Kapitel 5. Näherungsverfahren. 5.1 Variationsansatz

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1 Kapitel 5 Näherugsverfahre Eie zetrale Aufgabe beim Löse quatemechaischer Probleme ist die Bestimmug der Eigewerte ud Eigevektore hermitescher Operatore, vor allem des Hamiltooperators Ĥ ψ = E ψ. 5.1 Es ist allerdigs ur i de weigste Fälle möglich, das Eigewertproblem aalytisch exakt zu löse. Darüber hiaus verwedet ma aalytische ud umerische Näherugsverfahre. Wir bespreche hier zuächst de Variatiosasatz ud die WKB-Näherug, ud aschließed wichtige störugstheoretische Methode. Auf dem Weg dorthi werde wir auch, zusätzlich zu dem bereits behadelte Schrödiger- ud dem Heiseberg- Bild, das Wechselwirkugs-Bild Dirac-Bild keelere. 5.1 Variatiosasatz Der Variatiosasatz ist fast immer awedbar. Er ka besoders hilfreich sei, um die Grudzustadseergie eies Systems abzuschätze, we die exakte Lösug icht bekat ist ud we auch kei kleier Störterm vorliegt. Die Idee des Variatiosasatzes besteht dari, eie physikalisch motivierte Testwellefuktio mit freie Parameter zu formuliere. Die Parameter werde so bestimmt, dass die Testwellefuktio die Eigewertgleichug so gut wie möglich erfüllt. Dies ist wege des folgede Satzes besoders hilfreich: 153

2 5.1. Variatiosasatz SCHRANKEN FÜR DIE ENERGIE EINES BELIEBIGEN NORMIERBAREN ZUSTANDSVEKTORS ψ E 0 ψ Ĥ ψ ψ ψ E max. 5.2 Wir habe hier auch de Fall zugelasse, dass der vo Variatiosparameter abhägige Zustad ψ zuächst icht ormiert ist ud habe deswege durch ψ ψ dividiert. Der Erwartugswert der Eergie i eiem ormierbare Zustad liegt somit immer im Eigewertspektrum vo Ĥ ud ist isbesodere immer größer oder gleich als die wahre Grudzustadseergie E 0. Der Erwartugswert des Hamiltooperators i eier Testwellefuktio liefert daher immer eie obere Schrake für die exakte Grudzustadseergie! Zum Beweis gehe wir vo eiem beliebige ormierbare Zustadsvektor ψ aus ud etwickel ih ach de Eigezustäde vo Ĥ ψ = ψ. Der Eergie-Erwartugswert im Zustad ψ ist Ẽ = ψ Ĥ ψ ψ ψ = = E δ, {}}{, ψ Ĥ ψ, ψ }{{} ψ δ, ψ 2 E E 0 + E 0 ψ 2 = ψ 2 E ψ 2 = 0 0 {}}{{}}{ ψ 2 E E 0 ψ 2 }{{} 0 + ψ 2 E 0 ψ 2 }{{} E 0 E 0 Daraus folgt das gesuchte Ergebis Ẽ E 0. Die Gleichheit Ẽ = E 0 liegt 154

3 Kapitel 5. Näherugsverfahre da ud ur da vor, we ψ = 0, d.h. we ψ der Grudzustadsvektor ist. Mit aaloge Überleguge zeigt ma, dass Ẽ E max. Zusätzlich hilft, dass ei schlechter Testvektor immer och eie relativ gute Eergie liefer ka, de eie Näherug mit Fehler Oɛ für de Testvektor ergibt eie Näherug mit Fehler Oɛ 2 für die Grudzustadseergie: ψ = 0 + Oɛ Ẽ = E 0 + Oɛ 2 Beweis: Wir drücke de Testzustad ψ durch de Grudzustad 0 ud de Korrekturvektor aus, der vo der Ordug Oε sei soll: ψ = 0 +. Ẽ = 0 + Ĥ = 0 Ĥ Ĥ + Ĥ 0 + Ĥ = E E E Ĥ E Ĥ = Oɛ 2 {}} { Ĥ E0 = E 0 + ψ ψ }{{} O1 Für das Variatiosverfahre wählt ma eie geeigete Schar vo Vektore ψλ als Testvektore. Diese Wahl ist der Ituitio bzw. Erfahrug überlasse. Die Vektore ψλ sollte sivoll, aber auch mathematisch eifach sei, d.h. die Erwartugswerte sollte berechebar sei. Der beste Zustadsvektor ierhalb der gewählte Schar ist da jeer, der de Eergie-Erwartugswert miimiert: 155

