Mathematik II für Medieninformatiker

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1 Inhaltsverzeichnis Prof. Dr. Martin Oellrich BHT Berlin SS 200 Mathematik II für Medieninformatiker 6 Mengenlehre Begriff der Menge Darstellung von Mengen Verknüpfung von Mengen Rechenregeln für Mengen Aufbau des Zahlensystems Erweiterte Mengen Mengen von Mengen Potenzmenge Eigenschaften der Potenzmenge Hierarchie der Mengen Kartesisches Produkt Eigenschaften des kartesischen Produkts Relationen Begriff der Relation Darstellungen binärer Relationen Inversion binärer Relationen Verkettung binärer Relationen Regeln der Verkettung Struktureigenschaften binärer Relationen Äquivalenzrelationen Ordnungsrelationen Abbildungseigenschaften binärer Relationen Funktionen Elemente der Analysis Grundbegriffe Potenzfunktionen Problemstellungen Potenzfunktion Rechengesetze der Potenzfunktionen Umkehrfunktion der Potenzfunktion Ergänzungen zu Potenzfunktionen Rationale Funktionen Weitere Problemstellungen Polynome Auswertung von Polynomen Eigenschaften von Polynomen Nullstellen von Polynomen Polynomdivision Weitere Problemstellungen Gebrochen rationale Funktionen Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen Exponential- und Logarithmusfunktionen Weitere Problemstellungen Die Exponentialfunktion Eigenschaften von Exponentialfunktionen Die Logarithmusfunktion Auflösung der Problemstellungen Die Eulersche Zahl e Winkelfunktionen Weitere Problemstellungen Winkelfunktionen Eigenschaften von Winkelfunktionen Anwendungen der Winkelfunktionen Sonstige Funktionen Betragsfunktion Signum-Funktion Minimum- und Maximumfunktion Rundungsfunktionen Modulofunktion

2 Index Äquivalenz -klassen, 4 -relation, 4 Amplitude, 7 Arcusfunktionen, 67 Assoziativität, 92 Asymptote, 52 Basis einer Potenzfunktion, 28 Bernoullische Ungleichung, 56 Beschränktheit einer Folge, 80 Betragsfunktion, 72 Bildmenge, 23 Bogenmaß, 66 Codomain, 9 Cosinus-Funktion, 66 de Morgansche Regeln, 94 Definitionslücke, 49 hebbare, 5 Definitionsmenge, 23 Distributivität, 93 Divergenz einer Folge, 82 Domain, 9 e-funktion, 64 Element, 87 Eulersche Zahl e, 64 Exponent, 28 Exponentialfunktion, 55 Folge arithmetische, 79 geometrische, 79 Null-, 82 Potenz-, 79 Funktion, 22 bijektive, 24 Bild einer, 22 gebrochen rationale, 49 gerade, 30 injektive, 23 Potenzfunktion, 28 reelle, 26 surjektive, 23 Umkehr-, 24 ungerade, 30 Urbild einer, 22 Grad eines Polynoms, 37 Gradmaß, 66 Graph, 03 Grenzwert einer Folge, 82 Grenzwertsätze, 85 Grundmenge, 88 Halbwertszeit, 62 Hasse-Diagramm, 6 Hauptdiagonale, 05 Horner-Schema, 40 Identität, 04 Intervall, 26 -grenze, 26 Kante gerichtete, 03 ungerichtete, 2 kartesische Produkt, 00 Knoten, 03 Kommutativität, 92 Kongruenzrelation, 6 Konsistenz, 95 Konvergenz einer Folge, 8 Linearfaktor, 44 Logarithmus, 58 natürlicher, 64 Maximum-Funktion, 74 Menge, 87 Differenz-, 92 disjunkte, 9 Gleichheit von, 90 höherer Stufe, 97 Komplement einer, 9 leere, 87 Potenz-, 97 Schnitt-, 9 Teil-, 90 Vereinigungs-, 9 von Mengen, 97 Mengenfamilie, 98 Minimum-Funktion, 74 Modulo-Funktion, 77 Monotonie einer Folge, 79 fallende, 30 steigende, 30 Nullstelle, 44 Ordnungsrelation, 6 Ketten einer, 6 Paar geordnetes, 00 Phase, 7 Pol, 50 Polarkoordinaten, 70 Polynom, 37 Potenzmenge, 97 Reflexivität, 0 Relation Äquivalenz-, 4 binäre, 02 Graph einer, 03 inverse, 06 linkseindeutige, 20 linkstotale, 9 Matrix einer, 03 Ordnungs-, 6 rechtseindeutige, 2 rechtstotale, 20 reflexive, 0 symmetrische, Teiler-, 02 transitive, 3 Verkettung von, 07 Rundungsfunktionen, 76 Schlinge, 05 Signum-Funktion, 73 Sinus-Funktion, 66 Symmetrie, Tangens-Funktion, 66 Teilerrelation, 02 Transitivität, 3 Umkehrfunktion, 24 unbeschränkt, 8 Venn-Diagramm, 89 Vielfachheit eines Linearfaktors, 44 Wertemenge, 23 Winkel, 65 rechter, 66 Winkelfrequenz, 7 Winkelfunktionen, 66 Wurzel n., 32 Zahlen ganze, 96 natürliche, 96 rationale, 96 reelle, 96 Zahlenfolge,

3 6 Mengenlehre Die Folgerungen aus Aussagen- und Prädikatenlogik sind zahlreich. Dies ist eine davon. 6. Begriff der Menge. Eine Menge ist eine Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte zu einem Ganzen. 5 Diese Objekte heißen Elemente der Menge. Die Unterscheidbarkeit impliziert, dass eine Menge keine gleichen Objekte enthält. 2. Mengen werden mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet, Elemente mit kleinen. Ist Objekt a Element einer Menge A, schreiben wir a A, sonst a A : (a A). Die charakteristische Eigenschaft einer Menge ist die Bereitstellung ihres Elementprädikats. Das ist schon alles. Mehr kann eine Menge im Grunde nicht. 3. Die Menge ohne Elemente heißt leere Menge und hat das Symbol. Formal: x : (x 0), bzw. kürzer: x 0. Es gibt nur eine einzige leere Menge, egal welche Objekte wir als darin nicht enthalten ansehen! 6.2 Darstellung von Mengen Es gibt vier Möglichkeiten, eine Menge anzugeben. In allen Fällen muss klar sein, wie das Elementprädikat entschieden wird.. explizite Aufzählung, Beispiele: {Beuth, Gauß, Grashof, Bauwesen} {,,,,,,, } V := {a, e, i, o, u}. Das Elementprädikat kann durch eine Suche bereit gestellt werden: isin(y, A) Input: Output: Objekt y, Menge A Wahrheitswert des Prädikats y A for x A do { A aufzählen } if x = y then return true return false 5 dies ist die Definition von Georg Cantor, , deutscher Mathematiker, Begründer der modernen Mengenlehre 87 Dieser Algorithmus entspricht der mathematischen Definition y A : x A : y = x. Das Elementprädiakt wird delegiert an das Gleichheitsprädikat =, das für die betrachteten Objekte definiert sein muss. 2. implizite Aufzählung, Beispiele: {Ananas, Banane,..., Zitrone} {,2,...,n} QZ := {,4,9,6,...}. Achtung: die Fortsetzung... muss eindeutig sein oder zumindest klar erkennbar Kontext wichtig! Das obere Beispiel ist schlecht, weil mehrdeutig. Implizite Aufzählung ist meistens nur sinnvoll bei Mengen mathematischer Objekte, siehe untere Beispiele. Während die explizite Aufzählung nur für endliche Mengen geeignet ist, kann bei der impliziten die in den... versteckte Regel eine unendlich große Menge erzeugen, siehe QZ. Mehr zu Mengengrößen in Kapitel??. Das Elementprädikat wird berechnet, indem wir diesen Darstellungstyp auf den nächsten, die Beschreibung, zurück führen. Dazu müssen wir die implizite Regel als ein Prädikat ausdrücken. 3. Beschreibung, Beispiele: V = {x {a, b, c,..., z} x ist Vokal} QZ = {n N n N}. Diese Darstellung ist geeignet für Mengen A, die Teil einer bereits vorhandenen Grundmenge G (auch Kontext) sind, über der ein Prädikat a(x) definiert ist: A = { x G } {{ } Grundmenge a(x) }. }{{} Prädikat Die Grundmenge steht links, getrennt durch einen senkrechten Strich vom Prädikat. Die Menge A entsteht, indem die Grundmenge durch das Prädikat gefiltert wird wie bei einer Datenbankabfrage. Das Elementprädikat von A wird dadurch zurückgeführt auf das in G und das gegebene Prädikat: y A : (y G) a(y). Ist die Grundmenge G klar oder unwichtig, kann Sie weggelassen werden, z.b. V = {x x ist Vokal}. Der Elementname ist aber wichtig, damit das Prädikat formuliert werden kann. Er ist eine gebundene Variable, vgl.??. 88

4 Im Weiteren sei G jeweils klar, sodass wir für A = { x G a(x)} vereinfacht annehmen können: y A : a(y). Hier wird das Elementprädikat delegiert an das innere Prädikat a. 4. Konstruktion der Elemente, Beispiele: QZ = {n 2 n N} Q := { p q p Z, q N} (rationale Zahlen). Hier steht links ein Bildungsgesetz für die Elemente und rechts eine (oder mehrere) Mengen zur Aufzählung der gebundenen Variablen darin: A := { f(x) }{{} Konstruktionsformel x G } {{ } }. Grundmenge A entsteht als Menge der Ergebnisse der Formel f, in die alle Elemente von G einmal eingesetzt werden. Dabei dürfen dieselben Ergebnisse auch mehrfach erzeugt werden, wie bei Q, wo jeder Bruchwert sogar unendlich oft heraus kommt. Sie zählen aber nur einmal als Elemente. Das Elementprädikat einer konstruierten Menge hat die Form eines quantifizierten Existenzausdrucks wie bei der expliziten Aufzählung, nur dass das Element indirekt durch f gegeben ist: y A : x G : y = f(x). Für die Beispielmengen: m QZ n N : m = n 2 y Q p Z : q N : y = p q. Darstellungen von Mengen sind nicht eindeutig. Sie können ggf. ineinander überführt werden. Beispiel Quadratzahlen: QZ = {,4,9,6,...} = {n N n N} = {n 2 n N}. 6.3 Verknüpfung von Mengen Operationen zwischen Mengen leiten sich direkt aus der Prädikatenlogik her. Sie können veranschaulicht werden mit Hilfe eines Venn-Diagramms 6, s.u. Wir setzen eine gemeinsame Grundmenge G für A, B voraus und schreiben sie nicht explizit auf. 6 John Venn, , britischer Mathematiker 89. Teilmenge: jedes Element von A liegt in B: Beispiel: Also: A B : x : (x A x B) (x A x B). A := { x Hochschule x steht in Deutschland} B := { x Hochschule x steht in Berlin} C := {x Hochschule x steht in Wedding}. ((x in Wedding) (x in Berlin) (x in Deuschland)) C B A. 2. Gleichheit zweier Mengen: jedes Element liegt in A und B oder keiner von beiden: Beispiel: A = B : x : (x A x B) (x A x B). A := {n N n gerade } B := {n N n 2 gerade }. Es ist A = B, weil n A (n gerade)??.?? (n 2 gerade) n B. Durch diese Definition von Gleichheit ist jedes Element nur einmal in einer Menge vorhanden und die Reihenfolge ist egal: { ich, du, ich, du } = { ich, du } = { du, ich }. Wenden Sie dazu das Elementprädikat für explizit aufgezählte Mengen an. Im Grunde ist eine Menge eine black box, die nur Ja/Nein-Fragen nach ihrem Inhalt beantworten kann. Dadurch können wir von außen nicht sehen, wie oft Elemente enthalten sind und in welcher Reihenfolge. Wir stellen uns einfach vor, alle Elemente seien nur einmal vorhanden und es gibt keine Reihenfolge. 90 B A A B

5 3. Schnittmenge zweier Mengen, lies: geschnitten. A B := { x x A x B }. A A B B 6. Differenzmenge zweier Mengen, lies: ohne. A \ B := { x x A x B }. A A \ B B Beispiel: A := {x x Hochschule } B := { x x Berliner Ausbildungsstätte } A B = {x x Berliner Hochschule }. Ist A B =, heißen A und B disjunkt, z.b. Männer und Frauen, weiße und schwarze Schachbrettfelder, alle Studierenden im., 2., 3.,... Fachsemester. 4. Vereinigungsmenge zweier Mengen, lies: vereinigt. A B := { x x A x B }. Anmerkung: die Teilmenge A B A B zählt nicht doppelt. Beispiel: A := { alle Beuth-Studierenden } B := { alle Beuth-Beschäftigten } A B = { alle Beuth-Angehörigen }. A B = { alle Beuth-Tutoren }. 5. Komplement einer Menge, lies: quer. Wir brauchen die Grundmenge G hier explizit: Beispiel: A := {x G (x A)}. G := { alle Kursteilnehmer } A A A A B A := { alle Frauen im Kurs } im Kurs, da A G sein muss A = { alle Männer im Kurs } im Kurs, da auch A G ist. 9 G B Beispiel: A := { alle Informatik-Studierenden } B := { alle Studierenden im. Semester } A \ B = { alle Informatik-Studierenden, die keine Erstsemester sind }. Mit Hilfe der Differenzmenge können wir deutlicher machen, dass die Grundmenge beim Komplement eine wichtige Rolle spielt: A = G \ A. Prüfen Sie die Mengengleichheit, um das zu sehen. Achtung: es ist ein beliebter Fehler z.b. zu schreiben: A B = x : (x A x B). Dies ergibt keinen Sinn, weil das linke Objekt eine Menge ist und das rechte ein logischer Ausdruck (als Ergebnis eines Prädikats)! Achten Sie genau darauf, mit welchen Objekten sie arbeiten und unterscheiden Sie deren Typ. Nur A B und A = B sind Prädikate, die anderen Verknüpfungen ergeben Mengen. 6.4 Rechenregeln für Mengen Alle logischen Gesetze finden wir für Mengen wieder. Mengenoperationen führen sie sozusagen auf allen Elementen gleichzeitig aus.. Kommutativität des Schnitts: (Venn-Diagramm s.u.) A B = {x x A x B} = {x x B x A} = B A. Kommutativität von Analog: Kommutativität der Vereinigung: A B = B A. 2. Assoziativität des Schnitts: (Venn-Diagramm s.u.) (A B) C = {x x A B x C } = {x (x A x B) x C } Assoz. von = {x x A (x B x C)} = {x x A x B C } = A (B C). 92

