Matematik LK 11 M2, AB 1 Funktionsuntersucungen Lösung 14.0.2016 Aufgabe 1: Gegeben ist die Funktion f (x)=x x 2 1.1 Berecne die ersten drei Ableitungsfunktionen der Funktion f mit Hilfe des Differentialquotienten, d.. one Anwendung der bekannten Ableitungsregeln. f '( x) 0 0 0 0 f (x+) f (x) ( x+) (x+) 2 (x x 2 ) 0 x + x 2 + x 2 + (x 2 +2 x+ 2 ) x + x 2 x + x 2 + x 2 + x 2 6 x 2 x + x 2 x 2 +x 2 + 6 x 2 f '' (x) 0 0 0 ( x 2 + x+ 2 6 x )= x 2 +0+0 6 x 0= x 2 6 x 0 f ' ( x+) f ' ( x) (x+) 2 6( x+) ( x 2 6 x) 0 (x 2 +2 x+ 2 ) 6 x 6 x 2 +6 x 0 6 x+ 2 6 (6 x+ 6)=6 x +0 6=6 x 6 0 f '' '( x) 0 0 6 6=6 0 f ' ' (x+) f ' ' (x) 0 x 2 +6 x+ 2 6 x 6 x 2 +6 x 6 (x+) 6 (6 x 6) 6 x+6 6 6 x+6 0 1.2 Berecne die Scnittpunkte des Funktionsgrapen von f mit den Koordinatenacsen. Scnittpunkt mit y-acse: x-koordinate at den Wert 0. Also ist der Scnittpunkt (0 y S ). Einsetzen: y s =0 0x 2 =0. Also Scnittpunkt (0 0). Scnittpunkte dem x-acse: y-koordinate at den Wert 0. Die x-koordinaten sind also die Nullstellen. Die Scnittpunkte sind also (x n 0). Einsetzen: 0=x n x 2 n =x 2 n (x n ) x 1 =0 doppelte NST. Bei x 1 muss also auc eine Extremstelle sein. x 2 = ist einface Nullstelle. Die Scnittpunkte mit der x-acse sind also (0 0) und ( 0). 1. Untersuce das Grenzwertveralten der Funktion f. lim x + f ( x )= lim x x 2 = lim x =+ x + x + lim x f ( x )= lim x x 2 = lim x = x x 1.4 Untersuce das Symmetrieveralten der Funktion f. Acsensymmetrie zur y-acse: f (x)=f ( x) f (x)=x x 2 = ( x) ( x) 2 f ( x) nict acsensymmetrisc Seite 1 von 7
Matematik LK 11 M2, AB 1 Funktionsuntersucungen Lösung 14.0.2016 Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung: f ( x)= f ( x) (x)=x x 2 = ( x) ( x) 2 = (( x) + ( x) 2 ) f ( x) nict punktsymmetrisc 1.5 Berecne die Hoc- und Tiefpunkte der Funktion f. Ableitungsfunktionen: f ' (x)= x 2 6 x ; f ' ' ( x)=6 x 6 ; f ' ' ' (x)=6 Extrempunkte: Notwendige Bedingung: f ' (x E 0= x E 2 6 x E = x E (x E 2) x 1 =0 einface NST der 1. Ableitung, also Extremstelle. Betracte Klammer: x =2 einface Nullstelle der 1. Ableitung, also Extremstelle. Hinreicende Bedingung: f ' ' (x E ) 0 ist erfüllt, weil x 1 und x einface NST der 1. Ableitung.Teste x 1 und x auf lokales Maximum oder lokales Minimum: f ' ' (x 1 )=f ' ' (0)=6 0 6= 6<0 Maximum f ' ' (x )=f ' '(2)=6 2 6=6>0 Minimum Berecne die y-koordinate des Hocpunkts: f (0 0 2 =0 ; Hocpunkt H (0 0) Berecne die y-koordinate des Tiefpunkts: f (2)=2 2 2 =8 12= 4 ; Tiefpunkt T (2 4) 1.6 Berecne die Wendepunkte der Funktion f. Wendepunkte: Notwendige Bedingung: f ' ' (x W 0=6 x W 6=6 (x W 1) x 4 =1 einface Nullstelle der 2. Ableitung