Ludwig-Maximilians-Universität. Konvexe Analysis mit Anwendung auf Risikofunktionale. Prof. Dr. G. Svindland

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1 Ludwig-Maximilians-Universität Konvexe Analysis mit Anwendung auf Risikofunktionale Prof. Dr. G. Svindland

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3 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die konvexen Risikomaße Konvexe Risikomaße/Motivation Darstellung (konvexer) Risikomaße mittels Aktzeptanzmengen Lokalkonvexe Vektorräume/ Duale Paare/ Konvexe Dualität Duale Paare Konvergenz in topologischen Räumen Trennungssätze in lokalkonvexen Räumen Darstellung konvexer Funktionen Dualräume der L p -Räume Anwendung auf konvexe Risikomaße 28 4 Verteilungsinvariante Risikomaße Anwendung: Optimal Risk Sharing /Equilibria

4 1 Einführung in die konvexen Risikomaße 1.1 Konvexe Risikomaße/Motivation Berechnung von Risikokapitalrücklagen (Versicherung/ Banken, Solvency II/ Basel III, etc.) Portfoliooptimierung unter Nebenbedingungen. Grundlegendes Finanzmarktmodell Gegeben sei ein 1-Perioden Modell, in dem zukünftige Auszahlungsprofile durch Zufallsvariablen (ZV en) auf einem vorgegeben Wahrscheinlichkeitsraum (W-Raum) (Ω, F, P) modelliert werden. Ω = Zukünftige Zustände F = σ-algebra/ verfügbare Information P = objektives W-Maß Annahmen/ Auszahlungsprofile: X : Ω R F-meßbar (ZV) X(ω) Auszahlung im Zustand ω Ω Auszahlungen sind bereits diskontiert, d.h. Geldwert heute= Geldwert morgen Negative Werte von X sind Verluste, positive sind Gewinne Wir identifizieren Auszahlungsprofile, die sich nur auf einer P- Nullmenge unterscheiden Wir nehmen an, dass alle Auszahlungsprofile beschränkt sind, d.h. c > : P ( X > c) = (Relaxierung hiervon später) Der Raum der Auszahlungsprofile entspricht L := L (Ω, F, P) = L (Ω, F, P)/N L := L (Ω, F, P) = {X : Ω R F-meßbar, c > : P ( X > c) = } Äquivalenzrelation auf L : : X Y P(X Y ) =. Norm auf L : X := esssup X = inf {m R : P ( X > m) = }. Erinnerung: esssup Y := inf {m R : P(Y > m) = } essinf Y := sup {m R : P(Y < m) = } 1

5 Bemerkung. (L, ) ist ein Banachraum (vollständiger normierter Raum). Beweis. Übung! Idee: Zur konsistenten Risikomessung wollen wir ein Funktional ρ : L R mit guten Eigenschaften definieren, welches den Geldbetrag ρ(x) angibt, den wir benötigen um das Auszahlungsprofil X L abzusichern/ akzeptabel zu machen. Beispiel (VaR α (Value at Risk)). Sei α (, 1) und für X L sei q + X (α) = sup {x : P(X < x) α} = inf {x : P(X x) > α} Rechtsstetiges α-quantil, dann ist der Value at Risk definiert als VaR α (X) := q + X (α). y y 1 1 F X(x) = P(X x) F X(x) α q + X (α) x q X (α) q+ X (α) x ( q X (α) = sup {x : P(X < x) < α} = inf {x : P(X x) α}) Bemerkung. VaR α (X) = inf {m R : P(X + m) < ) α} (Übung!) Kleinstes Kapital, dass zu X hinzugefügt werden muss, damit die Verlustwahrscheinlichkeit kleiner α ist. Typische Größen für α sind.5% oder.1% Definition 1.1. Eine Funktion ρ : L R heißt (monetäres) Risikomaß (RM), falls es folgende Eigenschaften hat: i) Monotonie (Eigentlich Antitonie): X, Y L mit X Y (P-f.s.) ρ(x) ρ(y ) ii) Translationsinvarianz/ Cash-Invarianz: X L, m R : ρ(x + m) = ρ(x) m. Bemerkung. ρ(x + ρ(x)) = ρ(x) ρ(x) =. D.h. X + ρ(x) ist akzeptabel im Sinne, dass X + ρ(x) A ρ := {Y L : ρ(y ) }. Dies erlaubt die Interpretation von ρ als Kapitalanforderung. A ρ ist die Akzeptanzmenge von ρ und beschreibt die risikolosen Auszahlungsprofile. 2

6 VaR α ist ein Risikomaß laut Definition 1.1. Weitere vernünftige Anforderungen an ein Risikomaß: Diversifikation: Angenommen wir können in X oder Y oder λx + (1 λ)y, λ (, 1), investieren. Dann sollte Diversifikation, d.h. Investition in λx + (1 λ)y, nicht bestraft werden. D.h. ρ sollte quasi-konvex sein: ρ (λx + (1 λ)y ) max {ρ(x), ρ(y )}. Lemma 1.2. Sei ρ : L R ein Risikomaß. Dann gilt: 1) ρ ist 1-Lipschitzstetig bzgl., d.h. ρ(x) ρ(y ) X Y. 2) Ist ρ quasi-konvex, so ist ρ konvex. (Konvexität: X, Y L, λ [, 1] gilt: ρ (λx + (1 λ)y ) λρ(x) + (1 λ)ρ(y )). Beweis. Zu 1): X = X + Y Y Y + X Y Aus der Monotonie und der Translationsinvarianz folgt: ρ(y ) X Y = ρ (Y + X Y ) ρ(x) ρ(y ) ρ(x) X Y. Analog kann man zeigen, dass ρ(x) ρ(y ) X Y. Zu 2): ρ (λ(x + ρ(x)) + (1 λ)(y + ρ(y ))) Quasikonvexität max{ρ(x + ρ(x)), ρ(y + ρ(y ))} = }{{}}{{} = = Translationsinv. ρ (λx + (1 λ)y ) λρ(x) + (1 λ)ρ(y ). Definition 1.3. Ein Risikomaß heißt kohärent, falls es quasi-konvex und positiv homogen (d.h X L, t : ρ(t X) = tρ(x)) ist. Beispiele/ Gegenbeispiele. VaR α ist ein Risikomaß, aber nicht konvex (quasi-konvex). Sei α = 1.5% (=.15), X und Y unabhängig identisch verteilt mit X = { 1 mit W-keit.99 1 mit W-keit.1, 1 2 X Y = 1 mit W-keit.981 mit W-keit mit W-keit.1 VaR.15 (X) = VaR.15 (Y ) = 1 und VaR.15 ( 1 2 X Y ) =. 3

7 1 F X = F Y F 1 2 X+ 1 2 Y.199 α Abbildung 1.1: Illustration vom ersten Beispiel. Bemerkung. Eingeschränkt auf die Klasse der normalverteilten ZV en ist VaR α konvex für α.5 (Für α.5 ist VaR α konkav). Beweis. Sei α.5, X N(µ X, σ X ) und Y N(µ Y, σ Y ). Dann gilt VaR α ( λx + (1 λ)y ) = qλx+(1 λ)y (α) = q,1 (α)σ λx+(1 λ)y µ λx+(1 λ)y = q,1 (α) }{{} für α ( λ 2 σ 2 X + (1 λ) 2 σ 2 Y + 2λ(1 λ)σ X σ Y ρ X,Y ) 1 2 } {{ } max für ρ X,Y =1 q,1 (α) ( (λσ X + (1 λ)σ Y ) 2) 1 2 λµ X (1 λ)µ Y = λ VaR α (X) + (1 λ) VaR α (Y ), wobei q,1 (α) das α-quantil einer standardnormalverteilten Zufallsvariable ist (da die Verteilungsfunktion stetig ist brauchen wir hier nicht das rechtsstetige Quantil zu betrachten) und ρ X,Y ist der Korrelationskoeffizient von X und Y. Damit ist die Konvexität für α bewiesen und die Konkavität für α folgt analog. Average Value at Risk: AVaR α (X) := 1 α RM. (Siehe später). µ λx+(1 λ)y α q+ X (s) d s = 1 α α Var s(x) d s ist ein kohärentes Standardabweichung: σ X := ( E [ (X E[X]) 2]) 1/2 ist weder monoton noch translationsinvariant. Mean-Variance: ρ(x) := E[ X] + σ X ist translationsinvariant, aber nicht monoton (Übung). Semi-Deviation RM: ρ(x) := E[X] + β E [ (X E[X]) ] 2 ist ein kohärentes RM, falls β [, 1] (Übung). Entropisches RM: β >, ρ(x) = 1 β log E [ e βx] ist ein konvexes RM (siehe später), welches nicht kohärent ist (Übung). 4

