Physik 1 für Chemiker und Biologen 7. Vorlesung 10.12.2018 https://xkcd.com/1438/ Prof. Dr. Jan Lipfert Jan.Lipfert@lmu.de Heute: - Wiederholung: Impuls, Stöße - Raketengleichung - Drehbewegungen Wiederholungs-/Einstiegsfrage: Abstimmen unter pingo.upb.de, # 639839 Die Skizze zeigt einen Ball (m = 1 kg), der vom Boden abprallt. Was ist die Impulsänderung ~p in (x ; y)? A) (0 ; 10) kg m/s B) (7,1 ; 0) kg m/s C) (0 ; 7,1) kg m/s D) (0 ; 14,1) kg m/s = 45 ~v = ~u = 10 m/s y ~v ~u 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 1 x
Potentielle Energie- Landschaft Graphische Darstellung der potentiellen Energie Steigung = Kraft Minima = stabile Gleichgewichtslagen Maxima = labile Gleichgewichtslagen Experiment: Kugel in Potentiallandschaft 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 2
Zusammenfassung: Potentielle Energie Potentielle Energie der Gravitation Epot,G = So gewählt, dass 10.12.18 GmM r Epot,G (r = 1) = 0 Prof. Dr. Jan Lipfert https://de.wikipedia.org/wiki/erde 3
Zusammenfassung: Impuls und Stöße Definition des Impuls 2. Newtonsches Axiom in Impulsform: Impulserhaltung: ~p = m ~v ~ F = d~p dt = ~p Der Gesamtimpuls ~p = X i m i ~ri = X i ~p i eines abgeschlossenen Systems aus Massepunkten m 1, m 2,... ist zeitlich konstant. Stöße: 1. Grenzfall: Perfekt (vollständig) inelastischer Stoß Impulserhaltung 2. Grenzfall: Perfekt (vollständig) elastischer Stoß Impulserhaltung + Energieerhaltung 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 4
Zusammenfassung: Raketenphysik Impulserhaltung für nicht konstante Masse Effektive Ausströmgeschwindigkeit: w Schub ( Antriebskraft der Rakete): w Geschwindigkeit nach Zeit t: v(t) = dm dv (= m ) dt dt w ln m(t) m0 https://de.wikipedia.org/wiki/proton_rakete Proton - Rakete 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 5
Drehbewegungen Bisher: Massepunkt = idealisierter Körper, bei dem alle Masse als im Schwerpunkt konzentriert genähert wird. Jetzt: starrer Körper = Körper mit Ausdehnung (diskrete Massepunkte oder kontinuierlich), der als nicht verformbar genähert wird. https://de.wikipedia.org/wiki/b%c3%bcrostuhl Experiment: Rotation auf Drehstuhl https://de.wikipedia.org/wiki/kim_yuna 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 6
Drehbewegungen Die Bewegung eines starren Körpers lässt sich aus Translation und Rotation zusammensetzten. N. Bohr W. Pauli W. Pauli https://commons.wikimedia.org/ wiki/file:pauli_wolfgang_c4.jpg 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert https://de.wikipedia.org/wiki/kreisel 7
Erinnerung: Kräfte bei Drehbewegungen r! Experiment zur Rotation: Flüssigkeitsbehälter, Parabel 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 8
Lineare vs. Drehbewegungen Zu jeder Größe der linearen Bewegung gibt es eine korrespondierende Größe der Drehbewegung. Die Gleichungen für beide Bewegungsformen sind formal gleich! Lineare Bewegung Lineare Bewegung http://sportsnscience.utah.edu/2012/09/04/skiing-friction-basic/ Weg, Verschiebung Geschwindigkeit Beschleunigung Masse Impuls Kraft Kinetische Energie Drehung Drehung http://de.wulffplag.wikia.com/wiki/datei:kettenkarussell.jpg Drehwinkel Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung Trägheitsmoment Drehimpuls Drehmoment Rotationsenergie 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 9
