Übung 6 Abgabe: 7.4. bzw. 2.4.28 Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 28 Photonics Laboratory, ETH Zürich www.photonics.ethz.ch Evaneszente Felder und Energietransport Oberflächenwellen (4 Pkt.) Wir widmen uns in dieser Aufgabe elektromagnetischen Feldern an Grenzflächen zwischen zwei verschiedenen Materialien. Insbesondere fokussieren wir unsere Betrachtungen auf Oberflächenwellen, deren Felder entlang der Grenzfläche propagieren, senkrecht dazu jedoch exponentiell abfallen, wie in Abb. (a) skizziert. Solche evaneszenten Oberflächenwellen erlauben die Manipulation elektromagnetischer Felder auf Längenskalen kleiner als die Wellenlänge und bilden das Fundament der Nano-Optik. Wir untersuchen zunächst einige Eigenschaften der Lösungen der Maxwell Gleichungen in den separaten Medien. Dazu betrachen wir eine p-polarisierte elektromagnetische Welle im quellfreien Medium i mit den Materialparametern µ i und ε i bei der Frequenz ω, deren komplexe elektrische Feldamplitude von der folgenden Gestalt sei E i (r) = E x,i E z,i e i(k x,ix+k z,i z). () (a) z Medium Medium 2 x (b) Vakuum Metall Dielektrikum α Abbildung : (a) Illustration einer Oberflächenwelle, die entlang der Grenzfläche zwischen zwei Medien propagiert, deren Feld jedoch senkrecht zur Grenzfläche exponentiell abfällt. (b) Kretschmann Konfiguration zur Anregung eines Oberflächenplasmons auf einer Vakuum-Metall-Grenzfläche durch Totalreflexion an einem dünnen Metallfilm. (a) ( Pkt.) Zeigen Sie mithilfe einer Maxwell Gleichung folgende Relation k x,i E x,i + k z,i E z,i =. (2)
Folgt aus D(r) = ρ. (b) (2 Pkt.) Berechnen Sie das zu E i (r) gehörige magnetische Feld H i (r). Wir verwenden die Maxwell Gleichung E = iωb mit B = µµ H und erhalten k H i = z,i ωµ µ E x k x,i ωµ µ E z,i e i(k x,ix+k z,i z). (3) Das magnetische Feld ist also y-polarisiert. (c) ( Pkt.) Zeigen Sie, dass folgende Bedingung erfüllt sein muss, um die Maxwell Gleichungen zu erfüllen k z,i H y,i = ωε i ε E x,i. (4) Folgt aus H = iωd + j. (d) (3 Pkt.) Überzeugen Sie sich, dass die Maxwell Gleichungen weiterhin erfordern, dass die Dispersionsrelation erfüllt ist k 2 x,i + k 2 z,i = ω2 c 2 n2 i. (5) Folgt aus H = iωd + j. Wir finden daraus k z H y = ωεε E x. Mit H y aus Gl. (3) und Gl. (2) ergibt sich die Dispersionsrelation unter Benutzung von n 2 = εµ und c 2 = (ε µ ). (e) (3 Pkt.) Wir betrachten nun die Grenzfläche zwischen den beiden Medien (mit Permittivität ε und Permeabilität µ = ) und 2 (ε 2 und µ 2 = ). Benutzen Sie die Randbedingungen für die elektromagnetischen Felder, um folgendes Gleichungssystem für das Magnetfeld herzuleiten ( k z /ε k z2 /ε 2 ) ( H y H 2y ) =. (6) Die Randbedingung für das elektrische Feld lautet E,x = E 2,x. Mit Gl. (4) ergibt sich die erste Zeile der Gl. (6). Die zweite Zeile ist bereits die Randbedingung für das Magnetfeld. (f) (3 Pkt.) Eine homogene Lösung der Maxwell Gleichungen, d.h. eine Lösung des Gleichungssystems in Gl. (6), existiert, wenn die Determinante der charakteristischen Matrix verschwindet. Zeigen Sie, dass für den parallelen Wellenvektor der Lösung gilt k 2 x = ω2 c 2 ε ε 2 ε + ε 2. (7) Ergibt sich durch Einsetzen der Dispersionsrelationen k 2 z,i = n2 i ω2 /c 2 k 2 x in den beiden Medien in die charakteristische Gleichung k z /ε + k z2 /ε 2 =. Hierbei ist zu beachten, dass k x,i = k x,j = k x. 2
