Fließen von Selbstverdichtendem Beton - Das Reibungsgesetz für den ebenen Spalt (I) -

Transkript

1 RVOGEL-FORSCHUNG Mitteilung 5/1-1 R Vogel Fließen von Selbstverdichtendem Beton - Das Reibungsgesetz für den ebenen Spalt (I) - Einleitung Zur Berechnung des Druckverlustes bei der Förderung von Flüssigkeiten in Rohren wird in der Regel die Beziehung ρ ζ ρ = c λ L D (1) p = c [ ] [ ] äq benutzt Die Anwendung dieser setzt voraus, dass neben den geometrischen Abmessungen auch die das Fördermedium charakterisierenden Stoffdaten bekannt sind Hierzu gehören Dichte und Viskosität; wobei letztere über λ ( Re) Einfluss nimmt Wenn allerdings wie bei Mörtel und Beton weitere Materialaussagen beachtet werden müssen, muss das Reibungsgesetz λ ( Re) dementsprechend erweitert werden Kann mit dem BINGHAM -Fließgesetz eine ausreichende Materialbeschreibung erfolgen, wenn also außer ρ und η auch noch τ eine Rolle spielt, so muss der Reibungsverlust mit Hilfe von λ ( Re, Bm) oder auch ( Re, He) λ ermittelt werden Aus dem Dargelegten folgt allgemeiner ausgedrückt: Jeder weitere Materialparameter zwingt zu einer weiteren dimensionslosen Kenngröße im Reibungsgesetz Liegen laminare Strömungsverhältnisse vor, so braucht nicht unbedingt Gl(1) zur Berechnung des Reibungsverlustes verwendet werden Aus dem Gesetz von HAGEN-POISEUILLE folgt nämlich η c p = [ Ha] [ L D] () äq D Da in diesem Sonderfall die Dichte keine Rolle spielt, reduziert sich das Reibungsgesetz um eine dimensionslose Größe Anstelle von λ ( Re) tritt Ha bzw für ( Re, Bm) λ steht nun Ha( Bm) Die damit erreichte Vereinfachung des Reibungsgesetzes gestattet die Berechnung des Druckverlustes überschaubarer, ohne dass ein Erkenntnisverlust hingenommen werden muss Voraussetzung ist allerdings die Kenntnis von Ha bzw Ha( Bm) Verwendet man Ergebnisse neuester Untersuchungen [5], wonach die Fließkurve von Selbstverdichtendem Beton und Mörtel mit Hilfe von Bei pseudoplast Materialverhalten ( + ) bei Dilatanz ( ) τ τ η γ 1 (3) 1 ± γ σ = + η

2 RVOGEL-FORSCHUNG Mitteilung 5/1 - abgebildet werden sollte, so ist eine Erweiterung des Reibungsgesetzes zu erwarten, um den Einfluss des Material-Moduls σ zu berücksichtigen Wird dieser in der dimensionslosen Kenngröße Kg fixiert, so ist das Reibungsgesetz in der Art Ha( Bm, Kg) vorstellbar Sowohl die Ableitung eines Reibungsgesetzes, als auch die darauf aufbauende Druckverlustberechnung etc sind an bestimmte geometrische Voraussetzungen gebunden und zwar in erster Linie an die Form des Strömungsquerschnittes In den jeweiligen mathematischen Beziehungen wird dies durch das Symbol D verdeutlicht, welches grundsätzlich für D = D = 4 A/ U steht In den nachfolgenden Überlegungen soll im Vordergrund ein Strömungsquerschnitt betrachtet werden, der dem Einbau des SVB in die Schalung für Wandelemente oä wiedergibt Verwendete Kenngrößen-Definitionen (allgemeine Form) τ Bm = η c D [-] BINGHAM -Zahl p D Ha = [-] HAGEN -Zahl Ha = λ Re η c L/ D τ D ρ He = [-] HEDSTRÖM -Zahl He= Re Bm η η Kg = c [-] σ D λ = p [-] Reibungsbeiwert ρ c L/ D c D ρ Re = [-] REYNOLDS -Zahl η