6 Analog: Assoziativität der Vereinigung: (A B) C = A (B C). Hier das erste Gesetz: (A B) C = {x x A B x C } A B = {x (x A x B) x C } Distrib. A = {x (x A x C) (x B x C)} = {x x A C x B C } = (A C) (B C). A B A B A B B (A B) C A C B A B A B A C A A (B C) (A B) C A C B B B C (A C) (B C) B C C A B Kommutativität Assoziativität 3. Distributivität von Schnitt und Vereinigung: Aufgabe 6.5 (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C). A C C C 4. de Morgansche Regeln für Mengen: Aufgabe 6.5 A B = A B A B = A B. B C 93 94

7 5. Konsistenz der Teilmenge: A B A B = B A B A B = A. Diese Regeln verbinden Teilmengen- und Gleichheitsbeziehung zwischen Mengen. Dahinter stehen auf Prädikatenebene die Tautologien a b a b b a b a b a, wobei a : (x A) und b : (x B). Beweisen Sie sie durch eine Methode Ihrer Wahl! 6. Gleichheit als Inklusionspaar: A = B (x A x B) (x A x B) (x B x A) A B B A. Eine Gleichheit kann deshalb auch als Paar von Inklusionen in beiden Richtungen gezeigt werden. Beispiel: A := {n N n gerade} = {n N n 2 gerade} =: B Beweis: z.z.: A B B A Das bedeutet, wir müssen zeigen: A B (n A n B) (n gerade n 2 gerade) B A (n B n A) (n 2 gerade n gerade) Kontraposition (n ungerade n 2 ungerade). Der Vorteil der Aufspaltung in zwei Schritte ist die Möglichkeit, einen davon anders zu behandeln als den anderen. Wir hatten in??.?? genau diese beiden Implikationen gezeigt. 6.5 Aufgabe. (Übungen zu Mengen.) 6.6 Aufbau des Zahlensystems Wir haben gesehen, dass Mengen durch Beschreibung (6.2.3) oder Konstruktion (6.2.4) aus anderen Mengen hervorgehen können. So ist auch das Zahlensystem aufgebaut. 95 N Die Menge N = {, 2, 3,...} wird nicht aus anderen Mengen konstruiert oder beschrieben. Sie ist eine Grundmenge, die schon da ist und auf der alle anderen aufbauen. Ihre Definition ist sehr theoretisch und wir behandeln sie nicht. N 0 Traditionell beginnen die natürlichen Zahlen mit. Die Menge N 0 := N {0} wird davon ebenso traditionell unterschieden. Z Die Menge N ist abgeschlossen unter Addition, aber nicht Subtraktion. Um auch die Umkehrung der Addition immer ausführen zu können, brauchen wir die Menge aller möglichen Ergebnisse: Z := {m n m,n N 0 }. Dies ist äquivalent zu der bekannteren Definition Aufgabe 6.5 Z = N 0 { n n N}. Q Die Menge Z ist abgeschlossen unter Multiplikation, aber nicht Division. Um auch die Umkehrung der Multiplikation (außer Division durch 0) immer ausführen zu können, brauchen wir die Menge aller möglichen Ergebnisse: Q := { p q p Z, q N}. Dies ist (ohne Beweis) äquivalent zu der bekannten Definition Q = {alle Dezimalzahlen mit endlicher oder periodischer Ziffernfolge}. R Die Menge Q ist abgeschlossen unter endlichen Operationen der vier Grundrechenarten. Wir können beliebig lange Terme formulieren, in denen rationale Zahlen mit + verknüpft werden und können sicher sein, dass das Ergebnis wieder rational ist. Beispiel: n = 2 n. (Beweis per Induktion!) Bei dieser Summe sieht man das an der Formel rechts auch sofort. Ebenso ist das bei dieser Summe ohne geschlossene Formel: n 2. Wenn wir die Anzahl der Summanden bis ins Unendliche erhöhen, nimmt die erste Summe den Wert Q an, die zweite aber π 2 /6 Q. Also ist Q unter unendlichen Grundrechenoperationen nicht abgeschlossen. Wir können dieses Manko hier noch nicht präzise fassen, tun das dann später in??.??. Wir halten zunächst fest, dass R dieses Problem löst. 96

8 Erweiterte Mengen 6.7 Mengen von Mengen. Streichhölzer. Eine Schachtel ist eine Menge von Streichhölzern. Eine Packung ist eine Menge von Schachteln. Eine Großpackung ist eine Menge von Packungen. Eine Palette ist eine Menge von Großpackungen. Eine Tagesproduktion ist eine Menge von Paletten. (Etc.) 2. Studierende. Ein Kurs bildet eine Menge von Studierenden. Ein Studiengang bildet eine Menge von Kursen. Ein Fachbereich bildet eine Menge von Studiengängen. Eine Hochschule bildet eine Menge von Fachbereichen. (Etc.) 3. Hausbewohner. Eine Wohnpartei bildet eine Menge von Bewohnern. Ein Haus bildet eine Menge von Wohnparteien. Eine Straße bildet eine Menge von Häusern. Eine Stadt bildet eine Menge von Straßen. (Etc.) Hier gelten folgende Regeln: 4. Die Elemente einer höheren Menge sind nicht die Einzelelemente der niederen Menge, sondern Mengen von (niederen) Mengen! Es bildet sich eine Hierarchie von Mengen., 2., 3.,... Stufe. 5. Die Elemente einer höheren Menge müssen nicht gleich groß sein. Sie können beliebige Teilmengen der niederen Grundmenge sein. Sie können auch gleiche (niedere) Elemente enthalten. Wir haben für eine Menge. Stufe die Existenz einer Grundmenge gefordert, die einen Kontext darstellt (und z.b. bei der Komplementbildung explizit benötigt wird). Gebraucht wird eine solche Grundmenge auch für Mengen höherer Ordnung. Diese Begrifflichkeit mathematisch zu fassen führt zu folgender allgemeiner Definition. 6.8 Potenzmenge Sei G eine beliebige Grundmenge. Die Potenzmenge von G ist die Menge aller Teilmengen von G: P (G) := {A A G}, d.h. A P(G) A G. 97 Das definierende Prädikat vonp (G) ist die Teilmengeneigenschaft in G. Beispiel: Für G = {a, b} ist P (G) = {, {a}, {b}, {a,b}}. Die Potenzmenge ist die natürliche Grundmenge für die Teilmengen von G. 6.9 Eigenschaften der Potenzmenge.P (G) ist stets eine Menge um eins höherer Stufe als G selbst. Ihre Elemente sind nicht die von G, sondern Mengen davon. Sie kann nicht mit G interagieren, z.b. sind die Ausdrücke G P (G), P (G) G sinnlos. 2. Eine Potenzmenge ist niemals leer, denn sie enthält immer mindestens die leere Menge: P (G) { }. P (G) enthält auch stets G selbst, deshalb für G mindestens 2 Elemente. 3. P (G) ist abgeschlossen gegenüber Durchschnitt, Vereinigung und Komplement ihrer Elementmengen: A B P(G) A,B P(G) A B P(G) A,B P(G). Damit ist P (G) abgeschlossen gegenüber allen Mengenoperationen, da diese auf zurückgeführt werden können (so wie alle Booleschen Funktionen auf ). 4. Die Potenzmenge kann iteriert werden, um Mengen noch höherer Stufe zu erzeugen, z.b. P (P (G)). Beispiel: P (P ({a})) =P ({,{a}}) = {,{ },{{a}},{,{a}}}. 6.0 Beispiel. Die Potenzmenge als Ganze wird selten benötigt. Meist spielt eine Teilmenge von ihr, eine sog. Mengenfamilie, die Hauptrolle in Anwendungen.. (Aufgabe??.3) Lena sagt: Max lügt! Max sagt: Maria lügt! Maria sagt: Lena und Max lügen! Wir hatten drei Variablen die folgenden Bedeutungen zugewiesen: a := Lena sagt die Wahrheit. b := Max sagt die Wahrheit. c := Maria sagt die Wahrheit. 98

9 und die logische Bedingung f(a,b,c) := (a b) (b c) (c (a b)) aufgestellt. Wir definieren die Grundmenge G := {a, b, c} und ihre Potenzmenge als Mengenfamilie M 0 : M 0 :=P (G) = {, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} }. Jede Teilmenge L M soll bedeuten, dass die darin enthaltenen Aussagen wahr sind und die fehlenden falsch. M enthält alle prinzipiellen Alternativen. Um die zulässigen Alternativen zu finden, prüfen wir, wann sie die gegebenen Bedingungen wahr machen: a b : unzulässig werden, {c}, {a,b}, {a,b,c}, weil entweder a,b oder keins von beiden darin enthalten ist. Es bleiben übrig: M := {L M 0 (a L) (b L)} = {{a}, {b}, {a,c}, {b,c}}. b c : unzulässig werden {a}, {b,c}, weil entweder b,c oder keins von beiden darin enthalten ist. Es bleiben übrig: M 2 := {L M (b L) (c L)} = { {b}, {a,c} }. c (a b) : unzulässig wird {a,c}, es bleibt übrig: M 3 := {L M 2 (c L) (a L b L)} = { {b} }. Die Lösung ist die einzige verbleibende Alternative {b}: Max sagt die Wahheit und die anderen beiden lügen. Dies ist eine andere Betrachtungsweise des logischen Ausschlusses: die Familie der Alternativen reduzieren. 2. Skatspiel. Grundmenge: G := { 32 Karten}. Zu Anfang bekommen zwei Spieler eine 0-elementige Teilmenge von G und einer eine 2-elementige. Im Laufe des Spiels durchlaufen die Hände immer kleinere Teilmengen. Familie: {A P(G) A 2}. 3. Stundenplan. Grundmenge: G := { alle Kurse im Studiengang}. Sie stellen jedes Semester eine Teilmenge von G zusammen, deren Elemente (Kurse) überschneidungsfrei sind und Sie zeitlich auslasten. Familie: kleine Teilmengen von G, ca. 3 5 Elemente. 4. Navigationsgerät. Grundmenge: G := {alle elementaren Strecken zwischen zwei Orten}. Gegeben: Start- und Zielort, gesucht: kürzeste Verbindung dazwischen über eine Folge von elementaren Strecken. (Hier spielen zusätzliche Längendaten eine Rolle.) Familie: alle Teilmengen von P (G), die Strecken ohne Kreise zwischen Startund Zielort bilden. Start a d c b e Ziel Familie: {{a,b}, {a,c,e}, {b,c,d}, {d,e}} Das Navi sucht aus der Familie ein Element mit der kleinsten Bewertung heraus (Länge, Dauer, Kosten, etc.) Wir betrachten die Potenzmenge wieder in Abschnitten?? und??. 6. Hierarchie der Mengen TODO!! 6.2 Kartesisches Produkt. Das kartesische Produkt 7 zweier Mengen A,B (lies: A kreuz B. ) ist definiert als A A B A B := { (a,b) a A b B }. { } { rot gelb blau grün } 2. Die Elemente von A B sind geordnete Paare von Elementen von A und B. Das bedeutet: (a,b) = (c,d) a = c b = d. 7 René Descartes, , französischer Mathematiker B 99 00

10 3. Ist A = B, schreiben wir auch A A =: A 2, lies: A zwei. 4. Analoges gilt für mehr als zwei Mengen, z.b. A B C = {(a,b,c) a A b B c C }, A A A =: A 3 A drei. 6.3 Beispiel.. Spielkarten: F = { Kreuz, Pik, Herz, Karo} W = {A, K, D, B, 0, 9, 8, 7} F W = {( f,w) f F, w W } Farben Wertigkeiten Skatblatt. 2. Kartesisches Koordinatensystem. Alle Punkte der Ebene können bekanntlich durch 2 Zahlen eindeutig beschrieben werden: R 2 := {(x,y) x,y R} = R R. Diese Definition entspricht also genau dem kartesischen Produkt. Analog R 3, R n etc. 3. Modulorechnung. Bei ganzzahliger Division zweier Zahlen fallen zwei Werte an, Quotient und Rest. Mathematisch kann diese Operation so geschrieben werden: div : N 0 N N 0 N 0, div(m,n) := ( m n, m mod n). Die obere Notation beschreibt die Schnittstelle der Funktion Funktion div: nur die Typen der Parameter und der Rückwerte. 6.4 Eigenschaften des kartesischen Produkts. Die Produktmenge A B kann nicht mit A,B interagieren, z.b. sind die Ausdrücke A A B, (A B) B sinnlos. 2. Die Komponenten der Paare sind nicht vertauschbar. Für A B ist das offensichtlich, da ihre Elemente verschieden sind. Auch für A = B gilt nach 6.2.2: a b (a,b) (b,a). Die beiden Paare rechts zählen als verschiedene Elemente von A Daraus folgt sofort: das kart. Produkt ist nicht kommutativ: A B B A. Es ist auch nicht assoziativ: (A B) C A (B C) Aufgabe Das kartesische Produkt ist die natürliche Grundmenge für Relationen, siehe Aufgabe. (Übungen zu erweiterten Mengen.) 0 7 Relationen Hier kommt eine wichtige Anwendung von Mengen. 7. Begriff der Relation. Eine binäre Relation R zwischen zwei Mengen A,B ist eine (beliebige) Teilmenge ihres kartesischen Produkts: R A B, d.h. R = {(a,b) A B r(a,b)} mit r : A B {0,} als definierendem Prädikat. 2. Für (x,y) R schreiben wir auch xry, lies: x steht in Relation R zu y. Spezielle Relationen haben eigene Zeichen, z.b. NAME Zeichen Bedeutung Objekte A, B LTH < kleiner als Zahlen, Strings LEQ kleiner oder gleich Zahlen, Strings EQ = gleich bel. für A, B G dieselbe Grundmenge BOOL Teilmenge Mengen PAR parallel zu Geraden, Vektoren REC senkrecht zu Geraden, Vektoren CONG = kongruent zu geometrische Formen 7.2 Beispiel. Relationen sind überall dort nützlich, wo Elemente zweier Mengen nur eingeschränkt kombiniert werden können:. {(s,m) {Studierende} {Module} s belegt m} 2. {(s,l) {Städte} {Länder} s liegt in L}, also in einem geometrischen Sinne: (s, L) R s L. 3. Teilerrelation: DIV := {(k,n) N N k n}, z.b. (,n) DIV für alle n N, (3,9) DIV, (4,9) DIV 4. Relationen können auch unendlich dicht sein: {(x,y) R 2 x 2 + y 2 = }, {(x,y) R 2 y = x 2 } 7.3 Darstellungen binärer Relationen 02

