9.1 Berechnung der großkanonischen Zustandssumme
|
|
- Hertha Färber
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 9 Ideale Quantengase Bei tiefen Temperaturen T und/oder hohen Dichten N zeigen ideale Gase Abweichungen vom klassischen erhalten P = N. Diese werden aber nicht wie bei der vdw- Gleichung durch Wechselwirkung der Gasteilchen verursacht, sondern sind Quanteneffekte wechselwirkungsfreier Teilchen. Daher der Name ideale Quantengase. 9. Berechnung der großkanonischen Zustandssumme Die in Abschnitt 8. beschriebenen Probleme beim Abzählen der Mikrozustände bei tiefen Temperaturen lassen sich mit der großkanonischen Gesamtheit bewältigen. 9.. Besetzungszahlen Da die gleichartigen Teilchen (Atome, Moleküle, Elektronen, etc. eines Quantengases nicht unterscheidbar sind, ist ein Mikrozustand σ vollständig charakterisiert durch den Satz {n (σ,n (σ,...} der Besetzungszahlen n (σ i aller (Ein- Teilchenzustände i =,,3,.... Während also in Kapitel 8 der Index i die verschiedenen (unterscheidbaren Teilchen (i =,..., N durchnummerierte, kennzeichnet er jetzt die verschiedenen Einteilchenzustände (i =,...,, die von diesen Teilchen besetzt werden können. Waren dort k i (σ Wellenvektor bzw. ǫ (σ i Energie des i-ten Teilchens im (N-Teilchen- Mikrozustand σ, ǫ (σ i = m k i(σ, (67 so sind jetzt k i ( bzw. ǫ i ( die entsprechenden Größen des i-ten Einteilchenzustands im vorgegebenen olumen (egal ob dieser von Teilchen besetzt ist oder nicht, ǫ i ( = m k i(. (68 Teilchenzahl N σ und Energie E σ ( im Mikrozustand σ sind jetzt gegeben durch N σ = n (σ i, E σ ( = n (σ i ǫ i (. (69 Während in der kanonischen Gesamtheit alle Mikrozustände dieselbe Teilchenzahl haben, N σ = N für alle σ, gilt in der großkanonischen Gesamtheit N σ =,,,.... 6
2 Mit Gl. (69 wird aus der großkanonischen Zustandssumme aus Gl. (33 Ξ(T,,µ = ( µ ǫ i ( exp n (σ i = x i (T,,µ n(σ i, (7 k σ B T σ mit der Abkürzung ( µ ǫi ( x i (T,,µ := exp. (7 Summation über alle Mikrozustände σ bedeutet, daß jede Besetzungszahl n i, jeweils unabhängig von allen übrigen n j (mit j i, alle erlaubten Werte n (mit n n max ; s. Abschnitt 9.. durchläuft, [ n max n max nmax Ξ(T,,µ = x i (T,,µ n i x i (T,,µ ]. n (7 n =n = n= 9.. Bose-Einstein- und Fermi-Dirac-Statistik Bezüglich der maximal möglichen Besetzungszahl n max eines Einteilchenzustands i gibt es in der Natur zwei Arten von Teilchensorten.. Bosonen (gehorchen der Bose-Einstein-Statistik, BE : n max =. In diesem Fall können also beliebig viele gleichartige Teilchen den gleichen Einteilchenzustand i besetzen. Beispiele sind He-Atome (genauer: 4 He, H -, O - und N -Moleküle, aber auch die Photonen der Hohlraumstrahlung. Damit Ξ endlich bleibt, muß jetzt gelten x i < µ < ǫ i für alle i, s. Gl. (7. Dann gilt n= xn i = x i, und wir erhalten Ξ BE (T,,µ = ( n= x n i = x i (T,,µ = e. (73 [µ ǫ i(]/. Fermionen (gehorchen der Fermi-Dirac-Statistik, FD : n max =. Jeder Einteilchenzustand i kann jetzt nur einfach besetzt oder unbesetzt sein. Beispiele für Fermionen sind 3 He-Atome, Elektronen (etwa die Leitungselektronen im Metall oder die Elektronen in einem weißen Zwergstern der Astrophysik, sowie Protonen. Jetzt folgt Ξ FD (T,,µ = ( n= x n i = [ ] +x i (T,,µ = [ ] +e [µ ǫ i(]/. (74 Nach dem Spin-Statistik-Theorem der Quantenfeldtheorie sind die Fermionen genau die Teilchen mithalbzahligemspins {, 3,...}unddieBosonengenaudiemitganzzahligem Spin s {,,,...}. 63
3 9..3 ergleich mit der Maxwell-Boltzmann-Statistik Zum ergleich mit diesen exakten Ergebnissen wollen wir aus den klassischen kanonischen Zustandssummen, zunächst für unterscheidbare Teilchen berechnet, und dann mit einem Faktor /N! näherungsweise für Ununterscheidbarkeit korrigiert, eine ähnliche Produktform der großkanonischen Zustandssumme gewinnen. Dabei finden Besetzungszahlen n (σ i und das Resultat (7 keine erwendung. ielmehr gilt jetzt N= Ξ MB (T,,µ = N= N! z MB(T, N e µn/k BT, (75 mit der kanonischen Einteilchen-Zustandssumme z MB (T, = e ǫ i(/, [ N [ N Ξ MB (T,,µ = e µ/k BT e ǫ i(/] = x i (T,,µ]. (76 N! N! Wegen N= N! un = e u folgt schließlich Ξ MB (T,,µ = e x i(t,,µ = N= e xi(t,,µ = e exp(µ ǫ i (. ( Zusammenfassung Diese insgesamt drei Fälle können also auf einfache Weise zusammengefaßt werden, Ξ(T,,µ = ( Φ x i (T,,µ, Φ(x = e x (MB, (BE, x +x (FD. (78 Man beachte, daß für x in allen drei Fällen gilt Φ(x +x. Für das große thd. Potential Ω(T,,µ ergibt sich ( Ω(T,,µ lnξ(t,,µ lnφ x i (T,,µ. (79 Die Bedeutung des chemischen Potentials µ wird in Abschnitt 9.(genauer: 9.. geklärt. In Abschnitt 9.3 (genauer: 9.3. werden wir Ω(T,, µ auswerten. Bemerkung: Dieser Ausdruck läßt sich nur im Fall MB in geschlossener Form auswerten, ( L 3 Ω MB (T,,µ = x i (T,,µ dk(4πk π e [µ k /m]/ = [ πmkb T BT 8π 3eµ/k 64 ] 3/. (8
4 Dieses Resultat ergibt sich aber schneller direkt aus Gl. (75, [ ] Ξ MB (T,,µ = exp e µ/kbt z MB (T,, (8 mit z MB (T, = und dem Ausdruck (54 für die thermische Wellenlänge λ(t, λ(t 3 [ ] 3/ Ω MB (T,,µ lnξ MB (T,,µ = e µ/k πmkb T BT. (8 (π Die partiellen Ableitungen hiervon ergeben nach Gl. (36 die Funktionen S(T,, µ, P(T,, µ und N(T,, µ. Umkehrung der letzteren liefert insbesondere das chemische Potential des klassischen idealen Gases, ( N µ MB (T,,N = ln λ(t3. (83 9. Thermische Besetzungszahlen der Einteilchenzustände 9.. Definition Im Gegensatz zu Ω(T,, µ lassen sich die (gemittelten thermischen Besetzungszahlen N i (T,,µ := σ n (σ i p σ = σ n (σ i Ξ e[ Eσ+µNσ]/k BT der Einteilchenzustände i =,, 3,... in geschlossener Form berechnen. Ihre Summe N i ist gleich der Gesamtteilchenzahl N = ( Ω N(T,,µ = µ k BT lnφ(x i = (i =,,3,... (84 µ T,, Φ (x i x i Φ(x i µ = Φ (x i Φ(x i x i, (85 wobei x i (T,,µ = exp( µ ǫ i( k B benutzt wurde. Es liegt also nahe, zu identifizieren T N i (T,,µ = Φ (x i Φ(x i x i (86 (strenge Herleitung in Abschnitt Die thermische Besetzungszahl hängt also bei gegebenen T und µ von nur über die Energie ǫ = ǫ i ( des Einteilchenzustands ab, N i (T,,µ = N(T,ǫ i (,µ; (87 m.a.w.: Hat ein Einteilchenzustand i die Energie ǫ i ( = ǫ, so hat bei gegebenen Werten von T und µ seine thermische Besetzungszahl N i (T,,µ den Wert e (ǫ µ/k BT (MB, N(T,ǫ,µ = ( BE (88. e (ǫ µ/k BT FD 65