Wir nehmen nun an, dass es sich um eine Grenzfläche zwischen einem Dielektrikum (ε ) sowie ein Metall als Medium 2 handelt. Die dielektrische Funktion des Metalles sei durch das Drude Modell beschrieben ε 2 (ω) = ω 2 p/ω 2, (8) wobei ω p die materialspezifische Plasmafrequenz bezeichnet. (g) (4 Pkt.) Skizzieren Sie die Drude Permittivität und bestimmen Sie, in welchem Frequenzbereich ein Metall metallische optische Eigenschaften (ε < ) und wo dielektrische Eigenschaften (ε > ) besitzt. Beschriften Sie Ihre Achsen inklusive passender quantitativer Skala. Betrachten Sie den Brechungsindex eines metallischen Materials und argumentieren Sie, warum eine elektromagnetische Welle nicht ins Metall eindringen kann, sondern reflektiert wird. Die dielektrische Funktion eines Drude Metalls ist positiv für ω > ω p und negativ bei ω < ω p, ε metallisch dielektrisch ω p ω Abbildung 2: Dispersionsrelation eines Drude Metalls. wie in Abb. 2 skizziert. Für positives ε ist der Brechungsindex und damit auch die Wellenzahl reell, eine Welle propagiert also. Für negatives ε ist der Brechungsindex n = ε imaginär und eine Welle mit dem räumlichen Phasenfaktor e i εωz/c ist exponentiell gedämpft. Eine elektromagnetische Welle kann also in ein metallisches Medium nicht eindringen und dort weiter propagieren, weshalb metallische Oberflächen (unterhalb der Plasmafrequenz) spiegeln. Oberhalb der Plasmafrequenz werden Metalle transparent. (h) (4 Pkt.) Berechnen Sie den parallelen Wellenvektor für die homogene Lösung unter der Annahme, dass die dielektrische Funktion des Metalles durch das Drude Modell beschrieben ist ε 2 (ω) = ω 2 p/ω 2. (9) Für welche Frequenzen ergeben sich Lösungen, die entlang der Grenzfläche propagieren? Hinweis: Es ergeben sich zwei Äste in der Dispersionsrelation. Wir bezeichnen den Ast bei niedrigen Frequenzen als Oberflächenplasmon (surface plasmon polariton, SPP). 3
Es ergibt sich kx 2 ω 2 ω 2 ωp 2 = ε c 2 (ε + )ω 2 ωp 2. () Propagierende Lösungen in x-richtung ergeben sich für k x R, also für ω > ω p sowie für ω < ω p / ε +. Für Frequenzen ω p / ε + < ω < ω p ist k x rein imaginär, fällt also entlang der Grenzfläche exponentiell ab. (i) (5 Pkt.) Erstellen Sie einen Graphen der Dispersionsrelation des parallelen Wellenvektors an der Grenzfläche. Tragen Sie hierzu vertikal ω als Funktion von k x auf. Markieren Sie die Plasmafrequenz ω p sowie die sogenannte Oberflächenplasmonfrequenz ω SPP = ω p / ε +. Nehmen Sie an, über dem Metall befinde sich Vakuum mit ε =. Tragen Sie ausserdem die Dispersionsrelation ω(k) von Licht im Vakuum, die sogenannte Lichtlinie, auf und geben sie ihre Steigung an. Siehe Abb. 3(a). Die Steigung der Lichtlinie ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts im Medium. ω/ω p (a) Re(k x ) ω spp Lichtlinie Im(k x ) Re(k x ) SPP Dispersionsast k x reell k x imag. k x reell k z reell k z imag. ω/ω p (b) ω spp ω max Vakuum-Lichtlinie Lichtlinie im Medium 2 k x /(ω p /c) 2 k x /(ω p /c) Abbildung 3: (a) Dispersionsrelation der Lösung der Maxwell Gleichungen an der Metall-Vakuum Grenzfläche. Für Frequenzen ω > ω p ist das Metall dielektrisch und die Lösungen propagieren in x und z-richtung. Für ω < ω SPP propagieren die Lösungen entlang der Grenzfläche entlang x, sind jedoch evaneszent entlang z. Der SPP Dispersionsast liegt rechts der Lichtlinie, folglich ist die x-komponente des SPP Wellenvektors grösser als der Wellenvektor in Vakuum. Es ist also unmöglich, SPPs mit einer ebenen Welle anzuregen, die von der Luftseite her einfällt. (b) Hier ist zusätzlich noch die Lichtlinie in einem Medium mit n > eingezeichnet. Für einen dünnen metallischen Film zwischen einem Dielektrikum mit n > und Luft/Vakuum, kann durch eine ebene Welle, die von der Seite des dichteren Dielektrikums einfällt, folglich ein Oberflächenplasmon auf der Metall/Luft-Seite angeregt werden. Die Maximalfrequenz, bei der eine solche Anregung möglich ist, ist durch den Schnittpunkt der Lichtlinie im Medium mit der SPP Dispersionskurve gegeben. (j) (4 Pkt.) Zum besseren Verständnis der Natur der beiden Äste der Dispersionsrelation k x (ω) betrachten wir nun die z-komponenten der Lösungen in den beiden Medien. Zeigen Sie, dass 4
im Medium i gilt (mit i j) kz,i 2 = kx 2 ε i. () ε j Für welchen Frequenzbereich sind die Lösungen für die Metall-Vakuum Grenzfläche evaneszent in der Richtung senkrecht zur Grenzfläche und propagierend entlang der Grenzfläche? Für welchen Frequenzbereich sind die Lösungen propagierend in beide Richtungen? Den gegebenen Ausdruck erhalten wir durch Kombination der Gl. (5) und (7). In Aufgabe (h) haben wir bereits festgestellt, für welche Frequenzbereiche die Lösungen propagierend bzw. evaneszent entlang der Grenzfläche sind. Hier erkennen wir nun, dass die Welle evaneszent in Richtung normal zur Grenzfläche wird für ε i /ε j < und gleichzeitig k x R, da dann k 2 z,i < gilt. Da wir eines der Medien als Dielektrikum mit ε > angenommen haben, gilt ε i /ε j <, wenn für das Metall gilt ε 2 <, was unterhalb der Plasmafrequenz ω p der Fall ist. Evaneszent senkrecht zur und propagierend entlang der Grenzfläche sind die Lösungen also für ω < ω SPP. Für ω > ω p sind die Lösungen propagierend in beide Richtungen. In diesem Frequenzbereich oberhalb der Plasmafrequenz hat das Metall dielektrische Eigenschaften mit ε 2 (ω > ω p ) > Im Bereich ω SSP < ω < ω p gilt ε i /ε j < und gleichzeitig k 2 x <, so dass sich k z R ergibt. Wir haben uns also überzeugt, dass Oberflächenplasmonen Lösungen der Maxwell Gleichungen darstellen, die auf der Grenzfläche zwischen einem Metall und einem Dielektrikum propagieren können und in die angrenzenden Medien exponentiell abfallen. Nun wenden wir uns der Frage zu, wie diese Oberflächenplasmonen angeregt werden können. Wir