11 . (Aufgabe??.2) L := { rot, gelb, grün} P := { I, II, III, IV} R := {(l, p) L P l leuchtet in p}. Ampellichter, Ampelphasen, Die optische Gestaltung der Mengen L, P ist frei, solange die Kanten stimmen. Sie dürfen auch kurvig sein. Ermöglicht optische Erfassung bestimmter Eigenschaften, ist daher gut geeignet für Menschen. 2. G := {,2,3,4,6,8}, R := {(k,n) G 2 k ist echter Teiler von n}. Es gibt drei Darstellungen für endliche Grundmengen, die jeweils verschiedene Aspekte von Relationen betonen: a) Menge: entspricht der Definition. Als Aufzählung der Elemente zeigt sie die Größe (Anzahl Paare), als Beschreibung das definierende Prädikat. R = {(rot,i), (rot,ii), (gelb,ii), (gelb,iv), (grün,iii)} = {(l, p) L P (l = rot p II) (l = gelb p ist gerade) (l = grün p = III)}. b) Matrix Mat(R): die Elemente von L,P werden als Zeilen bzw. Spalten aufgezählt und die Werte des Prädikats in die Tabelle geschrieben: p R I II III IV rot 0 0 l gelb 0 0 grün Hier können wir Werte schnell ablesen und ggf. bestimmte Muster erkennen (siehe 7.9). Matrizen werden bei großen Relationen schnell unübersichtlich, sie sind aber gut geeignet als Datenstruktur im Computer. c) Graph: die Elemente von L werden als übereinander angeordnete Knoten (Punkte) gezeichnet, ebenso die Elemente von P rechts daneben. Ist (l, p) R, wird eine gerichtete Kante (Pfeil) vom jeweiligen L-Knoten zum entsprechenden P-Knoten gezeichnet (links nach rechts): L rot gelb grün 03 R I II III IV P a) Menge: R = {(k,n) G 2 k n k n} = {(,2), (,3), (,4), (,6), (,8), (2,4), (2,6), (2,8), (3,6), (4,8)}. b) Matrix Mat(R): n R k c) Graph: wenn R G 2, werden die Elemente von G nur einmal als Knoten gezeichnet, die Kanten wie oben: 3. G wie in Beispiel 2, DIV = {(k,n) G 2 k n}. a) Menge: es kommen zu R wie in Beispiel 2 hinzu: 2 3 I G = {(,), (2,2), (3,3), (4,4), (6,6), (8,8)}. Die spezielle Relation I G := {(x,y) G 2 x = y} heißt die Identität. 04 R 4 8 6

12 b) Matrix Mat(R): hier wird zusätzlich die Hauptdiagonale auf gesetzt. Diese Diagonale ist die Matrix Mat(I G ) der Identität. n R k Mat(I G ) =... 0 c) Graph: es kommt um jeden Knoten eine Schlinge hinzu. Diese Schlingen sind der Graph der Identität. 3 R Wir erhalten eine Punktmenge (oben fett schwarz) in einem kartesischen Koordinatensystem. Aus historischen Gründen erfolgt die Aufzählung der Werte in einem Koordinatensystem gegenüber der Aufzählung in einer Matrix um 90 gegen der Uhrzeiger gedreht. Im Prinzip ist beides dieselbe Idee. 7.4 Aufgabe. (Übungen zur Darstellung von Relationen.) 7.5 Inversion binärer Relationen Für eine Relation R A B ist die inverse Relation definiert als R := {(b,a) B A (a,b) R}. R und R haben immer dasselbe Prädikat, nur die Komponenten sind vertauscht: (b,a) R (a,b) R. Beispiel : (sprachliche Umkehrung) DIV = {(a,b) Z 2 a b} a teilt b DIV = {(b,a) Z 2 a b} b ist Vielfaches von a. Beispiel 2: (Ampel, siehe 7.3.) R = {(I,rot), (II,rot), (II,gelb), (III,grün), (IV,gelb)}. 4. R = {(x,y) R 2 x 2 + y 2 = }. Da R unendlich groß ist, kommt kein Graph in Frage. In einer Matrix können die Elemente nicht aufgezählt werden, aber in beiden Richtungen als Koordinatenachsen eingetragen. Statt 0/-Einträgen werden die Punkte gefärbt. R = {(x,y) R 2 x 2 + y 2 = } Die Matrix ist transponiert (an der Hauptdiagonalen gespiegelt): p Mat(R) I II III IV rot 0 0 l gelb 0 0 grün l Mat(R ) rot gelb grün I 0 0 p II 0 III 0 0 IV 0 0 Im allgemeinen: Mat(R ) = Mat(R) T Mat(R) = Mat(R ) = Im Graphen werden die Kantenrichtungen umgekehrt: 05 06

13 rot gelb grün R I II III IV rot gelb grün R I II III IV Im Graphen von S R erscheinen alle gerichteten Wege von L über P nach E verkürzt auf eine Kante. Doppelungen fallen weg, d.h. die beiden roten Wege bewirken zusammen nur eine neue Kante, ebenso die beiden gelben. Der Graph einer Relation drückt die Verkettung für Menschen intuitiv aus. Computer können aber nur mit der Matrix arbeiten, d.h. mit den Relationsprädikaten. Für die Matrizen der Relationen gilt: 7.6 Verkettung binärer Relationen Seien R A B und S B C Relationen, dann ist ihre Verkettung S R A C (lies: S nach R ) definiert als S R := {(a,c) A C b B : (a,b) R (b,c) S}. Beispiel : Ampel. Wir führen die neue Menge E := {lo, hi} ein, deren Elemente den Status des Energieverbrauchs angeben ( niedrig oder hoch ). Dazu wird jede Ampelphase in Relation S P E zu ihrem Energieverbrauch gesetzt: S := {(I,lo), (II,lo), (II,hi), (III,lo), (IV,lo)}. Alle Phasen stehen in Relation zu lo, weil in ihnen mindestens ein Licht brennt. Nur Phase II hat hi, weil in ihr zwei Lichter brennen. (Das Paar (II,lo) ist vorgesehen für den Fall, dass eins der beiden ausfällt.) Gemäß der obigen Definition erhalten wir für die Ampel die direkte Relation von Lichtern L mit Energieverbräuchen E als Verkettung: S R = {(rot,lo), (rot,hi), (gelb,lo), (gelb,hi), (grün,lo)}. Tatsächlich leuchten rot und gelb sowohl in einer niedrigen wie einer hohen Verbrauchsphase, nur grün allein in einer niedrigen. Diese formale Definition ist anschaulich schneller zu erkennen im Graphen: rot gelb grün L R I II III IV P S E lo hi 07 rot gelb grün L S R E lo hi Mat(S R) = Mat(R) Mat(S), wobei diese Multiplikation nach dem Falk-Schema erklärt wird: Mat(R) r r 2 r 2 r 22 r 3 r 23 Am Beispiel der beiden Ampelrelationen: Mat(R) s s 2 s 3 t s 2 s 22 s 32 t 2 t 2 t Mat(S) Mat(S R) Mat(S) Mat(S R) Jede Spalte von Mat(S) wird mit jeder Zeile von Mat(R) verknüpft, indem die Einträge entlang der Bögen sozusagen aufeinander gedreht werden. Dann werden die jeweiligen Einträge mit verknüpft und die Ergebnisse dieser Konjunktionen in einer großen Disjunktion zusammengefasst. Der Ergebniswert wird jeweils dort in die entstehende Matrix unten rechts eingetragen, wo die beteiligte Zeile und Spalte einander kreuzen. Das ist dasselbe Schema, mit dem wir Matrizen in der linearen Algebra multiplizieren, siehe??.??. Es sind lediglich die Operationen und + (die für Zahlen gelten) ersetzt durch bzw. (da wir es mit logischen Wahrheitswerten zu tun haben). 08

14 Beispiel 2: Familie. Sei M := {alle Menschen} und B := {(x,y) M 2 x ist Vollbruder 8 von y} V := {(x,y) M 2 x ist Vater von y}. Dann bedeuten die folgenden Verkettungen: (x,z) V B y M : ((x,y) B (y,z) V ) (x,z) B V x ist Bruder des Vaters (y) von z x ist Onkel väterlicherseits von z, x ist Vater eines Bruders (y) von z x ist Vater von z und hat noch einen weiteren Sohn, (x,z) B B x ist Bruder eines Bruders (y) von z (x = z) (x ist Bruder von z und beide haben einen weiteren Bruder. In den folgenden Diagrammen ist jeweils dieselbe Generation nebeneinander dargestellt, verschiedene Generationen untereinander: y V z B x z V B V z y x B B hier: B V = V hier: B B B Anmerkung: über das Geschlecht von z erfahren wir nichts. Es ist gut zu erkennen, dass B und V in der Verkettung nicht vertauschbar sind. Die Identitäten B V = V und B B B (B B ist reflexiv, siehe 7.9., B nicht!) hängen von den konkreten Definitionen von B,V ab und sind nicht verallgemeinerbar. 7.7 Regeln der Verkettung Für die Verkettung gelten die folgenden wichtigsten Regeln: () (2) (3) (4) R S S R x y Nichtkommutativität (R S) T = R (S T) Assoziativität R (S T) = (R S) (R T) Distributivität R (S T) (R S) (R T) 8 also nicht Halbbruder (R S) = S R Inversion. 09 B Beweis (2): Wir verwenden die Kurzschreibweise (a,b) R arb, vgl. 7.. z.z.: Elementprädikate sind äquivalent: w((r S) T)z w(r (S T))z. Beweis (4): w((r S) T)z x : [wt x x(r S)z] Def. von Def. von x : [wt x y : (xsy yrz)] Regel??.?? (6) x : y : [wtx (xsy yrz)] y : x : [(wtx xsy) yrz] Regel??.?? (6) y : [ x : (wtx xsy) yrz] y : [w(s T)y yrz] w(r (S T))z. x((r S) )z z(r S)x y : (zsy yrx) y : (ys z xr y) y : (xr y ys z) x(s R )z. Im Diagramm rechts ist die Umkehrung der Reihenfolge graphisch dargstellt. Die Pfeile symbolisieren jeweils die Relationsrichtung. Verkettung ist gleichbedeutend mit Hintereinanderausführung, Inversion mit Umkehrung. Regel??.?? (8), Assoz. von Def. von Def. von Def. von Def. von Def. von Kommutativität von Def. von 7.8 Aufgabe. (Übungen zu Operationen auf Relationen.) 7.9 Struktureigenschaften binärer Relationen S R S R A B C S R (R S) = S R Im Folgenden betrachten wir Relationen der Form R G 2, die auf nur einer Grundmenge G definiert sind.. Reflexivität. Eine Relation R heißt reflexiv, wenn jedes Element von G mit sich selbst in Relation steht: (x,x) R I G R. 0

15 Die zweite Bedingung drückt das Kriterium durch R als Menge aus. (I G ist die Identitätsrelation, siehe 7.3.3a). reflexiv: Im Graphen einer reflexiven Relation gibt es an allen Knoten eine Schlinge (siehe 7.3.3c): symm.: 0 0 antisymm.: Im Graphen einer symmetrischen Relation gibt es zu jeder Kante (nicht Schlinge) auch die entgegengesetzt gerichtete Kante. Deshalb vereinfachen wir diese beiden jeweils zu einer einzigen ungerichteten Kante: reflexiv: Beispiele: a) Die Relation LEQ = {(m,n) Z 2 m n} ist reflexiv: (m,m) LEQ m m. b) Die Relation LTH = {(m,n) Z 2 m < n} ist nicht reflexiv: (m,m) LTH m < m 0. c) Die Relation Mod3 := {(m,n) Z 2 3 (m n)} ist reflexiv: (m,m) Mod3 3 (m m) Symmetrie. Eine Relation R heißt symmetrisch, wenn mit jedem Paar (x, y) auch das inverse Paar (y,x) vorkommt: (x,y) R (y,x) R R = R. Sie heißt antisymmetrisch, wenn außer evtl. identischen Paaren keine inversen Paare vorkommen: (x,y) R (y,x) R x = y R R I G. Die Matrix einer symmetrischen Relation ist spiegelbildlich zur Hauptdiagonalen: Mat(R) = Mat(R ) = Mat(R) T (siehe 7.5). Bei einer antisymmetrischen Relation stehen an zueinander spiegelbildlichen Einträgen außerhalb der Hauptdiagonale nie gleichzeitig -Werte. Analog gibt es im Graphen einer antisymmetrischen Relation höchstens eine Kante zwischen jedem Paar verschiedener Knoten. Deshalb sind die Kantenrichtungen hier wichtig. Über Schlingen ist nichts gesagt. Beispiele: a) Die Relation R := {(m,n) Z 2 2 mn} ist symmetrisch: (m,n) R 2 mn 2 nm (n,m) R. Hier liefert das Kommutativgesetz der Multiplikation die entscheidende Äquivalenz in der Mitte. b) Die Relation LEQ ist antisymmetrisch: (m,n) LEQ (n,m) LEQ m n n m m = n. Anmerkung: Im letzten Schritt gilt für m, n Z auch die Rückrichtung, sie wird aber nicht benötigt. c) Die Relation Mod3 ist symmetrisch: (m,n) Mod3 3 (m n) k Z : m n = 3k k Z : n m = 3( k) 3 (n m) (n,m) Mod3. Z.B. ist für (m,n) = (7,2) : 7 2 = 5 = = 5 = 3 ( 5). 2

