' b h : b : heaxdezimal : Basis 16 Binarzahl : Basis : 9 ABCDEF in ±1Qo ± 11 8 4 1 b " 't A ± Zi Her bit exponent Zcsina, ) ellen ; i b )b ( an ao 11 us 4 C be z 1 no 1 ± no Go T p 1 O 93 ' I ay 53 d n E 4 ^ 3 F 8 r 3 D c lz C 3 11 1 Oz 11 5^ p 3 cteeoo z C 3 11
1 Darstellung von Zahlen und Zeichen Im Folgenden gilt n 8und r g) Wandeln Sie folgende zahlen in vorzeichenlose zahlen um vorzeichenlos 75 17 18 55 56 h) Wandeln Sie folgende hexadezimale Zahlen in vorzeichenlose zahlen um Hexadezimal vorzeichenlos x541635 x7a8f3de ;Kdi4 8oqr#roZro Dowty ioonpantoalnkeol i) Berechnen Sie 4 + 17 3 im system o o 16 got On 8 4 1 + n 1 o of 4, O O O 1 ± Hao 3+8 141 +
On 1 y 1 1 l6eo 16 i 4 18 64 3 16 8 4 ^ 31%) torun : niz 31 63^8117>63 : 15 11 15 : 7 11 7 IZ 3 Rn 3 : 1 11 nn nano
14 Darstellung von Zahlen und Zeichen Aufgaben Tutorium CSB ^ Im Folgenden gilt n 8, r T a) Wandeln Sie folgende zahlen in vorzeichenlose zahlen um :1 vorzeichenlos 5 67 16 53 1^1 4 1 1 Of 11^1^1^ 11^11^11 1 1 T b) Berechnen Sie 17 + 3 im system
1 3 4 Codierung von Festkommazahlen 15 T c) Geben Sie für n 6und r 3den Wert der größten vorzeichenlosen Festkommazahl an zh ^ ( " + " zht + ) 3 3 3 + " 1 Im Folgenden gilt n 8und r 3 T d) Wandeln Sie die angegebenen zahlen in vorzeichenlose zahlen um zutriii ' vorzeichenlos as 1,375 915,37531+1%5 7,5 of,37583 1^1 o r 1,5 1^ 1 oo z C 17,65 ^ 11 ^ on 3 c,375 1375 T e) Berechnen Sie 1,75 + 3,15 im system ^ n 1 µ c + 1 1 ^ 34,875 ^ Or QN ^ no
+ sielt sojort 4 Codierung von Festkommazahlen 19 it 1 + ni:oe E Aufgaben Tutorium T a) Codieren Sie für n 8und r die folgenden Zahlen binär in die Darstellung Vorzeichen und Betrag den 17 111 5 ' " 17 Ooonooon T b) Codieren Sie für n 6 und r die angegebenen Zahlen in die binären Darstellung Vorzeichen und Betrag 61 III Betray 11 on idoppelte Anikntisde Methods uersagen 11 µ 3,75 1 117 11 1,5 1 1 11 no o 7,5 111111 s 3,75 15+,5 h 6 r Uor Zlichen atrag Naclkduxa 1 1 ^ 1 uarlkomma Stella Staller
11 Darstellung von Zahlen und Zeichen EinerKomplement Bei dieser Darstellung werden zur Negierung einer Zahl alle Bits invertiert Um eine eindeutige Unterscheidung zwischen positiven und negativen Zahlen zu gewährleisten, ist der Betrag der Zahlen auf n 1 1 beschränkt Dadurch kann das Vorzeichen der Zahl wieder direkt am MSB abgelesen werden ( ) positiv; 1 ) negativ) Der Vorteil dieser Darstellung im Vergleich der Darstellung Vorzeichen und Betrag liegt darin, dass die Codierung der negativen Zahlen in derselben Richtung erfolgt wie die Codierung der positiven Zahlen, so dass positive und negative Zahlen auf die gleiche Art und Weise addiert (bzw subtrahiert) werden können 1111 111 1 as! o 111 1 1 1 11 3 3 11 negativ positiv 4 4 111 1 5 5 11 6 6 11 7 7 11 11 1 111 :kompliment t eins
, C r 4 Codierung von Festkommazahlen : 111 " r Aufgaben a) Geben Sie den Wertebereich der EinerKomplementDarstellung für r in Abhängigkeit von n an ( In ^ 1),, Oc, b) Geben Sie den Wertebereich der EinerKomplementDarstellung allgemein in Abhängigkeit von r und n an r t ku a ( c) Geben Sie den Wertebereich der EinerKomplementDarstellung für r und n 8an 8 7, ^ d) Ist der Wertebereich asymmetrisch? N e) Codieren Sie für n 8und r die folgenden Zahlen binär im EinerKomplement 1 : 31,75 " ',( 1) ( zhttrzr ) O 1 on ^ 1 1 ^ 1 1 1 E i i3175 Ono 1 Oeo 1 1 11
line 11 Darstellung von Zahlen und Zeichen f) Codieren Sie für n 6 und r die folgenden Zahlen im EinerKomplement 1 11,5 5,5 11 1 11 1 g) Zeigen Sie an einem Beispiel, wie sich bei dieser Codierung zur Addition von zahlen derselbe Algorithmus verwendet lässt wie zur Addition von zahlen sowohl bei positiven als auch bei negativen Werten + ^ no 1 +noon 1 f + ^ "( ) Betray ^ h) Wann gibt es bei Verwendung der EinerKomplementCodierung Probleme bei der Addition? 11 1^ ^ 6 i) Wie könnte man das Problem lösen? # # ^9 Eg A ko pliant plus ein s Ze komplimat
