Hashing. Hashing. Hashing. Vorteil von Hashing. Aufgabe

Transkript

1 Realisierug Realisierug Dyaische Verwaltug vo Date, wobei jeder Datesatz eideutig durch eie Schlüssel charakterisiert ist Viele Aweduge beötige ur eifache Date-Zugriffsechaise (dictioary operatios): Suche ach Datesatz bei gegebee Schlüssel x search(x) Eifüge eies eue Datesatzes d it Schlüssel x isert(x, d) (abgekürzt isert(x)) Etfere eies Datesatzes bei gegebee Schlüssel x delete(x) - Mege U potetieller Schlüssel sehr groß, aktuelle Schlüsselege S jeweils ur kleie Teilege des Uiversus (i allgeeie S icht bekat) - Idee: durch Berechug feststelle, wo Datesatz it Schlüssel x gespeichert - Abspeicherug der Datesätze i eie Array T it Idizes {0,,..., }: Hashtabelle - Hashfuktio h liefert für jede Schlüssel x U eie Adresse i Hashtabelle, d.h. h : U {0,,..., }. Mege potetieller Schlüssel (Uiversu) kasehr groß sei! /33 2/33 Realisierug Vorteil vo Realisierug U h T 0 2 Sei := S. Balacierte Suchbäue (AVL-Bäue, B-Bäue): dictioary operatios Koplexität O(log ) : für alle Operatioe ittlere Koplexität O() S Belegugsfaktor Quotiet β := / heißt Belegugsfaktor oder Auslastugsfaktor eier Hashtabelle der Größe. Mittlerer Aufwad für dictioary operatios als Fuktio i β abschätzbar Azahl aktueller Schlüssel geht ur idirekt i Aufwad ei 3/33 4/33

2 Realisierug Aforderuge Aforderuge a Herausforderug: Azahl öglicher Schlüssel viel größer als Hashtabelle, also U >> Hashfuktio uss verschiedee Schlüssel x ud x 2 auf gleiche Adresse abbilde. x ud x 2 beide i aktueller Schlüsselege Adresskollisio Hashverfahre gegebe durch: eie Hashtabelle, eie Hashfuktio, die Uiversu der ögliche Schlüssel auf Adresse eier Hashtabelle abbildet, eie Strategie zur Auflösug öglicher Adresskollisioe. 5/33 Gute sollte: surjektiv sei, d.h. de gaze Wertebereich ufasse, die zu speicherde Schlüssel (öglichst) gleichäßig verteile, d.h. für alle Speicherplätze i ud j sollte gelte h (i) h (j), effiziet berechebar sei. Voraussetzug: U = {0,,...,N } ud h : U {0,,..., } Häufig: Divisios- oder Kogruezethode h(x) : x od h (i) { N/, N/ } 6/33 Wahl eier Hashfuktio Aforderuge h(x) : x od Proble: Date oft icht gleichverteilt! Beispiel: Texte i Zahle übertrage, oft viele Leerzeiche, bestite Wörter häufiger etc. Wichtig: geeigete Wahl vo Zweierpotez: x od wählt ur die letzte log Bits Prizahl: x od beeiflusst alle Bits Beispiel: =ud S = {49, 22, 6, 52, 76, 34, 3, 29} Hashwerte: h(49) = 49 od = 5, h(22) = 22 od = 0, 6, 8, 0,, 2, 7 Erierug: I allgeeie uvereidbar, dass auftrete, de aus N >> folgt Existez eies Speicherplatzes i it h (i) N/. Frage: Sei := S. Wie wahrscheilich sid bei <<? Bei wie viele (zufällig gewählte) Persoe ist es wahrscheilich, dass hiervo zwei a selbe Tag (ud Moat) Geburtstag habe? 7/33 8/33

3 Aahe: Date uabhägig Prob(h(x) =j)=/ Prob(i-tes Datu kollidiert icht it de erste i Date, we diese kollisiosfrei sid)= (i ) Ituitio: Egal welche Speicherplätze die erste i Date belege, i +der Möglichkeite sid gut. Prob( Date kollisiosfrei) = 2 Beispiel: = 365 Prob(23 Date kollisiosfrei) 0,49 Prob(50 Date kollisiosfrei) 0,03 + Prob(2 /2 Date kollisiosfrei) = /2 2/2 + }{{}}{{} ( ) /2 /2 ( = /2 ) /2 uss it lebe ud beötigt Strategie zur Kollisiosbehadlug. e 9/33 0/33 Kollisiosbehadlug Kollisiosbehadlug Hashverfahre uterscheide sich i Strategie zur Kollisiosbehadlug: ittels verketteter Liste: Jede Kopoete der Hashtabelle ethält Zeiger auf Überlaufliste. ittels offeer Adressierug: I Kollisiosfall ach fester Regel alterative freie Platz i Hashtabelle suche. Für jede Schlüssel Reihefolge, i der Speicherplätze betrachtet werde, vorgegebe: Sodierugsfolge Verschiedee Arte der Kollisiosbehadlug: ittels verketteter Liste (liks) ittels offeer Adressierug (rechts) /33 2/33