16 3. Transitivität. Eine Relation R heißt transitiv, wenn gilt: (x,y) R (y,z) R (x,z) R R R R. Intuitiv: R wird durch Verkettung mit sich selbst nicht verlassen. Transitivität ist in der Mengenschreibweise oder Matrix nicht direkt zu sehen. Sie ist eine nichttriviale Eigenschaft, die am besten durch Prädikatenlogik zu untersuchen ist. Im Graphen einer transitiven Relation gibt es zu je zwei aufeinander folgenden Kanten (blau, auch Schlingen) die entsprechende Abkürzung (rot): Daraus folgt: alle Wege beliebiger Länge haben Abkürzungen durch direkte Kanten. R R ist im allgemeinen weder Teilmenge noch Obermenge von R, wie in diesem Beispiel: R R R Ebenso ist daran zu erkennen, dass im allgemeinen R R R auch nicht transitiv ist (es fehlt die Kante zwischen den unteren beiden Knoten). Ein Computer kann diese Eigenschaft feststellen, indem er die Matrix Mat(R) prüft. Nach Definition muss komponentenweise gelten: R R R (Mat(R) Mat(R) Mat(R)). d.h. es entstehen bei der Multiplikation keine neuen -Werte. Beispiele: a) Die Relation LEQ ist transitiv: (m,n) LEQ (n,k) LEQ m n n k 0 n m 0 k n 0 (n m)+(k n) = k m m k (m,k) LEQ. 3 Ungleichungen addieren b) Die Relation FRAC := {( a b, c d ) Q2 ad = bc} ist transitiv: ( a b, c d ) FRAC ( c d, e f ) FRAC ad = bc c f = de a b = c d c d = e f a b = e f a f = be ( a b, e f ) FRAC. Im zweiten Schritt wurde b,d, f 0 (Nenner der Brüche) ausgenutzt. c) Die Relation Mod3 ist transitiv, da (k,m) Mod3 (m,n) Mod3 3 (k m) 3 (m n) p Z : k m = 3p q Z : m n = 3q p,q Z : [k n = (k m)+(m n) = 3(p+q)] 3 (k n) (k,n) Mod3. Z.B. ist für (k,m) = (7,2), (m,n) = (2,) : k n = 7 = 6 = ( 2) Äquivalenzrelationen Eine reflexive, symmetrische und transitive Relation R G 2 heißt eine Äquivalenzrelation (ÄR). Sie hat zwei besondere Eigenschaften: sie teilt die Grundmenge G in disjunkte Teilmengen G i auf, d.h. G = G... G n mit G i G j = für alle i j, alle Elemente einer G i stehen paarweise miteinander in Relation und mit keinen Elementen außerhalb G i : G i G i R für alle i R (G i G j ) = für alle i j. Die G i heißen Äquivalenzklassen von G unter R. Im Graphen der Äquivalenzrelation zeigen sich diese Klassen als separate Komponenten, innerhalb derer alle der möglichen Kanten und Schlingen vorkommen: 4

17 G G i Als nächstes nehmen wir eine Zahl in Z \(K 0 K ), z.b. 2. Ihre Klasse ist K 2 := {k Z (k,2) Mod3} = {k Z 3 (k 2)} = {k Z k mod 3 = 2}. Jetzt ist Z \(K 0 K K 2 ) = und wir haben alle Klassen gefunden: Anmerkung: diese Inseln können auch klein sein, im Extremfall nur Knoten. Die Matrix einer Äquivalenzrelation kann in die Gestalt voller -Blöcke gebracht werden, die jeweils genau einem G i entsprechen: Beispiele: Mat(ÄR) =. G = { Schüler einer Schule} und 0 0 R := {(x,y) G 2 x hat Unterricht zusammen mit y}. R ist eine ÄR (warum?) und teilt die Schüler auf in disjunkte Schulklassen. 2. FRAC ist eine ÄR (reflexiv? symmetrisch?) und teilt Q auf in unendlich viele Klassen verschiedener Bruchwerte (ausgekürzte Brüche). 3. Mod3 ist auch eine ÄR, wir haben alle drei Eigenschaften gezeigt. Wie sehen die Klassen aus? Wir können sie finden, indem wir sukzessive Elemente aus Z hernehmen, die in keiner bekannten Klasse liegen, und ihre Klasse bestimmen. Zu Anfang ist keine Klasse bekannt, wir haben freie Auswahl und nehmen etwa 0 Z. Zu 0 stehen alle Zahlen in Relation, die durch 3 teilbar sind: K 0 := {k Z (k,0) Mod3} = {k Z 3 (k 0)} = {k Z k mod 3 = 0}. Als nächstes nehmen wir eine Zahl in Z \ K 0, z.b.. Ihre Klasse ist K i = {k Z k mod 3 = i}. K 0 : K : K 2 : Die Werte i = 0,,2 sind genau die möglichen Reste bei Division durch 3, deshalb heißen die K i in diesem speziellen Fall auch Restklassen. Die Relation Mod3 verallgemeinert sich auf offensichtliche Weise auf beliebige Mod n für n N. Sie heißt Kongruenzrelation mit Modul n. Eine Äquivalenzrelation ist eine verallgemeinerte = -Beziehung: die Elemente jeder Klasse werden gleich durch die Bewertung durch das Relationsprädikat. Evtl. vorhandene weitere Eigenschaften, in denen sie sich unterscheiden, werden bewusst ignoriert. 7. Ordnungsrelationen Eine reflexive, antisymmetrische und transitive Relation auf G 2 heißt eine Ordnungsrelation. Sie hat zwei besondere Eigenschaften: sie teilt die Grundmenge G in (meist nicht disjunkte) Ketten auf, alle Elemente einer solchen Kette sind paarweise miteinander vergleichbar. Um das zu sehen, stellen wir den Graphen einer Ordnungsrelation vereinfacht dar als Hasse-Diagramm 9 : 9 Helmut Hasse, , deutscher Mathematiker 8 K := {k Z (k,) Mod3} = {k Z 3 (k )} = {k Z k mod 3 = }. 5 6

18 c a b d i) a c b d ii) a c b d LEQ 2 0 SKAT B B 7 Trümpfe e Graph f b e f f b e ւ iii) f f 2 A 8 7 A 8 7 A 8 7 Fehlfarben Hasse-Diagramm a d c e iv) Algorithmus, der aus dem Graphen das Hasse-Diagramm macht: i) lösche alle Schlingen (sie werden von der Reflexivität impliziert) ii) lösche alle Kanten, die Abkürzungen für längere Wege sind (sie werden von der Transitivität impliziert) iii) falls (a,b) R, zeichne Knoten a (schräg) unterhalb von Knoten b, iv) lösche alle Pfeilspitzen. Danach dürfen nur noch ungerichtete Kanten zwischen Nachbarknoten a, b übrig sein, d.h. (a,b) R c : ((a,c) R (c,b) R). Anschaulich: es gibt im Diagramm keine Umwege von a zu b mehr, die nur von unten nach oben verlaufen. Das Hasse-Diagramm ist sozusagen das Skelett des Graphen, aus dem er durch die Eigenschaften der Ordnungsrelation wieder rekonstruiert werden kann. Beispiele:. Unter LEQ ist die Menge Z eine einzige Kette, da alle ganzen Zahlen vergleichbar sind (Bild links). a d c e 2. Beim Skat besteht G := { alle Spielkarten} aus einer Trumpffarbe und drei Fehlfarben. Die Relation SKAT := {(x,y) G 2 y sticht x} schafft eine Ordnung auf G mit 3 Ketten (Bild rechts). Verschiedene Fehlfarben sind unvergleichbar, hier muss eine andere Regel die Entscheidung treffen Reihenfolge der Ablage. 3. Für G = {ich, du} führt die Relation BOOL := {(A,B) P (G) 2 A B} zu 2 Ketten: {ich} {ich, du} {du} BOOL {ich} Anmerkung: im allgemeinen sind es G! Ketten. {ich, du} {du} Die Matrix einer Ordnungsrelation kann so geschrieben werden, dass alle vorkommenden -Werte auf und oberhalb der Hauptdiagonalen stehen. Linkes Bild: im allgemeinen, rechtes Bild: Beispiel BOOL. 0 {ich} Mat(OR) = Mat(BOOL) = {du} 0 0 {ich, du} 7 8

19 Eine Ordnungsrelation ist eine verallgemeinerte -Beziehung: die Elemente jeder Kette sind aufsteigend geordnet. Zwei Elemente, die nicht in einer gemeinsamen Kette liegen, sind jedoch unvergleichbar. 7.2 Aufgabe. (Übungen zu Struktureigenschaften von Relationen.) Ampel L P A B R 7.3 Abbildungseigenschaften binärer Relationen Es sei im Weiteren R A B, die Paare haben i.a. verschiedenartige Komponenten. Wir betrachten jetzt, mit wievielen Elementen von B die Elemente von A in Relation stehen. Wir setzen dom R := {a A (a,b) R} A Domain von R cod R := {b B (a,b) R} B Codomain von R. Die Domain ist diejenige Teilmenge von A, die alle Relationspartner der linken Seite enthält. Analog ist die Codomain diejenige Teilmenge von B, die alle Relationspartner der rechten Seite enthält. Alle Elemente außerhalb von domr oder codr sind an der Relation sozusagen nicht beteiligt. R linkstotal nicht linkstotal In der Matrix einer linkstotalen Relation enthält jede Zeile mindestens eine Eins: Mat(Ampel) = 0 0 Mat(R) = Analog heißt R rechtstotal, wenn jedes Element von B mit mindestens einem von A in Relation steht: b B : a A : (a,b) R codr = B. domr Ampel R codr L P A B A B Wir sehen per Definition der inversen Relation sofort: domr = codr und codr = domr.. Eine Relation R heißt linkstotal, wenn jedes A-Element mit mindestens einem B-Element in Relation steht: a A : b B : (a,b) R domr = A. rechtstotal nicht rechtstotal Die Matrix einer rechtstotalen Relation enthält jede Spalte mindestens eine Eins: Mat(Ampel) = 0 0 Mat(R) = Eine Relation R heißt linkseindeutig, wenn jedes B-Element mit höchstens einem A-Element in Relation steht: (a,b) R (a,b) R a = a. 9 20

20 Ampel L P A B R Totalität betrachtet, ob für alle Elemente in A (links) bzw. in B (rechts) mindestens ein R-Partner existiert. Eindeutigkeit betrachtet, ob es für alle Elemente in A (links) bzw. in B (rechts) höchstens einen R-Partner gibt. Ist beides erfüllt, gibt es für alle Elemente genau einen R-Partner. 7.4 Funktionen nicht linkseindeutig linkseindeutig In der Matrix einer linkseindeutigen Relation enthält jede Spalte höchstens eine Eins: Mat(Ampel) = 0 0 Mat(R) = Linkseindeutigkeit wird rechts (in B) festgestellt, wirkt sich aber links (in A) aus. 4. Analog heißt R rechtseindeutig, wenn jedes A-Element mit höchstens einem B-Element in Relation steht:. Eine Abbildung oder Funktion f : A B ist eine Relation F = {(x,y) A B y = f(x)}, die linkstotal und rechtseindeutig ist. Dadurch wird jedem zulässigen Input genau ein Output zugeordnet. f wird zumeist durch eine Abbildungsvorschrift (Formel oder Algorithmus) angegeben. Das muss aber nicht so sein. Entscheidend ist die Erfüllung des Prädikats y = f(x), egal wie f angegeben wird. (a,b) R (a,b ) R b = b. Ampel R L P A B Funktion nicht linkstotal nicht rechtseindeutig nicht rechtseindeutig rechtseindeutig In der Matrix einer rechtseindeutigen Relation enthält jede Zeile höchstens eine Eins: Mat(Ampel) = 0 0 Mat(R) = Die beiden Links- bzw. Rechtseigenschaften sind bei R vertauscht. 2 Beispiel: F := { (p, m) {alle Pakete} {alle Menschen} m = Empfänger(p)} linkstotal: jedes Paket hat einen Empfänger rechtseindeutig: kein Paket kann zwei oder mehr Empfänger haben 20. Wir stellen uns eine Funktion so vor, dass an jedem A-Element genau ein Pfeil befestigt ist, der auf irgendein B-Element weist. Diese Definition bedeutet die saubere mathematische Fundierung des Begriffs Abbildung durch die Prädikatenlogik. 2. Die Rechtseindeutigkeit ermöglicht folgende Begriffe: ist y = f(x), so heißt y das Bild von x und x ein Urbild von y. 20 wir sehen dabei von Sammelanschriften wie Familie Schmidt o.ä. ab 22

21 Folgende Mengen werden im Kontext von Funktionen durch eigene Namen neu benannt: D f := domf = A W f := B Definitionsmenge von f Wertemenge von f f(d f ) := codf Bildmenge von f. domf = A folgt aus der Linkstotalität einer Funktion. Im Paket-Beispiel: D f ist die Menge aller Pakete, W f die Menge aller Menschen, f(d f ) W f die Menge aller Empfänger darunter. 3. Eine Funktion f heißt surjektiv, wenn ihre Relation F rechtstotal ist, also codf = B f(d f ) = W f gilt. f surjektiv: D f Anschaulich: f überdeckt die gesamte Wertemenge. f W f = f(d f ) Beispiel: F := {(s, z) {alle Studierenden} {alle Semesterzahlen} z = Fachsemester(s)} linkstotal: alle Studierenden haben eine Semesterzahl rechtseindeutig: kein/e Studierende/r hat zwei oder mehr Semesterzahlen rechtstotal: alle Semesterzahlen ( 6) kommen vor. 4. Eine Funktion f heißt injektiv, wenn ihre Relation F linkseindeutig ist, also (x,y) F (x,y) F x = x y = f(x) y = f(x ) x = x f(x) = f(x ) x = x als einzige Lösung. f Anschaulich: f streut die Bilder: verschiedene Urbilder haben verschiedene Bilder. Beispiel: F := {(a,s) {alle Anwesenden} {alle Sitzplätze} s = Stuhl(a)} linkstotal: alle Anwesenden sitzen auf einem Platz rechtseindeutig: keine zwei oder mehr Anwesenden sitzen auf demselben Platz linkseindeutig: kein/e Anwesende/r sitzt auf zwei oder mehr Stühlen. Beispiel für eine Rechnung: F := {(x,y) R 2 y = 3x 6 = f(x)}. Prüfung der Injektivität: f(x) = f(x ) 3x 6 = 3x x = 3x 3 x = x als einzige Lösung injektiv. Der Zusatz als einzige Lösung ist wichtig, denn x = x ist immer eine Lösung der Gleichung f(x) = f(x ). Es darf keine andere geben, damit die gewünschte Eindeutigkeit folgt. Beispiel einer nicht-injektiven Funktion: f(x) = x 2 : f(x) = f(x ) x 2 = x 2 x 2 x 2 x 2 = 0 (x x )(x+x ) = 0 x = x x = x. Die zweite Lösung x = x verhindert die Injektvität. 3. binomische Formel 5. Ist F injektiv und surjektiv, heißt f bijektiv. Das bedeutet: f surjektiv F rechtstotal F } linkstotal f injektiv F linkseindeutig F F Funktion! rechtseindeutig Wir nennen F die Umkehrfunktion f : W f D f von f (lies: f invers ): F = {(y,x) W f D f y = f(x)}. f f f injektiv: D f W f D f W f D f W f 23 24