4 Codierung von Festkommazahlen 113 Aufgaben T a) Codieren Sie für n 8und r die folgenden Zahlen binär im EinerKomplement 17 5 17 T b) Codieren Sie für n 6 und r die folgenden Zahlen binär im Einer Komplement a 3,75,5 ~ patenttpn Adbi an y int 7,5 strv Kalen de { struct %i intthagi LImp strife n aivn ; double } ; i Dakntyp Tag manner Tenpf36e ) manor double KP wwwtarpbfdt
114 Darstellung von Zahlen und Zeichen ZweierKomplement Beim ZweierKomplement wird zunächst das EinerKomplement gebildet und dann noch binär der Wert 1 addiert Auf diese Weise wird die doppelte Null vermieden Der Wertebereich wird asymmetrisch, was jedoch kein Problem darstellt Berechnungen können in dieser Codierung mit demselben Algorithmus durchgeführt werden wie im system Aus diesem Grund werden vorzeichenbehaftete FestkommaZahlen in der Regel im ZweierKomplement codiert 111 111 1111 1 o 1 1 1 Q 3 11 4 3 11 111 5 negativ positiv 4 1 6 5 11 7 8 7 6 11 11 11 1 111
4 Codierung von Festkommazahlen 117 zin 11 an ^^ ^ Aufgaben Tutorium a 1 ^ 1 11 ^ 1 T POOO f^^^ To :p: a) Codieren Sie für n 8 und r die folgenden Zahlen binär im Zweier Komplement n On ±5^ :i z iii : 3 17 ^^n ^^^^ :O 5 fin 17 no1+1 T b) Codieren Sie für n 6 und r die folgenden Zahlen binär im Zweier Komplement t 1 7111 on ^1 3,75,5 7,5 11 1 1 11 11 : ) T c) Berechnen Sie 17 3 im ZweierKomplement 1 1 E 17 n d^1 I 3 7 4 o + ^ ^ ^ or o o on ^^1 n#o [ o ^9 o onnot Ergesnis Betray
118 Darstellung von Zahlen und Zeichen 5 Codierung von Gleitkommazahlen nach IEEE 754 Durch die fest definierte Kommastelle sind bei Festkommazahlen die Abstände zwischen den einzelnen Zahlenwerten äquidistant Aus diesem Grund (und aufgrund der endlichen Anzahl an Stellen n) können mit Festkommazahlen nicht gleichzeitig sehr große Zahlen und sehr kleine Zahlen dargestellt werden Bei Gleitkommazahlen ist diese Einschränkung aufgehoben Die Abstände zwischen den einzelnen Zahlenwerten sind um den Wert herum sehr klein Für große Zahlen werden die Abstände sehr groß, wie in nachstehender Grafik skizziert as Erreicht wird diese Eigenschaft dadurch, dass die Position des Kommas nicht im Voraus festgelegt ist, sondern in der Zahl durch Angabe eines Exponenten e definiert wird Der Exponent legt fest, um wieviel die Kommastelle nach links oder rechts verschoben an werden muss Gleitkommazahlen werden wie folgt codiert: s e f Bei 3 Bit breiten Gleitkommazahlen (einfache Genauigkeit) gilt die Aufteilung s 1 Bit e 8 Bit tit &kio Iyl: f 3 Bit, g none jo bei 64 Bit breiten Gleitkommazahlen (doppelte Genauigkeit) gilt die Aufteilung Sen sit 3 sit e 3bit,, s 1 Bit y e 11 Bit f 5 Bit Als Wert ergibt sich für für normalisierte Gleitkommazahlen (NormalFall) v ( 1) s 1,f e K, für denormalisierte Gleitkommazahlen (SpezialFall) v ( 1) s,f 1 K
5 Codierung von Gleitkommazahlen nach IEEE 754 119 Die Konstante K hat bei einfacher Genauigkeit (3 Bit) den Wert K 17, bei doppelter Genauigkeit (64 Bit) den Wert K 13 Eine Gleitkommazahl gilt als normalisiert, wenn beim Exponenten e weder alle Bits gesetzt noch alle Bits gelöscht sind, dh < e < 55 bei 3 Bit < e < 47 bei 64 Bit Eine denormalisierte Gleitkommazahl liegt vor, wenn e und gleichzeitig f > Tf so Spezialfälle: : ts e f ±1: s: +1 ); 1 ) 1 e: alle Bits gesetzt ) 55 bei 3 Bit, 47 bei 64 Bit f: alle Bits NaN (Not a Number) e: alle Bits gesetzt ) 55 bei 3 Bit, 47 bei 64 Bit f: > Aufgaben Format von Gleitkommazahlen a) Welchen Wert hat eine Zahl, die in 64 Bit GleitkommaNotation mit xc8 codiert wird?
,1 o ± 4 1 K 13 15 1 Darstellung von Zahlen und Zeichen s n e ne 5 f b) Welchen Wert hat eine Zahl, die in 64 Bit GleitkommaNotation mit x4 codiert wird? is 1111%1 e F K,1 F c) Welchen Wert hat eine Zahl, die in 3 Bit GleitkommaNotation mit x7f8 codiert wird? ( 17 15 1 1 d) Was ist eine denormalisierte Gleitkommazahl, wie wird sie codiert und wie berechnet sich ihr Wert? christian czecnpinski@tumde e) Welchen Nutzen haben denormalisierte Gleitkommazahlen? f) Geben Sie ein Beispiel an, wie es zu einem Ergebnis kommen kann, das keine Zahl ist