4 5.1. Variatiosasatz VARIATIONSVERFAHREN Miimiere Eλ = ψλ Ĥ ψλ ψλ ψλ. 5.3 Also λ Eλ = 0 λ opt E opt = Eλ opt We die Zustäde ψλ ormiert gewählt sid, ist der Neer i Gl. 5.3 gleich Eis. 156

5 Kapitel 5. Näherugsverfahre 5.2 WKB-Näherug Die WKB-Näherug ist eie sogeate semiklassische Näherug, beat ach ihre Erfider Wetzel, Kramers ud Brilloui Sie ist awedbar, we ei Potetial vorliegt, das im Ort ur lagsam variiert. Die statioäre Schrödigergleichug i 1 Dimesio lautet 2 d 2 ψx = E V x ψx. 2m dx2 We V kostat ist, V x = V 0, wird sie vo Ae ±ipx gelöst, ud die allgemeie Lösug lautet da ψx = A e i px + B e i px mit p 2 2m = E V 0. Diese Lösug hat bei E > V 0 die Welleläge λ = 2π k = 2π p. Der WKB-Asatz beutzt eie aaloge expoetielle Form: ψx = A e i Sx. 5.4 We ma eie beliebige komplexe Fuktio Sx zulässt, ist dieser Asatz och allgemeigültig. Durch Eisetze i die statioäre Schrödigergleichug erhalte wir S x = 2m E V x + i S x 5.5 Wir etwickel u Sx ach Poteze vo Motivatio s.u. Sx = S 0 x + S 1 x + 2 S 2 x Eisetze i 5.5 ud Orde ach Poteze vo ergibt ] [S 0 0x 2 2m E V x + 1 [ is 0 x + 2S 0xS 1x] O 2 = 0. Weil ei freier Parameter der Schrödigergleichug ist, müsse die Orduge vo eizel verschwide. Die WKB-Näherug verwedet die Schrödigergleichug bis zur erste Ordug vo. Die ullte Ordug lautet S 0x 2 = 2m E V x,

6 5.2. WKB-Näherug mit der Lösug S 0 x = ± x 2mE V x dx. 5.9 I der erste Ordug bekomme wir somit 2i S 1x = S 0 x S 0x = S 0x S 0x = d dx l S 0x, i S 1 x = l S 0x + kost = l 2mE V x + kost Mit der Abkürzug px = 2mE V x erhalte wir die WKB-NÄHERUNG FÜR DIE WELLENFUNKTION BEI EINEM LANGSAM ψx = VARIIERENDEN POTENTIAL kost px exp ± i x px dx mit px := 2mE V x Der Expoet kommt vo S 0 x ud der Neer vo S 1 x. Die utere Greze des Itegrals ist uwichtig; ihr Effekt verschwidet im Vorfaktor. We V x kostat ist, wird aus dem Itegral das Produkt p x ud wir erhalte wieder Lösuge e ± i px. Eie Motivatio für das Verachlässige höherer Orduge vo ist, dass die quatemechaische Welleläge λ = 2π bei 0 gege Null p geht, ud somit das Potetial V x i Eiheite vo λ immer kostater wird, d.h. die Näherug wird besser. Die Näherug ist semiklassisch, z.b. i dem Si, dass bei 0 die Abstäde diskreter quatemechaischer Eergie bei gebudee Zustäde gege Null gehe, d.h. die erlaubte Eergie werde da kotiuierlich wie im klassische Fall. Kokreter ka ma zeige, dass die WKB-Näherug da gut ist, we die Äderug der potetielle Eergie über de Bereich eier Welleläge λ klei gegeüber der kietische Eergie ist. Die Näherug wird aber zumidest a de Stelle x ugültig, a dee px = E V x = 0. Dies sid Schrödigergleichug die Wedepukte ψ x = 0 der Wellefuktio. 158