22 Beispiel: F := {(e, p) {alle Eintrittskarten} {alle Plätze} p = Aufschrift(e)} linkstotal: jedes Ticket gehört zu einem Platz rechtseindeutig: kein Ticket kann zu zwei oder mehr Plätzen gehören rechtstotal: zu allen Plätzen gehört eine Karte linkseindeutig: zu keinem Platz gehört mehr als eine Karte. Karten und Plätze entsprechen einander :. Von der Karte kann man immer eindeutig auf den zugehörigen Platz schließen (das passiert bei jedem Einlass) und umgekehrt. Diese Beziehung bedeutet eine allgemeine Antwort auf die Frage, wann wir eine Gleichung y = f(x) nach x auflösen können: genau dann, wenn die durch das Prädikat y = f(x) definierte Relation F alle vier Eigenschaften linkstotal, rechtstotal, linkseindeutig, rechtseindeutig besitzt. Die Umkehrung ist dann gegeben durch die inverse Relation F. f ist immer eindeutig oder existiert nicht! f hat folgende Eigenschaften: f(x) = y x = f (y) F F = I D f x D f : f ( f(x)) = x F F = I Wf y W f : f(f (y)) = y. Die erste Eigenschaft folgt aus der Tatsache, dass F zum einen die Funktionsdarstellung x = f (y) hat, zum anderen aber per Definition 7.5 dasselbe Prädikat wie F selbst: f(x) = y. Diese beiden müssen demnach äquivalent sein! Beispiel für eine Umformung von f nach f : f(x) = y = 3x 6 +6 y+6 = 3x 3 3 y+2 = x = f (y). Achtung: Es muss nicht immer eine Formel (Funktionsterm) für f geben! Beispiele: f : R R, f(x) = x+x 5 oder f(x) = x+5 x. Diese beiden Funktionen sind bijektiv, also prinzipiell eindeutig umkehrbar. Es gibt aber keine expliziten Formeln für die Umkehrfunktionen. 8 Elemente der Analysis 8.0 Aufgabe. (Vorbereitende Übungen zu reellen Funktionen.) 8. Grundbegriffe. Ein Intervall ist eine zusammenhängende Teilmenge reeller Zahlen, z.b. [a,b] := {x R a x b} ]a,b[ := {x R a < x < b} [a, [ := {x R a x} ],b[ := {x R x < b} für zwei Grenzen a,b R Zwei Regeln bestimmen die Syntax (vergl. obige Definitionen): Klammer nach innen (geschlossen): Grenze gehört zur Menge Klammer nach außen (offen): Grenze gehört nicht zur Menge linke Grenze = : keine Begrenzung nach links, Klammer offen: ] rechte Grenze = : keine Begrenzung nach rechts, Klammer offen: [ Es gibt vier spezielle Intervalle, die oft benötigt werden: R + := ]0, [ R + 0 R := ],0[ R 0 2. Eine reelle Funktion ist eine Abbildung f : D f W f, wobei D f,w f R. := [0, [ := ],0]. Damit sind zusammenhängende Teilmengen von R gemeint oder solche mit wenigen Ausnahmen, z.b. Intervalle oder deren Vereinigung. Nicht gemeint sind verstreute Teilmengen wie etwa N, Z oder Q. Die grundlegendsten reellen Funktionen sind Potenzen und Polynome, Exponentiale und Logarithmen, Winkelfunktionen und deren Inverse. Potenzfunktionen 8.2 Problemstellungen 7.5 Aufgabe. (Übungen zu Abbildungseigenschaften von Relationen.) 25 26

23 . Wie hängt die Rückstellkraft F einer Feder mit ihrer Auslenkung l aus der Ruhelage zusammen? Strecke s 0 s s 2 s 3 s Zeit t s(t) = 2 gt2 (g = Erdbeschleunigung) F(l) F(l) = C l (C konstant) Ruhelage Auslenkung l 2. Wie nimmt die zurückgelegte Strecke s eines frei fallenden Körpers mit der Zeit zu? 3. Wie hängen Frequenz f und Wellenlänge λ einer Schwingung zusammen? λ. Periode 2. Periode f = 2.2 Perioden 4. Wie nimmt die Erdanziehung F mit wachsender Entfernung d vom Erdmittelpunkt ab? t λ = Zeitdauer einer Periode f = Anzahl Perioden pro Zeiteinheit f(λ) = C λ (C konstant) Erde d Satellit F(d) = C d 2 (C konstant) Höhe h der Wassersäule 6. Wie lang muss ein Draht sein, aus dem Sie die Kanten eines Würfels mit bekanntem Volumen V formen? 8.3 Potenzfunktion Sei n N. Die Funktion Austrittsgeschwindigkeit v(h) = 2gh (g = Erdbeschleunigung) Wasser f : R R, f(x) = x x... x =: x } {{ } n n mal heißt Potenzfunktion. x heißt die Basis von f und n der Exponent. s s 5. Wie nimmt die Austrittsgeschwindigkeit von Wasser aus einem Rohr zu mit der Höhe der Drucksäule? s Seitenlänge s Volumen V = s 3 Kantenlänge l(v) = 2 3 V Diese Funktion entsteht als Abkürzung für mehrfache Multiplikation derselben Zahl, so wie die Multiplikation selbst eine Abkürzung für mehrfache Addition derselben Zahl ist. Wir wollen diese Definition auf andere als natürliche Exponenten erweitern. 8.4 Rechengesetze der Potenzfunktionen. Gleiche Basen: x m x n = (x... x) } {{ } m mal 2. Gleiche Exponenten: (x... x) } {{ } n mal = x... x = x } {{ } m+n. m+n mal x n y n = (x... x) } {{ } n mal (y... y) } {{ } n mal = xy... xy = (xy) } {{ } n. n mal 27 28

24 3. Spezielle Werte für alle n: 0 n = } {{ } n mal = 0 n =... =. } {{ } n mal 4. Dies alles gilt nur für natürliche Exponenten (n ). Was ist x 0? x x 0 = x +0 = x = x : x für x 0 x 0 =. Die Ausnahme x 0 müssen wir machen, weil wir sonst nicht durch x teilen können. Sie ist aber auch deshalb wichtig, um einen Widerspruch zu 0 n = 0 zu vermeiden. Der Ausdruck 0 0 stellt einen Konfliktfall zwischen zwei Regeln dar und ist deshalb im allgemeinen nicht definiert. 5. Negative Exponenten: x n x n = x n+n = x 0 = x n = x n für x 0. Die Ausnahme x 0 kommt durch die Verwendung von x 0 hinein. 6. Differenzen im Exponenten: x m n = x m x n = x m x n = xm x n für x 0. Die Ausnahme x 0 kommt durch die Verwendung von x n hinein. 7. Verkettung von Potenzfunktionen: (x m ) n = x m... x m } {{ } n mal n mal { }} { m+...+ m = x = x m n. 8. Rationale Exponenten: was ist x m n (n 0)? Wir wissen: x m n = x n m = (x n ) m, wir müssen also nur klären, was x n Idee: setze x n in f(x) = x n ein: ist. f(x n ) = (x n ) n = x n n = x für alle x. Das ist die Bedingung für die Umkehrfunktion von f! 8.5 Definition.. Eine reelle Funktion f heißt gerade : x D f : ( x D f f( x) = f(x)) ungerade : x D f : ( x D f f( x) = f(x)). Zur Anschauung dieser Eigenschaften siehe Beispiele in Sei I D f ein beliebiges Intervall. Eine reelle Funktion f heißt monoton steigend : x,x I : (x < x f(x) f(x )) streng monoton steigend : x,x I : (x < x f(x) < f(x )). Analog heißt f (streng) monoton fallend, wenn aus x < x folgt: f(x) f(x ) bzw. f(x) > f(x ). Die Einschränkung auf Intervalle I ist wichtig, weil Monotonie nur auf zusammenhängenden Mengen definiert ist! Wir dürfen keine Werte vergleichen, zwischen denen Definitionslücken existieren. 8.6 Beispiel.. f : R R, f(x) = ist gerade, monoton steigend und fallend: f( x) = = f(x) für alle x R. 2. f : R ]0,], f(x) = +x 2 ist gerade, aber nicht monoton: f( x) = +( x) 2 = = f(x) für alle x R, +x2 aber f( ) = f() = 2, f(0) =. 2 f(x) = +x 2 f(x) = x n = f (x). Für welche x und n existiert f denn, d.h. wann ist f bijektiv? Wir untersuchen das als nächstes, brauchen dafür aber vorher noch weitere Hilfsmittel

25 Der Graph einer geraden Funktion ist geometrisch symmetrisch zur y-achse. 3. f : R R, f(x) = 2x ist ungerade und streng monoton steigend: und f( x) = 2( x) = (2x) = f(x) x < x 2x < 2x f(x) < f(x ). f(x) = 2x 4. f : R \ {0} R, f(x) = ( x+ ) ist ungerade, aber nicht monoton: 2 x f( x) = ( x+ ) = ( x+ ) = f(x), 2 x 2 x aber f( 2 ) = f(2) = 4 5, f() =. f(x) = 2 ( x+ ) x Der Graph einer ungeraden Funktion ist geometrisch symmetrisch zum Ursprung. Beachten Sie, dass die Widerlegung der Monotonie nur auf ein und derselben Seite der y-achse erfolgt! Über die Definitionslücke 0 hinweg ist die Monotonie nicht definiert Umkehrfunktion der Potenzfunktion Wir nennen die Umkehrfunktion der Potenzfunktion f(x) = x n die n. Wurzel f (x) = n x := x n. Sie ist wieder eine Potenzfunktion. Wir betrachten zunächst nur n N.. Es gilt: f( x) = [( )x] n = ( ) n x n = { x n = f(x) für n gerade x n = f(x) für n ungerade, d.h. f ist entweder gerade oder ungerade. Wir können uns daher in beiden Fällen beschränken auf R Untersuchung der Injektivität auf R + 0, z.z.: x x? f(x) f(x ). Sei x x. Da beide austauschbar sind, können wir auch x < x Wir sehen: f(x) f(x ) = x n x n > 0 {}}{ { }} { { }} { {}}{ = (x x )( x } {{ } n + x n 2 x xx n 2 + x n ) } {{ } < 0 > 0 < 0 f(x) < f(x ), d.h. f ist streng monoton steigend und damit injektiv auf R + 0. Diese Produktdarstellung von x n x n zeigen Sie in Aufgabe 8.8. Den Zusammenhang von Monotonie und Injektivität zeigen Sie in Aufgabe Untersuchung der Surjektivität auf R + 0, z.z.: f(r+ 0 ) = R+ 0. a) n =. Dann ist f(x) = x die Identität, also per Definition surjektiv. b) n 2, x. Aus der Monotonie x n x n schließen wir: f(x) = x n = x n x n x = x, annehmen. d.h. f(x) x. f wächst mindestens so schnell wie x selbst und nimmt deshalb alle Werte in [, [ an: f([, [) = [, [. 32

26 c) n 2, 0 x. Aus der Monotonie x x n n schließen wir: 0 = f(0) f(x) = x n = x n x n x = x, d.h. 0 f(x) x. f fällt mindestens so schnell wie x selbst und nimmt deshalb alle Werte in [0,] an: f([0,]) = [0,]. Hier ist ein Zeitverlauf in Linksrichtung gemeint, von zur 0. Beide Teile zusammen setzen: f(r + 0 ) = f([0,] [, [) = f([0,]) f([, [) = [0,] [, [= R Untersuchung der Bijektivität auf R. Mit Hilfe der (Un-)Geradheit schließen wir auf R : a) f ungerade und x < 0. >0 {}}{ f(x) = f( x) < 0 f(r } {{ } ) = R. >0 Beide Hälften zusammen setzen: f(r) = f(r + 0 R ) = f(r + 0 ) f(r ) = R + 0 R = R, d.h. f ist surjektiv auf ganz R. Bei Spiegelung des Graphen von f bleibt die Injektivität erhalten, d.h. f ist auf ganz R injektiv. Diesen Zusammenhang zeigen Sie in Aufgabe 8.0. Ergebnis: f : R R ist bijektiv. b) f gerade und x < 0. Dann kann f wegen f(x) = f( x) nicht injektiv sein. Weiter ist f(r ) = f(r + ) f ist surjektiv nur auf R + 0. Ergebnis: f : R R + 0 ist nicht bijektiv, kann nur durch Einschränkung auf D f := R + 0 bijektiv gemacht werden. Das ist eine Konvention, R 0 wäre auch möglich. 5. Folgerung für f (x) = n x (n ). Die Umkehrung erhält die Monotonie, daher ist f stets streng monoton steigend. Das zeigen Sie in Aufgabe a) n ungerade. f : R R ist ungerade, weil die Umkehrung die Ungeradheit erhält. Letzteres zeigen Sie in Aufgabe 8.0. b) n gerade. f : R + 0 R Folgerung für f(x) = x n für n. ist weder gerade noch ungerade, weil R fehlt. Sei m := n. Wie schon in gesehen, bilden wir eigentlich den Kehrwert einer Potenzfunktion mit positivem Exponenten: f(x) = x n = x m. Wir bekommen die Definitionslücke x 0. Die (Un-)Geradheit bleibt dabei erhalten: f( x) = ( x) m = ( ) m x m = ( )m x m = { f(x) f(x) für m gerade, für m ungerade. Der Kehrwert dreht aber die Monotonie um: x < x x m < x m f(x) = x n = x m > x m = x n = f(x ). Wir folgern daraus direkt: a) n ungerade. f : R \ {0} R \ {0}, f ist ungerade und streng monoton fallend. b) n gerade. f : R\{0} R +, f ist gerade und auf R streng monoton steigend, auf R + streng monoton fallend. Wird durch Einschränkung auf R + bijektiv. In beiden Fällen erhält die Umkehrung diese Eigenschaften und sie gelten genauso für f (x) = n x. 7. Zusammenfassung der Ergebnisse. n N ungerade n N gerade D f f(d f ) mon. D f f(d f ) mon. (un-)gerade x n R R ր R R + 0 R 0 ց, R+ 0 ր gerade x n R \ {0} R \ {0} ց R \ {0} R + R ր, R + ց gerade x n R R ր R + 0 R+ 0 ր weder noch x n R \ {0} R \ {0} ց R + R + ց weder noch immer ungerade, bijektiv nur eingeschränkt bijektiv 34