8 1.2 Darstellung (konvexer) Risikomaße mittels Aktzeptanzmengen Definition 1.4. Sei ρ : L R ein Risikomaß. A ρ := {Y L : ρ(y ) } heißt die Akzeptanzmenge von ρ. Sei A L. Wir definieren ρ A : L R, X inf {m R : X + m A}, wobei inf :=. (Übung: Zeige, dass X L, m R : ρ A (X + m) = ρ A (X) m). Satz 1.5. Sei ρ ein RM. Es gilt: i) A ρ ; inf {m R : m A ρ } > ; Ist X A ρ, Y L mit Y X Y A ρ. A ρ L ist abgeschlossen. ii) ρ = ρ Aρ iii) ρ ist konvex A ρ ist konvex iv) ρ ist positiv homogen A ρ ist ein Kegel (d.h. X A ρ, t : tx A ρ ). Insbesondere ist ρ kohärent genau dann, wenn A ρ ein konvexer Kegel ist. Beweis. i) Übung. ii) iii) : Klar. ρ Aρ = inf {m R : X + m A ρ } = inf {m R : ρ(x + m) } = inf {m R : ρ(x) m} = ρ(x) : Seien m 1, m 2 R derart, dass X + m 1 A ρ und Y + m 2 A ρ. Dann ist λ(x + m 1 ) + (1 λ)(y + m 2 ) A ρ (da A ρ konvex ist). λm 1 + (1 λ)m 2 {m R : (λx + (1 λ)y ) + m A ρ } ρ(λx + (1 λ)y ) ii) = ρ Aρ (λx + (1 λ)y ) iv) Übung. Satz 1.6. Sei A L mit λ inf {m 1 : X + m 1 A ρ } + (1 λ) inf {m 2 : X + m 2 A ρ } = λρ(x) + (1 λ)ρ(y ). a) inf {m R : m A} > und b) X A, Y L, Y X Y A. 5

9 Dann gilt: i) ρ A ist ein RM. ii) Ist A konvex, so ist ρ A ein konvexes RM. iii) Ist A ein Kegel, so ist ρ A positiv homogen. Insb.: Ist A ein konvexer Kegel, so ist ρ A kohärent. iv) A A ρ. Ist A abgeschlossen (bzgl. ), so gilt A = A ρ. Beweis. i)-iii): Übung. iv): X A {m R : X + m A} ρ A (X). Sei (m n ) n N R derart, dass X + m n A n N und m n ρ A (X). D.h. X + m n X + ρ A (X). Da A abgeschlossen ist, folgt X + ρ A (X) A. Da ρ A (X), folgt mit b), dass X A. 6

10 2 Lokalkonvexe Vektorräume/ Duale Paare/ Konvexe Dualität 2.1 Duale Paare Definition 2.1. Seien X, X zwei Vektorräume (VR) und sei, : X X R, (x, x ) x, x eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: i) X x x, x ist linear für jedes x X ii) X x x, x ist linear für jedes x X (Bilinearform) iii) Falls x, x = für alle x X x = iv) Falls x, x = für alle x X x = (Punktetrennende Eigenschaft). Dann heißt X, X ein duales Paar. Bemerkung. Punktetrennend: Falls z.b. x, y X mit x y, d.h. x y, impliziert iii), dass es ein x X gibt mit x y, x =, also x, x = y, x. Das lineare Funktional, x : X R, x x, x trennt also x und y voneinander. Beispiel. i) R n, R n mit x, y := n x iy i. (Euklidisches Skalarprodukt) ii) Sei (V, ) ein normierter VR und V := {l : V R : l ist linear und stetig} der zugehörige Dualraum. V, V ist ein duales Paar mit, : V V R, v, l = l(v). [ v, k l 1 + l 2 := k l 1 (v) + l 2 (v) für k R]. (Siehe Funktionalanalysis Vorlesung: Hahn-Banach Trennsätze) Details: Übung. iii) Wichtiges Bsp. hierfür: L p, L q, wobei 1 p + 1 q = 1, Lp := L p (Ω, F, P), p [1, ), 1 := und, : L p L q R, X, Z = E[XZ], denn laut Rieszem Darstellungssatz gilt (L p ) = L q, d.h. zu jedem l (L p ) gibt es genau ein Z L q derart, dass X L p : l(x) = E(XZ). (Siehe später). iv) Allerdings ist für p [1, ) und r [q, ), wobei 1 p + 1 q = 1, auch Lp, L r ein duales Paar (mit X, Z = E[XZ]), denn (a) Bilinearität ist klar aus den Eigenschaften von E[ ]. Die Wohldefiniertheit folgt aus L r L q und iii). (b) Laut iii) trennt L die Punkte von L 1 und umgekehrt, also trennt L r L die Punkte von L p L 1 und umgekehrt. 7

11 Sei nun X, X ein duales Paar. Für x X ist die Abbildung p x (x) := x, x, x X, eine Seminorm auf X( und analog ist für x X die Abbildung eine Seminorm auf X.) (Übung) Seminorm: Es gilt i) p x () = ii) p x (tx) = tp x (x) t iii) p x (x + y) p x (x) + p x (y). p x (x ) := x, x, x X, Bemerkung. Eine Seminorm ist eine Norm genau dann, wenn p x (x) = x =. Die Familie von Seminormen {p x : x X } induziert eine Topologie auf X durch die Nullumgebungsbasis U := { U ε,i := { x : p x (x) < ε für alle x I } : ε >, I X endlich }. D.h. eine Menge O X ist offen, falls x O U ε,i U mit x + U ε,i O, bzw. mit anderen Worten x O existiert I = {x 1,..., x n} X mit {y : i = 1,..., n, y, x i x, x i < ε} O. Definition 2.2. Die oben konstruierte Topologie heißt die von X auf X induzierte Topologie und wird mit σ (X, X ) bezeichnet. In der Tat ist σ (X, X ) eine Topologie, denn: i), X σ (X, X ) ii) Seien U ε1,i 1,..., U εm,i m I = m I i. U, dann gilt m σ (X, X ) ist abgeschlossen unter endlicher Schnittbildung. U εi,i i U ε,i mit ε := min {ε 1,..., ε m } und iii) σ (X, X ) ist offensichtlich abgeschlossen unter Bildung beliebiger Vereinigungen von Mengen aus σ (X, X ). (Details: Übung). Definition 2.3. Sei (X, τ) ein topologischer Vektorraum. (X, τ) heißt lokalkonvexer Vektorraum, falls jede offene Umgebung um X eine konvexe offene Umgebung um enthält. Bemerkung. (X, σ (X, X )) ist ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum, denn 8

12 σ (X, X ) ist lokal konvex (und zwar ist die konvexe offene Umgebung ein U ε,i ) (X, σ (X, X )) ist ein topologischer VR, d.h. + und (skalar mult.) sind stetig. Für + : X X X: Sei O X offen (O σ (X, X )) und sei (x, y) + 1 (O). Wähle U ε,i U derart, dass x + y + U ε,i O. Dann ist (x, y) + U ε/2,i + U ε/2,i + 1 (O). Also ist + 1 (O) offen. Für : R X X: Wähle wieder O σ (X, X ) und (k, x) 1 (O). Dann gibt es U ε,i U mit kx + U ε,i O. Zeige, dass ( k ε δ, k + ε ) ({x} + Uˆε,I ) O δ Außerdem gilt, dass für ˆε := ε 3 k ε 3 und δ := 3 (max x I x, x 1) ε. Denn für alle x I und (l, y) ( k ε δ, k + ε ) δ ({x} + Uˆε,I ) gilt ly, x kx, x = (l k + k)(y x + x), x kx, x (l k)(y x), x + k(y x), x + (l k)x, x l k y x, x + k y x, x + l k x, x < ε δ ˆε + k ˆε + ε δ x, x < ε σ (X, X ) ist Hausdorff, d.h. für alle x, y, X mit x y gibt es O x, O y σ (X, X ) mit x O x, y O y und O x O y =. (Das folgt aus der punktetrennenden Eigenschaft von X ). Definition 2.4. Analog zu oben definiert die Familie von Seminormen {p x : x X} auf X eine Topologie σ (X, X) auf X. Diese heißt die von X auf X induzierte Topologie. Definition 2.5. Ist X ein normierter Vektorraum (Banachraum) und X = X der zugehörige Dualraum (d.h. der Raum der linearen stetigen Funktionale auf X), so heißt σ(x, X ) schwache Topologie auf X und σ(x, X) heißt schwach Topologie. Bemerkung. Die Symmetrie in der Definition eines dualen Paares impliziert, dass die obigen Aussagen auch für σ (X, X) gelten. Insbesondere ist (X, σ (X, X)) ein lokalkonvexer topologischer VR. Satz 2.6. Sei X, X ein duales Paar. Dann ist der Dualraum von (X, σ (X, X )) gerade X. D.h. ist l : X R linear und σ (X, X )-stetig, so gibt es genau ein x X mit l(x) = x, x für alle x X und jedes x X definiert über X x x, x ein lineares σ (X, X )-stetiges Funktional auf (X, σ (X, X )). in Zeichen: (X, σ (X, X )) = X. Analog gilt: (X, σ (X, X)) = X. 9