7 Kapitel 5. Näherugsverfahre Trasmissio durch eie Barriere. Der Hauptutze der WKB-Näherug liegt i eiem schelle qualitative Verstädis des Verhaltes der Wellefuktio. Ei Beispiel ist das Tuel durch eie ortsabhägige Tuelbarriere. Wir betrachte ei Potetial, dass vo x 1 bis x 2 größer ist als die Eergie E sei soll, berücksichtige äherugsweise ur de ach rechts laufede bzw. expoetiell abfallede Teil der Wellefuktio, ud verachlässige de Vorfaktor der Wellefuktio. Wir igoriere auch, dass die WKB-Näherug zumidest a de Stelle x 1 ud x 2 icht gültig ist. Der Trasmissioskoeffiziet ist da i dieser grobe Näherug T ψx 2 2 ψx 1 2 exp 2 x2 x 1 dx 2m E V x Bei kostatem Potetial stimmt dies bis auf eie Vorfaktor mit dem früher berechete expoetielle Verhalte des Trasmissioskoeffiziete überei. 159

8 5.3. Zeituabhägige Störugstheorie 5.3 Zeituabhägige Störugstheorie Ei approximatives Verfahre zur Lösug des Eigewertproblems bietet die Störugstheorie. Um sie awede zu köe, muss folgedes gelte: 1. Der Hamiltooperator muss sich aufspalte lasse: Ĥ = Ĥ0 + ˆ Hλ, wobei die Störug ˆ H meist vo eiem Parameter λ abhägt. 2. Die Eigewertgleichug vo Ĥ0 muss gelöst sei. Ĥ 0 Φ 0 = E 0 Φ Die Störug muss klei sei: ˆ H Ĥ 0 s.u. Bei viele praktische Probleme lässt sich Ĥ i der Tat so zerlege. Der eifachste Fall ist der, dass die Störug zu λ proportioal ist: Ĥ = Ĥ0 + λĥ Diese Fall werde wir im Folgede betrachte. Wir werde die Eigewertgleichug ach Poteze vo λ sortiere. Dieses Näherugsverfahre et ma Schrödigersche Störugsrechug Nicht etartete Störugstheorie Wir behadel zuächst de Fall, dass E 0 icht etartet ist. Weiter ehme wir a, dass die Eigewerte ud Eigevektore vo Ĥ ach λ etwickelt werde köe Φ = Φ 0 + λ Φ 1 + λ 2 Φ 2 + E = E 0 + λ E 1 + λ 2 E Ma beachte: der utere Idex ummeriert hier die Eigewerte ud Eigevektore. Der obere Idex 0, 1, 2,... gibt die Potez vo λ a, steht also für die 160

