal97] Constantine A. Balanis. Antenna Theory. John Wiley and Sons, New York, Im Buchhandel erhältlich, ca. 15,- DM (Stand 1999). [Col85] R. E. Collin. Antennas and Radiowave Propagation. McGraw-Hill, New York, Student edition. Im Buchhandel erhältlich, 66,- DM (Stand 1999). [CZ69] R. R. Collin and F. J. Zucker. Antenna-Theory. McGraw-Hill, New York, Bände. Vergriffen (Bibliothek). [Gro70] J. Großkopf. Wellenausbreitung. Bibliographisches Institut Mannheim, Bände. Hochschultaschenbücher Band 141, 539. Vergriffen (Bibliothek). [GW98] N. Geng and W. Wiesbeck. Planungsmethoden für die Mobilkommunikation - Funknetzplanung unter realen physikalischen Ausbreitungsbedingungen. Springer, Berlin, Im Buchhandel erhältlich, 139,- DM (Stand 1999). [Hei71] A. Heilmann. Antennen. Bibliographisches Institut Mannheim, Bände. Hochschultaschenbücher Band 140, 534, 540. Vergriffen (Bibliothek). [JJ84] R. C. Johnson and H. Jasik. Antenna Engineering Handbook. McGraw- Hill, New York, nd Edition. Im Buchhandel erhältlich, 78,- DM (Stand 1999). [Kra70] J. D. Kraus. Antennas. McGraw-Hill, New York, nd Edition. Im Buchhandel erhältlich, ca. 0,- DM (Stand 1999). [LL9] K. Lange and K.-H. Löcherer, editors. Meinke-Gundlach: Taschenbuch der Hochfrequenztechnik. Springer Verlag Berlin, Bände. Im 17

224 18 Literaturverzeichnis Buchhandel erhältlich, 380,- DM, auch einzeln, Bd. 1 Grundlagen, 98,-, Bd. Komponenten, 9,-, Bd. 3 Systeme : 84,- (Stand 1999). [Lov76] A. W. Love, editor. Electromagnetic Horn Antennas. IEEE Press, Vergriffen (Bibliothek). [Mei66] H. H. Meinke. Einführung in die Elektrotechnik höherer Frequenzen. Springer Verlag Berlin/Heidelberg/New York, 1965/66. Bände. Band II: Elektromagnetische Felder und Wellen. Beide Bände vergriffen (Bibliothek). [Mly] D. A. Mlynski. Skriptum zur Vorlesung Elektrodynamik. Universität Karlsruhe. [Pie77] G. Piefke. Feldtheorie. Bibliographisches Institut Mannheim., Hochschultaschenbücher Band 771, 773, 88. Vergriffen (Bibliothek). [Sil49] [Wie] [ZB95] S. Silver. Microwave Antenna Theorie and Design. McGraw-Hill, New York, Vergriffen (Bibliothek). W. Wiesbeck. Skriptum zur vorlesung hochfrequenztechnik. Universität Karlsruhe. O. Zinke and H. Brunswig. Lehrbuch der Hochfrequenztechnik. Springer Verlag Berlin, Band 1: Hochfrequenzfilter, Leitungen, Antennen. Im Buchhandel erhältlich, 98,- DM.

225 Sachwortverzeichnis Absorbermeßraum, 155 Achsverhältnis, 13 Anpassung, 6, 13 Antenne Formen, Antennen Apertur-, Flächenstrahler, 90 langere lineare, 55 Antennenbelegung, 83 Antennengewinn, 17, 18, 159 Antennengruppe, 3, 6 65, 67, 69, 87, 88, 135 ebene, 87 Lineare, 74 lineare, 64 planare, 84 räumliche, 84 Antennenmeßplatz, 145 Antennenmeßtechnik, 144, 145 Antennenwirkfläche, 3, 4, 107, 148 Aperturantenne kreisförmige, 97 rechteckige, 94 Aperturebene, 90, 98, Array lineares, 84 Ausbreitungsrichtung, 6, 11 13, 4, 35 Babinet sches Prinzip, 113 Bandbreite, 131, 139 Belegung konstante, 50 sinusformige, 5 Biot-Savart, 38 Biot-Savart, Gesetz von, 31 Breitbandantenne, 131 Charakteristik Einzelelement-, 70 Gruppen-, 69, 70 Dieelektrische Antenne, 9 Dipol Breitband-, 59, 60 elektrostatischer, 31 Falt- Dreidraht, 14 Unsymmetrisches, 14 Halbwellen-Falt-, 1 Hertzscher, 31, 34, 37 39, 4 44, 48, 54, 55, 70, 74, 90, 91, 108, 113, 114, 116 Hertzscher und dualer magnetischer, 113 Hertzscher, Feldlinienbild, 44 Hertzscher, Fernfeld, 40 Hertzscher, Gewinn, 41 Hertzscher, Nahfeld, 37 19