13 Beweis. Sei l : X R ein σ (X, X )-stetiges lineares Funktional. Da l stetig ist, gibt es eine offene Menge V σ (X, X ) mit V und l(v ) ( 1, 1) ( z.b. V = l 1 ( 1, 1) ). D.h. es existiert ein ε > und ein I = {x 1,..., x n} X mit U ε,i V. Insbesondere gilt Sei nun x U ε,i i = 1,..., n : x, x i < ε x,..,n = l(x) 1 (denn l(u ε,i ) ( 1, 1)). ker x i =,...,n ker, x i U ε,i, d.h insbesondere auch αx, x i = für alle i = 1,..., n und α R. Dann ist aber für jedes α > l(αx) = α l(x) 1 und somit muss l(x) = gelten. Folglich ist,...,n ker x i ker l. l =, n α ix i für geeignete α i R. Denn: T : X R n, T (x) = ( x, x 1,..., x, x n ) ist linear. T (X) ist ein linearer Unterraum von R n. Aufsolchem ist ψ : T (X) R, ψ ( x, x 1,..., x, x n ) := l(x) linear und wohldefiniert. Letzteres, da ker x i ker l. Denn angenommen ( x, x 1,..., x, x n ) =,...,n ( y, x 1,..., y, x n ), dann ist x y ker ker l. x i,...,n l(x y) = l(x) = l(y). Setze ψ irgendwie (z.b. durch ) auf R n fort. Dann ist ψ also ein lineares Funktional auf R n. D.h. ψ =α = (α 1,..., α n ) R n bzw. genauer ψ(a) = a, α = n a iα i (jetzt entspricht, dem euklidischen Skalarprodukt auf R n!) für alle a R n. Also l(x) = α i x, x i = x, α i x i. }{{} =:x X Angenommen es gäbe x, y X mit L(x) = x, x = x, y für alle x X. x X : x, x y = x y = (punktetrennende Eigenschaft). Somit gibt es zu l genau ein x X mit l( ) =, x. Es bleibt zu zeigen, dass jedes x X ein lineares σ(x, X )-stetiges Funktional auf X über X x x, x definiert. Linearität ist hierbei offensichtlich, wegen der Eigenschaften von,. Zur σ(x, X )-Stetigkeit: Siehe später. 2.2 Konvergenz in topologischen Räumen Erinnerung: Umgebungsbasis: Sei τ eine Topologie auf dem Raum X, d.h. (X, τ) ein topologischer Raum. Eine Menge von Mengen U x τ heißt Umgebungsbasis von x X, falls V U x : x V und falls es zu jeder Umgebung U von x ein V U x gibt mit V U. (Eine Umgebungsbasis existiert immer, d.h. in jedem topologischen Raum (X, τ) für alle 1

14 x X (Übung)!) Umgebung: Eine Menge U heißt Umgebung von x X, falls x U und es gibt V τ mit x V U. Problem: Besitzt die Topologie keine abzählbare Umgebungsbasis, so ist im allgemeinen die topologische Konvergenz (im Sinne von Randpunkten von Mengen) nicht äquivalent zur Folgenkonvergenz. Beispiel. Sei (V, ) ein normierter Vektorraum. Dann ist die Normtopologie (kanonische Topologie) auf V gegeben durch die Nullumgebungsbasis {{ U := y V : y < 1 } } : n N. n Diese ist abzählbar. Ist (X, d) ein metrischer Raum, so ist {{ U x := y X : d(y, x) < 1 } n eine abzählbare Umgebungsbasis. } : n N In allgemeinen lokalkonvexen Räumen ist dies jedoch nicht der Fall. Z.B. L p, L r mit r > q, wobei p [1, ) und 1 p + 1 q = 1. D.h. im allgemeinen Netze/ Filter statt Folgen. Definition 2.7. Sei (I, ) eine gerichtete Menge, d.h. es existiert eine reflexive und transitive Binärrelation auf I (d.h. x x und x y, y z x z), so dass für alle α, β I ein γ I existiert mit γ α und γ β. (obere Schranke) Ein Netz auf (X, τ) ist eine Abbildung Notation: (x i ) i I. Beispiel. x : I = N mit. D.h Folgen sind Netze. }{{} I X. =Indexmenge I = U x = Umgebungsbasis um x X mit (Inklusion). D.h. U V U V. (Übung) Ein Netz (x i ) i I konvergiert gegen einen Punkt x, wenn es letzlich in jeder Umgebung von x liegt, d.h. zu jeder Umgebung V von x existiert ein α I, so dass x α U für alle α α. In Zeichen: x i τ x (oder xi x). x heißt Grenzwert des Netzes (x i ) i I. 11

15 Satz 2.8. Sei (X, τ) ein topologischer Raum und A X. Dann ist x cl(a) genau dann, wenn es ein Netz (x i ) i I A gibt mit x i x. Beweis. Sei x cl(a) und sei U x eine Umgebungsbasis um x. Da für alle V U x : A V (Def. Randpunkt!), existiert ein Punkt x V A V. (x V ) V Ux ist ein Netz (s.o) mit τ (x V ) V Ux A und x V x. τ Umgekehrt, ist (x i ) i I A ein Netz mit x i x, so folgt offensichtlich, dass für jede Umgebung V von x, A V gilt. Also ist x cl(a). Beispiel (Folgen reichen nicht aus). X = R. Definiere die Topologie τ auf R wie folgt: Sei A τ genau dann, wenn für alle x A U R offen in der üblichen Topologie (von induziert), C R abzählbar, so dass x U\C A. τ ist eine Topologie (Übung). Die einzigen konvergenten Folgen in dieser Topologie sind Folgen, die schließlich konstant sind (d.h. n N : x n = x n+1, n n ). (Übung) (Übung: Finde den Abschluss von (, 1) in τ). Definition 2.9. Sei (x i ) i I ein Netz. (y λ ) λ Λ heißt Teilnetz von (x i ) i I, falls es eine Funktion ϕ : Λ I gibt derart, dass i) y λ = x ϕ(λ) für alle λ Λ und ii) α I, λ Λ : λ λ ϕ(λ) α. Beispiel. Jede Teilfolge ist ein Teilnetz. Ein Punkt x heißt Häufungspunkt eines Netzes (x i ) i I, falls es für jede Umgebung V um x und jedes α I ein β α gibt mit x β V. Satz 2.1. Sei (X, τ) ein topologischer Raum und (x i ) i I X ein Netz. Dann ist x ein Häufungspunkt von (x i ) i I genau dann, wenn es ein Teilnetz (y λ ) λ Λ von (x i ) i I gibt, welches gegen x konvergiert. Beweis. Sei x ein Häufungspunkt von (x i ) i I und U x eine Umgebungsbasis von x. Bemerke, dass Λ := I U x eine gerichtete Menge ist mit (α, V ) (β, ˆV ) α β und V ˆV, wobei die jeweilige Relation auf V und U x ist. Wähle ϕ(α, V ) I mit ϕ(α, V ) α derart, dass x ϕ(α,v ) V und definiere das Teilnetz (y α,v ) (α,v ) I Ux durch y α,v := x ϕ(α,v ). Dann gilt: y α,v τ x. (Denn für alle (β, ˆV ) (α, V ) gilt insbesondere ˆV V ) Sei umgekehrt x der Grenzwert eines Teilnetzes (y λ ) λ Λ von (x i ) i I. Sei V eine Umgebung von x und α I beliebig. Sei ϕ : Λ I die Abbildung aus der Definition 2.9 eines Teilnetzes. Außerdem sei λ Λ derart, dass y λ V für alle λ λ. Laut ii) aus der Definition 2.9 gibt es ein λ 1 Λ so, dass ϕ(λ) α für alle λ λ 1. Wenn nun λ 2 λ 1 und λ 2 λ ( so ein λ 2 gibt es, da Λ eine gerichtete Menge ist), dann erfüllt der Index β = ϕ(λ 2 ), dass β α und x β = x ϕ(λ2 ) = y λ2 V. Also ist x ein Häufungspunkt von (x i ) i I. 12