3 RVOGEL-FORSCHUNG Mitteilung 5/1-3 Ausgangsposition Die eindimensionale, stationäre Strömung in einem horizontalen Rohr wird durch die bekannte Differentialgleichung 1 ) u dl dp + τ = (4) a au = r erhält man daraus beschrieben Unter Beachtung von Gl(3) und Einführung von ( ) η γ 1 dp + τ + dl η = 1± γ r σ Werden weiterhin die geometrischen Größen mit R c relativiert, so folgt η c d( c c) R d( n R ) R l dp + τ + d( ) η c 1 d( cc) = 1± r R R σ d( n R ) Wird nun noch durch d( ) und die Geschwindigkeit über die mittlere η c R l dividiert und sortiert, so ist R r R d( cc) r dp τ R d( n R ) + R η c + = d( lr ) η c η c d( cc) R 1± σ R d( n R ) -Klammern sind dimensionslose, unabhängige Veränderliche Sie können auch Die Ausdrücke in [ ] in Form der üblichen Kenngrößen-Kürzel geschrieben werden; denn es ist d dl 16 = Ha η c η c Fügt man eine weitere hinzu, p R p D L η c 1 η c = Kg =, σ R σ D sowie τ R η c τ D 4 = Bm η c so erhält man für das anstehende Problem anstelle von Gl(4) die Diff-Gleichung in der Form d( cc) Ha r Bm d( n R ) + + = (5) 16 R 4 d( cc) 1± Kg d( nr ) Oder auch nach Umstellung 1 ) Albring, W Angewandte Strömungslehre, Verlag Steinkopff, Dresden, 4Auflage 197, S7 ff

4 RVOGEL-FORSCHUNG Mitteilung 5/1-4 Ha r Bm d( cc) 16 R 4 = (6) d( nr ) Ha r Bm 1 Kg 16 R 4 Mit dieser Beziehung wird die Geschwindigkeitsverteilung im Strömungsquerschnitt beschrieben Sie ist abhängig von den Parametern: Ha; Bm; Kg und dem Geometriesimplex rr Laminare Strömung im ebenen, engen Spalt Ableitung eines Reibungsgesetzes Der Einbau des Selbstverdichtenden Betons in eine filigrane Wandschalung kann als Spaltströmung aufgefasst werden, wenn der Abstand der Schalung der Spalt S klein gegenüber der Spaltbreite B ist Unter dieser Voraussetzung gilt mit den Abmessungen L B S im Detail τ y y = S/ y = y n c S B R D r = A B S U = B + S S S = (1 + SB) und 4 A = = S U a = = y sowie n = y u τ L Abb1 Geometrie des Spaltes, Koordinaten und Spannungsverteilung Führt man diese speziellen Ausdrücke in Gl(6) ein, so erhält man nach Trennung der Veränderlichen Bm Ha y c d( 4 y )= S d( ) c Bm Ha y S 1 Kg 4 S Um aus der Komplexität dieses Ausdrucks einfache Deutungen zu ermöglichen, sollen vorerst die beiden Spezialfälle verfolgt werden: c Bm Ha y I Kg = bzw Kg führt zu d( )= y d( ) c 4 S S, (81) und dem für BINGHAM-Fluide gültigen Reibungsgesetz Ha( Bm) (7)

