II Funktionaler Zusammenhang Beitrag 22 Normalparabeln 1 von 24 Rechnen mit Normalparabeln Aufgaben mit Alltagsbezug Von Thomas Gyöngyösi, Halberstadt Lassen Sie die Schüler herausfinden, welchen Einfluss Parameter auf Form und Lage der Normalparabel haben. Klasse 7/8 Dauer Inhalt Kompetenzen Ihr Plus 7 Stunden Parabeln im Alltag, Umgang mit Parametern, Scheitelpunktform mathematische Probleme lösen (K2); mit den symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (K5) motivierende Aufgaben, Gruppenpuzzle und GeoGebra--Dateien
II Funktionaler Zusammenhang Beitrag 22 Normalparabeln 2 von 24 Didaktisch-methodische Hinweise In Abhängigkeit von bestimmten Parametern ändert sich die Form und Lage der Normalparabel. Wie, das untersuchen Ihre Schülerinnen und Schüler in diesem Beitrag. Einstieg Zur Motivation lassen Sie die Schüler Parabeln in ihrer Umwelt suchen, fotografieren und damit z. B. ein Plakat erstellen. Darauf sollen sie die vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten von quadratischen Funktionen darstellen. Die gängigen Suchmaschinen im Internet sind für die Bildersuche eine Hilfe. Wichtige Impulse erhalten die Schüler aus der Physik: Zum Beispiel spielen quadratische Funktionen bei der Ermittlung des Anhalteweges eines Fahrzeuges eine Rolle. Aufbauend auf dieser Einführungsphase lernen Ihre Schüler die Normalparabel als Graph der Funktion f(x) = x 2 kennen. Stellen Sie aber dennoch alle wichtigen Eigenschaften der Normalparabel zusammen. Für die nachfolgenden Materialien sind mindestens die folgenden Eigenschaften unverzichtbar: - Definitionsbereich, Scheitelpunkt, Monotonie, - Wertebereich, Anzahl der Nullstellen, - Schnittpunkt mit der y-achse, Symmetrieachse. Zeigen Sie Ihren Schülern, dass sich aus dem Scheitelpunkt die Monotonie und der Wertebereich einer quadratischen Funktion leicht ermitteln lassen. Hinweise Selbstverständlich können Sie die Materialien M 2 und M 3 unabhängig von M 1 und M 4 einsetzen, z. B. in Form einer Stationenarbeit. Finden Sie dann eine weitere interessante Aufgabenstellung, die übergeordnetes Ziel der Erarbeitungsphase ist. Verwenden Sie in Ihrem Unterricht die auf der 38. CD bereitgestellten HTML- und nicht die GeoGebra-Dateien (.ggb). Diese Dateien können Sie mit einem beliebigen Webbrowser öffnen. In der HTML-Version sind die meisten Funktionen von GeoGebra deaktiviert bzw. arbeiten im Hintergrund, sodass die Schüler nicht durch unnötige Buttons irritiert werden. Die Arbeitsoberfläche ist auf das Wesentliche reduziert. Die zu diesem Material gehörenden Dateien wurden mithilfe der dynamischen Geometrie-software GeoGebra erstellt, die Sie im Internet herunterladen können: http://www.geogebra.org/cms/en/installers Sollten Sie die Methode des Gruppenpuzzles bevorzugen, erläutern Sie diese Ihren Schülerinnen und Schülern.
II Funktionaler Zusammenhang Beitrag 22 Normalparabeln 5 von 24 Auf einen Klick Stunde 1 3 Motivation und Gruppenpuzzle M 1 (Fo) Der Alltag: Die Normalparabel ist verändert M 2 (Gp) Verschobene Normalparabel und die e-funktion M 3 (Gp) Verschobene Normalparabel und Parameter M 4 (Gp) Dein Gebiss und lustige Fenster Beispiele für Parabeln Stunde 4 5 Scheitelpunktform und quadratische Ergänzung M 5 (Ab) Ordnung im Chaos die Scheitelpunktform M 6 (Ab) So funktioniert die quadratische Ergänzung Stunde 6 Drücken, Ziehen die Normalparabel verändert ihre Form M 7 (Ab) Die Auswirkungen des Formparameters a auf quadratische Funktion y = ax 2 entdecken Stunde 7 Neue Eigenschaften die Funktion f(x) = ax 2 untersuchen M 8 (Ab) Die Eigenschaften der Funktion f(x) = ax 2 zusammenstellen und die allgemeine Scheitelpunktform kennenlernen Legende der Abkürzungen Ab: Arbeitsblatt, Fo: Folie, Gp: Gruppenpuzzle Zusatzmaterial auf CD 38 Material_2.html, Material_2.ggb M 2 Material_3.html, Material_3.ggb M 3 Material_4.html, Material_4.ggb M 4 Material_5.ggb M 5 Material_7.html, Material_7.ggb M 7 Material_8.html, Material_8.ggb M 8 Minimalplan Ihre Zeit ist knapp? Beschränken Sie sich auf die Materialien M 2 und M 3. Diese Materialien lassen sich unabhängig vom Material M 1 und M 4 erarbeiten (2 Unterrichtsstunden). Vergleichen Sie die Ergebnisse der Erarbeitung im Plenum und leiten Sie im Lehrervortrag den Begriff der Scheitelpunktform her. Die Lösungen zu den Materialien finden Sie ab hier.