9 Kapitel 5. Näherugsverfahre Ordug der Etwicklug. Die Idizes i übliche Notatio Ĥ = Ĥ0 + λĥ1 passe icht zu dieser Notatio. Es gibt auch Fälle, die zu eiem ichtaalytische Verhalte führe, das sich icht ach λ um λ = 0 etwickel lässt, wie z.b. die Fuktio e a λ. Letztere taucht i der Quatechromodyamik QCD, Theorie der starke Wechselwirkug zwische Quarks auf. Die Eigevektore Φ 0 des ugestörte Problems solle ormiert sei. Eisetze der Reiheetwicklug Gl i die Eigewertgleichug Ĥ ψ = E ψ liefert Φ 0 Ĥ0 + λĥ1 + λ Φ 1 + λ 2 Φ 2 + = = E 0 + λe 1 + λ 2 E 2 + Φ 0 + λ Φ 1 + λ 2 Φ 2 + Wir sortiere dies ach Poteze vo λ: Ĥ 0 Φ 0 + λ Ĥ1 Φ 0 + E 0 Φ 0 + λ 1 Ĥ0 Φ E 1 Φ 0 + E 0 Φ 1 + λ Ĥ1 2 Φ λ 2 E 2 Φ 0 + E 1 Φ 1 + E 0 Φ 2 2 Ĥ0 Φ +... = Da die Tayloretwicklug für beliebige λ gelte soll, müsse die eizele Orduge idividuell übereistimme!: Oλ 0 : Ĥ 0 Φ 0 = E 0 Φ a Oλ 1 : Ĥ 1 Φ Ĥ0 Φ = E 1 Φ 0 + E 0 Φ b Oλ 2 : Ĥ 1 Φ Ĥ0 Φ = E 2 Φ 0 + E 1 Φ 1 + E 0 Φ c Eergiekorrektur erster Ordug Die Gleichug 0-ter Ordug 5.18a etspricht dem Eigewertproblem des ugestörte Hamiltooperators. Um die Eergiekorrektur erster Ordug zu erhalte, multipliziere wir Gl. 5.18b vo liks mit Φ 0 Φ 0 Ĥ1 Φ 0 + Φ 0 Ĥ0 }{{} E 0 Φ 0 Φ 1 = E 0 Φ 0 Φ E 1 } {{ } 1 Φ 0 Φ 0

10 5.3. Zeituabhägige Störugstheorie Die Eergiekorrektur erster Ordug ist somit eifach der Erwartugswert des Störoperators im Eigezustad Φ 0 des ugestörte Systems: E = E 0 + λe , mit ENERGIEKORREKTUR ERSTER ORDNUNG E 1 = Φ 0 Ĥ1 Φ Das bedeutet auch, dass die Gesamteergie bis zur erste Ordug durch de Erwartugswert des Gesamt-Hamiltooperators im Eigezustad Φ 0 des ugestörte Systems gegebe ist! E = Φ 0 Ĥ Φ0 + Oλ 2 Vektorkorrektur erster Ordug Als ächstes soll die Korrektur für de Eigevektor gefude werde. Dazu multipliziere wir Gl. 5.18b vo liks mit Φ 0 m für m Φ 0 m Ĥ1 Φ 0 + Φ 0 m Ĥ0 }{{} E 0 m Φ 0 m Φ 1 = E 0 Φ 0 m Φ 1 Φ 0 m Ĥ1 Φ 0 = + E 1 E 0 E m 0 Φ 0 m Φ 1 Φ 0 m Φ 1 = Φ0 m Ĥ1 Φ 0 E 0 E m 0 } {{ } =0 Φ 0 m Φ Aufgrud der Aahme, dass E 0 icht etartet ist, verschwidet der Neer icht. Er köte aber sehr klei sei s.u.. Gl spezifiziert, bis auf m =, alle { Koeffiziete } der Etwicklug des Vektors Φ 1 ach dem Basissystem Φ 0 m : Φ 1 = m Φ 0 m Φ 0 m Φ 1 = Φ 0 Φ 0 Φ 1 + m Φ 0 m Φ 0 m Φ 1 = Φ 0 Φ 0 Φ 1 + m Φ 0 m Φ0 E 0 m Ĥ1 Φ 0 E m