nehmen dazu im Folgenden weiterhin an, dass das Medium Vakuum mit ε = sei. (k) (3 Pkt.) Betrachten Sie die Metall-Vakuum Grenzfläche und überlegen Sie, unter welchem Winkel zur Grenzflächennormale eine ebene Welle von der Luftseite einfallen müsste, um ein Oberflächenplasmon anzuregen. Hinweis: Beachten Sie, dass die Parallelkomponenten des Wellenvektors stets erhalten sein muss. Unter dem gesuchten Anregungswinkel muss also gelten k x,ebenewelle = k x,spp. Die Parallelkomponente des Wellenvektors des SPPs ist stets grösser als die Wellenzahl im Vakuum, wie graphisch aus Abb. 3(a) ersichtlich. Somit kann selbst unter völlig flachem Einfallswinkel θ = π/2 der notwendige parallele Wellenvektor nicht zur Verfügung gestellt werden. Es gibt also keinen Winkel, unter dem durch eine einfallende ebene Welle eine Oberflächenwelle auf der Metallgrenzfläche angeregt werden kann. (l) (3 Pkt.) Nun betrachten wir die sogenannte Kretschmann Konfiguration zur Anregungen von Oberflächenplasmonen. Hier wird ein Metallfilm auf ein Dielektrikum mit ε d > aufgebracht, wobei die Filmdicke von der Grössenordnung der Skin-Eindringtiefe ist [s. Abb. (b)]. Bestimmen Sie den Winkel α, unter dem eine ebene Welle der Frequenz ω aus dem Dielektrikum einfallen muss, so dass auf der Vakuum-Metall Grenzfläche ein Oberflächenplasmon angeregt werden kann. Die Parallelkomponente des Wellenvektors einer aus dem Dielektrikum unter dem Winkel α 5
einfallenden Welle lautet k x = n d (ω/c) sin α, während jene des Oberflächenplasmons durch Gl. () gegeben ist. Durch Gleichsetzen erhalten wir sin α = ω 2 ωp 2 n d 2ω 2 ωp 2. (2) (m) (4 Pkt.) Bestimmen Sie die maximale Frequenz (als Funktion des Brechungsindex n d des Dielektrikums), bei der ein Oberflächenplasmon angeregt werden kann. Illustrieren Sie diese Frequenz, indem Sie Ihrer in Aufgabe (i) erstellten Dispersionsrelation noch die Lichtlinie im Dielektrikum auf der Einfallsseite hinzufügen. Die Parallelkomponente des Wellenvektors wird maximal für α π/2. Unter dieser Bedingung n ergibt sich ω max = 2 2n 2 ω p. Diese Frequenz ergibt sich gerade aus dem Schnittpunkt der Lichtlinie im Medium auf der Einfallsseite und der SPP Dispersionsrelation, wie in Abb. 3(b) gezeigt. Es existiert eine Sensorfamilie, deren Operationsprinzip auf der Erzeugung von Oberflächenplasmonen basiert. In der Kretschmann Konfiguration werden unter dem passenden Einfallswinkel Oberflächenplasmonen angeregt, was sich in einer relativ niedrigen Reflektivität der Grenzfläche niederschlägt. Die Oberseite des Metallfilms, auf der die Plasmonen propagieren, wird nun dem Analyten ausgesetzt. Oftmals wird die Metalloberfläche funktionalisiert, so dass bestimmte Analyten sich präferentiell daran binden. Die Präsenz der gebundenen Analyten verändert nun den Brechungsindex auf der Oberseite des Metallfilmes, wodurch sich die Dispersionskurve der Oberflächenplasmonen verschiebt. Im Reflexionssignal von der Sensorunterseite zeigt sich die Präsenz des Analyten durch eine Zunahme der Reflektivität, da nun der Einfallswinkel nicht mehr passend ist zur Anregungen von Oberflächenwellen. Die herausragende Stärke solcher SPP Sensoren liegt in der Sensitivität auf Brechungsindexänderungen in unmittelbarer Nähe der Oberfläche dank der ins Medium hinein exponentiell abfallenden evaneszenten Felder. 6
