Hauptseminar zu Turbulenz in Plasmen Numerische Simulation

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1 Hauptseminar zu Turbulenz in Plasmen Numerische Simulation Felix Spanier 14. Juni 2001

2 Allg. Form der t u + (u )u ν u = p (1) u = 0 Inkompressibilität (2) Nimmt man nun die Divergenz dieser Gleichung und nutzt dabei aus, daß u = 0 (Inkompressibilität) und u = 0, so erhält man: p = (u )u (3) p = 1 ( (u )u) (4) P = 1 (5) Man erhält p durch Anwenden dieses Operators auf die Inhomogenität. t u + (u )u ν u = P ( (u )u) (6) Interessant ist noch die Formulierung in Tensornotation: t u i ν u i = 1 2 P ijm( )(u j u m ) (7) P ijm ( ) = P ij ( ) + P im ( ) (8) x m x j P ij ( ) = δ ij 1 2 x i x j (9)

3 1.2. Fouriertransformation Die Fouriertransformation hilft an dieser Stelle weiter, da sie Differentiationen in Multiplikationen überführt. Anwenden der FT liefert: ( t νk 2 )u i (k) = M ijm (k) k=p+q u j (p)u m (q) (10) mit M ijm = i 2 P ijm(k) (11) P ijm (k) = k m P ij (k) + k j P im (k) (12) P ij (k) = δ ij k ik j k 2 (13) Die Summe muß die Dreiecksbedingung k = p + q erfüllen. Durch die Gleichung wird nur Energie vernichtet (durch Viskosität), daher kann keine stationäre Turbulenz entstehen. Da in realen Systemen auf großen Skalen Energie zugeführt wird, wird zu Gleichung 10 ein hypothetischer Kraftterm hinzugefügt, der homogen und isotrop sein soll: ( t νk 2 )u i (k) = M ijm (k) u j (p)u m (q) + f i (k) (14) k=p+q

4 1.3. Korrelationstensor Das turbulente Feld kann durch Korrelationen vollständig beschrieben werden: u i (x) u i (x)u j (x ) u i (x)u j (x )u m (x ) mittlere Geschwindigkeit Zweierkorrelation Dreierkorrelation Für isotrope Turbulenz u i (x) = 0 Um Aussagen über die Energie zu machen, benötigen wir die Fouriertransformierte der Zweierkorrelation: u i (k)u j (k ) = δ(k + k )P ij (k)q(k) (15) Wählen wir nun x = x : u i (x)u j (x) = q ij (0) = = = Zusammenhang mit der Energie: = 8π 3 δ ij d 3 k d 3 k u i (k)u j (k ) exp(i(k + k ) x) (16) d 3 kp ij (k)q(k) (17) d 3 k(δ ij k ik j )q(k) (18) k2 1 2 u i(x)u i (x) = 0 k 2 q(k)dk (19) 0 E(k)dk (20) E(k) = 4πk 2 q(k) (21)

5 1.4. Zeitabhängigkeit Erweiterung der Zweier-Korrelation um zeitabhängige Terme: u i (k, t)u j (k, t ) = δ(k + k )Q ij (k, t, t ) (22) Zur Lösung des Problems folgende Schritte: multipliziere mit u n ( k, t) addiere mit derselben Gleichung, i und n vertauscht ( t 2νk 2 ) u i (k, t)u n ( k, t) = (23) ( t 2νk 2 )E(k, t) = T (k, t) + Kraftterme (24) T ist ein Transportterm, der in Bereichen mit zu vernachlässigender Viskosität zum Tragen kommt. Energie vernichtet wir nur durchden Term 2νk 2 E(k, t), daher ist die gesamte Dissipationsrate: ɛ = 0 dk2νk 2 E(k) (25)

6 2. Unterscheidung dreier Energiebereiche: Produktionsbereich liegt bei kleinen Wellenzahlen (großen Skalen) vor. Energie wird zugeführt Inertialbereich mittlere Wellenzahlen, der Transportterm T bewirkt den Energietransport von kleinen zu großen Wellenzahlen Dissipationsbereich große Wellenzahlen, Energie wird vernichtet. Energiespektrum

7 2.1. Längenskalen k D = k = ( ɛ ) 1 4 ν 3 Dissipationslänge (26) 1 L = Gefäßlänge (27) L E 3 2 k I = ɛ Integrallänge (28) k I < k Inertia < k D Inertialbereich (29) k 2 u 2 T = ( u) 2 Taylor-Mikroskala (30) u = ω Vortizität (31) Die Dissipationslänge k D hängt nur von Dissipation ɛ und Viskosität ν ab. Die Integrallänge k I hingegen nur von Energie E und Produktionsrate (Energietransfer) ɛ. Aus den Längenskalen läßt sich die Kenngröße für Strömungen, die Reynolds-Zahl bestimmen: Re = v l ν = 2 ( kd k I ) 4 3 (32) v = 2E (33) Re T = vλ T v = Re (34) ν νk T