5 9.. Chemisches Potential und Fugazität Wir drücken das chemische Potential µ durch die sog. Fugazität ζ aus, ζ := e µ/k BT µ = lnζ. (89 Dann sind die thermischen Besetzungszahlen der Einteilchenzustände gegeben durch ζe ǫ/k BT (MB, N(T,ǫ,µ = ( ζ e ǫ/k BT ζe ǫ/kbt BE (9. ζe ǫ/k BT FD Die Energien ǫ der Einteilchenzustände seien der Größe nach geordnet, mit = ǫ ( < ǫ ( ǫ 3 ( ǫ 4 (... (9 Da N i generell nicht negativ und im Fall FD nicht größer als werden kann, folgt für den maximal möglichen Wertebereich von ζ (bzw. µ Im Fall MB gilt nach Gl. (83 BE: ζ ( < µ, FD: ζ < + ( < µ < +, (9 MB: ζ N λ(t3 < + ( < µ < +. (93 Bem.: Im Grenzfall ζ verschwinden nach Gl. (9 die Unterschiede der idealen Quantengase (BE bzw. FD vom klassischen idealen Gas (MB. Mit wachsendem ζ > werden dagegen Quanteneffekte immer deutlicher. Man spricht von wachsender Entartung des idealen Gases. Maximale Entartung tritt im Fall BE bereits bei ζ = + auf, während im Fall FD ζ beliebig groß werden kann. An dieser Stelle sollten drei Abbildungen erscheinen: Abb. (µ = : Zeichne N(T,ǫ, als Funktion von ǫ, etwa für < ǫ <. Beachte dabei, daß bei ǫ = jeweils gilt N MB (T,, =, N BE (T,, = +, N FD (T,, =. (94 Das Bose-Gas ist bereits vollkommen entartet, N BE (T,ǫ, = +, während die FD- Besetzungszahlen noch nicht extrem stark vom klassischen Grenzfall MB abweichen. 66
6 Abb. (µ < : Jetzt sind die drei Kurven aus Abb. um µ nach links verschoben. (Wähle etwa µ =.5. Im physikalischen Bereich ǫ sind jetzt alle drei Kurven ähnlich. Der Limes µ (ζ entspricht dem klassischen Grenzfall. Abb. 3 (µ > : Jetzt ist N BE (T,ǫ,µ für ǫ µ nicht definiert. Die beiden anderen Kurven aus Abb. sind jetzt um µ nach rechts verschoben. Beim Fermi-Gas zeigt sich jetzt bei ǫ µ± die Fermikante Einteilchenenergien ǫ i als formal unabhängige ariable Um Gl. (86 in Strenge herzuleiten, betrachten wir vorübergehend statt des olumens die Folge {ǫ i } i N der Einteilchenenergien als unabhängig vorgegebene ariable, Ξ(T,,µ σ = σ = σ e [µnσ Eσ]/k BT ( exp j= ( exp j= n (σ j n (σ j µ ǫ j µ ǫ j ( =: ξ T,{ǫ i },µ. (95 ǫi=ǫi( Für die neue Funktion ξ(t,{ǫ i },µ, in der die Besetzungszahlen n (σ i nicht als ariable, sondern, ebenso wie die Konstante k B, als Parameter aufzufassen sind, gilt einerseits ǫ i lnξ(t,{ǫ j },µ = ǫ i ξ ξ = k BT ξ = σ = σ σ n (σ i ξ ǫ i j= ( exp j= ( exp n (σ j n (σ j µ ǫ j µ ǫ j n (σ i p σ = N i (96 und andererseits, mit x j (T,ǫ j,µ := exp( µ ǫ j, ( lnξ T,{ǫ j },µ ǫ i ǫ i lnφ( x j j= lnφ( x i = Φ ( x i x i = Φ ( x i ǫ i Φ( x i ǫ i Φ( x i x i.(97 67
7 9.3 Zustandsgrößen als Funktionen der Fugazität ζ 9.3. Die Funktionen g 3/ (ξ und g 5/ (ξ werden für < ξ < + erklärt durch die Parameterintegrale g 5/ (ξ := 4 ( dxx ln ξe x, π g 3/ (ξ := ξ d dξ g 5/(ξ = ξ 4 π = + 4 π dxx dxx d dξ ln ( ξe x ξe x ξe x ( < ξ < +. (98 Sie sind offensichtlich streng monoton steigend, mit g 3/ ( = g 5/ ( =. Da für x < + gilt: x x = ν= xν, so folgt für ξ < + g 3/ (ξ = 4 dxx (ξe x ν = ξ ν 4 dxx e νx = π π ν= Es gelten also die Entwicklungen g 3/ (ξ = ν= ξ ν ν 3/, g 5/(ξ = ν= ν= ν= ξ ν ν3/. (99 ξ ν ν 5/ ( ξ < +. (3 Daraus kann man leicht folgern, daß gilt g 3/ ( = g 5/ ( =. Außerdem haben wir g 3/ ( = R( 3 =.64, g 5/( = R( 5 =.345, (3 mit der Riemannschen Zetafunktion, die für l > gegeben ist durch R(l := ν= (und natürlich NICHTS mit der Fugazität ζ zu tun hat!. (SKIZZE: ν l Wir werden sehen: Für < ξ beschreiben diese Funktionen ein Fermigas mit Fugazität ζ = ξ, für ξ < beschreiben sie ein Bosegas mit Fugazität ζ = +ξ. 68
8 9.3. Das Potential Ω(T,,µ Aus Gl. (79 erhalten wir mit x i (T,,µ = ζe ǫ i( / Ω(T,,µ = ± i ( ( ln ζe ǫ i(/ BE FD. (3 Für großes olumen λ(t 3 wird, mit p 3 = ( k 3 = ( π L 3 = (π 3 gemäß f(ǫ i g S (π 3 ( p d 3 pf m (mit der Spinentartung g S = s+ daraus wieder ein Integral, 6 Ω(T,,µ = ±g S Wegen Ω = P folgt sofort Mit dζ dµ d dµ eµ/k BT = ζ (π 3 (g S = s+ (33 ( dp(4πp ln ζe p /m = g S λ(t 3g 5/(±ζ. (34 P(T,,µ = ±g S λ(t 3 g 5/(±ζ. (35 folgt weiter für N = ( Ω µ T, ( Ω N(T,,µ = ζ T, wegen ζ d dζ g 5/(±ζ = (±ζ d d(±ζ g 5/(±ζ = g 3/ (±ζ also dζ dµ = ±g S λ(t ζ d 3 dζ g 5/(±ζ, (36 N(T,,µ = ±g S λ(t 3g 3/(±ζ. (37 Bevor wir Gl. (37 nach µ bzw. ζ auflösen, µ = µ(t,,n, (38 und in Gl. (35 einsetzen (Abschnitt 9.4, wollen wir zuerst unabhängig davon eine allgemeine Beziehung zwischen Druck P und Energie U herleiten. 6 Ist die Bedingung Nλ(T 3 nicht erfüllt, so wird diese Integraldarstellung beim Bose-Gas unzureichend, s. Abschnitt Dann ist Gl. (37 zu ersetzen durch Gl. (
9 9.3.3 Energie U Die Funktion U(T,,µ erhalten wir aus U(T,,µ = ǫ i (N i (T,,µ = ǫ i ζe ǫ i/ ζe ǫ i/. (39 Mit ǫ i = k i /m = p i /m wird daraus für λ(t3 wieder ein Integral, U = g S (π 3 = 4π 3 π 3/k BTg S λ(t 3 dp(4πp p m { = 4 3 [ ] g S uv π λ(t 3 = 4 3 [ ] g S uv π λ(t 3 ζe p /m ζe p /m dx x3 x ζe x }{{} 3 ζe }{{ x } u(x v (x dx x }{{} u (x Im letzten Schritt haben wir Gl. (35 eingesetzt. Weiterhin gilt [ ] uv } [ ±ln ( ζe x] } {{ } v(x + 3 P. (3 [ x 3 ( = ± 3 ln ζe x] x 3 ( = ± lim x 3 ζe x x 3 ( lim x 3 ln ζ( x =. (3 Im Fall FD (unteres Z verschwinden beide Limites offensichtlich für alle möglichen Werte ζ. Dasselbe gilt im Fall BE (oberes Z; ζ, denn für den einzigen problematischen Wert ζ = haben wir den Limes x 3 lim x 3 ln(x = lim x 3 x3 lnx =. (3 Im Fall ǫ i = k i /m gilt also allgemein die Beziehung U = 3 P. (33 Im Fall anderer Dispersionsrelationen, etwa ǫ i = k i beim Photonengas der Hohlraumstrahlung, besteht dagegen in der Regel ein anderer Zusammenhang zwischen U und P. 7