II Funktionaler Zusammenhang Beitrag 22 Normalparabeln 9 von 24 Hinweise (M 1) Nutzen Sie die Farbfolie M 1 als Hinführung zum Thema. Zur Vorbereitung geben Sie Ihren Schülern als Hausaufgabe auf, Parabeln in ihrer Umwelt zu finden. Lassen Sie sie damit eine Wandzeitung oder Ähnliches erstellen. Vergleichen Sie die Abbildungen, die die Schüler gefunden haben. Zeigen Sie ihnen, dass man im Alltag eher selten die Normalparabel findet. Abb. 01 (Parabelförmige Hecke): Gespiegelte, gestauchte und verschobene Normalparabel Abb. 02 (Regenbogen): Gespiegelte Normalparabel. Je nachdem, unter wie viel Druck das Wasser steht, entsteht eine gestauchte oder gestreckte (und gespiegelte) Normalparabel. Abb. 03 (Parabelförmige Fenster): Nach oben verschobene Normalparabel Hinweise (M 2) Die Schüler beschreiben die Veränderung eines Funktionsgraphen in Abhängigkeit von dem Parameter e. Weisen Sie sie darauf hin, dass sie erst am Ende der Erarbeitung den Button Eigenschaften anzeigen aktivieren. Sie erkennen spätestens dann die Grenzen des Programms, wenn sie die Eigenschaften verallgemeinern müssen. Wenn Ihr Computerraum diese Option zulässt, aktivieren Sie das Internet erst dann, wenn die Schüler eine Rückmeldung über die erfolgreiche Bewältigung der Aufgaben 1 bis 4 gegeben haben. Es empfiehlt sich, die Zeichnungen von den Schülern tatsächlich per Hand und Parabelschablone anfertigen zu lassen, um so deren psychomotorische Fähigkeiten weiter auszubauen. Haben Sie die quadratischen Gleichungen bereits behandelt, so können Sie natürlich auch fordern, dass die Schüler die Nullstellen und die Schnittpunkte mit der x-achse berechnen. Für Experten Eine Auswertung bzw. Kontrolle erübrigt sich, da der Schüler eine unmittelbare Rückmeldung zu seinem Lösungsvorschlag bekommt und seinem Punktekonto bei richtiger Lösung 15 Punkte gutgeschrieben oder bei falscher Lösung 7 Punkte abgezogen werden. Hinweise (M 3) Auch hier erübrigt sich eine Kontrolle bzw. ein Vergleich, da der Schüler wie in der Übung zum Material M 2 eine sofortige Rückmeldung zu seinem Lösungsvorschlag bekommt.