8 2.2. Hypothese von Kolmogorov Aussagen über das Energiespektrum mit Hilfe der Hypothesn von Kolmogorov: 1. Inertial- und Dissipationsbereich sind unabhängig davon, wie Energie im Produktionsbereich zugeführt wird. Es existiert ein stationärer Zustand mit von großen zu kleinen Skalen Produktionsrate = Dissipationsrate 2. Die ist lokal bzgl. der Wellenzahl, d.h. der Energiefluß ist gleich der Dissipationsrate Da nun E(k) = E(k, ν, Π = ɛ), kann man aus der Dimensionsanalyse erhalten: E(k) = g(ν 3 4 ɛ 1 4 k)ɛ 2 3 k 5 3 (35) Im Inertialbereich ist das Spektrum unabhängig von ν, damit wird g zu einer Konstanten: Ko = 1.44, die Kolmogorov-Konstante Skalensymetrie Betrachet man den Übergang r λr und die weiteren Übergänge: r λr u λ h u t λ 1 h t p λ 2h p ν λ 1+h ν für λ > 0 Unter Ausnutzung der Hypothese von Kolmogorov (ɛ ist lokal) folgt: ɛ = 2ν u 2 dω = λ 1+h λ 2(h 1) ɛ (36) h = 1 3 (37)

9 Führen wir nun mit dieser Skalierung die Strukturfunktion ein: (u(r + l) u(r)) p l ξp (38) Skalierung: (u(r + l) u(r)) p = (u (λr + λl) u (λr)) p (39) l ξp = λ ph (λ l) ξp (40) ξ p = ph = p 3 (41) p = 2 entpsricht der Energie, mit Hilfe der Fouriertransformation erhalten wir: E(k) k (2h+1) = k 5 3 (42) Man kann h auch über die Dimensionsbetrachtung vo ɛ gewinnen: Gesetz ɛ T = E t = u3 l u l 1 3 h = 1 3 Mit der Strukturfunktion 2. Ordnung läßt sich folgende Aussage treffen: (43) (44) u(r + l) 2 = u(r) 2 Homogenität (45) (δu(l)) 2 = 2( u 2 u(r + l)u(r) ) (46) Einsetzen der Fouriertransformierten liefert: (δu(l)) 2 0 (1 sin(kl) )E(k)dk (47) kl

10 Von Bedeutung ist auch das 4 5 -Gesetz: Ansatz: E k τ (48) (δu(l)) 2 l 2 3 (49) (δu(l)) 3 = 4 ɛl (50) Enstrophie In 2D-Systemen ist neben der Energie die Enstrophie eine Erhaltungsgröße. V = dω( u) z Enstrophie (51) = dω ω 2 (52) = 0 dk k 2 E(k) (53) Enstrophie führt zu einer umgekehrten Kaskade und zu dem Spektrum E(k) η 2 3 k 3 (54) η = Ck 2 ɛ Enstrophietransferrate (55) Die Einführung der Enstrophietransferrate führt auch zu neuen Definitionen der Längenskalen: k D = k D (η, ν) = ( η ν 3 ) 1 6 (56)

11 k I = k I (η, E) = η 1 3 E 1 2 (57) Re = 2 ( kd k I ) 2 (58)

12 3. Die u t + u u x = ν 2 u x 2 (59) ist erst einmal kein Beispiel für ein System mit Kolmogorov-Turbulenz: nur lokale Interaktion keine Turbulenz ohne äußere Kraft Um das Kolmogorov-Verhalten zu erhalten werden zwei Änderungen vorgenommen: u t + u u x = ν( 1)p+1 2p u + f allg. Form (60) x2p f(k, t) = A f t k 1 2 σk (61) f k ist eine zufällige gaußverteilte Kraft, die der Bedingung f(k, t)f(k, t ) = 2(2π) 2 Dk 1 δ(k + k )δ(t t ) (62) genügt. Die Darstellung erfolgte im Fourierraum.

13 4. EMHD beschreibt die Elektronenbewegung im Plasma vor statischem Ionenhintergrund mit Hilfe der Fluiddynamik. Im Gegensatz zu einem normalen Fluid müssen durch die Elektronenbewegung generierte Magnetfelder berücksichtigt werden Obwohl hier ein 2D-System betrachtet wird, ergibt sich ein Kolmogorov-Skalenverhalten. Eine Enstrophie-Kaskade ist nicht vorhanden. Darstellung von Magnet- und Geschwindigkeitsfeld durch B = e z ϕ und v = e z ψ. Daraus folgt in der Simulation (die hier 2D betrieben wird) t (ϕ d 2 eω) d 2 ev ω + B j = µ( ) ν ϕ (63) t (ψ d 2 ej) + d 2 ev (ψ d 2 ej) = µ( ) ν ψ (64) ω = ϕ (65) j = ψ (66) c d e ist die Electron Inertia Length ω pe L Ähnlich der wird hier Hyperdissipation benutzt. Die Enstrophie-Kaskade wird durch den Einfluß von ψ zerstört.