2 Energieerhaltung an Grenzflächen (6 Pkt.) Laut dem Poynting Theorem ist mit der Propagation elektromagnetischer Strahlung stets ein Energiefluss verbunden. Die in der Sonne durch nukleare Fusionsprozesse erzeugte Energie wird beispielsweise durch elektromagnetische Strahlung zur Erde transportiert. Ebenso ist auch jeglicher Informationsaustausch in drahtlosen Netzwerken stets mit einem Energiefluss vom Sender zum Empfänger verbunden. Formal ist dieser Energiefluss durch den Poynting Vektor S beschrieben. Für ein monochromatisches Feld ergibt sich der zeitliche Mittelwert des Poynting Vektors aus den komplexen Feldamplituden nach S = 2 Re{E(r) H (r)}. (3) In verlustfreien Medien (ε, µ R) muss die Strahlungsenergie erhalten sein. Dies gilt natürlich insbesondere an Grenzflächen zwischen verlustfreien Medien. Wir betrachten in dieser Aufgabe den Energietransport über eine Grenzfläche zwischen einem Medium mit Materialkonstanten ε und µ im Halbraum z < und einem Medium 2 (ε 2 und µ 2 ) im Halbraum z >. (a) z (b) E 2 ε 2,µ 2 θ 2 k 2 ε,µ x ε,µ E 3 3 k E i E i θ r θ k r ε 2,µ 2 ε,µ d E i 2 E r Abbildung 4: (a) Eine p-polarisierte ebene monochromatische Welle trifft unter dem Winkel θ aus einem Medium mit Materialparametern ε, µ auf eine Grenzfläche mit einem Medium 2 mit ε 2, µ 2 auf. Die Einfallsebene sei die y = Ebene. (b) Schichtsystem mit Material 2 der Dicke d eingebettet zwischen Material (unten) und Material 3 (oben), wobei die Materialien und 3 gleich seien. Vom Medium falle eine monochromatische ebene Welle unter einem Winkel θ zur Grenzflächennormalen in der y = Ebene ein, wie in Abb. 2(a) gezeigt. Der Poynting Vektor im Medium j sei S j und seine z-komponente S j z. Wir überzeugen uns im Folgenden (exemplarisch für ein p-polarisiertes Feld), dass der Energiefluss normal zur Grenzfläche über diese hinweg erhalten ist, so dass gilt S 2 n z = S n z. (4) (a) ( Pkt.) Formulieren Sie unter Verwendung der Fresnel-Koeffizienten das einfallende p- polarisierte elektrische Feld E i (r) mit komplexer Amplitude E, sowie das reflektierte Feld E r (r) und das transmittierte Feld E t (r) in Vektorschreibweise. Wie lautet das Gesamtfeld E (r) im Halbraum? Ersetzen Sie sämtliche Winkel durch die Parallelkomponenten k x, k x2 7
sowie die z-komponenten k z, k z2 der Wellenvektoren. Welche Relation gilt zwischen k x und k x2? Wir finden unter Erhaltung der Parallelkomponenten des Wellenvektors (k x = k x2 = k x ) k z /k sin θ k x E i (r) = E e ik r mit k = k =, (5) k x /k cos θ k z sowie E r (r) = E r p k z /k e ik rr k x /k sin θ mit k r = k = cos θ k x k z (6) und k = n ω/c. Somit lautet das Gesamtfeld im Halbraum (k z /k ) ( eikr + rpeikrr ) E (r) = E i (r) + E r (r) = E (k x /k ) ( e ikr + r p e ik rr ) (7) und das transmittierte Feld im Halbraum 2 k z2 /k 2 E 2 (r) = E t (r) = t p E e ik 2r k x /k 2 und k 2 = n 2 ω/c. mit k 2 = k x k z2 (8) (b) (5 Pkt.) Berechnen Sie die magnetischen Felder H (r) (aus H i (r) und H r (r)) sowie H t (r). Aus der Maxwellgleichung E = iωµµ H erhalten wir H (r) = E e ikr r p e ik rr, (9) Z H 2 (r) = E t p e ik 2r. (2) Z 2 (c) (5 Pkt.) Zeigen Sie, dass der Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche im Medium lautet S (r) z = E 2 k ( z r p 2). (2) 2 Z k Es gilt mit den Feldern im Medium S (r) z = n z 2 Re {E (r) H (r)} = 2 Re { E x (r) Hy(r) } = E 2 k { z Re r p 2 2iIm {r }} p e 2ik zz 2Z k = E 2 k ( z r p 2), 2Z k 8 (22)
wobei wir verwendet haben, dass gilt k z R. (d) (2 Pkt.) Berechnen Sie den Energiefluss im Halbraum in z-richtung im Falle von Totalreflexion an der Grenzfläche. Betrachten Sie dazu den aus der Vorlesung bekannten Ausdruck für den Reflexionskoeffizienten. Begründen Sie Ihr Ergebnis anschaulich. Im Falle von Totalreflexion gilt r 2 = und somit gilt S (r) z =. Dieses Ergebnis ist einsichtig, da bei Totalreflexion alle Energie reflektiert wird. (e) (5 Pkt.) Zeigen Sie, dass der Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche im Medium 2 lautet S 2 (r) z = E 2 Re(k z2 ) t p 2. (23) 2 Z 2 k 2 Wir finden mit den Feldern im Medium 2 S 2 (r) z = n z 2 Re {E 2(r) H 2 (r)} = 2 Re { E 2x (r) H 2y(r) } = E 2 2Z 2 Re(k z2 ) k 2 t p 2. (24) (f) (2 Pkt.) Berechnen Sie den Energiefluss im Halbraum 2 in z-richtung im Falle von Totalreflexion an der Grenzfläche. Was bedeutet Ihr Ergebnis für den Energietransport durch evaneszente Felder? Im Falle von Totalreflexion ist das Feld im Medium 2 evaneszent, so dass Re(k z2 ) = gilt. Das evaneszente Feld transportiert also keine Energie senkrecht zur Grenzfläche. (g) (6 Pkt.) Zeigen Sie nun, dass der Energiefluss normal zur Grenzfläche über diese hinweg erhalten ist, also Gl. (4) gilt. Benutzen Sie dabei die aus der Vorlesung bekannten Ausdrücke für die Fresnel-Koeffizienten. Der Quotient aus den Energieflüssen jenseits und diesseits der Grenzfläche lautet S 2 (r) z S (r) z = t p 2 ( Re(k z2) k Z r p 2). (25) k z k 2 Z 2 Wir betrachten zunächst den Term mit r p unter der Bedingung, dass k z R gilt (einfallendes Feld ist ebene Welle), während jedoch k z2 C sein kann, da das transmittierte Feld im Falle von Totalreflexion evaneszent sein kann. Wir erhalten so aus r p = ε 2k z ε k z2 ε 2 k z + ε k z2 (26) den Ausdruck r p 2 = 4ε ε 2 k z Re(k z2 ) (ε 2 k z ) 2 + ε 2 k z2 2 + 2ε ε 2 k z Re(k z2 ). (27) 9
Für den Transmissionskoeffizienten t p = 2ε 2 k z ε 2 k z + ε k z2 µ2 ε µ ε 2 (28) finden wir für das Betragsquadrat Somit ergibt sich t p 2 = 4ε 2 2 k2 z µ 2 ε (ε 2 k z ) 2 + ε 2 k z2 2. (29) + 2ε ε 2 k z Re(k z2 ) µ ε 2 t p 2 ( r p 2) = k z µ 2 ε ε 2 (3) Re(k z2 ) µ ε 2 ε und mit den Definitionen k i = n i ω/c sowie Z i = µ i µ / ε i ε erhalten wir S 2 (r) z = k z µ 2 ε ε 2 Re(k z2 ) ε µ µ ε 2 = (3) S (r) z Re(k z2 ) µ ε 2 ε ε2 µ 2 µ2 ε In der Tat ist also der Energiefluss normal zu einer