Physik 1 für Chemiker und Biologen 8. Vorlesung

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1 Physik 1 für Chemiker und Biologen 8. Vorlesung Wiederholungs-/Einstiegsfrage: Abstimmen unter pingo.upb.de, # Die Skizze zeigt drei Kugeln (1, 2, 3), die sich um eine senkrecht Achse drehen. Ordnen Sie die Kugeln nach ihrem Trägheitsmoment bezüglich der Drehachse, beginnend mit dem größten Wert. Prof. Dr. Jan Lipfert Jan.Lipfert@lmu.de A) 1 > 2 > 3 B) 3 > 2 > 1 C) 2 > 1 > 3 D) 1 = 2 = 3 1 m 1 36 kg Heute: - Wiederholung: Drehbewegungen - Drehimpuls & Anwendungen - Einschub: Drehmomentsmessungen an biologischen Molekülen - Fluide & deformierbare Körper: Druck und Auftrieb 2 m 3 m Drehachse 2 9 kg 3 4 kg

2 Wiederholung: Drehbewegungen Die Bewegung eines starren Körpers lässt sich aus Translation und Rotation zusammensetzten Bewegungsgleichungen für Drehbewegung: Winkel, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung d ~ ~! = d~ dt Trägheitsmoment: Einheit: [I] = kg m 2 I = X i m i r 2 i = ~ = d~! dt = d2 ~ dt 2 Z r 2 dm = Steinerscher Satz: I a 0 = I a + Md 2 (über parallele Achsen) Rotationsenergie: E rot = 1 2 I!2 Z r 2 dv Prof. Dr. Jan Lipfert 2

3 Schwungräder als Energiespeicher - Drehung mit bis zu rpm - E rot ~ 350 kwh ~ 10 9 J - Vakuum um Verluste durch Luftreibung zu minimieren - Anwendung: schnelle Notstromversorgung Carbon Fiber Composite Flywheel Prof. Dr. Jan Lipfert 3

4 Das Drehmoment Prof. Dr. Jan Lipfert 4

5 Gleichgewichtsbedingung des starren Körpers Translation: Erinnerung: ~ F = m ~a Rotation: Hebelgesetz: Archimedes von Syrakus ( v. Chr.) Experiment: Hebel mit Kraftmesser Experiment: Drehmomentscheibe Prof. Dr. Jan Lipfert 5

6 Drehimpuls Definition (für Massepunkt): ~ L = m (~r ~v) Prof. Dr. Jan Lipfert 6

7 Änderung des Drehimpuls ~L = X i m i (~r i ~v i ) Wenn keine äußeren Drehmomente wirken, bleibt der Gesamtdrehimpuls konstant! Wenn äußere Drehmomente wirken, ändern sie den Gesamtdrehimpuls gemäß: ~L = X i ~r i ~ F i = ~ T Gesamt Prof. Dr. Jan Lipfert 7

8 Anwendungen der Drehimpulserhaltung Betrag des Drehimpulses: ~ L = mr 2! = I! Der Drehimpuls in einem abgeschlossen System ist konstant! ~L = X i ~L i (t) = const. Film: watch?v=aqltceag9v0 media/file:twodumbbells.jpg Experiment: Drehstuhl mit Hanteln gestoerte_nachtruhe/pirouetteneffekt1.html Prof. Dr. Jan Lipfert 8

9 Die rotierende Studentin Eine furchtlose Studentin setzt sich auf einen (ruhenden) Drehstuhl. Sie hält einen Kreisel, der sich gegen den Uhrzeigersinn um eine vertikale Drehachse dreht. Jetzt dreht sie den Kreisel um 180º, so dass er sich im Uhrzeigersinn dreht. Experiment: Drehstuhl mit Felge Was passiert mit der Studentin auf dem Drehstuhl? Abstimmen unter pingo.upb.de! A) Sie bleibt in Ruhe. B) Sie beginnt sich im Uhrzeigersinn zu drehen. C) Sie beginnt sich gegen den Uhrzeigersinn zu drehen Prof. Dr. Jan Lipfert 9

10 ~L = X i Anwendungen des Drehimpulssatzes: Präzession des Kreisels ~r i ~ F i = ~ T Gesamt Die Richtung der Drehimpulsänderung steht senkrecht zur Kraft bzw. zum Drehmoment! 1. Schwungrad dreht sich nicht 2. Schwungrad dreht sich Experiment: Kreisel Experiment: Gyroskop Prof. Dr. Jan Lipfert 10

11 Drehbewegungen in Molekülen und Atomen Elektronen und viele Atomkerne haben einen besonderen Drehimpuls - den Spin Grundlage für ESR, NMR, MR-Bildgebung 09._The_Hydrogen_Atom/Atomic_Theory/Electrons_in_Atoms/Electron_Spin Vibration-Rotation- Linienspektrum von Kohlenstoffmonoxid Rotations-Spektroskopie Gasmoleküle mit Trägheits- und elektr. Dipolmoment können zur Rotation angeregt werden. Aus den Spektren kann auf die Bindungslängen geschlossen werden. Wassermoleküle werden im Mikrowellenherd zu (gehinderten) Rotationen angeregt. Dies führt zur Erwärmung der wasserhaltigen Speisen Prof. Dr. Jan Lipfert 11