10 9.4 Zustandsgleichungen Ziel dieses Abschnitts ist es, das chemische Potential µ (bzw. die Fugazität ζ zugunsten der Teilchenzahl N zu eliminieren. Dazu müssen wir Gl. (37 nach ζ auflösen, N(T,,ζ = ±g S λ(t 3g 3/(±ζ ζ = ζ(t,,n, (34 und den resultierenden Ausdruck in Gl. (35 einsetzen. Dies ergibt dann die thermische Zustandsgleichung P = P(T,,N und, mit U = 3 P, die kalorische, U = U(T,,N. Da sich N(T,, ζ nicht in geschlossener Form nach ζ auflösen läßt, betrachten wir verschiedene Grenzfälle separat Schwache Entartung Für ζ können wir in Gl. (37 die Funktion g 3/ entwickeln, ±g 3/ (±ζ = ζ ± ζ ζ3 + 3/ 3 3/ +O(ζ4 = λ(t3 N g S Inversion dieser Potenzreihe η = ζ +a ζ +a 3 ζ ergibt =: η. (35 ζ = η a η +(a a 3η = η η 3/ + ( 4 3 3/ η (36 [ k Einsetzen in Gl. (35, P(T,,µ = g B T S λ(t ζ ± ζ 3 Potenzen von η ergibt schließlich die Entwicklung P(T,,N = Nk BT 5/ + ζ3 3 5/ +O(ζ 4 ], und Sortieren nach [ η ( 5/ 3 ] η +O(η 3, η := λ(t3 N 5/ 8 g S. (37 Zur weiteren ereinfachung s. Gl. (34 bzw. Gl. (37. Wir sehen: Beim Bosegas ist gegenüber dem klassischen idealen Gas der Druck P erniedrigt. Beim Fermigas ist es infolge des Pauli-erbots genau umgekehrt. Dies ist entscheidend für das Gleichgewicht der weißen Zwergsterne in der Astrophysik. 7
11 9.4. Starke und maximale Entartung des Fermi-Gases Im Fall ζ bzw. µ gilt im Fall FD für die Besetzungszahlen Gl. (88 N FD (T,ǫ,µ e (ǫ µ/k BT + { falls ǫ < µ kb T, falls ǫ > µ+. (38 Dann sind also so gut wie alle Zustände i mit ǫ i < µ vollständig besetzt, während so gut wie alle mit ǫ i > µ+ leer sind. In dem kleinen Energieintervall ǫ µ < nimmt dann N FD (T,ǫ,µ von auf ab. Entsprechend hat die Ableitung e(ǫ µ/k BT ǫ N FD(T,ǫ,µ = [ e (ǫ µ/k BT + ] (39 bei ǫ = µ ein scharfes Minimum und ist außerhalb dieses Intervalls praktisch gleich null. Diese besonderen Eigenschaften der Funktion N FD (T,ǫ,µ werden wir ausnutzen. (A Maximale Entartung: Nullpunktsdruck Zuerst betrachten wir aber den einfachen Extremfall ζ e µ/kbt + (also T, { falls ǫ < µ, N FD (T=,ǫ,µ = (3 e (ǫ µ/k BT + T= falls ǫ > µ. Jetzt sind alle Einteilchenzustände i mit ǫ i < µ vollständig (also mit je einem Teilchen besetzt, während alle mit ǫ i > µ unbesetzt sind. Die höchste besetzte Einteilchenenergie, ǫ F = µ, (3 heißt die Fermi-Energie des Systems. Die Teilchenzahl N ist jetzt direkt berechenbar, N(,,µ = N FD (,ǫ i (,µ (ǫ i <µ = g S (π 3 pf dp(4πp = g S (π 4π p 3 F 3 3, (3 wobei der Fermi-Impuls gegeben ist durch p F /m = ǫ F. Für die Fermi-Energie gilt also ǫ F = [ 3 (π 3 N ] /3 ( 6π /3( N /3 7.6 N /3. = = m 4π g S m g S mg S /3( (33 Sie ist eine reine Funktion der Teilchendichte N. Wie man leicht nachrechnet, gilt ( 3 π /3[k ]( N /3. ǫ F ( N µ(t =,,N = B T λ(t (34 4g S 7
12 Für die Gesamtenergie ergibt sich entsprechend (als Funktion von T =, und N U(,,N = g S (π 3 pf dp(4πp p m =... = 3 5 Nǫ F. (35 Sie ist also (infolge des Pauli-Prinzips ganz wesentlich verschieden von (größer als null. Dies gilt auch für den (sog. Nullpunkts- Druck, P(,,N U 3 = N 5 ǫ F. (36 (B Starke Entartung: Sommerfeld-Entwicklung Für große aber endliche ζ untersuchen wir zunächst die Funktion g 5/ ( ζ = 4 ( dxx ln +ζe x = duu π π }{{} / ln(+e y u. (37 }{{} a (u b(u Hier wurde im zweiten Schritt x = u / substituiert und ζ = e y gesetzt, mit y. Zweifache partielle Integration (und anschließende Ersetzung u y u liefert g 5/ ( ζ = du 4 π 5 u5/ }{{} a(u e u y (+e u y } {{ } b (u 8 5 π y e u du(y +u 5/ (+e u. (38 Da die symmetrische Funktion f(u = eu (+e u = f( u mit wachsendem u exponentiell abklingt, s. Gl. (39, dürfen wir wegen y die untere Grenze y durch ersetzen. Dann ergibt die Entwicklung (y+u 5/ = y 5/ + 5 y3/ u+ 5 8 y/ u +... den Ausdruck g 5/ ( ζ = 8 [ 5 I y 5/ + 5 π 8 I y / 5 ] 8 I 4y 3/ +O(y 7/, (39 mit den Integralen I =, I = π, I 3 4 = 7π4 und, allgemein, 5 I l := duu l e u ( (+e u = l! R(l l (l =,,,... (33 Wegen y = lnζ folgt also für ζ mit k { 3, 5 } das erhalten g k( ζ (lnζ k, g 5/ ( ζ = 8 [ ] 5 π (lnζ5/ + 5π 8 (lnζ 7π4 384 (lnζ 4 +O(lnζ 6. (33 Mit g 3/ (ξ = ξ d dξ g 5/(ξ erhalten wir daraus g 3/ ( ζ = 4 3 π (lnζ3/ [ + π 8 (lnζ + 7π4 64 (lnζ 4 +O(lnζ 6 ]. (33 73
13 Nach Gl. (37 bzw. (35 gelten also die sog. Sommerfeld-Entwicklungen N(T,,ζ = g S 4 [ ] λ(t 3 3 π (lnζ3/ + π 8 (lnζ + 7π4 64 (lnζ , (333 P(T,,ζ = g S λ(t π (lnζ5/ [ + 5π 8 (lnζ 7π4 384 (lnζ Es handelt sich um Entwicklungen nach dem kleinen Parameter ]. (334 µ (lnζ. (335 Um Gl. (333 nach ζ aufzulösen, schreiben wir gemäß Gl. (34 [ 3 π λ(t 3 N ǫ F 4g S ] /3 ] = (lnζ [+ π 8 (lnζ + 7π4 /3 64 (lnζ = (lnζ [ π (lnζ + π4 7 (lnζ ]. (336 Man beachte, daß ǫ F = ǫ F ( N (N /3 eine explizit bekannte Funktion von und N ist, s. Gl. (33. Reiheninversion ergibt ] (lnζ = x [+ π x π4 45 x4 +..., x := k BT = x(t,,n. (337 ǫ F Um direkt in Gl. (334 einsetzen zu können, entwickeln wir weiter, [ (lnζ = x + π 6 x... ], (lnζ 5/ = x 5/ [ 5π 4 x + π4 8 x ]. (338 Damit findet man (durch Ausmultiplizieren für P und U = 3 P die Entwicklungen, P(T,,N = 5 ǫ N ( F [+ 5π kb T 9π 4 ( kb T 4 ] , (339 ǫ F 96 ǫ F U(T,,N = 3 ( 5 ǫ FN [+ 5π kb T 9π 4 ( kb T 4 ] (34 ǫ F 96 ǫ F Insbesondere erhalten wir die (molare spezifische Wärme bei tiefen Temperaturen, c v (T,v ( U = 3 [ 5π n T,N 5 N ] ( kb T 3, Ak B +... = γt +O (34 6 ǫ F ǫ F mit der Sommerfeld-Konstante γ = N A π k B ǫ F ( N /3. Mit der dimensionslosen Temperatur τ := k BT ǫ F lassen sich Gl. (37 für den Grenzfall schwacher Entartung (τ und Gl. (339 zum ergleich schreiben als { P(T,,N = N τ + ǫ F 3 π τ / +O(τ (τ, + (34 π 5 6 τ + 9π4 4 τ4 +O(τ 6 (τ. 74