4 it Verkettug Beispiel Verkettug der Überläufer Realisierug: Jede Kopoete der Hashtabelle ethält Zeiger auf paarweise disjukte lieare Liste. Die i-te Liste L(i) ethält alle Schlüssel x S it h(x) =i. Vorteil: Alle Operatioe werde uterstützt ud >öglich (für >>jedoch Rehashig ratsa). Nachteil: Speicherplatzbedarf für Zeiger Beispiel: =7ud h(x) =x od S = {2, 5, 2, 5,, 43, 53} search(x): Bereche h(x) ud suche i Liste L(h(x)) isert(x) (ach erfolgloser Suche): Bereche h(x) ud füge x i Liste L(h(x)) ei. delete(x) (ach erfolgreicher Suche): Bereche h(x), suche x i Liste L(h(x)) ud etfere x. 3/33 4/33 Aalyse Aalyse Bei zufällige Date ud ideal streuede Hashfuktio gilt für { i-tes Datu kot i Liste L(j) X ij := 0 sost Prob(X ij =)= E(X ij )= + 0 = X j = X j + + X j zähltazahldateilistel(j). E(X j )=E(X j + + X j )=E(X j )+ +E(X j )= Erfolglose Suche i Liste L(j): Iklusive il-zeiger durchschittlich + = +β Objekte betrachte Beispiel: Für 0, 95, istdies, 95. Erfolgreiche Suche i Liste L(j): derläge l Jede Positio i der Liste hat Wahrscheilichkeit /l, also l+ l ( l) = 2. Durchschittliche Listeläge hier: + (Liste ethält sicher das gesuchte Datu ud die adere Datesidzufällig verteilt.) Also erwartete Suchdauer 2 ( + +)= β 2 Beispiel: Für 0, 95, istdies, /33 6/33

5 Hashverfahre it offeer Adressierug Operatioe bei offeer Adressierug Erierug: I Kollisiosfall ach fester Regel alterative freie Platz i Hashtabelle suche (Sodierugsfolge). Voraussetzug: Auswertug vo h gilt als eie Operatio. t(i, j) := Positio des i-te Versuchs zu Eifüge vo Date x it h(x) = j Aforderug a Fuktio t: auch t i Zeit O() berechebar t(0,j)=j t(,j):{0,..., } {0,..., } bijektiv search(x): Bereche j := h(x). Suche x a de Positioe t(0,j),...,t(,j). Abbruch, we x gefude oder freie Stelle etdeckt (kei Datu it Schlüssel x). isert(x) ach erfolgloser Suche: Freie Platz fide (sost Overflow) ud x dort eifüge. delete(x) ach erfolgreicher Suche: Das Datu ka icht eifach etfert werde, da search frühzeitig Lücke fide würde ud eie Suche fälschlicherweise als erfolglos abbreche köte. 7/33 8/33 Etfere bei offeer Adressierug Proble: Datu ka bei Operatio delete(x) icht ohe weiteres gelöscht werde. Ausweg: Speicherplatz/Positio als besetzt, och ie besetzt oder wieder frei arkiere. Suche wird ur a Positioe it Markierug och ie besetzt vorzeitig abgebroche. Proble: I Laufe der Zeit keie Positio ehr, die it och ie besetzt arkiert ist. wird ieffiziet. Lieares Sodiere Quadratisches Sodiere Doppeltes Hilfsittel bei der Aalyse: ideales Offees ur bei Aweduge it search ud isert. /33 20/33

6 Lieares Sodiere Clusterbildug t(i, j) :=(i + j) od Beispiel: =ud j = h(x) =7 Sodierugsfolge: 7, 8, 9, 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0,, 2, 3, 4, 5, 6 Proble: Clusterbildug Tedez, dass ier lägere zusaehägede, belegte Abschitte i der Hashtabelle etstehe, sogeate Cluster erhöhte Suchzeite Beispiel: =, Positioe 2, 5, 6,9, 0,, 2, 7 belegt h(x): ladet a Positio: W.keit: h(x): ladet a Positio: W.keit: /33 22/33 Ideales Quadratisches Sodiere Wusch: Zu jede Zeitpukt alle Positioe die gleiche Wahrscheilichkeit besetzt zu werde Beobachtug: Das geht uerisch icht geau, i Beispiel freie Plätze, ögliche Hashwerte, also alle Wahrscheilichkeite k/, icht k/ Modell des ideale s: Alle ( ) Möglichkeite, die besetzte Plätze für Schlüssel auszuwähle, habe die gleiche Wahrscheilichkeit. Lieares Sodiere weit vo ideale etfert. t(i, j) :=j +( ) i+ i+ 2 2 od Sodierugsfolge: j, j + 2, j 2, j +2 2, j 2 2,..., j +( 2 )2, j ( 2 )2 Beispiel: =ud j = h(x) =7 Sodierugsfolge: 2 = 23 = 9 = 32 = 8 = 7, 8, 6,, 3, 6, 7, 4, 0, 3,, 43 = 29 = 56 = 42 = 7 = 57 = 88 = 74 = 5, 9, 8, 5, 4, 0, 2, 2 23/33 24/33