12 Lineare vs. Drehbewegungen Zu jeder Größe der linearen Bewegung gibt es eine korrespondierende Größe der Drehbewegung. Die Gleichungen für beide Bewegungsformen sind formal gleich! Lineare Bewegung Lineare Bewegung Weg, Verschiebung Geschwindigkeit Beschleunigung Masse Impuls Kraft Kinetische Energie Drehung Drehung Drehwinkel Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Trägheitsmoment Drehimpuls Drehmoment Rotationsenergie Prof. Dr. Jan Lipfert 12

13 Beispiel aus der aktuellen Forschung: Drehmomentsmessungen auf der molekularen Skala ( Prof. Dr. Jan Lipfert 13

14 Drehmomente in der Molekularbiologie (1/2) Klassisches Beispiel: Bakterielle Flagellen Sowa & Berry, Quat. Rev. Biophys (2008) Animation des flagellaren Motors Schwimmende E. coli Bakterien (Flagellen sind fluoreszierend gefärbt) Quelle: Howard Berg Harvard Prof. Dr. Jan Lipfert 14

15 Drehmomente in der Molekularbiologie (2/2) Unsere genetische Information ist in der Form von doppelsträngiger DNA gespeichert Radius: ~1 nm Länge: ~0,3 nm pro Basenpaar Figure 1-2d,e Molecular Biology of the Cell, Fifth Edition ( Garland Science 2008) Die Helizität der DNA hat wichtige Auswirkungen für ihre Transkription und Replikation: Liu & Wang, PNAS (1987) Koster, Crut, et al., Cell (2010) Prof. Dr. Jan Lipfert 15

16 Einzelmolekülmessungen mit magnetischen Pinzetten Verfolge die Kugel- Position in (x,y,z) mit ~ 1 nm Auflösung Vilfan, Lipfert, Koster, Lemay & Dekker, Springer Handbook of Single- Molecule Biophysics (2009) Prof. Dr. Jan Lipfert 16

17 Multiplexing! Prof. Dr. Jan Lipfert 17

18 Drehmomentsmessungen an DNA MTT Elastisches Regime: Bestimme die Drehpersistenzlänge C emtt Buckling Übergang bei einem kritischen Drehmoment; Unterhalb ~ 1 pn symmetrisch Für F > 1 pn, schmilzt die DNA bei einem Schmelzdrehmoment von ca. -11 pn nm Kra$: F = 0.5, 1, 3, 6 pn Für F > 5 pn, ändert die DNA ihre Konformation zu P-DNA bei Überdrehung Lipfert, et al., PNAS (2014) Prof. Dr. Jan Lipfert 18

19 Drehmomentsmessungen an E. coli E. coli Zellen werden an einer Oberfläche immoblisiert und magnetische Kugeln spezifisch an den flagellaren Motorkomplex gekoppelt: Van Oene, et al., Scientific Reports (2017) Prof. Dr. Jan Lipfert 19

20 ) Prof. Dr. Jan Lipfert 20

21 Mechanik von Flüssigkeiten und deformierbaren Festkörpern Prof. Dr. Jan Lipfert 21

22 Massenpunkte starre Körper reale Körper Bisher: 1) Massenpunkte (nur Translation) 2) Starre Körper (Translation und Rotation) Ändern Form unter äußeren Einflüssen (Kräfte, Drehmomente) nicht Jetzt: 3) Deformierbare Körper Mögliches Vorgehen: Einteilung im Massenelemente dm Kräfte zwischen diesen dm Integration dm 1 dm 2 Besser: Neue Größen Prof. Dr. Jan Lipfert 22

23 Deformierbare Körper Kristalliner Festkörper Form- und volumenelastisch (Behalten ihre Form und ihr Volumen, in gewissen Grenzen) Kristallstruktur Verformbarkeit Amorpher Festkörper Flüssigkeiten Volumenelastisch bzw. nicht kompressibel, aber nicht formelastisch Gase füllen das Volumen aus; keine Form-, geringe Volumen-Elastizität sind kompressibel Prof. Dr. Jan Lipfert 23 Ordnung

24 Dichte Typische Werte Weltall Luft Wasser Aluminium Quecksilber Neutronenstern Prof. Dr. Jan Lipfert 24

25 Druck Blaise Pascal ( ) Ein paar gebräuchliche Druck-Einheiten: bar atm psi (pounds per square inch) Torr (mm Hg) 10 5 Pa 1, Pa 6894,757 Pa 133,322 Pa Prof. Dr. Jan Lipfert 25

26 Hydrostatischer Druck Hydraulische Presse Prof. Dr. Jan Lipfert 26

27 Hydrostatischer Druck & Schweredruck h Anwendung: Torricelli-Barometer Vakuum Hydrostatisches Paradoxon Experiment: Kommunizierende Röhren Experiment: Trichter und U-Rohr h Experiment: Magdeburger Halbkugel Prof. Dr. Jan Lipfert 27