11 Kapitel 5. Näherugsverfahre Der Etwicklugskoeffiziet Φ 0 Φ 1 ist durch Gl. 5.18b icht festgelegt. Wir zeige u, dass er zu Null gewählt werde ka. Um dies zu sehe, muss die Normierug des Vektors Φ i der betrachtete Ordug i λ berücksichtigt werde Φ = = = Φ 0 + λ Φ 1 + Oλ 2 [ Φ 0 + λ Φ 1 + Oλ 2 Φ 0 + λ Φ 1 + Oλ 2 [ Φ 0 Φ 0 } {{ } =1 [ λκ + Oλ2 Φ 0 + λ Φ 1 + Oλ 2 +λ Φ 0 Φ 1 + Φ 1 Φ 0 }{{} ]! = Φ 0 + λ Φ 1 + Oλ 2 =:κ Φ 0 + λ Φ 1 + Oλ 2 ] 1/2 +Oλ 2 Vo der zweite zur dritte Zeile habe wir die Tayloretwicklug x = x + Ox2 = x + Ox2 ] 1/2 beutzt. Durch die Normierug darf sich das Ergebis für Φ i der betrachtete Ordug λ icht äder. Somit muss gelte κ 2 Re Φ 0 Φ 1! = 0 + Oλ. Dies erreicht ma am Eifachste durch die Wahl Φ 0 Φ 1 = 0. Der Korrekturvektor Φ 1 ist da orthogoal zu Φ 0. Wir erhalte damit die KORREKTUR ERSTER ORDNUNG DES EIGENVEKTORS Φ 1 = Φ 0 m m Φ0 E 0 m Ĥ1 Φ 0 E m Φ 0 Φ 1 = Wir köe u auch quatifiziere, was ˆ H1 Ĥ0 bedeutet. Damit Gl eie gute Näherug ist, muss gelte λ Φ 0 m Ĥ1 Φ 0 E 0 E m 0 1 m

12 5.3. Zeituabhägige Störugstheorie We die Störug klei ist, geügt es häufig, de erste icht-verschwidede Beitrag zu bereche. Falls die Reihe icht schell geug kovergiert, ka es aber ötig werde, bestimmte Beiträge zur Störugstheorie bis zu uedlicher Ordug aufzusummiere. Hierfür gibt es so geate diagrammatische Methode. I der Praxis geht ma ur selte über die Korrektur erster Ordug für die Vektore hiaus. Allerdigs ist es oft otwedig, Eergiekorrekture zweiter Ordug zu bereche, isbesodere we der Beitrag erster Ordug verschwidet, z.b. aus Symmetriegrüde s.u.. Eergiekorrektur zweiter Ordug Wir multipliziere Gl. 5.18c vo liks mit Φ 0 ud erhalte E 0 Φ/ 0 Φ 2 {}}{ Φ 0 Ĥ1 Φ 1 + Φ 0 Ĥ0 Φ 2 0 / {}}{ = E 2 + E 1 Φ 0 Φ 1 +E 0 Φ 0 Φ 2 E 2 = Φ 0 Ĥ1 Φ 1 Eisetze der Gl liefert somit E 2 = Φ 0 Ĥ1 Φ 0 m m Φ0 E 0 m Ĥ1 Φ 0 E m 0. ENERGIEKORREKTUR ZWEITER ORDNUNG E 2 = N m=1 m Φ 0 m Ĥ1 Φ 0 2 E 0 E m Die Korrektur 2. Ordug zum Grudzustad =0 ist immer egativ, da E 0 0 E m 0 < 0 m 0 164

13 Kapitel 5. Näherugsverfahre Beispiel: Spi-1/2 Teilche im extere Magetfeld Wir wolle u ei eifaches Beispiel exakt löse ud aschließed mit dem Ergebis der Störugstheorie vergleiche. Wir betrachte ei Spi- 1Teilche i eiem extere Magetfeld B = B 2 z e z i z-richtug, B z > 0. Der Hamiltooperator dieses Systems lautet Ĥ 0 = µb z Ŝ z. Die Eigevektore dazu sid die Eigevektore vo Ŝz, d.h. ±z, mit de Eigewerte µb z. 2 Als Störug schalte wir u ei B-Feld i x-richtug hizu. Der Hamiltooperator lautet da mit Ĥ = µb z Ŝ z µb x Ŝ x =: Ĥ 0 + λ Ĥ λ := Bx B z, ud Ĥ1 := µb z Ŝ x Wir werde das Problem sowohl exakt als auch mittels Störugstheorie löse. Bei der exakte Lösug gibt es keie Eischräkug a B x. Bei der Störugstheorie brauche wir eie kleie dimesioslose Parameter ud habe dazu das Verhältis B x /B z verwedet. I H 1 taucht deswege B z auf. Für die Störugstheorie muss da λ = B x /B z 1 gelte. Exakte Lösug Wir köe das Problem durch Diagoalisierug der Hamilto-Matrix exakt löse. I der S z -Basis lautet sie mit Ŝz ud Ŝx z z z µ 2 B z µ 2 B x z µ 2 B x µ 2 B z Die Eigewertgleichug Ĥ ψ = E ψ ist i Matrixform µ 2 Bz B x B x B z ψ1 ψ 2 = E ψ1 ψ