16 Bemerkung. Ein Netz (x i ) i I konvergiert genau dann gegen eine Punkt x, wenn jedes Teilnetz von (x i ) i I gegen x konvergiert. Satz Seien (X, τ), (Y, σ) topologische Räume und f : X Y eine Abbildung. Folgende Bedingungen sind äquivalent: i) f ist stetig (τ-σ-stetig) ii) Für jedes Netz (x i ) i I gilt: x i τ x f(xi ) σ f(x). Beweis. i) ii): Angenommen f ist stetig und x i τ x, aber f(xi ) σ f(x). D.h. es existiert eine offene Umgebung V Y von f(x) und zu jedem α I ein β α mit f (x β ) / V x β / f 1 (V ) }{{} Umgebung von x, da f stetig ist zu x i τ x. ii) i): Sei V Y abgeschlossen. Sei (x i ) i I f 1 (V ) ein Netz, welches gegen x X konvergiert. Da laut ii) f(x i ) σ f(x) und (f(x i )) i I V, folgt f(x) V (Satz 2.8) und somit x f 1 (V ). Also ist f 1 (V ) abgeschlossen (Satz 2.8). Bemerkung. Sei X, X ein duales Paar. Dann ist x i σ(x,x ) x x i, x x, x (in R) für alle x X. Deshalb heißt σ(x, X ) auch Topologie der punktweisen Konvergenz in x X und σ(x, X) die Topologie der punktweisen Konvergenz in x X. Insbesondere sind die Abbildungen X x x, x bzw. X x x, x σ(x, X )- bzw. σ(x, X)-stetig. Letztere Bemerkung vollendet den Beweis von Satz 2.6. Satz Sei (X, τ) ein topologischer Raum, welcher Hausdorff ist und sei K X kompakt (d.h. jede offene Überdeckung von K enthält eine endliche Teilüberdeckung). Außerdem sei x / K. Dann gibt es zwei disjunkte offene Mengen U und V derart, dass K U und x V. Insbesondere sind kompakte Teilmengen von Hausdorffräumen stets abgeschlossen. 13

17 Beweis. Die Hausdorffeigenschaft impliziert, dass es zu jedem y K offene Umgebungen U y und V y mit U y V y = und y U y und x V y gibt. Offensichtlich ist {U y : y K} eine offene Überdeckung von K. Sei also U y1,..., U yn eine Teilüberdeckung von K. Dann ist U := n U yi offen mit K U und auch V := n V yi offen mit x V. Außerdem gilt U V =. Satz Sei (X, τ) ein Hausdorffraum und V X. Folgende Eigenschaften sind äquivalent: i) V ist kompakt. ii) V ist abgeschlossen und für jede Familie (A i ) i I von abgeschlossenen Teilmengen von V mit der endlichen -Eigenschaft gilt A i. i I (endliche -Eigenschaft: A j für alle J I endlich). j J iii) Jedes Netz (x i ) i I V hat mindestens einen Häufungspunkt. iv) Jedes Netz (x i ) i I V hat ein konvergentes Teilnetz. Beweis. i) ii): Übung. iii) iv): Satz 2.1. ii) iii): Sei (x i ) i I V ein Netz und definiere F α := {x β : β α}, α I. Die Familie ( F α von abgeschlossenen Teilmengen von V hat die endliche -Eigenschaft )α I aus ii), da zu α 1,..., α n I immer β α i für alle i = 1,..., n existiert und F β n n F αi. ii) x α I F α, d.h. x ist Häufungspunkt von (x i ) i I. F αi iii) ii): Sei (A i ) i I { eine Familie von abgeschlossenen } Teilmengen von V mit der endlichen -Eigenschaft. Sei G := A j : J I endlich. Dann ist G mit der Inklusion eine gerichtete Menge. j J Zu U G wähle x U U. Das Netz (x U ) U G hat laut iii) einen Häufungspunkt x. Es folgt x A i. (Übung) i I (z.b. mittels eines konvergenten Teilnetzes (y λ ) λ Λ (Satz 2.1), welches schließlich für jedes i in A i liegen muss (wähle λ mit ϕ(λ) A i G für alle λ λ ), also muss auch der Grenzwert x in A i liegen. 14

18 2.3 Trennungssätze in lokalkonvexen Räumen Satz 2.14 (Hahn-Banach, Version der linearen Algebra). Sei X ein Vektorraum und p : X R eine konvexe Funktion. Außerdem sei M X ein Unterraum und ˆl : M R eine lineare Funktion mit ˆl(x) p(x) für alle x M. Dann gibt es eine lineare Fortsetzung l von ˆl auf X mit l(x) p(x) für alle x X. (Bemerke: In Satz 2.14 ist keine Topologie und somit keine Stetigkeit im Spiel). Beweis. Transfinite Induktion, siehe Funktionalanalysis Vorlesung. Satz 2.15 (Trennungssatz in topologischen Vektorräumen). Sei (X, τ) ein topologischer Vektorraum, U X, V X mit U, V konvex, U V = und int U. Dann existiert ein lineares stetiges Funktional l : X R mit sup l(u) inf l(v) (schwache Trennung) und u U v V l(u) < l(v) für mindestens ein u U und v V (d.h. insbesondere l ). Beweis. U V = {u v : u U, v V } ist konvex und int(u V ), (denn U {v} U V und U {v} = ρ 1 (U) für die stetige Funktion ρ : X X, u u + v (topologischer Vektorraum!!)). Sei z int(u V ) C := U V {z} ist nicht-leer, konvex, int C und z / C (ansonsten int(u V ) U V ). Sei p C (X) := inf { λ > : x λ C}, x X (Minkowski- Funktional). p C : X R + ist positiv homogen, subadditiv, also insbesondere konvex. (Übung) Es ist p C ( z) 1, denn anderenfalls existiert < α < 1, y C mit z = αy und somit z = αy + (1 α) }{{} C C. Weiter ist p C (x) 1 für alle x C. Sei nun M := {t ( z) : t R} X und ˆl : M R gegeben durch ˆl (t( z)) = t. Dann ist ˆl linear mit ˆl p C auf M, denn für t : p C (t( z)) = tp c ( z) t = ˆl (t( z)) (da p C ( z) 1 (s.o.)) und für t < : ˆl (t( z)) = t < p C (t( z)). Laut Satz 2.14 gibt es eine lineare Fortsetzung l : X R von ˆl mit l p C auf ganz X. Seien u U, v V, dann gilt: l(u) = l(u v z) + l(v) + l(z) p C (u v z) + l(v) + l(z) = p C (u } {{ v z } ) 1 + l(v), denn l(z) = ˆl (( 1)( z)) = 1 C l(v) = l(v). sup u U l(u) inf v V l(v). Seien nun u U und v V mit z = u v l(u v) = l(z) = l (( 1)( z)) = 1 l(u) = 1 + l(v), also l(u) < l(v). 15

19 Es bleibt zu zeigen, dass l stetig ist: Sei hierzu û int U. Dann ist int(u {û}) und l ist auf U {û} von oben durch eine Konstante K > beschränkt, denn für alle u U gilt: l(u û) = l(u) l(û) inf l(v) l(û) < K, für geeignetes K >. v V Da stetig ist, existiert eine absorbierende offene Menge U mit U (U {û}). (Absorbierend heißt, dass für alle x X ein λ > existiert, so dass λx U ) (Übung, denn für alle x X, {} {x} 1 (U {û})). U := U ( U ) ist offen und symmetrisch (U = U ( U )) mit U, und es gilt ( l U K l(u) K, u U ), denn l(u) K und l( u) K für alle u U U {û}. Sei nun x X beliebig und ε >. Wähle y {x} + ε K U, dann gilt: l(y) l(x) = l(y x) ε K K = ε. l ist stetig. Bemerkung. Es gibt topologische VR derart, dass das einzige lineare stetige Funktional auf X ist bzw. X die einzige nicht-leere offene konvexe Menge in sich. Zur Äquivalenz der letzten beiden Aussagen: i) Sei das einzige stetige lineare Funktional und U X offen und konvex. Satz 2.15 impliziert die Existenz eines stetigen linearen Funktionals l, welches z.b. U von {v} schwach trennt für ein v U C = X\U. ii) Sei X die einzige nicht-leere offene konvexe Menge in sich selbst. Angenommen es gäbe ein lineares stetiges Funktional l : X R mit l. Dann existiert ein x X mit l(x) >. Sei ε (, l(x)). Dann ist U := l 1 (ε, ) offen und konvex und x U, aber / U, d.h. U X. Beispiel. X = L := L (Ω, F, P) := L /N, wobei L := L (Ω, F, P) := {ZV en über (Ω, F, P)} und wie oben (x y P(x = y) = 1). Hierbei sei der W-Raum (Ω, F, P) nicht-atomar, also z.b. ((, 1], L (, 1], λ), d.h. es gibt eine ZV mit stetiger Verteilungsfunktion. Sei d(x, y) := E [ x y 1], x, y, L. d ist eine Metrik auf L und (L, d) ist ein vollständiger metrischer Raum und somit ein topologischer VR mit der durch d induzierten Metrik τ d. Insbesondere finden wir immer abzählbare Umgebungsbasen, d.h wir können mit Folgen statt mit Netzen argumentieren. d P Bemerke: x n x xn x, d.h. τd ist die Topologie der stochastischen Konvergenz. Aber: Angenommen es gibt U L offen und konvex mit U. O.b.d.A. U (denn für u U ist U {u} offen und konvex). Dann gibt es laut Satz 2.15 ein lineares stetiges Funktional l mit l(v) inf u U l(u), wobei v X\U. Da U offen ist, gibt es ein r > mit K r := { x L : d(x, ) = E [ x 1] < r } U. Sei A F mit P(A) < r, dann gilt für x := t1 A, wobei t R mit t 1, dass d(x, ) = E [ x 1] = P(A) < r, also x K r U. 16