Bemerkungen zu Winkeln Die natürliche Einheit für Winkel ist das Bogenmaß, in rad R R s φ= s R UMRECHNUNG: 2π rad = 1 Umdrehung = 360 Drehung als Vektor: d ~ d ~ Zur Erinnerung: Kreuzprodukt von Vektoren ~a ~ b ~a ~ b = a b sin(~a, ~ b) ~a ~ b = ~ b ~a Spatprodukt : ~a ~ b ~c = ~ b ~c ~a = ~c ~a ~b Rechte Hand Regel 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 10 ~ b ~a ~c = ~a ~ b
Bewegungsgleichungen für Rotation Infinitesimale Drehung Winkelgeschwindigkeit Winkelbeschleunigung 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 11
Kinetische Energie eines rotierenden Körpers Trägheitsmoment I 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 12
Beispiele: Trägheitsmomente ausgedehnter Körper Drehachse Das Trägheitsmoment I hängt ab von: Masse des Körpers Form Lage der Achse I ist die Masse der Drehbewegung I ist oft ein Tensor 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 13
Steinerscher Satz (Theorem paralleler Achsen) a: Achse durch den Schwerpunkt a : Achse parallel zu a, nicht durch den Schwerpunkt https://de.wikipedia.org/ wiki/jakob_steiner Jakob Steiner (1796-1863) 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 14
Wettrennen auf der schiefen Ebene Experiment: Trägheitsmomente von Voll-, Hohlzylinder auf schiefer Ebene Voll- und Hohlzylinder mit gleicher Masse m und gleichem Radius R rollen schiefe Ebene hinunter. Welcher Zylinder ist schneller unten? Abstimmen unter pingo.upb.de! A) Der Vollzylinder. B) Der Hohlzylinder. C) Beide kommen gleichzeitig unten an. 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 15
In der Drehung steckt Energie! Voll- und Hohlzylinder mit gleicher Masse m und gleichem Radius R rollen schiefe Ebene hinunter. I voll I hohl Annahme: Keine Reibung (d.h. Energieerhaltung) Oben: Unten: 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 16
Schwungräder als Energiespeicher https://de.wikipedia.org/wiki/gotthardpass Gyrobus 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert https://de.wikipedia.org/wiki/gyrobus 17
Schwungräder als Energiespeicher - Drehung mit bis zu 80 000 rpm - E rot ~ 350 kwh ~ 10 9 J - Vakuum um Verluste durch Luftreibung zu minimieren - Anwendung: schnelle Notstromversorgung Carbon Fiber Composite Flywheel https://de.wikipedia.org/wiki/schwungrad https://de.wikipedia.org/wiki/schwungrad 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 18
Das Drehmoment 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 19
Gleichgewichtsbedingung des starren Körpers Translation: Erinnerung: ~ F = m ~a Rotation: Hebelgesetz: https://de.wikipedia.org/wiki/zahl Archimedes von Syrakus (287-212 v. Chr.) Experiment: Hebel mit Kraftmesser Experiment: Drehmomentscheibe 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 20
Drehimpuls Definition (für Massepunkt): ~L = m (~r ~v) 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 21
Änderung des Drehimpuls ~L = X i m i (~r i ~v i ) Wenn keine äußeren Drehmomente wirken, bleibt der Gesamtdrehimpuls konstant! Wenn äußere Drehmomente wirken, ändern sie den Gesamtdrehimpuls gemäß: ~L = X i ~r i ~ F i = ~ T Gesamt 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert 22
Anwendungen der Drehimpulserhaltung Betrag des Drehimpulses: ~ L = mr 2! = I! Der Drehimpuls in einem abgeschlossen System ist konstant! ~L = X i ~L i (t) = const. Film: https://www.youtube.com/ watch?v=aqltceag9v0 https://de.wikipedia.org/wiki/b%c3%bcrostuhl https://en.wikipedia.org/wiki/dumbbell#/ media/file:twodumbbells.jpg Experiment: Drehstuhl mit Hanteln http://denkwerkstatt-physik.de/denkwerkstatt-physik/files/mechanik/ 10.12.18 Prof. Dr. Jan Lipfert gestoerte_nachtruhe/pirouetteneffekt1.html 23