14 5.3. Zeituabhägige Störugstheorie Eie icht triviale Lösug existiert ur, we µ Bz B x ˆ1E = E 2 µ 2 B x B z 2 2 Bx 2 + Bz 2 Daraus folgt! = 0. E ± = ±µ 2 B, mit B := B 2 x + B 2 z Dieses Ergebis hätte wir auch eifacher erhalte köe, ämlich durch Wahl der z-achse i Richtug des Gesamt-Magetfeldes der Stärke B, woraus sich sofort 5.30 ergibt. Als ächstes bestimme wir die Eigevektore exakt. Eisetze der Eigewerte ±µb i die Eigewertgleichug 5.29 liefert 2 Bz B x B x B z ψ1 ± ˆ1B ψ 2 = 0 Aufgrud der verschwidede Determiate geügt es, die erste Gleichug zu erfülle, B z ± B ψ 1 + B x ψ 2 = 0. Bis auf die Normierug lautet der Eigevektor somit ψ1 ψ 2 B x B z ± B. Für de spätere Vergleich mit der Störugstheorie ehme wir u a, dass λ klei ist ud etwickel die exakte Lösug ach λ = B x /B z. E ± = ±µ 2 B 2 z + B 2 x = ±µ 2 B z 1 + λ2 = ±µ 2 B z λ2 + Oλ Die Eergie i ullter Ordug i λ ist somit ±B z g /2. Die Eergiekorrektur erster Ordug verschwidet hier, ud die Korrektur zweiter Ordug lautet ±B z g /4λ 2. Für de Eigevektor zu E + lautet die Reiheetwicklug ψ1 ψ λ Oλ

15 Kapitel 5. Näherugsverfahre ud für de Eigevektor zu E ψ1 ψ λ Oλ Der Zustadsvektor erhält hier somit scho i der erste Ordug eie Korrektur, die Eergie aber erst i der zweite Ordug. Störugstheoretische Lösug Bei der exakte Lösug war die Größe vo B x beliebig. Wir verlage u! λ = Bx B z 1. Wir idetifiziere gemäß Gl Die Eigelösug vo Ĥ0 ist Ĥ 0 = µb z Ŝ z ud Ĥ 1 = µb z Ŝ x. Φ 0 1,2 = ±z ; E 0 1,2 = µ 2 B z. Der Idex, welcher die Eigezustäde ummeriert, immt hier ur die Werte 1 ud 2 a. Die Matrixelemete vo Ĥ1 sid i der z-basis proportioal zu σ x = Daher gilt E = Φ 0 Ŝx Φ 0 = 0 ud somit verschwidet die Eergiekorrektur erster Ordug. Hier habe wir es also mit eiem Fall zu tu, i dem es otwedig ist, die Korrektur zweiter Ordug zu bestimme. Für die Nichtdiagoalelemete d.h. m vo Ĥ 1 gilt Φ 0 Ĥ1 Φ 0 m = µ B 2 z ud E 2 = m E 2 1/2 = µ 2 B z Φ 0 m Ĥ1 Φ 0 2 E 0 E m = µ B 2 2 z 2E 0 Die Korrektur erster Ordug für de Eigezustad lautet: Φ 1 = Φ 0 m m Φ0 E 0 m Ĥ1 Φ 0 E m 0 = µ 2 B z 2E 0 m Φ 0 m = ± 1 Φ 0 m 2 m 167