5 RVOGEL-FORSCHUNG Mitteilung 5/1-5 II Bm = führt zu y y d( ) c d( )= S S c y 1 Kg S Ha 4 und der für struktur-viskose Fluide gültigen Lösung Ha( Kg) (8) Spezialfall I : Die Integration des Ausdrucks (81) führt zur Geschwindigkeitsverteilung im Spalt Nach Bestimmung der Integrationskonstanten über die Randbedingung c/ c = bei y/ S = 1/ erhält man c Bm y 1 Ha y 1 = (9) c S 8 S 4 Wegen der Fließgrenze τ des Strömungsmediums ist die Gültigkeit dieser Beziehung auf den Spaltquerschnitt y y S begrenzt Im Zentrum des Strömungsquerschnitts y y bewegt sich der Strom als Pfropfen mit c Bm y 1 Ha y 1 = c S 8 S 4 Da für y S y S außerdem dc dy = zutrifft, folgt aus Gl(81) Ha y Bm S = oder auch y Bm = und letztlich S Ha c 1 Bm Bm Ha c = + = (1) c Ha 4 3 c max Mit den Ergebnissen Gln(9 + 1) ist die Geschwindigkeitsverteilung im Spaltquerschnitt erfasst Sie ist jedoch faktisch nicht verifizierbar, da für eine gegebene Bm -Zahl die Ha -Zahl nicht bekannt bzw nur abschätzbar ist Mit den prinzipiellen Aussagen über den c -Verlauf kann die Erfassung von Ha( Bm) über die mittlere Strömungsgeschwindigkeit c erfolgen Sie ergibt sich aus dem auf den Strömungsquerschnitt bezogenen Volumenintegral durch Summation von Kern- und Randbereich in folgender Weise S y B B c c = c + dy S B bzw S B y Fügt man nun noch die bekannten Ausdrücke für c c und y y S= 1 c y c y 1= + d c S c S y S= y S S sowie cc ein, so erhält man 3 1 Bm Bm Bm Bm y 1 Ha y 1 y + + ( ) 1 Ha Ha 8 d =, S 8 S 4 S y S woraus nach Integration, Zusammenfassen und Ordnen das Reibungsgesetz 3 Bm Bm Ha = Ha (11)

6 RVOGEL-FORSCHUNG Mitteilung 5/1-6 resultiert Wie man sieht, ist danach die Ha -Zahl nur durch Iteration ermittelbar In Abb ist das Ergebnis einer solchen anwendungsbereit festgehalten Sowohl Gl(11) als auch diese Grafik machen zweierlei Aussagen deutlich: Zweitens: Erstens: Für Bm = also τ = sowie auch ( η c ) gilt Ha = 48 Der Reibungsverlust wird hier ausschließlich durch die Stoffkonstante η pl = η bestimmt Für schleichende Strömungsverhältnisse (sehr große Bm ) nähert sich die HAGEN -Zahl der Asymptote Ha = 4 Bm Dies folgt aus y S = 1= Bm Ha (so) Der Reibungsverlust ist hier nur auf die stoffspezifische Größe τ zurückzuführen, was durch die Pfropfenströmung zum Ausdruck kommt Ha [-] Bm [-] Ha = 4 Bm Abb Grafische Darstellung des Reibungsgesetzes für BINGHAM -Fluide 48 Bm Ha 48,,3 49,8,4 5,4,5 51, 1 53,99 59, , , ,8 157, ,1 5 35, 1 537,1 983, Die Herleitung des Reibungsgesetzes Gl(11) erfolgte unter der Voraussetzung, dass das BINGHAM -Gesetz zur Beschreibung des Fließverhaltens des Materials ausreicht Für SVB kann diese Wahl als gute Näherung akzeptiert werden Die Zuordnung von Ha zu einer gegebenen oder ausgewählten Bm -Zahl ist nun mit Hilfe von Gl(11) oder auch nach Abb möglich und damit auch die Berechnung des Druckverlustes im Spalt In Abwandlung von Gl() gilt hier η pl c L L p = Ha = η pl c Ha D D 4 S τ L oder auch p = Ha, Bm S

