Handlungsorientierter Mathematikunterricht. PROST Problemorientierte Stochastik für realistische und relevante Handlungssituationen

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1 M U E D Handlungsorientierter Mathematikunterricht PROST Problemorientierte Stochastik für realistische und relevante Handlungssituationen Antonius Warmeling Stochastik-Sammlung 2 Von Verteilungen, vom Schätzen und vom Testen im Alltag SAMMLUNGEN

2 Inhalt Vorwort 3 Vorschlag für einen Unterrichtsgang in PROblemorientierter Stochastik4 Stichwort: Verteilungen 5 1. Rauchen gefährdet die Gesundheit 8 2. Jugendliche und Skinheads Umwelt und Allergien Vorsorgeuntersuchungen (1) Vorsorgeuntersuchungen (2) Rauchen und Tod Geburtstagsfeier Down-Syndrom und radioaktive Strahlung Ach du dicke Pumpe Stichwort: Schätzen Gesundheit (1) Gesundheit (2) Zukunftsängste Sexappeal 32 Stichwort: Testen Hypothesentest Fehlerbetrachtungen Indische Yoga-Technik gegen Schnupfen Sicherheit von Kindern im Auto Sicherheit von Kindern auf der Straße Linkshändigkeit Säuglingstod Verbessert Übung die Fähigkeiten? Reflexionen über den Hypothesentest Die Bejenkorf-Frauen 67 Stichwort: PC-Nutzung 69 Die MUED-Stochastik AG Heinz Böer, Antonius Warmeling hat unter Nutzung der Materialpools der MUED diese Beispiele entwickelt und sie im Unterricht erprobt. Stochastik-Sammlung 2 4. Auflage Nottuln-Appelhülsen 2008 ISBN ,00 Copyright bei den Autor/innen Vervielfältigung für schulische Zwecke erlaubt. Sammlung Stochastik 2 Seite 2

3 Vorwort Mit dieser Sammlung von kleineren Beispielen für den Stochastikunterricht der Sekundarstufe II möchten wir Interessantes, Relevantes und auch Witziges vorstellen, das wir in unserem Unterricht benutzt haben, und Sie einladen, einiges davon selbst auszuprobieren. Das Material knüpft an die Stochastik-Broschüre PROST I an und behandelt in drei großen Abschnitten Verteilungen sowie mit Schätzen und Testen Verfahren aus dem Bereich der beurteilenden Statistik. Jeder dieser drei Blöcke wird durch kurze Erläuterungen zu den mathematischen Grundlagen eingeleitet. Inhaltlich werden zum größten Teil Themen aufgegriffen, die die jungen Erwachsenen entweder selbst betreffen (z. B. Rauchen, Umwelt und Allergien, Zukunftsängste) oder als zukünftige Mütter und Väter (z. B. Vorsorgeuntersuchungen, Sicherheit von Kindern im Straßenverkehr) interessieren sollten. Die Daten und Kontexte sind natürlich nach einiger Zeit veraltet und sollten daher bei Bedarf ersetzt bzw. neu recherchiert werden. Mathematisch geht es im ersten Block um Problemstellungen, die mit Hilfe der üblicher Weise in der Schule behandelten Verteilungen bearbeitet werden können. Den ersten Beispielen liegen binomialverteilte Zufallsgrößen zugrunde, die sich wegen des hohen Stichprobenumfangs aber nur entweder mit Hilfe von Näherungsverfahren oder von Computerprogrammen bearbeiten lassen. Dann folgen Beispiele zu normal- und poissonverteilten Zufallsgrößen. Aus dem Rahmen fällt lediglich die Aufgabe zur Untersuchung von Ausfallwahrscheinlichkeiten von Pumpen. Dieses Beispiel soll zeigen, dass nicht jede Messwertreihe normalverteilt sein muss. Beim Schätzen gibt es Beispiele zu den drei üblichen Fragestellungen: Welche Aussage liefert eine Stichprobe über die Grundgesamtheit? Wie kann ich beurteilen, ob eine Stichprobe ungewöhnlich ist? Wie groß muss eine Stichprobe sein, um eine geforderte Genauigkeit zu erbringen? Der Schwerpunkt im Bereich beurteilende Statistik liegt sicherlich im Bereich Testen. Hier gibt es neben den kontextgestützten Aufgabenstellungen auch zwei Beispiele zum experimentellen Test: Verbessert Übungen die Fähigkeiten? Dringend gesucht aber nicht gefunden haben wir ein Beispiel, bei dem das nicht gelingt. Daneben gibt es auch ausführliche Überlegungen zu Fehlerbetrachtungen und zur Konstruktion des Hypothesentests selbst. Den Abschluss bildet eine Aufgabe, die alle Bereiche verknüpft. Sie soll Ideen für die Konstruktion von Abituraufgaben liefern. Alle Arbeitsblätter sind einzeln nutzbar. Zum Teil haben wir sie im Unterricht - ergänzt um weitere kurze Beispiele jedoch auch als "Freiarbeits"-Übungskartei benutzt. Dazu standen die kopierten Aufgaben in einem Kasten oder Ordner. Ein Inhaltsverzeichnis mit Titelangabe und Schwierigkeitsgrad sollte die Auswahl für die SchülerInnen erleichtern. Die Lösungen waren zur Selbstkontrolle ebenfalls einsehbar. Viele Problemstellungen aus der Stochastik liefern Gelegenheiten, über den Tellerrand des Faches hinaus zu schauen. Dies kann z. B. durch Diskussionen oder Rollenspiele zum Thema innerhalb des Kurses geschehen oder aber durch eine fächerverbindende Behandlung. Dazu kommen Recherchen wegen der z. T. nicht befriedigenden Datenlage (z. B. Linkshändigkeit) oder auch eigene Erhebungen (z. B. zur Sicherheit von Schulkindern). Alle Materialien sind im Arbeitszusammenhang der MUED entstanden und mehrfach erprobt. Die Reaktionen der SchülerInnen auf die realistischen oder auch witzigen Problemstellungen waren durchweg positiv. Wir wünschen Ihnen mit dem Material den Spaß und das Interesse, das wir und viele unserer SchülerInnen im Unterricht hatten. Sammlung Stochastik 2 Seite 3