27 8.8 Aufgabe. (Übungen zu Potenzfunktionen.) 8.9 Ergänzungen zu Potenzfunktionen. Wir haben f(x) = x r definiert für r Q. Man kann f auch für r R sinnvoll definieren. Die Umkehrfunktion bleibt f (x) = x r. 2. Die Graphen von x r heißen Parabeln für r >, Identität für r =, Wurzelfunktionen für r ],[ \{0}, Konstante für r = 0, Hyperbeln für r <. 3. Das Gesetz (ax) n = a n x n bedeutet f(a x) = f(a) f(x) und stellt eine wichtige Funktionalgleichung für Potenzfunktionen dar. Der Faktor f(a) ist konstant und hängt nur vom Faktor a im Argument und von f selbst ab. Es kommt insbesondere nicht auf die absolute Größe von x an! Beispiele: nochmals die Probleme Die Rückstellkraft einer Feder ist proportional zur Auslenkung, F(al) = a F(l). 2. Ein Körper fällt quadratisch schnell, d.h. in a-facher Zeit a 2 -mal so tief: s(at) = a 2 s(t). Z.B. in doppelter Zeit 4-mal so tief. 3. Frequenz und Wellenlänge einer Schwingung sind umgekehrt proportional zueinander: f(aλ) = a f(λ). 4. Die Erdanziehung nimmt mit der Entfernung vom Erdmittelpunkt quadratisch ab: F(ad) = a 2 F(d). 5. Die Austrittsgeschwindigkeit von Wasser nimmt mit der Wurzel der Wassersäulenhöhe zu: v(ah) = a v(h). 6. Der Draht für die Kanten eines Würfels mit Volumen V hat die Länge L(V) = 2 3 V, nimmt also recht langsam zu: L(aV) = 3 a L(V). Erst bei 8-fachem Volumen brauchen Sie doppelt soviel Draht. Rationale Funktionen 8.0 Weitere Problemstellungen. Welchen Verlauf hat in der Ebene die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten A und B? Antwort: eine gerade Strecke, Teilgraph einer Geraden g(x) = ax + b. 2. Welche Form kann der Spannbogen einer Brücke haben, damit er stabil ist? 3. Wie muss ein Reflektor gebogen sein, um Licht parallel zu machen oder auf einen Punkt zu bündeln? Antwort: ebenfalls ein Parabelbogen. g(x) = ax+b Antwort: ein Parabelbogen p(x) = ax 2 + bx+c Müngstener Wupperbrücke, gebaut Welcher Kurve folgt eine Achterbahn? 35 36

28 Annäherung der Wurzelfunktion durch Potenzen rot: x grün: Port Aventura, Spanien + 2 x Antwort: in Teilstücken jeweils kubischen Parabeln p(x) = ax 3 + bx 2 + cx+d. Melbourne, Australien 5. Wie kann man die Quadratwurzel um x = herum möglichst genau ausrechnen, wenn man nur addieren und multiplizieren darf? Antwort: mit dieser Funktion (siehe Bilder auf Folgeseiten): 8. Polynome x+ + 2 x 8 x2 + 8 x x4. Eine Funktion p : R R der Form p(x) = a n x n + a n x n +...+a x+a 0 mit a i R, a n 0 heißt ein Polynom. Die höchste auftretende Potenz n heißt der Grad von p, kurz deg p (von engl. degree). Konstante Funktionen p(x) = a 0 haben Grad 0. Polynome sind die allgemeinsten Funktionen, wenn man nur addiert und multipliziert. 8.2 Auswertung von Polynomen rot: x grün: + 2 x 8 x

29 rot: x Algorithmus HORNER( p, x 0 ) Input: Polynom p(x) = a n x n +...+a 0 und x 0 R Output: Funktionswert p(x 0 ) grün: + 2 x 8 x2 + 8 x3 initialisiere result := a n for i := n to 0 step do result := result x 0 + a i return result Die regelmäßige Struktur der Polynome erlaubt eine einfache und sparsame Auswertung, ohne explizite Potenzen zu bilden: rot: x grün: + 2 x 8 x2 + 8 x x4 a n x n + a n x n + a n 2 x n a x+a 0 = (...((a n x+a n )x+a n 2 )x+...+a )x+a 0. Dies ermöglicht das sog. Horner-Schema 2. Algorithmisch wird es durch den Pseudocode HORNER beschrieben. Beispiel: Auswertung des folgenden Polynoms an der Stelle x 0 = 3: 2x 4 3x 3 5x 2 + 2x+8 = (((2x 3)x 5)x+2)x+8 direkt mit Potenzen (linke Seite): = = 50. nach Horner (rechte Seite): (((2 3 3) 5) 3+2) 3+8 } {{ } 3 = ((3 3 5) 3+8 } {{ } 3+2) = (4 3+2) } {{ } 3+8 = } {{ } = 50. In jedem Schritt wird die jeweils innerste Klammer ausgerechnet, das Ergebnis erscheint fett in der nächsten Zeile. Statt großer Zwischenergebnisse für die Potenzen treten beim Horner-Schema eher moderate Zahlen auf, die der Reihe nach zusammengefasst werden. Als Ablaufschema notiert: 2 William George Horner, britischer Mathematiker,

30 x 0 a n a n... a a 0 Dies gilt allgemein, weil sich nichts gegenseitig aufheben kann: Input deg(p q) = deg p+degq. 3 = = 3 = 3 = 3 = Output Darin spiegelt sich das Potenzgesetz 8.4. mit gleichen Basen wieder. 2. Steigungsverhalten. a) Eine Gerade g(x) = a x+a 0 steigt streng monoton, falls a > 0 ist. z.z.: x < x g(x) < g(x ) Die oben fett gedruckten Zwischenergebnisse erscheinen in der untersten Zeile. 8.3 Eigenschaften von Polynomen. Polynomen sind abgeschlossen unter Addition und Multiplikation: p,q Polynome p+q und p q Polynome Warum ist die Subtraktion darin ebenfalls enthalten? Beispiel: p(x) = x 3 +2x 2 3x 4, q(x) = 3x 2 +6x, r(x) = 3x 2 +x+5 p(x)+q(x) = (x 3 + 2x 2 3x 4)+(3x 2 + 6x ) = x 3 +(2+3)x 2 +( 3+6)x+( 4 ) = x 3 + 5x 2 + 3x 5 deg(p+q) = 3 = deg p, weil p den größeren Grad von beiden hat. g(x) g(x ) = (a x+a 0 ) (a x + a 0 ) = a g(x) < g(x ). }{{} >0 (x x ) } {{ } <0 Den Fall a < 0 untersuchen Sie in Aufgabe 8.6. b) Eine Parabel p(x) = a 2 x 2 + a x+a 0 ist nie monoton, da sie bei x s = a einen Scheitelpunkt besitzt. 2a 2 Einige typische Parabeln: < 0 p(x)+r(x) = (3x 2 + 6x )+( 3x 2 + x+5) = (3 3)x 2 +(6+)x+( +5) = 7x + 4 deg(p+r) = < deg p,degr, da die höchsten Potenzen sich gegenseitig aufheben. Die allgemeine Regel lautet also: deg(p + q) max( deg p, deg q) p(x) q(x) = (x 3 + 2x 2 3x 4)(3x 2 + 5x ) = 3x 5 +(5+6)x (kleinere Potenzen) deg(p q) = 5 = deg p+degq. 4 (max = der größere von beiden.) c) Polynome ungeraden Grades streben für große x-werte (nach bzw. ) immer in verschiedene Richtungen gegen Unendlich. Beispiel: p(x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a x+a 0 = x 3( a 3 + a 2 x + a x 2 + a ) 0 x 3. Die Brüche fallen alle gegen Null, p wird bestimmt durch das Verhalten von a 3 x 3, vgl Fall. Für a 3 > 0 wird dieses Verhalten nicht beeinflusst, für a 3 < 0 wird es umgekehrt. In jedem Fall strebt p zu beiden Seiten in verschiedene Richtungen gegen Unendlich (siehe folgende Abbildung). Polynome geraden Grades untersuchen Sie in Aufgabe

31 a 3 x 3 a 3 > 0 a 3 x 3 a 3 < 0 Hier steht es explizit: die beiden Punkte dürfen nicht übereinander liegen. Durch a und a 0 ist die Vorschrift für g, sind also alle Punkte der ganzen Geraden, festgelegt. c) Eine Parabel p(x) = a 2 x 2 + a x+a 0 (deg p = 2) wird durch 3 Punkte festgelegt (Beispiel??.??): 5 m h f(0) = 5 f(2) = 5 f(3) = 0 f(x) = 5x 2 + 0x s 3. Ein Polynom n. Grades kann durch beliebige n+ Punkte bestimmt werden, die nicht übereinander liegen (gleiche x-werte haben). a) Eine Konstante c(x) = a 0 (degc = 0) wird durch den einen Wert a 0 festgelegt (x-wert egal). b) Eine Gerade g(x) = a x+a 0 (degg = ) wird durch 2 verschiedene Punkte (x,y ), (x 2,y 2 ) festgelegt: 8.4 Nullstellen von Polynomen Für eine Funktion f heißt ein x-werte x 0 mit f(x 0 ) = 0 eine Nullstelle (Urbild der Null). Motivation dafür: oft wollen wir die Urbilder x 0 zu bekannten Bildern y 0 bestimmen: f(x 0 ) = y 0. Ein solcher Wert x 0 ist eine Nullstelle der Funktion g(x) = f(x) y 0. Es reicht deshalb in der Theorie aus, Nullstellen zu betrachten: g(x) = a x+a 0 f(x 0 ) = y 0 g(x 0 ) = 0. (x,y ) (x 2,y 2 ) g(x ) = a x + a 0 = y g(x 2 ) = a x 2 + a 0 = y 2. Eine Funktion p zu konstruieren, die eine Menge vorgeschriebener Nullstellen {x,...,x n } hat, ist einfach. Wir erhalten ein Polynom: p(x) = a(x x )... (x x n ). Der konstante Faktor a R ist frei wählbar. Die Faktoren (x x i ) heißen Linearfaktoren. Es gilt offensichtlich: Das ist ein LGS der folgenden Gestalt: ( )( ) ( ) x a y =. x 2 a 0 y 2 Es ist immer eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Matrix nicht verschwindet (vgl.??): ( ) x! det = x x 2 x 2 0 x x deg p = Anzahl Linearfaktoren. Achtung: nicht Anzahl Nullstellen, auch wenn denn das auf den ersten Block dasselbe scheint! Der Grund ist: 2. Linearfaktoren haben eine Vielfachheit, d.h. Häufigkeit ihres Auftretens. Gibt es k gleiche Linearfaktoren (x x i ), so heißt x i eine algebraisch k-fache Nullstelle. Sie entspricht jedoch nur einem geometrischen Schnitt mit der x-achse. 3. Beispiele: 44

32 a) Eine Gerade g(x) = a x + a 0 mit der Nullstelle 2 hat eine Darstellung als g(x) = a(x 2) = ax 2a, d.h. a = a und a 0 = 2a. Der freie Parameter a legt dann die genaue Gerade aus allen noch möglichen fest: a = 2 a = 2 g(x) = a(x 2) x-achse: a = 0 a = 3 b) Eine Parabel p(x) = a 2 x+a x+a 0 mit den Nullstellen 0 und 0 (Brückenbogen!) hat die Vorschrift p(x) = a(x 0)(x 0) = ax 2 0ax, d.h. a 2 = a, a = 0a, a 0 = 0. Ein zusätzlicher Punkt, z.b. (5,0), legt dann a fest: p(5)! = 0 a(5 0)(5 0) = 0 a = 0 25 = a = 45 5 a = 2 5 a = 8 x-achse: a = 0 a = 2 p(x) = a x(x 0) a = 0 4. Umgekehrt: ein Polynom p vom Grad n hat höchstens n verschiedene Nullstellen. a) Eine Gerade g(x) = ax+b hat die eindeutige Nullstelle x 0 = b a. b) Eine Parabel f(x) = x 2 + px+q hat keine, eine oder zwei Nullstellen, gegeben durch die pq-formel: x,2 = p 2 ± p 2 4 q. Achtung: der Koeffizient von x 2 muss sein! Warum dürfen wir das immer annehmen? c) Polynome 3. und 4. Grades haben komplizierte Nullstellenformeln, Polynome ab 5. Grades keine allgemeinen Formeln 22 mehr. 8.5 Polynomdivision Ein Polynom entsteht im Prinzip durch Multiplikation von Linearfaktoren, die die Nullstellen angeben: p(x) = a(x x )... (x x n ). Ist x i eine dieser Nullstellen, also p(x i ) = 0, dann geht die Division q(x) = p(x) x x i ohne Rest auf. Das Ergebnis ist ein Polynom q mit degq = deg p. Beispiel: die Nullstellenmenge sei {, 2, 4}. Ein zugehöriges Polynom 3. Grades lautet: p(x) = (x+)(x 2)(x 4) = x 3 5x 2 + 2x+8. (Probe!) Wenn wir die Nullstelle 2 schon kennen, erhalten wir q(x) = p(x) x 2 mit folgender Methode (rechts) analog zur schriftlichen Division von Zahlen (links): : 3 = : 3 : 3 : 3 = 3. 5 = 3. 2 = ( x 3 5x 2 +2x+8 ) : ( x 2 ) = x 2 3x 4 x 3 5x 2 : ( x 2 ) = x 2 x 3 +2x 2 ( x 2 ) x 2 3x 2 +2x : ( x 2 ) = 3x +3x 2 6x 22 das bewies 824 Niels Henrik Abel, , norwegischer Mathematiker 46 ( x 2 )( 3x) 4x+8 : ( x 2 ) = 4 +4x 8 ( x 2 )( 4) 0