226 0 Sachwortverzeichnis Hertzscher, Richtcharakteristik, 40 Hertzscher, Strahlungswiderstand, 41 Hertzscher, Wirkfläche, 41 Hertzscher, zwei parallele, 70 infinitesimaler, 3 λ-, 55 λ/-, 53 magnetischer, 116 vor leitender Wand, 7 Dipolantenne, Direktor, 1, 17, 18 Direktor, YAGI-Antenne, 18 Doppelkegel, 59, 60 Dualitätsprinzip, 105, 11, 113, 114 Eingangsimpedanz, 6, 4, 43, 58, 59, 13 Stabstrahler, 56 Elementfaktor, 64, 65, 70, 7, 9, 95 Elliptizität, 159 Endkapazität, 60 Energiestromdichte, 3 Erdoberfläche, 1, 61 Ersatzschaltbild, 6 Feldwellenwiderstand, 8, 11 Fernfeld, 11, 17, 18, 37, 40, 41, 63, 88, 90 9, , 105, 114, 10, 16, 17, 147, 148, 151, 155, 157 abstrahlendes, 147 Fernfeldbedingung, 147 Flächenelement, 10, 17 Flachenwirkungsgrad, 5 Frequenzbereich Kurzwelle, 3 Mittelwelle, 3 Funktion Kugelflächen-, 33 Gangunterschied, 66, 76, 88, 91, 99 Gesetz Durchflutungs-, 1, 8, 3 Induktions-, 1, 8, 3 Gewinn, 17 Grating Lobes, 68 Gruppenfaktor, 6, 64 69, 7, 75 80, 8, 83, 87, 88, 95, 98, 101, 106 Halbwertsbreite, 0, 3, 51, 5, 79, 84, 86, 103, 108, 135, 139 Halbwertswinkel, 0, 5 Hauptkeule, 55, 75, 79, 88, 10, 108 Hauptpolarisation, 158 Hauptstrahlung, 5, 9, 107 Helmholtz-Gleichung, 3 Hohlleiter, 1, 104, 110, 119, 131 Rechteck-, 110 Hohlleiterantenne, 1 Horizontaldiagramm, 19, 41, 7, 75, 95, 106, 108 Hornantenne, 9 Huygensches Prinzip, 108 Kartesische Koordinaten, 10 Koordinaten kartesische, 9 kartesische-, 10 Kugel-, 10 Kugelkoordinaten, 9, 10, 16, 31 35, 91, 99, 100, 135 Kugelstrahler, 17, 18, 64 Ladungsdichte, 3

227 Sachwortverzeichnis 1 Langdrahtantenne,, 3 Leerlaufspannung, 43, 115 Leistungsflu sdichte, 16 Leitungswelle, 1, 119 Linearantenne,, 3 Lineare Antenne, 48 Wellenwiderstand, 56 Lineare Antennen dünne, Strahlungseigenschaften, 50 Lineare Antennengruppe, 64 Linsenantenne, 9, 108 Logarithmisch-periodische Antennen, 137 Lorentz-Konvention, 30, 34 Magnetostatik, 39 Maxwellgleichungen, 4, 5, 8 30, 34, 100, 11, 113 Meßstrecke Fernfeld, kompakte, 156 Nahfeld, 157 Mikrowellenantenne, 3 Nahfeld, 37 39, 41, 9, 118 abstrahlendes, 147 Dipol, Feldgleichungen, 38 reaktives, 147 Nebenkeule, 55, 84, 86, 88 Nebenzipfel, 51 Ortskurve, 14 Phasendifferenz, 148 Phasenfront, 156 Phasengeschwindigkeit, 3, 58, 108, 110, 19 planare Antenne, 3 Polarisation, 11 14, 9, 104, 116, 13, 135, 144, 158 Definition, 11 elliptische, 1, 13 lineare, 1 zirkulare, 13 Potentiale, elektrodynamische, 8, 30, 3 Poynting-Vektor, 16, 114 Rahmenantenne,, 3 Reflektor, 3 parabolischer, 3 Reflektor, YAGI-Antenne, 18 Reflektorantenne,, 9, 97, 131 parabolische, Richtcharakteristik, 17 19, 1, 40, 51 53, 55, 9, 95, 97, 101, 103, 108, 111, 15, 13, 135, 147, 154, 155 Messung, 158 Richtdiagramm, 19, 0, 63, 65, 71, 75, 79, 80, 84, 88, 95, 98, 104, 114, 10, 13, 16, 131, 136, 159 E-Ebene, 158 H-Ebene, 158 kopolares, 158 kreuzpolares, 158 Richtfaktor, 10, 114, 116 Richtwirkung, 3, 17, 51, 6, 107 Schleifenantenne, 1 Schlitzantenne,, 3, 117 Selbstduale Antennen, 13 Spannungsquelle, 6, 43 Speiseleitung, 119, 138 Spiralantenne, 13,

228 Sachwortverzeichnis archimedisch, 134 archimedische, 137 eben, 134 konisch, 134 logarithmisch, 134 winkelkonstante, 135 Stabantenne, 1, 57, 58 Ferrit-, 116 Stabstrahler Eingangsimpedanz, 56 Strahler dielektrischer,, 3 Einzel-, 3, 6 66, 68, 69, 75, 80, 8, 88 Elementar-, 6, 63 Horn-,, 3, 104 isotroper, 17 Schlitz-, 117, 10, 11 Stab-, 48, 59, 11 Strahlungseigenschaft, 1 Strahlungswiderstand, 5, 6, 4, 54, 55, 58, 114, 115, 10, 11, 133 Dipol, 11 Stromdichte, 3, 100 Stromelement, 38, 39, 48 Stromspiegelungsprinzip, 3 Stromverteilung, 30, 5, 60, 78, 9, 94 dielektrische, 6 ohmesche, 6 Verlustwiderstand, 6, 4, 58, 115, 116 Verschiebungsstrom, 45 Vertikaldiagramm, 19, 41, 51, 55, 7, 9, 95, 108 Wanderwellenantenne, 3 Wegdifferenz, 49, 71 Welle ebene, 6, 30 Kugel-, 97, 98, 104, 107, 108 transversale, 6 Wellengleichung, 5, 7, 9, 30, 3 inhomogene, 9 Wellenleiter, 3 Wellenwiderstand, 57, 59, 100 lineare Antenne, 56 Wirkungsgrad, 18, 6 YAGI-Antenne, 1, 15, 18 Teilwellen, 13 Vektor Amplituden-, 7 Vektorfeld, 8 Vektorpotential, 8, 30, 3, 34, 36, 49, 99 Verluste