14 der Integration im Fourier-Raum Leapfrog-Crank-Nicholson Schema u n+1 k u n 1 k 2dt = i k 2 (u u)n k k 2 ν un+1 k u n 1 k 2 f n k (67) for (int i = 1; i < mx/2; i++) { double ki=2.*m_pi*i/(mx*dx); double ki2=pow(ki,4); tmp1(i)=((1.-dt*nu*ki2)*unm1(i) +2.*dt*(ki*tmp2(mx-i) + f(i)))/(1.+dt*nu*ki2); //Realteil tmp1(mx-i)=((1.-dt*nu*ki2)*unm1(mx-i) +2.*dt*(-ki*tmp2(i) + f(mx-i)))/(1.+dt*nu*ki2); //Imaginärteil } tmp1(0)=0; //0-Komponente von Hand auf 0 gesetzt Leapfrog-Stabilisierung durch Einführung des Schritts u n = 1 2 (un + u n 1 ) (68)

15 nach mehreren Integrationsschritten if (ic%leapfrogsteps) { un = tmp1; //un und tmp1 im k-raum un += unm1; un *= 0.5; } Einführen der zufälligen Kraft double lam=1./2000.*8192./mx; for (int i = 1; i <= mx/2; i++) { double ki=2.*m_pi*i/(mx*dx); double ranphase = 2.*M_PI*drand48(); f(i)=amp/sqrt(ki*dt)*cos(ranphase) *exp(-sqr(lam*ki)); f(mx-i)=amp/sqrt(ki*dt)*sin(ranphase) *exp(-sqr(lam*ki)); } f(0)=0; De-Aliasing der Fourier-Transformation durch 2/3-Regel

16 Die Null-Komponente von Geschwindigkeit und Kraft sind Null um die Isotropie zu gewährleisten Gesamtenergie des Systems Die Gesamtenergie des Systems ist nicht konstant, da die zufällige Kraft wirkt.

17 Energiespektrum

18 der EMHD Ablauf ähnlich der Integration im Fourierraum Berechnung über Hilfsfelder ϕ und ψ Änlicher Ablauf für die Imaginär-Anteile for (j = 0; j < my/3; j++) { ky = j; for (i = 0; i < mx/3; i++) { kx = i; k2 = sqr(kx)+sqr(ky); phi = omn.cmplx(i,j)/(1.+de2*k2); psi = jn.cmplx(i,j)/(1.+de2*k2); v_x.cmplx(i, j) =-iu*ky*phi; v_y.cmplx(i, j) = iu*kx*phi; b_x.cmplx(i, j) =-iu*ky*psi; b_y.cmplx(i, j) = iu*kx*psi; omtilde_x.cmplx(i, j)= iu*kx*omn.cmplx(i, j); omtilde_y.cmplx(i, j)= iu*ky*omn.cmplx(i, j); jtilde_x.cmplx(i, j) = iu*kx*jn.cmplx(i, j); jtilde_y.cmplx(i, j) = iu*ky*jn.cmplx(i, j); } }

19 for (j = 0; j < my; j++) { for (i = 0; i < mx; i++) { cfl = max(cfl, sqrt(sqr(v_x.real(i,j))+sqr(v_y.real(i,j)))*dt/twopi*mx); non_j.real(i,j) = v_x.real(i,j)*jtilde_x.real(i,j) + v_y.real(i,j)*jtilde_y.real(i,j); non_om.real(i,j) = v_x.real(i,j)*omtilde_x.real(i,j) + v_y.real(i,j)*omtilde_y.real(i,j) -(b_x.real(i,j)*jtilde_x.real(i,j) +b_y.real(i,j)*jtilde_y.real(i,j))/de2; } } Nichtlinearität wir im Realraum betrachtet Leapfrog wird auf beide Felder angewandt optimale Zeiteinteilung durch Bedingung 0.2 < max(v) dt dx < 0.4

20 if (ic_leap_frog = leap_frog) { // leapfrog leap_frog = 0; omn = omnp1; omn += omnm1; omn *= 0.5; jn = jnp1; jn += jnm1; jn *= 0.5; singlestep(); }

21 Energiespektrum Erwartetes Kolmogorov-Skalenverhalten entwickelt sich Dissipationsrate ɛ

22 Enstrophietransferrate η