7 Quadratisches Sodiere Doppeltes Frage: Ist t(,j)für alle j ud bijektiv? Nei, aber ier we 3 od 4 ud eie Prizahl ist (Beweis: Zahletheorie) Besser als lieares Sodiere, aber für großes sid die erste Werte och ah a j Sei h (x) x od ud h 2 (x) x od ( 2) +. i-te Positio für x: h (x)+i h 2 (x) od, i Beispiel: =ud x =47 h (47) 47 od = 9 ud h 2 (47) 47 od 7 + = 4 Sodierugsfolge: 9, 4, 8, 3, 8, 3, 7, 2, 7, 2, 6,, 6,, 5, 0, 5, 0, 4 Doppeltes kot de ideale a ächste. 25/33 26/33 Aalyse Ideales, erfolglose Suche Aalyse der Kollisiosstrategie schwierig Wege otwediger Modellierug der Clusterbildug ist z.b: Durchschittsaalyse für Lieares Sodiere icht gaz eifach. Zeit für erfolgreiche Suche /2( + β ) it β := / Zeit für erfolglose Suche /2( + ) ( β) 2 Beispiel: Auslastug 95% Erfolgreiche Suche: durchschittlich 0, 5 Positioe Erfolglose Suche: durchschittlich 200, 5 Positioe Erfolglose Suche bei ideale : Hashtabelle icht voll, d. h. +, Date abgespeichert f(, ) := erwartete Suchzeit. it W.keit Suche a Positio t(0,h(x)) Wahrscheilichkeit ( )/: Positio leer, Restkoste 0 Wahrscheilichkeit /: Positio besetzt, erwartete Restkoste f(, ) (Resttabelle der Läge ethält zufällig verteilte Date.) Ideales aalysiere, u Greze auszulote 27/33 28/33

8 Ideales, erfolglose Suche Also f(, ) = + 0+ f(, ) = + f(, ) = + ( + = + + M ) f( 2, 2) ( + 2 f( 3, 3) 2 = Ausprobiere, rate,... Ud jetzt? ) 29/33 Ideales, erfolglose Suche f(, ) = + + ( β ) Beweis durch Iduktio über : =0: f(0,) = ud =. : f(, ) = + f(, ) I.V. = + ( ) = + + = + +. Für 0, 95 ( +)i Schitt 20 Positioe (Ersparisfaktor 0 gegeüber lieare Sodiere) 30/33 Ideales, erfolgreiche Suche Erfolgreiche Suche bei ideale : Gesuchtes Datu x wurde als k-tes Datu eigefügt. Erfolgreiche Suche ach x verläuft bis zu Fide vo x idetisch zu der erfolglose Suche ach x direkt vor de Eifüge vo x. Also k besetzte Stelle erwartete Suchzeit + + (k ) We jedes der Date it Wahrscheilichkeit gesucht wird, beträgt die erwartete Suchzeit + k+2. k 3/33 Ideales, erfolgreiche Suche k ( + k+2 = ) + }{{} P ı + ı P ı + Die erwartete Zeit eier erfolgreiche Suche bei ideale beträgt + (H( +) H( +)) + /β l β (l( +) l( +))= + ı l + + Für 0, 95 ( +)i Schitt 3, 5 Positioe (Ersparisfaktor größer als 3 gegeüber lieare Sodiere) 32/33

9 Uiverselles Uiverselles Proble Trotz hervorrageder average-case Koplexität vo Θ() sehr schlechtes worst-case Verhalte (alle aktuelle Schlüssel auf dieselbe Adresse der Hashtabelle) Θ(). Beobachtug: Bei festgelegter Hashfuktio bestite Schlüsselege, die dieses ugüstige Verhalte hervorrufe ka. Ausweg: Zur Laufzeit zufällig Hashfuktio aus Klasse vo (it besodere Eigeschafte) auswähle. Für jede Schlüsselege S U gutes Laufzeitverhalte i Mittel (bezoge auf Zufallsauswahl der Hashfuktio). 33/33