14 9.4.3 Starke und maximale Entartung des Bose-Gases (A Sonderbehandlung des tiefsten Einteilchenzustands Die Gesamt-Teilchenzahl eines Bose-Gases, N(T,,µ = g S N BE (T,ǫ i (,µ, (343 ist die Summe der thermischen Besetzungszahlen der Einteilchenzustände, N BE (T,ǫ,µ = e (ǫ µ/k BT. (344 Das chemische Potential µ kann nicht größer sein als die kleinste Einteilchenenergie ǫ (, da sonst N BE negative Werte annehmen könnte. Wir wählen ǫ ( =. (345 Dann muß also µ sein, und für die Fugazität ζ := e µ/k BT folgt ζ. (346 Starke Entartung entspricht nun dem Grenzfall ζ. Dabei kann die Besetzungszahl N (T,,µ g S N BE (T,ǫ (,µ = g S ζ ζ (347 des tiefsten Einteilchenzustands (im Gegensatz zu allen höheren Einteilchenzuständen makroskopisch werden, Wir spalten sie daher von der Summe (343 ab, N(T,,µ = g S ζ ζ +N e(t,,µ. (348 Die Restsumme aller übrigen Besetzungszahlen läßt sich wieder als Integral schreiben N e (T,,µ = g S N BE (T,ǫ i (,µ = g S (π 3 i= dp(4πp ζ p e p /mk BT ζ. (349 Die untere Grenze p k, mit < p < π, trägt dem Ausschluß des Terms i = aus L der Summe Rechnung. Der genaue Wert von p ist eine komplizierte Funktion von T und ζ. Wir werden jedoch zeigen, daß es auf ihn gar nicht ankommt. Dazu betrachten wir zunächst den Fall ζ <. Die Funktion im Integranden, f(p = p e p /mk BT ζ 75, (35
15 verschwindet bei p = und für p. Die Bedingung f (p = führt auf die Gleichung x = ζe x, x := p m. (35 Wegen ζ < besitzt sie genau eine Lösung ˆx, mit < ˆx <. Der Integrand hat also genau ein Maximum bei ˆp = mˆx. (35 ˆx kann zwar klein aber nicht null sein. Wird also bei vorgegebener Temperatur T > das Gasvolumen = L 3 hinreichend groß gewählt, so gilt p < π L ˆp. (353 Demnach ist die genaue Wahl der unteren Integrationsgrenze ganz unwichtig. Wir können sogar p = wählen, N e (T,,µ = g S (π 3 dp(4πp ζ e p /mk BT ζ = g S λ(t g 3/(ζ. (354 3 Diese Wahl ist aber auch im Fall ζ = zulässig. Dann liegt zwar das Maximum der Funktion f(p bei ˆp =. Sie ist aber erst bei p =.5m π L auf die Hälfte abgesunken. (x =.5 ist die positive Lösung von x = e x. (355 Nach Gl. (348 gilt also ζ N(T,,ζ = g S +g S ζ λ(t g 3/(ζ. (356 }{{}}{{ 3 } N (ζ N e(t,,ζ Ähnliche Argumente führen von den Gln. (3, (34 und (35, mit P = Ω, auf P(T,,ζ = g S [ ] ln( ζ +g S λ(t g 5/(ζ = g 3 S λ(t g 5/(ζ. (357 3 [Wegen ζ = N N +g S g S N gilt hier ln( ζ = ln N g S < ln N g S, was im thd. Limes verschwindet.] Zu untersuchen ist dabei anstatt von Gl. (349 aus Gl. (34 das Integral g S (π 3 p dp(4πp ln ( ζe p /m. (358 76
16 (B Einstein-Kondensation Es ist aufschlußreich, N(T,,ζ bei festem T und als Funktion von ζ [,] zu skizzieren. Wählen wir die Masse m von 4 He-Atomen (g S =, sowie die Werte T = K und =.665m 3, so wird, mit λ(t = π /(πm /, aus Gl. (356 N(T,,ζ = ζ ζ }{{} N +g 3/ (ζ }{{}. (359 N e Beide Summanden auf der rechten Seite steigen mit ζ, beginnend mit dem Wert null bei ζ =, monoton an. Für ζ < 8 ist der zweite Term extrem dominierend. Dann übernimmt jedoch plötzlich der erste Term die Führung, da er für ζ divergiert, während der zweite Term nur den endlichen Wert.6 erreicht. ζ ζ ζ g 3/ (ζ N(T,,ζ g 3/ (ζ (genauere Werte (SKIZZE Satyendranath Bose (894 Calcutta 974 Calcutta. 77
17 Wollen wir dagegen zu vorgegebener Teilchenzahl N = (mit =.665m 3 die Fugazität ζ als Funktion der Temperatur T bestimmen, so stoßen wir auf die Gleichung Für T = 4 K wird daraus = ζ ζ }{{} N ( T + K 3/g3/ (ζ. (36 N e } {{ } = ζ ζ +8 g 3/(ζ. (36 Wegen g 3/ (.797 =.797 liegt die Lösung sehr nahe bei ζ =.797, da gegenüber dem zweiten Term in extrem starkem Maße vernachlässigbar ist. In diesem Fall gilt also N = = 3.93 N, N e = 8 g 3/ (.797 = = N. (36 Für T =.5 K ergibt sich die Gleichung = ζ ζ g 3/(ζ. (363 Jetzt muß g 3/ (ζ =.53 = g /(.99945, also ζ sein. Dann ist also der Term ζ 87 gegenüber N = ζ immer noch völlig vernachlässigbar, N N, N e N. (364 Für die nur geringfügig tiefere Temperatur T 3 =.4 K ergibt sich dagegen = ζ ζ g 3/(ζ. (365 Jetzt ist der zweite Term, selbst im günstigsten Fall mit ζ =, deutlich kleiner als N, 3.78 g 3/ ( = 9.7 <. (366 Es muß also ζ ζ 9.7 =.89 sein. Das geht nur, wenn ζ extrem nahe bei liegt, sodaß mit hoher Genauigkeit gilt g 3/ (ζ.6. Dann folgt N =.89, N e = 9.7. (367 Zusammenfassung: Während bei T =.5 K die Besetzungszahl des tiefsten Einteilchenzustandspraktischgleichnullist, nimmtsiebeit =.4KeinenmakroskopischenWertan. Die makroskopische Besetzung dieses Einteilchenzustands wird als Einstein-Kondensation bezeichnet. 78
18 Mit sinkender Temperatur T setzt Einstein-Kondensation also dann (bei T = T c ein, wenn g 3/ (ζ bereits sehr nahe an den Wert g 3/ ( R( 3 herangekommen ist, N e aber gerade noch nicht merklich unter den Hochtemperatur-Wert N abgesunken ist. Daraus folgt die Bestimmungsgleichung für die kritische Temperatur N e g S λ(t c 3 R(3 = N (368 T c = T c ( N = π ( N /3. (369 [R( 3g S] /3 mk B Für T > T c ist also N e = N; für T < T c darf in Gl. (356 g 3/ (ζ = g 3/ ( gesetzt werden, N e (T,,N = { [ ] 3/ T N falls T < T T c( N c ( N, (37 N falls T > T c ( N. DieZahlderGasteilchenimtiefstenEinteilchenzustandistN (T,,N = N N e (T,,N. (SKIZZE (C Druck, Energie und Spezifische Wärme Der Druck P ergibt sich aus Gl. (357, indem wir für T < T c den konstanten Wert ζ = einsetzen und für T > T c die Entwicklung (37 benutzen. Mit η Nλ(T3 g S ( = R( 3 λ(t3 λ(t c 3 R(3 Tc 3/ (37 T und der dimensionslosen Temperatur τ := T T c erhält man P(T,,N = Nk BT c { R(5/ R(3/ τ5/ (τ, τ R(3/ τ R( 3 5/ ( +O(τ 7/ (τ. (37 3 5/ 8 τ 79
9.1 Berechnung der großkanonischen Zustandssumme
9 Ideale Quantengase Bei tiefen Temperaturen T und/oder hohen Dichten N zeigen ideale Gase Abweichungen vom klassischen erhalten P = N. Diese werden aber nicht wie bei der vdw- Gleichung durch Wechselwirkung
Mehr10 Ideale Quantengase
1 Ideale Quantengase Bei tiefen Temperaturen T und/oder hohen Dichten N zeigen ideale Gase Abweichungen vom klassischen erhalten P = Nk B T. Diese werden aber nicht wie bei der vdw- Gleichung durch Wechselwirkung
Mehr8 Das klassische ideale Gas
8 Das klassische ideale Gas 8.1 Unterscheidbare Atome Gleichartige Atome (etwa zwei He-Atome) sind in der Quantenmechanik grundsätzlich nicht unterscheidbar. Wir wollen dies jedoch zunächst ignorieren,
MehrKlausur-Musterlösungen
Klausur-Musterlösungen 9.7.4 Theoretische Physik IV: Statistische Physik Prof. Dr. G. Alber Dr. O. Zobay. Der in Abb. dargestellte Kreisprozess wird mit einem elektromagnetischen Feld ausgeführt. Abb..