Weil die NST der 2. Ableitung eine einface Nullstelle ist, ist die inreicende Bedingung für Wendestelle bereits erfüllt. Berecne die y-koordinate des Wendepunktes: f (1)=1 1 2 = 2. Also W (1 2) 1.7 Berecne die Gleicung(en) der Wendetangenten, d.. die Gleicung(en) der Tangenten, die durc den(die) Wendepunk(e) get. Tangentengleicung: g( x)=m T x+n T mit m T =f ' ( x W )=f ' (1)= 1 2 6 1= Der Wendepunkt ist gleiczeitig Punkt der Funktion f und der Wendetangenten g. Setze W (1 2) in g( x)= x+n T ein: 2= 1+n + n T =1 Also g(x)= x+1 Seite 2 von 7
Matematik LK 11 M2, AB 1 Funktionsuntersucungen Lösung 14.0.2016 1.8 Skizziere den Grapen der Funktion f unter Verwendung der Ergebnisse aus den Aufgabenteilen 1.1 bis 1.7. Zeicne erst den(die) Grapen der Wendetangente(n), dann den Grapen von f. 1.9 Untersuce, ob die Normale, die durc den ersten Wendepunkt get, weitere Scnittpunkte mit der Funktion at. Berecne ggf. diese Scnittpunkte. Die Normale get auc durc den Wendepunkt und stet senkrect zur Tangenten. Normalengleicung: (x)=m N +n mit m N = 1 = 1 m T = 1 Der Wendepunkt ist gleiczeitig Punkt der Funktion f und der Normalen. Setze W (1 2) in (x)= 1 x+n ein: 2= 1 1+n N 1 n N = 7 Also (x)= 1 x 7 Seite von 7
Matematik LK 11 M2, AB 1 Funktionsuntersucungen Lösung 14.0.2016 Die Scnittpunkte (x S y S ) befinden sic sowol auf dem Grapen von f als auc auf dem Grapen von. Setze in beide Funktionsgleicungen ein: y s =x S x S 2 und y S = 1 x 7 S. Gleicsetzen: x S x 2 S = 1 x 7 S 1 x S + 7 x S x 2 S 1 x + 7 S =0 Da der Wendepunkt ebenfalls ein Scnittpunkt ist, muss x W =1 eine Lösung dieser Gleicung sein. Polynomdivision: (x x 2 1/ x+7/):(x 1)=x 2 2x 7/ (x x 2 ) 2 x 2 1 / x+7/ ( 2x 2 + 2 x) 7/ x+7 / ( 7 / x+7/ ) 0 Also 1 1 2 1 1+ 7 =1 1 + 7 =1 +2=0 o.k. (x S 1) ( x 2 S 2x S 7 =0 Betracte 2. Klammer: ) x 2 S 2 x S 7 =0 p-q-formel: x 4 /5 =1± ( 1)2 + 7 =1± 10 x 4 =1 10 0,8257 ; x 5 =1+ 10 2,8257 Berecnung der y-werte der Scnittpunkte: f (x 4 )=( x 4 )= 1 x 4 7 1 ( 0,8257 ) 7 = 2,6085 6 f (x 5 )=(x 5 )= 1 x 5 7 1 (2,8257) 7 = 1,914 Die Scnittpunkte sind S 1 ( 0,8 2,61) und S 2 (2,8 1,9 ). 1.10 Füre die Aufgabenteile 1. bis 1.8 für die Funktion f 2 (x)= 1 4 x4 2 x 2x 2 +8 x durc. Die Nullstellen von f 2 sind x 1,14 und x 2 =0. 1.(2) Untersuce das Grenzwertveralten der Funktion f 2. lim x ± 1 f ( x )= lim x ± 4 x 4 2 x 2 x 2 +8 x= lim x 4 =+ x ± Seite 4 von 7