20 l(v) l(t1 A ) = tl(1 A ), t R mit t > 1 und A F mit P(A) < r. l(1 A ) = für alle A F mit P(A) < r l(x) = für alle einfachen ZV en (dicht in (L, d)) Stetigkeit von l l(x) = x L, d.h. l. Folglich ist L die einzige nicht-leere konvexe offene Menge in (L, τ d ) und das einzige stetige lineare Funktional L R. (Details: Übung) Risikomaße auf L sind schwierig, siehe später! Zentral für unsere Analyse konvexer Funktionen ist die folgende Version des Trennungssatzes: Satz 2.16 (Strikte Trennung in lokalkonvexen Räumen). Sei (X, τ) ein lokalkonvexer Raum. Außerdem seien U, V X nichtleer, konvex mit U V =, wobei U abgeschlossen und V kompakt ist. Dann gibt es ein stetiges lineares Funktional l : X R derart, dass sup l(u) < inf l(v) u U v V (strikte Trennung). Beweis. V U ist nichtleer, konvex und abgeschlossen (!). Zur Abgeschlossenheit: Sei (v α u α ) α I V U ein Netz mit v α u α z. Da V kompakt ist existiert ein Teilnetz (v αβ ) β Λ von (v α ) α I, welches gegen ein v V konvergiert (Satz 2.13). Die Stetigkeit von + impliziert nun, dass U u αβ = v αβ (v αβ u αβ ) τ v z. Da U abgeschlossen ist, gilt u := z + v U und somit z = v u V U. Da V U abgeschlossen ist mit / V U, folgt dass (V U) c = X\(V U) offen ist mit (V U) c. Da (X, τ) lokalkonvex ist, gibt es eine konvexe offene Umgebung A um mit A (V U) c. D.h. insbesondere A (V U) =. Nun können wir Satz 2.15 anwenden und schließen auf die Existenz eines nicht-trivialen stetigen linearen Funktionals l : X R mit sup l(a) inf l(b). a A b (V U) D.h. l(a) l(v) l(u) für alle a A und v V, u U. Da A absorbierend ist (Stetigkeit von ), gibt es ein a A mit l(a ) >. (Wähle irgendein x X mit l(x) > und stauche nach A). Dann gilt: l(v) l(u) + l(a ) für alle v V und u U, d.h. inf v V (v) sup u U l(u) + l(a ) > sup l(u). u U Beispiel. Zwei abgeschlossene konvexe Mengen, die sich nicht strikt trennen lassen. Siehe Abbildung

21 V U Abbildung 2.1: Die Mengen U und V sind abgeschlossene Mengen, die von 1 x bzw 1 x eingeschlossen werden. Lemma Sei (X, τ) ein lokalkonvexer Raum. Für jedes stetige lineare Funktional l : X R und α R sei HL α := {x X : l(x) α} der zugehörige abgeschlossene Halbraum. A X ist konvex und abgeschlossen genau dann, wenn A = {H α l : l (X, τ), α R mit A H α l }, wobei (X, τ) := {stetige lineare Funktionale X R}. Beweis. : Trivial. : Die Aussage ist klar für A =. Sei also A. Offensichtlich gilt A {Hl α : l (X, τ), α R mit A Hl α }{{ }. Ist x X\A. Dann gibt es laut Satz 2.16 } =:H ein l (X, τ) mit l(x) < inf a A l(a) (strikte Trennung von A und {x}). Wähle α (l(x), inf a A l(a)) A Hl α und x / Hl α. Ist A = X, so ist H = H = X der einzige Halbraum, der X enthält und die Aussage gilt trivialerweise. Es folgt A = H. Korollar Sei (V, ) ein normierter Raum und V sein Dualraum. Eine konvexe Menge ist bzgl. der Normtopologie abgeschlossen genau dann, wenn sie bzgl. σ(v, V ) abgeschlossen ist. Beweis. ( V, ) und ( V, σ(v, V ) ) sind beide lokalkonvexe Räume mit ( V, ) = ( V, σ(v, V ) ). Wende Lemma 2.17 an. 2.4 Darstellung konvexer Funktionen Definition Sei X, X ein duales Paar. Eine Funktion f : X [, ] = R {± } ist: i) konvex, falls für alle x, y X und alle λ [, 1]: f (λx + (1 λ)y) λf(x) + (1 λ)f(y), wann immer die rechte Seite wohldefiniert ist. 18

22 ii) unterhalbstetig, falls alle Niveaumengen E k := {x X : f(x) k}, k R, abgeschlossen sind in (X, σ(x, X )). Beispiele/ Gegenbeispiele. Siehe Abbildung 2.2. k k x x (a) Eine Funktion, die uhs ist. (b) Eine Funktion, die nicht uhs ist (, aber ohs). epif k (c) Eine konvexe Funktion die nicht uhs ist. Abbildung 2.2: Beispiele/ Gegenbeispiele für unterhalbstetige Funktionen. Bemerkung. i) f konvex epi f := {(x, a) X R : f(x) a} ist konvex ii) (wobei lim inf i I f unterhalbstetig epi f ist abgeschlossen in X R f(x i ) := sup inf f(x β)). i I β i σ(x,x x ) i 19 x lim inf i I f(x i ) f(x),

23 iii) analog: f oberhalbstetig, falls alle O k := {x X : f(x) k}, k R, abgeschlossen sind σ(x,x x ) i x lim sup f(x i ) = inf sup f(x β ) f(x) i I i I β i Insbesondere: f stetig f ober- und unterhalbstetig. Definition 2.2. Sei f : X [, ] eine Funktion. i) Die zu f duale (konjugierte) Funktion f : X [, ] ist gegeben durch f (x ) = sup x, x f(x), x X. x X ii) Die biduale (bikonjugierte) Funktion f : X [, ] von f ist gegeben durch: Illustration: f (x) := sup x, x f (x ) x X }{{} y stetige affine Minoranten von f, x X. f(x) mx c bester / nächster (approximativ) y Achsenabschnitt zur Steigung m x x : mx c f(x) x : c mx f(x) c sup mx f(x) x } {{ } =:f (m) Bemerkung. f und f sind konvex f ist σ(x, X) unterhalbstetig (uhs), denn für x i f (x ) = sup x, x f(x) = sup x X x X lim inf i I σ(x,x) ( lim ( sup x, x i f(x) ) = lim inf i I x gilt: ) x, x i I i f(x) f (x i). 2

24 analog ist f σ(x, X )-uhs. Frage: Wann ist f = f? Offensichtlich ist f konvex und uhs eine notwendige Voraussetzung. Sie ist aber in der Tat auch hinreichend: Satz 2.21 (Fenchel, Moreau, Rockafellar). Sei f : X R {± } eine Funktion. Folgende Eigenschaften sind äquivalent: i) f = f ii) f ist konvex und σ(x, X )-uhs und falls {x X : f(x) = } f. Bemerkung. Zu ii): {x X : f(x) = } = k R E k, wobei wie oben E k := {x X : f(x) k}, k R. E := {x X : f(x) = } ist konvex und abgeschlossen. Angenommen es gäbe ein y X mit f(y) R, dann ist für alle x E und λ (, 1): also λx + (1 λ)y }{{} λ y f(λx + (1 λ)y) konvex λ f(x) +(1 λ) f(y) =, }{{}}{{} = R E }{{ und somit auch y E }. abgeschlossen Ist f konvex, uhs und E, so ist f(x) {, } für alle x X und E ist konvex und abgeschlossen. Beweis von Satz i) ii): Das ist klar laut der Bemerkung oben und da E f f. ii) i): a) Zeige zunächst, dass f f: f (x) = sup x, x f (x ) x X ( = sup x X x, x y=x sup y, x f(y) y X ) sup x, x x, x + f(x) = f(x) x X b) Zeige nun, dass f f. Sei E = und f. epi f := {(x, a) X R : f(x) a} ist konvex und abgeschlossen. Ist (x, b) / epi f, dann gibt es laut Satz 2.16 (strikte Trennung) ein lineares stetiges Funktional (x, α) X R mit sup x, x + αa < k < x, x + αb, für ein k R (2.1) (x,a) epi f 21

25 (denn (X R) = X R). 1. Fall: f(x) <. D.h. insbesondere (x, f(x)) epi f während ε > : (x, f(x) ε) / epi f. Mit b = f(x) ε in (2.1) gilt sup x, x + αa < x, x + α (f(x) ε) (x,a) epi f und somit sup x, x + αf(x) < x, x + α (f(x) ε) x X f(x)< x = x liefert: α(f(x) f(x) + ε) < α <. sup x X x, x α f(x) } {{ } =f (x / α ) < x, x f(x) + ε. α ( ) f(x) ε < x, x x α f f (x). α ε liefert f(x) f (x). Mit a) folgt, dass f(x) = f (x) für alle x X mit f(x) <. 2. Fall: f(x) =. Dann ist (x, b) / epi f für alle b R. Sei (x, α) wie in (2.1). Wäre α >, so wäre für jedes x X mit f(x) < und somit (x, f(x) + t) epi f für alle t die Beziehung x, x + α(f(x) + t) < x, x + b für alle t ein Widerspruch. }{{} t Also muss α gelten. Ist α <, so folgt sup x, x x f(x) < x, x X α α b bzw. ( ) b < x, x x α f f (x). α Angenommen α =. Im Fall 1. haben wir schon gezeigt, dass f (x) = f(x) für alle x dom f := {x X : f(x) < }. D.h. es existiert ein y X mit f (y ) < und Dann ist mit (2.1) x, y f (y ) ( f (x)) f(x) für alle x X. x, y f (y ) + c( x, x k ) f(x) }{{} für alle x X (2.2) < x dom f und wir können c > so groß wählen, dass x, y f (y ) + c( x, x k) > b. (2.3) }{{} > laut (2.1) 22