Grenzfläche zwischen zwei verlustfreien Medien über diese hinweg erhalten. Im speziellen Falle von Totalreflexion ist dies natürlich auch der Fall. Hier beträgt der Nettoenergiefluss normal zur Grenzfläche auf beiden Seiten null. Im unteren Medium heben sich die entgegengesetzten Energieflüsse der einfallenden und der reflektierten Welle gerade auf, im oberen Medium existiert lediglich eine evaneszente Welle, die keinerlei Energie senkrecht zur Grenzfläche transportiert. Wir bringen nun hinter die Grenzfläche zwischen den Medien und 2 in einem Abstand d eine weitere Grenzfläche zu einem Medium 3 mit denselben Materialparametern wie das Medium, wie in Abb. 2(b) gezeigt. In Aufgabe der Übung 5 haben Sie bereits den totalen Transmissionskoeffizienten durch die beiden Grenzflächen bestimmt mit der innerhalb des Mediums 2 aufgenommenen Phase ϕ = k z2 d. k z t ges = t 2t 2 e iϕ r2 2, (32) e2iϕ (h) (2 Pkt.) Argumentieren Sie ohne Rechnung, wie das Verhältnis der Energieflüsse S 3(r) z S (r) z senkrecht zu den Grenzflächen in den Medien und 3 lauten muss. Es gilt S 3(r) z S (r) z =, da der Energiefluss an jeder Grenzfläche einzeln erhalten ist, wie oben gezeigt. (i) (4 Pkt.) Berechnen Sie den Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche im Medium 3 in Abhängigkeit von der Amplitude des einfallenden Feldes E, seinem Einfallswinkel θ, der Wellenimpedanz Z und dem gesamten Transmissionskoeffizienten t ges. Wir orientieren uns am Ergebnis der Aufgabe (e) und erhalten, da die Medien und 3 identisch sind, mit k z3 = k z R S 3 (r) z = E 2 Re(k z3 ) t ges 2 = E 2 cos θ t ges 2. (33) 2 Z 3 k 3 2 Z
(j) (4 Pkt.) Welchen Wert muss t ges für d annehmen? Beweisen Sie Ihre Behauptung, indem Sie die aus der Vorlesung bekannten Fresnel-Koeffizienten in Gl. (32) einsetzen. Für d = ist die Schicht nicht präsent und es muss gelten t ges =. Es gilt für d = t ges = t 2t 2 r2 2. (34) Durch Einsetzen der Fresnel-Koeffizienten ist dieser Zusammenhang leicht zu zeigen, denn es gilt t 2 t 2 = 4ε ε 2 k z k z2 (ε k z2 + ε 2 k z ) 2 (35) und ebenso r 2 2 = 4ε ε 2 k z k z2 (ε k z2 + ε 2 k z ) 2. (36) In der Übung 5 haben Sie sich bereits mit dem Fabry-Pérot Etalon vertraut gemacht, bei dem die Transmission durch eine dünne Schicht durch Interferenzeffekte periodische Maxima im Abstand des freien Spektralbereichs zeigt. Hier betrachten wir nun den Fall, dass n > n 2 gilt und somit bei Einfallswinkeln grösser als θ = sin (n 2 /n ) Totalreflexion an der ersten Grenzfläche auftritt, die durch die Präsenz der zweiten Grenzfläche frustiert werden kann. (k) (4 Pkt.) Zeigen Sie, dass im Fall von frustrierter Totalreflexion die Gesamttransmission t ges 2 für Schichtdicken d λ näherungsweise exponentiell abfällt mit t ges 2 = t 2 2 t 2 2 e 2 k z2 d. (37) Im Falle von TIR und FTIR ist k z2 = i k z2 rein imaginär. Wir erhalten so t ges = und somit in erster Näherung t 2t 2 e k z2 d r 2 2 e 2 k z2 d t 2t 2 e k z2 d ( + r 2 2e 2 k z2 d ) (38) t ges 2 = t 2 2 t 2 2 e 2 k z2 d. (39) (l) (8 Pkt.) Erstellen Sie einen Graphen