4 Haben linkshändige Kinder mehr Unfälle? Linkshändige Kinder haben mehr Unfälle dpa. Linkshändige Kinder sind häufiger Opfer von Unfällen als ihre rechtshändigen Altersgenossen. Nach neuesten Forschungsergebnissen amerikanischer Kinderärzte der Universität von Arkansas manchen Linkshänder knapp ein Fünftel aller Kinder aus, die wegen Schnitten, Abschürfungen, Prellungen und Knochenbrüchen behandelt werden müssen. Unter allen anderen jungen Patienten ist nur jedes zehnte Kind linkshändig. Ihre Befunde wurden jetzt im Fachblatt "Pediatrics" veröffentlicht. Der Kinderarzt Charles Graham, der mit seinen Kollegen 759 Kinder untersuchte, kann das Phänomen noch nicht erklären. "Ich vermute, dass es sich um eine Kombination von biologischen Unterschieden zwischen Rechts- und Linkshändern und verschiedenen Umwelteinflüssen handelt", ist seine Annahme. Nach früheren Untersuchungen ist das Gehirn bei Linkshändern anders strukturiert als bei Rechtshändern. Hinzu komme, so Graham, dass die jungen Linkshänder wohl Anpassungsschwierigkeiten an eine für Rechtshänder organisierte Welt hätten. Deshalb sollten die Eltern linkshändiger Kinder bei der Erziehung ihren Nachwuchs besonders auf mögliche Gefahren hinweisen, die zum Beispiel von Scheren für Rechtshänder drohen. Weserkurier vom Die Ergebnisse des Kinderarztes Dr. Graham sollen in der örtlichen Kinderklinik überprüft werden. Dazu werden 100 Unfälle von Kindern mit Schnitten, Abschürfungen, Prellungen und Knochenbrüchen daraufhin ausgewertet, ob die beteiligten Kinder Rechts- oder Linkshänder/innen waren. Aufgaben: a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass unter 759 amerikanischen unfallverletzten Kindern mindestens ein Fünftel linkshändig ist und interpretierte das Ergebnis. b) Entwickle einen Hypothesentest mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 % zur These in der Überschrift und gib ein Entscheidungskriterium an. Setze voraus, dass in Deutschland der Anteil der linkshändigen Kinder genau so groß ist wie in den USA. c) Welche Fehler können bei diesem Test gemacht werden? Tatsächlich finden sich 19 linkshändige Kinder unter den untersuchten. Wie entscheidest du dich? Wie groß ist der β-fehler, wenn p real bei 0,2 liegt? d) Es gibt Untersuchungen (z. B. bei bayrischen Grundschulkindern), dass der tatsächliche Anteil der Linkshänder in Deutschland bei 20 % und mehr liegt. Die Schwierigkeit liegt in der Feststellung der Händigkeit. Häufig wird bei Untersuchungen einfach geschaut, ob ein Mensch mit der rechten bzw. linken Hand schreibt. Warum führt dies zu Fehlinterpretationen? Wie groß ist für einen Linkshänderanteil von 20 % die Wahrscheinlichkeit, dass unter 100 Unfallopfern höchstens 19 linkshändige Kinder sind? aufsummierte Binomialverteilung für n = 100 k p = 0,1 0,7030 0,8018 0,8761 0,9274 0,9601 0,9794 0,9900 0,9954 0,9980 p = 0,2 0,0126 0,0253 0,0469 0,0804 0,1285 0,1923 0,2712 0,3621 0,4602 Sammlung Stochastik 2 Seite 51

5 Mit dieser zweiten Sammlung für den Stochastikunterricht in der Sekundarstufe II haben Sie einen Fundus von interessanten, relevanten, witzigen und erstaunlichen Beispielen in den Händen, die wir für den Unterrichtsalltag entwickelt haben. Wie kann ich die Messwerte interpretieren, die bei einer Vorsorgeuntersuchung ermittelt werden? Kann ich die Stichprobe zur Gesundheit der Schüler und Schülerinnen unserer Schule auf die ganze Stadt hochrechnen? Wie kann ich testen, ob die Autofahrer auf unsere Schulkampagne zur Tempo 30-Zone reagieren? Welche Fehler kann ich bei einem solchen Test machen? In den vielen Beispielen geht es um Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe verschiedener Verteilungen Näherungsverfahren bei binomialverteilten Zufallsgrößen Berechnung von Konfidenzintervallen oder Stichprobenumfang Anwendung und Fehlermöglichkeiten beim Hypothesentest ISBN ,00