MehrProseminar: Theoretische Physik. und Astroteilchenphysik. Fermi- und Bose Gase. Thermodynamisches Gleichgewicht
Proseminar: Theoretische Physik und Astroteilchenphysik Thermodynamisches Gleichgewicht Fermi- und Bose Gase Inhalt 1. Entropie 2. 2ter Hauptsatz der Thermodynamik 3. Verteilungsfunktion 1. Bosonen und
MehrModerne Theoretische Physik IIIa WS 18/19
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik IIIa WS 8/9 Prof. Dr. Alexander Mirlin Lösungen zu Blatt 7 Dr. Stefan Rex Besprechung: 9..9.
MehrModerne Theoretische Physik III (Theorie F Statistische Mechanik) SS 17
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik III (Theorie F Statistische Mechanik) SS 7 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung: Blatt
MehrModerne Theoretische Physik III (Theorie F Statistische Mechanik) SS 17
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik III (Theorie F Statistische Mechanik) SS 7 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung: Blatt
MehrVorlesung Statistische Mechanik: N-Teilchensystem
Virialentwicklung Die Berechnung der Zustandssumme bei realen Gasen ist nicht mehr exakt durchführbar. Eine Möglichkeit, die Wechselwirkung in realen Gasen systematisch mitzunehmen ist, eine Entwicklung
MehrTheorie der Wärme Musterlösung 11.
Theorie der Wärme Musterlösung. FS 05 Prof. Thomas Gehrmann Übung. Edelgas im Schwerefeld Berechne den Erwartungswert der Energie eines monoatomaren idealen Gases z. B. eines Edelgases in einem zylindrischen
MehrSeminar für Fragen der Festkörpertheorie. P.N. Racec
Seminar für Fragen der Festkörpertheorie P.N. Racec WS2003/2004 2 Contents Spezialthemen in Festkörperphysik 5. Fermi-Dirac Verteilungsfunktion........................ 6.2 Bose-Einstein Verteilungsfunktion.......................
MehrT4p: Thermodynamik und Statistische Physik Prof. Dr. H. Ruhl Übungsblatt 3 Lösungsvorschlag
T4p: Thermodynamik und Statistische Physik Prof. Dr. H. Ruhl Übungsblatt 3 Lösungsvorschlag 1. Extremwerte unter Nebenbedingungen In der Vorlesung wurden die mittleren Besetzungszahlen für verschiedene
Mehr5 Bose-Einstein-Kondensation. Suprafluidität
Prof. Dr. A. Muramatsu Fortgeschrittene Quantentheorie WS / 9 5 Bose-Einstein-Kondensation. Suprafluidität Wie im Fall der Fermionen betrachten wir in diesem Kapitel zunächst nicht wechselwirkende Bosonen.
MehrÜbungen zu Moderne Theoretischen Physik III SS Maxwell-Boltzmann-Gas: großkanonisches Ensemble (5+5+5=15 Punkte, schriftlich)
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Übungen zu Moderne Theoretischen Physik III SS 016 Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 6 PD Dr. B. Narozhny, P. Schad Lösungsvorschlag
MehrFerienkurs Experimentalphysik 4
Ferienkurs Experimentalphysik 4 Vorlesung 5 Quantenstatistik Florian Lippert & Andreas Trautner 31.08.2012 Inhaltsverzeichnis 1 Quantenstatistik 1 1.1 Vorüberlegungen............................... 1 1.2
MehrStatistische Mechanik
David H. Trevena Statistische Mechanik Eine Einführung '«WO«.»vmo i; Übersetzt von Thomas Filk VCH Weinheim New York Basel Cambridge Tokyo Inhaltsverzeichnis Vorwort von H. N. V. Temperley Vorwort des
Mehr9.6 Photonen und Phononen
9.6 Photonen und Phononen Wir betrachten nun zwei physialisch sehr unterschiedliche Systeme, deren statistische Behandlungen in mathematischer Hinsicht jedoch sehr ähnlich sind. Das eine System ist das
MehrKlausur zur Statistischen Physik SS 2013
Klausur zur Statistischen Physik SS 2013 Prof. Dr. M. Rohlfing Die folgenden Angaben bitte deutlich in Blockschrift ausfüllen: Name, Vorname: geb. am: in: Matrikel-Nr.: Übungsgruppenleiter: Aufgabe maximale
MehrErreichte Punktzahlen: Die Bearbeitungszeit beträgt 3 Stunden.
Fakultät für Physik der LMU München Prof. Ilka Brunner Michael Kay Vorlesung T4, WS11/12 Klausur am 18. Februar 2012 Name: Matrikelnummer: Erreichte Punktzahlen: 1 2 3 4 5 6 Hinweise Die Bearbeitungszeit
MehrModerne Theoretische Physik III (Theorie F Statistische Mechanik) SS 17
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik III (Theorie F Statistische Mechanik SS 7 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung: Blatt 6
MehrRepetitorium QM 1 - Tag 5
Thermodynamik und 4. März 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Thermodynamik Hauptsätze der Thermodynamik 2 Zustandsgrößen Thermodynamik Hauptsätze der Thermodynamik Ziel: Beschreibung des makroskopischen Gleichgewichtszustandes
MehrE 3. Ergänzungen zu Kapitel 3
E 3. Ergänzungen zu Kapitel 3 1 E 3.1 Kritisches Verhalten des van der Waals Gases 2 E 3.2 Kritisches Verhalten des Ising Spin-1/2 Modells 3 E 3.3 Theorie von Lee und Yang 4 E 3.4 Skalenhypothese nach
MehrOpto-elektronische. Materialeigenschaften VL # 3
Opto-elektronische Materialeigenschaften VL # 3 Vladimir Dyakonov dyakonov@physik.uni-wuerzburg.de Experimental Physics VI, Julius-Maximilians-University of Würzburg und Bayerisches Zentrum für Angewandte
MehrBose-Einstein Kondensation und Fermigase. 1924/25 Theorie: S.Bose, A.Einstein Experiment: E.Cornell, C.Wieman, W.Ketterle
Bose-Einstein Kondensation und Fermigase 1924/25 Theorie: S.Bose, A.Einstein 1995 Experiment: E.Cornell, C.Wieman, W.Ketterle Bose-Einstein Kondensation und Fermigase Theorie Quantengase und Grundzüge
MehrFermi-Dirac-Verteilung
Fermi-Dirac-Verteilung Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = e (ε µ)/k B T + 6.7.23 Michael Buballa Fermi-Dirac-Verteilung Besetzungsfunktion pro innerem Freiheitsgrad: n(ε) = e (ε µ)/k
Mehr10.6 Mehratomige ideale Gase
10.6 Mehratomige ideale Gase Wir wenden uns jetzt dem Problem molekularer idealer Quantengase zu. 10.6.1 Quantenmechanik der starren Hantel Eine starre Hantel aus zwei Punktmassen m 1 und m 2, die durch
MehrAuswahl von Prüfungsfragen für die Prüfungen im September 2011
Auswahl von Prüfungsfragen für die Prüfungen im September 2011 Was ist / sind / bedeutet / verstehen Sie unter... Wie nennt man / lautet / Wann spricht man von / Definieren Sie... Die anschließenden Fragen
MehrStirling sche Näherungsformel
Stirling sche Näherungsformel ln(n!) N ln(n) N für N 6.5.22 Michael Buballa Stirling sche Näherungsformel ln(n!) = N ln(k) k= N dx ln(x) = (x ln(x) x) N = N ln(n) N 6.5.22 Michael Buballa Stirling sche
Mehre βεa = 1 β eα Z 1 (β,v ), über die allgemeine Beziehung e αn Z (kl) N (β,v )
Im Limes e α lautet das großkanonische Potential XII.29) Ωβ,,α)= ln ± e α βεa β β eα a a e βεa = β eα Z β, ), XII.62) mit Z β, ) der kanonischen Zustandssumme für ein Teilchen. Der ergleich mit der allgemeinen
MehrErreichte Punktzahlen: Die Bearbeitungszeit beträgt 3 Stunden.