7 RVOGEL-FORSCHUNG Mitteilung 5/1-7 τ wenn an Stelle von η pl, aus der BINGHAM -Definition folgend S gesetzt wird Bm c Um die Größenordnung des Druckverlustes zu erkennen, wurden beide Beziehungen benutzt, um einerseits p( η pl ), anderseits p( Bm) zu berechnen Setzt man einen SVB mit 16 mm Größtkorn voraus, der laut Stabilitätskriterium [] eine Fließgrenze des SVM von τ 15 Pa verlangt, so erhält man bei Beachtung von ( τ ) 4 ( τ ) das in Abb3 festgehaltene Ergebnis Es basiert auf SVB SVM der Annahme von L ( S) = 1 und der Schätzung c =, m/s Wie zu erwarten war, wächst der Druckverlust mit der plastische Zähigkeit des SVB Für einen praktisch relevanten Wert von p [Pa] τ L ( S) Bm [-] 3 3,3,1 1 1 η pl [Pa s] [-] Abb3 Der Druckverlust im engen Spalt in Abhängigkeit von der plastischen Viskosität η pl und der Fließgrenze τ 1 η 34 Pa s pl (gelbe Markierung im Bild) wird danach ein Druckverlust in der Größenordnung von 1 bis 1 4 Pa ausgewiesen Bemerkenswert ist, dass darin ein Anteil von weniger als 3% der Fließgrenze zuzuschreiben ist (siehe rosa Grenzlinie) Das Gewicht der Fließgrenze kann man auch aus der oberen Abszisse erkennen Danach liegt die Bm -Zahl mit der gewählten SVB-Konfektion unter 1,, womit die untergeordnete Bedeutung der Fließgrenze (im Hinblick auf den Druckverlust!) unterstrichen wird Erst wenn die Viskosität wesent- lich verringert wird, fällt der Fließgrenzen-Anteil ins Gewicht Nach Abb3 ist es aus der Sicht einer Druckverlustminderung durchaus lohnenswert, die plastische Zähigkeit des SVB zu senken Außer der Berechnung des Druckverlustes kann auch das Geschwindigkeitsfeld cc( ys) bzw cy ( ) auf der Grundlage von Gln(9 + 1) ermittelt werden Als Beispiel hierfür ist Abb4 gedacht Man erkennt dort den prägnanten Einfluss der Bm -Zahl Für Bm = weicht der Geschwindigkeitsverlauf Pfropfenbereich y S,67 nur wenig von dem bekannten parabolischen eines NEWTON -Fluids ab Liegt die Bm -Zahl in der Größenordnung von, so sind 8 % des Spaltquerschnitts Pfropfen Wird nun angenommen, dass SVB in ein Bauelement mit einem lichten Schalungsabstand (Spalt) von ca mm eingebracht wird, so beträgt die effektive Wandschichtdicke bei diesem Füllvorgang weniger als mm Handelt es sich um SVB mit einer Körnung von 16 mm, so ist es aus praxisnaher

8 RVOGEL-FORSCHUNG Mitteilung 5/1-8,5,4 Bm = ; Ha = 6 ; Bm = ; Ha = 984,4 y / S [-],3,,1,4,8 1, 1,6 C / C m [-],67 Abb4 Geschwindigkeitsverteilung im Spaltquerschnitt für zwei verschiedene BINGHAM Fluide c c) ( steht für m Sicht sehr wahrscheinlich, dass der SVB bereits bei dieser Bm -Zahl weitgehend als Pfropfen fließt Zur Berechnung des Druckverlustes darf dann die einfache Beziehung Ha = 4 Bm verwendet werden Schlussfolgerungen und Ausblick Für laminare Strömung im ebenen Spalt wird ein Ansatz vorgestellt, der die Berechnung der Reibungsverluste für Fluide mit Fließgrenze ermöglicht Grundlage hierfür bilden die dimensionslosen Kennzahlen p L Ha = η c D pl ; τ D Bm = η c pl η c sowie Kg = σ D Ua erhält man mit der Einschränkung, dass das Fördermedium BINGHAM sches Fließverhalten zeigt, das Reibungsgesetz in der Form Ha( Bm), das im Vergleich mit der meistens verwendeten Formulierung λ ( Re,Bm) eine Variable weniger aufweist und somit einzelne Einflüsse überschaubarer wiedergibt Das Ergebnis 3 Bm Bm Ha = , 8 3 Ha schließt als Grenzfall auch das Reibungsverhalten NEWTON scher Flüssigkeiten mit ein; denn für Bm = (also τ = ) folgt Ha = 48, dh der Druckverlust wird nur von η pl = η geprägt Bei NEWTON -Fluiden genügt demnach die Angabe eines einzigen Zahlenwertes, um das Reibungsgesetz auszudrücken Im Zahlenwert selbst spiegelt sich die Geometrie des Strömungsquerschnitts wieder