26 Es ist z := y + cx X und mit (2.2) folgt, dass und somit f (z ) = sup x, z f(x) sup x, z x, z + f (y ) + ck x X x X ck + f (y ) f (x) x, z f (z ) x, z ck f (y ) > b. nach (2.3). Da b beliebig groß war, folgt wieder, dass f (x) =. a)+b) f = f. 2.5 Dualräume der L p -Räume Lemma Seien p, q [1, ] mit 1 p + 1 q = 1, wobei 1 := und 1 :=. Ist Z Lq, so definiert l Z : L p R, X E[ZX] ein lineares stetiges Funktional auf L p. Beweis. Erinnerung: Hölder sche Ungleichung: X L p, Z L q : E[XZ] X p Z q (< ). Es folgen: 1) die Wohldefiniertheit von l Z 2) die Stetigkeit von l Z, denn für X n L p X gilt n l Z (X n ) l Z (X) = E[(X n X)Z] X n X p Z q. }{{} Satz Sei p [1, ) und q (1, ] mit 1 p + 1 q = 1 (d.h. q =, falls p = 1). Dann definiert T : L q (L p ), T (Z) = l Z mit l Z wie in Lemma 2.22 ein isometrischen Isomorphismus. Es ist also (L p ) = L q. 23

27 Beweis. Laut Lemma 2.22 ist T wohldefiniert. Es bleiben die Isometrie und Surjektivität zu zeigen. i) Isometrie: Sei p (1, ). Dann ist X = Z Z l Z = ( Z Z q ) q/p L p mit X p = 1 (Übung). Also gilt sup E[XZ] E[ZX] (Übung) = Z q, X L p X p=1 wobei die Operatornorm ist. Andererseits folgt wieder aus der Hölder schen Ungleichung, dass l Z Z q. Somit gilt l Z = Z q. Ist p = 1 und somit Z L, so ist aufgrund der Hölder schen Ungleichung wieder l Z Z. Andererseits sei für ε > X ε := 1 A ε sgn(z) P(A ε ) mit A ε := { Z > Z ε}. Dann gilt X ε L 1, X ε 1 = 1 und ii) Surjektivität: Sei l (L p ). Betrachte die Funktion E[ZX ε ] Z ε ε Z. µ : F R, µ(a) = l(1 A ). Dann ist ein µ ein signiertes Maß mit µ P (Übung). Laut dem Satz von Radon-Nikodym existiert somit eine Dichte Z L 1 mit µ(a) = E[Z1 A ] für alle A F. Laut Lemma 2.22 ist l Z : L X E[ZX] ein lineares stetiges Funktional. Aus der Linearität folgt, dass l Z und l auf allen einfachen ZV en übereinstimmen. Da auch l auf (L, ) stetig ist (denn -Konvergenz impliziert p - Konvergenz auf L L p ) und die einfachen ZV en in (L, ) dicht liegen, folgt dass l L = l Z. (2.4) Wir zeigen nun, dass l Z stetig auf ganz L p ausgedehnt werden kann mit l Z = l und dass Z L q. Sei hierzu zunächst p (1, ) und somit q <. Sei X =: Z q Z (mit := ). Dann gilt: ( X p = Z pq Z p = Z q = XZ p = q ). q 1 24

28 Betrachte A n := { Z n}. Dann ist X1 An L für alle n N und mit (2.4) gilt: E[ Z q 1 An ] = E[XZ1 An ] = l Z (X1 An ) = l(x1 An ) l X1 An p = l E[ X 1 An ] 1/p = l E[ Z q 1 An ] 1/p E[ Z q 1 An ] 1/q l n N Mit Hilfe der monotonen Konvergenz erhalten wir E[ Z q 1 An ] 1/q n E[ Z q ] 1/q = Z q und somit Z q l n N. Im Falle q = (d.h. p = 1) betrachte A := { Z > l }. Angenommen es wäre P(A) >. Sei X := Z Z 1 ( A := ). Dann ist X L 1 und l P(A) < E[ Z 1 A ] = E[XZ] = l(x) l X }{{} 1. =P(A) Z > l (P-f.s.) und somit Z L. Schließlich folgt, dass l Z : L p X E[ZX] ein lineares stetiges Funktional auf L p ist (Lemma 2.22), welches nach (2.4) auf der dichten Teilmenge L von (L p, p ) mit l übereinstimmen. Also gilt l Z = l auf ganz L p. Lemma 2.22 zeigt, dass L 1 (L, ). Wie sieht (L, ) aus? In der Tat ist (L, ) größer als L 1. Zur Charakterisierung von (L, ) benötigen wir die Menge der endlich additiven signierten Maße auf F: Definition Eine Abbildung µ : F R heißt endlich additives signiertes Maß, falls i) µ( ) = ii) für paarweise disjunkte Mengen A 1,..., A n F gilt ( n ) µ A i = µ(a i ) (endlich additiv) Nimmt µ nur nicht-negative Werte an, so heißt µ ein endlich additives Maß. Die totale Variation µ Var eines endlich additiven signierten Maßes µ ist gegeben durch { } µ Var := sup µ(a i ) : A 1,..., A n F, A i A j = für i j, n N. Sei ba := {µ : F R :µ ist ein endliches additives signiertes Maß mit µ Var < und P(A) = µ(a) = }. Dann definiert jedes µ ba wie folgt ein lineares stetiges Funktional auf L : 25

29 i) Sei zunächst X = n a i 1 Ai L mit a i R und A i F mit A i A j = für i j. Definiere µ, X := a i µ(a i ). Das ist wohldefiniert, d.h. µ, X ist unabhängig von der Darstellung der einfachen ZV X (Übung). Es ist µ, X X µ(a i ) X µ Var. Also ist µ, ein lineares stetiges Funktional auf (E, ), wobei E L die Menge der einfachen ZV en bezeichnet. ii) Setze µ, eindeutig zu einem linearen stetigen Funktional auf ganz L fort. (D.h. zu X L wähle (X n ) n N E mit X n X und setze µ, X := lim n µ, X. Dies ist unabhängig von der approximierenden Folge (X n ) n N von X (Übung)). Insbesondere gilt µ, X X µ Var für alle X L. Ist µ ein endlich additives Maß (µ(a) für alle A F), so schreibt man auch X d µ := µ, X für X L. Satz Die Abbildung T : ba (L ), T (µ)(x) = µ, X, ist ein isometrischer Isomorphismus des Banachraums (ba, Var ) nach ((L ), ), d.h. (L ) = ba. Bemerkung. Der Dualraum V eines normierten Raumes (V, ) ist mit der Operatornorm immer ein Banachraum. (d.h. vollständig). Das liegt an der Vollständigkeit von R (Wiederholung aus der Funktionalanalysis Vorlesung, Übung). (ba, Var ) ist ein normierter Raum (Übung). Aus der isometrischen Isomorphie von ba und (L ) (Satz 2.25) und der ersten Bemerkung folgt nun die Vollständigkeit von (ba, Var ), d.h. es ist ein Banachraum. Beweis von Satz Die Wohldefiniertheit von T folgt aus der Konstruktion von µ,. T ist eine Isometrie, denn es gilt einerseits µ, X µ Var für alle X L mit ( X = 1 (s.o.) ) und andererseits für jede Folge von paarweise disjunkten Zerlegungen A n 1,..., An m(n) n N 26

30 m(n) von Ω mit µ(a n i m(n) µ(a n i m(n) n ) µ Var, dass X n = ) n µ Var. Also T (µ) = µ Var. sgn (µ(a n i )) 1 A n i L und µ, X n = Für den Beweis der Surjektivität von T sei l (L ). Dann ist µ(a) := l(1 A ), A F, ein endlich additives signiertes Maß mit P(A) = µ(a) =. Da l stetig ist, gilt l < und wie oben folgt, dass { } µ Var = sup l(1 Ai ) : A 1,..., A n F, A i A j = für i j, n N = sup l(x) = l <. X =1 Also ist µ ba. Aus der Linearität von µ, und l folgt wiederum, dass X E = {einfache ZV en}: µ, X = l(x). Da E L dicht ist und sowohl X µ, X als auch l stetig sind, folgt l(x) = µ, X für alle X L. Bemerkung. Für p, q (1, ) mit 1 p + 1 q = 1 ist das duale Paar Lp, L q reflexiv, d.h. (L p, p ) = L q und (L q, q ) = L p (Satz 2.23). L 1, L ist nicht reflexiv (Sätze 2.23 und 2.25). 27