16 5.3. Zeituabhägige Störugstheorie Weil es i diesem Beispiel ur 2 Zustäde gibt = 1, 2, ethalte die Summe jeweils ur eie Summade. I Tabelle sid die Ergebisse für die Eigewerte ud Eigevektore zusammegefasst. Sie stimme i der betrachtete Ordug mit de exakte Ergebisse i de Gl. 5.31, 5.32 ud 5.33 überei. Φ 0 E 0 E 0 + λ 2 E 2 λ Φ z µbz µbz z µb z 2 µb z 2 λ2 λ z λ2 λ +z 2 2 Tabelle 5.1: Beiträge zur Störugstheorie Störugstheorie für fast etartete Zustäde Wir wede us u dem Fall zu, dass es für eie betrachtete Zustad Φ 0 0 midestes eie weitere Zustad Φ 0 m gibt, für de i Gegesatz zu Gl gilt Φ 0 λ 0 Ĥ1 Φ 0 m E 0 0 E m 0 1. I diesem Fall bricht der bisher betrachtete Formalismus zusamme. De Extremfall stelle etartete Eigezustäde vo Ĥ0 dar, d.h. E 0 0 E m 0 = 0 für bestimmte m. E 0 a E 0 0 E 0 b E Abbildug 5.1: Eigewertspektrum Wir betrachte das Eigewertspektrum vo Ĥ0 Abb.5.1. Die Eigezustäde vo Ĥ0 beutze wir weiterhi als Basis. Wir wähle eie Referez- Zustad 0 ud desse Nachbarschaft a < 0 < b so, dass außerhalb 168

17 Kapitel 5. Näherugsverfahre dieses Bereichs kei Etartugsproblem auftaucht: λ Φ 0 0 Ĥ1 Φ 0 E 0 0 E 0 1 / N, mit der Idexmege N := { a, a + 1,, 0,, b }. Wir defiiere eie Projektios-Operator ˆP = i N Φ 0 i Φ 0 i, der auf N projiziert, d.h. i de Raum derjeige Eigezustäde vo Ĥ 0, die mit 0 fast etartet sid. Das Komplemet vo ˆP ist ˆQ = ˆ1 ˆP = i/ N Φ 0 i Φ 0 i. Die Projektiosoperatore ˆP ud ˆQ werde ur i der folgede Rechug verwedet ud habe ichts mit dem Orts- oder dem Impulsoperator zu tu. Wir teile u Ĥ wie folgt auf Ĥ = Ĥ0 + ˆP + }{{ ˆQ λĥ1 } ˆP + }{{ ˆQ } =ˆ1 =ˆ1 = Ĥ0 + ˆP λĥ1 }{{ ˆP + ˆP λĥ1 ˆQ + } ˆQλĤ1 ˆP + ˆQλĤ1 ˆQ }{{} = ˆ H0 = ˆ H0 + λ ˆ H1 =λ ˆ H1 Wir betrachte de Operator ˆ H0. Er hat außerhalb vo N wege der Projektio ˆP dieselbe Matrixelemete wie Ĥ0. Die Matrixelemete zwische Zustäde ierhalb ud außerhalb vo N sid wege der Projektio ˆP Null. Dagege hat ˆ H0 ierhalb vo N die Matrixelemete A m := H0 m Φ 0 m H 0 Φ 0 = δ m E 0 + Φ 0 m λĥ1 Φ 0, m, N. Die Matrixdarstellug vo ˆ H0 hat somit folgede Blockgestalt: N N N A 0 N