9 RVOGEL-FORSCHUNG Mitteilung 5/1-9 Wie gezeigt, steht Ha = 48 für den ebenen, engen Spalt Ist zb der Spalt mit S B = 1 festgelegt, so findet man Ha = 8 und im Fall eines kreisrunden Strömungsquerschnitts gilt Ha = 3 Die andere Grenze charakterisiert den Pfropfen als Fluidgebilde Hierfür gilt Ha = 4 Bm In diesem Fall ist die Fließgrenze τ die einzige Stoffgröße, die den Druckverlust ausmacht Im Gegensatz zum NEWTON -Fluid ist hier die Form des Strömungsquerschnittes ohne Bedeutung Das für den ebenen, horizontalen Spalt abgeleitete Reibungsgesetz kann auch zur Berechnung der treibenden Spiegeldifferenz h für die Strömung in einer Rinne, dh in einem oben offenen Spalt verwendet werden In diesem Fall sind die jeweiligen Kennzahlen mit S B S D = 4 = 4 S zu bilden Die auf die Längeneinheit S + B 1 S + B bezogene treibende Spiegeldifferenz erhält man damit zu 3 p h ηpl c Ha ηpl c Bm Bm = = = 31 + ρb g L L 16 S ρb g ρb g S 8 3 Ha bzw in guter Näherung h 3 η pl c τ + L ρ g S S (13) Ist nun aus fertigungstechnischen Gründen ein dass B (1) hl-anliegen zu realisieren, so ist zu beachten, hl nicht beliebig reduziert werden kann; denn aus Gl(13) folgt für kleine Bm -Zahlen sowie η pl c die Grenzbedingung h 3 τ > L ρ B g S Im Falle schleichender Strömungsverhältnisse gilt Ha = 4 Bm und somit h η pl c Ha η pl c h τ = Bm = bzw = L 16 S ρ g 4 ρ g S L ρ g S B B Bedenkt man, dass bei Einhaltung des Stabilitätskriteriums [1] über den Zahlenwert von τ nicht mehr verfügt werden kann, so ist mit Gl(13) eine Möglichkeit zur Hand, die Größenordnung der plastischen Viskosität η pl als Zielgröße festzulegen Wegen der Unterschiede beim Einbau von Selbstverdichtendem Beton erscheint es ratsam, darüber hinaus das Produkt η pl c zu betrachten min B Zur Abrundung der vorgestellten Ergebnisse ist es sinnvoll, eine weitergehende Lösung der Ausgangsdifferentialgleichung Gl(6) unter Einbeziehung der Kenngröße Kg zu verfolgen Das kann schrittweise im Zusammenhang mit der Formulierung eines Reibungsgesetzes für strukturviskose Materialien erfolgen Ebenso ist es außerordentlich wichtig, die Bewertung spezieller Geometriesimplexe (zb Bewehrung) vorzunehmen und in die Betrachtung einzubeziehen

10 RVOGEL-FORSCHUNG Mitteilung 5/1-1 Bei vertikalem Spalt kommt zum analysierten Reibungsverlust ein geodätischer Hubanteil ρ g H hinzu In der Summe aus beiden ist das Gewicht der Einzelanteile je nach Einbausituation recht unterschiedlich Weimar, 535 / rv Verwendete Formelzeichen, Abkürzungen und Indices a, A [m ] lichter Strömungsquerschnitt B [m] Kanal-Breite c [m/s] Strömungsgeschwindigkeit c [m/s] mittlere Strömungsgeschwindigkeit D [m] charakteristische Kanalabmessung, aulischer Durchmesser g [m/s ] Erdbeschleunigung h [m] Spiegeldifferenz, -gefälle H [m] Höhe η [Pa s] dynamische Viskosität η pl [Pa s] plastische Viskosität γ [s -1 ], [-] Schergefälle, Scherrate σ [Pa] Spannung l, L [m] Länge λ [-] Reibungsbeiwert n, y [-] Zeiger, Ordinate p [Pa] Druck p [Pa] Druckdifferenz r, R [m] Radius einer Stromröhre s, S [m] Spaltabmessung; Schalungsabstand u, U [m] benetzter Umfang des Strömungsquerschnittes τ [Pa] Schubspannung, Fließspannung τ [Pa] (Schubspannung an der) Fließgrenze ρ [kg/m 3 ] Dichte ζ [-] Widerstandsbeiwert Indices äq äquivalent pl plastisch aulisch im Abszissen-Nullpunkt