31 3 Anwendung auf konvexe Risikomaße Seien p, q [1, ] mit 1 p + 1 q = 1 und sei f : Lp (, ] eine konvexe Funktion. Laut Korollar 2.18 gilt: f ist p -uhs f ist σ(l p, L q )-uhs, falls p < bzw. σ(l, ba)-uhs, falls p =. Lemma 3.1. Seien p, q [1, ] mit 1 p + 1 q = 1 und sei f : Lp (, ] eine konvexe uhs (bzgl. p ) Funktion mit dom f := {X L p : f(x) < }. i) f ist antiton (d.h. X Y f(x) f(y )) genau dann, wenn p < : f(x) = sup Z L q E[ZX] f (Z), X L p, bzw. p = : f(x) = sup µ, X f (µ), X L, µ ba wobei L q := {Z Lq : Z } bzw. ba := {µ ba : X L + : µ, X }. ii) f ist monoton (d.h. X Y f(x) f(y )) genau dann, wenn p < : f(x) = sup Z L q + E[ZX] f (Z), X L p, bzw. p = : f(x) = sup µ, X f (µ), X L, µ ba + wobei L q + := {Z Lq : Z } bzw. ba + := {µ ba : X L + : µ, X }. Beweis. i) Sei p = : Angenommen f(x) = sup µ ba ( µ, X f (µ)). Seien X, Y L mit X Y. Dann gilt: f(x) = sup µ, X Y + µ, Y f (µ) µ ba }{{}, da µ ba sup µ ba µ, Y f (µ) = f(y ). D.h. f ist antiton. Ist f antiton und sei µ ba und X L + mit µ, X >. Dann ist Mit Satz 2.21 folgt, dass f (µ) = sup µ, X f(x) sup t µ, X f(tx) X L t }{{} sup t µ, X f() =. t> }{{} > f(x) = f (X) = sup µ, X f (µ) = sup µ, X f (µ), µ ba µ ba denn f (µ) = für alle µ ba \ ba. Analog zeigt man die Behauptung für p < und den Fall 2 (Übung). 28

32 Lemma 3.2. Seien p, q, r [1, ] mit 1 p + 1 q = 1, r q und sei f : Lp (, ] eine konvexe σ(l p, L r )-uhs Funktion mit dom f. i) f ist antiton genau dann, wenn ii) f ist monoton genau dann, wenn Beweis. Wie für das Lemma 3.1. f(x) = sup E[ZX] f (Z), X L p, Z L r ( ) wobei f (Z) = sup E[ZX] f(x), Z L r. X L p f(x) = sup E[ZX] f (Z), X L p. Z L r + Lemma 3.3. Seien p, q, r [1, ] mit 1 p + 1 q = 1, r q und sei f : Lp (, ] eine konvexe Funktion mit dom f. i) Ist f p -uhs, so ist f cash-additiv ( X L p, m R : f(x + m) = f(x) m) genau dann, wenn p < : f(x) = sup E[ZX] f (Z), X L p, Z L q E[Z]= 1 p = : f(x) = sup µ ba µ,1 = 1 µ, X f (µ), X L. ii) Ist f σ(l p, L r )-uhs, so ist f cash-additiv genau dann, wenn f(x) = sup E[ZX] f (Z), X L p. Z L r E[Z]= 1 (Analog haben Funktionen mit f(x + m) = f(x) + m eine Darstellung über Z L r mit E[Z] = 1 bzw. µ ba mit µ, 1 = 1 (Übung).) Beweis. i) Sei p = : Ist f(x) = µ, X f (µ), so gilt: sup µ ba µ,1 = 1 f(x + m) = sup µ ba µ,1 = 1 = f(x) m. µ, X f (µ) + m µ, 1 }{{} = 1 29

33 Ist umgekehrt f cash-additiv, so gilt für alle µ ba mit µ, 1 1: f (µ) = sup µ, X f(x) sup µ, m f(m) X L m R }{{} =f() m = sup m R Die anderen Fälle folgen analog (Übung). m ( ) µ, f() =. }{{} Bemerke die Universalität der verwendeten Argumente in den Lemmata Satz 3.4. Eine Abbildung ρ : L R ist ein konvexes Risikomaß genau dann, wenn ρ(x) = sup X d µ α(µ), X L, (3.1) µ C } {{ } = µ, X wobei C M 1,f := {µ ba + : µ, 1 = 1} = {endliche additive W-maße absolutstetig zu P} und α : C R mit inf µ C α(µ). Insbesondere kann in (3.1) die konvexe Menge C = dom ρ und die konvexe Funktion α(µ) = α min (µ) := ρ ( µ), µ dom ρ, gewählt werden. α min ist die minimale Penaltyfunktion, d.h. für jede Funktion α wie in (3.1) gilt α(µ) α min (µ) für alle µ C. Beweis. : Wie in den Lemmata folgt, dass ρ wie in (3.1) definiert ein konvexes Risikomaß ist (auch, wenn α nicht unbedingt die Duale von ρ ist). : Sei ρ ein konvexes RM. Dann ist laut Lemma 3.1 und 3.3 (ρ ist -stetig also insbesondere -uhs) ρ(x) = sup µ ba µ,1 = 1 = sup µ M 1,f µ, X ρ (µ) = sup µ, X ρ ( µ) µ M 1,f X d µ ρ ( µ) = sup µ dom ρ X d µ α min (µ). Da ρ konvex ist, ist C := dom ρ konvex und auch α min : C R. Für die letzte Aussage des Satzes nehmen wir an, das konvexe RM ρ lasse sich durch α und C wie in (3.1) darstellen. Dann gilt für jedes µ C : α min (µ) = ρ ( µ) = sup µ, X ρ(x) X L = sup µ, X sup µ, X α( µ) X L µ=µ µ C sup µ, X + µ, X + α(µ) X L = α(µ). 3

34 Lemma 3.5. Sei ρ : L R ein konvexes RM. Dann ist für alle µ M 1,f : α min (µ) = sup X d µ, X A ρ wobei A ρ := {X L : ρ(x) } die Akzeptanzmenge von ρ bezeichnet. Beweis. α min (µ) = ρ ( µ) = sup µ, X ρ(x) X L = sup µ, (X + ρ(x) ) = sup µ, X. X L }{{} X A ρ A ρ Satz 3.6. Eine Abbildung ρ : L R ist ein kohärentes Risikomaß genau dann, wenn ρ(x) = sup µ C X d µ, X L, (3.2) wobei C M 1,f. Ist ρ ein kohärentes RM, so kann in der Darstellung (3.2) immer die konvexe und abgeschlossene Menge C = dom ρ gewählt werden. Beweis. Offensichtlich ist ρ wie in (3.2) definiert ein kohärentes RM. Sei nun ρ ein kohärentes RM, dann ist es insbesondere ein konvexes RM und somit gilt nach Satz 3.4 ρ(x) = sup µ, X α min (µ). µ dom ρ Nun ist A ρ ein Kegel und mit Lemma 3.5 folgt, dass α min (µ) = sup µ, X t> = sup µ, tx = tα min (µ) X A ρ X A ρ für jedes µ M 1 und jedes t >. Also ist α min (µ) = {, }. Nun ist C := {µ M 1,f : α min (µ) = } = {µ ba : ρ (µ) } = dom ρ }{{} Niveaumenge von ρ konvex und abgeschlossen. Beispiel. ρ(x) = sup µ M 1,f X d µ = essinf X. 31

35 Bemerkung. Problematischer Dualraum ba Erinnerung: µ M 1,f ist σ-additiv Für alle A n gilt: µ(a n ) (A n : (A n ) n N F, µ(a n ) >, A n A n+1, n A n = ). D.h. ist µ M 1,f nicht σ-additiv, so gibt es A n mit lim n µ(a n) = ε >. Sind solche singulären µ als Preisregel sinnvoll? Wann lässt sich ein konvexes RM ρ : L R über W-maße darstellen? Satz 3.7. Sei ρ : L R ein konvexes Risikomaß. Es gibt eine Darstellung ρ(x) = sup E Q [ X] α(q), X L, (3.3) Q C von ρ über W-maße aus C M 1 := {W-maße Q über (Ω, F) mit Q P} mit α : C R genau dann, wenn ρ σ(l, L 1 )-uhs ist, welches wiederum äquivalent zur Abgeschlossenheit von A ρ in σ(l, L 1 ) ist. Ist ρ σ(l, L 1 )-uhs, so kann in der Darstellung (3.3) C = { Q M 1 : d Q } dom ρ d P gewählt werden. Für jedes C und α wie in (3.3) gilt ( und α(q) = α min (Q) = ρ d Q ) d P α(q) α min (Q) für alle Q C. Beweis. ρ wie in (3.3) ist offensichtlich ein konvexes RM. Außerdem ist ρ σ(l, L 1 )-uhs. (?) Die umgekehrte Richtung folgt wie im Beweis von Satz 3.4. Ist ρ σ(l, L 1 )-uhs, so ist A ρ = E = {X : ρ(x) } abgeschlossen. Ist umgekehrt A ρ abgeschlossen, dann ist auch E k = {X L : ρ(x) k} = {X L : ρ(x + k) } = E k = A ρ k abgeschlossen, k R. Also ist ρ σ(l, L 1 )-uhs. Der Rest folgt analog zum Beweis von Satz 3.4. Bemerkung. Die zu Satz 3.6 analoge Version von Satz 3.7 im kohärenten Fall gilt natürlich auch. Problematische Topologie σ(l, L 1 ), da sie nicht der schwachen Topologie σ(l, ba) entspricht und somit die konvexen abgeschlossenen Mengen in der Normtopologie nicht unbedingt in σ(l, L 1 ) abgeschlossen sein müssen. Überprüfung der Abgeschlossenheit auch nicht trivial (a priori: Netze statt Folgen), jedoch gibt es glücklicherweise folgende Charakterisierung: Satz 3.8. Sei ρ : L R ein konvexes Risikomaß. Folgende Eigenschaften sind äquivalent: i) A ρ ist σ(l, L 1 )-abgeschlossen 32