18 5.3. Zeituabhägige Störugstheorie ist eie Diagoalmatrix = δ E 0, weil hier ur Ĥ0 auftaucht ud wir i der Basis der Eigezustäde vo Ĥ0 arbeite. Ma ka ˆ H0 i Diagoalform brige, idem ma die Matrix A diagoalisiert. Dies stellt i der Regel kei Problem dar, da der Raum der fast etartete Zustäde meist klei ist Dimesio < Es sei u ˆ H0 auf diese Weise diagoalisiert also exakt gelöst worde, mit exak- te Eigewerte Ẽ0 ud exakte Eigevektore Φ 0. Ma beachte, dass die Vektore Φ 0 außerhalb vo N weiterhi Eigevektore vo Ĥ 0 sid. Die Eigevektore ierhalb vo N ergebe sich als Liearkombiatioe der bisherige Eigevektore ierhalb vo N : Φ 0 = Φ 0 c i i. i N Wir habe u für die Störugsrechug eie eue Ausgagspukt Ĥ = ˆ H0 + λ ˆ H mit ˆ H0 = Ĥ0 + ˆP λĥ1 ˆP ud ˆ H1 = ˆP Ĥ1 ˆQ + ˆQĤ1 ˆP + ˆQĤ1 ˆQ. Wir ware ursprüglich am Zustad 0 iteressiert. Wir köe aber auch gleich die Korrekture für alle adere Zustäde i N utersuche. Für diese Zustäde bereche wir jetzt die Korrekture zu Eergie ud Zustadsvektor aufgrud vo ˆ H1. Die Eergiekorrektur erster Ordug ist Ẽ 1 = Φ 0 ˆ H1 Φ 0 Für N ist Φ 0 eie Liearkombiatio der Zustäde aus dem vo ˆP aufgespate Raum. Daher gilt ˆQ Φ 0 = 0. Weil u ˆQ i jedem Term vo ˆ H1 vorkommt, ist ENERGIEKORREKTUR ERSTER ORDNUNG RELATIV ZU Ẽ0, INNERHALB VON N Ẽ 1 = 0 ; N,

19 Kapitel 5. Näherugsverfahre de die lieare Eiflüsse vo Ĥ1 wurde bereits bei der Diagoalisierug vo ˆ H0 berücksichtigt. Wir bereche u die Korrektur der Zustadsvektore. Für N gilt Φ 1 = Φ 0 m m Φ 0 m ˆ H1 Φ 0 Ẽ 0 Ẽ0 m ˆP Φ 0 = Φ 0 ˆQ Φ 0 = 0 } ˆ H1 Φ 0 = ˆQĤ1 Φ 0 Φ 1 = Φ 0 m m 0 0 Φ m ˆQĤ1 Φ Ẽ 0 Ẽ0 m m N Φ 0 m ˆQ = 0 { Φ 0 m = Φ 0 m m / N Ẽ m 0 = E m 0 Somit sieht die Korrektur beim fast-etartete Spektrum vo H 0 formal ählich aus wie beim icht etartete Spektrum. KORREKTUR ERSTER ORDNUNG ZUM ZUSTANDSVEKTOR BEI ENTARTUNG Φ 1 = m/ N 0 Φ 0 Φ m Ĥ1 Φ 0 m Ẽ 0 Ẽ0 m ; N Wie wir gerade gezeigt habe, sid die i dieser Beziehug auftauchede Matrixelemete vo Ĥ1 dieselbe wie vo ˆ H1. Mit aaloge Überleguge erhalte wir auch die 171

20 5.3. Zeituabhägige Störugstheorie ENERGIEKORREKTUR ZWEITER ORDNUNG BEI ENTARTUNG Ẽ 2 = m/ N Φ 0 m Ĥ1 Φ 0 Ẽ 0 Ẽ0 m 2 ; N I Gl ud 5.39 trage ur och Zustäde m / N bei, so dass wie es das Ziel userer Überleguge war der Neer jetzt icht mehr zu klei wird. Die Grudlage für die Awedbarkeit der Störugstheorie, ämlich λ 0 Φ m Ĥ1 Φ 0 Ẽ 0 Ẽ0 m 1, sid dadurch sichergestellt. We außerhalb vo N keie weitere Etartug auftritt, ka ma die Eergie ud Eigevektore zu / N mit de Formel der icht-etartete Störugstheorie bereche, wahlweise relativ zu Ĥ0 oder relativ zu ˆ H0. Asoste muss ma die obige Überleguge mit dem Ort der eue Etartug als euem Bezugspukt 0 wiederhole. 172