33 Zu Anfang werden so viele Ziffern (Terme) des Zählers betrachtet, wie der Nenner selbst hat. In jedem Schritt wird diese jeweilige Zahl (dieser jeweilige Term) ohne Rest durch den Nenner geteilt und der Quotient ins Ergebnis geschrieben. Gleichzeitig wird das Produkt aus Ergebnis und Nenner von der Ausgangszahl (-term) abgezogen. Um die neue Ausgangszahl (-term) für den nächsten Schritt zu erhalten, wird die nächste Stelle (der nächste Teilterm) des Zählers dahinter kopiert. Dieser Prozess endet, wenn der ganze Zähler verwendet wurde. (In diesen Beispielen muss dabei 0 herauskommen. Das ist im allgemeinen nicht so.) Probe: das Restpolynom q(x) = x 2 3x 4 muss die restlichen Nullstellen und 4 haben: q( ) = ( ) 2 3 ( ) 4 = 0 und q(4) = = 0 OK. Die Division lässt sich mit Hilfe des Horner-Schemas (8.2) einfach und schnell durchführen, wenn wir durch einen Linearfaktor teilen: Input Output x 0 a 0 a n a n = = 2 = 2 = Kontrolle Beispiel: für erhalten wir: b = 5 cm x + y = 5 y = 5 x = x 5 5x y = 5x x 5. f(x) = 5x x 5 x 0 ist dabei die Nullstelle. Zur Kontrolle muss p(x 0 ) = 0 herauskommen. Der Output ist zu verstehen als die Koeffizienten des Ergebnispolynoms q (s.o.). Auf diese Weise können wir das Restpolynom q auf weitere Nullstellen untersuchen und evtl. alle bestimmen. Eine weitere Anwendung dafür kommt im nächsten Abschnitt. 8.6 Aufgabe. (Übungen zu Polynomen.) 8.7 Weitere Problemstellungen. Für eine Sammellinse weiß die Physik: die Abstände x eines Gegenstandes und y seines Bildes von der Linse hängen wie folgt zusammen: x + y = b. Dabei ist b die konstante Brennweite der Linse Eine Getränkedose der Höhe hat einen Schwerpunkt S, der von der Füllhöhe h des Getränks abhängt. Der Punkt S habe eine Höhe von s(h) über dem Dosenboden. Beispiel: die Dose wiegt 25 g und hat einen Inhalt von 0.5 l. Dann gilt (ohne Herleitung): s(h) = 20h2 + 40h+2. Interessanterweise hat die Schwerpunkthöhe ein Minimum, und zwar genau wenn sie auf der Füllhöhe liegt! 48

34 h S s(h) 8.8 Gebrochen rationale Funktionen. Seien p,q zwei Polynome. Die Funktion f : D f R, f(x) = p(x) q(x) heißt gebrochen rationale Funktion. y = 0.5 y = h s(h) = 20h2 + 40h+2 2. Die Nullstellen des Nenners q sind Definitionslücken (nicht definierte einzelne Stellen) der Funktion r = p q : q(x 0 ) = 0 r(x 0 ) = p(x 0) ist nicht definiert! q(x 0 ) Sei N(q) := { x R q(x) = 0} die Nullstellenmenge von q. Dann gilt für die maximale Definitionsmenge von r: D r = R \ N(q). h Gebrochen rationale Funktionen sind die allgemeinsten Funktionen, wenn man Variablen nur addiert, multipliziert und dividiert. 8.9 Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen. Gebrochen rationale Funktionen sind abgeschlossen unter Addition, Multiplikation und Division: r, s gebrochen rational r + s, r s und r/s gebrochen rational. Beweis. Seien r(x) = p (x) q (x) und s(x) = p 2(x) q 2 (x) mit p i,q i Polynomen. r(x)+s(x) = p (x) q (x) + p 2(x) q 2 (x) = p (x)q 2 (x)+ p 2 (x)q (x) q (x)q 2 (x) } Polynom } Polynom, d.h. r(x)+s(x) ist wieder ein Bruch zweier Polynome. Ebenso r(x) s(x) = p (x) q (x) p2(x) q 2 (x) = p (x) p 2 (x) q (x)q 2 (x) r(x) : s(x) = p (x) q (x) : p 2(x) q 2 (x) = p (x)q 2 (x) q (x) p 2 (x). 2. Es gibt zwei Arten von Definitionslücken. } Polynom } Polynom,. Fall: q(x 0 ) = 0 und p(x 0 ) 0. Dann heißt x 0 ein Pol von r. Anschaulich: Der Graph von r strebt gegen die senkrechte Gerade x = x 0. Dabei kann r das Vorzeichen wechseln oder nicht: r(x) = x x+ 3. Die Nullstellen des Zählers p sind Nullstellen von r, wenn sie nicht Definitionslücken sind: p(x 0 ) = 0 r(x 0 ) = p(x 0) q(x 0 ) = 0, falls q(x 0) 0. Für die Nullstellen von r gilt daher: - - r(x) = 2(x ) 2 2 N(r) = N(p) \ N(q)

35 Ein Vorzeichenwechsel von r ist zu erkennen an einem Vorzeichenwechsel von q bei seiner Nullstelle x 0. Beispiel: r(x) = x p(x) =: (Bild links). x+ q(x) Es ist q( ) = 0 und p( ) = 2 x 0 = ist ein Pol von r. Das Vorzeichen des Nenners um x 0 wird getestet durch Einsetzen zweier eng benachbarter Stellen x 0 ε und x 0 + ε mit einer kleinen Abweichung ε > 0, z.b. ε = 0.: q( 0.) = 0. < 0 und q( +0.) = 0. > 0. Das jeweilige Vorzeichen von r ergibt sich zusammen mit dem Vorzeichen des Zählers: } p(x 0 ) } < 0 x < x 0 : > 0 q(x) } < 0 } p(x 0 ) } < 0 x > x 0 : < 0. q(x) } > 0 r hat also einen Vorzeichenwechsel von positiv zu negativ. Wenn r keinen Vorzeichenwechsel durchläuft, ist das evtl. ohne die obige Untersuchung zu sehen. Beispiel Bild rechts: die Funktion r(x) = nimmt 2(x ) 2 offensichtlich in Zähler und Nenner immer nur positive Werte an. 2. Fall: q(x 0 ) = p(x 0 ) = 0. Hier muss weiter untersucht werden. Beide Polynome enthalten den Linearfaktor x x 0, die Divisionen p(x) := p(x) x x 0 q(x) := q(x) x x 0 gehen deshalb beide ohne Rest auf. Wir erhalten daraus eine neue Darstellung r(x) = p(x) q(x) = (x x 0) p(x) (x x 0 ) q(x) = p(x) q(x).. Unterfall: q(x 0 ) 0. Dann kann die Lücke durch den Punkt (x 0, p(x 0) q(x 0 ) ) behoben werden. x 0 heißt dann eine hebbare Definitionslücke. Anschaulich: dem Graphen fehlt nur ein Punkt, der zusätzlich eingefügt werden kann. 2. Unterfall: q(x 0 ) = 0. Dann wird die Untersuchung von vorne begonnen mit den Polynomen p und q. 5 Beispiel: r(x)= p(x) q(x) = x2 3x+2 x 2 x 2 Es ist p(2) = q(2) = 0 berechne p(x) = p(x) x 2 = x q(x) = q(x) x 2 = x+. Jetzt ist q(2) = 3 0, p(2) der Punkt ( 2, q(2) = 3 ) schließt die Lücke. Die Untersuchung der Definitionslücken als Ablaufdiagramm: Stelle x 0 p := p q := q ja q(x 0 ) = 0 ja p(x 0 ) = 0 ja p(x) := p(x) x x 0 q(x) := q(x) x x 0 q(x 0 ) = 0 nein nein nein hebbar durch (x 0, p(x 0) q(x 0 ) ) 3. Verhalten für große x-werte (± ). - p(x 0 ) q(x 0 ε) r(x) = x2 3x+2 x 2 x 2 2 fehlender Punkt (2, 3 ) x 0 keine Definitionslücke x 0 ist Pol Vorzeichenbetrachtung: nach p(x 0 ) q(x 0 +ε) In jedem Fall strebt eine gebrochen rationale Funktion gegen eine so genannte Asymptote (Näherungskurve). Im einzelnen:. Fall: deg p < degq. Dann strebt r gegen 0. Die Asymptote ist die x-achse. 52

36 Beispiel. (Bild links) Wir kürzen den Bruch mit x deg p : r(x) = 8x+8 x 2 + = 8+ } 8 } 8 x x+ 0. x } groß y = 2 x+2 Alternativ können wir den Bruch auch mit x deg q kürzen: r(x) = 8x+8 8 x 2 + = x + 8 } } 0 x x } r(x) = 8x+8 x 2 + gegen 8 8 gegen 8 r(x) = x2 + 6x 2x+4 gegen 0 r(x) = 8x2 + 24x x Aufgabe. (Übungen zu gebrochen rationalen Funktionen.) Exponential- und Logarithmusfunktionen gegen Weitere Problemstellungen 2. Fall: deg p = degq. Dann strebt r gegen die Konstante c := Bruch der höchsten Polynomkoeffizienten. Die Asymptote ist die waagerechte Gerade y = c. Beispiel. (Bild rechts) Wir kürzen den Bruch mit x deg p : r(x) = 8x2 + 24x x = 8+ } 24 x } x } 2 3. Fall: deg p > degq. Dann verhält sich r wie ein Polynom vom Grad deg p degq. Dieses ist die Asymptote. Beispiel: r(x) = x2 + 6x 2x = 2 x+2 8 } {{ } } 2x+4 {{ } 2 x+2. Asymptote 0 Hier wird Polynomdivision mit Rest angewendet. Der Restbruch fällt immer in den. Fall und strebt deshalb gegen 0. Dadurch nähert sich r immer mehr dem Polynom vor dem Restbruch. 53. Eine Seerosen-Art verdoppelt jede Woche die von ihr bedeckte Wasserfläche. Sie hat einen See nach 0 Wochen zu 20% bedeckt. Wann wird er ganz bedeckt sein? 2. Sie legen 000e zu 5% Zinsen p.a. an. Wieviel Geld haben Sie nach 2 und 5 Jahren, wenn die Ausschüttungen wieder angelegt werden? Wie lange müssen Sie warten, bis sich Ihr Geld verdoppelt hat? 3. Welche der Zahlen 2 200, 3 00 ist größer? Wieviele Dezimalstellen hat ihr Produkt? 4. Radioaktives Material zerfällt von selbst in stabile Elemente. Angegeben werden sog. Halbwertszeiten, nach denen jeweils die Hälfte einer festen Menge zerfallen ist. Wie lassen sich damit archäologische Funde datieren? 5. Welche Kurve beschreibt eine Hängebrücke / Stromleitung / Seilbahn? 54

37 8.22 Die Exponentialfunktion Sei a R +. Die Funktion f : R R +, f(x) = a x heißt Exponentialfunktion zur Basis a. Diese Funktionenklasse ist eng verwandt mit den Potenzfunktionen, nur dass hier die Variable im Exponenten steht und die Basis konstant bleibt. Das bewirkt entscheidende Unterschiede zwischen ihnen Eigenschaften von Exponentialfunktionen. Es gelten die Rechengesetze 8.4 der Potenzfunktionen für alle a,b R + : (i) (ii) (iii) (iv) (v) a 0 = a x = a x für alle x R a x a y = a x+y für alle x,y R Funktionalgleichung a x b x = (ab) x für alle x R (a x ) y = a xy = (a y ) x für alle x,y R. Die Funktionalgleichung (iii) besagt: f(x+y) = f(x) f(y), d.h. eine Verschiebung des Graphen von f um y nach links ist dasselbe wie eine Streckung um den Faktor f(y) nach oben. 55 f(r) f(x) f(r+ x) f(x) f(r) +r Gesetze (iv) und (v) besagen: das Produkt zweier Exponentialfunktionen und die y. Potenz einer Exponentialfunktion ist wieder eine Exponentialfunktion. 2. Für a > ist a x streng monoton steigend und surjektiv auf R +. Beweis. Wir wissen aus bzw , dass die Potenzfunktion x n für n > 0 auf R + streng monoton steigt 23. Daraus folgt insbesondere: < a = n < a n. Wir ersetzen syntaktisch n durch x und erhalten: a >, x > 0 a x >. Daraus folgt für beliebige x > x die strenge Monotonie: a x > 0 {}}{ = a x x+x x = a x a x > a x. Um die Surjektivität zu zeigen, benötigen wir die sog. Bernoullische Ungleichung 24 : (+x) n +nx für alle x [, [, n N 0. Der Beweis dieser Ungleichung ist eine leichte Übung in vollständiger Induktion! Wegen a > ist a > 0, wir können x := a darin einsetzen und erhalten: a n +n(a ). Dann ersetzen wir wieder syntaktisch n durch x: a x +(a )x. Also steigt a x für große positive x mindestens so schnell wie die Gerade auf der rechten Seite. Diese steigt nach wegen a > 0 streng monoton und ist unbeschränkt. Die Wertemenge von a x ist deshalb ausgehend von a 0 = ebenfalls unbeschränkt: a R+ = ], [. Für x < 0 verwenden wir die Rechenregel (ii) a x = a x : a R = a R+ = ], [ = ]0,[. 23 Wir hatten diesen Zusammenhang streng genommen nur für rationale n gezeigt. Er gilt (ohne Beweis) auch für reelle. 24 Jakob Bernoulli, , schweizer Mathematiker. Die Ungleichung gilt (ohne Beweis) auch für reelle Exponenten n x