Fakultät für Physik der LMU München Prof. Ilka Brunner Dr. Andres Collinucci Vorlesung T4, WS10/11 Klausur am 16. Februar 2011 Name: Matrikelnummer: Erreichte Punktzahlen: 1 2 3 4 5 6 Hinweise Die Bearbeitungszeit
Mehr13.5 Photonen und Phononen
Woche 11 13.5 Photonen und Phononen Teilchen mit linearem Dispersionsgesetz: E = c p, c - Ausbreitungsgeschwindigkeit (Licht- oder Schallgeschwindigkeit). 13.5.1 Photonen Quantisierung der Eigenschwingungen
MehrÜbungen zu Moderne Theoretischen Physik III SS Maxwell-Verteilung: (30 Punkte, schriftlich)
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Übungen zu Moderne Theoretischen Physik III SS 06 Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 4 PD Dr. B. arozhny, P. Schad Lösungsvorschlag.
MehrT2 Quantenmechanik Lösungen 2
T2 Quantenmechanik Lösungen 2 LMU München, WS 17/18 2.1. Lichtelektrischer Effekt Prof. D. Lüst / Dr. A. Schmidt-May version: 12. 11. Ultraviolettes Licht der Wellenlänge 1 falle auf eine Metalloberfläche,
MehrStatistik und Thermodynamik
Klaus Goeke Statistik und Thermodynamik Eine Einführung für Bachelor und Master STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER Inhaltsverzeichnis I Grundlagen der Statistik und Thermodynamik 1 1 Einleitung 3 2 Grundlagen der
MehrÜbungen zu Moderne Theoretischen Physik III SS Curie-Paramagnetismus ( =30 Punkte, schriftlich)
Karlsruher Institut für echnologie Institut für heorie der Kondensierten Materie Übungen zu Moderne heoretischen Physik III SS 06 Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 5 PD Dr. B. Narozhny, P. Schad Lösungsvorschlag.
MehrVirialentwicklung. Janek Landsberg Fakultät für Physik, LMU München. Janek Landsberg. Die Virialentwicklung. Verschiedene Potentiale
Die Warum Fakultät für Physik, LMU München 14.06.2006 Die Warum 1 Die Der zweite Virialkoeffizient 2 Hard-Sphere-Potential Lennard-Jones-Potential 3 Warum 4 Bsp. Hard-Sphere-Potential Asakura-Oosawa-Potential
Mehr1.1 Vorbemerkung: Konvergenz von Reihen. g = lim. n=0. n=0 a n sei konvergent und schreibt. a n = g. (2) n=0
1 Taylor-Entwicklung 1.1 Vorbemerkung: Konvergenz von Reihen Gegeben sei eine unendliche Folge a 0,a 1,a,... reeller Zahlen a n R. Hat der Grenzwert g = lim k a n (1) einen endlichen Wert g R, so sagt
MehrStatistische Physik - Theorie der Wärme (PD Dr. M. Falcke)
Freie Universität Berlin WS 6/7 Fachbereich Physik 4..6 Statistische Physik - Theorie der Wärme (PD Dr. M. Falcke) Übungsblatt 7: Dichtematrix, Variationsprinzip Aufgabe (5 Punkte) Betrachten Sie ein Gas
MehrTheoretische Physik 25. Juli 2013 Thermodynamik und statistische Physik (T4) Prof. Dr. U. Schollwöck Sommersemester 2013
Theoretische Physik 25. Juli 2013 Thermodynamik und statistische Physik (T4) Klausur Prof. Dr. U. Schollwöck Sommersemester 2013 Matrikelnummer: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 Summe Punkte Note: WICHTIG! Schreiben
MehrÜbungen zur Theoretischen Physik F SS Ideales Boltzmann-Gas: ( =25 Punkte, schriftlich)
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Übungen zur Theoretischen Physik F SS 2016 Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 2 Dr. B. Narozhny, Dipl.-Phys. P. Schad Lösungsvorschlag
MehrPhysikdepartment. Ferienkurs zur Experimentalphysik 4. Daniel Jost 10/09/15
Physikdepartment Ferienkurs zur Experimentalphysik 4 Daniel Jost 10/09/15 Inhaltsverzeichnis Technische Universität München 1 Kurze Einführung in die Thermodynamik 1 1.1 Hauptsätze der Thermodynamik.......................
MehrRuprecht-Karls-Universität Heidelberg Vorbereitung zur Diplomprüfung Theoretische Physik
Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg Vorbereitung zur Diplomprüfung Theoretische Physik begleitend zur Vorlesung Statistische Mechanik und Thermodynamik WS 2006/2007 Prof. Dr. Dieter W. Heermann erstellt
MehrNotizen zur statistischen Physik
Notizen zur statistischen Physik Kim Boström Begriffe der hermodynamik System: Gedanklich und im Prinzip operativ abtrennbarer eil der Welt. Physik ist das Studium der Eigenschaften von Systemen. Umgebung:
MehrLösungen der Aufgaben zu Kapitel 9
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Abschnitt 9. Aufgabe a) Wir bestimmen die ersten Ableitungen von f, die uns dann das Aussehen der k-ten Ableitung erkennen lassen: fx) = x + e x xe x, f x) = e x e x
MehrVan der Waals-Theorie und Zustandsgleichung
Van der Waals-Theorie und Zustandsgleichung Eine verbesserte Zustandsgleichung für klassische Gase bei höheren Dichten liefert die Van der Waals-Gleichung. Diese Gleichung beschreibt auch den Phasenübergang
MehrKapitel 5. Kanonisches Ensemble. 5.1 Herleitung 1; E 1 =? 2; E 2 =?
Kapitel 5 Kanonisches Ensemble 5.1 Herleitung Abgesehen von der Legendre-Transformation S(E,, N) F (T,, N) besteht noch eine weitere Möglichkeit, die freie Energie zu berechnen, und zwar wiederum mittels
MehrModerne Theoretische Physik IIIb 2019
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik IIIb 09 Prof Dr Alexander Mirlin Lösungen zu Blatt PD Dr Igor Gornyi, Dr Stefan Rex Besprechung:
MehrNachklausur zur Vorlesung Theoretische Physik in zwei Semestern II. Musterlösungen
UNIVERSITÄT ZU KÖLN Institut für Theoretische Physik Wintersemester 005/006 Nachklausur zur Vorlesung Theoretische Physik in zwei Semestern II Musterlösungen 1. Welche experimentellen Tatsachen weisen
MehrÜbungen zur Nichtgleichgewichtsthermodynamik Blatt 5 Lösungen
Prof. C. Greiner, Dr. H. van Hees Wintersemester 2015/2016 Übungen zur Nichtgleichgewichtsthermodynamik Blatt 5 Lösungen Aufgabe: Entropie und H-Theorem Betrachten Sie ein ideales Quantengas in einem großen
MehrIdeale Quantengase und Phasenübergänge
5 Ideale Quantengase und Phasenübergänge Ziel dieses Abschnittes ist die Bestimmung td. Eigenschaften wichtiger Modellsysteme durch Berechnung der (großkanonischen) Zustandssumme. Eine quantenmechanische
MehrPhysik IV Übung 4
Physik IV 0 - Übung 4 8. März 0. Fermi-Bose-Boltzmann Verteilung Ein ideales Gas befinde sich in einer Box mit Volumen V = L 3. Das Gas besteht entweder aus Teilchen, die die Bose-Einstein oder Fermi-Dirac
MehrStatistische Mechanik
Kapitel 7 Statistische Mechanik 7.1 Lagrange-Multiplikatoren Fkt fx). Bedingung eines Maximums oder Minimums) df = f x)dx = 0. Fkt von n Variablen: fx 1,x 2,...,x n ). Bedingung des Maximums: Sei df x)
MehrResultate der Quantisierung der Schrödingergleichung in zwei Dimensionen.