36 ii) ρ ist stetig von oben, d.h. falls X n X P-f.s., dann folgt ρ(x n ) ρ(x). (Nicht zu verwechseln mit oberhalbstetig) iii) ρ hat die Fatou-Eigenschaft: Für jede beschränkte Folge (X n ) n N L mit X n P-f.s. X L gilt ρ(x) lim inf n ρ(x n). Beweis. i) ii): Sei X n X. Mit Satz 3.7 gilt: ρ(x) = sup (E Q [ X] α(q)), C M 1 Q C = sup lim inf E Q[ X n ] α(q) (maj. Konvergenz X X n X 1 ) Q C n lim inf n sup E Q [ X n ] α(q) Q C = lim inf ρ(x n) Monotonie, da Xn X ρ(x) n ρ(x n ) ρ(x). ii) iii): Sei (X n ) n N L beschränkt mit X n X L P-f.s. Dann ist Y n := sup X m L und m n es gilt Y n X. Mit ii) folgt nun, dass ρ(x) = lim ρ(y n) Monotonie lim inf ρ(x n). n n iii) ii): Falls X n X P-f.s., so ist X X n X 1, also ist (X n ) n N beschränkt und daher lim inf ρ(x n) Monotonie ρ(x) iii) lim inf ρ(x n) n n ρ(x) = lim n ρ(x n). iii) i): Hierzu benötigen wir den Satz von Krein-Šmulian: Sei B ein Banachraum und sei C B konvex. Dann ist C σ(b, B)-abgeschlossen genau dann, wenn C {x B : x r} σ(b, B)-abgeschlossen ist für alle r >. D.h. um zu zeigen, dass A ρ σ(l, L 1 )-abgeschlossen ist, genügt es zu zeigen, dass abgeschlossen ist in (L 1, 1 ) (!). Denn: C r := A ρ {X L : X r} 33

37 B = (L 1, 1 ), B = (L, ), A ρ L ist konvex, also ist A ρ σ(l, L 1 )-abgeschlossen C r ist σ(l, L 1 )-abgeschlossen für alle r >. Die Inklusion ( L, σ(l, L 1 ) ) ( L 1, σ(l 1, L ) ) ist stetig, denn X α σ(l,l 1 ) X E[X α Z] E[XZ] für alle Z L 1 E[X α Z] E[XZ] für alle Z L L 1 X α σ(l 1,L ) X (als Netz in L 1 ). Also: C r in (L 1, 1 ) abgeschlossen für alle r > C r ist σ(l 1, L ) abgeschlossen für alle r > (da C r konvex ist und konvexe, abgeschlossene Mengen in der Norm und in der schwachen Topologie identisch sind). C r ist abgeschlossen in ( L, σ(l, L 1 ) ) für alle r > (Stetigkeit der Inklusion). A ρ ist σ(l, L 1 )-abgeschlossen (Krein-Šmulian). Zur Abgeschlossenheit von C r in (L 1, 1 ): 1 Sei (X n ) n N C r mit X n X( L 1 P-f.s. ). O.E. auch X n X (ansonsten gehe zu einer Teilfolge über). Außerdem ist X = lim n X n r (P-f.s.), also X r, d.h. X C r. Mit iii) folgt ρ(x) lim inf n ρ(x n ), also X A ρ. Folglich ist C r abgeschlossen in (L 1, 1 ). Zum Beweis des Satzes von Krein-Šmulian. Satz von Banach-Alaoglu: Ist (V, ) ein normierter Raum, so ist K r := {x V : x r}, r >, σ(v, V )-kompakt. Definiere eine Topologie τ auf B mit σ(b, B) τ (d.h. alle offenen bzw. alle σ(b, B)- abgeschlossenen Mengen sind auch in τ offen bzw. abgeschlossen) und ist A B, so dass A {x B : x r} abgeschlossen ist für alle r > in σ(b, B), dann ist A abgeschlossen in τ. (Das ist sinnvoll wegen des ersten Punktes). Zeige, dass die linearen stetigen Funktionale beider Topologien auf B übereinstimmen, d.h. (B, τ) = (B, σ(b, B)) ( = B). Lemma 2.17 (A B ist konvex und τ-abgeschlossen A B ist konvex und σ(b, B)-abgeschlossen). 34

38 Die Situation auf L p, p [1, ). Beispiel. Sei ρ(x) = E[ X] + δ(x L ), X L p, wobei X := (X ) und für eine Menge C L p : {, falls X C δ(x C ) := (konvexanalytische Indikatorfunktion), sonst [Übung: Sei f(x) = δ(x C ). Berechne f ] ρ ist cash-additiv, monoton (antiton), konvex, positiv homogen ρ ist ein kohärentes Risikomaß auf L p (, welches den Wert annimmt). Aber: ρ ist nicht uhs auf (L p, p ), denn A ρ = {X L p : E[X] } A ρ. (Übung) Keine duale Darstellung, es sei denn uhs wird gefordert. Satz 3.9. Sei ρ : L p (, ] ein konvexes Risikomaß, welches p -uhs ist (bzw. äquivalent dazu: A ρ ist abgeschlossen in der p -Topologie). Dann ist ρ(x) = sup E[ZX] ρ (Z) = sup E Q [ X] α min (Q), Z L q Q M p 1 E[Z]= 1 wobei M p 1 := {Q M 1 : d Q d P Lq } und α : M p 1 ( α min (Q) = ρ d Q ) d P p (, ] mit = sup X A ρ E Q [ X]. Hierbei ist q = p 1. Die dem Satz 3.4 entsprechende Umkehrung und die Minimalitätseigenschaft von α min gelten auch, sowie eine dem Satz 3.6 entsprechende Version für kohärente p -uhs RM. Beweis. Übung: Wann ist die affine Minorante eine Tangente? Subdifferenzierbarkeit: Sei X, X ein duales Paar und f : X (, ] eine konvexe Funktion. Der Subgradient von f an der Stelle x dom f(= {x X : f(x) < }) ist [Beweis der letzten Gleichung: f(x) := { x X x X : f(x) f(x) x x, x } = { x X f(x) + f (x ) = x, x } x X f(x) f(x) x x, x x, x f(x) f (x ) f (x ) = x, x f(x)] }{{} f (x ) 35

39 f(x) f(x) x x, x + f(x) x x Abbildung 3.1: Illustration zur Definition des Subgradienten und für x / dom f ist f(x) =. Analog wird der Subgradient einer konvexen Funktion f : X (, ] definiert, d.h. f (x ) := { x X x X : f (x ) f(x ) x x, x } = { x X f (x ) + f (x) = x, x } Insbesondere: Ist f = f, so folgt x f(x) x f (x ). Bemerkung. f(x) = ist möglich und häufig der Fall! Satz 3.1. Sei f : X (, ] konvex. Außerdem sei f stetig bei x dom f. Dann gilt f(x). Beweis. Da f bei x stetig ist, existiert eine offene Umgebung O σ(x, X ) um x mit Dann ist f(o) (f(x) ε, f(x) + ε) für irgendein ε >. O (f(x) + ε, ) epi f. }{{} offen in X R D.h. die konvexe Menge epi f erfüllt int(epi f). Sei V := {(x, y) : y < f(x)} X R. Dann ist V konvex, V epi f =. Also können wir V und epi f durch ein lineares stetiges Funktional (x, α) X R schwach trennen: sup x, x + αy inf x, y<f(x) (x,a) epi f x + αa (3.4) mit x, x + αŷ < x, x + αa für mindestens ein (x, ŷ) V und (x, a) epi f. Da (x, a) x, x + αa stetig ist, folgt auch x, x + αf(x) inf x, (x,a) epi f x + αa. (3.5) 36