II Funktionaler Zusammenhang Beitrag 22 Normalparabeln 10 von 24 Dein Gebiss und lustige Fenster Beispiele M 4 für Parabeln Im Alltag findest du viele Beispiele für Parabeln: Beim Bau von Brücken und Tunneln und in der Kunst haben sie als Konstruktionselemente Bedeutung. Aber auch in der Physik und Biologie tauchen Parabeln auf: Sieh dir einfach einmal dein Gebiss genauer an es ist fast parabelförmig. Häufig kann man solche Parabeln nicht durch eine Normalparabel beschreiben. Verschiebung, Streckung oder Stauchung In den meisten Fällen wird die Normalparabel verschoben oder in ihrer Form geändert (gestaucht oder gestreckt). Parabeln findet man auch in der Architektur, z. B. als Fenster. Aufgabe a) Ermittle eine Funktionsgleichung der beiden parabelförmigen Fenster (siehe Abb.). Tipp Sie sind durch eine Verschiebung aus der Normalparabel hervorgegangen. b) Öffne die Datei Material_4.html und kontrolliere dein Ergebnis. Für Experten Findest du vielleicht sogar Parabeln in eurem Schulgebäude? Tipp Gehe schrittweise vor: 1. Um wie viele Einheiten muss die Normalparabel nach links oder rechts verschoben werden? 2. Ergänze als Summanden die Anzahl der Einheiten, um die die Parabel nach oben verschoben werden muss. http://www.drbaumgardt.de/uploads/ pics/zahnkranz_uk4b2.gif Foto: http://www.fotocommunity.de/pc/pc/display/15820909
II Funktionaler Zusammenhang Beitrag 22 Normalparabeln 11 von 24 Ordnung im Chaos die Scheitelpunktform M 5 Aufgabe 1 Erarbeite dir mithilfe deines Schulbuches den Begriff der Scheitelpunktform. Rechts siehst du ein Beispiel. Aufgabe 2 Zeichne mithilfe deiner Parabelschablone die Graphen der Funktionen f 1(x) = (x 4) 2 + 3, f 2(x) = (x + 2) 2 4 und die Normalparabel in dein Heft. Kontrolliere die Zeichnung mithilfe der Datei Material_4.html, indem du für d und e entsprechende Werte einstellst. Aufgabe 3 Unter deiner Zeichnung ergänzt du den folgenden Merktext. Vervollständige dabei die Lücken. Merke Der Graph der Funktion f(x) = (x d) 2 + e, wobei d, e R, entsteht aus einer Verschiebung der um e in Richtung der -Achse und einer Verschiebung um d in -Richtung. Der Scheitelpunkt des Graphen dieser Funktion hat die Koordinaten S( ). Diese Darstellung einer quadratischen Funktion heißt Scheitelpunktform. Aufgabe 4 Untersuche die Eigenschaften der Funktionen f 1(x) = (x 4) 2 + 3, f 2(x) = (x + 2) 2 4 und ganz allgemein für f(x) = (x + d) 2 + e. Erstelle dazu wieder eine Tabelle. Kontrolliere deine Ergebnisse mithilfe der Datei, indem du auf Eigenschaften anzeigen klickst. Für Experten Öffne die Datei http://www.realmath.de/neues/klasse9/parabueb/parabelzeichnen01.html. und versuche, mindestens 200 Punkte zu erreichen.
II Funktionaler Zusammenhang Beitrag 22 Normalparabeln 19 von 24 Lösung (M 4) Beispiele für Parabeln Aufgabe 1 Für das linke Fenster erhält man (ohne exakte Werte anzugeben): f(x) = (x + 2) 2 + 5 und für das rechte Fenster: f(x) = (x 2) 2 + 5. Aufgabe 2 Durch das korrekte Einstellen der Schieberegler für die Parameter d und e erhält der Schüler eine direkte Rückmeldung über den Erfolg seines Lösungsansatzes. Lösung (M 5) Beispiele für Parabeln Aufgabe 1 Siehe Schulbuch. Aufgabe 2 Zeichnerische Darstellung:
II Funktionaler Zusammenhang Beitrag 22 Normalparabeln 20 von 24 Aufgabe 3 Merke: Die Funktion f(x) = (x d) 2 + e Der Graph der Funktion f(x) = (x d) 2 + e, wobei d, e R, entsteht aus einer Verschiebung der Normalparabel um e in Richtung der y-achse und um d in x-richtung. Der Scheitelpunkt des Graphen dieser Funktion hat die Koordinaten S(d e). Diese Darstellung einer quadratischen Funktion heißt Scheitelpunktform. Aufgabe 4 Eigenschaft y = (x 4) 2 + 3 y = (x + 2) 2 4 y = (x d) 2 + e (d, e R) Definitionsbereich x R x R x R Scheitelpunkt S(4 3) S( 2 4) S(d e) Monotonie Wertebereich x < 4: fallend x = 4: Scheitel x > 4: steigend x < 2: fallend x = 2: Scheitel x > 2: steigend x < d: fallend x = d: Scheitel x > d: steigend y R; y 3 y R; y 4 y R; y e Anzahl der Nullstellen keine genau zwei e < 0: keine e = 0: genau eine e > 0: genau zwei Schnittpunkt mit der y-achse S y(0 19) S y(0 0) S y(0 d 2 + e) Symmetrieachse x = 4 x = 2 x = d