Resultate der Quantisierung der Schrödingergleichung in zwei Dimensionen. 22. April 2010 In diesem Text werden die in der Tabelle properties of free fermions angeführten Ergebnisse erklärt und einige Zwischenschritte
Mehr30 Die Gammafunktion und die Stirlingsche Formel
3 Die Gammafunktion und die Stirlingsche Formel 35 Charakterisierung der Gammafunktion 36 Darstellung der Gammafunktion 38 Beziehung zwischen der Gammafunktion und der Zetafunktion 3 Stirlingsche Formel
Mehr6. Boltzmann Gleichung
6. Boltzmann Gleichung 1 6.1 Herleitung der Boltzmann Gleichung 2 6.2 H-Theorem 3 6.3 Transportphänomene G. Kahl (Institut für Theoretische Physik) Statistische Physik II Kapitel 6 3. Juni 2013 1 / 23
MehrBerechnung der Leitfähigkeit ( ) Anzahl der Ladungsträger im Leitungsband
8.1 Berechnung der eitfähigkeit Quantitativ wird die eitfähigkeit σ berechnet durch: adung des Elektrons Beweglichkeit der adungsträger im eitungsband ( ) σ = e µ n + µ p n Anzahl der adungsträger im eitungsband
MehrErreichte Punktzahlen: Die Bearbeitungszeit beträgt 3 Stunden.
Fakultät für Physik der LMU München Prof. Ilka Brunner Vorlesung T4p, WS08/09 Klausur am 11. Februar 2009 Name: Matrikelnummer: Erreichte Punktzahlen: 1.1 1.2 1.3 2.1 2.2 2.3 2.4 Hinweise Die Bearbeitungszeit
MehrÜbungsblatt 2 ( )
Experimentalphysik für Naturwissenschaftler Universität Erlangen Nürnberg SS 01 Übungsblatt (11.05.01) 1) Geschwindigkeitsverteilung eines idealen Gases (a) Durch welche Verteilung lässt sich die Geschwindigkeitsverteilung
Mehr8 Entropie und Unbestimmtheit
8 Entropie und Unbestimmtheit 8.1 Makrozustand und Mikrozustände Um die Funktion S(U, V, n mikroskopisch zu berechnen, betrachten wir als Beispiel eine gewisse Stoffmenge n einer chemisch reinen Substanz,
MehrThermodynamik un Statistische Mechanik
Theoretische Physik Band 9 Walter Greiner Ludwig Neise Horst Stöcker Thermodynamik un Statistische Mechanik Ein Lehr- und Übungsbuch Mit zahlreichen Abbildungen, Beispiele n und Aufgaben mit ausführlichen
Mehr1 Einführung, Terminologie und Einteilung
Zusammenfassung Kapitel V: Differentialgleichungen 1 Einführung, Terminologie und Einteilung Eine gewöhnliche Differentialgleichungen ist eine Bestimmungsgleichung um eine Funktion u(t) einer unabhängigen
Mehr1.12. MAKROSKOPISCHE ELEKTROSTATIK 87. In den vorangegangenen Abschnitten hatten wir die beiden Grundgleichungen der Elektrostatik.
.. MAKROSKOPISCHE ELEKTROSTATIK 87. Makroskopische Elektrostatik.. Polarisation, dielektrische erschiebung In den vorangegangenen Abschnitten hatten wir die beiden Grundgleichungen der Elektrostatik rot
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 6. (n+1)!. Daraus folgt, dass e 1/x < (n+
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 6 1. MC-Aufgaben (Online-Abgabe) 1. Für alle ganzen Zahlen n 1 gilt... (a) e 1/x = o(x n ) für x 0 + (b) e 1/x = o(x n ) für x 0 + (c)
MehrÜbungen zu Theoretische Physik IV
Physikalisches Institut Übungsblatt 4 Universität Bonn 02. November 2012 Theoretische Physik WS 12/13 Übungen zu Theoretische Physik IV Priv.-Doz. Dr. Stefan Förste http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/forste/exercises/ws1213/tp4
MehrÜbungen zur Theoretischen Physik Fa WS 17/18
Karlsruher Institut für echnologie Institut für heorie der Kondensierten Materie Übungen zur heoretischen Physik Fa WS 17/18 Prof Dr A Shnirman Blatt 1 PD Dr B Narozhny Lösungsvorschlag 1 Landau-Niveaus:
MehrEinführung in die Physikalische Chemie Teil 1: Mikrostruktur der Materie
Einführung in die Physikalische Chemie Teil 1: Mikrostruktur der Materie Kapitel 1: Quantenmechanik Kapitel 2: Atome Kapitel 3: Moleküle Mathematische Grundlagen Schrödingergleichung Einfache Beispiele
MehrVorlesung 21. Identische Teilchen und das Pauli-Prinzip
Vorlesung 1 Identische Teilchen und das Pauli-Prinzip Identische Teilchen: Jede Art von Teilchen in der Natur definieren wir durch ihre Eigenschaften, z.b. Massen, Spins, Ladungen usw. Das bedeutet, dass
MehrModerne Theoretische Physik III (Theorie F Statistische Mechanik) SS 17
Karlsruher Institut für echnologie Institut für heorie der Kondensierten Materie Moderne heoretische Physik III (heorie F Statistische Mechanik) SS 17 Prof. Dr. Alexander Mirlin Blatt 2 PD Dr. Igor Gornyi,
MehrEinführung in die Boltzmann-Gleichung. Flavius Guiaş Universität Dortmund
Einführung in die Boltzmann-Gleichung Flavius Guiaş Universität Dortmund Antrittsvorlesung, 19.04.2007 INHALT 1 Herleitung der Boltzmann-Gleichung 2 Boltzmann-Ungleichung und Maxwell-Verteilung 3 H-Theorem
Mehr6.2 Schwarzer Strahler, Plancksche Strahlungsformel
6. Schwarzer Strahler, Plancsche Strahlungsformel Sehr nappe Herleitung der Plancschen Strahlungsformel Ziel: Berechnung der Energieverteilung der Strahlung im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur
Mehr1 Innere Rotation von Alkanen
Physikalische Chemie II Lösung 1 25. November 216 1 Innere Rotation von Alkanen a Unter Verwendung der Energieniveaus des harmonischen Oszillators schreibt sich die Zustandssumme Q = g n e εn/kbt = = e
MehrUniversitätQ Osnabrück Fachbereich Physik Dr. W. Bodenberger
UniversitätQ Osnabrück Fachbereich Physik Dr. W. Bodenberger Statistik der Elektronen und Löcher in Halbleitern Die klassische Theorie der Leitungselektronen in Metallen ist nicht anwendbar auf die Elektronen
MehrThema 3 Folgen, Grenzwerte
Thema 3 Folgen, Grenzwerte Definition Eine Folge von reellen Zahlen ist eine Abbildung von N in R d.h. jedem n N ist eine Zahl a n zugeordnet. Wir schreiben für eine solche Folge. Beispiele. (a n ) n N
MehrLegendre Polynome. 1 2 n n! d n (( P n (x) P m (x)dx = 0 für m n.