38 Alle Teile zusammen setzen: a R = a R {0} R + = a R {a 0 } a R+ = ]0,[ {} ], [ = R Für 0 < a < ist a x streng monoton fallend und ebenfalls surjektiv auf R +. Dieser Fall lässt sich durch die Setzung b := a > auf den obigen zurück führen. Die Funktion b x ist streng monoton steigend und surjektiv auf R +. Für die Funktion a x = ( b )x = b gilt dann: x x < x a x = b x > b x = a x a R = b R = R + = R+. 4. Für a = ist a x nach konstant: a x = x = für alle x R. 5. Zusammenfassung der Ergebnisse. a R + D f f(d f ) monoton bijektiv a > R R + ր ja a = R {} nein a < R R + ց ja Die folgende Abbildung zeigt einige Exponentialfunktionen für 0. a Die Logarithmusfunktion Die Exponentialfunktion ist nach 8.23 für a bijektiv, daher existiert die Umkehrfunktion log a : R + R. Sie heißt der Logarithmus zur Basis a. log a ist wie a x streng monoton steigend für a > bzw. fallend für 0 < a <. log a ist surjektiv, wird also beliebig groß für x 0 und große x. log a ist nicht vom Typ der Exponentialfunktion, schon deswegen, weil er nicht für negative Werte definiert ist, aber negative Werte herauskommen können. Das ist ein wesentlicher Unterschied zur Potenzfunktion, deren Umkehrung wieder eine solche ist! Für log a gelten die folgenden Gesetze für alle a,b,x,y R + : (i) (ii) (iii) (iv) (v) log a a x = x = a log a x log a = 0 log a (x y) = log a x+log a y log a b x = x log a b log a x = log b x log a b. Umkehrfunktion Funktionalgleichung Beweis. (ii) (iii) (iv) (v) log a (i) = log a a 0 (i) = 0 log a (x y) (i) = log a (a log a x a log a y ) (iii) = log a (a log a x+log a y ) (i) = log a x+log a y log a b x = (i) log a (a log a b x (v) ) = log a a x log a b = (i) x log a b log a x (i) = log a b log b x (iv) = log b x log a b

39 Die Funktionalgleichung (iii) besagt: f(x y) = f(x)+ f(y). Wir können eine Multiplikation ersetzen durch eine Addition und drei Funktionswerte: (iii) x y = a log a x+log a y. Gesetz (iv) besagt, dass wir Potenz und Exponential ersetzen können durch eine Multiplikation und zwei Funktionswerte: (iv) b x = a x log a b. Gesetz (v) besagt, dass es im Grunde nur eine einzige Logarithmusfunktion gibt. Alle anderen sind konstante Vielfache davon: (v) log b x = log a x log a b. Die verwendete Basis a ist dabei egal. Beispiel: log = log log = Das ist der Grund, warum Ihr Taschenrechner nur zwei Logarithmusfunktionen anbietet: log 0 und ln. Eine würde ausreichen, man gibt aber beide aus Gründen der Bequemlichkeit. 0 ist die Basis unseres (exponentiellen) Zahlensystems und die Rolle von ln wird in 8.26 klar werden. Logarithmusfunktionen log a x haben folgende Eigenschaften: a R + D f f(d f ) monoton a > R + R ր a < R + R ց immer bijektiv Achtung: für a = existiert kein Logarithmus! Historisch war die Entdeckung der Logarithmen ein Durchbruch in der Rechentechnik. 64 veröffentlichte Napier 25 die erste Logarithmentafel, also eine Tabelle mit Funktionswerten. Mit deren Hilfe konnte man leicht mit obigen Formeln beliebige Produkte und Potenzen/Exponentiale berechnen. Das beförderte wesentlich das Ingenieurswesen und die Modellbildung in den aufkommenden Naturwissenschaften. Nicht zuletzt auf dieser Geistesleistung fußte der Aufbruch Europas in die Aufklärung und das industrielle Zeitalter Auflösung der Problemstellungen 8.2. (Seerosen.) Sei f : R + 0 R+ die bedeckte Wasserfläche in Anteil Seeoberfläche über der Zeit in Wochen. Verdopplung pro Zeiteinheit bedeutet: f(t + ) = 2 f(t). Vergleich mit der Funktionalgleichung a t+ = a a t liefert a = 2 und so den Ansatz f(t) = c 2 t mit einer noch unbekannten Konstanten c. Die Bedingung f(0) = 5 liefert: 5 = f(0) = c 20 c = Nach welcher Zeit t 0 ist der See ganz bedeckt, d.h. f(t 0 ) =? = f(t 0 ) = t 0 2 t 0 = (i) t 0 = log 2 (5 2 0 ) 8.24 (v) = log 0 5 log (iii) = log 2 5+log Ergebnis: der See ist nach ca. 23 Wochen ganz bedeckt. 2. (Zinseszinsen.) 5% Zinsen p.a. entsprechen einer Zunahme des Kapitals um 00 5 : nach einem Jahr haben wir 000e e = e. 00 Dieses Kapital wird im Folgejahr nochmals so verzinst, wir haben dann.05 ( e) = e = 02.50e. Allgemein: nach n Jahren haben Sie f(n)=.05 n 000e und f(5)=276.28e. Nach welcher Anzahl n 0 von Jahren hat sich das Kapital verdoppelt? f(n 0 )! = 2000e.05 n0 000e = 2000e.05 n 0 = 2 n 0 = log (v) = log 0 2 log Jahre. 25 John Napier, , schottischer Mathematiker 59 60

40 3. (Zahlenvergleich.) Die Funktion 0 x ist nach 8.23 streng monoton steigend: x < x 0 x < 0 x. Das gilt auch, wenn wir zwei Logarithmenwerte x := log 0 y, x := log 0 y einsetzen: log 0 y < log 0 y y = 0 log 0 y < 0 log 0 y = y. Wir können also statt zweier Zahlen auch deren log-werte vergleichen: (iv) log 0 2 = 200 log = (iv) log 0 3 = 00 log = 47.7 Wir entnehmen daraus die gesuchte Antwort: log = 60.2 > 47.7 = log > (Anzahl Dezimalstellen.) Gesucht ist eine Funktion Anz : N N, Anz(n) := Anzahl Stellen in der Dezimaldarstellung von n. Anmerkung: der Funktionsname Anz ist nicht standardisiert. Wir wissen: Anz(0n) = Anz(n) +. Der Vergleich mit der Funktionalgleichung log a (0n) = log a 0 + log a n liefert: log a 0 = a = 0 und so Anz(n) = log 0 n+c mit einer noch unbekannten Konstanten c R. Wir bestimmen c durch ein beliebiges Beispiel, z.b. Anz() = : = Anz() = log 0 +c 8.24 (ii) = c. Wir beobachten noch, dass diese Definition von Anz nicht immer natürliche Zahlen ergibt, wir müssen runden. Um die Richtung der Rundung zu bestimmen, wählen wir ein beliebiges nicht-ganzzahliges Beispiel: Anz(2) =. Es ist log , also müssen wir abrunden. Als Ergebnis erhalten wir die Funktion Anz(x) = log 0 x+ Abrundung, siehe 8.36 Einsetzen der bekannten Inputwerte: Anz( ) = log 0 ( ) (iii) = log log oben = = (Archäologische Datierung.) Die sog. Isotope 2 C und 4 C des Elements Kohlenstoff unterscheiden sich chemisch nicht und werden von Lebewesen im selben Verhältnis C 0 := 4 C/ 2 C verstoffwechselt, wie sie in der Atmosphäre vorliegen. Sie unterscheiden sich aber physikalisch dadurch, dass 2 C stabil ist, während 4 C radioaktiv zerfällt. Mit dem Tod eines Lebewesens endet sein Stoffwechsel und das Verhältnis C(t) in seinem Gewebe verändert sich über die Zeit t durch diesen Zerfall exponentiell: C 0 C(t) HWZ HWZ HWZ HWZ HWZ Die Konstante HWZ ist die sog. Halbwertszeit, nach der ein radioaktiver Stoff zur Hälfte zerfallen ist. Für 4 C ist HWZ = 5730 Jahre. Die Formel lautet: C(t) = C 0 ( 2 ) t HWZ, wobei die Zeit t = 0 den Tod markiert. C 0 = C(0) ist der bekannte Vergleichswert für den 4 C-Anteil in der damaligen Atmosphäre. Probe, ob die Formel die physikalische Realität C(t + HWZ) = 2 C(t) wiedergibt: C(t +HWZ) = C 0 ( 2 )t+hwz = C 0 ( 2 ) t HWZ + = C 0 ( 2 ) t HWZ 2 = 2 C(t). Angenommen, wir haben bei einem Fundstück C(t 0 ) = 0 C 0 gemessen. Wie alt ist das Fundstück, d.h. welchen Wert hat t 0? 0 C 0 = C(t 0 ) = C 0 ( 2 ) t 0 HWZ ( 2 ) t 0 HWZ = 0 t 0 HWZ = log 2 0 t 0 = HWZ log 2 0 = 5730 Jahre log Jahre. log 0 2 t 6 62

41 5. (Hängebrücke/Stromleitung/Seilbahn.) Wie haben hier nicht genügend Hintergrund, um die sog. Kettenlinie herzuleiten. Darum nur die Angabe der Formel: f(x) = 2 (ax + a x ) Könnten Sie so beliebig reich werden? Nein, es gibt eine Grenze: ( k n = + n =: e für große n. k 0 n) e heißt Eulersche Zahl 26. Sie ist die sog. natürliche Basis für Exponential- und Logarithmusfunktionen, weil sie als einzige Logarithmusfunktion u.a. folgende Eigenschaft hat: die Tangente an log e in der Nullstelle hat die Gleichung y = x. y = x log e x 0 x Die Basis a bestimmt, wie sehr die Kurve zwischen den (gleich hohen) Aufhängpunkten A,B durchhängt. (Eine Parabel steigt von unten her etwas schneller an.) 8.26 Die Eulersche Zahl e Angenommen, Sie bekämen auf Ihr Anfangskapital k 0 00% Zinsen p.a. (vgl ): ( k = k ) = k Die Bank schlägt vor, stattdessen jedes halbe Jahr 50% zu zahlen. Ist das besser? ( k 2 = k ) 2 = k ja! 00 Bei Verzinsung pro Quartal wäre das ( k 4 = k 0 + 4) 4 k , monatlich täglich k 2 = k 0 ( + ) 2 k , 2 ( k 365 = k 0 + ) 365 k Dadurch gilt: log e x x für alle x R + und wir bekommen ( log e + x ) n ( 8.24 (iv) = n log n e + x ) n x n n = x ( + n) x n e x, wobei die Annäherung für große n immer besser wird. Für x = ergibt sich unsere obige Schranke für die Zinseszinsen. Der Logarithmus zur Basis e heißt der natürliche Logarithmus und hat einen eigenen Namen: log e x =: lnx. Die Exponentialfunktion e x heißt einfach die e-funktion. Jede Exponential- und Logarithmusfunktion lässt sich mit Hilfe von e und ln schreiben: ax 8.24 (i) = (e lna ) x = e xln a log a x 8.24 (v) = lnx lna Aus diesem Grund wird in den meisten Anwendungen nur mit e x und lnx gearbeitet Aufgabe. (Übungen zu Exponential- und Logarithmusfunktionen.) 26 Leonhard Euler, , schweizer Mathematiker 64.

42 Winkelfunktionen 8.28 Weitere Problemstellungen. Geometrie: Wie hoch ist der Baum? 2. Geodäsie: Wie weit ist es von Neapel nach New York direkt, in Fluglinie bzw. entlang des Breitenkreises?? x New York 3. Informatik: Wie wird ein Objekt auf dem Bildschirm gedreht? Neapel 4 N 4 N 74 W 4 O Physik: Welche Gemeinsamkeiten haben die Phänomene Schall, Wechselstrom, Licht, Seegang? 8.29 Winkelfunktionen. Es sei ein Punkt M und ein Kreis K(M,r) mit Radius r gegeben. Weiter sollen zwei Strahlen in M beginnen und aus K ein Bogenstück l ausschneiden. Der von diesen beiden Stahlen begrenzte Winkel α ist das Längenverhältnis von Bogenstück zu Radius: α := l r. Es ist für alle Kreise um M genau gleich groß. Wir bezeichnen Winkel mit kleinen griechischen Buchstaben: α,β,γ,δ etc. 65 M r α r K(M, r) l Für r = entspricht der Winkel genau der Bogenlänge (ohne Einheit). Dies ist das sog. Bogenmaß. Alle natürlichen Winkel sind deshalb durch den Kreisumfang 2π beschränkt und haben Größen [ 0, 2π[. Winkel werden auch im Gradmaß gemessen, 2π entsprechen 360 : Gradmaß 360 = Bogenmaß 2π Die Umrechnung erfolgt durch Auflösen nach einer der Größen. Der Winkel mit Größe π 2 heißt rechter Winkel. Er wird in Zeichnungen mit einem Innenpunkt markiert.. 2. Um Strecken und Winkel rechnerisch in Beziehung zu setzen, definieren wir folgende Winkelfunktionen: sinα := a c = Gegenkathete Hypotenuse cosα := b c = Ankathete Hypotenuse tanα := a b = Gegenkathete Ankathete 3. Winkelfunktionen als reelle Funktionen: sin : R [,] cos : R [,] tan : R \ { π 2 + kπ k Z} R Das Argument x ist stets ein Winkel im Bogenmaß, d.h. ein Bogenstück des Einheitskreises. π π 2 cosx tanx π 2 66 sinx siny cosy π y α 3π 2 c b sinx cosx a x tanx tany