von t ges 2 als Funktion der Filmdicke in Einheiten der Vakuumwellenlänge d/λ für die drei Einfallswinkel θ =, π/6, π/4, π/3. Beschriften Sie Ihre Achsen und erstellen Sie eine aussagekräftige Legende sowie einen Titel. Nehmen Sie einen Vakuumspalt an, der von Glas mit den Materialparametern ε = 2.25 und µ = umgeben ist. In welchem Winkelbereich zeigt der Film Fabry-Pérot Resonanzen und in welchem Winkelbereich beobachten Sie frustierte Totalreflexion? In Abb. 5 ist die Transmission durch den Film in Abhängigkeit von der Filmdicke für verschiedene Winkel gezeigt. Für Winkel kleiner als der kritische Winkel sin (n 2 /n ) = 42 zeigt der Vakuumspalt Fabry-Perot Resonanzen. Für Winkel grösser als der kritische Winkel beobachten wir frustrierte Totalreflexion mit dem charakteristischen exponentiellen Abfall der Transmission mit zunehmender Filmdicke d.
t ges 2.8.6.4 Transmission t ges 2, n =.5, n 2 =,,2 = = = /6 = /4 = /3.2.2.4.6.8 d/ Abbildung 5: Transmission durch einen Vakuumspalt der Dicke d, der von Glas mit Materialkonstanten ε = 2.25 und µ = umgeben ist. (m) (3 Pkt.) Argumentieren Sie, warum der Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche im Medium 2, also S 2 (r) z, auch im Falle von Totalreflexion endlich sein muss. In der Aufgabe (f) haben Sie gezeigt, dass im Falle von Totalreflexion durch die evaneszente Welle auf der Seite des optisch dünneren Mediums keinerlei Energie normal zur Grenzfläche transportiert wird. Nun haben wir jedoch für den Fall frustrierter Totalreflexion gefunden, dass aufgrund der Energieerhaltung im Medium 2 ein endlicher Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche bestehen muss. Innerhalb der Schicht ist jedoch die Wellenzahl k z2 zweifelsohne noch stets imaginär und die Felder in der Schicht darum senkrecht zur Grenzfläche evaneszent. Wie kann plötzlich doch durch den Spalt der Dicke d Energie fliessen, wenn darin nur evaneszente Felder bestehen? Hinweis: Gehen Sie in Ihrer Argumentation (ohne Rechnung) auf die (Nicht-)Linearität des Poynting Vektors bezüglich der Felder und daraus resultierende Interferenzeffekte ein. In der Tat transportiert eine einzelne evaneszente Welle, die von einer Grenzfläche exponentiell abfällt, keinerlei Energie. Im Falle der frustrierten Totalreflexion wird die evaneszente Welle jedoch an der nächsten Grenzfläche wieder reflektiert, so dass das Feld im Spalt eine Superposition zweier evaneszenter Felder ist. Eines dieser Felder fällt exponentiell von der ersten Grenzfläche ab, das andere fällt exponentiell von der anderen Grenzfläche ab. Der Poynting Vektor ist nicht linear in den Feldern, so dass sich durch Superposition von Feldern 2
Interferenzterme ergeben. Die Superposition zweier evaneszenter Felder kann nun offenbar eine endliche Komponente des Poynting Vektors normal zu den Grenzflächen besitzen. Während also der Poynting Vektor einer einzelnen evaneszenten Welle senkrecht zur Grenzfläche verschwindet, hat die Superposition zweier solcher Wellen durch Interferenz eine endliche Komponente. 3