Legendre Polynome Sei R[X] der Raum der Polynomfunktionen. Die Legendre Polynome P n R[X] sind definiert durch P n (x) = 1 d n (( x 2 1 ) n). dx n (a) P n hat genau n paarweise verschiedene Nullstellen
Mehr5. Funktional-Gleichung der Zetafunktion
5. Funktional-Gleichung der Zetafunktion 5.. Satz (Poissonsche Summenformel. Sei f : R C eine stetig differenzierbare Funktion mit und sei f(x O( x und f (x O( x für x ˆf(t : f(xe πixt dx. die Fourier-Transformierte
MehrLösung zu den Übungsaufgaben zur Lebesgueschen Integrationstheorie. Tobias Ried
Lösung zu den Übungsaufgaben zur Lebesgueschen Integrationstheorie Tobias Ried. März 2 2 Aufgabe (Messbarkeit der Komposition zweier Abbildungen). Seien (X, A), (Y, B) und (Z, C) Messräume und f : (X,
Mehra 0 +a 1 x+a 2 x n=0 a n x n := lim
1 Taylor-Entwicklung 1.1 Potenzreihen Def.: Ein Ausdruck der Form a 0 +a 1 +a +... a n n := lim k k a n n, (1) mit einer (unendlichen) Folge reeller Konstanten a 0,a 1,a,... ( Koeffizienten ) und einer
Mehr5. Die Thermodynamischen Potentiale
5. Die hermodynamischen Potentiale 5.1. Einführung der Potentiale Gibbs'sche Fundamentalgleichung. d = du + d, du + d δ Q d = = Ist die Entroie als Funktion von U und bekannt, = ( U, ) dann lassen sich
MehrProf. Dr. Peter Vogl, Thomas Eissfeller, Peter Greck. Übung in Thermodynamik und Statistik 4B Blatt 4 Lösung. P + a )
U München Physik Department, 33 http://www.wsi.tum.de/33 eaching) Prof. Dr. Peter ogl, homas Eissfeller, Peter Greck Übung in hermodynamik und Statistik 4B Blatt 4 Lösung. van der Waals Gas, Adiabatengleichung
Mehr(a), für i = 1,..., n.
.4 Extremwerte Definition Sei M R n eine Teilmenge, f : M R stetig, a M ein Punkt. f hat in a auf M ein relatives (oder lokales) Maximum bzw. ein relatives (oder lokales) Minimum, wenn es eine offene Umgebung
MehrV. Optik in Halbleiterbauelementen
V.1: Einführung V. Optik in Halbleiterbauelementen 1. Kontakt 1. 3.. 1. Kontakt Abb. VI.1: Spontane Emission an einem pn-übergang Rekombination in der LED: - statistisch auftretender Prozess - Energie
MehrThermodynamische Grundlagen
Kapitel 1 Thermodynamische Grundlagen 1.1 Einige thermodynamische Relationen Die statistische Mechanik beschreibt die Eigenschaften und das Verhalten physikalischer Systeme, die aus einer großen Anzahl
MehrModerne Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. D. Zeppenfeld, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 2 Lösung. 04. April 2017, 11:00-13:00 Uhr
KIT WS 6/7 Moderne Theoretische Physik II V: Prof. Dr. D. Zeppenfeld, Ü: Dr. M. Rauch Klausur Lösung 4. April 7, :-: Uhr Aufgabe : Störung zum zweidimensionalen harmonischen Oszillator ++7 Punkte a Die
MehrStatistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie 11
Statistische Thermodynamik I Lösungen zur Serie Verschiedenes 20 Mai 206 Barometrische Höhenformel: Betrachte die rdatmosphäre im homogenen Gravitationspotential M gz der rde Unter der Annahme, dass sich
Mehr6.2 Temperatur und Boltzmann Verteilung
222 KAPITEL 6. THERMODYNAMIK UND WÄRMELEHRE 6.2 Temperatur und Boltzmann Verteilung Im letzten Abschnitt haben wir gesehen, dass eine statistische Verteilung von Atomen eines idealen Gases in einem Volumen
Mehr4 Thermodynamik mikroskopisch: kinetische Gastheorie makroskopisch: System:
Theorie der Wärme kann auf zwei verschiedene Arten behandelt werden. mikroskopisch: Bewegung von Gasatomen oder -molekülen. Vielzahl von Teilchen ( 10 23 ) im Allgemeinen nicht vollständig beschreibbar
Mehr4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM
4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM 4 Fehlerabschätzungen und Konvergenz der FEM 153 Es sei V der Lösungsraum und V N V ein endlich dimensionaler Unterraum. Weiters sei u V die exakte Lösung und
Mehr1 Innere Rotation von Alkanen
1 Innere Rotation von Alkanen a Unter Verwendung der Energieniveaus des harmonischen Oszillators schreibt sich die Zustandssumme Q = g n e εn/kbt = = e hω/2k BT = a 0 x n e hωn+ 1 2 /k BT e hωn/kbt = e
MehrFerienkurs Quantenmechanik I WKB-Näherung und Störungstheorie
Ferienkurs Quantenmechanik I WKB-Näherung und Störungstheorie Sebastian Wild Freitag, 6.. Inhaltsverzeichnis Die WKB-Näherung. Grundlegendes............................. Tunnelwahrscheinlichkeit.......................
MehrI.1.3 b. (I.7a) I.1 Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9
I. Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9 I..3 b Arbeit einer Kraft Wird die Wirkung einer Kraft über ein Zeitintervall oder genauer über die Strecke, welche das mechanische System in diesem Zeitintervall
MehrWir gehen von nichtrelativistischen Bosonen mit dem Spin 0 und der Masse m aus. Die Einteilchenzustände mit dem Impuls p haben die Energie.
3 Ideales Bosegas Wir untersuchen das ideale Bosegas mit fester eilchenzahl. Das ideale Bosegas ist ein bemerkenswertes Modell, weil es zu einem exakt berechenbaren Phasenübergang führt, der so genannten
Mehr(1 + z 2j ) = 1 z2n+2. 1 z. (1 + z)(1 z) 1 z. 1 z. (1 + z 2j ) = 1 z. 1 z 1 z
Aufgabe Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle n N gilt (8 Punkte) n ( + z 2j ) = 2n+, wobei z C, z, eine komplexe Zahl ist Lösung [8 Punkte] Induktionsanfang: n = : ( + z 2j ) = ( + z 2 ) =
MehrTheoretische Physik F: Zwischenklausur SS 12
Karlsruher Institut für echnologie Institut für heorie der Kondensierten Materie heoretische Physik F: Zwischenklausur SS 1 Prof. Dr. Jörg Schmalian Lösungen Dr. Igor Gornyi esprechung 18.05.01 1. Quickies:
Mehr1. Begründen Sie, ob durch folgende Vorschriften reelle Funktionen y = f(x) definiert werden.
Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen Elementare Funktionen. Begründen Sie, ob durch folgende Vorschriften reelle Funktionen y = f( definiert werden. { { 2
MehrPC-Übung Nr.3 vom
PC-Übung Nr.3 vom 31.10.08 Sebastian Meiss 25. November 2008 1. Die Säulen der Thermodynamik Beantworten Sie folgende Fragen a) Welche Größen legen den Zustand eines Gases eindeutig fest? b) Welche physikalischen
MehrDie Fakultät. Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten 13. September 2003
Die Fakultät Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten www.mathe-seiten.de 3. September 2003 Dieser Artikel gibt die Definition der klassischen Fakultät und führt von dort aus zunächst zu der Anwendung in Taylor-Reihen
Mehr4.4 Die Potentialgleichung
Beispiel 29. f(z) = exp( 1 ) H(C {}) z 1 w : z n = log w + 2πin, n N lim z n = n f(z n ) = exp(log w + 2πin) = w + exp(2πin) }{{} =1 In jeder Umgebung von Null nimmt f jeden Wert w (unendlich oft) an wesentliche
MehrStatistische Physik - Theorie der Wärme (PD Dr. M. Falcke) Übungsblatt 12: Ferromagnet
Freie Universität Berlin WS 2006/2007 Fachbereich Physik 26.01.2007 Statistische Physik - heorie der Wärme PD Dr. M. Falcke) Übungsblatt 12: Ferromagnet Aufgabe 1 6 Punkte) Ein ferromagnetisches System
MehrWir wollen jetzt die Cauchys che Integralformel in mehreren Veränderlichen formulieren. (ζ 1 z 1 ) (ζ n z n ) dζ 1 (ζ 1 z 1 ) dζ n.
4 Kapitel Holomorphe Funktionen 2 Das Cauchy-Integral Wir wollen jetzt die Cauchys che Integralformel in mehreren Veränderlichen formulieren. Sei r (r,..., r n ) R n +, P P n (0, r), n (0, r), und f eine
Mehr