Matematik LK 11 M2, AB 1 Funktionsuntersucungen Lösung 14.0.2016 1.4(2) Untersuce das Symmetrieveralten der Funktion f 2. f 2 ist weder acsen- noc punktsymmetrisc, weil der Funktionsterm sowol gerade als auc ungerade Exponenten entält; die Funktion also weder gerade (und damit acsensymmetrisc zur y-acse) oder ungerade (und damit punktsymmetrisc zum Koordinatenursprung) ist. 1.5(2) Berecne die Hoc- und Tiefpunkte der Funktion f 2. Ableitungsfunktionen: f 2 ' (x)=x 2x 2 4 x+8 ; f 2 ' ' ( x)=x 2 4 x 4 ; f 2 ' ' ' (x)=6x 4 Extrempunkte: Notwendige Bedingung: f 2 ' (x E 0=x E 2x E 2 4 x E +8 Finde x 1 =2 durc Probieren. Polynomdivision: (x 2 x 2 4 x+8):(x 2)=x 2 4 (x 2x 2 ) 4 x+8 ( 4 x+8 ) 0 Also 0=(x E 2) (x E 2 4) Betracte 2. Klammer: 2 2 0=x 1/ 2 4 4=x 1/ 2 x 1 /2 =±2 Damit ist x 1 =2 eine doppelte Nullstelle und somit keine Extremmstelle, sondern die x-koordinate eines Sattelpunktes. x 2 = 2 ist eine einface Nullstelle, also eine Extremstelle. Hinreicende Bedingung: f 2 ' ' (x 2 ) 0 ist erfüllt, weil x 2 einface NST der 1. Ableitung.Teste x 2 auf lokales Maximum oder lokales Minimum: f 2 ' ' (x 2 )=f 2 ' ' ( 2 )= ( 2) 2 4 ( 2) 4 =12+8 4=16>0 Minimum Berecne die y-koordinate des Tiefpunkts: f ( 2)= 1 4 ( 2)4 2 ( 2) 2 ( 2) 2 +8 ( 2)= 44 Tiefpunkt T( 2 44 ) 1.6(2) Berecne die Wendepunkte der Funktion f 2. Wendepunkte: Notwendige Bedingung: f 2 ' ' (x W 0= x W 2 4 x W 4 : 0=x W 2 4 x W 4 p-q-formel: x 1/ = 2 ± 4 9 +12 9 = 2 ± 16 9 = 2 ± 4 x 1 = 2 + 4 = 6 =2 ; x = 2 4 = 2 Seite 5 von 7
Matematik LK 11 M2, AB 1 Funktionsuntersucungen Lösung 14.0.2016 Weil die NST der 2. Ableitung einface Nullstellen sind, ist die inreicende Bedingung für Wendestellen bereits erfüllt. Berecne die y-koordinate des Wendepunkte: f 2 (x 1 )=f 2 (2)= 1 4 24 2 2 2 2 2 +8 2= 20 f 2 (x )=f 2( 2 ) = 1 4 ( ) 2 4 W 2( 2 ) 5,98 2 ( ) 2 Also 2 ( 2 2 ) W 1( 2 20 ) Sattelpunkt. +8 ( 2 ) 5,975 Also 1.7(2) Berecne die Gleicung(en) der Wendetangenten, d.. die Gleicung(en) der Tangenten, die durc den(die) Wendepunk(e) get. Tangentengleicung: g( x)=m T x+n T mit m T =f ' ( x W ) W 1 ist ein Sattelpunkt, at also die Steigung 0. Damit ist der y-acsenabscnitt gleic dem Funktionswert an der Sattelstelle. Für W 1 lautet die Gleicung der Wendetangente also g 1 (x x+f 2 (x 1 )=f 2 (2)=6,67 Wendetangente für W 2 : m T =f ' ( x )=f '( 2 ) ( ) 2 ( = 2 2 2 ) 4 ( 2 ) +8 9,4815 Der Wendepunkt ist gleiczeitig Punkt der Funktion f 2 und der Wendetangenten g 2. Setze W 2( 2 5,96 ) in g 2 ( x)=9,4815 x+n T ein: 5,975=9,4815 ( 2 ) +n T +6,210 n T 0,457 Also g(x)=9,48 x+0,5 Seite 6 von 7
Matematik LK 11 M2, AB 1 Funktionsuntersucungen Lösung 14.0.2016 1.8(2) Skizziere den Grapen der Funktion f 2 unter Verwendung der Ergebnisse aus den Aufgabenteilen 1.1(2) bis 1.7(2). Zeicne erst den(die) Grapen der Wendetangente(n), dann den Grapen von f. Seite 7 von 7